Как найти вероятность по экспоненциальному закону

Экспоненциально распределенная случайная величина

На странице Непрерывная случайная величина мы разобрали примеры решений для произвольно заданных законов распределения (многочлены, логарифмы и т.п.). Здесь же мы разберем примеры только для одного типа СВ – распределенных по показательному (или экспоненциальному) закону.

Плотность распределения величины $X$ с экспоненциальным законом распределения задается формулой:

$$
f(x)=
left{
begin{array}{l}
0, x lt 0\
lambda e^{-lambda x}, xge 0 \
end{array}
right.
$$

Функция распределения величины $X$:

$$
F(x)=
left{
begin{array}{l}
0, x lt 0\
1- e^{-lambda x}, xge 0 \
end{array}
right.
$$

Здесь $lambda$ – единственный параметр данного распределения, полностью определяющий его свойства. В частности, числовые характеристики выражаются через этот параметр: $M(X)=1/lambda$, $D(X)=1/lambda^2$.

Экспоненциальное распределение моделирует время между двумя последовательными свершениями события, а параметр $lambda$ описываетс среднее число наступлений события в единицу времени. Обычно с помощью этого закона описывают: продолжительность обслуживания покупателя, время жизни оборудования до отказа, промежуток времени между поломками и т.п.

В этом разделе мы приведем разные примеры задач с полным решением, где используются показательно распределенные случайные величины.

Примеры решений

Задача 1. Среднее время безотказной работы прибора равно 80 часов. Полагая, что время безотказной работы прибора имеет показательный закон распределения, найти:
а) выражение его плотности вероятности и функции распределения;
б) вероятность того, что в течение 100 часов прибор не выйдет из строя.

Задача 2. Известно, что время работы прибора до первого отказа подчиняется показательному распределению со средним значением 1 год. Какова вероятность, что до первого отказа пройдет не менее 2 лет?

Задача 3. Установлено, что время ремонта телевизоров есть случайная величина $X$, распределенная по показательному закону с параметром $lambda=1/3$ (1/день). Определить вероятность того, что на ремонт телевизора потребуется не менее 5 дней.

Задача 4. Время в годах безотказной работы прибора подчинено показательному закону, т.е. плотность распределения этой случайной величины такова: $f(t)=2e^{-2t}$ при $tge 0$ и $f(t)=0$ при $tlt 0$.
1) Найти формулу функции распределения этой случайной величины.
2) Определить вероятность того, что прибор проработает не более года.
3) Определить вероятность того, что прибор безотказно проработает 3 года.
4) Определить среднее ожидаемое время безотказной работы прибора.

Задача 5. Предполагая, что случайное время обслуживания абонента службой «09» распределено по показательному закону и средняя продолжительность обслуживания составляет 1,5 минуты, найдите вероятность того, что абонент будет обслужен более, чем за 2 минуты.

Задача 6. Длительность телефонного разговора подчиняется показательному закону. Найти среднюю длительность разговора, если вероятность того, что разговор продлится более 5 минут, равна 0,4.

Задача 7. Случайная величина задана плотностью распределения $p(x)=ce^{-3x}$ при $x gt 0$, и ноль в остальных случаях. Найти постоянную $c$, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Задача 8. Непрерывная случайная величина $xi$ распределена по показательному закону с параметром $lambda$, равному номеру варианта 9. Найти плотность распределения случайной величины $xi$, функцию распределения, построить графики этих функций. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение случайной величины $xi$ и вероятность того, что $xi$ принимает значения, меньшие своего математического ожидания.

Задача 9. Случайная величина $xi$ распределена по показательному закону с параметром 2. Найти $M_{xi}$, $D_{xi}$ вероятность попадания $xi$ в интервал $(-1;2)$. Нарисовать графики плотности распределения и функции распределения $xi$.

Задача 10. Известно, что $Х$ распределено по экспоненциальному закону $Exp(lambda)$. Найдите вероятность события $|Х – МХ | lt 3sigma$ (“правило $3sigma$” для показательного распределения).

Решебник по теории вероятности онлайн

Больше 11000 решенных и оформленных задач по теории вероятности:

Показательное распределение
Плотность вероятности
Функция распределения
Обозначение
Параметры	— интенсивность или обратный коэффициент масштаба
Носитель
Плотность вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Медиана
Мода
Дисперсия
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Дифференциальная энтропия
Производящая функция моментов
Характеристическая функция

Экспоненциа́льное (или показа́тельное^[1]) распределе́ние — абсолютно непрерывное распределение, моделирующее время между двумя последовательными свершениями одного и того же события.

