Как найти вероятность попадания только третьего стрелка

Решение задач о выстрелах и попаданиях в цель

В предыдущих статьях мы разобрали популярные учебные задачи по теории вероятностей: задачи про бросание игральных костей и задачи о подбрасывании монет.

Перейдем еще к одному типу задач: про стрелков, которые делают выстрелы по целям (или мишеням), причем вероятности попаданий для каждого стрелка обычно заданы, а нужно найти вероятность ровно одного попадания, или не более двух попаданий, или всех трех и так далее, в зависимости от конкретной задачи.

Основной метод решения подобных задач – использование теорем о сложении и умножении вероятностей, который мы и разберем на примерах ниже. А перед примерами вы найдете онлайн калькулятор, который поможет решить подобные задачи буквально в один клик! Удобно решать самому? Посмотрите видеоурок и скачайте бесплатный шаблон Excel для решения задач о выстрелах.

Онлайн решение задачи про попадание в цель

Выберите количество стрелков и затем введите в поля вероятности $p_i$ их попаданий в цель (десятичный разделитель – точка):

Видеоурок и шаблон Excel

Посмотрите наш ролик о решении задач с выстрелами: как использовать Excel для решения типовых задач с 2, 3 и 4 стрелками (выстрелами).

Расчетный файл Эксель из видео можно бесплатно скачать.

Два стрелка

Начнем традиционно с более простых задач, а именно, с двух стрелков. Пусть первый стрелок попадает в цель с вероятностью $p_1$, а второй – с вероятностью $p_2$ (конкретные числа см. в примерах ниже). Соответственно, сразу можно сделать вывод, что промахиваются они с вероятностями $q_1=1-p_1$ и $q_2=1-p_2$.

Чтобы иметь возможность оперировать с событиями, нужно сначала их (события) ввести. Кстати, сразу заметим, что события эти независимые (то есть вероятность попадания первого стрелка не зависит от того, как стреляет второй и наоборот). Итак, пусть:

Событие $A_1$ = (Первый стрелок попал в цель),

Событие $A_2$ = (Второй стрелок попал в цель).

Соответственно, события $overline{A_1}$, $overline{A_2}$ обозначают промах первого и второго стрелка (не попал в цель).

Сразу можно выписать все, что нам стало известно к этому времени о данных событиях, в терминах теории вероятности (так сказать, формализуем задачу, чтобы легче было ее решать дальше):
$$
P(A_1)=p_1, quad P(A_2)=p_2, quad Pleft(overline{A_1}right)=1-p_1=q_1, quad Pleft(overline{A_2}right)=1-p_2=q_2.
$$

Теперь можно переходить к подсчету вероятностей попаданий. Например, пусть событие $X$ =(При двух выстрелах не было ни одного поражения цели). Вопрос, когда такое случится? Ясно, что когда ни первый стрелок, ни второй не попадут в цель, то есть одновременно произойдут события $overline{A_1}$ и $overline{A_2}$, что можно записать как произведение событий: $X=overline{A_1} cdot overline{A_2}$. Согласно теореме умножения вероятностей независимых событий, вероятность произведения событий равна произведению соответствующих вероятностей, или:
$$
P(X)=Pleft(overline{A_1} cdot overline{A_2}right)= Pleft(overline{A_1}right) cdot Pleft(overline{A_2}right) = q_1 cdot q_2. qquad (1)
$$

Рассмотрим еще одно событие $Y$ =(При двух выстрела ровно один стрелок попадет в цель). Как можно записать это событие через уже известные нам $A_1$ и $A_2$? Подумаем, когда такое событие произойдет:
1. Когда первый стрелок попадет в цель (событие $A_1$) и одновременно с этим второй стрелок промахнется (событие $overline{A_2}$), то есть получили произведение событий $A_1 cdot overline{A_2}$.

2. Когда второй стрелок попадет в цель (событие $A_2$) и одновременно с этим первый стрелок промахнется (событие $overline{A_1}$), то есть получили произведение событий $overline{A_1} cdot A_2$.

Так как других вариантов для получения одного попадания нет, а эти два варианта – несовместные (они не могут произойти одновроменно, или первая ситуация, или вторая), то по теореме сложения вероятностей несовместных событий:
$$
P(Y) = Pleft(A_1 cdot overline{A_2} + overline{A_1} cdot A_2right)= Pleft(A_1 cdot overline{A_2} right)+ Pleft( overline{A_1} cdot A_2right) =
$$
дальше уже по известной теореме умножения вероятностей раскрываем скобки:
$$
= P(A_1) cdot left(overline{A_2} right) + Pleft( overline{A_1} right) cdot P(A_2) = p_1 cdot q_2 + q_1 cdot p_2.
$$
Мы получили формулу, позволяющую найти вероятность в точности одного попадания в цель:
$$
P(Y) = p_1 cdot q_2 + q_1 cdot p_2. qquad (2)
$$

Если вы одолели последние пару абзацев, дальше все будет проще, поверьте:). Просто нужно привыкнуть к формулам, а потом они сами будут подсказывать вам верный ход решения.

Ну и наконец, найдем вероятность события $Z$ = (Оба стрелка попадут в цель), которое, как вы наверное и сами уже поняли, можно выразить так: $Z = A_1 cdot A_2$. Итоговая формула:
$$
P(Z) = P(A_1 cdot A_2) = P(A_1) cdot P(A_2)= p_1 cdot p_2. qquad (3)
$$

Большая теоретическая часть окончена, теперь можно решать примеры как орешки.

Пример 1. Два одновременно стреляют по мишени. Вероятность попадания по мишени у первого стрелка равна 0,6, у второго – 0,7. Какова вероятность того, что в мишени будет только одна пробоина?

Не будем повторять все выкладки выше, для этого мы их и делали подробно. Сразу перейдем к решению. Так как нужно найти вероятность всего одного попадания, используем формулу (2), где по условию $p_1=0,6$, $p_2=0,7$, значит $q_1=1-p_1=0,4$, $q_2=1-p_2=0,3$. Получаем:
$$
P = p_1 cdot q_2 + q_1 cdot p_2 = 0,6 cdot 0,3 + 0,4 cdot 0,7 = 0,46.$$

Пример 2. Два стрелка, для которых вероятности попадания в мишень равны соответственно 0,7 и 0,8, производят по одному выстрелу. Найти вероятность того, что мишень поражена дважды.

Опять же, нужно только применить формулу (3) с данными задачи $p_1=0,7$, $p_2=0,8$ и сразу получим ответ:
$$
P = p_1 cdot p_2=0,7 cdot 0,8 = 0,56.
$$

Пример 3. Производятся два выстрела по цели, вероятности попадания равны 0,3 и 0,4. Найти вероятность того, что хотя бы один выстрел попал в цель.

На этот раз задача будет решена не в одно, а в два действия, но пусть это вас не пугает. Как обычно, в задачах содеражащих фразу “хотя бы один…” мы помимо основного события: $Q$ = (Хотя бы один выстрел попал в цель) вводим сразу противоположное событие $overline{Q}$ = (Ни один выстрел не попал в цель, 0 попаданий). А дальше уже известно, применяем формулу (1), которая выведена выше:
$$
P(overline{Q}) = q_1 cdot q_2= (1-0,3) cdot (1-0,4) =0,7 cdot 0,6 = 0,42.
$$
Вероятность нужного нам события тогда равна:
$$
P(Q) = 1- P(overline{Q}) = 1 – 0,42 = 0,58.
$$

Три стрелка

К двум устрелявшимся стрелкам наконец присоединяется третий, бодрый и полный сил. А мы принимаемся за вывод формул. Напомню общую постановку задачи: три стрелка, вероятности попаданий в цель которых равны $p_1$, $p_2$ и $p_3$, делают по одному выстрелу и подсчитывают число попаданий. Наша задача – вычислить вероятности 1, 2, 3 или ни одного попадания.

Начало одинаковое – формализуем задачу и вводим независимые события:

Событие $A_1$ = (Первый стрелок попал в цель),

Событие $A_2$ = (Второй стрелок попал в цель),

Событие $A_3$ = (Третий стрелок попал в цель).

Известно, что:
$$
P(A_1)=p_1, quad P(A_2)=p_2, quad P(A_3)=p_3, \ Pleft(overline{A_1}right)=1-p_1=q_1, quad Pleft(overline{A_2}right)=1-p_2=q_2, quad Pleft(overline{A_3}right)=1-p_3=q_3.
$$

Вероятность того, что не будет ни одного попадания, вычисляется абсолютно аналогично случаю для двух стрелков, только добавляется третий сомножитель (см. формулу (1)), так как все трое должны промахнуться:
$$
P_0=Pleft(overline{A_1} cdot overline{A_2} cdot overline{A_3}right)= Pleft(overline{A_1}right) cdot Pleft(overline{A_2}right) cdot Pleft(overline{A_3}right)= q_1 cdot q_2 cdot q_3. qquad (4)
$$

Желающие потренироваться в выводе формул могут на этом этапе самостоятельно попытаться выписать вероятности для 2 и 3 попаданий (соответственно, $P_2$ и $P_3$), и сравнить с теми формулами, что я приведу ниже:
$$
P_2 = P(X_2)= \
= P(A_1) cdot P(A_2) cdot Pleft(overline{A_3} right) + P(A_1)cdot Pleft(overline{A_2} right) cdot P(A_3) + Pleft(overline{A_1} right) cdot P(A_2) cdot P(A_3)=\
= p_1 cdot p_2 cdot q_3 + p_1 cdot q_2 cdot p_3 + q_1 cdot p_2 cdot p_3. qquad (6)
$$

$$
P_3 = P(X_3)= P(A_3) cdot P(A_2) cdot P(A_3) = p_1 cdot p_2 cdot p_3. qquad (7)
$$

Теперь, вооружившись формулами до зубов, снова возвращаемся к задачнику и решаем примеры буквально в одну строчку (конечно, если вы оформляете эти работы для сдачи преподавателю, используйте в решении и вывод формул, приведенный выше).

Пример 4. Три стрелка производят по одному выстрелу. Вероятности попадания 1-го, 2-го и 3-го стрелков соответственно равны: 0,2, 0,3 и 0,4. Найти вероятность получения одного попадания?

Так как речь идет об одном попадании, используем формулу (5), куда подставляем значения из условия задачи:
$$
p_1=0,2, quad p_2=0,3, quad p_3=0,4, quad q_1=0,8, quad q_2=0,7, quad q_3=0,6
$$
Получаем:
$$
P_1 = p_1 cdot q_2 cdot q_3 + q_1 cdot p_2 cdot q_3 + q_1 cdot q_2 cdot p_3=\
= 0,2 cdot 0,7cdot 0,6 + 0,8 cdot 0,3 cdot 0,6 + 0,8 cdot 0,7 cdot 0,4 = 0,452.
$$

Пример 5. 3 стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятности попадания для каждого стрелка соответственно равны 0,8; 0,7; 0,5. Определите вероятность того, что в мишени окажется ровно 2 пробоины.

Так как речь идет о двух попаданиях, используем формулу (6), куда подставляем значения из условия задачи:
$$
p_1=0,8, quad p_2=0,7, quad p_3=0,5, quad q_1=0,2, quad q_2=0,3, quad q_3=0,5
$$
Получаем:
$$
P_2 = p_1 cdot p_2 cdot q_3 + p_1 cdot q_2 cdot p_3 + q_1 cdot p_2 cdot p_3 = \
= 0,8 cdot 0,7 cdot 0,5 + 0,8 cdot 0,3 cdot 0,5 + 0,2 cdot 0,7 cdot 0,5 = 0,47.
$$

Пример 6. Из трех орудий произвели залп по цели. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого орудия равна 0,8; для второго и третьего орудий эти вероятности соответственно равны 0,7 и 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания при одном залпе из всех орудий.

Надеюсь, вас не смутили орудия вместо стрелков? На самом деле, не суть важно, что происходит: три стрелка вышли на линию, или три пушки готовят залп, или три снайпера целятся в одного террориста. С точки зрения теории вероятностей, все формулы остаются прежними.

Поэтому смело приступаем к решению. Требуется найти вероятность события $A$ = (Будет хотя бы одно попадания при одновременном залпе из всех орудий), поэтому введем для простоты расчетов противоположное событие $overline{A}$ = (Все три орудия дали промашку), вероятность которого найдем по формуле (4), подставляя значения:
$$
p_1=0,8, quad p_2=0,7, quad p_3=0,9, quad q_1=0,2, quad q_2=0,3, quad q_3=0,1
$$
Получаем:
$$
Pleft(overline{A} right) = P_0 = q_1 cdot q_2 cdot q_3 = 0,2 cdot 0,3 cdot 0,1 = 0,006.
$$
Искомая вероятность:
$$
P(A) = 1 – Pleft(overline{A} right) = 1 – 0,006 = 0,994.
$$

Задачи на формулу Бернулли

Когда я писала первый вариант статьи, этого раздела не было. Но ведь задачи, когда выстрелы попадают в цель с одинаковой вероятностью, встречаются весьма и весьма часто и фактически являются частным и более простым случаем разобранных выше. Так что перед вами дополнительный раздел, надеюсь, он окажется полезным:).

Итак, вернемся к нашим стрелкам. Теперь будем считать, что вероятность попадания в цель при каждом выстреле одинакова и равна $p$, число выстрелов равно $n$ и конечно, как и прежде, выстрелы попадают в цель независимо друг от друга. Хм… Что-то знакомое? Конечно! Это схема независимых повторных испытаний, иначе говоря, схема Бернулли.

Ну вот, скажете вы, только научились решать одним способом, и тут на тебе, “схема Бернулли”!

А я отвечу, что в ней как минимум пара преимуществ:

• нужно запомнить всего одну формулу вместо нескольких (см. выше)
• теперь количество стрелков может быть не только 2, 3 или 4 (что уже громоздко), а практически любое – 5, 10, 12…

Пора приступать. Сначала сама формула, а потом разберем несколько примеров для закрепления пройденного:).

Пусть производится $n$ выстрелов, вероятность попадания в цель каждом из которых равна $p$. Вероятность, что окажется в точности $k$ попаданий, можно вычислить по формуле Бернулли:
$$
P_n(k)=C_n^k cdot p^k cdot (1-p)^{n-k} = C_n^k cdot p^k cdot q^{n-k}.
$$

Пример 7. Стрелок производит 4 выстрела, вероятность попадания при каждом из них равна $p=0,8$. Найти вероятность того, что:
1) Стрелок попадёт 3 раза
2) Стрелок попадёт не менее 3-ёх раз.

Вот она, типовая задача на формулу Бернулли. Наши параметры: $n=4$ (число выстрелов), $p=0,8$ (вероятность попадания при одном выстреле), $q=1-p=0,2$ (вероятность промаха).

1) Вероятность того, что стрелок попадёт 3 раза:

$$
P_4(3)=C_4^3 cdot 0,8^3 cdot 0,2^{4-3} = 4 cdot 0,8^3 cdot 0,2 =0,41.
$$

2) Вероятность того, что стрелок попадёт не менее 3-ёх раз из 4 (то есть или 3, или 4 раза – складываем вероятности соответствующих событий):

$$
P_4(k ge 3) =P_4(3) + P_4(4)=0,41+ C_4^4 cdot 0,8^4 cdot 0,2^{0} = 0,41+0,8^4 =0,819.
$$

И это все! Проще некуда, но не забывайте, что задачи разные, где-то формула Бернулли подходит (повторяем: вероятности одинаковые, события независимые и повторные), а где-то – нет (как в разобранных в начале этой статьи задачах).

Пример 8. Вероятность попасть в десятку у данного стрелка при одном выстреле равна 0,2. Определить вероятность выбивания не менее 20 очков при десяти выстрелах.

И опять проверяем выполнение условий схемы Бернулли: вероятности одинаковые (да, $p=0,2$), выстрелы независимые, число выстрелов задано ($n=10$).

Сформулируем вопрос задачи математически: что значит выбито не менее 20 очков? Это значит, что в 10 выстрелах было не менее 2 попаданий в цель (то есть 2, 3, 4,…, 10). Что-то многовато…

В таком случае проще подсчитать сначала вероятность противоположного события: “В 10 выстрелах было менее 2 попаданий в цель” (то есть 0 или 1). Вот тут полегче, давайте посчитаем:

$$
P_{10}(k lt 2) =P_{10}(0) + P_{10}(1)=C_{10}^{0} cdot 0,2^{0} cdot 0,8^{10}+ C_{10}^{1} cdot 0,2^{1} cdot 0,8^{9} =\
=0,8^{10}+ 10 cdot 0,2 cdot 0,8^{9} =0,376.
$$

Тогда искомая вероятность выбить не менее 20 очков будет:

$$
P_{10}(k ge 2) =1-P_{10}(k lt 2)=1-0,376=0,624.
$$

Пригодится: онлайн калькулятор для таких задач

Другие задачи про выстрелы и попадания

Конечно же, не все задачи про выстрелы можно решать по данным формулам (точнее, не все вписываются в эту схему напрямую), это лишь один из популярных классов задач. Для полноты изложения я приведу еще несколько типовых задач с немного отличающимся решением. Задачи из существенно других разделов (например, на формулу Байеса или построение ряда распределения случайной величины) будут разобраны в других статьях.

Пример 9. Вероятность того, что стрелок попадет в цель при одном выстреле, равна 0,7. Производится пять независимых выстрелов. Какова вероятность того, что в мишени окажется хотя бы одна пробоина?

Требуется найти вероятность события $A$ = (В мишени окажется хотя бы одна пробоина), поэтому вводим сначала противоположное событие $overline{A}$ = (Все пять выстрелов не попали в цель). Если обозначить вероятность попадания в цель как $p=0,7$ (она одинакова при каждом выстреле), а вероятность промаха как $q=1-p=0,3$, то вероятность всех пяти промахов будет
$$
Pleft(overline{A} right) = q^5 = 0,3^5.
$$
Искомая вероятность:
$$
P(A) = 1 – Pleft(overline{A} right) = 1 – 0,3^5 = 0,998.
$$

Общий случай: как найти вероятность наступления хотя бы одного события

Пример 10. Два стрелка стреляют по мишени по одному разу. Вероятность того, что оба попали равна 0,42, а вероятность того что оба промахнулись, 0,12. Найти вероятность попадания в мишень каждым стрелком при одном выстреле.

Если обозначить вероятности попадания первым и вторым стрелком соответственно как $p_1$ и $p_2$, то, используя формулы (1) и (3), запишем условие задачи в виде системы уравнений:
$$
P_2 = p_1 cdot p_2 = 0,42;\
P_0 = (1-p_1) cdot (1-p_2) = 0,12.\
$$
Решая эту систему, найдем искомые вероятности попадания для каждого стрелка: $p_1 = 0,6$ и $p_2 = 0,7$ (или наоборот, $p_1 = 0,7$ и $p_2 = 0,6$).

Пример 11. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

Если обозначить вероятность попадания в цель как $p$ (она одинакова при каждом выстреле), а вероятность промаха как $q=1-p$, то вероятность 4 промахов при четырех выстрелах будет равна $q^4$, а соответственно вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах – $1-q^4$. Получаем уравнение:
$$
1-q^4=0,9984;\
q^4=0,0016;\
q=0,2;\
p=1-q=0,8.
$$
Нашли вероятность попадания в цель при одном выстреле, она равна 0,8.

Пример 12. Два стрелка независимо выстрелили по мишени по два раза. Меткость первого стрелка равна 0,8; второго – 0,7. Найти вероятность того, что в мишень попадут все четыре пули.

Все 4 пули попадут в мишень, если первый стрелок попадет оба раза (вероятность попадания при одном выстреле у него $p_1=0,8$), и одновременно второй стрелок попадет оба раза (вероятность попадания при одном выстреле у него $p_2=0,7$). По правилу умножения вероятностей
$$
P = p_1 cdot p_1 cdot p_2 cdot p_2 = 0,8 cdot 0,8 cdot 0,7 cdot 0,7 = 0,3136.
$$

Полезная информация

Онлайн калькуляторы Онлайн учебник Более 200 примеров Решенные контрольные

Формулы и таблицы Сдача тестов Решение на заказ Онлайн помощь

Решебник по вероятности

В решебнике вы найдете более 700 задач о выстрелах и попаданиях с полными решениями (вводите часть текста для поиска своей задачи):

События:
A1-только 1й стрелок попал в мишень:
A2-все стрелки попали в мишень:
A3-хотя бы один стрелок не попал в мишень:
A4-мишень поражена
Вероятности:
p1=0,6 q1=1-p1=0,4
p2=0,7 q2=1-p2=0,3
p3=0,5 q3=1-p3=0,5

а) Вероятность того, что только ПЕРВЫЙ стрелок попал в мишень:
Р (А1)=р1*q2*q3=0,6*0,3*0,5=…
может, здесь надо вероятность того, что только один?
тогда Р=р1*q2*q3 +q1*р2*q3 +q1*q2*p3=
(Попал либо первый, либо второй, либо третий)

б) Вероятность того, что все стрелки попали в мишень
Р (А2)=р1*р2*р3=0,6*0,7*0,5=…

в) Вероятность того, что хотя бы один стрелок не попал в мишень:
через противоположное событие
Р (А3)=1-Р (А2)=1-(р1*р2*р3)=

г) Вероятность того, что мишень поражена (хотя бы один стрелок попал в мишень) :
через противоположное событие:
Р (А4)=1-(q1*q2*q3)=1-0,4*0,3*0,5=…

P.S. А для чего дано j и k? k количество, допустим, а j?

4

Теоремы сложения и
умножения вероятностей. Независимость
событий. Условная вероятность.

1. Три
стрелка стреляют по одной мишени, и
каждый попадает или промахивается
независимо от результатов выстрелов
других стрелков. Вероятности попадания
в мишень для каждого из стрелков,
соответственно, равны: 0,8; 0,7; 0,5. Определить
вероятности следующих событий:

а)
все три стрелка попали в мишень;

б)
хотя бы один стрелок попал в мишень;

в)
в мишень попали два стрелка.

Решение.

а)
Так как здесь рассматриваются независимые
события, вероятность попадания в мишень
всех трёх стрелков равна произведению
вероятностей попадания каждого:

P
= 0,80,70,5
= 0,28

б)
Обозначим это событие А.
Ему благоприятствует несколько
несовместимых исходов, например, такой:
{первый стрелок попал в мишень, второй
не попал, третий попал}. Вместо того,
чтобы рассматривать все эти исходы,
возьмём событие

– дополнение события
А или,
иначе, событие, противоположное событию
А.
Оно состоит в том, что все
три стрелка не попали в мишень.
Его вероятность равна:

(1
– 0,8) 
(1 – 0,7) 
(1 – 0,5) = 0,5

Теперь
можно определить вероятность интересующего
нас события:

Р(А)
= 1 – Р()
= 1 – 0,5 = 0,5

в)
Этому событию благоприятствуют три
исхода:

*
{первый попал, второй попал, третий не
попал} – c вероятностью

0,8

0,7 
(1 – 0,5) = 0,28

**
{первый попал, второй не попал, третий
попал} – c вероятностью

0,8

(1 – 0,7) 
0,5 = 0,12

***
{первый не попал, второй попал, третий
попал} – c вероятностью

(1
– 0,8) 
0,7 
0,5 = 0,07

Очевидно,
что эти исходы несовместимы, и поэтому
вероятность их объединения, представляющего
собой событие А,
равна сумме их вероятностей:

Р(А)
= 0,28 + 0,12 + 0,07 = 0,47

2. Брошено
три игральных кости. Найти вероятности
следующих событий:

а)
выпало три шестёрки;

б)
выпало три шестёрки, если известно, что
на одной из костей выпала шестёрка.

Решение.

а)
Здесь ответ очевиден:

б)
Обозначим через А событие, состоящее в
выпадении трёх шестёрок, а через В – в
выпадении шестёрки хотя бы на одной
кости. Тогда Р(А/В) – искомая вероятность.
Событие АВ
в данном случае совпадает с событием
А, откуда
следует: Р(АВ)
=
.
Вероятность события В
равна разности единицы и вероятности
события
,
противоположного событию В, то есть
выпадения трёх чисел, отличных от
шестёрки. Вероятность

равна
.
Отсюда следует: Р(В) =
.
В результате получается:

Р(А/В)
=

3. Истребитель
атакует бомбардировщик, делает один
выстрел и сбивает бомбардировщик с
вероятностью р₁.
Если этим выстрелом бомбар–дировщик
не сбит, то он стреляет по истребителю
и сбивает его с вероятностью р₂.
Если истребитель этим выстрелом не
сбит, то он ещё раз стреляет по
бомбардировщику и сбивает его с
вероятностью p₃.
Найти вероятности следующих событий:

а)
“сбит бомбардировщик”;

б)
“сбит истребитель”;

в)
“сбит хотя бы один самолёт”.

Ответ:
а) р₁ + (1 – p₁)(1 – p₂)p₃;
б) (1 – p₁)p₂;
в) p₁ + p₂ + p₃ – p₁p₂ – p₁p₂ – p₂p₃ + p₁p₂p₃.

4. Из
20 студентов, находящихся в аудитории,
8 человек курят, 12 носят очки, а 6 и курят
и носят очки. Одного из студентов вызвали
к доске. Определим события А и В следующим
образом: A = {вызванный студент курит}, B
= {вызванный носит очки}.

Установить,
зависимы события A и B или нет. Сделать
предположение о характере влияния
курения на зрение.

Решение.
Так как

, то условие независимости не выполняется,
следовательно, события A и B зависимы.

Найдем
условную вероятность того, что студент
носит очки, при условии, что он курит:
.
Безусловная вероятность того, что
студент носит очки,
равна
.
Так как
,
то делаем вывод: курение способствует
ухудшению зрения.

6.Ф. Бросаются
три игральных кости. Какова вероятность
того, что на одной из них выпадет единица,
если на всех трёх костях выпали разные
грани? (0.5).

7.Ф. Известно,
что при бросании десяти игральных костей
выпала хотя бы одна единица. Какова
вероятность того, что выпало две или
более единиц?

1 – 105⁹/(6¹⁰-5¹⁰).

8. Доказать,
что если события А
и В
независимы, то независимы события

и
.

9. Бросают
три монеты. Событие А — выпадение герба
на первой и второй монетах. Событие В —
выпадение цифры на третьей монете. Найти
Р(А∩В)
и Р(АUВ).

10. В
некоторой корпорации протокол принятия
важнейших решений предусматривает
следующую процедуру. Предложение
направляется в отдел А.
В случае одобрения предложение
направляется в отделы B
и C а
также к вице-президенту D.
В случае одобрения вице-президентом
предложение направляется президенту
корпорации P.
Сюда предложение попадает и в том случае,
если после его одобрения хотя бы одним
из отделов B
или C его
одобрит вице-президент E.
Нарисовать схему принятия решения.
Считая, что все инстанции принимают
решение независимо одна от другой, и
что A,
D и E
одобрят предложение с вероятностью
0,6, а В,
C и P
— с вероятностью 0,5, определить вероятность
принятия предложения админист­рацией.

11. Студент
знает 20 из 25 вопросов программы. Зачёт
сдан, если студент ответит не менее чем
на 3 из 4-х вопросов в билете. Взглянув
на первый вопрос, студент обнаружил,
что знает его. Какова вероятность, что
студент сдаст зачёт?

Решение.

Пусть
А – событие, заключающееся в том, что
студент сдал экзамен;

В
– событие, заключающееся в том, что
студент знает первый вопрос в билете.

Очевидно,
что р(В)
=
.
Теперь необходимо определить вероятность
р(АВ).
Из 25-ти вопросов всего можно составить
различных
билетов, содержащих 4 вопроса. Все билеты,
выбор которых удовлетворял бы и событию
А и событию В, должны быть составлены
следующим образом:
либо студент знает все вопросы билета
(можно составить всего

таких
билетов), либо студент знает первый,
второй и третий вопросы, но не знает
четвёртого (можно составить всего 5
таких
билетов), либо студент знает первый,
второй и четвёртый вопросы, но не знает
третьего (тоже 5
билетов),
либо студент знает первый, третий и
четвёртый вопросы, но не знает второго
(тоже 5
билетов).
Отсюда получаем, что

р(АВ)
=

Осталось
только найти искомую вероятность р(А/В):

р(А/В)
=

Соседние файлы в папке задачи

• #
• #
• #

Задачи

Решение задач о выстрелах и попаданиях в цель

Задачи про стрелков, которые делают выстрелы по целям (или мишеням), причем вероятности попаданий для каждого стрелка обычно заданы, а нужно найти вероятность ровно одного попадания, или не более двух попаданий, или всех трех и так далее, в зависимости от конкретной задачи.

Основной метод решения подобных задач – использование теорем о сложении и умножении вероятностей, который мы и разберем на примерах ниже.

Два стрелка

Пример 1. Два одновременно стреляют по мишени. Вероятность попадания по мишени у первого стрелка равна 0,6, у второго – 0,7. Какова вероятность того, что в мишени будет только одна пробоина?

Не будем повторять все выкладки выше, для этого мы их и делали подробно. Сразу перейдем к решению. Так как нужно найти вероятность всего одного попадания, используем формулу (2), где по условию p1=0,6p1=0,6, p2=0,7p2=0,7, значит q1=1−p1=0,4q1=1−p1=0,4, q2=1−p2=0,3q2=1−p2=0,3. Получаем:

P=p1⋅q2+q1⋅p2=0,6⋅0,3+0,4⋅0,7=0,46.P=p1⋅q2+q1⋅p2=0,6⋅0,3+0,4⋅0,7=0,46.

Пример 2. Два стрелка, для которых вероятности попадания в мишень равны соответственно 0,7 и 0,8, производят по одному выстрелу. Найти вероятность того, что мишень поражена дважды.

Опять же, нужно только применить формулу (3) с данными задачи p1=0,7p1=0,7, p2=0,8p2=0,8 и сразу получим ответ:

P=p1⋅p2=0,7⋅0,8=0,56.P=p1⋅p2=0,7⋅0,8=0,56.

Пример 3. Производятся два выстрела по цели, вероятности попадания равны 0,3 и 0,4. Найти вероятность того, что хотя бы один выстрел попал в цель.

На этот раз задача будет решена не в одно, а в два действия, но пусть это вас не пугает. Как обычно, в задачах содеражащих фразу “хотя бы один…” мы помимо основного события: QQ = (Хотя бы один выстрел попал в цель) вводим сразу противоположное событие Q¯¯¯¯Q¯ = (Ни один выстрел не попал в цель, 0 попаданий). А дальше уже известно, применяем формулу (1), которая выведена выше:

P(Q¯¯¯¯)=q1⋅q2=(1−0,3)⋅(1−0,4)=0,7⋅0,6=0,42.P(Q¯)=q1⋅q2=(1−0,3)⋅(1−0,4)=0,7⋅0,6=0,42.

Вероятность нужного нам события тогда равна:

P(Q)=1−P(Q¯¯¯¯)=1−0,42=0,58.P(Q)=1−P(Q¯)=1−0,42=0,58.

Три стрелка

К двум устрелявшимся стрелкам наконец присоединяется третий, бодрый и полный сил. А мы принимаемся за вывод формул. Напомню общую постановку задачи: три стрелка, вероятности попаданий в цель которых равны p1p1, p2p2 и p3p3, делают по одному выстрелу и подсчитывают число попаданий. Наша задача – вычислить вероятности 1, 2, 3 или ни одного попадания.

Пример 4. Три стрелка производят по одному выстрелу. Вероятности попадания 1-го, 2-го и 3-го стрелков соответственно равны: 0,2, 0,3 и 0,4. Найти вероятность получения одного попадания?

Так как речь идет об одном попадании, используем формулу (5), куда подставляем значения из условия задачи:

p1=0,2,p2=0,3,p3=0,4,q1=0,8,q2=0,7,q3=0,6p1=0,2,p2=0,3,p3=0,4,q1=0,8,q2=0,7,q3=0,6

Получаем:

P1=p1⋅q2⋅q3+q1⋅p2⋅q3+q1⋅q2⋅p3==0,2⋅0,7⋅0,6+0,8⋅0,3⋅0,6+0,8⋅0,7⋅0,4=0,452.P1=p1⋅q2⋅q3+q1⋅p2⋅q3+q1⋅q2⋅p3==0,2⋅0,7⋅0,6+0,8⋅0,3⋅0,6+0,8⋅0,7⋅0,4=0,452.

Пример 5. 3 стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятности попадания для каждого стрелка соответственно равны 0,8; 0,7; 0,5. Определите вероятность того, что в мишени окажется ровно 2 пробоины.

Так как речь идет о двух попаданиях, используем формулу (6), куда подставляем значения из условия задачи:

p1=0,8,p2=0,7,p3=0,5,q1=0,2,q2=0,3,q3=0,5p1=0,8,p2=0,7,p3=0,5,q1=0,2,q2=0,3,q3=0,5

Получаем:

P2=p1⋅p2⋅q3+p1⋅q2⋅p3+q1⋅p2⋅p3==0,8⋅0,7⋅0,5+0,8⋅0,3⋅0,5+0,2⋅0,7⋅0,5=0,47.P2=p1⋅p2⋅q3+p1⋅q2⋅p3+q1⋅p2⋅p3==0,8⋅0,7⋅0,5+0,8⋅0,3⋅0,5+0,2⋅0,7⋅0,5=0,47.

Пример 6. Из трех орудий произвели залп по цели. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого орудия равна 0,8; для второго и третьего орудий эти вероятности соответственно равны 0,7 и 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания при одном залпе из всех орудий.

Надеюсь, вас не смутили орудия вместо стрелков? На самом деле, не суть важно, что происходит: три стрелка вышли на линию, или три пушки готовят залп, или три снайпера целятся в одного террориста. С точки зрения теории вероятностей, все формулы остаются прежними.

Поэтому смело приступаем к решению. Требуется найти вероятность события AA= (Будет хотя бы одно попадания при одновременном залпе из всех орудий), поэтому введем для простоты расчетов противоположное событие A¯¯¯¯A¯ = (Все три орудия дали промашку), вероятность которого найдем по формуле (4), подставляя значения:

p1=0,8,p2=0,7,p3=0,9,q1=0,2,q2=0,3,q3=0,1p1=0,8,p2=0,7,p3=0,9,q1=0,2,q2=0,3,q3=0,1

Получаем:

P(A¯¯¯¯)=P0=q1⋅q2⋅q3=0,2⋅0,3⋅0,1=0,006.P(A¯)=P0=q1⋅q2⋅q3=0,2⋅0,3⋅0,1=0,006.

Искомая вероятность:

P(A)=1−P(A¯¯¯¯)=1−0,006=0,994.P(A)=1−P(A¯)=1−0,006=0,994.

Другие задачи про выстрелы и попадания

Конечно же, не все задачи про выстрелы можно решать по данным формулам (точнее, не все вписываются в эту схему напрямую), это лишь один из популярных классов задач. Для полноты изложения я приведу еще несколько типовых задач с немного отличающимся решением.

Пример 7. Вероятность того, что стрелок попадет в цель при одном выстреле, равна 0,7. Производится пять независимых выстрелов. Какова вероятность того, что в мишени окажется хотя бы одна пробоина?

Требуется найти вероятность события AA = (В мишени окажется хотя бы одна пробоина), поэтому вводим сначала противоположное событие A¯¯¯¯A¯ = (Все пять выстрелов не попали в цель). Если обозначить вероятность попадания в цель какp=0,7p=0,7 (она одинакова при каждом выстреле), а вероятность промаха как q=1−p=0,3q=1−p=0,3, то вероятность всех пяти промахов будет

P(A¯¯¯¯)=q5=0,35.P(A¯)=q5=0,35.

Искомая вероятность:

P(A)=1−P(A¯¯¯¯)=1−0,35=0,998.P(A)=1−P(A¯)=1−0,35=0,998.

Пример 8. Два стрелка стреляют по мишени по одному разу. Вероятность того, что оба попали равна 0,42, а вероятность того что оба промахнулись, 0,12. Найти вероятность попадания в мишень каждым стрелком при одном выстреле.

Если обозначить вероятности попадания первым и вторым стрелком соответственно как p1p1 и p2p2, то, используя формулы (1) и (3), запишем условие задачи в виде системы уравнений:

P2=p1⋅p2=0,42;P0=(1−p1)⋅(1−p2)=0,12.P2=p1⋅p2=0,42;P0=(1−p1)⋅(1−p2)=0,12.

Решая эту систему, найдем искомые вероятности попадания для каждого стрелка: p1=0,6p1=0,6 и p2=0,7p2=0,7 (или наоборот, p1=0,7p1=0,7 и p2=0,6p2=0,6).

Пример 9. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

Если обозначить вероятность попадания в цель как pp (она одинакова при каждом выстреле), а вероятность промаха как q=1−pq=1−p, то вероятность 4 промахов при четырех выстрелах будет равна q4q4, а соответственно вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах – 1−q41−q4. Получаем уравнение:

1−q4=0,9984;q4=0,0016;q=0,2;p=1−q=0,8.1−q4=0,9984;q4=0,0016;q=0,2;p=1−q=0,8.

Нашли вероятность попадания в цель при одном выстреле, она равна 0,8.

Пример 10. Два стрелка независимо выстрелили по мишени по два раза. Меткость первого стрелка равна 0,8; второго – 0,7. Найти вероятность того, что в мишень попадут все четыре пули.

Все 4 пули попадут в мишень, если первый стрелок попадет оба раза (вероятность попадания при одном выстреле у него p1=0,8p1=0,8), и одновременно второй стрелок попадет оба раза (вероятность попадания при одном выстреле у него p2=0,7p2=0,7). По правилу умножения вероятностей

P=p1⋅p1⋅p2⋅p2=0,8⋅0,8⋅0,7⋅0,7=0,3136.