Определение[править | править код]

Случайная величина имеет экспоненциальное распределение с параметром , если её плотность вероятности имеет вид:

.

Пример. Пусть есть магазин, в который время от времени заходят покупатели. При определённых допущениях время между появлениями двух последовательных покупателей будет случайной величиной с экспоненциальным распределением. Среднее время ожидания нового покупателя (см. ниже) равно . Сам параметр тогда может быть интерпретирован как среднее число новых покупателей за единицу времени.

В этой статье для определённости будем предполагать, что плотность экспоненциальной случайной величины задана первым уравнением, и будем писать: .

Функция распределения[править | править код]

Интегрируя плотность, получаем функцию экспоненциального распределения:

Моменты[править | править код]

Несложным интегрированием находим, что производящая функция моментов для экспоненциального распределения имеет вид:

,

откуда получаем все моменты:

.

В частности,

,

,

.

Независимость событий[править | править код]

Пусть . Тогда .

Пример. Пусть автобусы приходят на остановку случайно, но с некоторой фиксированной средней интенсивностью. Тогда количество времени, уже затраченное пассажиром на ожидание автобуса, не влияет на время, которое ему ещё придётся прождать.

Связь с другими распределениями[править | править код]

• Экспоненциальное распределение является частным случаем гамма-распределения:

• Экспоненциальное распределение может быть получено из непрерывного равномерного распределения методом обратного преобразования. Пусть . Тогда:

• Экспоненциальное распределение с параметром  — это частный случай распределения хи-квадрат:

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Королюк В. С., Портенко Н. И.,Скороход А. В., Турбин А. Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. — М.: Наука, 1985. — 640 с.

Непрерывная случайная величина Х имеет Показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром λ, если ее плотность вероятности имеет вид

Функция распределения случайной величины, распределенной по показательному закону, равна

Кривая распределения Р(Х) и график функции распределения приведены на рис. 8.13.

Рис. 8.13

Для случайной величины, распределенной по показательному закону

; .

Вероятность попадания в интервал непрерывной случайной величины Х, распределенной по показательному закону

.

Замечание. Показательный закон распределения вероятностей встречается во многих задачах, связанных с простейшим потоком событий. Под Потоком событий понимают последовательность событий, наступающих одно за другим в случайные моменты. Например, поток вызовов на телефонной станции, поток заявок в системе массового обслуживания и др.

Пример 8.18. Непрерывная величина Х распределена по показательному закону

Найти вероятность попадания значений величины Х в интервал .

Решение. Поскольку , то

Пример 8.19. Записать плотность распределения и функцию распределения показательного закона, если параметр . Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, распределенной по этому закону.

Решение. Так как , то плотность распределения

Функция распределения имеет вид

Поскольку для показательного закона

; ,

А по условию , то

.

Пример 8.20. Установлено, что время ремонта магнитофонов есть случайная величина Х, распределенная по показательному закону. Определить вероятность того, что на ремонт магнитофона потребуется не менее 15 дней, если среднее время ремонта магнитофонов составляет 12 дней. Найти плотность вероятности, функцию распределения и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

Решение. По условию математическое ожидание , откуда параметр . Тогда плотность вероятности и функция распределения имеют вид: ; . Искомую вероятность можно найти, интегрируя плотность вероятности, т. е.

,

Но проще использовать функцию распределения

.

Среднее квадратическое отклонение Дней.

Пример 8.21. Найти асимметрию показательного распределения.

Решение. Так как асимметрия , а , то найдем вначале центральный момент третьего порядка

:

Найдем

.

Интегрируя дважды по частям, получим

.

Аналогично рассчитаем

.

Следовательно,

.

Значит,

.

Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, функция распределения которого определяет Вероятность отказа элемента за время длительностью T. Здесь Т — длительность времени безотказной работы элемента,  — интенсивность отказов (среднее число отказов в единицу времени).

Функция надежности определяет вероятность безотказной работы элемента за время длительностью T.

Пример 8.22. Испытывают три элемента, которые работают независимо один от другого. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону: для первого элемента ; для второго ; для третьего элемента Найти вероятности того, что в интервале времени  часов откажут: а) только один элемент; б) только два элемента; в) все три элемента.

Решение. А) Вероятность отказа первого элемента

;

Второго элемента

;

Третьего элемента

.

Следовательно, искомая вероятность

.

Б) .

В) .

Показательным
(экспоненциальным)
называют
распределение вероятностей непрерывной
случайной величины Х₁
которое
описывается плотностью

где 
— постоянная положительная величина.

Мы видим, что
показательное распределение определяется
одним параметром .
Эта особенность
показательного распределения указывает
на его преимущество по сравнению с
распределениями, зависящими от большею
числа параметров. Обычно параметры
неизвестны и приходится находить их
оценки (приближенные значения); разумеется,
проще оценить один параметр, чем два
или три и т. д. Примером непрерывной
случайной величины, распределенной по
показательному закону, может служить
время между появлениями двух
последовательных событий простейшего
потока (см. § 5).

Найдем функцию
распределения показательного закона
(см. гл.
XI,
§ 3):

Итак,

Мы определили
показательный закон с помощью плотности
распределения; ясно, что его можно
определить, используя функцию
распределения.

Графики плотности
и функции распределения показательного
закона изображены на рис. 12.

Пример.
Написать плотность и функцию распределения
показательного закона, если параметр

= 8.

Решение. Очевидно,
искомая плотность распределения

f(х)
= 8е^–8x
при х0;
f(x)=O
при х
< 0.

Искомая функция
распределения

F(x)
=1—e^–8x
при x0;
F(x)
= 0 при х
< 0.

§ 2. Вероятность попадания в заданный интервал показательно распределенной случайной величины

Найдем вероятность
попадания в интервал (а,b)
непрерывной
случайной величины X,
которая
распределена по показательному закону,
заданному функцией распределения

Используем формулу
(см. гл. X,
§ 2, следствие 1)

P(a<X<b)
= F(b)
— F(a).

Учитывая, что
F(а)=,F(b)=,получим

P(a<X<b)
=(*)

Значения функции
е^–x
находят по
таблице.

Пример.
Непрерывная случайная величина X
распределена
по

показательному
закону

f(x)=2e^–2x
при х
0;
f(x)=0
при х <
0.

Найти вероятность
того, что в результате испытания X
попадает в
интервал (0,3, 1).

Решение. По условию,

= 2.
Воспользуемся
формулой (*):

Р (0,3
< X
< 1)=е^–(2*0,3)-е^–(2*1)=е^–0,6-е^–2
= 0,54881—0,135340,41.

§ 3. Числовые характеристики показательного распределения

Пусть непрерывная
случайная величина X
распределена
по показательному закону

Найдем математическое
ожидание (см. гл. XII,
§ 1):

Интегрируя по
частям, получим

(*)

Таким образом,
математическое
ожидание показательного распределения
равно обратной величине параметра ..

Найдем дисперсию
(см. гл. XII,
§ 1):

Интегрируя по
частям, получим

Следовательно,

D(X)=1/^

Найдем среднее
квадратическое отклонение, для чего
извлечем квадратный корень из дисперсии:

(X)=1/
(**)

Сравнивая (*) и
(**), заключаем, что

М (Х)
=(X)=1/

т. е. математическое
ожидание и среднее квадратическое
отклонение показательного распределения
равны между собой.

Пример. Непрерывная
случайная величина X
распределена
по показательному закону

f(x)=5e^–5x
при x0;
f(x)=0
при x<0.

Найти математическое
ожидание, среднее квадратическое
отклонение и дисперсию X.

Решение. По условию,

= 5. Следовательно,

М (X)
= 
(X)
= 1 /
= 1 /5 = 0,2;

D(X)=1/^^

Замечание 1. Пусть
на практике изучается показательно
распределенная случайная величина,
причем параметр 
неизвестен. Если математическое ожидание
также неизвестно, то находят его оценку
(приближенное значение), в качестве
которой принимают выборочную среднюю

(см. гл. XVI,
§ 5). Тогда приближенное значение параметра
находят
с помощью равенства

^.

Замечание 2.
Допустим, имеются основания предположить,
что изучаемая на практике случайная
величина имеет показательное распределение.
Для того чтобы проверить эту гипотезу,
находят оценки математического ожидания
и среднего квадратического отклонения,
т. е. находят выборочную среднюю и
выборочное среднее квадратическое
отклонение (см. гл. XVI,
§ 5, 9). Математическое ожидание и среднее
квадратическое отклонение показательного
распределения равны между собой, поэтому
их оценки должны различаться незначительно.
Если оценки окажутся близкими одна к
другой, то данные наблюдений подтверждают
гипотезу о показательном распределении
изучаемой величины; если же оценки
различаются существенно, то гипотезу
следует отвергнуть.

Показательное
распределение широко применяется в
приложениях, в частности в теории
надежности, одним из основных понятий
которой является функция надежности.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #