Как найти вероятность появления только одного события

Вероятность появления только одного события

Пример
4. Пусть даны
три независимых события
,,,
их вероятности соответственно равны,,
и.
Найти вероятность появления только
одного события.

 Пусть:

событие
–
появилось только событие(ине появились)

событие
–
появилось только событие(ине появились)

событие

–
появилось только событие(ине появились)

Таким
образом, чтобы найти вероятность
появления только одного из событий
,,,
будем искать вероятность

так
как события
,,несовместны.

События

,,– независимы,,– независимы.

Обозначим
,,.

Тогда
,
т.е.

(появления
только одного события ) =.˜

Формула полной вероятности.

Пусть
некоторое событие

может произойти вместе с одним из
несовместных событий
,
составляющих полную группу событий.
Пусть известны вероятности этих событийи условные вероятности наступления
события

при наступлении события
:

.

Теорема.
Вероятность
события
,
которое может произойти вместе с одним
из событий
,
равна сумме парных произведений
вероятностей каждого из этих событий
на соответствующие им условные вероятности
наступления события
.

Пример
5. В двух
ящиках содержатся по 20 деталей, причем
в первом 17 стандартных деталей, а во
втором 15 стандартных деталей. Из второго
ящика наудачу извлечена одна деталь и
переложена в первый ящик. Найти вероятность
того, что наудачу извлеченная деталь
из первого ящика, окажется стандартной.

 Опыт
можно разбить на два этапа:первый
– перекладывание детали,

второй
– выбор детали.

Гипотезы:

–
переложена стандартная деталь;

–
переложена нестандартная деталь.

,

.

,

.

.
˜

Пример
6. Один из
трех стрелков производит два выстрела.
Вероятность попадания в цель при одном
выстреле для первого стрелка равна 0,4,
для второго – 0,6, для третьего – 0,8. Найти
вероятность того, что в цель попадут
два раза.



Вероятность
того, что выстрелы производит первый,
второй или третий стрелок равна
.

Вероятности
того, что один из стрелков, производящих
выстрелы, два раза попадает в цель,
равны:

–
для первого стрелка:

–
для второго стрелка:

–
для третьего стрелка:

Искомая
вероятность равна:

.


Формула Байеса (формула гипотез)

Пусть
имеется полная группа несовместных
гипотез
с известными вероятностями их наступления.
Пусть в результате опыта наступило
событие
,
условные вероятности которого по каждой
из гипотез известны, т.е. известны
вероятности
.

Требуется
определить какие вероятности имеют
гипотезы
относительно события
,
то есть условные вероятности
.

Теорема.
Вероятность
гипотезы после испытания равна
произведению вероятности гипотезы до
испытания на соответствующую ей условную
вероятность события, которое произошло
при испытании, деленному на полную
вероятность этого события.

Эта
формула называется формулой
Байеса.

.

Пример
7. Детали,
изготовляемые цехом завода, попадают
для проверки их на стандартность к
одному из двух контролеров. Вероятность
того, что деталь попадет к первому
контролеру равна 0,6, ко второму равна
0,4. Вероятность того, что деталь будет
признана стандартной первым контролером
равна 0,94, а вторым – 0,98. Годная деталь
при проверке была признана стандартной.
Найти вероятность того, что ее проверил
первый контролер.

 Гипотезы:

– деталь проверил первый контролер;

–
деталь проверил второй контролер.

Событие
–
деталь признана стандартной.

Как
видно до испытания
,
а после.˜

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Решение задач с формулировкой “хотя бы один”

Поговорим о задачах, в которых встречается фраза “хотя бы один”. Наверняка вы встречали такие задачи в домашних и контрольных работах, а теперь узнаете, как их решать. Сначала я расскажу об общем правиле, а потом рассмотрим частный случай независимых событий и схемы Бернулли, выпишем формулы и примеры для каждого.

Общая методика и примеры

Общая методика для решения задач, в которых встречается фраза “хотя бы один” такая:

1. Выписать исходное событие $A$ = (Вероятность того, что … хотя бы …).
2. Сформулировать противоположное событие $bar{A}$.
3. Найти вероятность события $P(bar{A})$.
4. Найти искомую вероятность по формуле $P(A)=1-P(bar{A})$.

А теперь разберем ее на примерах. Вперед!

Пример 1. В ящике находится 25 стандартных и 6 бракованных однотипных деталей. Какова вероятность того, что среди трёх наудачу выбранных деталей окажется хотя бы одна бракованная?

Действуем прямо по пунктам.
1. Записываем событие, вероятность которого надо найти прямо из условия задачи:
$A$ =(Из 3 выбранных деталей хотя бы одна бракованная).

2. Тогда противоположное событие формулируется так $bar{A}$ = (Из 3 выбранных деталей ни одной бракованной) = (Все 3 выбранные детали будут стандартные).

3. Теперь нужно понять, как найти вероятность события $bar{A}$, для чего еще раз посмотрим на задачу: говорится об объектах двух видов (детали бракованные и нет), из которых вынимается некоторое число объектов и изучаются (бракованные или нет). Это задача решается с помощью классического определения вероятности (точнее, по формуле гипергеометрической вероятности, подробнее о ней читайте в статье).

Для первого примера запишем решение подробно, далее будем уже сокращать (а полные инструкции и калькуляторы вы найдете по ссылке выше).

Сначала найдем общее число исходов – это число способов выбрать любые 3 детали из партии в 25+6=31 деталей в ящике. Так как порядок выбора несущественнен, применяем формулу для числа сочетаний из 31 объектов по 3: $n=C_{31}^3$.

Теперь переходим к числу благоприятствующих событию исходов. Для этого нужно, чтобы все 3 выбранные детали были стандартные, их можно выбрать $m = C_{25}^3$ способами (так как стандартных деталей в ящике ровно 25).

Вероятность равна:

$$
P(bar{A})=frac{m}{n}=frac{C_{25}^3 }{C_{31}^3} = frac{23 cdot 24cdot 25}{29cdot 30cdot 31} =frac{2300}{4495}= 0.512.
$$

4. Тогда искомая вероятность:

$$
P(A)=1-P(bar{A})=1- 0.512 = 0.488.
$$

Ответ: 0.488.

Пример 2. Из колоды в 36 карт берут наудачу 6 карт. Найти вероятность того, что среди взятых карт будут: хотя бы две пики.

1. Записываем событие $A$ =(Из 6 выбранных карт будут хотя бы две пики).

2. Тогда противоположное событие формулируется так $bar{A}$ = (Из 6 выбранных карт будет менее 2 пик) = (Из 6 выбранных карт будет ровно 0 или 1 пиковые карты, остальные другой масти).

Замечание. Тут я остановлюсь и сделаю небольшое замечание. Хотя в 90% случаях методика “перейти к противоположному событию” работает на отлично, существуют случаи, когда проще найти вероятность исходного события. В данном случае, если искать напрямую вероятность события $A$ потребуется сложить 5 вероятностей, а для события $bar{A}$ – всего 2 вероятности. А вот если бы задача была такая “из 6 карт хотя бы 5 – пиковые”, ситуация стала бы обратной и тут проще решать исходную задачу. Если опять попытаться дать инструкцию, скажу так. В задачах, где видите “хотя бы один”, смело переходите к противоположному событию. Если же речь о “хотя бы 2, хотя бы 4 и т.п.”, тут надо прикинуть, что легче считать.

3. Возвращаемся к нашей задаче и находим вероятность события $bar{A}$ с помощью классического определения вероятности.

Общее число исходов (способов выбрать любые 6 карт из 36) равно $n=C_{36}^6$ (калькулятор сочетаний тут).

Найдем число благоприятствующих событию исходов. $m_0 = C_{27}^6$ – число способов выбрать все 6 карт непиковой масти (их в колоде 36-9=27), $m_1 = C_{9}^1cdot C_{27}^5$ – число способов выбрать 1 карту пиковой масти (из 9) и еще 5 других мастей (из 27).

Тогда:

$$
P(bar{A})=frac{m_0+m_1}{n}=frac{C_{27}^6+C_{9}^1cdot C_{27}^5 }{C_{36}^6} =frac{85215}{162316}= 0.525.
$$

4. Тогда искомая вероятность:

$$
P(A)=1-P(bar{A})=1- 0.525 = 0.475.
$$

Ответ: 0.475.

Пример 3. В урне 2 белых, 3 черных и 5 красных шаров. Три шара вынимают наугад. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров хотя бы два будут разного цвета.

1. Записываем событие $A$ =(Среди вынутых 3 шаров хотя бы два разного цвета). То есть, например, “2 красных шара и 1 белый”, или “1 белый, 1 черный, 1 красный”, или “2 черных, 1 красный” и так далее, вариантов многовато. Попробуем правило перехода к противоположному событию.

2. Тогда противоположное событие формулируется так $bar{A}$ = (Все три шара одного цвета) = (Выбраны 3 черных шара или 3 красных шара) – всего 2 варианта получилось, значит, этот способ решения упрощает вычисления. Кстати, все шары белого цвета не могут быть выбраны, так как их всего 2, а вынимается 3 шара.

3. Общее число исходов (способов выбрать любые 3 шара из 2+3+5=10 шаров) равно $n=C_{10}^3=120$.

Найдем число благоприятствующих событию исходов. $m = C_{3}^3+C_{5}^3=1+10=11$ – число способов выбрать или 3 черных шара (из 3), или 3 красных шара (из 5).

Тогда:

$$
P(bar{A})=frac{m}{n}=frac{11}{120}.
$$

4. Искомая вероятность:

$$
P(A)=1-P(bar{A})=1- frac{11}{120}=frac{109}{120} = 0.908.
$$

Ответ: 0.908.

Частный случай. Независимые события

Идем дальше, и приходим к классу задач, где рассматривается несколько независимых событий (стрелки попадают, лампочки перегорают, машины заводятся, рабочие болеют с разной вероятностью каждый и т.п.) и нужно “найти вероятность наступления хотя бы одного события”. В вариациях это может звучать так “найти вероятность, что хотя бы один стрелок из трех попадет в цель”, “найти вероятность того, что хотя бы один автобус из двух вовремя приедет на вокзал”, “найти вероятность, что хотя бы один элемент в устройстве из четырех элементов откажет за год” и т.д.

Если в примерах выше речь шла о применении формулы классической вероятности, здесь мы приходим к алгебре событий, используем формулы сложения и умножения вероятностей (небольшая теория тут).

Итак, рассматриваются несколько независимых событий $A_1, A_2,…,A_n$, вероятности наступления каждого известны и равны $P(A_i)=p_i$ ($q_i=1-p_i$). Тогда вероятность того, что в результате эксперимента произойдет хотя бы одно из событий, вычисляется по формуле

$$
P=1-q_1cdot q_2 cdot …cdot q_n. quad(1)
$$

Строго говоря, эта формула тоже получается применением основной методики “перейти к противоположному событию”. Ведь действительно, пусть $A$=(Наступит хотя бы одно событие из $A_1, A_2,…,A_n$), тогда $bar{A}$ = (Ни одно из событий не произойдет), что значит:

$$
P(bar{A})=P(bar{A_1} cdot bar{A_2} cdot … bar{A_n})=P(bar{A_1}) cdot P(bar{A_2}) cdot … P(bar{A_n})=\
=(1-P(A_1)) cdot (1-P(A_2)) cdot … (1-P(A_n))=\
=(1-p_1) cdot (1-p_2) cdot … (1-p_n)=q_1cdot q_2 cdot …cdot q_n,\
$$
откуда и получаем нашу формулу
$$
P(A)=1-P(bar{A})=1-q_1cdot q_2 cdot …cdot q_n.
$$

Пример 4. Узел содержит две независимо работающие детали. Вероятности отказа деталей соответственно равны 0,05 и 0,08. Найти вероятность отказа узла, если для этого достаточно, чтобы отказала хотя бы одна деталь.

Событие $A$ =(Узел отказал) = (Хотя бы одна из двух деталей отказала). Введем независимые события: $A_1$ = (Первая деталь отказала) и $A_2$ = (Вторая деталь отказала). По условию $p_1=P(A_1)=0,05$, $p_2=P(A_2)=0,08$, тогда $q_1=1-p_1=0,95$, $q_2=1-p_2=0,92$. Применим формулу (1) и получим:

$$
P(A)=1-q_1cdot q_2 = 1-0,95cdot 0,92=0,126.
$$

Ответ: 0,126.

Пример 5. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом справочнике, равна 0,8, во втором – 0,7, в третьем – 0,6. Найти вероятность того, что формула содержится хотя бы в одном справочнике.

Действуем аналогично. Рассмотрим основное событие
$A$ =(Формула содержится хотя бы в одном справочнике). Введем независимые события:
$A_1$ = (Формула есть в первом справочнике),
$A_2$ = (Формула есть во втором справочнике),
$A_3$ = (Формула есть в третьем справочнике).

По условию $p_1=P(A_1)=0,8$, $p_2=P(A_2)=0,7$, $p_3=P(A_3)=0,6$, тогда $q_1=1-p_1=0,2$, $q_2=1-p_2=0,3$, $q_3=1-p_3=0,4$. Применим формулу (1) и получим:

$$
P(A)=1-q_1cdot q_2cdot q_3 = 1-0,2cdot 0,3cdot 0,4=0,976.
$$

Ответ: 0,976.

Пример 6. Рабочий обслуживает 4 станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение смены первый станок потребует внимания рабочего, равна 0,3, второй – 0,6, третий – 0,4 и четвёртый – 0,25. Найти вероятность того, что в течение смены хотя бы один станок не потребует внимания мастера.

Думаю, вы уже уловили принцип решения, вопрос только в количестве событий, но и оно не оказывает влияния на сложность решения (в отличие от общих задач на сложение и умножение вероятностей). Только будьте внимательны, вероятности указаны для “потребует внимания”, а вот вопрос задачи “хотя бы один станок НЕ потребует внимания”. Вводить события нужно такие же, как и основное (в данном случае, с НЕ), чтобы пользоваться общей формулой (1).

Получаем:
$A$ = (В течение смены хотя бы один станок НЕ потребует внимания мастера),
$A_i$ = ($i$-ый станок НЕ потребует внимания мастера), $i=1,2,3,4$,
$p_1 = 0,7$, $p_2 = 0,4$, $p_3 = 0,6$, $p_4 = 0,75$.

Искомая вероятность:

$$
P(A)=1-q_1cdot q_2cdot q_3 cdot q_4= 1-(1-0,7)cdot (1-0,4)cdot (1-0,6)cdot (1-0,75)=0,982.
$$

Ответ: 0,982. Почти наверняка мастер будет отдыхать всю смену;)

Частный случай. Повторные испытания

Думаете, дальше будет сложнее? Напротив, случаи все более частные, решения и формулы все более простые.

Итак, у нас есть $n$ независимых событий (или повторений некоторого опыта), причем вероятности наступления этих событий (или наступления события в каждом из опытов) теперь одинаковы и равны $p$. Тогда формула (1) упрощается к виду
:

$$
P=1-q_1cdot q_2 cdot …cdot q_n = 1-q^n.
$$

Фактически мы сужаемся к классу задач, который носит название “повторные независимые испытания” или “схема Бернулли”, когда проводится $n$ опытов, вероятность наступления события в каждом из которых равна $p$. Нужно найти вероятность, что событие появится хотя бы раз из $n$ повторений:

$$
P=1-q^n. quad(2)
$$

Подробнее о схеме Бернулли можно прочитать в онлайн-учебнике, а также посмотреть статьи-калькуляторы о решении различных подтипов задач (о выстрелах, лотерейных билетах и т.п.). Ниже же будут разобраны задачи только с “хотя бы один”.

Пример 7. Пусть вероятность того, что телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,9. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из 3 телевизоров хотя бы один не потребует ремонта.

Решения короче вы еще не видели.
Просто выписываем из условия: $n=3$, $p=0,9$, $q=1-p=0,1$.
Тогда вероятность того, что в течение гарантийного срока из 3 телевизоров хотя бы один не потребует ремонта, по формуле (2):

$$
P=1-0,1^3=1-0,001=0,999
$$

Ответ: 0,999.

Пример 8. Производится 5 независимых выстрелов по некоторой цели. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что будет хотя бы одно попадание.

Опять, начинаем с формализации задачи, выписывая известные величины. $n=5$ выстрелов, $p=0,8$ – вероятность попадания при одном выстреле, $q=1-p=0,2$.
И тогда вероятность того, что будет хотя бы одно попадание из пяти выстрелов равна:
$$
P=1-0,2^5=1-0,00032=0,99968
$$

Ответ: 0,99968.

Думаю, с применением формулы (2) все более чем ясно (не забудьте почитать и о других задачах, решаемых в рамках схемы Бернулли, ссылки были выше). А ниже я приведу чуть более сложную задачу. Такие задачи встречаются пореже, но и их способ решения надо усвоить. Поехали!

Пример 9. Производится n независимых опытов, в каждом из которых некоторое событие A появляется с вероятностью 0,7. Сколько нужно сделать опытов для того, чтобы с вероятностью 0,95 гарантировать хотя бы одно появление события A?

Имеем схему Бернулли, $n$ – количество опытов, $p=0,7$ – вероятность появления события А.

Тогда вероятность того, что произойдет хотя бы одно событие А в $n$ опытах, равна по формуле (2):
$$
P=1-q^n=1-(1-0,7)^n=1-0,3^n
$$
По условию эта вероятность должна быть не меньше 0,95, поэтому:

$$
1-0,3^n ge 0,95,\
0,3^n le 0,05,\
n ge log_{0,3} 0,05 = 2,49.
$$

Округляя, получаем что нужно провести не менее 3 опытов.

Ответ: минимально нужно сделать 3 опыта.

Полезные ссылки

• Калькуляторы на схему Бернулли
• Основные формулы комбинаторики
• Примеры решений задач по теории вероятностей
• Заказать свои задачи на вероятность

В решебнике вы найдете более 1000 задач со словами “хотя бы …”:

Содержание:

Случайные события:

В естественных науках познание действительности происходит в результате испытаний (экспериментов) или наблюдений, т. е. опыта в широком понимании слова. Под испытанием (наблюдением), в общем смысле, подразумевается наличие определенного комплекса условий. Возможный результат — исход испытания или наблюдения — называется событием, независимо от его значимости.

При построении теории события идеализируются, т. е. игнорируются ситуации, несущественные для данного явления.

Пример:

При бросании монеты может выпасть герб или решетка (обратная сторона). Таким образом, при однократном испытании возможны два события: А — выпадение герба, Б — выпадение решетки.

Однако возможно еще одно событие С — когда монета станет на ребро. Но при организации игры в «орлянку» это обстоятельство несущественно (монета перебрасывается!) и в нашем идеализированном опыте это событие не учитывается.

Определение 1. Результат испытания, который нельзя заранее прогнозировать у называется случайным с опыте.

Иными словами, событие является случайным в данном опыте, если заранее нельзя предсказать, произойдет оно или не произойдет в этом опыте.

Например, случайным событием является выпадение герба при бросании монеты. Конечно, предполагается, что испытание организовано так, что исход его заранее не известен.

Во многих случаях случайное событие есть результат неполной информации о данном явлении, Например, в опыте с бросанием монеты, если нам были бы известны сила толчка, форма монеты, закон сопротивления воздуха и другие факторы, определяющие закон движения монеты, мы смогли бы точно предсказать исход испытания.

Определение 2. Событие называется достоверным в данном испытании (т. е. при осуществлении определенной совокупности условий), если оно неизбежно происходит при этом испытании.

Например, получение студентом положительной или отрицательной оценки на экзамене есть событие достоверное, если экзамен протекает согласно обычным правилам.

Определение 3. Событие называется невозможным в данном испытании, если оно заведомо не происходит в этом испытании.

Например, если в урне находятся лишь цветные (небелые) шары, то извлечение из этой урны белого шара есть событие невозможное. Отметим, что при других условиях опыта появление белого шара не исключается; таким образом, это событие невозможно лишь в условиях нашего опыта.

Теория вероятностей есть наука, изучающая закономерности случайных событий.

В связи с развитием новой техники особый интерес представляют статистические закономерности массовых однородных случайных событий (контроль качества продукции, обслуживание серийного производства, работа телефонной станции и т. п.). Здесь в различных вариантах установлена основная теорема теории вероятностей — закон больших чисел.

Примем как аксиому, что для каждого события А можно определить, по крайней мере теоретически, вероятность этого события — число Р(А), представляющее, в некотором смысле, меру достоверности данного события и подчиненное естественным требованиям. Предполагается, что вероятность любого события удовлетворяет неравенству

причем вероятность невозможного события равна нулю, а вероятность достоверного события равна единице.

На практике считают, что если вероятность события мала, то это событие практически невозможно; наоборот, если вероятность события близка к единице, то это событие почти достоверно; и сообразно этому принимают обоснованные решения.

В создании теории вероятностей участвовали многие крупные математики (Паскаль, Ферма, Лаплас, Гаусс, Пуассон и др.). В более поздний период решающие успехи в этой науке принадлежат отечественным математикам (Чебышев, Марков, Ляпунов, Бернштейн, Колмогоров, Хинчин и др.).

Теория вероятностей широко используется в теоретических и прикладных науках (в физике, геодезии, в теории стрельбы, в теории автоматического управления и многих других). В частности, она служит теоретической базой математической и прикладной статистики, на основе которых происходит планирование и организация производства.

Случайные события

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.

Определение 1. Случайное явление – это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному.

Примеры случайных явлений.

1) Вес тела, узнаваемый с помощью весов (одно и то же тело взвешивают на одних и тех же весах несколько раз). Результаты различны вследствие влияния второстепенных факторов: положение тела на чаше весов, вибрации аппаратуры, ошибки отсчета показаний прибора…

2) Попадание в цель бомбы, сброшенной с самолета (сброс несколько раз с одного положения в одну и ту же цель). Результаты различны вследствие влияния второстепенных факторов: сила ветра, человеческий фактор…

Из примеров видно, что случайные явления неопределенны и многопричинны. Основные условия опыта – неизменны, а второстепенные изменяются от опыта к опыту и вносят случайные различия в результаты.

В классической схеме исследования (математике, физике, механике, технике) этими случайными элементами пренебрегают, рассматривая вместо реального события его упрощенную «модель». Но существуют задачи, в которых второстепенные факторы играют заметную роль (например, точечное попадание в цель). Для решения таких задач существуют вероятностные или статистические методы исследования, базой которых служит устойчивость массовых случайных явлений. Действительно, если наблюдать в совокупности массы однородных случайных явлений (чем больше – тем лучше), то обнаруживается закономерность, устойчивость, свойственная именно массовым случайным явлениям.

Эти методы являются дополнением к классическим.

Определение 2. Любой наблюдаемый результат опыта, то есть всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти, называется случайным событием или случайным исходом.

Обозначение: А = {…}.

Примеры случайных событий. 1) Опыт состоит в бросании монеты. Событие А = {появление орла}. 2) Событие В = {обрыв нити в течение часа работы швейной машины}. 3) Событие С = {попадание в цель при выстреле}.

Определение 3. Предметом теории вероятностей являются модели неоднократно повторяемых при неизменном комплексе условий экспериментов со случайными исходами.

Случайные события или исходы. Множество элементарных событий.

Основные понятия

Случайное событие может быть разложено на более простые, например, выпадение орла при бросании монеты, попадание в определенную точку при стрельбе, выпадение определенной грани при бросании кубика.

Определение 4. Неразложимые события или взаимно исключающие друг друга исходы называются элементарными событиями или элементарными исходами и обозначаются

События отождествляются с множествами.

Определение 5. Совокупность всех элементарных событий называется пространством элементарных событий или множеством элементарных событий и обозначается .

.

У опыта может быть  исходов: , или  и т.д., или . Результатом опыта является один и только один исход.

Событие А – множество всех элементарных событий из множества , в результате которых и может наступить событие А. Например, А = . Событие А наступает тогда и только тогда, когда наступает один из исходов.

Любое подмножество множества  – событие, даже и ненаблюдаемое.

Множество . может быть 1) дискретным (конечное или счетное множество), 2) непрерывным (множества типа континуума: любой конечный или бесконечный интервал на числовой прямой), 3) иметь более сложную структуру.

Примеры на построение множества .

Задание. Построить множество элементарных событий  опыта и заданное множество А.

Пример 1.

Опыт состоит в однократном подбрасывании монеты. Событие А = {выпадение орла}.

Решение. Элементарные исходы:  ={выпадение орла},  ={выпадение решки}. Множество элементарных событий опыта  = . Событие А = .

Пример 2.

Опыт состоит в троекратном подбрасывании монеты. Событие А = {не более одного раза выпала решка}.

Решение. Обозначим О – выпадение орла, Р – выпадение решки. Элементарные исходы опыта: . Множество элементарных событий опыта  = . Событие А = .

Пример 3.

Опыт состоит в стрельбе по плоской мишени. Событие А = {попадание в определенную точку}.

Решение. Введем в плоскости мишени прямоугольную декартовую систему координат. Каждому исходу – попаданию в определенную точку – поставим в соответствие координаты  точки. Тогда множество элементарных событий опыта  = , событие А = .

Пример 4.

Опыт состоит в оценивании студентов на экзамене. Событие А = {студент сдал экзамен}.

Решение. Множество элементарных событий  = {2, 3, 4, 5}. Событие А = {3, 4, 5}.

Пример 5.

Опыт состоит в работе телефонной станции. Событие А = {поступило 3 звонка}.

Решение. Множество все элементарных событий  = , А = {3}.

Пример 6.

Проводится три броска симметричной монеты. Какова вероятность того, что герб появится два раза?

Задачу начинаем решать с определения события  Здесь событие  состоит в том, что при трех бросках герб появится два раза. Определяем пространство элементарных событий  этого эксперимента. В разделе 1.2 в пункте мы рассмотрели этот вопрос и получили (обозначили выпадение герба – 1, цифры – 0)

Здесь общее число исходов  Выпишем благоприятствующие исходы, из которых состоит событие  тогда 

Пример 7.

Какова вероятность того, что наудачу взятый телефонный номер из семи цифр имеет: I) все цифры различные; 2) только нечетные цифры.

1)    определим вначале событие  Событие  состоит в том, что в семизначном номере все цифры различны. Так как номер семизначный, а цифр всего 10, то общее число исходов  (всего может быть  номеров) равно  Для подсчета благоприятствующих исходов подходит формула для размещений

 Тогда 

2) определим событие  Событие  состоит в том, что в семизначном номере все цифры нечетные. Имеем 5 нечетных цифр. Из них можно получить лишь  различных семизначных номеров, т. е.  Общее число исходов 

Частота и вероятность случайного события

Любая точная наука изучает не сами явления, происходящие в природе, а их математические модели. В математических задачах часто рассматривают события, которые, в зависимости от определенных условий, могут или произойти, или не произойти. Такие события называют случайными.

Теория вероятностей – раздел математики, в котором изучаются закономерности случайных событий.

Предположим, проводят определенное испытание (эксперимент, наблюдение, опыт и т. п.), исход которого нельзя предсказать заранее. Такие испытания в теории вероятностей называют случайными. При этом целесообразно проводить только такие испытания, которые можно повторить, хотя бы теоретически, произвольное количество раз в одинаковых условиях.

Случайными испытаниями являются, например, подбрасывание монеты или игрального кубика, покупка лотерейного билета, стрельба по мишени и т. п.

Таким образом,

случайное испытание — это испытание (эксперимент, наблюдение, опыт), исход которого зависит от случая и которое можно повторить многократно при одних и тех же условиях.

Исходом случайного испытания является случайное событие.

Случайное событие — это событие, которое при одних и тех же условиях может произойти, а может и не произойти.

Примерами случайных событий могут быть «выпадение единицы при подбрасывании игрального кубика», «выпадение аверса при подбрасывании монеты», «выигрыш 10 руб. при покупке лотерейного билета» и т. п. Такие события, как «закипание воды при ее нагревании до или «уменьшение длины провода при его охлаждении», нельзя назвать случайными, потому что они – закономерные.

Случайные события, как правило, обозначают большими латинскими буквами: .

Пример №1

В ящике лежат только белые и черные шары. Из него наугад вынимают один шар. Какие из событий , , , при этом могут произойти:

– вынут белый шар;

– вынут черный шар;

– вынут зеленый шар;

– вынут шар?

Решение:

Так как из ящика может быть вынуто только то, что в нем находится, то вынуть белый или черный шар можно, а зеленый – нет. Можем также утверждать, что любой предмет, вынутый наугад из ящика, будет шаром, поскольку там нет ничего, кроме шаров. Следовательно, события и могут произойти (а могут и не произойти); событие не может произойти, а событие обязательно произойдет.

Ответ. , , .

Событие, которое в данных условиях обязательно произойдет, называют достоверным.

Событие, которое в данных условиях никогда не произойдет, называют невозможным.

В примере 1 события и – случайные, – достоверное событие, – невозможное событие.

Пример №2

Допустим, проводят случайное испытание, например, стрелок стреляет по мишени. Нас интересует, как математически оценить шансы стрелка попасть по мишени в одних и тех же неизменных условиях.

Чтобы это выяснить, рассмотрим понятия частоты события и относительной частоты события.

Если в неизменных условиях проведено случайных испытаний и событие произошло в случаях, то число называют частотой события , а отношение – относительной частотой события .

Пример №3

Испытание состоит в подбрасывании игрального кубика 150 раз подряд. Пусть событием будет выпадение шестерки. При проведении испытания это событие произошло 24 раза. Число 24 – частота события , а отношение – относительная частота события .

Относительная частота события может измениться, если изменить количество испытаний или провести другую серию испытаний в тех же условиях.

Пример №4

В разные годы разные ученые проводили испытание, состоявшее в многократном подбрасывании монеты, и рассматривали событие – выпадение аверса. Результаты всех этих испытаний представлены в таблице в порядке возрастания количества испытаний.

Понятно, что разные ученые использовали разные монеты, но само испытание и рассматриваемое ими событие можно считать одинаковыми. Эти испытания, проведенные в разные эпохи и в разных странах, дают приблизительно один и тот же результат: относительная частота события А близка к числу 0,5. В данном случае число 0,5 называют статистической вероятностью события.

Если при проведении достаточно большого количества случайных испытаний значение относительной частоты случайного события становится близким к некоторому определенному числу, то это число называют статистической вероятностью события .

Вероятность принято обозначать латинской буквой (первая буква французского слова probability и латинского probabilitas, что в переводе означает «возможность», «вероятность»). Тогда в примере 4: , или же .

Приходим к выводу, что вероятность случайного событии можно найти с достаточно большой точностью, если случайное испытание проводить много раз. Чем больше проведено испытаний, тем более близким будет значение относительной частоты случайного события к вероятности этого события.

Вернемся к вопросу, сформулированному в Примере 2, то есть к математической оценке шансов стрелка попасть по мишени. Теперь ясно, что такую математическую оценку дает вероятность. Чтобы оценить вероятность попадания стрелка по мишени (событие ), нужно, чтобы стрелок совершил достаточно большое количество выстрелов (в одних и тех же условиях). Тогда относительную частоту события можно будет считать вероятностью попадания стрелка по мишени. Пусть, например, в течение некоторого времени сделано 1000 выстрелов, из которых 781 оказался метким. Тогда относительную частоту можно считать вероятностью попадания этого стрелка но данной мишени.

Если известна вероятность события , то можно приблизительно оценить, сколько раз в определенном количестве испытаний произойдет событие .

Пример №5

Вероятность попадания стрелка но мишени равна 0,781. Сколько метких выстрелов приблизительно будет у этого стрелка в серии из 50 выстрелов?

Решение:

Пусть в серии из 50 выстрелов было попаданий. Тогда – относительная частота метких выстрелов. Если считать, что относительная частота попаданий приблизительно равна вероятности, то , то есть .

Ответ. 39 метких выстрелов.

Напомню:

Теорию вероятностей нередко называют «наукой о случайном». На многих примерах можно убедиться в том, что массовые случайные явления тоже имеют свои закономерности, знание которых можно успешно использовать в практической деятельности человека.

Еще в древности люди заметили, что несколько охотников, бросив копья одновременно, могут поразить зверя с большей вероятностью, чем один охотник. Этот вывод не был научным, а основывался на наблюдениях и опыте.

Как наука теория вероятностей зародилась в XVII в. На ее развитие повлияли насущные потребности науки и практики того времени, в частности в деле страхования, которое распространялось благодаря бурному развитию торговых связей и путешествий. Удобной моделью для решения задач и анализа понятий теории вероятностей были для ученых азартные игры. Об этом заметил еще Гюйгенс в своей книге «О расчетах в азартной игре» (1657 г.), которая стала первой в мире книгой по теории вероятностей. Дальнейшему развитию теории вероятностей (XVII—XVIII вв.) способствовали работы Б. Паскаля, Д. Бернулли, Ж.Л. Д’Аламбера, Д. Крега, Т. Симпсона, П. Ферма, Т. Байеса и др.

Важный вклад в теорию вероятностей сделал швейцарский математик Я. Бернулли (1654-1705): он доказал закон больших чисел в самом простом случае независимых испытаний в книге «Аналитическая теория вероятностей».

В 1718 г. английский математик А. Муавр (1667-1754) опубликовал книгу «Теория случая», в которой исследовал закономерности, присущие случайным явлениям.

Впервые основы теории вероятностей изложил французский математик П. Лаплас (1749-1827).

В дальнейшем теория вероятностей развивалась благодаря работам француза С. Пуассона (1781-1840) и россиян П.Л. Чебышева (1821-1894), А.А. Маркова (1856-1922) и A.M. Ляпунова (1857-1918).

Свой вклад в развитие теории вероятностей сделали и украинские математики: Б.В. Гнеденко (1912-1996), И.И. Гихман (1918-1985), А.В. Скороход (1930-2011), М.И. Ядренко (1932-2004).

Алгебраические операции над событиями

Так как события отождествляются с множествами, то над событиями можно совершать все операции, выполняемые над множествами.

Множество А является подмножеством множества В:                                       Событие А влечет за собой событие В, то есть В происходит всякий раз, как происходит А.                                                                                                                    Обозначение:

Множества А и В эквивалентны: А = В
Событие А тождественно или равносильно событию В. Это возможно тогда и только тогда, когда (оба наступают или нет).                          Обозначение: А = В

Объединение множеств:                                                                                               Сумма событий, то есть событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них.                                                                                                                                      Обозначение: А + В (знак«+» – логическое «или»)

Пересечение множеств:                                                                                     Произведение событий, то есть событие, состоящее в совместном наступлении обоих событий А и В.                                                                                                    Обозначение: А • В ( знак «•» – логическое «и»)

Разность множеств: А В
Разность событий, то есть событие, состоящее в том, что А произошло, а В нет. Обозначение: А – В.

Дополнение множества А до множества :                                       Противоположное событие, то есть событие А не происходит.                Обозначение:  , где .

Примеры:

1. Диаграмма Венна.

Внутри квадрата, в котором две пересекающихся окружности разных радиусов, выбирается наудачу точка.

Событие А = {точка лежит внутри левой окружности}, В = {точка лежит внутри правой окружности}.

Изобразить с помощью диаграмм Венна основные алгебраические операции над событиями.

Решение.

2. Опыт состоит в двукратной стрельбе по мишени. События: А = {попадание при первом выстреле}, В = {попадание при втором выстреле}. Записать в алгебре событий следующие события:

1) С= {попадание при обоих выстрелах}. Решение: С = А•В,

2)  = {попадание в цель вообще, безразлично при каком выстреле или обоих вместе}. Решение: = А + В.

3)  = {промах при первом выстреле}. Решение: = .

4)  = {промах при втором выстреле}. Решение: = .

5) Е = {в результате двух выстрелов будет ровно одно попадание}. Решение: .

6) Н = {все промахи}. Решение: Н = .

3. Опыт состоит в вынимании карт из колоды. События: А = {появление карты червонной масти}, В = {появление карты бубновой масти}. Записать в алгебре событий событие С = {появление карты красной масти}.

Решение. С = А + В.

Свойства операций

1. – свойства коммутативности,

3. – свойства ассоциативности,

5. – свойство дистрибутивности.

Определение 6 (первое определение поля). Совокупность всех наблюдаемых событий составляет поле событий данного опыта.

Определение 7. Событие А, которое неизбежно происходит при каждой реализации комплекса условий, называется достоверным. А = . (А совпадает с множеством всех элементарных событий).

Определение 8. Если событие А заведомо не может произойти при осуществлении комплекса условий, то оно называется невозможным. А =  (А совпадает с пустым множеством).

Примеры: 1) {При бросании двух игральных костей сумма очков будет не меньше двух} -достоверное событие, 2) {При бросании двух игральных костей сумма очков будет равна 13} -невозможное событие.

Определение 9. Полной группой событий называется несколько событий в данном опыте, в результате которого должно появиться хотя бы одно их них.

Примеры группы: 1) выпадение орла и выпадение решки при бросании монеты, 2) попадание и промах при стрельбе.

Определение 10. События называются несовместными в данном опыте, если никакие два из них не могут появиться вместе (одновременно) и совместными, если возможно их совместное осуществление.

Замечание. Если два события совместны, то это не значит, что они происходят в одном и том же месте и в одно и то же время, а означает, что при одних и тех же условиях задачи возможно осуществление того и другого.

Примеры: 1) попадание и промах при стрельбе – несовместные события, 2) появление на данном участке неба А – самолета, В – птицы -совместные события.

Определение 11. Противоположными называются два несовместных события, образующих полную группу.

Примеры: 1) А = {попадание} и  = {промах}, 2) В ={орел} и  ={решка}.

Определение 12. Сложное событие, состоящее в том, что происходит событие А и событие 5, называется совмещением событий А и В. Обозначение: А • В.

Пример: А = {появление «6» на первой кости}, В = {появление «6» на второй кости}, тогда событие А • В = {появление «6» на обеих костях}.

Замечание. Если , то А и В – несовместные события.

Определение 13. События называются равновозможными, если по условиям симметрии опыта(то есть комплекс условий для опыта – неизменен) нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем любое другое.

Пример: выпадение орла и решки при бросании монеты.

Определение 14. Если несколько событий образуют полную группу, несовместные и равновозможные, то они называются случаями или шансами.

Определение 15. Случай называется благоприятным событию, если появление этого случая влечет за собой появление события.

Определение 16 (второе определение поля событий). Пусть F – система событий, удовлетворяющая допущениям: а) если F принадлежат события А и В, то ей принадлежат также и А • В, А + В, А -В, b) система F содержит достоверное и невозможное события, тогда такая система F называется полем событий.

Различные подходы к определению вероятности

Каждое из событий обладает какой-то степенью возможности: одни – большей, другие – меньшей, третьи – невозможны вообще. Чтобы количественно сравнить событие по степени их возможности, с каждым событием свяжем определенное число, которое тем больше, чем более возможно событие. Это число и называется вероятностью.

Определение 17. Вероятность события – есть численная мера степени объективной возможности этого события.

Обозначение – Р(А).

Существует три различных подхода к определению вероятности, и, как следствие, три различных определения: 1) аксиоматическое, 2) классическое, 3) статистическое.

Аксиоматическое определение вероятности

Данное определение дано на основе аксиом вероятности. Аксиоматическая теория вероятности создана русским ученым А.Н.Колмогоровым в 1933 году.

Пусть F – система событий для данного эксперимента. Каждому событию поставим в соответствие некоторое неотрицательное число Р{А) – специальную числовую функцию для количественного описания степени объективной возможности наступления того или иного наблюдаемого в эксперименте события.

Определение 18. Вероятностью события А называется числовая функция Р(А), определенная для всех  и удовлетворяющая трем аксиомам вероятностей:

1 аксиома: P() = 1 – вероятность достоверного события. (Принята в качестве единицы измерения; если вероятность достоверного события равна 1, то другие события, возможные, будут характеризоваться вероятностями меньшими 1, а вероятность невозможного события Р()= 0).

2 аксиома: .

Следствие: .

3 аксиома: если события попарно несовместны, то есть при , то .

Следствия из аксиом.

1.  – вероятность противоположного события.

2. Если А влечет за собой 5, то есть , то .

3. Если – произвольные события, то .

А.Н.Колмогоров исходил из того, что события – это множества, и вероятность также является функцией множества.

Аксиомы позволяют вычислить вероятность любых событий с помощью вероятностей элементарных событий, которые определяются либо из соображений, связанных с симметрией опыта или же на основе опытных данных (частоте появления события).

Система аксиом непротиворечива, так как существуют реальные объекты, которые всем аксиомам удовлетворяют. Но система аксиом неполна: даже для одного и того же множества Q вероятности в множестве F можно выбирать различными способами.

Классическое определение вероятности

Это определение сводит понятие вероятности к понятию равновероятности или равновозможности событий.

Пусть исходы опыта равноправны по отношению к условиям опыта, то есть эти исходы или события равновозможны или равновероятны, и соответствующее опыту множество  – множество равновероятных исходов. Такой опыт называется классической схемой или схемой урн.

В этой схеме вероятность события А можно оценить по относительной доле благоприятных случаев.

Пусть множество всех элементарных исходов опыта .

Пусть – событие или исход в эксперименте.

Обозначим – число всех исходов эксперимента (или число событий множества ); – число всех благоприятствующих событию А исходов (или число элементов множества А)

Определение 19. Вероятность события А – доля тех исходов, в результате которых это событие осуществляется:

 – формула классической вероятности.

Пример №6

В урне находится 2 белых и 3 синих шара. Из урны наугад вынимается 1 шар. Найти вероятность того, что этот шар – белый.

Решение.

Пусть событие А = {появился белый шар}. Общее число исходов  = 2 + 3 = 5 (всего шаров); число исходов, благоприятствующих событию A, = 2 (всего 2 белых шара). Тогда .

Замечание. Подсчет числа элементов тех или иных подмножеств множества  часто облегчается благодаря следующей формуле: число элементов прямого произведения множеств равно произведению числа элементов составляющих множеств, то есть .

Пример №7

Мальчик записал двузначное число. Какова вероятность, что оно четное?

Решение.

На первом месте мальчик может записать 9 цифр (0 быть не может), на втором месте – 10 цифр, следовательно, общее число исходов = 9 • 10 = 90.

Найдем число исходов, благоприятствующих событию А = {мальчик записал четное число}. На первом месте может быть записано 9 цифр, а вот на втором месте, чтобы число было четным, могут быть поставлены цифры 0, 2, 4, 6, 8, то есть 5 цифр. Тогда число исходов, благоприятствующих событию А, равно  = 9 • 5 = 45.

Тогда вероятность Р(А) = .

Пример №8

На полке стоят 10 книг, из них 3 словаря, 4 справочника и 3 учебника. Какова вероятность того, что из пяти наудачу взятых книг окажется 2 словаря, 2 справочника и один учебник?
 

Решение. В данном случае общее число книг равно 10. Из них 5 книг можно выбрать n различными способами, где

Найдем число m событий, благоприятствующих выбору 2-х словарей (из 3-х имеющихся), 2-х справочников (из 4-х имеющихся) и одного учебника (из 3-х имеющихся). Получим

Следовательно, искомая вероятность вычисляется по формуле:

Ответ: 

Пример №9

Баскетболист бросает мяч пять раз. Вероятность попадания при каждом броске равна 0,7. Найти вероятность того, что он попадет в корзину:    а) три раза;    б) менее трех раз;    в) более трех раз.
 

Решение. Для решения задачи воспользуемся формулой Бернулли:

где n – число выполненных бросков; m – число попаданий мяча  из этих n бросков; p – вероятность попадания при одном броске.
В данной задаче n=5, p=0,7.

а) m=3. Следовательно,

б)  Следовательно, получаем:

в) m>3   ⇒   = 4  или   m=5. Следовательно, получаем:

Ответ:    а) 0,3087;        б) 0,16308;        в) 0,52822.

Пример №10

В первой урне лежат 5 белых и 10 черных шаров, во второй – 3 белых и 7 черных шаров. Из второй урны в первую переложили какой-то один шар, а затем из первой урны вынули наугад один шар. Определить вероятность того, что вынутый шар – белый.
 

Решение. После того, как из второй урны в первую был переложен шар, в первой урне оказалось 16 шаров:

1) или 6 белых и 10 черных, если добавленный шар был белым (одним из тех 3-х, что лежали во второй урне);

2) или 5 белых и 11 черных, если добавленный шар был черным (одним их тех семи, что лежали во второй урне).
Обозначим события:  − взяли из второй урны белый шар,  − взяли из второй урны черный шар.
 предшествуют событию А. Они являются попарно несовместными и  т.е. образуют полную группу. Вычислим:

Поэтому по формуле полной вероятности находим:

Ответ:

Пример №11

В партии из 10 деталей имеется 8 новых и две бывших в употреблении. Наудачу отобраны две детали.

а) Составить закон распределения случайной величины Х – числа новых деталей среди отобранных.

б) Вычислить числовые характеристики случайной величины Х.

Решение. а) X – дискретная случайная величина. Она имеет следующие возможные значения:    Вероятность этих значений вычислим по формуле:

где  s =10 – общее число деталей в партии; n = 8 – число новых деталей в партии; m = 2 – число отобранных деталей; k – число новых деталей среди отобранных.
Тогда получаем:

Контроль:

Следовательно, искомый закон распределения случайной величины X задается табл. П 1.1:

б) По определению:

Тогда, пользуясь табл. П 1.1, вычисляем:

Ответ: а) табл. П 1.1;  б) 

Пример №12

Случайная величина X задана функцией распределения вероятностей:

Найти: а) плотность распределения вероятностей  (𝑥);

б) числовые характеристики случайной величины X;

в) вероятность попадания величины X в интервал [1; 2,5).
 

Решение. Рассматриваемая случайная величина X  является непрерывной, так как функция F(x) непрерывна на (−∞; +∞),

Её график изображен на рис. П 1.1.

а) Так как функция   связаны равенством

То получаем:

                      (1)

График функции  (𝑥) изображен на рис.  П 1.2.

б) Вычисляем:

Ответ: а) формула (1); б)

2. Элементы математической статистики

Пример №13

Дана выборка объема    n=30: 

 

 

Требуется:

1)  Найти статистический ряд и построить полигон частот;

2) Составить интервальный статистический ряд, взяв 7−10 интервалов, и построить гистограмму частот;

3) Найти оценки математического ожидания 𝑥̅, выборочную дисперсию  исправленную выборочную дисперсию  выборочное среднее квадратическое отклонение  исправленное среднее квадратическое отклонение S;

4) С доверительной вероятностью  = 0,99 найти доверительный интервал

а) для математического ожидания M(X) в случае известной дисперсии, предполагая D(X)=  

б) для математического ожидания M(X) в случае неизвестной дисперсии,

в) для среднего квадратического отклонения

 Решение. 1) По данной выборке находим:
Строим статистический ряд:

Нанесем на плоскости  точки

 где  – порядковый номер варианты  Соединив эти точки последовательно, получим ломаную линию – полигон частот задачи (рис. П 1.3).

1) Найдем «размах» выборки:  = 52 − 36 = 16. Поэтому для составления интервального статистического ряда выберем число интервалов из условия:

где   – длина интервала. Отсюда находим:

Следовательно, выберем     тогда число интервалов будет равно 8.
Интервальный статистический ряд указан в табл. П 1.2.

В системе координат  на оси  отложим точки
Построим прямоугольники с основанием  и высотой ,
где  Построенное ступенчатое тело – гистограмма частот задачи (рис. П 1.4).

2) Для нахождения оценок параметров выборки составим по интервальному статистическому ряду расчетную табл. П 1.3, заменив в ней каждый интервал его средним значением  

Тогда получаем:

3) а)  При построении доверительного интервала для математического ожидания M(X)=m с известной дисперсией D(X)==19,81 воспользуемся формулой:

где  = 44,5 ;  = 4,45 ;   30.  Число     находим с помощью табл.  П 2.2 (приложение 2) из уравнения:

Следовательно, искомый доверительный интервал имеет вид:

б) При построении доверительного интервала для математического ожидания M(X)=m с неизвестной дисперсией воспользуемся формулой:

где  = 44,5 ;   4,45 ;  30.   Число       находим с помощью табл. П 2.3 (приложение 2) при

Следовательно, искомый интервал имеет вид:

т.е. 

в) При построении доверительного интервала среднего квадратического отклонения 𝜎 воспользуемся формулой:

где s = 4,45 – исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение,  = 0,43 – число, которое находим с помощью табл. П 2.4 (приложение 2) при 

Следовательно, искомый доверительный интервал имеет вид:

т.е.  

4) Для проверки гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности, из которой взята данная в примере выборка, составим расчетную таблицу, используя интервальный статистический ряд (табл.  П 1.4).
Для нахождения чисел воспользуемся формулой:

где

причем

Ответ: 1) табл. П 1.2 и рис. П 1.3;

2) табл. П 1.3 и рис. П 1.4;

3)

Комбинаторный метод вычисления вероятностей в классической схеме

Комбинаторика – математический аппарат для вычисления числа различных комбинаций элементов множества (изучалась в теории множеств). Каждая из комбинаторных формул определяет общее число исходов в опыте: выборке наудачу  элементов из  различных элементов исходного множества, при этом выбор может осуществляться: 1) последовательно по одному либо сразу всех элементов с исключением отобранных из исходного множества, 2) поэлементно с обязательным возвращением отобранного элемента на каждом шаге и перемешиванием исходного множества перед следующим выбором. После любой из двух выборок отобранные элементы либо упорядочиваются, либо нет.

Рассмотрим 4 различные схемы выбора.

1) Схема выбора, приводящая к сочетаниям

Пусть опыт состоит в выборке  неразличимых элементов из  наудачу без возвращения и без упорядочивания. Полученные исходы – сочетания из  элементов по . Их общее число находится по комбинаторной формуле:  

Свойства сочетаний:

1)  если .

Замечание.

Формула Стерлинга для вычисления факториала: .

Пример №14

В урне 10 красных и 9 синих шаров. Из урны вынимаются наудачу 2 шара. Найти вероятность, что оба шара будут синими.

Решение.

Событие А = {появление 2 синих шаров}. Всего шаров 10 + 9 = 19.

Общее число исходов .

Синих шаров – 9. Тогда число исходов, благоприятствующих событию А, равно 

Вероятность события А: .

Пример №15

В партии из 10 деталей – 3 бракованных. Определить вероятность того, что в выбранных наудачу 4 изделиях 1) не будет ни одного бракованного, 2) будет ровно одно бракованное.

Решение.

Общее число исходов опыта, выборке наудачу 4 изделий из 10, равно .

В партии 3 бракованных и 7 не бракованных деталей.

1) Событие А = {в выборке не будет ни одного бракованного изделия}, то есть все 4 детали возьмут из 7. Число исходов, благоприятствующих событию А, равно . Тогда вероятность события А равна: 

.

2) Событие В = {в выборке будет ровно одно бракованное изделие}. Ему благоприятствуют только такие исходы, когда 1 элемент выборки принадлежит браку (3 детали), а остальные 3 детали -хорошим не бракованным деталям (их 7 штук). Тогда число исходов, благоприятствующих событию В, равно . Общее число исходов осталось прежним: .

Вероятность события В равна: 

2) Схема выбора, приводящая к размещениям без возвращения

Пусть опыт состоит в выборке различимых элементов из наудачу без возвращения, но с упорядочиванием их по мере выбора в последовательную цепочку. Иначе, размещаем элементов из на мест. На одно место – один элемент. Различными исходами опыта будут комбинации элементов, отличающиеся либо набором элементов, либо порядком их следования.

Полученные исходы – размещения из элементов по . Их общее число находится по комбинаторной формуле: .

Свойства размещений:

1)

Если число размещений совпадает с числом перестановок, то есть = , то полученные исходы опыта – размещения из  элементов множества А по  называют перестановками и их общее число находится по комбинаторной формуле

Пример №16

Из 10 первых букв русского алфавита выбирали без возвращения 4 буквы и записывали их в порядке поступления. Какова вероятность того, что наудачу составленное слово будет оканчиваться буквой «а»?

Решение.

Общее число исходов опыта – число всех 4-ех буквенных слов в данном опыте, а именно: 

.

Событие А = {наудачу составленное слово из 4-х букв оканчивается на букву «а»}. Место буквы «а» – четвертое, оно занято, то есть число элементов множества А равно числу способов разместить на 3 оставшиеся первые места по одной букве из оставшихся 9. Следовательно, число исходов, благоприятствующих событию А, равно

.

Тогда вероятность события А равна .

Пример №17

Из ящика, содержащего 10 перенумерованных изделий, наугад вынимают одно за другим все находящиеся в нем изделия. Найти вероятность того, что номера вынутых изделий будут идти по порядку: 1,2,…, 10.

Решение.

Общее число исходов опыта – вариантов расставить 10 изделий на 10 мест- равно перестановке

Число исходов, благоприятствующих событию В = {номера вынутых изделий будут идти по порядку}, равно .

Тогда вероятность события В равна .

Пример №18

Из колоды из 36 карт вытащили наудачу 3 карты. Какова вероятность того, что они все будут тузы а) без учета порядка, б) с учетом порядка?

Решение.

а) Событие А = {вытащили 3 туза без учета порядка}. Общее число исходов опыта равно . Число исходов, благоприятствующих событию А, равно . Вероятность события .

б) Событие В = {вытащили 3 туза с учетом порядка}. Общее число исходов опыта равно . Число исходов, благоприятствующих событию В, равно . Вероятность события .

3) Схема выбора, приводящая к сочетаниям с повторениями

Пусть опыт состоит в выборке  неразличимых элементов из  наудачу с возвращением, но без последующего упорядочивания. Различными исходами опыта будут всевозможные  – элементные наборы, отличающиеся составом. При этом отдельные наборы могут содержать повторяющиеся элементы. Например, если  = 4, то наборы и для эксперимента неразличимы, а набор  – отличен от предыдущих.

Комбинации, получающиеся в результате опыта, называются сочетаниями с повторениями. Их общее число определяется по комбинаторной формуле .

Пример №19

В библиотеке имеются книги по 16 разделам науки. Поступили 4 заказа на литературу. Считая, что любой состав литературы равновозможен, найти вероятности событий: а) А = {заказаны книги из разных разделов науки}, б) В = {заказаны книги из одного и того же раздела}.

Решение.

Число всех исходов равно числу сочетаний с повторениями из 16 элементов по 4: .

а) Число исходов, благоприятствующих событию А, равно числу способов отобрать без возвращения 4 элемента из 16: . Тогда вероятность события А равна .

б) Число исходов, благоприятствующих событию В равно числу способов отобрать без возвращения 1 элемент из 16: . Тогда вероятность события В равна .

Схема выбора, приводящая к размещениям с повторениями

Пусть опыт состоит в выборке  элементов из  наудачу с возвращением и с упорядочиванием их в последовательную цепочку. Различными исходами будут всевозможные  – элементные наборы с повторениями, отличающиеся либо составом элементов, либо порядком их следования. Например, если  = 4, то наборы и для эксперимента различимы. На одно место может претендовать несколько элементов.

Получаемые комбинации называются размещениями с повторениями. Их общее число определяется по комбинаторной формуле .

Замечание.

а) Эту схему называют размещением по ячейкам:  различных элементов размещаются по  различным ячейкам.

б) Если в ячейку с номером  попадают ровно  элементов, где то число всех размещений равно .

в) Бывают комбинации элементов из различных групп. Пусть имеется  групп элементов. Первая группа содержит  различных элементов, вторая –  элементов, …., последняя -ая –  элементов. Составляются комбинации из  элементов таким образом, что в каждую комбинацию входит лишь по одному элементу из каждой группы. Число всех комбинаций такого типа равно .

Пример №20

Из ящика, содержащего 10 перенумерованных изделий, наугад вынимают одно за другим все находящиеся в нем изделия, записывают его номер, а затем выкладывают обратно и перемешивают с другими. Найти вероятность того, что записанные номера будут идти по порядку.

Решение.

Число всех исходов опыта равно . Число исходов, благоприятствующих событию А = {записанные номера будут идти по порядку} равно . Тогда вероятность события А равна .

Пример №21

10 мячей размещают по 20 корзинам. Найти вероятности следующих событий: а) А ={в определенных 10 корзинах окажется по мячу}, б) В = {в каких-то 10 корзинах окажется по мячу}, в) С = {все 10 мячей поместятся в 3 корзины}.

Решение.

Это схема – размещение по ячейкам. Число всех исходов опыта равно .

а) В определенных 10 корзинах окажется ровно по одному мячу. Это вторая схема – размещения без возвращения, а именно перестановки (число шаров равно числу корзин). Число исходов, благоприятствующих событию А, равно Тогда вероятность события А равна 

б) В каких-то 10 корзинах окажется ровно по одному мячу. Это вторая схема – размещения без возвращения. Число исходов, благоприятствующих событию В, равно . Тогда вероятность события В равна .

с) Все 10 мячей поместятся в 3 корзины. Корзины не указаны, значит, мы должны выбрать три корзины из 20 (это первая схема – сочетания) и положить в них все 10 мячей, следовательно, в одной корзине может оказаться несколько мячей (это четвертая схема – размещения с повторениями). Тогда число исходов, благоприятствующих событию С, равно . Вероятность события С: .

Пример №22

Два раза бросается игральная кость. Найти вероятность того, что оба раза не выпадут «6»-ки?

Решение.

По замечанию в). При однократном бросании кости – 6 исходов. То есть при первом бросании – 6 исходов и при втором бросании – 6 исходов (могут оба раза выпасть одинаковые цифры). Следовательно, число всех исходов опыта равно . Шестерки не выпали, значит осталось 5 вариантов на первое и второе бросание. Число исходов, благоприятствующих событию А, равно . Тогда вероятность события А равна .

Геометрические вероятности в классической схеме

Классическая теория вероятностей основана на рассмотрении конечной группы равновероятных событий. Теория недостаточна, когда получается бесконечное множество исходов. Поэтому классическое определение несколько видоизменили для опытов с бесконечным множеством исходов, хотя при этом по-прежнему основную роль играет понятие «равновероятности» некоторых событий.

Формулировка общей задачи геометрической вероятности:

Пусть в пространстве (одномерном, двумерном, трехмерном) имеется некоторая область D ив ней содержится другая область d с квадриремой границей. В область D наудачу бросается точка. Брошенная точка может попасть в любую точку области D. Вероятность попасть при бросании в какую-либо часть области D пропорциональна мере (mes) этой части (длине, площади, объему в зависимости от рассматриваемого пространства) и не зависит от ее расположения и формы. Вероятность попадания в область d при бросании наудачу точки в область D находится по формуле:

 – формула геометрической вероятности.

Частные случаи.

1) Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. Вероятность попадания на отрезок l при бросании наудачу точки на отрезок L находится по формуле .

2) Пусть плоская фигура s составляет часть плоской фигуры S. Вероятность попадания на фигуру s при бросании наудачу точки в область S находится по формуле .

3) Пусть объемная фигура v составляет часть объемной фигуры V. Вероятность попадания в фигуру v при бросании наудачу точки в область V находится по формуле .

Пример №23 (задача о встрече)

Два лица А и В условились встретиться в определенном месте между 12 часами и часом. Пришедший первым ждет другого в течение 20 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи лиц А и В, если приход каждого из них в течение указанного часа может произойти наудачу, и моменты прихода независимы.

Решение.

Обозначим моменты прихода лица А через х, а лица В через у, причем .

Для того, чтобы встреча произошла, необходимо и достаточно, чтобы х и у удовлетворяли неравенству или, что то же самое, (это неравенство означает: пришедший первым ждет другого в течение 20 минут).

Раскроем модуль: .

Изобразим х и у как декартовые координаты на плоскости. За единицу масштаба примем минуту. Всевозможные исходы – точки квадрата со сторонами 60. Благоприятствующие встрече исходы – точки области между прямыми .

Вероятность встречи лиц А и В равна отношению площади заштрихованной фигуры к площади всего квадрата: .

Пример №24 (Задача Бюффона)

Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 2а. На плоскость наудачу бросается игла длины , то есть 1) центр иглы наудачу падает на отрезок длины 2а, перпендикулярный к проведенным прямым, 2) вероятность того, что угол , составленный иглой и проведенными прямыми, будет заключаться между , пропорциональна , 3) величины х и  независимы. Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь прямую.

Решение.

По условию задачи, центр иглы может лежать между параллельными прямыми или на одной из прямых. То есть игла может выглядывать из-за прямой ровно наполовину.

х – расстояние от центра иглы до ближайшей параллели,  – угол, составленный иглой с параллелью (рис. 1). Причем .(*)

Величины х и  полностью определяют положение иглы.

Середина иглы С – точка пересечения иглы с пунктирной линией.

Всевозможные положения середины иглы определяются точками прямоугольника со сторонами а и  (рис. 2). Это следует из (*).

Из рисунка 1 видно, что для пересечения иглы с параллелью необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство: .

Пусть событие A = {пересечение иглы и параллели}. Вероятность пересечения иглы и параллели равна отношению площади фигуры под синусоидой (рис. 2) к площади прямоугольника: .

Замечание. Существует ряд задач на геометрическую вероятность, в которых результат зависит от метода решения. Одна из таких задач – парадокс Бертрана: найти вероятность того, что длина наудачу взятой хорды в круге превосходит длину стороны вписанного в этот круг равностороннего треугольника. В условии задачи не определено понятие проведения хорды наудачу, что и привело к 3-м различным решениям.

Пример №25

На первом блюде лежат 8 апельсинов, на втором – 4 яблока. Сколькими способами можно выбрать один фрукт?
 

Решение. Один апельсин можно выбрать восемью способами, а одно яблоко – четырьмя.  Один фрукт – это либо апельсин, либо яблоко.
Воспользуемся правилом суммы: m = 8, n = 4; число способов выбора одного фрукта m + n = 12.
Ответ: 12.

Пример №26

Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5,9, если:

а) число записано разными цифрами?

б) цифры в записи числа могут повторяться?
 

Решение. а) Первую цифру в записи числа можно выбрать шестью способами (ноль не может быть первой цифрой), для выбора второй цифры, отличающейся от первой, существует 6 способов (ноль может быть второй цифрой), а для выбора третьей цифры остаётся 5 способов  (две цифры из имеющихся семи поставлены на первое и второе места). Таким образом, согласно правилу произведения получаем  6∙6∙5 = 180 способов составления трёхзначного числа, записанного разными цифрами.

б) Если цифры в записи числа могут повторяться, то имеем 6 способов выбора первой цифры и по 7 способов выбора каждой из следующих цифр.
Количество таких чисел 6∙7∙7 = 294.
Ответ: а) 180; б) 294.

Пример №27

Студенты изучают 6 различных дисциплин. Если ежедневно в расписание включается по 3 различных дисциплины, то сколькими способами могут быть распределены занятия в день?
 

Решение. Различные комбинации трёх дисциплин, выбранных из шести, составляют расписание на один день. При этом они различаются либо составом дисциплин, либо их порядком. Поэтому искомое число определяется формулой числа  размещений: 
Ответ: 120.

Пример №28

Сколько шестизначных чётных чисел можно составить из цифр 1,3,4,5,7,9, если в каждом из этих чисел ни одна цифра не повторяется?
 

Решение. Чтобы число было чётным, последняя его цифра (число единиц) должна быть чётной. Из заданных цифр только  одна чётная – это 4. Поэтому последней цифрой искомого числа может быть только 4.
Остальные пять цифр могут стоять на первых пяти местах в любом порядке. Значит, задача сводится к нахождению числа перестановок из пяти элементов:  
Ответ: 120.

Пример №29

Сколько шестизначных чётных чисел можно составить из цифр 1,3,4,5, если цифры в записи числа могут повторяться?

Решение. Чтобы число было чётным, последняя его цифра (число единиц) должна быть чётной. Из заданных цифр только  одна чётная – это 4. Поэтому последней цифрой искомого числа может быть только 4.
Остальные пять цифр могут быть любыми из предложенных, причём могут повторяться. Значит, задача сводится к нахождению числа размещений с повторениями из четырёх элементов по пять в каждом: 
Ответ: 1024.

Пример №30

Сколькими способами можно выбрать 3 книги из 10 книг по математике, имеющихся в библиотеке?

Пример №31

Сколько трёхзначных чётных чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5,6, если цифры в записи числа могут повторяться?
 

Решение. При составлении трёхзначного числа из данных цифр  в качестве первой цифры (числа сотен) можно взять любую цифру, кроме 0.
Значит, есть шесть возможностей выбора первой цифры. В качестве второй цифры (числа десятков) можно выбрать любую из данных в условии цифр.
Значит, есть семь возможностей выбора второй цифры. В качестве последней цифры (числа единиц) можно взять любую из цифр 0,2,4,6.
Значит, есть четыре возможности выбора третьей цифры. Следовательно, согласно правилу произведения находим количество способов составления числа, удовлетворяющего условию задачи: 6∙7∙4 = 168.
Ответ:168.

Пример №32

Сколько различных чисел можно составить из цифр 4 и 5, если количество цифр в записи числа не более пяти и не менее трёх?

Решение. По условию задачи количество цифр в записи числа не более пяти и не менее трёх. Значит, их либо три, либо четыре, либо пять.
Если число, записанное четвёрками и пятёрками, содержит три цифры, то таких чисел будет:
Если число, записанное четвёрками и пятёрками, содержит четыре цифры, то таких чисел будет: 
Если число, записанное четвёрками и пятёрками, содержит пять цифр, то таких чисел будет:
Следовательно, согласно правилу суммы, находим количество способов составления числа, удовлетворяющего условию задачи: 8+16+32 = 56.
Ответ: 56.

Статистическое определение вероятности

Определение вероятности, отправляющееся от частоты появления события в большом количестве испытаний.

Не всякий опыт может быть сведен к схеме случаев. Например, вероятность выпадения определенной грани у неправильной несимметричной игральной кости не будет равна , то есть исходы не равновозможны (нельзя применить классическую теорию вероятностей). Но все же выпадение этой грани обладает некоторой вероятностью, указывающей, насколько часто в среднем должна появляться данная грань при многократном бросании. Примеры подобных случаев: 1) выход из строя радиолампы в течение одного часа работы, 2) попадание в цель при выстреле, 3) пробивание брони танка осколком снаряда.

Каждое из перечисленных событий обладает определенной степенью объективной возможности, которую можно измерить численно и которая при повторении подобных опытов будет отражаться в относительной частоте соответствующих событий.

Пусть опыт может быть воспроизведен многократно, в каждом из которых по воле случая происходит или не происходит событие А. Обозначим за

 – число всех опытов в серии одинаковых и независимых друг от друга испытаний,

 – число опытов, в которых осуществляется событие А.

Определение 20. Отношение  называется частотой события А в данной серии одинаковых и независимых друг от друга опытов.

При небольшом числе опытов частота события носит случайный характер и может заметно изменяться. Если количество опытов бесконечно много, то применима теорема Бернулли.

Теорема Бернулли (закон больших чисел)

При неограниченном увеличении числа однородных независимых опытов с практической достоверностью можно утверждать, что частота события будет сколь угодно мало отличаться от некоторого постоянного значения – вероятности события в отдельном опыте: .

Если , то  – формула статистической вероятности.

Частоты удовлетворяют всем аксиомам Колмогорова.

Примеры:

1. Устойчивость частот доказана на явлениях демографического характера: а) в древнем Китае за 2238 лет до нашей эры было посчитано, что отношение числа рождений мальчиков к числу всех рождений равно , б) в настоящее время это цифра равна .

2. Устойчивость частот доказана на примере бросания монеты:

Частота и вероятность в случайных событиях

Сочетание слов «теория вероятностей» для неискушённого человека производит несколько странное впечатление. В самом деле, слово «теория» связывается с наукой, а наука изучает закономерные явления; а слово «вероятность» в обычном языке связывается с чем-то неопределённым, случайным, незакономерным и, казалось бы, не поддающемуся никакому научному предсказанию.

Зарождение теории вероятностей, как науки, связано с определенными потребностями человеческого общества.

Пожалуй, первый толчок к развитию теории вероятностей как науки, возможно объяснить потребностями зарождающегося буржуазного общества в XVfr-XVII веках и связан он с возникновением потребностей страхования.

К этому времени относятся первые попытки создания общей теории страхования, основанной на анализе закономерностей в таких массовых случайных явлениях, как заболеваемость, смертность, статистика несчастных случаев и т.д.

Однако определение закономерностей теории вероятностей на обработке такого рода статистической информации было затруднено: законы управления массой случайных явлений прослеживались недостаточно отчётливо.

Наиболее простым материалом для изучения законов зарождавшейся науки явились азартные игры.

Игры давали весьма простой и наглядный материал для выработки и установления таких основных понятий, как вероятность и средне ожидаемый результат из опыта. Примеры из области игр широко применяются при изучении теории вероятностей как исключительно по простоте и прозрачности модели случайных явлений.

Работы Паскаля, Ферма, Гюйгенса в области теории азартных игр явились основой и началом теории вероятностей, как науки.

Паскаль и Ферма понимали, что на основе решения ряда частных задач из области игр вырисовывается некоторая новая область математики со своеобразным содержанием и методом исследования.

Дальнейшее развитие теории вероятностей связано со становлением, развитием и обобщением так называемого закона больших чисел. Так, швейцарский математик Якоб Бернулли во второй половине XVII в. впервые показал, что с увеличением числа испытаний частота (частность) какого-либо случайного события приобретает свойство устойчивости и определенным образом приближается к некоторому безразмерному числу, объективно отражающего возможность появления случайного события.

В начале XVIII века английский математик французского происхождения Абрахам де Муавр впервые рассмотрел простейший случай нормального закона, который в настоящее время нашёл широкое применение для решения многих научных и практических задач.

Большое значение в развитии теории вероятностей в первой половине XIX века имели работы Лапласа, Гаусса, Пуассона, которые продолжили исследования нормального закона, закона больших чисел и разработку вопросов приложения теории вероятностей к исследованию результатов наблюдений (в частности, астрономических).

Бурное развитие в России теория вероятностей получила в XIX веке с созданием Петербургской математической школы, представителями которой стали Пафнутий Львович Чебышев и его ученики Андрей Андреевич Марков и Александр Михайлович Ляпунов. П.Л. Чебышев и его ученики последовательно работали над расширением и обобщением закона больших чисел. П.Л. Чебышев ввёл в теорию вероятностей понятие случайной величины и метод моментов, что привело к созданию аппарата теории вероятностей. А. А. Марков положил основу новой области теории вероятностей – теории случайных процессов. А.М. Ляпунов известен своим доказательством так называемой центральной предельной теоремы и разработкой метода характеристических функций.

В настоящее время теория вероятностей широко применяется при решении многих вопросов научной и практической деятельности. Среди учёных – виднейших математиков нашей страны, занимавшихся разработкой вопросов теории вероятностей, стоит отметить Сергея Натановича Бернштейна, Александра Яковлевича Хинчина, Андрея Николаевича Колмогорова, Всеволода Ивановича Романовского, Бориса Владимировича Гнеденко.

Предмет и задачи теории вероятностей

Любому закономерному явлению присущи какие-то случайные отклонения, которые определяются второстепенными факторами, изменяющимися от опыта к опыту, что, соответственно, и вносит случайные различия получаемых результатов. И, тем не менее, при решении ряда практических задач этими случайными факторами можно пренебречь и рассматривать вместо реального явления его упрощённую «модель». В этом случае из бесчисленного множества факторов, оказывающих влияние на его исход, выделяют основные условия опыта, которые сохраняются неизменными, и которые определяют в общих и грубых чертах его протекание. Такая схема изучения явлений применяется в «точных науках» (физике, механике и т.д).

Однако для решения ряда вопросов классическая схема исследования закономерных явлений «точными» науками, которая предполагает выявление основной закономерности путём выделения основных условий, определения их параметров и построение математических моделей исследуемого явления, не всегда приемлема. Существуют такие задачи, где интересующий нас исход опыта зависит от очень большого числа условий, когда учесть все факторы становится практически невозможным, а полученный результат будет зависеть от взаимного их случайного переплетения.

Примером такого случайного явления может служить рассеивание снарядов при стрельбе, которое зависит от таких факторов как направление и сила ветра, атмосферное давление, температура воздуха и заряда, масса снаряда, химический состав пороха и других условий.

Приведенный пример позволяет сделать вывод, что случайные вариации результатов опыта всегда связаны с наличием каких-то второстепенных факторов, влияющих на его исход, но не заданных в числе его основных условий. Эти второстепенные условия опыта и вносят случайные различия в полученный результат.

Вернёмся к рассеиванию снарядов при стрельбе.

Если в результате небольшой группы выстрелов наблюдается хаотичность расположения точек падения (рис. 1а), то при наличии нескольких десятков выстрелов беспорядочное распределение точек падения снарядов на площади начинает приобретать некоторую закономерность -точки падения группируются около некоторого воображаемого центра -центра рассеивания снарядов, причём, чем ближе к центру, тем гуще и кучнее они располагаются (рис. 16). С ещё большим увеличением выстрелов наблюдается то, что точки разрывов снарядов по обе стороны от любой прямой, проведенной через центр рассеивания, располагается поровну на некотором удалении от центра рассеивания (рис.1в).

Наблюдая массу однородных случайных событий (а в данном примере – точек падения снарядов при стрельбе из орудия в аналогичных условиях) можно выявить определенную закономерность – рассеивание снарядов симметрично и небеспредельно т.е. ограниченно.

Подобные так называемые «статистические» закономерности наблюдаются всегда, когда мы имеем дело со случайными явлениями массового характера, которые оказываются независимыми от индивидуальных особенностей отдельных случайных явлений, входящих в эту массу.

Таким образом, определённые закономерности в наступлении случайных событий обнаруживаются лишь при проведении достаточно большого числа испытаний, т.е. при многократной реализации одного и того же комплекса условий.

Очевидно, что должна существовать принципиальная разница в методах учёта основных, решающих факторов, определяющих в главных чертах течение явления, и вторичных, второстепенных факторов, влияющих на его исход. Элемент неопределенности, многопричинности, присущий случайным явлениям, потребовал и создания специальных методов для изучения такого явления. Многократно подтверждённая опытом устойчивость массовых случайных явлений служит базой для применения вероятностных «статистических» методов исследования. Поэтому методы теории вероятностей по своей природе приспособлены только для исследований массовых случайных явлений; они не дают возможности предсказать исход отдельного случайного явления, но дают возможность предсказать средний суммарный результат массы однородных случайных явлений, предсказать средний исход массы аналогичных опытов, конкретный исход каждого из которых останется неопределённым, случайным.

Во всех случаях, когда применяются вероятностные методы исследования их цель в том, чтобы, минуя слишком сложное, а иногда и невозможное изучение отдельного явления, обусловленное большим количеством факторов, осуществить научный прогноз на основании законов, управляющих массами случайных явлений.

Вероятностный или «статистический» метод в науке не противопоставляет себя классическому, обычному методу «точных» наук, а является его дополнением, позволяющим глубже анализировать явление с учётом присущих ему элементов случайности.

В заключении первого вопроса дадим определение теории вероятностей.

Теория вероятностей – это математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях массового характера. Она отражает в абстрактной форме закономерности, присущие случайным явлениям (событиям) массового характера, т.е. таким явлениям (событиям), которые в повседневной жизни повторяются неограниченно большое число раз. Единичные случайные явления (события) теорией вероятностей не рассматриваются.

Для изучения закономерностей, которым подчиняются случайные явления (события), теория вероятностей применяет вероятностные методы исследования, которые столь же точны и строги, как и методы других «точных» наук.

Основные понятия теории вероятностей. События и соотношения между ними. Классификация событий

В основе теории вероятностей, как и в любой науке, лежат некоторые определённые начальные понятия, при помощи которых даются логическое определение последующих более сложных понятий. Одними из основных понятий теории вероятностей являются: испытание и случайное событие, или (как говорят чаще) событие. Дадим определение события.

Событием называется всякий результат (исход), который может произойти или не произойти в результате испытания.

Испытание – это совокупность условий и действий, при которых получен или может быть получен тот или иной результат. Есть и другая интерпретация испытания – это действие, которое может повторяться при неизменных условиях любое количество раз.

Качественная и количественная стороны испытания представлены на рисунке 2.

Целью испытания является получение тех или иных результатов или
исходов.

Примеры:

• 1)    Испытание: выстрел из орудия, событие: попадание в цель.
• 2)    Испытание: попадание в цель, событие: поражение цели.

Отличительной чертой теории вероятностей является то, что она рассматривает появление события в ходе испытания не отвлечённо, а при выполнении всех или практически всех условий, которое можно повторять большое число раз.

Совокупность условий, при которых повторяется испытание, называют комплексом условий.

Пользуясь понятием комплекса условий, всякое испытание можно понимать как реализацию определённого комплекса условий.

Очевидно, что при одном и том же испытании в зависимости от сочетания условий, определяющих течение наблюдаемого процесса, могут наступать различные события. В зависимости от комплекса условий и характера интересующего нас исхода, события могут быть достоверными, невозможными или случайными.

Достоверным называется такое событие, которое наступает каждый раз при реализации данного комплекса условий (обозначается заглавной греческой буквой омега –

Пример: реализация комплекса условий: взрыв гранаты, достоверное событие: разрушение её оболочки.

Невозможным называется такое событие, которое никогда не наступает при реализации данного комплекса условий (обозначается –

Пример: реализация комплекса условий: подбрасывание игрального кубика, невозможное событие: выпадение семёрки.

Случайным называется такое событие (обозначается А, В, С…), которое при реализации данного комплекса условий может произойти (наступить, осуществиться) или не произойти (не наступить, не осуществиться).

Пример: реализация комплекса условий: подбрасывание игрального кубика, случайное событие: выпадение двойки.

Для того чтобы разработать аппарат и методику исследования случайных событий в теории вероятностей, устанавливается ряд соотношений между ними и проводится их классификация.

Рассмотреть соотношения между событиями значит ввести операции, позволяющие выражать одни случайные события через другие. Такое представление одного события через другое (или другие) событие называется комбинацией событий.

Однако перед тем как рассмотреть соотношения между событиями возникает необходимость введения определенных операций, позволяющих не только упростить форму записей, но и существенно облегчить логическое построение научных выводов.

Во многих областях точных наук применяются символические операции над различными объектами, которые получают свои названия по аналогии с арифметическими действиями, рядом свойств которых они обладают. В теории вероятностей принято вводить такие операции над событиями, как их сумма и произведение.

Дадим определение суммы и произведения событий.

Суммой двух событий А и В называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий (наступлении события А или события В или обоих вместе).

Обозначается А + В = С.

Пример:    орудие производит два выстрела по танку. Событие

А={попадание в танк при первом выстреле}, событие В={попадание в танк при втором выстреле}, событие С={попадание в танк}.

Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном выполнении события А и события В.
Обозначается

Пример: реализация комплекса условий: подбрасывание игрального кубика, случайное событие: выпадение двойки.

Для того чтобы разработать аппарат и методику исследования случайных событий в теории вероятностей, устанавливается ряд соотношений между ними и проводится их классификация.

Рассмотреть соотношения между событиями значит ввести операции, позволяющие выражать одни случайные события через другие. Такое представление одного события через другое (или другие) событие называется комбинацией событий.

Однако перед тем как рассмотреть соотношения между событиями возникает необходимость введения определенных операций, позволяющих не только упростить форму записей, но и существенно облегчить логическое построение научных выводов.

Во многих областях точных наук применяются символические операции над различными объектами, которые получают свои названия по аналогии с арифметическими действиями, рядом свойств которых они обладают. В теории вероятностей принято вводить такие операции над событиями, как их сумма и произведение.

Дадим определение суммы и произведения событий.

Суммой двух событий А и В называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий (наступлении события А или события В или обоих вместе).

Обозначается А + В = С.

Пример:    орудие производит два выстрела по танку. Событие

А={попадание в танк при первом выстреле}, событие В={попадание в танк при втором выстреле}, событие С={попадание в танк}.

Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном выполнении события А и события В.
Обозначается

Пример: реализация комплекса условий: подбрасывание игрального кубика, случайное событие: выпадение двойки.

Для того чтобы разработать аппарат и методику исследования случайных событий в теории вероятностей, устанавливается ряд соотношений между ними и проводится их классификация.

Рассмотреть соотношения между событиями значит ввести операции, позволяющие выражать одни случайные события через другие. Такое представление одного события через другое (или другие) событие называется комбинацией событий.

Однако перед тем как рассмотреть соотношения между событиями возникает необходимость введения определенных операций, позволяющих не только упростить форму записей, но и существенно облегчить логическое построение научных выводов.

Во многих областях точных наук применяются символические операции над различными объектами, которые получают свои названия по аналогии с арифметическими действиями, рядом свойств которых они обладают. В теории вероятностей принято вводить такие операции над событиями, как их сумма и произведение.

Дадим определение суммы и произведения событий.

Суммой двух событий А и В называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий (наступлении события А или события В или обоих вместе).

Обозначается А + В = С.

Пример:    орудие производит два выстрела по танку. Событие

А={попадание в танк при первом выстреле}, событие В={попадание в танк при втором выстреле}, событие С={попадание в танк}.

Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном выполнении события А и события В.
Обозначается

Пример: орудие производит один выстрел по танку. Событие А={попадание в танк }, событие В={поражение танка при попадании в него}, событие С={поражение танка при одном выстреле}.

Кроме аналогий с арифметическими действиями, в теории вероятностей широкое применение нашла теоретико-множественная терминология, когда обычные свойства операций над множествами переносятся на операции над событиями.

Теоретико-множественной терминология в теории вероятностей, позволяет представить операции над событиями как операции над подмножествами.

Используя терминологию теории множеств некоторое основное множество  называют пространством элементарных событий или достоверным событием , а его элементы – – элементарными событиями, а некоторые его подмножества – событиями.

Кроме того, действия над событиями (множествами) могут быть представлены и геометрическим отображением. Принятая геометрическая интерпретация случайных событий называется диаграммой Эйлера-Венна, на которой достоверное событие обозначается прямоугольником, а наступление случайных события (А,    В….) (или их комбинации) – заштрихованной областью в этом прямоугольнике.

Используя теоретико-множественную терминологию, трактовка суммы и произведения событий может быть представлена в следующем виде:

Объединением (суммой) событий А и В называется событие С, состоящее из всех элементов А и всех элементов В (совокупность элементов, принадлежащих хотя бы одному из них). Обозначается (рисунок 3).

Пересечением (произведением) событий А и В называется событие С, состоящее из элементов, входящих одновременно и в А и в В. Обозначается (рисунок 4).

При составлении комбинаций событий весьма удобна определённая классификация событий, указывающая на отношения различных событий между собой.

События А и В называют совместными, если появление одного из них не исключает возможности появления другого.

Пример: два орудия производят по одному выстрелу по танку. События А={попадание в танк из первого орудия} и событие В={попадание в танк из второго орудия} – совместные, так как попадание в танк из первого орудия не исключает возможности попадания в танк из второго орудия.
События А и В называют несовместными, если появление одного из них исключает возможность появления другого.

Пример: Пример: бросается игральный кубик. При этом возможны следующие исходы: выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6. Событие А={выпадение 1}, событие В={ выпадение 2}, событие    С={ выпадение 3}, событие

D={выпадение 4}, событие Е={выпадение 5} и событие F={выпадение 6} несовместные, так как выпадение одной цифры исключает возможность выпадения остальных других цифр.

Несовместные события должны удовлетворять условию: произведение несовместных событий есть событие невозможное

Говорят, что несколько событий образуют полную группу событий, если при каждом испытании обязательно наступает хотя бы одно из них.

Пример 1: студент сдаёт экзамен по математике, при этом может быть получена оценка либо «отлично», либо «хорошо», либо «удовлетворительно», либо «неудовлетворительно». Событие ={получение оценки «отлично»}, событие ={получение оценки «хорошо»}, событие ={получение оценки «удовлетворительно»} и событие = {получение оценки «неудовлетворительно»} образуют полную группу, так как получить какой-либо иной результат экзамена невозможно.

Пример 2: в ящике находятся три исправных и две неисправных лампочки. Вынимают четыре лампочки. Событие А = {вынуть хотя бы одну исправную лампочку} и событие В = {вынуть хотя бы одну неисправную лампочку} составляют полную группу событий, так как при вынимании четырёх лампочек неизбежно одна будет либо исправна, либо неисправна.

Сумма событий, образующих полную группу, есть событие достоверное.

В примере 1 имеют место несовместные события (т.к. наступление любого из них исключает появление другого). В примере 2 даны два события, которые не исключают друг друга. При этом вне зависимости от того, какие события составляют полную группу – совместные или

несовместные, опыт не может кончиться помимо них.

Несовместные события, образующие полную группу, называют единственно-возможными.

События называют равновозможными, если по условиям симметрии есть основание считать, что ни одно из них не является объективно возможным, чем другое. При этом следует иметь в виду, что наше незнание о том, какое из них вероятнее, не является основанием для того, чтобы считать события равновозможными.

Про опыт, в котором имеют место равновозможные события, образующие полную группу несовместных событий, говорят, что он обладает симметрией возможных исходов.

С опытами, обладающими симметрией возможных исходов, связывают группу событий, обладающих всеми тремя свойствами. Если события образуют полную группу, несовместны и равновозможны, то такие события называют случаями (или «шансами»), а про опыт говорят, что он сводится к «схеме случаев» (к «схеме урн»).

Достаточно часто на практике приходится сталкиваться с наступлением двух несовместных событий, образующих полную группу. Если по условиям предыдущего примера объединить получение оценок «отлично», «хорошо» и «удовлетворительно» как сдачу экзамена, то мы будем иметь только два события, образующих полную группу: сдачу экзамена и не сдачу экзамена.

Два несовместных события А и В, образующие полную группу событий называют противоположными (обозначают (рисунок 5).

Противоположные события должны удовлетворять следующим условиям:

Говорят, что событие А влечёт за собой событие В (событие А благоприятствует событию В), если из наступления события А следует наступление события В. (– событие В содержится в А) (рисунок 6).

 

Для того, чтобы событие А влекло за собой наступление события В необходимо, чтобы были выполнены следующие условия:

Пример:    орудие производится выстрел по танку. Событие

А={попадание в танк}, событие В={попадание в башню танка}. Для того, чтобы попасть в башню танка, необходимо попасть в танк, но при этом, попадание в танк не означает попадание в его башню. Таким образом, можно говорить о том, что событие В содержится в событии А или является его частью.

Несомненно, для того, чтобы попасть в башню танка, необходимо попасть в танк. Таким образом, событие В={попадание в башню танка} содержится в событии А или является его частью и обозначается (событие В содержится в событии А).

Легко проверить, что для того, чтобы событие В содержалось в событии А, необходимо и достаточно выполнить следующие условия:

1. Если снаряд попадает либо в танк, либо в башню, он всё равно попадёт в танк (А + В = А).
2. Для того чтобы попасть в башню, необходимо попасть в танк,.
3. Если снаряд не попадёт в танк, то соответственно он и не попадёт и в башню танка

Если событие А содержится в событии В, а событие В содержится в событии Л, то такие события равносильны. (Если ,то А=В).

Пример: для поражения цели достаточно одного попадания. Событие Л={попадание в цель хотя бы одним снарядом}, событие £={поражение цели} равносильны.

Способы определения вероятности

При повторении испытаний случайные события могут наступать или не наступать. При этом можно заметить, что одни события наступают чаще, т.е. имеют большую возможность появления, а другие – реже, т.е. имеют меньшую возможность появления. Этот факт позволяет установить такую характеристику случайного события, как частоту.

Частотой случайного события в данной серии испытаний называется отношение числа испытаний, в которых появилось данное событие к общему числу испытаний.

где: р – частота появления события А,

– число испытаний, в которых наступило событиемА,

n – число проведенных испытаний.

При небольшом числе испытаний частота события в значительной степени носит случайный характер и может заметно изменяться от одной группы опытов от другой. Однако с увеличением числа испытаний частота события все более теряет случайный характер, а абсолютная величина отклонений частот в общем становится все меньшей и меньшей.

Таким образом, при большом числе испытаний частота для случайных событий массового характера обладает так называемым свойством устойчивости, при достаточно большом числе наблюдений события А в одних и тех же условиях обычно получают приближённые равенства:

Следовательно, можно говорить о том, что частота события А колеблется около одного и того же числа, которое характеризует данное событие А.

Наглядным примером свойства устойчивости частоты может служить выпадение герба при бросании монеты. Так известный французский естествоиспытатель XVIII века Бюффон бросил монету 4040 раз, в результате получил частоту выпадения герба 0,50693, а английский биолог Пирсон в 2400 бросания получил частоту 0,5005. При многократном бросании монеты частота появления герба обладает устойчивостью, колеблясь около числа 0,5, в тем меньших границах, чем больше проведено опытов.

Таким образом, с событием, обладающим устойчивой частотой, можно связать некоторую постоянную, около которой группируются частоты и которая является характеристикой объективной связи между комплексом условий, при котором производится испытание, и событием. Эту постоянную величину принято называть вероятностью события (обозначается Р(А) или

Понятие вероятности вводится путём обобщения многочисленных наблюдений за частотой. Отсюда следует, что в самом существе понятие вероятности лежит связь с частотой. Эта связь заключается в том, что, с одной стороны, частота может рассматриваться как приближённое значение вероятности, найденное по опытным данным, а с другой – знание вероятности некоторого события позволяет оценить частоту его появления в достаточно большой серии опытов в аналогичных условиях.

На основе этого положения и различаются основные способы определения вероятности: статистический и классический.

Однако перед тем как рассмотреть возможные способы определения вероятности, мы с вами рассмотрим основные аксиомы, которые позволят определить условия, которым должна удовлетворять вероятность наступления случайного события.

Аксиомы теории вероятностей

1.    Вероятность случайного события есть неотрицательное число (неотрицательность Р).

2.    Вероятность достоверного события равна 1 (нормированность Р).

Из 1 и 2 аксиом нетрудно вывести следствие, что вероятность есть неотрицательное число, заключенное между нулём и единицей

Статистический способ определения вероятности основан на наблюдаемом факте устойчивости частоты при проведении достаточно большого числа испытаний. Если число испытаний достаточно велико, то можно приблизительно считать, что

где:    Р(А) – вероятность наступления события А;

Р    – частота появления события А;

– число испытаний, в которых наступило событие А;

п    – число проведенных испытаний.

Приближённое равенство будет тем точнее, чем будет больше число испытаний т.

Легко проверить, что данный способ определения вероятности удовлетворяет всем трём аксиомам.

Таким образом, при статистическом способе, определение вероятности можно сформулировать следующим образом: вероятностью случайного события называется постоянное число, около которого группируется частота этого события.

Статистический способ определения вероятности имеет то преимущество, что он опирается на реальный эксперимент, однако и он имеет существенный недостаток – для надёжного определения вероятности необходимо проделать большое число опытов, что не всегда возможно или целесообразно.

В условиях, когда нет необходимости (или возможности) определить вероятность наступления события путём проведения многочисленных опытов, представляется возможным (при определенных условиях) определить численную меру возможности наступления данного события. Такой способ определения вероятности является классическим.

В условиях, когда опыт сводится к «схеме случаев» а его исходы составляют полную группу несовместных равновозможных событий, вероятность наступления события можно определить как:

где: Р(А) – вероятность наступления события А;

m – число случаев, благоприятствующих появлению события А;

n – число всех равновозможных случаев, образующих полную группу событий.

Легко проверить, что данный способ определения вероятности так же удовлетворяет всем трём аксиомам.

Таким образом, при классическом способе определение вероятности можно сформулировать следующим образом: вероятность события равна отношению числа случаев благоприятствующих появлению данного события, к общему числу равновозможных случаев.

Классический способ определения вероятности имеет то преимущество, что вероятность наступления события может быть определена без проведения опыта, однако и он имеет существенный недостаток: возможность его использования только в том случае, когда какой-либо опыт обладает свойством «симметрии» (обладает симметрией возможных исходов) и сводится к «схеме случаев».

Пример №33

В коробке лежат 4 лампочки, из них две неисправны «н», а другие две – неисправны «и». Какова вероятность того, что одновременно будут взяты две лампочки: а) обе неисправны, б) исправна и неисправна?

Решение:

Каждый исход получается последовательным выполнением двух действий: одновременным выбором одной и другой лампочек. Пространство исходов опыта (элементарных событий) в данной задаче давайте представим простым перечислением исходов . Таким образом, общее количество исходов будет равно 4 (n=4).

Событие А={одновременное взятие двух неисправных лампочек} однозначно представляется подмножеством одного исхода

Таким образом, вероятность наступления события А равна:

Событие B={одновременное взятие двух лампочек – одной исправной, а другой неисправной} представляется подмножеством двух исходов

Таким образом, вероятность наступления события В равна

Вывод:    Полученный результат означает, что при проведении достаточно большого числа опытов в аналогичных условиях в среднем при одновременном взятии двух лампочек в половине случаев из 100 будут взяты одна исправная и одна неисправная лампочки и в 25 случаев из 100 – только неисправные лампочки.

Основные формулы для вычисления вероятностей

Ограниченность классического и статистического способов определения вероятности событий, приемлемых, главным образом, для определения вероятности простых событий, приводит к тому, что в подавляющем большинстве случаев ни один из этих способов в чистом виде для решения задачи определения наступления событий применить не удаётся.

Например, требуется определить вероятность поражения движущегося танка. Определить эту вероятность по частоте наступления события на практике невозможно – необходимо провести большое число стрельб. При этом надо не только определить вероятность попадания в движущийся танк (что сделать не сложно), но и определить вероятность поражения его экипажа, если будет иметь место попадание в танк (а это выполнить на практике невозможно).

Факт сложности или невозможности определения вероятности сложных событий явился стимулом разработки аппарата теории вероятностей, с помощью которого вероятность определяется не прямым, а косвенным методом через вероятность более простых событий.

Сущность косвенного метода определения вероятности сложного события заключается в следующем: вначале анализируют условия испытания и устанавливают события от которых зависит наступление события В, как комбинацию . Определяют вероятности наступления простых событий . После чего определяют вероятности интересующего события В как функцию известных или заданных вероятностей.

Однако определению вероятности наступления сложного события как комбинации более простых событий должны предшествовать твёрдые знания правил применения рассмотренных в лекции теорем сложения (объединения) и умножения (пересечения) событий.

Этому вопросу и будет посвящён вопрос нашего занятия.

Пример №34

Для того что бы вывести из строя артиллерийскую батарею необходимо поразить либо два взвода с орудиями либо центр управления огнём. Используя операции сложения (объединения) и умножения (пересечения) событий представим сложное событие D={ поражение артиллерийской батареи} как комбинацию простых событий. Результат проиллюстрируем диаграммой Эйлера-Венна.

Решение:

Обозначим через событие А = {поражение первого взвода орудий}, через событие В = {поражение второго взвода орудий}, С = {поражение центра управления огнём}. Тогда событие D = {поражение артиллерийской батареи} определится как поражение либо центра управления огнём (событие С) либо одновременно первого взвода орудий (событие А) и второго взвода орудий (событие В), т.е. будет иметь место следующая комбинация событий (рисунок 1).

Для решения такого типа задач необходимо усвоить ряд основных свойств, которыми обладают действия над событиями.

Операции сложения (объединения) и умножения (пересечения) событий обладают рядом свойств, аналогичным свойствам сложения и умножения чисел.

1.    Переместительное свойство:

А + В = В + А;    

2.    Сочетательное свойство:

3.    Распределительное свойство:

(рисунок 2).

 

4.    Операции прибавления пустого множества и умножения на пустое множество аналогичны операциям над числами, если считать пустое множество за ноль.

Ряд операций над событиями уже не обладают свойствами по аналогии с арифметическими действиями, например:

5.     (рисунок 3)

6. (рисунок 4).

                            

7. (рисунок 5)

Заключение по лекции:

В лекции мы рассмотрели принципиальные вопросы теории вероятностей применительно к случайным событиям, ввели основной понятийный аппарат, необходимый для дальнейшего изучения дисциплины: определение события, их классификацию; понятия частоты и вероятности события, а так же способов определения вероятности.

Статистика и вероятность

Дисперсии и стандартное отклонение:

До настоящего момента для анализа статистических данных мы использовали такие показатели, как среднее арифметическое, мода и медиана.

Среднее арифметическое находится использованием всех значений данных.

• Значения, которые выходят за пределы, могут привести к ложным результатам о совокупности.
• Медиана является средним значением упорядоченных данных.
• Медиана делит данные на две половины – нижнюю и верхнюю.
• Она является более надежным показателем, если присутствует резких отклонений от среднего значения.
• Пригодна для анализа ограниченного количества данных.

Мода определяет характер данных для совокупности.

• Дает возможность создать мнение о среднем арифметическом.
• Очень удобна для анализа категориальных данных (гендер, цвет и т.д.).
• Данные могут иметь более одной моды или вообще не иметь моду.

При обработке статистической информации для получения более точного результата используются такие характеристики, как отклонение, дисперсия, стандартное отклонение.

Отклонением называется разность значения данных и среднего арифметического: здесь – числовое значение данных информации, – среднее арифметическое.

Дисперсия равна отношению суммы квадратов отклонений к количеству

значений данных здесь количество данных.

Стандартным отклонением называется квадратный_корень из дисперсии и обычно обозначается буквой – “сигма”:

Стандартное отклонение – один из важных показателей, отвечающий за характер распределения.

• Стандартное отклонение показывает распределение данных относительно среднего арифметического.
• Чем больше (длиннее) промежуток, на котором расположены друг от друга значения данных, тем больше будет стандартное отклонение.
• Чем меньше промежуток, на котором расположены друг от друга значения данных, тем меньше будет стандартное отклонение. Другими словами, если данные сконцентрированы вокруг среднего арифметического, то стандартное отклонение будет маленьким.

Пример №35

Ниже представлена еженедельная заработная плата (в ман.) случайным образом выбранных 10 работников фирмы: 120, 160, 90, 175, 110, 80, 220, 150, 300, 95. Найдите отклонения, дисперсию и стандартное отклонение. Объясните соответственно к ситуации.

Решение: 1. Построим таблицу, соответствующую зарплате.

2. Вычислим среднее арифметическое: (манат).

3. Вычитая из каждой зарплаты среднее арифметическое, найдем отклонение от среднего арифметического. Например, это на 20 манат меньше средней зарплаты за неделю. Для каждой зарплаты вычислим отклонение и запишем результат в новый столбик таблицы. Сумма значений отклонений различных данных равна нулю. Это всегда так и не дает новой информации. Поэтому мы используем сумму квадратов отклонений.

4. Вычислим все отметим в новом столбце и найдем сумму: Чтобы найти дисперсию, надо полученную сумму разделить на количество данных

5. Чтобы найти стандартное отклонение заработной платы надо извлечь квадратный корень из дисперсии:

Объяснение: при помощи стандартного отклонения можно оцепить изменение зарплаты. Например, человек, который получает зарплату 300 манат, получает зарплату больше средней еженедельной зарплаты (140 манат) на 2 стандартных отклонения Человек, который получает еженедельно 90 манат, приблизительно, получает меньше еженедельной средней заработной платы на 1 стандартное отклонение (65).

Сформировать мнение о стандартном отклонении можно, представляя данные в форме гистограммы или полигона частот. Ниже представлены соответствующие рисунки.

Хотя на всех трех диаграммах среднее арифметическое одинаково, но стандартное отклонение различно. На первом графике стандартное отклонение 0. Значение всех 8 данных равно 5. Стандартное отклонение на втором графике меньше, чем на третьем, так как данные сконцентрированы вокруг среднего арифметического.

Пример №36

Нахождение стандартного отклонения сгруппированной информации. В таблице представлена ежедневная информация об учеников, пропустивших уроки в течении 50 дней в одном из классов. Найдите стандартное отклонение.

Решение:

1. Сначала сгруппируем данные о пропущенных уроках и запишем их в таблице частоты. Например, количество дней, в которых вообще уроков не пропущено – 10, в которых 1 ученик пропустил уроки – 19 и т.д.

2. По данным таблицы найдем среднее арифметическое

3. Для каждого значения данных найдем:

a) отклонение от среднего значения:

b) возведем его в квадрат

c) Полученный результат умножаем на количество, складываем и делим на

После чего находим квадратный корень.

Как видно, стандартное отклонение количества детей не посещающих школу, 1,71, при среднем значении 1,8.

Использование калькулятора. Чтобы вычислять статистические данные на калькуляторе, надо перейти в статистический режим. Для вычисления среднего арифметического дисперсии и стандартного отклонения о на калькуляторе имеются специальные клавиши. При решении заданий используйте следующие кнопки.

Нормальное распределение

Как видно из рисунка, формы графического представления распределения частот (гистограмма или полигон частот), могут быть симметричными или асимметричными.

Примером нормального распределения могут служить данные о росте и массе новорожденных.

Рассмотрим более подробно формы нормального распределения.

Нормальное распределение:

Нормальное распределение также называется распределение правилом

В зависимости от среднего значения график нормального распределения может перемещаться вправо или влево. При изменении стандартного отклонения, для одних и тех же значений среднего арифметического, график сжимается или растягивается.

Например, среднее арифметическое для графика больше среднего арифметического для графика а стандартное отклонение одинаковы. Для графиков и среднее арифметическое одинаково, а стандартное отклонение графика больше стандартного отклонения графика

Пример №37

Среднее арифметическое нормального распределения, соответствующего совокупности равно 40, а стандартное отклонение равно 5. Сколько процентов данных совокупности: а) меньше 45; b) находятся между 30 и 45?

Решение: по условию Отметим данные среднего арифметического и стандартного отклонения на оси и изобразим кривую нормального распределения. Для каждого интервала отметим соответствующие проценты и ответим на вопросы.

a) Значения данной совокупности меньше 45, приблизительно составляют 34%+34%+13,5%+2,35% + 0,15% = 84%.

b) Число 30 расположено на стандартных отклонения слева, 45 – на стандартное отклонение справа от среднего значения. Числа, расположенные между 30 и 45, составляют 34% + 34% + 13,5% = 81,5%.

Диаграмма “ящик с усами”

Построение диаграммы “Ящик с усами” рассмотрим на следующем примере.

Пример №38

15 работников фирмы при сдаче экзамена по технике безопасности, получили следующие баллы: 13 9 18 15 14 21 7 10 11 20 5 18 37 16 17.

Представьте данную информацию в виде диаграммы “ящик с усами”.

Решение: 1. Расположите данные в порядке возрастания, определите медиану и отметьте ее через

2. Данные слева от медианы расположены в первой нижней половине, справа от медианы – в верхней половине. Т. е. медиана делит данные на две половинки.

3. Медианы половинок, называемые квартилями (здесь разбивают данные на 4 части.

4. Определяют изменение между квартилями

5. Отметим на числовой оси наименьшее и наибольшее значения, квартили и медиану – 5 важных точек. Нарисуем прямоугольник, длина которого равна разности изменению между квартилями. Этот прямоугольник делится медианой на две части. Теперь нарисуем “усы”, соединив наибольшее и наименьшее значения с соответствующими квартилями.

Мы построили диаграмму “ящик с усами” в соответствии с представленными данными. Теперь, по диаграмме, представим данные. Из диаграммы видно, что приблизительно половина, 50 % , из 15 человек набрали от 10 до 18 баллов, 25% – меньше 10 баллов и 25% – больше 10 баллов.

Разница длин левого и правого “уса” зависит от разницы значений данных в соответствующих частях.

Для построения диаграммы “ящик с усами” из заданной совокупности выделяют 5 значений:

Медиану квартиль значение которого меньше медианы и является медианой нижней половины, квартиль значение которого больше медианы и является медианой верхней половины множества данных, наибольшее и наименьшее значения.

Шаги построения диаграммы “ящик с усами”

1. Проводится горизонтальная прямая.

2. В зависимости от диапазона изменения данных проводится деление.

3. На прямой отмечают 5 значений – наименьшее значение, наибольшее значение.

4. От до рисуется ящик.

5. Рисуем “усы” от до минимального значения и от до максимального значения.

Пример №39

Ниже представлены данные возраста участниц женской паралимпийской команды по волейболу 24, 30, 30, 22, 25, 22, 18, 25, 28, 30, 25, 27. Представьте данные в виде диаграммы “ящик с усами”.

Решение: 1. Расположим данные и найдем медиану и квартили.

2. Изобразим числовую ось и отметим эти следующие данные.

3. При помощи разности квартилей нарисуем ящик и разделим его на две части (при помощи медианы). Соединим ящик с наибольшим и наименьшим значением.

4. Представление диаграммы. Возраст 50% баскетболисток между 23-29 годами, 25% меньше 23 лет, 25% – больше 29 лет. Длинными или короткими являются “усы” ящика показывает, близко ли или далеко расположены друг от друга данные внутри 25% – го интервала. Например, левый “ус” длиннее, правый – короче. Так как в 25%-интервале значения изменяются между 18-23, а в левом “усе” мы встречаем только два значения 29-30.

Данные, которые сильно отличаются от основных данных совокупности, называются выбросами. Выбросы можно определить относительно верхнего и нижнего квартиля. В этом случае выбросом считается, значение в 1,5 раза больше или меньше разности Например, в рассмотренном нами примере нижний квартиль 23, верхний квартиль 29, разность квартилей 6. Тогда значения 23 – 1,5 • 6 = 14 и 29 + 1,5 • 6 = 38 считаются граничными значениями. Все значения, которые больше 38 и меньше 14, называются выбросами.

Что такое случайные события и вероятность

Теория вероятности устанавливает математические отношения между случайными событиями, происходящими вокруг, и вероятностью их наступления. При помощи этих отношений вероятность наступления события оценивается на основе вероятности более простых событий. В повседневной жизни мы можем наблюдать различные события, многочисленные опыты, испытания и результаты наблюдений. Неразделимый результат опыта, испытания и наблюдения называется элементарным событием. Множество всех элементарных событий называется пространством элементарных событий (ПЭС) и обозначается буквой Например, обозначим через событие, что при бросании зары на верхней грани выпадет очко Тогда

Определения

Событием называется любое подмножество множества элементарных событий. Например, если событие – “выпадение четного числа очков”, то

Если количество элементарных событий ПЭС равно тогда количество элементарных подмножеств и количество возможных событий также Так как каждое событие является подмножеством ПЭС, то действия, определенные над множествами, определяются аналогичным образом и для событий. При этом пустое множество будет невозможным событием, является достоверным событием.

Результаты, принадлежащих хотя бы одному из событий или называется объединением этих событий и пишется как Результаты, принадлежащие как событию так и событию называются пересечением событий:

События, не имеющие общих результатов, называются несовместными событиями. Если события и несовместные, то

Множество всех событий, не принадлежащих множеству называются противоположным событием или дополнением:

Если наступление события порождает событие , то событие называется благоприятным событием для события

В опыте с равновозможными исходами вероятность события равна отношению количества благоприятных исходов для этого события к количеству всех возможных исходов.

При решении задач на вероятность обратите внимание на следующее:

1. Для любого случайного события справедливо
2. Сумма вероятностей наступления элементарных событий равна 1:
3. Справедлива формула

Вероятность несовместных событий. Для любых несовместных событий и справедливо равенство.

Это правило называется правилом сложения вероятностей.

Пример №40

В мешке шары желтого, красного и белого цветов. Вероятность, того, что из мешка вытащат белый шар 0,25, красный шар – 0,3. Найдите вероятность того, что вытащенный шар желтый.

Решение: если из мешка вытащить один шар, то вероятность того, что он будет красным или белым равна: Появление желтого шара означает событие, при котором не появляется ни красный, ни белый шар. Значит, Вероятность наступления событий или с наступлениями других событий равна 1. Тогда

Вероятность двух событий

В общем случае для любых событий и справедлива формула

Пример №41

56% студентов института проживают в студенческом городке, 62% гам только обедают, а 42% и проживают, и обедают в городке. Найдите вероятность, что случайно выбранный студент:

a) проживает, но не обедает в студенческом городке;

b) не проживает и не обедает в студенческом городке.

Решение: а) пусть {студенты проживающие в городке}, {студенты, обедающие в городке}.

Из диаграммы видно, что пересечение равно Зная, что найдем Тогда сумма 0,14 + 0,42 + 0,20 = 0,76 показывает вероятность того, что выбранный студент проживает или обедает в городке.

b) вероятность, что студент не проживает и не обедает в городке равна

Условная вероятность

Иногда дополнительная информация может повлиять на результат испытания. Например, если известно, что при

бросании зары выпадет четное очко, то вероятность события равна Если эта информация отсутствует, то вероятность выпадения любого очка, в том числе и четного, равна

Значит, при вычислении вероятности какого-либо события надо учитывать события, которые могут повлиять на данное событие. Вероятность события при условии, что событие уже наступило, называется условной вероятностью:

Пример №42

Психологи провели опрос среди случайно выбранных 478 школьников, 1/3 часть которых учится в деревне, 1/3 – в пригороде и 1/3 – в центре города. Один из вопросов и варианты представлены ниже.

Что для вас важнее? Стать известным Получить высшее образование Стать мастером Результаты опроса представлены в таблице:

Вероятность того, что случайно выбранный ученик из участников опроса:

• девочка
• девочка, которая хочет стать известной
• хочет стать мастером

• Вероятность того, что случайно выбранная девочка хочет стать мастером

• Вероятность того, что случайно выбранный мальчик хочет стать мастером

Вычислим заново некоторые вероятности, которые были вычислены выше.

Например,

Значит, или

Значит,

Обобщая полученные примеры, запишем формулу условной вероятности.

или

здесь

Из формулы условной вероятности получаем:

Формула умножения вероятностей.

Пример №43

В семье два ребенка. Если один из них мальчик, то найдите вероятность того, что мальчиками окажутся оба ребенка.

Решение: введем обозначения мальчик – м, девочка – д. Найдем пространство элементарных событий и обозначим через событие, что оба ребенка мальчики, а через – событие, что хотя бы один ребенок мальчик. Тогда,

Формула условной вероятности не связана с тем являются ли события зависимыми или независимыми. По данной формуле можно вычислить вероятность любого события.

Пример №44

В общежитии студенческого городка на 3 этаже расположены самые комфортабельные комнаты, 3 из которых пустые. Всего в общежитии 12 пустых комнат и студенты, чтобы получить право занять комнату, тянут номера. Сначала номер вытянул Эльмир, а затем его друг. Какова вероятность того, что они оба попадут на 3-й этаж.

Решение:

Известно, что номер, который вытянул Эльмир не возвращается и его друг будет выбирать не из 12 номеров, а уже из 11. Вероятность того, что Эльмир попадет на 3-й этаж равна тогда шанс того, что его друг тоже попадет на 3-й этаж будет

Найдем по формуле вероятность того, что друг Эльмира также попадет на 3-й этаж, если Эльмир уже выбрал 3-ий этаж .

Если т. е. вероятность события не влияет на вероятность события то события и называются независимыми событиями. Если и являются независимыми событиями, то справедливо следующее

Пример №45

Ежедневно фирма но обеспечению продуктами должна завозить в столовую свежий хлеб. Директор столовой утверждает, что вероятность этого события равна 0,85. Если вы 4 дня подряд будете завтракать в данной столовой, то найдите вероятность того, что каждое утро на завтрак вы получите свежий хлеб.

Решение: вероятность, что на завтрак будет свежий хлеб не зависит от того, привезут ли свежий хлеб в другой день и равна:

Пример №46

В мешке 3 белых и 7 черных шара. Из мешка извлекают два шара (без возврата). Найдите вероятность того, что второй шар будет белого цвета.

Решение: обозначим через и соответственно события, что первый и второй шар будут белыми. Событие происходит в том случае, если или оба шара белые, или 1-й шар черный, а 2 -ой белый.

Значит,

Тогда

Сведения о статистике

Статистика — это наука, которая занимается сбором, обработкой и изучением различных данных, связанных с массовыми явлениями, процессами и событиями. Статистические сведения о какой-то большой совокупности объектов (генеральной совокупности) получают в основном в результате анализа только незначительной её части — выборки. Чтобы узнать, например, о наиболее распространённом размере мужской обуви, достаточно опросить несколько десятков мужчин. Предположим, что, опросив 60 мужчин, получили результаты, приведённые в таблице:

Это — частотная таблица, в ней числа второй строки — частоты. Например, частота обуви размера 29 равна 6. Относительная частота этого размера 

Проанализировав такую выборку, делают общий вывод: примерно 10 % мужской обуви надо делать 29 размера, а размера 26 — вдвое меньше. Это — приближённые отношения, но для практики таких приближений бывает достаточно.

Математическим анализом различных выборок занимается математическая статистика. Её основная задача — разрабатывать эффективные методы изучения больших совокупностей объектов па основе сравнительно небольших выборок.

Каждый элемент выборки называют её вариантой. Выборка, полученная в результате наблюдений, бывает неупорядоченной. Упорядочив её, получают вариационный ряд. Разность между крайними членами вариационного ряда — размах выборки. Пусть дано выборку

Упорядочив её по возрастанию вариант, получим вариационный ряд:

 Размах данной выборки 

 Мода выборки — её варианта с наибольшей частотой (обозначается Медиана выборки — число, которое «разделяет» соответствующий вариационный ряд пополам (обозначается 

Следовательно, для данной выборки 

 Средним значением выборки называют среднее арифметическое всех её вариант.

Например, если дано выборку  то её среднее значение

Если варианты выборки повторяются, то суммы равных слагаемых можно заменить произведениями.

Пример №47

7 рабочих бригады ежемесячно получают по 3000 руб, 8 — по 4500 руб,, а 5 — по 5000 руб,. Определите среднюю месячную зарплату рабочего этой бригады.

Решение:

Всего рабочих в бригаде  Поэтому искомая средняя зарплата

Ответ. 4100 руб,.

Моду, медиану и среднее значение выборки называют центральными тенденциями выборки.

В статистике часто используют и среднее квадратичное. Если дано  чисел  то их среднее квадратичное  определяется по формуле:

С помощью среднего квадратичного чаще оценивают совокупности погрешностей или отклонений от нормы. Рассмотрим пример. Желая выточить деталь радиуса  токарь практически вытачивает деталь радиуса  — некоторое отклонение (положительное или отрицательное). Пусть два токаря, выточив по 6 таких деталей, допустили такие ошибки (в десятых долях миллиметра):

• первый: 2, -5, 4, -3, -3, 5;
• второй: 3, -1, 4, 1, 1, 2.

Кто из них выполнил задание качественнее?

Чтобы ответить на вопрос, вычисляют средние квадратичные допущенных отклонений:

Качественнее работу выполнил второй токарь.

Если разности между вариантами выборки и её средним значением равны  то среднее арифметическое их квадратов называется дисперсией выборки (лат. dispersio — рассеяние). Дисперсия равна квадрату среднего квадратичного всех отклонений и вычисляется по формуле:

Подробнее о дисперсии см. на с. 325.

В математике, в частности в математической статистике, нередко используют также среднее геометрическое  и среднее гармоническое вычисляемые по формулам:

Для любого количества положительных чисел  всегда справедливы неравенства

Например, для положительных чисел  всегда

Докажите эти неравенства и приведите их геометрическую модель.

Пример №48

В результате выборочного анализа выручки (в тыс. руб) туристической фирмы за неделю получили выборку объёмом 

Для заданной выборки: а) найдите размах выборки; б) составьте частотную таблицу.

Решение:

а) Выпишем различные значения вариант, попавших в выборку: 87, 94, 99, 90, 85, 82, 81, 97.

Разместим варианты выборки в порядке возрастания: 81, 82, 85,87,90,94,97,99.

Размах выборки равен 

б) Вычислим частоту каждой варианты и составим частотную таблицу:

Пример №49

В результате анализа производства мяса (тыс. т) в январе-октябре 2010 года во всех областях получили такую совокупность данных.

Найдите: моду, медиану и размах выборки.

Решение:

Разместим варианты выборки в порядке возрастания: 34,41,44,47,47,47,47, 50, 50, 50, 52, 52, 55, 55, 63, 73, 73, 90, 90,115, 129,166, 206, 211,363.

Тогда мода выборки равна 47 (встречается 4 раза), медиана — 55 (имеет 13-й порядковый номер из 25), а размах — 329 (363 — 34).

Графические представления информации о выборке

Статистические данные сводят в таблицы. Статистическая таблица — это особая форма рационального и систематизированного изложения обобщающих характеристик статистической совокупности. Как и грамматическое предложение, статистическая таблица имеет подлежащее и сказуемое. В подлежащем приводится перечень элементов, явлений, признаков, указанных в таблице. В сказуемом таблицы подаются количественные характеристики. Например, в приведённой ниже таблице сбора зерна в некоторых странах в 1995 г. подлежащим является левая колонка. Числовые данные в других — сказуемое таблицы.

Информацию о той или иной выборке часто подают графически, чаще всего в форме диаграмм. Слово диаграмма в переводе с греческого означает рисунок, чертёж. Правда, теперь этим словом называют не любой рисунок, а схематическое изображение отношений между множествами, различные структуры, алгоритмы действий и т. д. Отношения (соотношения) между множествами и объёмами понятий зачастую изображают в виде диаграмм-деревьев или диаграмм Эйлера (рис. 137,135).

Структуры моделей, различные диаграммы классов, состояний удобно подавать в виде круговых (секторных) диаграмм.

На рисунках 144 и 145 на секторной и столбчатой диаграммах изображены соотношения между численностью граждан разных национальностей (согласно переписи 2001 г.).

Столбчатую диаграмму из соединённых прямоугольников называют гистограммой. На рисунке 146 изображена гистограмма, которая соответствует приведённой ниже таблице распределения рабочих цеха по тарифным разрядам.

Иногда вместо гистограммы строят полигон распределения, соединяя отрезками середины верхних оснований последовательных прямоугольников гистограммы (рис. 147). Бывают и другие диаграммы.

Информацию о динамике того или иного явления графически удобно изображать с помощью столбчатых диаграмм или графиков. Например, на рисунке 148 приведена диаграмма динамики рождаемости от 1960 до 2002 года; на рисунке 149 графики, отражающие динамику количества учеников, классов и школ в сёлах.

В социологии диаграммы часто строят на основе полярной системы координат. На двух следующих диаграммах {рис. 150. 151) большим расстояниям от полюса 0 соответствуют большие значения величин. Проанализируйте эти диаграммы.

Пример №50

По данным таблицы «Структура валового сбора зерновых культур в мире (%)» постройте секторную диаграмму.

Решение:

На 100 % приходится  а на  Умножив  на данные таблицы, получим:  Построив центральные углы с соответствующими градусными мерами, получим нужную диаграмму (рис. 152). Достаточно просто построить такую диаграмму с помощью программы Microsoft Graf (через команды Вставка / Объект / Диаграмма Microsoft Gгаf) или программы Excel.

Как решать случайные события

Построением и исследованием моделей различных процессов, связанных с понятием случайности, занимаются математическая статистика и теория вероятностей. К таким процессам, например, относятся риски (рискованные операции) на производстве и в банковском деле, массовые заболевания среди растений, животных или людей, азартные игры.

Из предыдущих классов вы уже имеете некоторые представления о теории вероятностей, теперь немного расширим и углубим их.

Важнейшими понятиями теории вероятностей являются вероятностный эксперимент (испытание, наблюдение), событие (следствие испытания) и вероятность события. Приведём примеры испытаний и их отдельных последствий — некоторых событий.

Последнее событие невозможное, поскольку на гранях игрального кубика нет нуля. Событие 3 достоверное, так как после зимы всегда наступает весна. События 1 и 2 случайные.

Вообще, событие называется невозможным, если оно никогда не может произойти, достоверным — если оно всегда происходит. Если событие может произойти или не произойти, его называют случайным.

Принято считать, что невозможное и достоверное события — частные случаи случайного события.

События обозначают большими латинскими буквами  или одной латинской буквой с индексом:  Содержание события подают в фигурных скобках. Например, третье событие из таблицы можно записать так:

Сказать заранее о случайном событии, что оно состоится или не состоится, нельзя. Если же это событие массовое, выполняется много раз и при одинаковых условиях, то вероятность его наступления можно характеризовать некоторым числом.

Это можно сделать тогда, когда последствия испытаний рав-новозможные и составляют конечное множество, т.е. в условиях проведённого испытания нет оснований считать появление одного из следствий более или менее возможным, чем других.

Пример:

Бросают один раз правильный однородный игорный кубик {рис.159) и фиксируют количество очков на грани, оказавшейся вверху. Результатом такого испытания могут стать 6 различных событий:

Эти шесть событий охватывают и исчерпывают все возможные последствия эксперимента. Они попарно несовместимы, ибо каждый раз выпадает только одно количество очков. Все шесть событий одинаково возможны, поскольку речь идёт об однородном кубике правильной формы и ловкость игрока исключается. В таком случае говорят, что для осуществления каждого из этих событий существует один шанс из шести.

Каждое из событий  вышеописанного испытания называют элементарным, а всё их множество — пространством элементарных событий.

Элементарным событием называют каждый возможный результат вероятностного эксперимента. Множество всех возможных последствий эксперимента называют пространством элементарных событии и обозначают греческой буквой  (омега).

Если пространство элементарных событий для некоторого испытания состоит из  равновозможных несовместимых событий, то вероятность каждого из них равна  Например, вероятность того, что на подброшенном игорном кубике выпадет 5 очков, равна  А вероятность того, что подброшенная монета упадёт вверх гербом, равна  Вероятность события  обозначают  Если первое из этих событий обозначить буквой  а второе — буквой  то 

Есть события не элементарные. Рассмотрим, например, такое событие:

Поскольку пластинок домино всего 28, то испытание, связанное с выбором одной пластинки, исчерпывается 28 равновозможными и независимыми последствиями. Следовательно, пространство элементарных событий для данного испытания состоит из 28 элементарных событий  Событие  может произойти, если произойдёт одно из двух элементарных событий (рис. 160):

Говорят, что событию  способствуют два элементарных события  из возможных 28, поэтому 

Рассмотрим общий случай. Пусть испытание имеет конечное количество  равновозможных и несовместимых последствий и  — некоторое случайное событие, связанное с данным испытанием.

Будем называть элементарное событие  благоприятным для случайного события  если наступление события  в результате испытания приводит к наступлению события 

Если количество последствий (элементарных событий), благоприятных событию  обозначить через  то вероятность случайного события  определяется по формуле:

Вероятностью случайного события  называют отношение числа благоприятных для события  элементарных событий к числу  всех равновозможных и попарно несовместимых элементарных событий, которые образуют пространство элементарных событий для данного испытания.

Такое определение вероятности называют классическим.

Свойства вероятности случайного события

Перечислим важнейшие свойства вероятности случайного события:

1. Если  — событие невозможное, то 
2. Если  — событие достоверное, то 
3. Если  — событие случайное, то 
4. Если  — элементарные события, исчерпывающие некоторое испытание, то 

Пример №51

Во время тестирования стиральной машины выяснилось, что одна из пяти деталей  имеет дефект. Есть возможность за один раз проверить три детали, которые механик произвольно выбирает из определённых. Чему равна вероятность того, что: а) будет проверена деталь  (событие  б) будут проверены детали  (событие  в) будет проверена хотя бы одна из деталей  (событие 

Решение:

Построим пространство элементарных событий для данного испытания (из 5 деталей выбирают 3). Имеем: 

а)    Событию  способствуют 6 элементарных событий из 10:   Можем найти вероятность события 

б)    Событию  способствуют 3 элементарных события из  поэтому вероятность события  равна 

в)    Событию  способствуют 9 элементарных событий из 10 (все, кроме поэтому вероятность события  равна 

Вычислять вероятности событий часто помогают правила и формулы комбинаторики.

Пример №52

На вершину горы ведут 4 одинаково удобные тропы. Какова вероятность того, что вы подниметесь на гору и спуститесь с неё тем же маршрутом, которым проходил там ваш товарищ?

Решение:

Всего существует  различных маршрутов. Поскольку все они одинаково удобны, то вероятность пройтись по одному из них равна 

Ответ. 

Пример №53

Ученик цифрами 1, 2, 3, 4, 5 написал неизвестное вам пятизначное число. Какова вероятность того, что вы сразу отгадаете это число?

Решение:

Всего таких чисел есть  Вероятность угадать одно из них равна 

Ответ 

Пример №54

В корзине есть 20 яблок, одинаковых на вид, 15 из них — сладкие, а 5 — кислые. Какова вероятность того, что взятые наугад два яблока окажутся кислыми?

Решение:

Выбрать пару из всех 20 яблок можно  способами, а из 5 яблок — способами.

Следовательно, искомая вероятность 

Пример №55

Есть карточки с цифрами 3, 4, 5, 6, 7. Три из них выбирают наугад. Какова вероятность того, что из них можно составить арифметическую прогрессию?

Решение:

Три карты из пяти можно выбрать  способами. Арифметические прогрессии можно составить только из таких наборов:  Всего этих наборов 4. Следовательно, искомая вероятность 

Пример №56

Из перевёрнутых 28 костяшек домино наугад берут одну. Какова вероятность того, что на одной из её частей окажется 1 очко (событие 

Решение:

Подсчитаем, сколько существует костяшек домино, содержащих одно очко: 

Всего возможностей выбора 28, поскольку взять можно любую из

28 костяшек. Следовательно, 

Ответ. 0,25.

Пример №57

На каждой из четырёх карточек написано одну из букв А, Й, Р, К. Карточки перемешивают и раскладывают в ряд. Какова вероятность того, что образуется слово КРАЙ?

Решение:

Из четырёх данных букв можно образовать перестановки. Из них условие задачи удовлетворяет только одна. Следовательно, искомая вероятность 

Ответ. 

Пример №58

На 1000 билетов лотереи приходится 1 выигрыш в 5000 руб, 10 выигрышей по 1000 руб, 50 — по 200 руб, 100 — по 50 руб. Остальные билеты невыигрышные. Найдите вероятность выигрыша на один билет, не менее чем 200 руб.

Решение:

Билетов, на которые приходятся выигрыши, не меньше 200 руб, всего  Общее количество билетов 1000. Поэтому искомая вероятность 

Ответ. 0,061.

Пример №59

Студент пришёл на экзамен, зная ответы только на 20 из 25 вопросов программы. Найдите вероятность того, что он из трёх предложенных вопросов знает ответы минимум на два.

Решение:

Всего вариантов троек вопросов  Из них  троек таких, на которые он может ответить полностью. Может он ответить и на  вопросов.

Если к каждой такой паре вопросов присоединить один из 5 вопросов, которые он не знает, получим еще  троек. Следовательно, искомая вероятность

Ответ. 

Относительная частота события и случайные величины

До сих пор речь шла о классическом понимании вероятности. Её вычисляют, исходя из того, что все рассматриваемые элементарные события одинаково вероятны. Такое случается сравнительно редко.

Представьте, что игральный кубик сделан так, что его грань с шестью очками находится дальше от центра масс, чем противоположная грань. Такой кубик и падает чаще вверх гранью с 6 очками. При этом наблюдается интересная и очень важная закономерность. Когда кто-то один подбросил такой кубик 1000 раз и он упал, например, 300 раз вверх гранью с 6-ю очками, то и другие экспериментаторы имели бы примерно такие же результаты. Много массовых случайных событий имеют свойство устойчивости.

При достаточно большом числе независимых испытаний частота появления наблюдаемого события колеблется около одного и того же числа. В справедливости этого многие специалисты убедились экспериментально. А математики Я. Бер-нулли, П. Чебышев и др. обосновали это утверждение и теоретически (закон больших чисел). Поэтому для таких (статистически устойчивых) событий есть смысл ввести понятие вероятности.

 Если в  испытаниях событие  происходит  раз, то дробь  определяет относительную частоту события  Во многих реальных случаях с увеличением  относительная частота событий стабилизируется и всё меньше отличается от некоторого числа  (когда  Это число  называют вероятностью события 

Таково статистическое определение вероятности. Объём определённого им понятия гораздо шире того, что соответствует классическому определению (см. с. 314). Классическая вероятность — отдельный вид статистической. И всё же отличаются они существенно. Классическую вероятность вычисляют математическими методами, а статистическую в основном определяют экспериментально.

Теперь, говоря о вероятности, специалисты в основном подразумевают статистическую вероятность. Поэтому современная теория вероятностей тесно связана с математической статистикой. Объединение математической статистики и теории вероятностей называют стохастикой. Стохастический — значит случайный, вероятный.

Что такое экзит-пол? На каких основаниях ему доверяют? Экзит-пол — это опрос социологическими службами избирателей на выходе их из избирательных участков с целью предсказать результаты выборов до получения их от избирательных комиссий. Ему доверяют на основе устойчивости относительной частоты события. Если за какую-то партию или кандидата из правильно выбранных 100 избирателей проголосовали, например, 20 % избирателей участка, то можно надеяться (с погрешностью около 5 %), что так проголосовали и все избиратели участка.

Одно из важнейших понятий стохастики — случайная величина. Величину называют случайной, если она может принимать заранее неизвестные числовые значения, зависящие от случайных обстоятельств. Примеры:

1. выигрыш на лотерейный билет;
2. расстояние от точки попадания пули к центру мишени.

Значение первой из этих случайных величин — некоторые целые числа. Такие величины называют дискретными. Множество значений второй величины — некоторый непрерывный отрезок числовой прямой. Такие величины называют непрерывными.

Рассмотрим задачу. Выпущено 100 лотерейных билетов. Из них 5 должны выиграть по 10 руб, 10 — по 5 руб, 40 — по 1 руб, остальные — без выигрышные. Какой средний выигрыш приходится на один билет?

Решить эту задачу можно арифметическим способом:

Мы проиллюстрируем на этой задаче понятие случайной величины. Здесь выигрыш — случайная величина, которая может принимать значения 0, 1. 5, 10 (руб,) соответственно с вероятностями 0,45; 0,4; 0,1 и 0,05. Это — дискретная случайная величина  Описанной ситуации соответствует такая таблица:

Обратите внимание! Сумма вероятностей, имеющихся во второй строке таблицы, равна 1. Говорят, что данную случайную величину  распределено по вероятностям.

Если случайная величина  принимает значения  с вероятностями соответственно  то говорят, что величину распределено по такому закону:

Её среднее значение называют математическим ожиданием и обозначают 

Например, для предыдущей задачи

Меру рассеиваний случайной величины вокруг её математического ожидания называют её дисперсией. Дисперсию случайной величины  обозначают символом  и вычисляют по формуле  Здесь  — математическое ожидание величины  — квадраты отклонений значений  от  Величина  также случайная, её математическое ожидание  — дисперсия случайной величины 

Например, чтобы найти дисперсию рассмотренной выше случайной величины  сначала найдём отклонения всех её значений от математического ожидания:

Квадраты этих отклонений:  Найдём математическое ожидание случайной величины:

Это и есть дисперсия рассматриваемой случайной величины: 

Если случайная величина дискретная и вероятности всех её значений равны, то говорят, что она имеет равномерное дискретное распределение вероятностей. По равномерному распределению выпадает число очков при подбрасывании правильного игрального кубика. А бывают другие распределения.

Для многих природных и общественных явлений характерны биномиальные распределения вероятностей. Биномиальное распределение возникает при последовательном проведении в одинаковых независимых условиях случайных опытов.

Английский математик А. Муавр ещё в XVIII в. измерил рост 1375 наугад выбранных женщин. На рисунке 164 изображена диаграмма, которая соответствует результатам его измерений. Если «успехом» назвать тот факт, что следующая встреченная женщина имеет рост, который находится в определённых пределах, то число женщин такой категории среди 1375 встреченных является случайной величиной с биномиальным распределением. Относительно параметра  можно утверждать, что этим числом может служить относительная частота женщин выделенной категории роста, поскольку число проведённых опытов достаточно большое и эта частота стабилизировалась. Английский психолог Ф. Гальтон сконструировал прибор (доску Гальтона), который наглядно показывает, как формируется случайная величина, распределённая по биномиальному закону, правда при  (рис. 165). В верхний резервуар насыпаются шарики.

Скатываясь по наклонной доске и обходя равномерно забитые в неё колышки, шарики заполняют нижние ячейки согласно биномиальному распределению вероятностей.

Если шариков достаточно много, то внизу они образуют симметричную горку колоколообразной формы. Верхний предел этой горки образует полигон, который при росте числа шариков приближается к кривой Гаусса —гак называемой кривой плотности стандартного нормального закона.

В рассмотренном выше примере результаты измерения роста

женщин разбиты на 18 групп с разностью  Если бы разбили их на большее количество групп, чтобы эта разность равнялась, например, 0,5 см, и построили соответствующий полигон, то образовалась бы ломаная из многих отрезков. А если бы разность  продолжали уменьшать, то соответствующий полигон приближался бы к непрерывной кривой, изображённой на рисунке 164. Это — кривая плотности нормального распределения вероятностей. Примерно так распределяются вероятности масс новорождённых, скоростей газовых молекул и многих других случайных величин физической, биологической или социальной природы. Биномиальное распределение характерно для многих дискретных случайных величин, а нормальное — для непрерывных. Если известно, что распределение вероятностей случайной величины нормальное, то достаточно знать только две её числовые характеристики (математическое ожидание и дисперсию), чтобы полностью описать распределение вероятностей.

Понимание сути нормального распределения необходимо всем учёным, исследующим закономерности живой или неживой природы и особенно — человеческого общества. Не случайно это распределение называют нормальным, оно — естественное. Именно так чаще всего распределяются не только массы, возрасты, физические возможности людей и человеческих сообществ, но и многие другие их характеристики. Не понимая этого, нельзя быть настоящим учёным.

Пример №60

Найдите математическое ожидание случайной величины  если закон её распределения представлен в таблице.

Решение:

Ответ: 7,2

Исторические сведения:

Простейшие комбинаторные задачи учёные Древней Греции решали ещё в IV в. до н. э. Отдельные индийские математики умели находить число комбинаций из  элементов по  еще во II в. до н. э., знали также соотношение, которое теперь записывают в виде равенства 

Начиная с XVII века, европейские математики интересовались комбинаторикой в связи с развитием теории вероятностей. Термин «комбинаторика» получил распространение после опубликования работы Г. Лейбница «Рассуждение о комбинаторном искусстве» (1666 г.). Термины и символы комбинаторики устанавливались не сразу. Произведение  первых натуральных чисел сначала называли факультативом и обозначали знаком  Только в конце XVIII в. его стали называть факториалом и обозначать символом  Знаки появились только в XIX в. Эйлер число комбинаций из  элементов по  обозначал знаком  Отдельные математики и теперь пользуются таким обозначением.

Формулу для разложения бинома  некоторые учёные-арабы знали ещё в X в. Опубликовал её Насирэддин Туси в XIII в. Арабские учёные знали также, что  

этого равенства вытекает правильность треугольника Паскаля для всех натуральных значений  Следовательно, формула, которую теперь называют бином Ньютона, была известна задолго до рождения великого учёного. Ньютон только распространил её на случаи отрицательных и дробных показателей степени 

В отдельную математическую дисциплину комбинаторика оформилась после XVIII века. С её помощью учёные расшифровали много различных кодов, прочитали крито-микенские иероглифы, разгадали структуру дезоксирибонуклеиновой кислоты (ДНК) и т.д. В данном учебнике рассмотрены только простейшие комбинаторные задачи и способы их решения; в полных курсах есть много других формул и решаются намного тяжелее и интереснее задачи.

Собирать и анализировать статистические данные некоторые люди начали давно. В Китае переписи населения предпринимались ещё более 4 тыс. лет назад. В Киевской Руси переписи проводились с 1245 г.

В Европе в XVII в. появилась отдельная наука «Политическая арифметика». Её инициировала книга Дж. Граунта «Естественные и политические наблюдения, сделанные по бюллете-нюсмертности … относительно управления, религии, торговли, роста, воздуха, болезней и различных изменений …» (1662). В ней впервые введено понятие частоты события, выявлено, что мальчики рождаются чаще, чем девочки (в отношении 14: 13). Автор книги исследовал, что в тогдашнем Лондоне из каждых 100 новорождённых жили до: 

Теорию вероятностей как отрасль математики основали французские математики Б. Паскаль и П. Ферма.

ПАСКАЛЬ Блез (1623-1662)

Выдающийся французский математик, физик, философ. В 16 лет сформулировал основную теорему проективной геометрии. Один из создателей теории вероятностей, разработал новые методы в комбинаторике и математическом анализе. «Паскаль — человек большого ума и большого сердца, один из тех, которых называют пророками».

Л. Толстой

Впоследствии большой вклад в развитие математической статистики сделали У. Петти, А. Муавр, Л. Эйлер, Я. Бернулли, Г1. Лаплас, С. Пуассон и др. В Российской империи в XIX в. проблемами статистики больше занимались математики М. Остроградский и В. Буняковский. В частности, М. Остроградский разработал статистические методы браковки товаров, составил «Таблицы для облегчения вычисления траектории тела в среде с сопротивлением ». В. Буняковский исследовал статистические характеристики народонаселения, вероятных контингентов русской армии, пенсий, правдоподобия показаний в судопроизводстве, погрешностей в наблюдениях и т. п. Он был главным экспертом правительства по вопросам статистики и страхования.

В XX в. из  математиков в области теории вероятностей и математической статистики плодотворно работали Е. Слуцкий, М. Кравчук, С. Бернштейн, И. Гихман, К). Линник и другие учёные. Современное государство не может функционировать без статистики. Существует Государственный комитет статистики, тысячи специалистов собирают, анализируют и используют различные статистические сведения.

Задачи, в которых надо определить, сколько различных подмножеств или упорядоченных подмножеств можно образовать из элементов данного множества, называют комбинаторными.

Если элемент некоторого множества  можно выбрать  способами, а элемент множества  способами, то элемент из множества  или из множества  можно выбрать  способами. Это — правило суммы.

Если первый компонент пары можно выбрать  способами, а второй —  способами, то такую пару можно выбрать  способами. Это — правило произведения.

Произведение всех натуральных чисел от 1 до  называют –факториалом и обозначают 

Упорядоченные -элементные подмножества -элементного множества называют размещениями из  элементов по  Их число обозначают 

Для любых натуральных   верны равенства:

Число размещений из  элементов по  равно произведению последовательных натуральных чисел, наибольшее из которых 

Размещения из  элементов по  называют перестановками из  элементов. Их число обозначают 

Число перестановок из  элементов равно 

Комбинацией из  элементов по  называют любое -элементное подмножество -элементного множества. Число комбинаций из элементов по  обозначают  и вычисляют но формуле 

Статистика — это наука, которая занимается сбором, обработкой и изучением различных данных, связанных с массовыми явлениями, процессами и событиями.

Мода выборки — её варианта с наибольшей частотой. Медиана выборки — число, которое «разделяет» соответствующий вариационный ряд пополам. Средним значением выборки называют среднее арифметическое всех её вариант.

Элементарным событием называют каждый возможный результат вероятностного эксперимента. Множество всех возможных последствий эксперимента называют пространством элементарных событий и обозначают греческой буквой  (омега).

Вероятностью случайного события  называют отношение числа благоприятных для события  элементарных событий к числу  всех равновозможных и попарно несовместимых элементарных событий, которые образуют пространство элементарных событий для данного испытания: 

Такое определение вероятности называют классическим.

Важнейшие свойства вероятности случайного события:

1. Если  — событие невозможное, то 
2. Если  — событие достоверное, то 
3. Если  — событие случайное, то 
4. Если  — элементарные события, исчерпывающие некоторое испытание, то 

Если в  испытаниях событие  происходит  раз, то дробь  определяет относительную частоту события  Во многих реальных случаях с увеличением  относительная частота события стабилизируется и всё меньше отличается от некоторого числа  (когда  Это число  называют вероятностью события  Таково статистическое определение вероятности.

Понятие случайного события. Классическое определение вероятности

1. Случайные события

Понятия:

Под экспериментами со случайными результатами (или, коротко говоря, случайными экспериментами) понимают различные эксперименты, опыты, испытания, наблюдения, измерения, результаты которых зависят от случая и которые можно повторить много раз в одинаковых условиях.

Примеры:

Эксперименты с рулеткой, бросанием игрального кубика, подбрасыванием монеты, серия выстрелов одного и того же стрелка по одной и той же мишени, участие в лотерее и др

Понятия:

Любой результат случайного эксперимента называют случайным событием. Вследствие такого эксперимента это событие может или произойти, или не произойти. Случайные события обычно обозначают прописными буквами латинского алфавита A, B, C, D, … .

Примеры:

Выпадение «герба», выпадение «числа» при подбрасывании монеты; выигрыш в лотерею, выпадение определенного количества очков при бросании игрального кубика и т. п.

2. Понятия, связанные со случайными событиями в некотором эксперименте

Понятия:

События называют равновозможными, если в данном эксперименте нет никаких оснований предполагать, что одно из них может произойти предпочтительнее, чем любое другое.

Примеры:

В эксперименте с однократным подбрасыванием однородной монеты правильной формы равновозможными являются события: A — выпал «герб», B — выпало «число».

Понятия:

События А и В называют несовместными, если они не могут произойти одновременно в данном эксперименте.

Примеры:

В эксперименте с подбрасыванием монеты события A — выпал «герб» и B — выпало «число» – несовместные.

Понятия:

События называют несовместными, если каждая пара из них несовместна в данном эксперименте.

Примеры:

Для эксперимента с подбрасыванием игрального кубика события — выпадение 1 очка, — выпадение 3 очков, — выпадение 5 очков, — выпадение четного числа очков – несовместные.

Понятия:

Событие U называют достоверным, если в результате данного эксперимента оно обязательно произойдет.

Примеры:

Выпадение меньше 7 очков при бросании игрального кубика (на гранях обозначено от 1 до 6 очков).

Понятия:

Событие ∅ называют невозможным, если оно не может произойти в данном эксперименте.

Примеры:

Выпадение 7 очков при бросании игрального кубика.

3. Пространство элементарных событий

Понятия:

Пусть результатом некоторого случайного эксперимента может быть только одно из несовместных событий Назовем их элементарными событиями, а множество всех этих событий — пространством элементарных событий. Случайным событием А назовем любое подмножество пространства элементарных событий U.

Примеры:

1. Для эксперимента с подбрасыванием монеты элементарными будут события — выпал «герб», — выпало «число». Тогда пространство элементарных событий будет состоять из двух событий:(Эти события несовместные, и в результате эксперимента одно из них обязательно произойдет.)
2. Для эксперимента с бросанием игрального кубика элементарными могут быть события где — выпадение k очков, k = 1, 2, 3, 4, 5, 6. В этом случае пространство элементарных событий будет состоять из шести событий:

4. Классическое определение вероятности (для равновозможных элементарных событий)

Понятия:

Пусть дано пространство элементарных событий, все из которых равновозможные. Вероятность события A — это отношение количества m элементарных событий, благоприятствующих этому событию, к количеству n всех равновозможных элементарных событий в данном эксперименте:

Пример:

Найдите вероятность выпадения больше четырех очков при бросании игрального кубика.

Рассмотрим как элементарные события шесть равновозможных результатов бросания кубика — выпало 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков (следовательно, n = 6). Событие A — выпало больше 4 очков. Благоприятствуют событию A только два элементарных события — выпало 5 или 6 очков (m = 2) . Тогда

Вероятность достоверного (U) и невозможного (∅) событий

P (U ) = 1

P ( ∅) = 0

Объяснение и обоснование:

Случайные эксперименты и случайные события

Нам часто приходится проводить различные наблюдения, опыты, принимать участие в экспериментах или испытаниях. Такие эксперименты могут завершаться результатом, который заранее предусмотреть невозможно. Например, мы покупаем лотерейный билет и не знаем, выиграет ли он; подбрасываем монету и не знаем, что выпадет — число или герб. Можно ли каким-то образом оценить шансы появления результата, который нас интересует? Ответ на этот вопрос дает раздел математики, который называется теорией вероятностей. Мы ознакомимся только с основами этой теории.

Одним из основных понятий, которые рассматриваются в теории вероятностей, является понятие эксперимента со случайными результатами. Примером такого эксперимента может служить подбрасывание монеты судьей футбольного матча перед его началом, чтобы определить, какая из команд начнет матч с центра поля.

Под экспериментами со случайными результатами (или, коротко говоря, случайными экспериментами) понимают различные эксперименты, опыты, испытания, наблюдения, измерения, результаты которых зависят от случая и которые можно повторить много раз в одинаковых условиях. Например, это серия выстрелов одного и того же стрелка по одной и той же мишени, участие в лотерее, вынимание пронумерованных шаров из коробки, эксперименты с рулеткой, бросанием игрального кубика, подбрасыванием монеты.

Любой результат случайного эксперимента называется случайным событием. В результате проводимого эксперимента это событие может произойти или не произойти. Заметим, что для каждого случайного эксперимента обычно заранее уславливаются, какие его результаты рассматриваются как элементарные события, а затем случайное событие рассматривается как подмножество получившегося множества (см. с. 288).

Далее, как правило, будем обозначать случайные события прописными буквами латинского алфавита A, B, C, D, … .

Говоря о случайных событиях, будем иметь в виду, что эти события связаны с одним вполне определенным случайным экспериментом.

Заметим, что много важных и нужных фактов теории вероятностей сначала были получены с помощью очень простых экспериментов. Большую роль в развитии теории вероятностей как науки сыграли обычные монеты и игральные кубики. Но те монеты и кубики, которые рассматривают в теории вероятностей, являются математическими образами настоящих монет и кубиков (потому о них иногда говорят, что это математическая монета и математический игральный кубик).

Например, математическая монета, которую используют в теории вероятностей, лишена многих качеств настоящей монеты. У математической монеты нет цвета, размера, веса и стоимости. Она не сделана ни из какого материала и не может служить платежным средством. Монета, с точки зрения теории вероятностей, имеет только две стороны, одна из которых называется «герб* », а другая – «число». Монету бросают, и она падает одной из сторон вверх. Никаких других свойств у математической монеты нет. Математическая монета считается симметричной. Это означает, что брошенная на стол монета имеет равные шансы выпасть «гербом» или «числом». При этом имеется в виду, что никакой другой результат бросания монеты невозможен  она не может потеряться, закатившись в угол, и, тем более, не может «встать на ребро».

Настоящая металлическая монета (рис. 22.1) служит лишь иллюстрацией математической монеты. Настоящая монета может быть немного вогнутой, может иметь другие дефекты, которые влияют на результаты бросания. Однако, чтобы проверить на практике опыты с бросанием математической монеты, мы бросаем обычную монету (без явных дефектов).

Игральный кубик также служит прекрасным средством для получения случайных событий. Игральный кубик имеет удивительную историю. Игра с кубиками – одна из древнейших. Она была известна в глубокой древности в Индии, Китае, Лидии, Египте, Греции и Риме. Игральные кубики находили в Египте (XX в. до н. э.) и в Китае (VI в. до н. э.) при раскопках древних захоронений. Правильные (симметричные) кубики обеспечивают одинаковые шансы выпадения каждой грани. Для этого все грани должны иметь одинаковую площадь, быть плоскими

и одинаково гладкими. Кубик должен иметь кубическую форму, и его центр тяжести должен совпадать с геометрическим центром. Вершины и ребра кубика должны иметь правильную форму. Если они округлены, то все округления должны быть одинаковыми. Отверстия, которыми маркируют количество очков на гранях, должны быть просверлены на одинаковую глубину. Сумма очков на противоположных гранях правильного кубика равняется 7 (рис. 22.2).

Математический игральный кубик, который обсуждается в теории вероятностей, – это математический образ правильного кубика. Выпадение всех граней равновозможно. Подобно математической монете, математический кубик не имеет ни цвета, ни размера, ни веса, ни других материальных качеств.

Некоторые понятия, связанные со случайными событиями

Пусть проведен какой-то случайный эксперимент. Как отмечалось выше, его результатами являются некоторые случайные события. В результате такого эксперимента каждое из событий может или произойти, или не произойти. Говоря о случайных событиях, будем иметь в виду, что эти события связаны с одним вполне определенным экспериментом.

События называют равновозможными, если в данном эксперименте нет никаких оснований предполагать, что одно из них может произойти предпочтительнее, чем любое другое. Например, в эксперименте с однократным подбрасыванием однородной монеты правильной формы равновозможными являются события: A — выпал «герб» и B — выпало «число».

События А и В называют несовместными, если они не могут произойти одновременно в данном эксперименте. Так, в эксперименте с однократным подбрасыванием монеты события: A — выпал «герб» и B — выпало «число» – несовместные.

События называют несовместными, если каждая пара из них несовместна в данном эксперименте. Для эксперимента с однократным подбрасыванием игрального кубика события: — выпадение 1 очка, — выпадение 2 очков, — выпадение 3 очков, — выпадение 4 очков, — выпадение 5 очков, — выпадение 6 очков -несовместные (и равновозможные).

Событие U называют достоверным, если в результате данного эксперимента оно обязательно произойдет. Например, выпадение меньше 7 очков при бросании игрального кубика (на гранях обозначено от 1 до 6 очков) является достоверным событием.

Событие ∅ называют невозможным, если оно не может произойти в данном эксперименте. Например, выпадение 7 очков при бросании игрального кубика  невозможное событие.

Пространство элементарных событий

Пусть результатом некоторого случайного эксперимента может быть только одно из несовместных событий Назовем их элементарными событиями, а множество всех этих событий U = {} — пространством элементарных событий.

Например, для эксперимента с подбрасыванием монеты элементарными будут события: — выпадение «герба», — выпадение «числа». Тогда пространство элементарных событий будет состоять из двух событий: (Эти события несовместные, и в результате эксперимента обязательно произойдет одно из этих событий.)

Для эксперимента с подбрасыванием игрального кубика элементарными событиями могут быть следующие события: — выпадение 1 очка, — выпадение 2 очков, — выпадение 3 очков, — выпадение 4 очков, — выпадение 5 очков, — выпадение 6 очков. В этом случае пространство элементарных событий будет состоять из шести событий:

Случайным событием А назовем любое подмножество пространства элементарных событий U.

Например, для эксперимента с подбрасыванием игрального кубика случайным является событие А — выпадение четного числа очков, поскольку — подмножество U.

Классическое определение вероятности

Пусть результатом некоторого случайного эксперимента может быть одно и только одно из п попарно несовместных и равновозможных элементарных событий (то есть пространство U элементарных событий данного случайного эксперимента состоит из элементарных событий ). И пусть в рассматриваемом эксперименте событие A состоит в том, что происходит одно из m заранее выделенных элементарных событий , то есть (в этом случае говорят, что элементарные события благоприятствуют событию A).

Вероятность события А определим как отношение числа m элементарных событий, благоприятствующих событию А, к общему числу n элементарных событий в данном эксперименте, то есть как отношение

Вероятность события А принято обозначать Р (А) (буква Р -первая буква французского слова probabilité или латинского слова probabilitas, что в переводе означает «вероятность»). Тогда

Этим равенством выражается классическое определение вероятности, которое можно сформулировать следующим образом.

Если рассматривается пространство равновозможных элементарных событий, то вероятность события A — это отношение числа благоприятствующих ему элементарных событий к числу всех равновозможных элементарных событий в данном эксперименте.

Например, в эксперименте с подбрасыванием монеты равновозможными элементарными событиями являются два (n = 2) события: A — выпал «герб» и B — выпало «число». Событию А благоприятствует только один случай (m = 1), поэтому

Очевидно, что вероятность события В также равна . Следовательно, в эксперименте с однократным подбрасыванием монеты вероятность выпадения «герба» (или «числа») равна .

Аналогично обосновывается, что в эксперименте с подбрасыванием игрального кубика вероятность события выпало i очков (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) равна (обоснуйте это самостоятельно).

Заметим, что если в любом эксперименте рассмотреть невозможное событие ∅, то нет элементарных событий, благоприятствующих данному событию, то есть число элементарных событий, ему благоприятствующих, равно нулю (m = 0), и тогда Следовательно, вероятность невозможного события равна 0.

Например, в эксперименте с бросанием игрального кубика вероятность невозможного события А -выпало 7 очков — равна 0.

Если в любом эксперименте рассмотреть достоверное событие U, то ему благоприятствуют все элементарные события в этом эксперименте (т = п), тогда Следовательно, вероятность достоверного события равна 1.

Например, в эксперименте с бросанием игрального кубика событие А – выпало 1 очко, или 2 очка, или 3 очка, или 4 очка, или 5 очков, или 6 очков, достоверное, и его вероятность равна 1.

Пример №61

Пользуясь приведенным определением, найдем вероятность события A — выпало число очков, кратное 3, при бросании игрального кубика.

Решение:

Как отмечалось выше, в эксперименте с бросанием кубика существует шесть попарно несовместных равновозможных элементарных событий — выпало 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков (также можно сказать, что пространство элементарных событий состоит из шести указанных попарно несовместных равновозможных событий). Благоприятствуют событию A только два элементарных события: выпало 3 очка и выпало 6 очков.

Следовательно, вероятность события A равна:

Пример №62

Петя и Паша бросают желтый и синий игральные кубики (рис. 22.3) и каждый раз подсчитывают сумму выпавших очков. Они договорились, что в случае, когда в очередной попытке в сумме выпадет 8 очков, то выигрывает Петя, а когда в сумме выпадет 7 очков — выигрывает Паша. Является ли эта игра справедливой?

Решение:

При бросании кубиков на каждом из них может выпасть 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Каждому числу очков, выпавших на желтом кубике (1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков), отвечает шесть вариантов числа очков, выпавших на синем кубике. Следовательно, всего получаем 36 попарно несовместных равновозможных элементарных событий. Результаты этого эксперимента приведены в таблице:

Здесь в каждой паре чисел на первом месте записано число очков, выпавшее на желтом кубике, а на втором месте — число очков, выпавшее на синем кубике.

Пусть событие A состоит в том, что при бросании кубиков в сумме выпало 8 очков, а событие B — при бросании кубиков в сумме выпало 7 очков. Событию A благоприятствуют следующие 5 результатов (элементарных событий):

(2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2).

Событию B благоприятствуют следующие 6 результатов (элементарных событий):

(1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1).

Тогда

Таким образом, шансов выиграть у Паши больше, чем у Пети, значит, такая игра не будет справедливой.

Отметим, что результаты эксперимента с бросанием двух игральных кубиков, приведенные в задаче 2, позволяют вычислить вероятности появления той или иной суммы очков, выпадающих при бросании двух игральных кубиков.

Пример №63

Из 15 произведенных велосипедов 3 оказались с дефектами. Какова вероятность того, что 2 выбранных наугад велосипеда будут без дефектов?

Решение:

Пусть событие A состоит в том, что 2 выбранных наугад велосипеда будут без дефектов. Из 15 велосипедов выбрать 2 можно способами (число соединений из 15 элементов по 2). Все эти выборы являются равновозможными и попарно несовместными. Следовательно, общее количество равновозможных результатов (то есть общее количество элементарных событий) равноСобытием, благоприятствующим событию A, является выбор 2 бездефектных велосипедов из 12 бездефектных (15 – 3 = 12). Следовательно, число результатов (событий), благоприятствующих событию A, равно Отсюда получаем

Пример №64

Группа туристов, в которой 6 юношей и 4 девушки, выбирает по жребию четырех дежурных. Какова вероятность того, что будут выбраны 2 юноши и 2 девушки?

Решение:

Число результатов (элементарных событий) при выборе четырех дежурных из 10 туристов равно . Все эти события — равновозможные и попарно несовместные.

Пусть событие A состоит в том, что среди 4 дежурных есть 2 юноши и 2 девушки. Выбрать двоих юношей из 6 можно способами, а выбрать двух девушек из 4 можно способами. По правилу произведения выбор и двоих юношей, и двух девушек можно выполнитьспособами — это и есть количество событий, благоприятствующих событию A. Тогда

Обратим внимание, что в зависимости от рассматриваемой задачи для одного и того же эксперимента пространство элементарных событий можно вводить по-разному. Для этого независимые элементарные события подбираются таким образом, чтобы событие, вероятность которого требуется найти, само было элементарным или выражалось через сумму элементарных событий. Но для того чтобы воспользоваться классическим определением вероятности, необходимо быть уверенным, что все выделенные элементарные события — равновозможные.

Например, как уже отмечалось в задаче о бросании игрального кубика, пространство элементарных событий может состоять из 6 независимых равновозможных событий — выпало 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков. Однако если в задаче требуется найти вероятность выпадения четного числа очков, то пространством элементарных событий для этого эксперимента может быть множество только двух событий: — выпало четное число очков и — выпало нечетное число очков (поскольку эти события попарно несовместны и результатом эксперимента обязательно будет одно из этих событий). Эти события равновозможны (поскольку среди чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 ровно половина четных и половина нечетных). Следовательно, по классическому определению вероятность каждого из них равна . Конечно, если бы мы рассмотрели первое из указанных пространств элементарных событий, то также смогли бы решить эту задачу: всего событий — 6, а благоприятствующих — 3 (выпадение четного числа очков: 2, 4, 6). Тогда вероятность выпадения четного числа очков равна , то есть .

Попробуем ввести для решения этой задачи следующее пространство элементарных событий: — выпало четное число очков, — выпало 1 очко, — выпало 3 очка, — выпало 5 очков. Эти события действительно образуют пространство элементарных событий эксперимента с бросанием игрального кубика, поскольку они попарно несовместны и в результате эксперимента обязательно произойдет одно из этих событий. Но, пользуясь таким пространством элементарных событий, мы не сможем применить классическое определение вероятности, потому что, как мы уже видели, указанные элементарные события не являются равновозможными:

Операции над событиями

1. Противоположное событие

Определение:

Событие называется противоположным событию A, если оно состоит в том, что в рассматриваемом случайном эксперименте не происходит событие A.Вероятность противоположного события:

Пример:

Событие A — выпал «герб» при подбрасывании монеты, тогда событие — не выпал «герб» при подбрасывании монеты (то есть выпало «число»).Если вероятность купить исправный прибор равна 0,95, то вероятность купить неисправный прибор равна: 1– 0,95 = 0,05.

Теоретико-множественная иллюстрация:

2. Сумма событий

Определение:

Суммой (или объединением) событий A и B называется событие A + B (другое обозначение A B ), которое состоит в том, что происходит событие A или событие B (или А, или В, или оба события).

Пример:

Из колоды карт наугад вынимают 1 карту. Рассмотрим события: A — вынули бубновую карту, B — вынули червовую карту. Тогда событие A + B — вынули или бубновую, или червовую карту (то есть карту красной масти).

Теоретико-множественная иллюстрация:

3. Произведение событий

Определение:

Произведением (или пересечением) событий A и B называется событие A*B (другое обозначение A B), которое состоит в том, что происходят оба события A и B.

Пример:

При бросании игрального кубика рассматривают события: A — выпало четное число очков, B — выпало число очков, кратное 3. Тогда событие A*B — выпало число очков, одновременно четное и кратное 3 (то есть выпало 6 очков).

Теоретико-множественная иллюстрация:

4. Несовместные события

Определение:

Два случайных события A и B называются несовместными, если их произведение является невозможным событием, то есть A*B = ∅ (другое обозначение A B = ∅).

Пример:

При бросании игрального кубика рассматривают события: A — выпало четное число очков, B — выпало 1 очко, C — выпало число очков, кратное 3. События A и В и события B и C — несовместные (не могут происходить одновременно). События A и С — совместные (могут происходить одновременно, если выпадет 6 очков, то есть A*С ≠ ∅).

Теоретико-множественная иллюстрация:

5. Вероятность суммы двух несовместных событий

Если события A и B несовместные, то Р (А + B) = Р (А) + Р (B), то есть вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Объяснение и обоснование:

Иногда приходится, зная вероятности одних случайных событий, вычислять вероятности других событий, которые получаются из данных с помощью определенных операций. Рассмотрим простейшие операции над случайными событиями, которые далее будем называть просто событиями.

Нахождение противоположного события

Пусть дано случайное событие A.

Событие A называется противоположным событию A, если оно состоит в том, что в рассматриваемом случайном эксперименте не происходит событие A.

Например, если событие A состоит в том, что выпал «герб» при подбрасывании монеты, то событие (читается: «не A») означает, что «герб» не выпал, а следовательно, выпало «число». Если событие B состоит в том, что при бросании игрального кубика выпало 1 очко, то событие означает, что 1 очко не выпало, а следовательно, выпало или 2, или 3, или 4, или 5, или 6 очков.

Учитывая, что в каждом эксперименте происходит одно и только одно из событий — A или , получаем, что в пространстве равновозможных элементарных событий сумма количества m элементарных событий, благоприятствующих событию А, и количества k элементарных событий, благоприятствующих событию , равна количеству п всех элементарных событий: m + k = n. Тогда . Следовательно, Отсюда

Например, рассмотрим событие А – выпало 1 очко при бросании игрального кубика. Тогда, как отмечалось выше, событие -1 очко не выпало (то есть выпало или 2, или 3, или 4, или 5, или 6 очков). Как было показано на с. 293, вероятность события А — P A( ) = , тогда вероятность события

При определении операций суммы и произведения событий будем рассматривать события, относящиеся к одному случайному эксперименту.

Нахождение суммы событий

Пусть заданы два случайных события A и B.

Суммой (или объединением) событий A и B называется событие A + B (другое обозначение A B ), которое состоит в том, что происходит событие A или событие B (или А, или В, или оба события).

Например, пусть при бросании игрального кубика события A и B означают: A — выпало четное число очков, B — выпало число очков, кратное 3. Тогда событие A + B означает, что выпало или четное число очков, или число очков, кратное 3, то есть выпало 2, 3, 4 или 6 очков.

Аналогично вводится понятие суммы нескольких событий.

Суммой (или объединением) событий называется событие (другое обозначение ), которое состоит в том, что происходит хотя бы одно из данных событий.

Нахождение произведения событий

Пусть заданы два случайных события A и B.

Произведением (или пересечением) событий A и B называется событие A*B (другое обозначение A B), которое состоит в том, что происходят оба события A и B.

В приведенном выше примере событие A*B означает, что выпало и четное число очков, и число очков, кратное 3, то есть выпало 6 очков.

Аналогично вводится понятие произведения нескольких событий.

Произведением (или пересечением) событий называется событие (другое обозначение ), которое состоит в том, что происходят все заданные события: и .

Замечание. Определения операций над событиями аналогичны соответствующим определениям операций над множествами (поэтому и обозначения операций над событиями совпадают с обозначениями операций над множествами). Операции над событиями (как и операции над множествами) удобно иллюстрировать с помощью кругов Эйлера–Венна (рис. 22.6–22.8).

Например, учитывая, что всегда выполняется или событие A, или событие , получаем, что A + = U (достоверное событие). Поскольку одновременно события A и не могут выполняться, имеем A * = ∅ (невозможное событие). Тогда событие можно проиллюстрировать дополнением множества A (до множества U) (рис. 22.6).

Аналогично сумму двух событий A и B (напомним, что событие A + B заключается в том, что происходит событие A или событие B, или оба одновременно) можно проиллюстрировать в виде объединения множеств A и B (рис. 22.7), а произведение событий A и B (событие A*B заключается в том, что происходят оба события A и B) — в виде пересечения множеств A и B (рис. 22.8).

Свойства вероятностей событий

Вероятности событий обладают следующими свойствами.

1. Вероятность любого события А удовлетворяет неравенству
2. Вероятность достоверного события U равна 1: P (U) = 1.
3. Вероятность суммы несовместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий: P (A + B) = P (A) + P (B).

Действительно, из определения (см. 22.1) следует, что вероятность P (A ), то есть дробь , неотрицательна и не больше 1. Она равна нулю для невозможного события и единице для достоверного события.

Чтобы обосновать свойство 3, уточним понятие несовместных событий, опираясь на введенные операции над событиями. Из определения несовместных событий получаем:

два случайных события A и B будут несовместными тогда и только тогда, когда их произведение является невозможным событием, то есть A*B = ∅ (другое обозначение A B = ∅).

Например, при бросании игрального кубика могут произойти события: A — выпадет четное число очков, B — выпадет 5 очков. Эти события несовместны, поскольку 5 — нечетное число; поэтому событие A*B, состоящее в том, что выпадет четное число очков и это будет 5 очков, — невозможное событие.

Рассмотрим несовместные события A и B в пространстве из п равновозможных элементарных событий. Пусть m – количество элементарных событий, благоприятствующих событию А, k – количество элементарных событий, благоприятствующих событию B. Так как события A и B несовместные, то элементарные события, благоприятствующие событию А, отличны от элементарных событий, благоприятствующих событию B, а следовательно, событию A + B благоприятствуют т + k элементарных событий. Тогда

Итак, для несовместных событий A и B выполняется равенство

Р (А + B) = Р (А) + Р (B), (1)

то есть вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Свойство 1 можно обобщить.

Назовем события несовместными, если любые два из этих событий (при і ≠ j) несовместны, то есть их произведение — невозможное событие:

Если события несовместны, то из равенства (1) следует, что

то есть вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. (Для обоснования этого свойства достаточно применить метод математической индукции.)

Отметим, что для несовместных событий А и В вероятность Р (A*B) = = 0 (так как A*B = ∅).

Опираясь на рассмотренные основные свойства, можно доказать другие свойства вероятностей событий.

Покажем, что справедливо равенство

(2)

Обозначим через AB событие, заключающиеся в том, что событие А происходит, а событие В не происходит.

Так как события А и ВА*В несовместны и A + B = A + (ВА*В), то

P (A + B ) = P (A) + P (ВА*В ). (3)

Аналогично, так как события ВА*В и А*В несовместны и очевидно, что В = (ВА*В) + А*В, то

P (B ) = P (ВА*В ) + P (А*В). (4)

Выражая из равенства (4) значение P (ВА*В ) и подставляя его в равенство (3), получаем равенство (2).

Пример №65

Имеется 36 игральных карт. Из колоды наудачу вынимают одну карту. Какова вероятность, что будет вынута козырная карта или дама?

Решение:

Пусть событие А заключается в том, что вынута козырная карта, событие В — вынута дама. Тогда событие A + В — вынута козырная карта или дама, а событие А*В — вынута козырная дама. Ясно, что

поэтому по формуле (2)

Относительная частота случайного события

1. Частота и относительная частота случайного события

Если случайный эксперимент проведен n раз и в n (A) случаях произошло событие A, то число n (A) называется частотой события A.

Относительной частотой случайного события называют отношение числа появлений этого события к общему числу проведенных экспериментов, то есть отношение

Событие A — выпадение «герба» при подбрасывании монеты.

2. Статистическое определение вероятности

Если при проведении большого количества случайных экспериментов, в каждом из которых может произойти или не произойти событие A, значение относительной частоты события А близко к некоторому определенному числу (которое зависит только от вида события А и не зависит от серии экспериментов), то это число называется вероятностью случайного события A и обозначается Р (А).

Событие A — выпал «герб» при подбрасывании монеты, Р (А) = 0,5

*Жорж Луи де Бюффон (1707–1782) — французский математик и естествоиспытатель; Карл Пирсон (1857–1936) — английский математик и биолог. Их труды способствовали развитию теории вероятностей и математической статистики.

Объяснение и обоснование:

Частота и относительная частота случайного события:

Статистическое определение вероятности. Пусть в результате случайного эксперимента может произойти событие А, имеющее вероятность р = Р (А), где 0 < р < 1. Повторим эксперимент п раз, и пусть при этом событие А произойдет m раз. Число m называют частотой события А (ее часто обозначают n (А)), а число — относительной частотой события А. Иными словами, относительной частотой случайного события называют отношение числа появлений этого события к общему числу проведенных экспериментов.

Рассмотрим результаты экспериментов с подбрасыванием монеты, которые были проведены математиками Ж. Бюффоном и К. Пирсоном (п. 1 табл. 34). Как видно из таблицы, относительная частота выпадения «герба», полученная в экспериментах Бюффона и Пирсона, мало отличается от вероятности выпадения «герба» в указанном эксперименте, равной 0,5.

Тот факт, что вероятность появления «герба» равна 0,5, конечно, не означает, что в любой серии экспериментов герб появится в точности в половине случаев. Но если число экспериментов достаточно велико, мы можем дать прогноз, что «герб» выпадет приблизительно в половине случаев. Таким образом, зная вероятность события, мы можем прогнозировать частоту его появления в будущем при большом количестве соответствующих экспериментов.

Полученный результат отражает замечательный факт: при большом количестве экспериментов относительная частота события, как правило, мало отличается от вероятности этого события. Эту закономерность называют статистической устойчивостью относительных частот. Не всегда удается определить вероятность р события априори (от латинского a priori — независимо от опыта), как это имеет место с бросанием монеты или игральной кости. Но если возможно эксперимент повторить п раз, то при большом п относительная частота событияможет рассматриваться как приближенное значение вероятностиэтого события. Получим так называемое статистическое определение вероятности. Более точно его можно сформулировать следующим образом:

• если при проведении большого количества случайных экспериментов, в каждом из которых может произойти или не произойти событие A, значение относительной частоты события А близко к некоторому определенному числу (которое зависит только от вида события А и не зависит от серии экспериментов), то это число называется вероятностью случайного события A.

Статистические оценки вероятностей событий с использованием относительной частоты события широко используются в физике, биологии, социологии, в экономике и политике, в спорте и повседневной жизни каждого человека. Приведем пример использования такой оценки. В соответствии с законом «Об обязательном страховании гражданско-правовой ответственности собственников наземных транспортных средств» каждый владелец автомобиля должен заключить договор с какой-либо уполномоченной страховой компанией. Согласно этому договору владелец машины платит компании определенную сумму, а компания взамен этого обязуется компенсировать (до определенного предела) убыток, который может быть нанесен этим автовладельцем другому автовладельцу, городской собственности или пешеходам.

Чтобы по справедливости решить, кто и сколько должен платить, нужно учесть два обстоятельства:

1. с какой вероятностью автомобиль (на протяжении срока страхования) может попасть в аварию;
2. какой в среднем ущерб окружающим наносит одна авария. Зная это, можно вычислить страховые взносы.

В частности, вероятность случайного события — «на протяжении года автомобиль может попасть в аварию», была вычислена по статистическим данным, которые имели в своем распоряжении страховые компании, государственная инспекция безопасности дорожного движения и другие организации. Эта вероятность оказалась равной приблизительно 0,015.

Напомним, что приведенное в п. 18.1 определение вероятности событий называют классическим определением вероятности.

Существует еще и аксиоматическое определение вероятности, в котором определение вероятности задается перечислением ее свойств. При аксиоматическом определении вероятность задается как функция Р (А), которая определена на множестве М всех событий, определяемых данным экспериментом, которая (для экспериментов с конечным числом исходов) удовлетворяет следующим аксиомам:

1. для любого события А из М;
2. Р (А) = 1, если А — достоверное событие;
3. Р (А + В) = Р (А) + Р (В), если события А и В несовместны.

Теорию, изучающую вероятность событий лишь для экспериментов с конечным числом исходов, называют элементарной теорией вероятностей.

Конечно, существуют эксперименты и с бесконечным числом возможных событий. Теорию, изучающую вероятность таких событий, называют общей теорией вероятностей. В общей теории вероятностей свойство 3 понимается в расширенном смысле:

Свойства 1–3 называют аксиомами Колмогорова теории вероятностей. Именно А. Н. Колмогоров впервые в 1933 г. дал аксиоматическое построение теории вероятностей.

Геометрическое определение вероятности

1. Основные понятия

U — некоторая фигура на плоскости,

S (U) — площадь фигуры U.

Эксперимент — это случайный выбор какой-либо точки u из фигуры U (можно также представить, что эту точку u случайно бросили на фигуру U).

Элементарные события u — это точки фигуры U.

A — часть фигуры U

S (A) — площадь фигуры A.

Событие А — попадание точек u в фигуру А. Тогда элементарными событиями, благоприятствующими событию A, будут все точки фигуры A.

2. Определение геометрической вероятности

Геометрической вероятностью события A называется отношение площади фигуры, благоприятствующей событию A, к площади всей заданной фигуры. (Предполагается, что вероятность попадания точки в часть фигуры U пропорциональна площади этой части и не зависит от ее конфигурации и расположения в фигуре U.)

3. Общее определение

Если U — пространственная фигура (тело), то записи S (U) и S (A) следует понимать как объемы тела U и тела А — части тела U.

Если U — отрезок, то записи S (U) и S (A) следует понимать как длины отрезка U и его части — отрезка A. (Объем тела U в пространстве, площадь плоской фигуры U на плоскости, длину отрезка U на прямой назовем мерой фигуры U.)

Геометрической вероятностью события A называется отношение меры фигуры, благоприятствующей событию A, к мере всей заданной фигуры.

Объяснение и обоснование:

Приведенное классическое определение вероятности нельзя применить к случайным экспериментам с бесконечным количеством результатов (то есть в случае, когда множество U бесконечно).

Рассмотрим случай задания вероятностей P (A) с помощью так называемых геометрических вероятностей. Пусть U — некоторая фигура на плоскости, S (U) — ее площадь, A — часть фигуры U с площадью S (A), В — часть фигуры U с площадью S (B) (рис. 22.10). Элементарным событием u будем считать некоторую точку фигуры U, случайным образом выбранную на фигуре U или брошенную на фигуру U. Событием А будем считать попадание точек u в фигуру А. Также будем считать такой случайный выбор точек равномерным (или, как говорят, распределение вероятностей равномерно). Из этого следует, что вероятности попадания точки u в фигуры A и B, имеющие одинаковые площади, одинаковы и не зависят от расположения этих фигур то P (A) = P (B)). Иными словами, мы полагаем, что вероятность попадания точки в часть фигуры U пропорциональна только площади этой части и не зависит от ее расположения в фигуре U. Тогда вероятность попадания точки u в фигуру A определяется как отношение площадей

Поскольку благоприятствующим элементарным событием для рассмотренного события является попадание выбранной точки в фигуру A, то фигуру A можно назвать благоприятствующей этому событию, и тогда определение геометрической вероятности можно сформулировать следующим образом: геометрической вероятностью события A называется отношение площади фигуры, благоприятствующей событию A, к площади всей данной фигуры.

Пример:

Пусть круглая мишень радиуса 20 см разделена концентрическими окружностями с радиусами = 2 (10 – k), где k = 1, 2, …, 9, на 10 колец. Внутренний круг радиуса = 2 также назовем кольцом и будем считать, что (рис. 22.11). Стрелок попал в мишень. Будем считать, что стрелок выбил k очков, если он попал в k-е кольцо, то есть в кольцо между окружностями радиусов (или попал в окружность радиуса Обозначим событие — стрелок выбил k очков и определим вероятность каждого из таких событий при k = 1, 2, …, 9, 10.  Если считать, что у стрелка точки попадания пуль равномерно распределены на круге мишени, то можно использовать геометрическое определение вероятности. Получаем Учитывая, что имеем

Замечание 1. Назовем события A и B несовместными (событие A — точка попала в фигуру A, событие B — точка попала в фигуру B), если фигуры A и B не имеют общих точек (то есть множества точек фигур A и B не имеют общих элементов). Сумму событий A + B и произведение определим как объединение и пересечение A B множеств точек фигур A и B. Событие противоположное событию A, определим как дополнение A множества точек фигуры A до множества U (то есть как множество всех точек фигуры U, не входящих в фигуру A). Тогда приведенное определение геометрической вероятности удовлетворяет аксиомам 1–3.

Действительно, значит, аксиома 2 выполняется. По свойству площади таким образом, Учитывая, что (см. рис. 22.10), получаем, что следовательно, (то есть аксиома 1 выполняется). Если события A и B несовместны, то фигуры A и B не имеют общих точек. Тогда Следовательно, то есть выполняется и аксиома 3.

Поскольку разные определения вероятности удовлетворяют одним и тем же основным свойствам (аксиомам), то следствия, которые могут быть получены с использованием этих аксиом, не зависят от способа определения вероятности. Поэтому далее обоснования общих свойств вероятностей мы будем проводить для одного определения — или, как говорят в математике, для одной вероятностной модели — и иметь в виду, что аналогичное обоснование можно провести и для других моделей. Хотя, конечно, для каждой модели можно указать и свои специфические свойства, которых нет у других моделей.

Замечание 2. Определение геометрической вероятности (5) можно использовать не только в том случае, когда U — плоская фигура. Если, например, U — пространственная фигура (тело), то в случае равномерного распределения вероятностей (в том понимании, что вероятности попадания точки u в части данного тела, имеющие одинаковые объемы, одинаковы и не зависят от положения этих частей в данном теле) в формуле (5) под записями S (U) и S (A) следует понимать объемы тела U и его части — тела A. Аналогично, если U — отрезок, то в случае равномерного распределения вероятностей (в том понимании, что вероятности попадания точки u в части данного отрезка, имеющие одинаковые длины, одинаковы и не зависят от положения этих частей на заданном отрезке) в формуле (5) под записями S (U) и S (A) следует понимать длины отрезка U и его части — отрезка A. Отметим, что объем тела U в пространстве, площадь плоской фигуры U на плоскости, длину отрезка U на прямой можно назвать мерой фигуры U.

Тогда в общем виде формулу (5) можно записать так:

то есть в общем случае геометрической вероятностью события A называется отношение меры фигуры, благоприятствующей событию A, к мере всей заданной фигуры.

Пример №66

Оля пообещала подруге Кате позвонить в промежутке от 9 ч до 10 ч. Найдите вероятность того, что их разговор начнется в промежутке от 9 ч 20 мин до 9 ч 25 мин.

Решение:

 В этой задаче эксперимент — это фиксирование времени телефонного звонка. Изобразим все результаты эксперимента в виде отрезка AB (рис. 22.12). Элементарные события — это точки отрезка AB (Оля может позвонить Кате в любое время с 9.00 до 10.00). Если событие A — вызов произошел в промежутке 9.20–9.25, то элементарные события, благоприятствующие событию А, можно изобразить точками отрезка CD. Если считать, что время вызова в оговоренном промежутке распределяется равномерно, то

(При вычислении учтено, что в минутах мера CD равна 5, а мера AB равна 60 (1 ч = 60 мин).)

Пример №67

К сигнализатору поступают сигналы от двух устройств, причем поступление каждого из сигналов равно-возможно в любой момент промежутка времени длительностью T мин. Моменты поступления сигналов независимы один от другого. Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше 1 мин. Найдите вероятность того, что сигнализатор срабатывает за время T, если каждое из устройств пошлет по одному сигналу.

Решение:

 Выберем промежуток времени длительностью T, например [0; T]. Обозначим моменты поступления сигналов первого и второго устройств соответственно через х и у. Из условия задачи следует, что должны выполняться двойные неравенства: Введем прямоугольную систему координат хОу. В этой системе двойным неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей квадрату OTCT (рис. 22.13). Следовательно, этот квадрат можно рассматривать как фигуру G, координаты точек которой задают все возможные значения моментов поступления сигналов. Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше 1 мин, то есть если |у – х| < 1, что равносильно системе неравенств

Неравенства (9) выполняются для координат точек фигуры G, лежащих выше прямой y = x и ниже прямой y = x + 1. Неравенства (10) имеют место для координат точек, расположенных ниже прямой y = x и выше прямой y = x – 1. Как видно из рис. 22.13, все точки, координаты которых удовлетворяют неравенствам (9) и (10), принадлежат закрашенному шестиугольнику OABCDF. Таким образом, этот шестиугольник можно рассматривать как фигуру g, координаты точек которой являются благоприятными моментами времени х и у для срабатывания сигнализатора. Учитывая, что площадь

получаем, что искомая вероятность равна

Независимые события

1. Понятие независимости двух событий

Определение B называется независимым от события A, если событие A не изменяет вероятности события B.

Событие:

События A и B называются независимыми, если выполняется равенство P (AB) = P (A)*P (B) (вероятность их произведения, то есть совместного появления, равна произведению вероятностей этих событий).

2. Независимость нескольких событий

Несколько событий называются независимыми, если для любого подмножества этих событий (содержащего два или больше событий) вероятность их произведения равна произведению их вероятностей.

В частности, если события независимы, то

3. Свойство независимых событий

Если мы имеем совокупность независимых событий, то, заменив некоторые из этих событий на противоположные им события, снова получим совокупность независимых событий. Например, если события A и B независимы, то независимыми будут также события

4. Вероятность того, что произойдет хотя бы одно из независимых событий

Объяснение и обоснование:

Событие B называется независимым от события A, если появление события A не изменяет вероятности события B. Общее определение независимости событий чаще всего формулируют следующим образом.

События A и B называются независимыми, если выполняется равенство

P (AB) = P (A)*P (B), (8)

то есть два события называются независимыми, если вероятность их произведения (то есть совместного появления) равна произведению вероятностей этих событий.

Равенство (8) обязательно будет выполняться, если одно из событий невозможно или достоверно. Например, если событие B — невозможное, то есть B = ∅, то AB = ∅. Следовательно, P (AB) = 0 и P (B) = 0, то есть равенство (13) выполняется. Если событие B — достоверное, то есть B = U, то AB = AU = A. Тогда P (AB) = P (A) и P (B) = 1, следовательно, равенство (8) выполняется и в этом случае. Таким образом, если хотя бы одно из двух событий невозможное или достоверное, то такие два события независимы.

Обратим внимание, что в случае, когда события A и B независимы, независимыми будут также события

Докажем, например, что будут независимыми события A и . Если события A и B независимы, то по определению P (AB) =P (A)*P (B). Когда происходит событие A, то в это время событие B может происходить или не происходить. Следовательно, можно утверждать, что событие A происходит тогда и только тогда, когда происходят или события A и B, или события A и , то есть . Учитывая, что события AB и несовместны (поскольку события B и — несовместны) и что , получаем: .

Тогда

А это и означает, что события A и независимы.

Аналогично обосновывается независимость событий

Понятие независимости событий может быть распространено на любое конечное количество событий.

Несколько событий называются независимыми (еще говорят: «независимыми в совокупности»), если для любого подмножества этих событий (содержащего два или более событий) вероятность их произведения равна произведению их вероятностей.

Например, три события A, B, C будут независимыми, если выполняются условия:

Из определения следует, что в случае, когда события независимы, то

(но выполнение этого равенства при n > 2 еще не означает, что события независимы).

Как и в случае двух событий, можно доказать, что если в некоторой совокупности независимых событий заменить какие-либо из них противоположными им событиями, то получится также совокупность независимых событий.

Отметим, что приведенные определения независимости событий в теоретико-вероятностном понимании соответствуют обычному пониманию независимости событий как отсутствию влияния одних событий на другие. Поэтому при решении задач можно пользоваться следующим принципом: причинно-независимые события являются независимыми и в теоретико-вероятностном понимании.

Пример №68

Прибор состоит из трех узлов, каждый из которых на протяжении суток может выйти из строя независимо от других. Прибор не работает, если не работает хотя бы один из узлов. Вероятность безотказной работы в течение суток первого узла равна 0,95, второго — 0,9, третьего — 0,85. Найдите вероятность того, что в течение суток прибор будет работать безотказно.

Решение:

Пусть событие — первый узел исправен, событие — второй узел исправен, событие — третий узел исправен, событие A — в течение суток прибор работает безотказно. Поскольку прибор работает безотказно тогда и только тогда, когда исправны все три узла, то По условию события — независимые, следовательно,

Пример №69

Два стрелка сделали по одному выстрелу в одну мишень. Вероятность попасть в мишень для первого стрелка равна 0,9, для второго — 0,8. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена.

Решение:

Рассмотрим такие события: A — первый стрелок попал в мишень, B — второй стрелок попал в мишень, C — мишень поражена. События A и B независимые, но непосредственно использовать в данном случае умножение вероятностей нельзя, поскольку событие C наступает не только тогда, когда оба стрелка попали в мишень, но и тогда, когда в мишень попал хотя бы один из них.

Будем рассуждать иначе. Рассмотрим события противоположные соответственно событиям A, B, C. Поскольку события A и B независимые, то события — также независимые. Если 1. Если

P(B) = 0,8, то

Учитывая, что мишень не будет поражена тогда и только тогда, когда в нее не попадет ни первый стрелок, ни второй, получаем, что Тогда

Поскольку события C и противоположные, то

Замечание. Рассуждения, приведенные при решении задачи 2, можно обобщить.

Если события независимые, то события также независимые (и , где і = 1, 2, …, n). Для нахождения вероятности появления хотя бы одного из независимых событий то есть события можно найти вероятность противоположного события . Событие произойдет тогда и только тогда, когда не произойдет ни событие ни событие …, ни событие , то есть Тогда

Учитывая, что получаем, что вероятность появления хотя бы одного из независимых событий можно вычислить по формуле

Разумеется, приведенную формулу необязательно запоминать, достаточно при решении задач на нахождение вероятности появления хотя бы одного из независимых событий провести вышеизложенные рассуждения.

Понятия случайной величины и ее распределения. Математическое ожидание случайной величины

1. Понятие случайной величины.

Под случайной величиной в теории вероятностей понимают переменную величину, которая в данном случайном эксперименте может принимать те или иные числовые значения с определенной вероятностью. Обозначают случайные величины прописными буквами латинского алфавита: X, Y, Z, …, а их значения — соответствующими строчными буквами: x, y, z, … . Тот факт, что случайная величина X приняла значение x, записывают так: X = x.

Например, в п. 22.1 (c. 295) были найдены вероятности появления той или иной суммы очков при бросании двух игральных кубиков. Появляющаяся сумма очков — случайная величина. Обозначим ее через X.

Тогда — значения случайной величины X. Эти значения и соответствующие им значения вероятности приведены в таблице:

С помощью этой таблицы легко увидеть, какие значения величина X принимает с одинаковыми вероятностями, какое значение величины X появляется с большей вероятностью и т. д. Такую таблицу называют таблицей распределения значений случайной величины по их вероятностям и говорят, что эта таблица задает закон распределения рассматриваемой случайной величины.

Приведем определение рассмотренных понятий. Отметим, что случайную величину можно задать в любом случайном эксперименте. Для этого достаточно каждому элементарному событию из пространства элементарных событий эксперимента поставить в соответствие некоторое число (в этом случае говорят, что задана числовая функция, областью определения которой является пространство элементарных событий).

Случайной величиной называется числовая функция, областью определения которой является пространство элементарных событий.

Например, в эксперименте с подбрасыванием монеты пространство элементарных событий состоит из двух событий: — выпал «герб», — выпало «число». Эти события несовместны, и в результате эксперимента обязательно произойдет только одно из них. Поставим в соответствие событию число 1, а событию — число 0 (то есть будем считать, что в случае появления «герба» выпадает число 1, а в случае появления «числа» выпадает 0). Тогда получим случайную величину X, которая принимает только два значения: X Рассмотренную функцию — случайную величину X — можно задать также с помощью следующей таблицы:

Закон распределения этой случайной величины задается таблицей:

Таким образом, через обозначена вероятность события — случайная величина X приняла значение . Это можно записать так:(где i = 1, 2, …, 11).

Отметим, что закон распределения каждой случайной величины устанавливает соответствие между значениями случайной величины и их вероятностями, то есть является функцией, область определения которой — все значения случайной величины. Поэтому законом распределения случайной величины X называется функция, которая каждому значению x случайной величины X ставит в соответствие число P (X = x) (вероятность события, состоящего в том, что случайная величина X приняла значение x).

В общем случае закон распределения случайной величины, принимающей только n значений, можно записать в виде таблицы:

Здесь — различные значения случайной величины X, а (где і = 1, 2, …, n) — вероятности, с которыми X принимает эти значения. События попарно несовместны. Их сумма является достоверным событием, поэтому сумма вероятностей этих событий равна 1, следовательно

Это равенство часто используют для проверки правильности задания закона распределения случайной величины, особенно в тех случаях, когда он задается не в результате теоретического расчета вероятностей событий с использованием классического определения вероятности, а в результате использования статистического определения вероятности.

Например, в экспериментах с подбрасыванием пуговицы с ушком для пришивания падение пуговицы на ушко или на лицевую сторону может быть рассмотрено как случайная величина Y с условными значениями = 1 (падение на ушко) и = 0 (падение на лицевую сторону). Результаты серии экспериментов с некоторой пуговицей представлены в таблице, задающей закон распределения случайной величины.

Замечание. В том случае, когда приходится находить сумму всех значений некоторой величины, можно использовать знак (сигма, читается: «сумма»), введенный Л. Эйлером (1707–1783). Например, если вероятность P принимает значения то введем обозначение* :

*Указанная сумма точнее записывается так:

Используя это обозначение, проверку правильности составления последней таблицы можно записать следующим образом:

S P = 0,45 + 0,55= 1.

Рассмотренные в этом пункте случайные величины принимали изолированные друг от друга значения. Такие величины называют дискретными (от латинского discretus — раздельный, прерывистый), а распределение вероятностей такой величины называется дискретным распределением вероятностей.

Если случайная величина может принимать любое значение на некотором промежутке, то такая величина называется непрерывной. Например, время Т ожидания автобуса на остановке является непрерывной случайной величиной.

Математическое ожидание случайной величины

Дадим определение этого понятия для дискретной случайной величины.

Пусть случайная величина X, принимающая значения соответственно с вероятностями задана законом распределения:

Сумма произведений всех значений случайной величины на соответствующие вероятности называется математическим ожиданием величины X (и обозначается MX (или M (X)):

Если значения случайной величины X имеют одну и ту же вероятность p, то, учитывая, что получаем kp = 1 и . Тогда

то есть в этом случае математическое ожидание случайной величины X равно среднему арифметическому всех ее значений.

Говорят, что математическое ожидание случайной величины есть среднее взвешенное (вероятностями) ее значений.

Математическое ожидание называют еще средним значением случайной величины. Иногда также говорят, что математическое ожидание случайной величины есть ее значение в среднем.

Математическое ожидание показывает, на какое среднее значение случайной величины X можно надеяться в результате длительной серии экспериментов. С помощью математического ожидания можно сравнивать случайные величины, заданные законами распределения.

Например, пусть количества очков, выбиваемых при одном выстреле каждым из двух ловких стрелков, имеют следующие законы распределения:

Чтобы выяснить, какой из стрелков стреляет более метко, находят математическое ожидание для каждой случайной величины:

Следовательно, среднее количество очков, выбиваемое при одном выстреле, у второго стрелка несколько больше, чем у первого. Это дает основание сделать вывод о том, что второй стрелок стреляет немного лучше, чем первый.

Понятие математического ожидания возникло в связи с изучением азартных игр. Приведем примеры.

Пример №70

Игрок вносит в банк игорного дома 1000 руб. Бросают игральный кубик. По правилам игры игрок может получить 1800 руб., если случится событие — выпадет 6 очков; 1200 руб., если случится событие — выпадет или 4, или 5 очков; 0 руб., если случится событие — выпадет или 1, или 2, или 3 очка. Будем считать, что игрок получает х руб., то есть X — случайная величина, которая может принимать значения = 1800, = 1200, = 0 соответственно с вероятностями

Математическое ожидание случайной величины X равно

Математическое ожидание — очень важный показатель игры. Многочисленные опыты показывают, что в нашем случае число МХ = 700 — это та сумма, которую в среднем игорный дом выплачивает каждому игроку. Но это означает, что каждый игрок в среднем теряет 300 руб. из внесенных в банк игорного дома 1000 руб.

Пример №71

Игрок вынимает из колоды (в 36 карт) одну карту. Он получает (то есть выигрывает) 10 руб., если вынет бубнового туза; 5 руб., если вынет бубнового короля, и кладет на стол 1 руб. (то есть проигрывает, но можно сказать, что выигрывает –1 руб.) в остальных случаях. Будем считать, что игрок получает х руб., где X — случайная величина, которая может принимать значения соответственно с вероятностями

Математическое ожидание случайной величины X равно

MX = + 10 5 1 + − = − 1 36 1 36 34 36 19 36 i i ( ) i .

Это означает, что каждый игрок в среднем теряет 19 36 руб.

Пример №72

Задача Паскаля. Два игрока А и В согласились, что в их игре вся ставка достанется тому, кто первый выиграет 5 партий. Но игра оказалась прерванной, когда игрок А имел 4 выигрыша, а игрок В — 3 выигрыша. В каком отношении игроки должны разделить ставку в этой прерванной игре? В каждой партии выигрывает один из игроков — ничьих нет; вероятность выигрыша каждого игрока в одной партии считается равной 0,5.

Рассмотрим, какие случаи могли бы произойти, если бы игроки сыграли еще две партии (независимо от их первоначальной договоренности):

1) игрок В выиграет обе партии; 2) игрок В выиграет первую партию, но проиграет вторую; 3) игрок В проиграет первую партию, но выиграет вторую; 4) игрок В проиграет обе партии.

По первоначальному соглашению всю игру выиграет первый игрок в трех из этих четырех случаев, второй — лишь в одном.

Следовательно, вероятность события А (игрок А выиграл всю игру) равна , а вероятность события В (игрок В выиграл всю игру) равна

Если ставка равна m руб., то игрок А получил бы руб., где — случайная величина, которая принимает значение m с вероятностью и значение 0 с вероятностью , а игрок В получил бы руб., где — случайная величина, которая принимает значение m с вероятностью и значение 0 с вероятностью

Найдем математическое ожидание величин , то есть найдем, сколько в среднем получил бы каждый игрок:

Следовательно, в среднем игроки разделили бы ставку m в отношении 3 : 1, поэтому ставку надо разделить в отношении математических ожиданий то есть в отношении 3 : 1.

Теория вероятностей и случайные эксперименты

1. Случайные эксперименты и случайные события

Понятия:

Экспериментами со случайными результатами, или коротко случайными экспериментами, называют различные эксперименты, опыты, испытания, наблюдения, измерения,результаты которых зависят от случая и которые можно повторить многократно в одинаковых условиях.

Примеры. Выстрелы по мишени, участие в лотерее, многолетние наблюдения за погодой в один и тот же день в одном и том же месте, опыты с рулеткой, с бросанием игрального кубика, побрасыванием монеты, кнопки и т. д.

Понятия. Событие, которое может произойти, а может и не произойти в ходе наблюдения или эксперимента в одних и тех же условиях, называется случайным событием.

Любой результат случайного эксперимента является случайным событием. Случайные события обозначают прописными буквами латинского алфавита А, В, С, D,…

Примеры. Выпадение «герба», выпадение «числа» при подбрасывании монеты; выигрыш в лотерею, выпадение определенного количества очков при бросании игрального кубика и т. д.

2. Частота и относительная частота случайного события

Если при неизменных условиях случайный эксперимент проведен п раз ив п (А) случаях произошло событие А, то число называется частотой события А.

Относительной частотой случайного события называют отношение числа появлений этого события к общему числу проведенных экспериментов, то есть отношение

Событие А — выпадение «герба» при подбрасывании монеты.

* Жорж Луи де Бюффон (1707-1782) — французский математик и естествоиспытатель, Карл Пирсон (1857-1936) — английский математик и биолог. Их труды способствовали развитию теории вероятностей и математической статистики.

3. Статистическое определение вероятности

Если при проведении большого количества случайных экспериментов, в каждом из которых может произойти или не произойти событие А, значение относительной частоты события А близко к некоторому определенному числу, то это число называется вероятностью случайного события А и обозначается Р (А).

Событие А — выпал «герб» при подбрасывании монеты.

Р (А) = 0,5

4. Достоверные и невозможные события

Достоверное событие — это событие U, которое обязательно происходит при каждом повторении эксперимента.

Выпадение меньше 7 очков при бросании игрального кубика (на гранях обозначено от 1 до 6 очков).

Невозможное событие (его часто обозначают — это событие, которое в данном эксперименте наступить не может.

Выпадение 7 очков при бросании игрального кубика.

5. Равновозможные события

Равновозможные (равновероятные) события — это такие события, каждое из которых не имеет никаких преимуществ в появлении чаще других в многократных экспериментах, проводимых в одинаковых условиях.

Вероятности равновозможных событий одинаковы.

В эксперименте по однократному подбрасыванию однородной монеты правильной формы равновоз-можными являются события: А — выпал «герб» и В — выпало «число».

Объяснение и обоснование:

Понятия случайного события и случайного эксперимента

В повседневной жизни, в практической и научной деятельности мы часто наблюдаем те или иные явления, проводим определенные эксперименты (опыты).

Событие, которое может произойти, а может и не произойти в процессе наблюдения или эксперимента в одних и тех же условиях, называется случайным событием. Вы покупаете лотерейный билет и можете выиграть, а можете и не выиграть; на выборах может победить один кандидат, а может и другой; автобус может подойти вовремя или опоздать — все это примеры случайных событий. Вы подбрасываете монету. Может выпасть «герб», а может — «число». Если монета однородна и имеет правильную геометрическую форму, то возможности того, что эти события произойдут, одинаковы. Такие события называются равновозможными, или равновероятными. То есть равновозможные события — это такие события, каждое из которых не имеет никаких преимуществ в появлении чаще других при многократных экспериментах, проводимых в одинаковых условиях.

Однако не все события равновозможные. Может не зазвонить будильник, перегореть лампочка, сломаться автобус, но в обычных условиях такие события маловероятны. Более вероятно, что будильник зазвонит, лампочка загорится, автобус поедет.

Существуют и такие события, которые в обычных условиях происходят всегда, обязательно. Такие события называются достоверными. Например, при давлении р = 101 325 Па (нормальная атмосфера) при вода замерзает, а при 100 С закипает; если опрокинуть чашку с чаем, он обязательно выльется.

Есть и такие события, которые в данных условиях никогда не происходят. Такие события называются невозможными. Невозможно в обычных условиях не вылить воду, опрокинув банку с водой вверх дном; кошка не может поймать солнечный зайчик и т. д.

Достоверные и невозможные события встречаются в жизни сравнительно редко, можно сказать, что мы живем в мире случайных событий. Поэтому важно понять: можно ли найти какие-то закономерности в мире случайного? Можно ли какими-то способами оценить шансы появления случайного события, которое нас интересует?

Ответ на эти вопросы дает раздел математики, который называется теория вероятностей. Мы ознакомимся только с основами этой теории.

Одним из важных понятий, которые рассматриваются в теории вероятностей, является понятие эксперимента со случайными результатами.

Перед началом футбольного матча судья подбрасывает монету, чтобы определить, какая из команд начнет матч с центра поля. У команд равные шансы начать игру. А имеет ли право судья вместо монеты подбросить, например, кнопку?

Подбрасывание кнопки, как и подбрасывание монеты, — это эксперимент со случайными результатами, поскольку его результат зависит от случая.

Кнопка может упасть как на острие, так и на кружок (рис. 127). Но можно ли считать эти события равновозможными или одно из них более вероятно, чем другое?

Чтобы ответить на эти вопросы, необходимо много раз повторить эксперимент с подбрасыванием кнопки.

Такое исследование провела группа из 20 учащихся одного из харьковских лицеев в 2000 году. Каждый из учащихся 100 раз подбросил кнопку, таким образом, всего было проведено 2000 экспериментов. В результате кнопка упала на острие 909 раз, а на кружок — 1091 раз.

Эти эксперименты показывают, что кнопка чаще падает на кружок. Следовательно, судья не имеет права перед матчем заменить монету кнопкой — у команд в такой ситуации были бы неравные шансы начать игру.

Экспериментами со случайными результатами (или коротко случайными экспериментами) называют различные эксперименты, опыты, испытания, наблюдения, измерения, результаты которых зависят от случая и которые можно повторить много раз в одинаковых условиях.

Например, это серия выстрелов одного и того же стрелка по одной и той же мишени, участие в лотерее, вынимание пронумерованных шаров из коробки, многолетние наблюдения за погодой в один и тот же день в одном и том же месте, опыты с рулеткой, с бросанием игрального кубика, подбрасыванием монеты, кнопки.

Любой результат случайного эксперимента является случайным событием. Вследствие такого эксперимента это событие может или произойти, или не произойти. Далее будем обозначать случайные события прописными буквами латинского алфавита А, В, С, D…..

Частота и относительная частота случайного события. Статистическое определение вероятности

Одним из важных понятий, используемых в теории вероятностей, является понятие частоты случайного события.

Если при неизменных условиях случайный эксперимент проведен п раз и в л. (А) случаях произошло событие А, то число называется частотой события А.

Например, учащиеся одной из школ в 2000 году провели 8000 экспериментов с подбрасыванием монеты, каждый раз записывая результат — выпал «герб» или выпало «число». В их экспериментах «герб» выпал 3962 раза. Следовательно, частота события А (выпал «герб») равна 3962.

В XVIII в. такие эксперименты с монетой проводил французский естествоиспытатель Жорж Луи де Бюффон. В его экспериментах «герб» выпал 2048 раз при 4040 подбрасываниях монеты. В начале XX в. английский математик Карл Пирсон провел уже 24 ООО экспериментов, при этом «герб» выпал 12 012 раз.

Для каждой серии рассмотренных экспериментов вычислим, какую часть число событий, состоящих в том, что выпал «герб», составляет от общего числа подбрасываний монеты, или, как говорят, подсчитаем относительную частоту выпадания «герба».

Относительной частотой случайного события называют отношение числа появлений этого события к общему числу проведенных экспериментов.

Например, для рассмотренных экспериментов частота выпадения «герба»:

• у школьников
• у Бюффона
• у Пирсона

Нетрудно заметить, что серии экспериментов, проведенных в разные эпохи и в разных странах, дают похожие результаты: при многократном подбрасывании монеты частота появления «герба» приблизительно равна 0,5. Следовательно, хотя каждый результат подбрасывания монеты — случайное событие, при многократном повторении эксперимента заметна закономерность.

Число 0,5 — это вероятность случайного события (выпал «герб»). Но в этих экспериментах «число» появляется также приблизительно в половине случаев, значит, и вероятность выпадания «числа» равна 0,5. В общем, если при проведении большого количества случайных экспериментов, в каждом из которых может произойти или не произойти событие А, значение относительной частоты события А близко к некоторому определенному числу, то это число называется вероятностью случайного события А.

Приведенное определение обычно называют статистическим определением вероятности.

Вероятность события обозначается прописной буквой Р латинского алфавита (первой буквой французского слова probabilite или латинского слова probabilitas, что в переводе означает «вероятность»).

Если обозначить событие— «выпал «герб» —буквой Л, а событие— «выпало «число» — буквой В, то утверждение о том, что вероятности выпадания «герба» или «числа» равны 0,5, можно записать так:

Р (А) = 0,5, Р (В) = 0,5.

Иногда вероятность выражают в процентах, то есть Р (А) = 50 % , Р (В) = 50 % .

Тот факт, что вероятность появления «герба» равна 0,5, конечно, не означает, что в любой серии экспериментов «герб» появится в точности в половине случаев. Но если число экспериментов достаточно велико, мы можем дать прогноз, что «герб» выпадет приблизительно в половине случаев. То есть, зная вероятность события, мы можем прогнозировать частоту его появления в будущем при большом количестве соответствующих экспериментов.

Замечание. Если при проведении большого числа случайных экспериментов значения относительной частоты случайного события близки к некоторому определенному числу, то говорят, что относительная частота имеет статистическую устойчивость, а такие случайные эксперименты называют статистически устойчивыми. Следовательно, в каждом случае, когда мы можем определить статистическую вероятность результатов случайных экспериментов, эти случайные эксперименты будут статистически устойчивыми. Отметим также, что чем больше число проведенных случайных экспериментов, тем ближе значение относительной частоты случайного события к вероятности этого события.

Напомним, что в каждой серии случайных экспериментов с подбрасыванием монеты мы сначала вычисляли относительную частоту рассматриваемого события с помощью формулы:

• относительная частота

Затем с помощью найденного значения относительной частоты, оценивали вероятность данного события.

Оценить вероятность случайного события по его относительной частоте можно, используя результаты других экспериментов — с кнопками, игральным кубиком, рулеткой, автомобильными или телефонными номерами. При этом чем больше проведено экспериментов, тем точнее можно оценить вероятность события по его относительной частоте.

Ниже представлены результаты экспериментов, проведенных учащимися одного из лицеев, которые оценивали вероятность случайного события — кнопка упала острием вниз.

По данным таблицы можно сделать вывод, что вероятность падения кнопки острием вниз приблизительно равна 0,45, или 45 % .

Вероятностные оценки широко используются в физике, биологии, социологии, в экономике и политике, в спорте и повседневной жизни каждого человека. Если в прогнозе погоды сообщают, что завтра будет дождь с вероятностью 70 % , это означает, что не обязательно пойдет дождь, но шансы этого велики и стоит, выходя из дома, захватить зонт или плащ.

Замечание. Если синоптики прогнозируют, что завтра будет дождь с вероятностью 70 % , это означает, что в прошлые годы в дни этого времени года при аналогичных показателях состояния атмосферы (температура и влажность воздуха, скорость и направление ветра, облачность и т. п.) дождь был приблизительно в 70 % случаях.

Вероятности достоверных, невозможных и любых случайных событий

Напомним, что достоверное событие — это событие U, которое обязательно происходит при каждом повторении эксперимента, а невозможное событие (его часто обозначают не происходит ни при каком повторении эксперимента.

Но если интересующее нас невозможное событие не произойдет ни одного раза при проведении экспериментов, тогда его относительная частота будет равна:

А если достоверное событие U происходит в каждом из п экспериментов, то относительная частота его появления равна:

Поэтому естественно считать, что вероятность достоверного события равна единице:

а вероятность невозможного события равна нулю: Например, вероятность того, что при бросании игрального кубика (на гранях которого обозначены очки от 1 до 6 — рис. 128) выпадет 8 очков (невозможное событие) равна нулю. Таким образом,

вероятность случайного события А может принимать любые значения от 0 до 1.

Действительно, при проведении экспериментов следовательно, относительная частота появления события А принимает значения:

Тогда и вероятность Р (А) должна удовлетворять условию

Этому факту можно дать геометрическое толкование с помощью так называемой вероятностной шкалы (рис. 129).

Следовательно, вероятность случайного события может быть любым числом от 0 до 1. Чем больше вероятность, тем чаще наступает случайное событие при многократном повторении эксперимента.

Значительный интерес вызывают случайными события, имеющие вероятности, близкие к 1 или 0. События, вероятности которых близки к 1, часто называют практически достоверными событиями, а события с малыми вероятностями — практически невозможными событиями. Вопросы о том, какие вероятности можно считать такими малыми, чтобы ими можно было пренебречь, решается в зависимости от конкретных обстоятельств.

Например, при массовом производстве электрических лампочек или гвоздей 0,5 % брака можно считать допустимо малым (в этом случае вероятность того, что выпущенное изделие будет бракованным, равна 0,005). Если Жбкакая -нибудь бракованная деталь в сложном механизме может привести к аварии или катастрофе с человеческими жертвами, то в этом случае допустимо малыми следует считать те значения, которые не превышают десятитысячных или даже миллионных частей единицы.

Операции над событиями

Определение:

1. Противоположное событие

Событие называется противоположным событию А, если оно происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А. Вероятность противоположного события:

Пример:

Событие А — выпал «герб» при подбрасывании монеты, тогда событие А — не выпал «герб» при подбрасывании монеты (то есть выпало «число»).

Теоретико-множественная иллюстрация

Пример:

Если вероятность купить исправный прибор равна 0,95, то вероятность купить неисправный прибор равна: 1- 0,95 = 0,05.

2. Сумма событий

Определение:

Суммой (или объединением) событий А и В называется событие А + В (другое обозначение A U В ), которое происходит тогда и только тогда, когда происходит событие А или событие В.

Пример:

Из колоды карт наугад вынимают 1 карту. Рассмотрим события: А — вынули бубновую карту, В — вынули червовую карту. Тогда событие А + В — вынули или бубновую, или червовую карту (то есть карту красной масти).

Теоретико-множественная иллюстрация:

3. Произведение событий

Определение:

Произведением (или пересечением) событий А и В называется событие (другое обозначение которое происходит тогда и только тогда, когда происходят оба события А и В.

Пример:

При бросании игрального кубика рассматривают события:А — выпало четное число очков, В — выпало число очков, кратное 3. Тогда событие — выпало число очков, одновременно четное и кратное 3 (то есть выпало 6 очков).

Теоретико-множественная иллюстрация:

4. Несовместные события

Два случайных события А и В называются несовместными, если их произведение является невозможным событием, то есть (в других обозначениях

При бросании игрального кубика рассматривают события: А — выпало четное число очков, В — выпало 1 очко, С — выпало число очков, кратное 3. События А и В и события В и С — несовместные (не могут происходить одновременно). События А и С — совместные (могут происходить одновременно, если выпадет 6 очков, то есть

5. Вероятность суммы двух несовместных событий

Если события А и В несовместные, то Р (А + В) = Р (А) + Р (В), то есть вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Объяснение и обоснование:

Иногда приходится, зная вероятности одних случайных событий, вычислять вероятности других событий, которые получаются из заданных с помощью определенных операций. Рассмотрим простейшие операции над случайными событиями, которые далее будем называть просто событиями.

Нахождение противоположного события

Пусть задано случайное событие А.

Событие называется противоположным событию А, если оно происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А.

Например, если событие А состоит в том, что выпал «герб» при подбрасывании монеты, то событие (читается: «Не А») означает, что «герб» не выпал, а следовательно, выпало «число» при подбрасывании монеты. Если событие в состоит в том, что выпало 1 очко при бросании игрального кубика, то событиеозначает, что 1 очко не выпало, а следовательно, выпало или 2, или 3, или 4, или 5, или 6 очков при бросании игрального кубика.

Учитывая, что в каждом эксперименте происходит одно и только одно из событий: Рассмотренные эксперименты являются статистически стойкими, поэтому при больших значениях относительные частоты события А и события практически совпадают с вероятностями этих событий. Тогда

Отсюда

Например, рассмотрим событие А — кнопка упала острием вниз. Тогда противоположное событие — кнопка упала острием вверх (то есть кружком вниз). Как было показано, вероятность события А равна 0,45, то есть Р (А) = 0,45, тогда вероятность события равна:

Нахождение суммы событий

Пусть заданы два случайных события А и В.

Суммой (или объединением) событий А и В называется событие А + В (другое обозначение A U В ), которое происходит тогда и только тогда, когда происходит событие А или событие В.

Например, пусть при бросании игрального кубика события А и В означают: А — выпало четное число очков, В — выпало число очков, кратное 3. Тогда событие А + В означает, что выпало или четное число очков, или число очков, кратное 3, то есть выпало 2, 3, 4 или 6 очков.

Аналогично вводится понятие суммы нескольких событий. Суммой (или объединением) событий называется событие (другое обозначение которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из данных событий.

Нахождение произведения событий

Пусть заданы два случайных события А и В.

Произведением (или пересечением) событий А и В называется событие А • В (другое обозначение которое происходит тогда и только тогда, когда происходят оба события А и В.

В приведенном выше примере событие А • В означает, что выпало и четное число очков, и число очков, кратное 3, то есть выпало 6 очков. Аналогично вводится понятие произведения нескольких событий. Произведением (или пересечением) событий называется событие(другое обозначение которое происходит тогда и только тогда, когда происходят все заданные события: и

Несовместные события и их вероятности

Два случайных события А и В называются несовместными, если их произведение является невозможным событием, то есть (другое обозначение

Например, пусть при бросании игрального кубика могут произойти события: А — выпадет четное число очков, В — выпадет 5 очков. Эти события несовместны, поскольку 5 — нечетное число: поэтому событие А • В, состоящее в том, что выпадет четное число очков и это будет 5 очков, невозможное событие.

Если события А и В несовместные, то их частоты и частота их суммы А + В удовлетворяют условию поскольку событие А + В происходит тогда и только тогда, когда происходит или событие А, или событие В (а одновременно они происходить не могут). Но в этом случае относительные частоты будут удовлетворять следующему условию:

Поскольку при больших значениях п относительные частоты в этом равенстве близки к соответствующим вероятностям, то для несовместных событий А и В должно выполняться равенство

Р(А + В) = Р (А) +Р (В). (3)

То есть вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Свойство (3) можно обобщить.

Назовем события попарно несовместными, если любые два из этих событий несовместны, то есть их произведение — невозможное событие:

Если события попарно несовместны, то из равенства (3) следует, что то есть вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. (Для обоснования этого свойства достаточно применить метод математической индукции.)

Отметим, что свойства (1)-(3) обязательно должны выполняться при любом способе определения вероятности случайного события. Наиболее общим из таких способов есть аксиоматическое определение вероятности, рассмотренное в следующем пункте.

Замечание. Определение операций над событиями аналогичны соответствующим определениям операций над множествами (поэтому и обозначения операций над событиями совпадают с обозначениями операций над множествами). Операции над событиями (как и операции над множествами) удобно иллюстрировать с помощью кругов Эйлера-Венна.

Например, учитывая, что всегда выполняется или событие А, или событие , получаем, что А + = U (достоверное событие). Учитывая, что одновременно события А и А не могут выполняться, имеем (невозможное событие). Тогда событие А можно проиллюстировать дополнением множества А (до множества U) (рис. 133).

Аналогично сумму двух событий А и В (напомним, что событие А + В происходит тогда и только тогда, когда происходит событие А или событие В, или оба одновременно) можно проиллюстировать в виде объединения множеств А и В (рис. 134), а произведение событий А и В (событие А • В происходит тогда и только тогда, когда происходят оба события А и В) — в виде пересечения множеств А и В (рис. 135).

Аксиоматическое построение теории вероятностей. Классическое определение вероятности

1. Пространство элементарных событий

Понятие:

Пусть результатом некоторого случайного эксперимента может быть только одно из попарно несовместных событий . Назовем эти события элементарными событиями, а множество всех этих событий пространством элементарных событий. Суммой всех элементарных событий является достоверное событие U: (поскольку в результате данного эксперимента обязательно произойдет одно из событий )

Пример:

1. Для эксперимента по подбрасыванию монеты элементарными событиями будут события: — выпал «герб»,— выпало «число». Тогда пространство элементарных событий будет состоять из двух событий: U =. (Эти события попарно несовместны, и в результате эксперимента обязательно происходит одно из этих событий.) 2. Для эксперимента по бросанию игрального кубика элементарными событиями могут быть события, где — выпадение очков,k = 1, 2, 3, 4, 5, 6. В этом случае пространство элементарных событий будет состоять из шести событий:

2″. Аксиомы вероятности

3. Классическое определение вероятности (для равновозможных элементарных событий)

Вероятность события А — это отношение количества элементарных событий , благоприятствующих этому событию, к количеству всех равновозможных элементарных событий в данном эксперименте :

Пример:

Найдите вероятность выпадения больше четырех очков при бросании игрального кубика.

Рассмотрим как элементарные события шесть равновозможных результатов бросания кубика — выпало 1, 2,3,4, 5 или 6 очков (следовательно, = 6). Событие А — выпало больше 4 очков. Благоприятствуют событию А только два элементарных события — выпало 5 или 6 очков(то есть = 2).

Тогда

Объяснение и обоснование

Аксиоматическое построение теории вероятностей

Аксиоматическое построение теории вероятностей аналогично аксиоматическому построению геометрии, в котором вместо реальных объектов или их изображений на бумаге (точек, прямых, плоскостей и т. п.) рассматриваются абстрактные понятия (точек, прямых, плоскостей и т. п.), удовлетворяющие определенным аксиомам (планиметрии и стереометрии). При аксиоматическом построении теории вероятностей понятие «случайное событие», «вероятность» и т. п. — это математические идеальные понятия, которые удовлетворяют условиям (1)—(3). Поясним сущность аксиоматического построения теории вероятностей на следующем примере.

Пусть в некоторой коробке U есть одинаковых шаров, которые некоторым образом отмечены так, чтобы их можно было отличить друг от друга (например, пронумерованы, как в телевизионных розыгрышах лотерей). Обозначим шары , а множество всех шаров, которые находятся в коробке, — U = (на рисунке 136 изображена коробка, содержащая 10 шаров). Шары в коробке тщательно перемешивают, а затем некоторым случайным образом из коробки вынимают один шар.

* Этот материал является обязательным только для классов физико-математического профиля.

Допустим, что вынули шар Пусть — некоторое множество шаров из множества U. Если вынутый шар принадлежит множеству А, то будем говорить, что про-Рис. 136 изошло событие А.

Тогда достоверным событием будем считать все множество U, то есть все множество шаров в коробке (поскольку любой вынутый шар будет принадлежать множеству U). Невозможным событием будем считать пустое множество .

Два события несовместны, если множества А и В не имеют общих элементов. Сумме событий А + В соответствует объединение множеств , а произведению событий — пересечение множеств А и В. Событию В, противоположному событию А, соответствует дополнение В множества А до множества U.

Каждому событию А некоторым образом (например, через статистическое определение) ставится в соответствие его вероятность — число Р (А), удовлетворяющее условиям (1)—(3).

Итак, можно сформулировать абстрактные вероятностные понятия, используя только термины теории множеств.

Рассмотрим конечное множество , элементы которого назовем элементарными событиями (множество U называют пространством элементарных событий). Любое подмножество А = } множества U назовем событием. Все множество U — это достоверное событие, а пустое множество — это невозможное событие.

Сумма А + В событий А и В определяется как объединение множеств А и В, а произведениесобытий А и В — как пересечение множеств А и В.

Если произведение событий А и В является пустым множеством , то события А и В называют несовместными.

Событие А, противоположное событию А, определяется как дополнение множества А до множества U (то есть как множество всех элементов не входящих в множество А). События А и удовлетворяют условиям

Теперь определим вероятность Р (А) события А.

Пусть любым способом заданы числа, удовлетворяющие условиям:

Эти числа называют элементарными вероятностями. Вероятность Р (А) события А = определим равенством

Определенное таким образом понятие вероятности удовлетворяет следующим аксиомам.

Аксиома 1 (неотрицательности вероятности). Для случайного события А

Аксиома 2 (нормированности вероятности). Для достоверного события U

P(U)= 1.

Аксиома З (аддитивности вероятности). Для любых попарно несовместных событий (то есть для таких, что для любых не равных между собой)

Фактически, это те же свойства (1)- (3), которым, как было указано выше, должны удовлетворять все определения вероятностей случайных событий. Из этих аксиом следует, что вероятность невозможного события , а вероятность события В, противоположного событию А, вычисляется по формуле

Действительно, поскольку, то события несовместны, и тогда из равенства U = U + по аксиоме 3 получаем Р (U) = Р (U) + Р (). Учитывая, что по аксиоме 2 вероятность Р (U) = 1, получаем 1 = 1 + Р (). Отсюда Р() = 0.

Аналогично, если В = , то. Следовательно, события А и В несовместны, и тогда из равенства А + В = U по аксиомам 3 и 2, получаем Р (А) + Р (В) = Р (U). То есть Р(А) + Р (В) = 1, следовательно, Р (В) = 1 – Р (А).

В соответствии с системой аксиом 1-3 в зависимости от решаемой задачи элементарные вероятности , а соответственно, и вероятности Р (А) могут задаваться разными способами.

Классическое определение вероятности

В случае, когда элементарные события не являются равновероятными, приходится использовать статистическое определение вероятности. Но для того чтобы найти вероятность интересующего нас события при статистическом определении необходимо провести достаточно большое количество экспериментов или наблюдений. Вместе с тем, когда рассматриваются эксперименты со случайными результатами (то есть случайными событиями) и все эти результаты равновозможные (есть все основания считать, что шансы получения этих результатов одинаковы), то вероятность случайного события удается найти путем рассуждений, не выполняя экспериментов. Приведем соответствующие рассуждения и определение.

Пусть результатом некоторого случайного эксперимента может быть только одно из попарно несовместных событий . Назовем эти события элементарными событиями. Тогда суммой этих событий является достоверное событие U

Это следует из определения суммы событий, согласно которому если в результате заданного эксперимента обязательно происходит одно из событий , то обязательно произойдет и их сумма. Учитывая, что вероятность достоверного события равна единице (Р () = 1) и то, что вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, имеем

Если все события равновероятны: то получаем

Например, если бросать игральный кубик (см. рис. 128) и считать, что кубик имеет правильную форму и изготовлен из однородного материала, то шансы выпадения на его верхней грани любого числа очков от 1 до 6 одинаковы. В этом случае говорят, что существует шесть попарно несовместных равновозможных (или равновероятных) элементарных результатов (событий) этого эксперимента (событие — выпало очков, где = 1, 2, 3, 4, 5, 6) и вероятность каждого из таких событий равна

Пусть событие А происходит тогда и только тогда, когда происходит одно из т попарно несовместных элементарных событий (вэтомслучае говорят, что элементарные событиям., благоприятствуют

событию А). Это можно записать следующим образом: или, используя понятие суммы событий, так: Учитывая, что вероятность суммы попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий и то, что вероятность каждого из т выбранных элементарных событий равна (то есть, имеем:

Полученное равенство часто принимают за определение вероятности в случае равновозможных элементарных событий и называют классическим определением вероятности. Его можно сформулировать так:

• вероятность события А — это отношение числа благоприятствующих ему элементарных событий к числу всех равновозможных элементарных событий в данном эксперименте.

Пример №73

Пользуясь этим определением, найдем вероятность события А —выпало число очков, кратное 3, при бросании игрального кубика.

Решение:

Как отмечалось выше, в эксперименте по бросанию кубика существует шесть попарно несовместных равновозможных элементарных событий — выпало 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков (также можно сказать, что пространство элементарных событий состоит из шести указанных попарно несовместных равновозможных событий). Благоприятствуют событию Л только два элементарных события: выпало 3 очка и выпало 6 очков. Следовательно, вероятность события А равна:

Пример №74

Петя и Паша бросают белый и черный игральные кубики и каждый раз подсчитывают сумму выпавших очков. Они договорились, что в случае, когда в очередной попытке в сумме выпадет 8 очков, то выигрывает Петя, а когда в сумме выпадет 7 очков, то выигрывает Паша. Является ли эта игра справедливой?

Решение:

При бросании кубиков на каждом из них может выпасть 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Каждому числу очков, выпавших на белом кубике (1,2,3,4,5 или 6 очков), отвечает шесть вариантов числа очков, выпавших на черном кубике. Следовательно, всего получаем 36 попарно несовместных равновозможных элементарных событий — результатов этого эксперимента, приведенных в таблице:

(В каждой паре чисел на первом месте записано число очков, выпавшее на белом кубике, а на втором месте — число очков, выпавшее на черном кубике.)Пусть событие А означает, что при бросании кубиков в сумме выпало 8 очков, а событие В — что при бросании кубиков в сумме выпало 7 очков.Событию А благоприятствуют следующие 5 результатов (элементарных событий):

(2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2).

Событию В благоприятствуют следующие 6 результатов (элементарных событий):

(1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1).

Тогда

Следовательно, шансов выиграть у Паши больше, чем у Пети, значит, такая игра не будет справедливой.

Отметим, что результаты эксперимента по бросанию двух игральных кубиков, приведенные в задаче 2, позволяют вычислить вероятности появления той или иной суммы очков, выпадающих при бросании двух игральных кубиков. Сумма очков 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Вероятность

Пример №75

Из 15 изготовленных велосипедов 3 оказались с дефектами. Какова вероятность того, что 2 выбранных наугад велосипеда будут без дефектов?

Решение:

Пусть событие А состоит в том, что 2 выбранных наугад велосипеда будут без дефектов. Из 15 велосипедов выбрать 2 можно способами (число соединений из 15 по 2). Все эти выборы являются равновозможными и попарно несовместными. Следовательно, общее количество равновозможных результатов (то есть общее количество элементарных событий) равно. Событием, благоприятствующим событию А, является выбор 2 бездефектных велосипедов из 12 бездефектных (15 — 3 = 12). Следовательно, число результатов (событий), благоприятствующих событию А, равно Отсюда получаем

Пример №76

Группа туристов, в которой 6 юношей и 4 девушки, выбирает по жребию четырех дежурных. Какова вероятность того, что будут выбраны 2 юношей и 2 девушки?

Решение:

Число результатов (элементарных событий) при выборе четырех дежурных из 10 туристов равно Все эти события равновозможные и попарно несовместные.

Пусть событие А состоит в том, что среди 4 дежурных есть 2 юношей и 2 девушки. Выбрать двоих юношей из 6 можно способами, а выбрать двух девушек из 4 можно способами. По правилу произведения выбор и двоих юношей, и двух девушек можно выполнить способами — это и есть количество событий, благоприятствующих событию А. Тогда

Обратим внимание, что в зависимости от рассматриваемой задачи для одного и того же эксперимента пространство элементарных событий можно вводить по-разному. Чаще всего для этого независимые элементарные события подбираем так, чтобы событие, вероятность которого необходимо найти, само было элементарным или выражалось через сумму элементарных событий. Но для того чтобы использовать классическое определение вероятности, необходимо быть уверенным, что все выделенные элементарные события — равновозможные.

Например, как уже отмечалось в задаче о бросании игрального кубика, пространство элементарных событий может состоять из 6 независимых равновозможных событий — выпало 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков. Но если в задаче требуется найти вероятность выпадания четного числа очков, то пространством элементарных событий для этого эксперимента может быть множество только двух событий: — выпало четное число очков и — выпало нечетное число очков (поскольку эти события попарно несовместны и результатом эксперимента обязательно будет одно из этих событий). Эти события равновозможны (поскольку среди чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 ровно половина четных и половина нечетных). Следовательно, по классическому определению вероятность каждого из них равна Конечно, если бы мы рассмотрели первое из указанных пространств элементарных событий, то также смогли бы решить эту задачу: всего событий — 6, а благоприятствующих — 3 (выпадение четного числа очков: 2, 4, 6). Тогда вероятность выпадания четного числа очков равна то есть

Попробуем ввести для решения этой задачи следующее пространство элементарных событий: — выпало четное число очков, — выпало 1 очко, — выпало 3 очка, — выпало 5 очков. Эти события действительно образуют пространство элементарных событий эксперимента по бросанию игрального кубика, поскольку они попарно несовместны и в результате эксперимента обязательно произойдет одно из этих событий. Но, пользуясь таким пространством элементарных событий, мы не сможем применить классическое определение вероятности, потому что, как мы уже видели, указанные элементарные события не являются равновозможными:

Геометрическое определение вероятности

1. Основные понятия

U — некоторая фигура на площади, S (U) — площадь фигуры U. Эксперимент — это случайный выбор какой-то точки и из фигуры U (можно также представить, что эту точку и случайно бросили на фигуру U). i Элементарные события — точки фигуры U.

А — часть фигуры — площадь фигуры А. Событие А — попадание точек и в фигуру А. Тогда элементарными событиями, благоприятствующими событию А, будут все точки фигуры А. (Предполагаем, что вероятность попадания точки в часть фигуры U пропорциональна площади этой части и не зависит от ее конфигурации и расположения в фигуре U.)

2. Определение геометрической вероятности

Геометрической вероятностью события А называется отношение площади фигуры, благоприятствующей событию А, к площади всей заданной фигуры.

3. Общее определение

Если U — пространственная фигура (тело), то записи следует понимать как объемы тела U и тела А — части тела U.

Если U — отрезок, то записи S (U) и S (А) следует понимать как длины отрезка U и его части — отрезка А. (Объем тела U в пространстве, площадь плоской фигуры U на плоскости, длину отрезка U на прямой назовем мерой фигуры U.)

Геометрической вероятностью события А называется отношение меры фигуры, благоприятствующей событию А, к мере всей заданной фигуры.

Объяснение и обоснование:

Приведенное классическое определение вероятности нельзя применить к случайным экспериментам с бесконечным количеством результатов (то есть в случае, когда множество U бесконечно). В этом случае вероятность события Р (А) не всегда можно задать с помощью элементарных вероятностей.

Рассмотрим случай задания вероятностей Р (А) с помощью так называемых геометрических вероятностей. Пусть U — некоторая фигура на плоскости, S (U) — ее площадь, А — часть фигуры U с площадью S (А), В — часть фигуры U с площадью S (В) (рис. 139). Элементарным событием и будем считать некоторую точку фигуры U, случайным образом выбранную на фигуре U или брошенную на фигуру U. Событием А будем считать попадание точек и в фигуру А. Также будем считать такой случайный выбор точек равномерным (или, как говорят, распределение вероятностей равномерно). Иными словами, вероятности попадания точки и в фигуры А и В, имеющие одинаковые площади, одинаковы и не зависят от положения этих фигур (если то Р (А) = Р (В)). То есть мы полагаем, что вероятность попадания точки в часть фигуры U пропорциональна только площади этой части и не зависит от ее расположения в фигуре U. Тогда вероятность попадания точки и в фигуру А определяется как отношение площадей

Поскольку благоприятствующим элементарным событием для рассмотренного эксперимента является попадание выбранной точки в фигуру А, то фигуруА можно назвать благоприятствующей этому эксперименту, и тогда определение геометрической вероятности можно сформулировать следующим образом:

геометрической вероятностью события А называется отношение площади фигуры, благоприятствующей событию А, к площади всей заданной фигуры.

Пример №77

Пусть круглая мишень радиуса 20 см разделена концентрическими окружностями с радиусами где = 1, 2, …, 9 на 10 колец. Внутренний круг радиуса = 2 также назовем кольцом и будем считать, что (рис. 140). Плохой стрелок попал в мишень. Будем считать, что стрелок выбил k очков, если он попал в -e кольцо, то есть в кольцо между окружностями радиусов (или попал в окружность радиуса

Решение:

Обозначим событие — стрелок выбил очков и определим вероятность каждого из таких событий при = 1, 2, …, 9, 10.

Если считать, что у плохого стрелка точки попадания пуль равномерно

распределены на круге мишени, то можно использовать геометрическое

определение вероятности. Получаем Учитывая, что

Замечание 1. Назовем события А и В несовместными (событие А — точка попала в фигуру А, событие В — точка попала в фигуру В), если фигуры А и Б не имеют общих точек (то есть множества точек фигур А и Б не имеют общих элементов). Сумму событий А + В и произведение определим как объединение и пересечение множеств точек фигурА и В.

Событие А, противоположное событию А, определим как дополнение множества точек фигуры А до множества U (то есть как множество всех точек фигуры U, не входящих в фигуру А).

Тогда приведенное определение геометрической вероятности удовлетворяет свойствам (1)-(3), а следовательно, и аксиомам 1-3.

Действительно, значит, свойство (1) и аксиома 2 выполняются.

По свойству площади S (А) > 0, S (U) > 0, таким образом, (то есть аксиома 1 выполняется). Учитывая, что (рис. 139), получаем, что , следовательно, (то есть свойство (2) выполняется).

Если события А и В несовместны, то фигуры А и В не имеют общих точек. Тогда Следовательно, то есть свойство (3) выполняется (а значит, выполняется и аксиома 3).

Поскольку разные определения вероятности удовлетворяют одним и тем же основным свойствам (аксиомам), то следствия, которые могут быть получены с использованием этих аксиом, не зависят от способа определения вероятности. Поэтому далее обоснования общих свойств вероятностей мы будем проводить для одного определения — или, как говорят в математике, для одной вероятностной модели, — и иметь в виду, что аналогичное обоснование можно провести и для других моделей. Хотя, конечно, для каждой модели можно указать и свои специфические свойства, которых нет у других моделей.

Замечание 2. Определение геометрической вероятности (8) можно использовать не только в том случае, когда U — плоская фигура.

Если, например, U — пространственная фигура (тело), то в случае равномерного распределения вероятностей (в том понимании, что вероятности попадания точки и в части данного тела, имеющие одинаковые объемы, одинаковы и не зависят от положения этих частей в заданном теле), в формуле (8) под записями следует понимать объемы тела U и его части — тела А.

Аналогично, если U — отрезок, то в случае равномерного распределения вероятностей (в том понимании, что вероятности попадания точки и в части данного отрезка, которые имеют одинаковые длины, одинаковы и не зависят от положения этих частей на заданном отрезке), в формуле (8) под записями S (U) и -S (А) следует понимать длины отрезка U и его части — отрезка А.

Отметим, что объем тела U в пространстве, площадь плоской фигуры U на плоскости, длину отрезка U на прямой можно назвать мерой фигуры U. Тогда в общем виде формулу (8) можно записать так: то есть в общем случае геометрической вероятностью события А называется отношение меры фигуры, благоприятствующей событию А, к мере всей заданной фигуры.

Пример №78

Две подруги договорились позвонить в промежутке от 9 ч до 10 ч. Найдите вероятность того, что их разговор начнется в промежутке от 9 ч 20 мин до 9 ч 25 мин.

Решение:

Одна подруга может позвонить другой в промежутке от 9.00 до 10.00. В этой задаче эксперимент — это фиксирование времени телефонного звонка. Изобразим все результаты эксперимента в виде отрезка АВ (рис. 141). Элементарные события — это точки отрезка АВ (одна подруга может позвонить другой в любое время с 9.00 до 10.00). Если событие А — вызов произошел в промежутке 9.20 – 9.25, то элементарные события, благоприятствующие событию А, можно изобразить точками отрезка CD. Если считать, что время вызова в оговоренном промежутке распределяется равномерно, то

(При вычислении учтено, что в минутах мера CD равна 5, а мера АВ равна 60 (1 ч = 60 мин).)

Пример №79

К сигнализатору поступают сигналы от двух устройств, причем поступление каждого из сигналов равновозможно в любой момент промежутка времени длительностью Т мин. Моменты поступления сигналов независимы один от другого. Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше 1 мин. Найдите вероятность того, что сигнализатор срабатывает за время Т, если каждое из устройств пошлет по одному сигналу.

Решение:

Выберем промежуток времени длительностью Т, например [0; Т]. Обозначим моменты поступления сигналов первого и второго устройств соответственно через х и . Из условия задачи следует, что должны выполняться двойные неравенства:

Введем прямоугольную систему координат В этой системе двойным неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей квадрату ОТСТ. Следовательно, этот квадрат можно рассматривать как фигуру G, координаты точек которой задают все возможные значения моментов поступления сигналов.

Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше 1 мин, то есть если – х 1 при >х-1 при х > , что равносильно неравенствам

Неравенства (9) выполняются для координат точек фигуры G, лежащих выше прямой у = х и ниже прямой у = х + 1; неравенства (10) имеют место для координат точек, расположенных ниже прямой у = х и выше прямой у = х – 1.

Как видно из рисунка 142, все точки, координаты которых удовлетворяют неравенствам (9) и (10), принадлежат заштрихованному шестиугольнику OABCDF. Таким образом, этот шестиугольник можно рассматривать как фигуру , координаты точек которой являются благоприятными моментами времени х и у для срабатывания сигнализатора.

Учитывая, что площадь

получаем, что искомая вероятность равна

Условные вероятности

1. Понятие условной вероятности

Содержательное определение:

Число, выражающее вероятность события А при условии, что произошло событие В, называется условной вероятностью события А при условии события В и обозначается

Формула

2. Вероятность произведения двух событий (теорема умножения вероятностей)

Вероятность произведения (то есть совместного появления) двух событий равна произведению вероятности одного из них на

условную вероятность другого события, которая вычисляется при условии, что первое событие уже произошло.

3. Вероятность произведения нескольких событий

Вероятность произведения (то есть совместного появления) нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности остальных, причем вероятность каждого следующего события вычисляется при условии, что все предыдущие события уже произошли.

Объяснение и обоснование:

Понятие условной вероятности. Вероятность произведения двух событий

Оценивая вероятность случайного события А, иногда приходится учитывать какие-то дополнительные условия, влияющие на оценку вероятности этого события. Например, если событие А — это выпадание 3 очков при бросании игрального кубика, то его вероятность равна (равновозможные элементарные события — это выпадание 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков). Но если известно, что уже произошло событие В — выпало нечетное число очков при бросании игрального кубика, то после этого вероятность события А становится равной (равновозможные элементарные события — это выпадание нечетного числа очков, то есть 1, 3, 5 очков). Также после того как уже произошло событие В, вероятность выпадания 6 очков равна нулю.

Таким образом, получение некоторой информации о результатах случайного эксперимента означает, что при вычислении вероятности события А вместо всего пространства элементарных событий U необходимо брать ту его часть, элементарные события которой благоприятствуют событию В (поэтому обозначим ее через В).

Число, выражающее вероятность события А при условии, что произошло событие В, называется условной вероятностью события А при условии события В и обозначается Условная вероятность события А при условии события В вычисляется по формуле

Докажем эту формулу для классического определения вероятности. Пусть в результате случайного эксперимента мы можем получить равновозможных элементарных событий (пространство U). Из этих событий т событий благоприятствуют событию А, — событию В, — событию АВ (рис. 146). Тогда . Найдем вероятность события А при условии события В. Как уже отмечалось, для вычисления условной вероятности вместо всего пространства элементарных событий U необходимо брать только ту его часть, элементарные события которой благоприятствую событию В.

В этом случае общее количество результатов эксперимента равно . Из них событию А благоприятствуют только элементарных событий, составляющих событие АВ. Тогда

Отметим, что равенство (9) часто принимается за определение условной вероятности события А при условии, что произошло событие В. Из равенства (9) получаем, что

Поскольку событие ВА совпадает с событием АВ, то в правой части формулы (10) можно поменять местами А и В. Тогда

Вероятность произведения (то есть совместного появления) двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго события, вычисленную при условии, что первое событие уже произошло.

Равенство (11) (или (10)) обычно называют теоремой умножения вероятностей. Если мы можем вычислить вероятность события А и условную вероятность , то по формуле (11) легко найти вероятность Р (АВ) произведения событий А и В.

Пример №80

В коробке находится 10 шаров, из них 4 белых. Наугад берут друг за другом два шара, причем взятый шар в коробку не возвращают. Вычислим вероятность того, что оба шара будут белые.

Решение:

Обозначим события: А — первый вынутый шар белый, В — второй вынутый шар белый. Тогда событие АВ — оба вынутых шара белые.

Вынимание (наугад) из коробки любого из 10 шаров — равновозможные события. Событию А благоприятствуют 4 события (в коробке всего 4 белых шара).

Тогда После того как вынули один белый шар (произошло событие А), в коробке осталось 9 шаров, из них только 3 белые, следовательно, Тогда по формуле умножения вероятностей (11) получаем

Пример №81

Среди однотипных деталей, выпускаемых в цеху, 1 % бракованных. Среди качественных деталей 40 % деталей высшего сорта. Какова вероятность того, что взятая наугад деталь высшего сорта?

Решение:

Обозначим события: А — деталь небракованная, В — деталь высшего сорта. Тогда событие АВ — выбрали качественную деталь высшего сорта.

Выбор одной детали из множества однотипных деталей — равновозможные события. Учитывая, что среди выпущенных деталей 99 % качественных, получаем Р (А) = 0,99, а учитывая, что среди качественных деталей 40 % деталей высшего сорта, получаем, что (В) = 0,4. Тогда

Формула умножения вероятностей (10) обобщается на случай нескольких событий ,

где означает условную вероятность события , вычисленную при условии, что все события уже произошли. Следовательно, вероятность произведения (то есть совместного появления) нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности других, причем вероятность каждого следующего события вычисляется при условии, что все предыдущие события уже произошли.

Пример №82

В коробке лежат 6 белых, 4 черных и 3 красных шара. Наугад один за другим вынимают три шара, причем вынутый шар в коробку не возвращают. Найдите вероятность того, что первый шар будет красным, второй — белым, а третий — черным.

Решение:

Пусть событие А — первый вынутый шар красный, событие В — второй шар белый, событие С — третий шар черный. Тогда событие ABC — вынули три шара, из которых первый красный, второй белый и третий черный.

В коробке всего 13 шаров. Вынимание (наугад) любого из 13 шаров — равновозможные события. Событию А благоприятствуют 3 события (в коробке

всего 3 красных шара). Тогда После того как вынули один красный шар (произошло событие А) в коробке осталось 12 шаров, из них только 6 белых, следовательно, После того как вынули один красный и один белый шар (произошли события А и В, то есть событие АВ), в коробке осталось 11 шаров, из них только 4 черных, следовательно, Тогда по обобщенной формуле умножения вероятностей (12) получаем

Независимые события

1. Понятие независимости двух событий

Событие В называется независимым от события А, если событие А не изменяет вероятности события В.

Определение:

События А и В называются независимыми, если выполняется равенство

(вероятность их произведения — то есть совместного появления — равна произведению вероятностей этих событий).

2. Независимость нескольких событий

Несколько событий называются независимыми, если для какого-либо подмножества этих событий (содержащего два или больше событий) вероятность их произведения равна произведению их вероятностей. В частности, если события независимы, то

3. Свойство независимых событий

Если мы имеем совокупность независимых событий, то, заменив некоторые из этих событий на противоположные им события, снова получим совокупность независимых событий. Например, если события А и В независимы, то независимыми будут, также события

4. Вероятность того, что произойдет хотя бы одно из независимых событий

Объяснение и обоснование:

Событие В называется независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В. В этом случае

Тогда по формуле умножения вероятностей Полученное равенство чаще всего принимают за общее определение независимости событий.

События А и В называются независимыми, если выполняется равенство

то есть два события называются независимыми, если вероятность их произведения (то есть совместного появления) равна произведению вероятностей этих событий.

Равенство (13) обязательно будет выполняться, если одно из событий невозможное или достоверное. Например, если событие В — невозможное, то есть В = , то АВ =. Следовательно, Р (АВ) = 0 и Р (В) = 0, то есть равенство (13) выполняется. Если событие В — достоверное, то есть В = U, то АВ = = AU = А. Тогда Р (АВ) = Р (А) и Р (В) = 1, следовательно, равенство (13) выполняется и в этом случае. Таким образом, если хотя бы одно из двух событий невозможное или достоверное, то такие два события независимы.

Отметим, что в случае, когда события А и В не являются невозможными или достоверными и выполняется равенство (В) = Р (В) (событие В является независимым от события А), то (А) = Р (А) (то есть событие А является независимым от события В). Действительно, по формуле умножения вероятностей Тогда

Подставляя в последнее равенство вместо равное ему число Р (В) и сокращая обе части на получаем, что. Это подтверждает интуитивно понятный факт, что в случае, когда событие В не зависит от события А, то и событие А не зависит от события В.

Обратим внимание, что в случае, когда события А и В независимы, то независимыми будут также события

Докажем, например, что будут независимыми события А и Если события А и В независимые, то по определению Р (АВ) =Р (А) • Р (В). Когда происходит событие А, то в это время событие В может происходить или не происходить. Следовательно, можно утверждать, что событие А происходит тогда и только тогда, когда происходят или события А и В, или события А и то есть Учитывая, что события АВ и А несовместны (поскольку события В и — несовместны) и что , получаем . Тогда

А это и означает, что события А и независимые.

Аналогично обосновывается независимость событий Понятие независимости событий может быть распространено на любое конечное количество событий.

Несколько событий называются независимыми (еще говорят — «независимыми в совокупности»), если для любого подмножества этих событий (содержащего два или более событий) вероятность их произведения равна произведению их вероятностей.

Например, три события А, В, С будут независимыми, если выполняются условия:

Из определения следует, что в случае, когда события независимы, то

(но выполнение этого равенства при еще не означает, что события независимые).

Как и в случае двух событий, можно доказать, что если в некоторой совокупности независимых событий, заменить некоторые из них противоположными им событиями, то получится также совокупность независимых событий.

Отметим, что приведенные определения независимости событий в теоретико-вероятностном понимании соответствуют обычному пониманию независимости событий как отсутствию влияния одних событий на другие. Поэтому при решении задач можно пользоваться следующим принципом: причинно независимые события являются независимыми и в теоретико-вероятностном понимании.

Пример №83

Прибор состоит из трех узлов, каждый из которых на протяжении суток может выйти из строя независимо от других. Прибор не работает, если не работает хотя бы один из узлов. Вероятность безотказной работы в течение суток первого узла равна 0,95, второго — 0,9, третьего — 0,85.

Решение:

Найдите вероятность того, что в течение суток прибор будет работать безотказно.

Пусть событие — первый узел исправен, событие — второй узел исправен, событие — третий узел исправен, событие А — в течение суток прибор работает безотказно. Поскольку прибор работает безотказно тогда и только тогда, когда исправны все три узла, то По условию события — независимые, следовательно,

Пример №84

Два стрелка сделали по одному выстрелу в одну мишень. Вероятность попасть в мишень для первого стрелка равна 0,9, для второго — 0,8. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена.

Решение:

Рассмотрим такие события: А — первый стрелок попал в мишень, В — второй стрелок попал в мишень, С — мишень поражена. События А и В независимые, но непосредственно использовать в данном случае умножение вероятностей нельзя, поскольку событие С наступает не только тогда, когда оба стрелка попали в мишень, но и тогда, когда в мишень попал хотя бы один из них.

Будем рассуждать иначе. Рассмотрим события противоположные соответственно событиям А, В, С. Поскольку события А и В независимые, то события — также независимые. ЕслиЕсли

Учитывая, что мишень не будет поражена тогда и только тогда, когда в нее не попадет ни первый стрелок, ни второй, получаем, что Тогда

Поскольку события С и противоположные, то

Замечание. Рассуждения, приведенные при решении задачи 2, можно обобщить.

Если события , А независимые, то события также независимые (и Для нахождения вероятности появления хотя бы одного из независимых событий то есть события можно найти вероятность противоположного события С. Событие С произойдет тогда и только тогда, когда не произойдет ни событие ни событие, …, ни событие то есть Тогда

Учитывая, что получаем, что вероятность появления хотя бы одного из независимых событийможно вычислить по формуле

Разумеется, приведенную формулу необязательно запоминать, достаточно при решении задач на нахождение вероятности появления хотя бы одного из независимых событий провести вышеизложенные рассуждения.

Схема Бернулли. Закон больших чисел

1. Понятие экспериментов, независимых относительно события А

Если вероятность события А в каждом эксперименте не зависит от результатов других экспериментов, то такие эксперименты называют независимыми относительно события А.

Пример:

Пусть событие А — выпал «герб». Тогда эксперименты по подбрасыванию одной и той же монеты в одинаковых условиях являются независимыми относительно события А.

2. Схема Бернулли (совокупность условий)

Пусть выполняется п независимых экспериментов, в каждом из которых событие А может произойти, а может и не произойти. Вероятность того, что произойдет событие А, в каждом из экспериментов одинакова и равна р, а вероятность того, что событие А не произойдет (то есть произойдет событие ) равна

3. Формула Бернулли

Вероятность того, что в независимых экспериментах событие А произойдет точно раз, равна

Пример:

Найдите вероятность того, что при 6 подбрасываниях монеты «герб» выпадет точно 4 раза.

 Для этой задачи условия схемы Бернулли таковы: Тогда

3*. Неравенство Чебышева

Пусть вероятность того, что в эксперименте произойдет событие А равна р (тогда вероятность того, что событие А не произойдет, равна) и пусть проводятся серии экспериментов, состоящих из п независимых повторений этого эксперимента. Через обозначим число экспериментов, в которых произошло событие А. Тогда для любого положительного числа а выполняется неравенство

4. Закон больших чисел (простейшая форма)

При большом количестве экспериментов относительная частота события, как правило, мало отличается от вероятности этого события.

Математическая запись:

При условиях, сформулированных в неравенстве Чебышева,

Объяснение и обоснование:

Схема Бернулли:

Пусть проводятся несколько экспериментов, результатом каждого из которых может быть одно и то же событие А.

Если вероятность появления события А в каждом из экспериментов не зависит от результатов других экспериментов, то такие эксперименты называют независимыми относительно события А. Рассмотрим независимые эксперименты, в каждом из которых вероятность появления события А не изменяется от эксперимента к эксперименту. Обратим внимание, что вследствие независимых экспериментов всегда происходят независимые события.

Например, независимыми являются несколько экспериментов по бросанию одного и того же игрального кубика в одинаковых условиях. Пусть событие А — выпало 1 очко. Если кубик однородный и имеет правильную геометрическую форму, то в каждом из этих экспериментов вероятность

появления события А одинакова и равна Отметим, что тогда и вероятность непоявления события А в каждом из этих экспериментов также одинакова (это вероятность появления события поэтому

Некоторые практические задачи сводятся к построению математической модели проведения независимых экспериментов с двумя результатами, вероятности которых не изменяются от эксперимента к эксперименту. Совокупность условий для построения такой модели называется схемой Бернулли.

*Материал является обязательным только для классов физико-математического профиля.

Пусть проводится п независимых экспериментов, в каждом из которых событие А может произойти, а может и не произойти. Вероятность того, что произойдет событие А в каждом из экспериментов одинакова и равна р, а вероятность того, что событие А не произойдет {то есть произойдет событие ) равна q = 1 -р. Найдем вероятность того, что в независимых экспериментах событие А произойдет точно раз.

Искомую вероятность при указанных условиях можно вычислить по формуле Бернулли:

 Сначала рассмотрим один набор из п экспериментов, в котором событие А произойдет точно т раз в первых т экспериментах (и соответственно событие произойдет раз в последних экспериментах):

Поскольку по условию результаты рассмотренных экспериментов являются событиями, независимыми относительно события , то вероятность появления такого набора событий равна произведению вероятностей соответствующих независимых событий, то есть

Если событие А произойдет точно раз в других экпериментах из п рассмотренных, то такой набор событий отличается от набора (16) только тем, что события и стоят на других местах. Количество событий останется неизменным ( событий А и событий ), а значит, неизменной будет и вероятность появления каждого набора Количество полученных различных наборов равно, то есть количеству возможных выборов экспериментов, в которых происходит событие А, из рассмотренных экспериментов. Другими словами (фактически равно количеству выборов мест для буквы А из мест в записи набора (16)). Полученные наборы событий несовместны, следовательно, вероятность всех благоприятных результатов (того, что событие А произойдет точно раз в рассмотренных экспериментах) равна сумме чисел, каждое из которых равно Тогда получаем, что

Учитывая, что формулу Бернулли можно записать так:

Пример №85

Найдите вероятность того, что при 10 бросаниях игрального кубика 1 очко выпадет точно 2 раза.

Решение:

Все условия схемы Бернулли выполнены. Событие А — выпало 1 очко при бросании игрального кубика. При всех бросаниях кубика вероятность выпадания 1 очка (события А) одинакова и равна тогда вероятность события равна Кроме того, по условию Следовательно, по формуле Бернулли

Пример №86

Вероятность того, что расход электроэнергии в течение суток не превысит установленную норму, равна 0,75. Найдите вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии за 4 суток не превысит норму.

Решение:

Событие А — расход электроэнергии в течение суток не превышает установленную норму. Каждые сутки вероятность события А одинакова: р = 0, 75, тогда вероятность события (перерасход электроэнергии в течение суток) q = 1- р = 0,25. Следовательно, все условия схемы Бернулли выполнены. Искомая вероятность по формуле Бернулли равна

Вычисления по формуле Бернулли при больших значениях затруднены. В математике предложены приближенные формулы, позволяющие находить приближенные значения для и, что даже более важно для практики, находить суммы значений , таких, что значение дроби (относительная частота события А) лежит в заданных границах.

По формуле Бернулли вероятность того, что в серии из 100 бросаний монеты все 100 раз выпадет «герб», равна то есть приблизительно Очень мала и вероятность того, что при 100 подбрасываниях «число» выпадет точно 10 раз (соответственно «герб» выпадет 90 раз). Наиболее вероятно, что количество выпаданий «герба» будет мало отличаться от 50, при большом количестве экспериментов относительная частота появления события, как правило, мало отличается от вероятности этого события. Математическую формулировку этого качественного утверждения дает открытый Я. Бернулли закон больших чисел. Обоснование этого закона опирается на неравенство, открытое П. JI. Чебышёвым, которое мы без доказательства сформулируем в виде теоремы.

Теорема. Пусть вероятность появления события А в некотором эксперименте равна р (а вероятность не появления события А, то есть появления события равна q = 1- р) и пусть проводятся серии экспериментов, состоящие из п независимых повторений этого эксперимента. Через т обозначим число экспериментов, в которых происходило событие А. Тогда для любого положительного числа а выполняется неравенство

Поясним смысл этого неравенства. Выражение равно относительной частоте события А в серии экспериментов, отклонению этой относительной частоты от теоретического значения . Неравенство означает, что отклонение оказалось больше, чем . Но при постоянном значении с ростом правая часть неравенства (17) стремится к нулю. Иными словами, серии, в которых отклонение экспериментальной частоты от теоретической велико, составляют малую часть всех возможных серий экспериментов. Из неравенства Чебышёва следует утверждение, полученное Я. Бернулли, которое является простейшей формой закона больших чисел: по условию теоремы при любом значении > 0 имеем

Для доказательства этого утверждения достаточно заметить, что

Отметим, что по условию теоремы при любом значении равенство (18) эквивалентно следующему равенству:

которое и означает, что при увеличении числа экспериментов частота появления события А приближается к вероятности появления события А в отдельном эксперименте.

Замечание. Под законом больших чисел обычно понимают не только приведенную формулировку, но и ряд других теорем, обосновыващих отмеченную закономерность для применения математики в естествознании. Эта закономерность состоит в том, что совместное действие многих случайных факторов часто приводит к результатам, почти не зависящим от этих случайных факторов.

Пример №87

Какое количество экспериментов достаточно провести, чтобы равенство с точностью до получить с вероятностью 0,9?

Решение:

Для решения достаточно найти такое (см. неравенство (17)), чтобы было выполнено неравенство Учитывая, что , можно записать

и поэтому достаточно указать п, удовлетворяющее неравенству

Отсюда

Как видим, получение вероятности события, даже с такой незначительной точностью, требует большого количества экспериментов. Правда, более глубокие теоремы показывают, что можно ограничиться меньшим числом экспериментов.

Понятия случайной величины и ее распределения

Под случайной величиной в теории вероятностей понимают переменную величину, которая в данном случайном эксперименте может принимать те или иные числовые значения с определенной вероятностью. Обозначают случайные величины прописными буквами латинского алфавита: X, У, Z, …, а их значения — соответствующими строчными буквами: Тот факт, что случайная величина X приняла значение х, записывают так: X = х.

Например, были найдены вероятности появления той или иной суммы очков при бросании двух игральных кубиков. Появляющаяся сумма очков — случайная величина. Обозначим ее через X. Тогда — значения случайной величины X. Значения случайной величины X и соответствующая вероятность ее появления приведены в таблице:

С помощью этой таблицы легко увидеть, какие значения величина X принимает с одинаковыми вероятностями, какое значение величины X появляется с большей вероятностью и т. д. Такую таблицу называют таблицей распределения значений случайной величины по их вероятностям и говорят, что эта таблица задает закон распределения рассмотренной случайной величины.

Приведем определение рассмотренных понятий. Отметим, что случайную величину можно задать в любом случайном эксперименте. Для этого достаточно каждому элементарному событию из пространства элементарных событий эксперимента поставить в соответствие некоторое число (в этом случае говорят, что задана числовая функция, областью определения которой является пространство элементарных событий).

Случайной величиной называется числовая функция, областью определения которой является пространство элементарных событий.

* Таким образом, через р обозначена вероятность события — случайная величина X приняла значение. Это можно записать так:

Например, в эксперименте по подбрасыванию монеты пространство элементарных событий состоит из двух событий: — выпал «герб», — выпало «число». Эти события несовместны, и в результате эксперимента обязательно произойдет только одно из этих событий. Поставим в соответствие событию число 1, а событию — число 0 (то есть будем считать, что в случае появления «герба» выпадает число 1, а в случае появления «числа» выпадает 0). Тогда получим случайную величину X, которая принимает только два значения:

Рассмотренную функцию — случайную величину X — можно задать также с помощью следующей таблицы:

Закон распределения этой случайной величины задается таблицей:

Отметим, что закон распределения каждой случайной величины устанавливает соответствие между значениями случайной величины и их вероятностями, то есть является функцией, область определения которой — все значения случайной величины. Поэтому

законом распределения случайной величины X называется функция, которая каждому значению х случайной величины X ставит в соответствие число (вероятность события, состоящего в том, что случайная величина X приняла значение ).

В общем случае закон распределения случайной величины, принимающей только значений, можно записать в виде таблицы:

Здесь — разные значения случайной величины X, a = — вероятности, с которыми X принимает эти значения.

События попарно несовместны, и их сумма является достоверным событием. Поэтому сумма вероятностей этих событий равна 1, следовательно,.

Это равенство часто используют для проверки правильности задания закона распределения случайной величины, особенно в тех случаях, когда он задается не в результате теоретического расчета вероятностей событий с использованием классического определение вероятности, а в результате использования статистического определения вероятности.

Например, в экспериментах по подбрасыванию кнопки, рассмотренных в пункте 19.1, падение кнопки на острие или на кружок может быть рассмотрено как случайная величина У с условными значениями = 1 (падение на острие) и = 0 (падение на кружок). Результаты серии экспериментов с некоторой кнопкой представлены в таблице, задающей закон распределения случайной величины.

Замечание. В том случае, когда приходится находить сумму всех значений некоторой величины, можно использовать знак (сигма, читается: «Сумма»), введенный JI. Эйлером (1707 – 1783). Например, если вероятность Р принимает значения то введем обозначение*:

Используя это обозначение, проверку правильности составления последней таблицы можно записать следующим образом:

Рассмотренные в этом пункте случайные величины принимали изолированные друг от друга значения. Такие величины называют дискретными** (от латинского discretus — раздельный, прерывистый), а распределение вероятностей такой величины называется дискретным распределением вероятностей.

Если случайная величина может принимать любое значение на некотором промежутке, то такая величина называется непрерывной. Например, время Т ожидания автобуса на остановке является непрерывной случайной величиной в случае, если пассажир знает, что автобусы ходят через 10 мин, и приходит на остановку случайным образом. Эта случайная величина принимает любое числовое значение

Очевидно, что число значений непрерывной случайной величины бесконечно независимо от того, является ли промежуток значений ограниченным (отрезком) или неограниченным. Поэтому мы не можем для этой величины задать закон распределения так, как мы его задавали для дискретной случайной величины (с помощью таблицы, устанавливающей соответствие между каждым значением случайной величины и его вероятностью). Однако существует способ, с помощью которого можно задать распределение и непрерывной случайной величины***. Для этого промежуток значений заданной непрерывной величины разбивают на части и считают вероятности попадания значений случайной величины в каждую из них.

• * Точнее указанная сумма записывается так:
• ** Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечно или счётно (счётность означает, что мы можем установить взаимно однозначное соответствие между элементами заданного множества и натуральными числами, то есть можем указать, как можно пронумеровать все элементы множества).
• ** * Отметим, что в том случае, когда функция распределения непрерывной случайной величины является непрерывной, такое распределение вероятностей случайной величины называют непрерывным распределением вероятностей.

Например, пусть время горения X (в часах) электрической лампочки некоторого вида —. Промежуток [0; 1000] разделили на 5 одинаковых по длине частей и по результатам горения каждой из 100 экспериментальных лампочек составили следующую таблицу распределения случайной величины:(проверка:

В последнем примере для вычисления вероятностей принятия случайной величиной определенных значений было использовано статистическое определение вероятности (вероятности были оценены по результатами 100 экспериментов, в которых лампочки горели непрерывно до перегорания нити накаливания).

В таких случаях удобно пользоваться расширенной таблицей распределения случайной величины, включая в нее распределения рассмотренной величины по частотам и относительным частотам. Тогда получим следующую таблицу распределений случайной величины X:

Учитывая, что по закону больших чисел при значительном количестве экспериментов значения относительных частот близки к соответствующим вероятностям (в последней таблице значения в третьей и четвертой строке просто совпадают), строку со значениями вероятностей не вносят в таблицу распределения, а вместо нее иногда записывают строку со значениями относительной частоты, выраженной в процентах. Тогда соответствующая таблица распределения значений случайной величины X будет следующей:

Для проверки правильности заполнения такой таблицы используют то, что сумма относительных частот (как и сумма соответствующих вероятностей) равна 1 ( = 1, или в процентах ( = 100 % ), а сумма частот должна равняться количеству экспериментов

Рассмотрим составление такой таблицы по результатам экспериментов.

Пример №88

Результаты измерения роста 30 гимнасток одного спортивного клуба внесены в следующую таблицу:

По этим данным составьте таблицу распределения значений случайной величины X — роста гимнасток клуба — по частотам (М) и относительным частотам

Решение:

 Величина X принимает значения:

Подсчитываем число М гимнасток каждого роста, заносим данные в частотную таблицу, а затем для каждого значения X находим значения относительной частоты W, зная, что = 30. Получаем таблицу распределения значений случайной величины X:

(проверка

Полигоны и гистограммы частот

1. Понятие полигона частот

Распределение случайных величин можно задавать и иллюстрировать графически.

Пусть случайная величина X — размер обуви 30 мальчиков 11 класса одной из школ — имеет распределение по частотам, данное в таблице:

Отметим на координатной плоскости точки с координатами и соединим их последовательно отрезками (рис. 148). Полученную ломаную линию называют полигоном частот.

То есть полигоном частот называют ломаную, отрезки которой последовательно соединяют точки с координатами— значения случайной величины, — соответствующие им частоты.

Аналогично определяется и строится полигон относительных частот для случайной величины X (строятся точки с координатами где — значения случайной величины, — соответствующие им относительные частоты.

Если вычислить относительные частоты для каждого значения случайной величины, рассмотренной в примере в начале этого пункта, то распределение величины X по относительным частотам можно задать таблицей:

Также распределение случайной величины X по относительным частотам можно представить в виде полигона относительных частот (рис. 149), в виде линейной диаграммы (рис. 150) или в виде круговой диаграммы, предварительно записав значения относительной частоты в процентах (рис. 151).

Напомним, что для построения круговой диаграммы круг разбивается на секторы, центральные углы которых пропорциональны относительным частотам, вычисленным для каждого значения случайной величины. Обратим внимание, что круговая диаграмма сохраняет свою наглядность и выразительность только при небольшом количестве полученных секторов. В противном случае ее применение малоэффективно.

Если случайная величина принимает много разных значений, то ее распределение можно лучше себе представить после разбиения всех ее значений на классы. Количество классов может быть любым, удобным для исследования (обычно их выбирают в количестве от 4 до 12). При этом величины (объемы) классов должны быть одинаковыми.

Например, в следующей таблице представлены сведения о заработной плате 100 рабочих одного предприятия. При этом значения зарплаты (округлены до целого числа гривен) сгруппированы в 7 классов, каждый объемом в 100 руб.(проверка: = 100)

Наглядно частотное распределение зарплат по классам можно представить с помощью полигона частот (рис. 152) или столбчатой диаграммы (рис. 153).

Обратим внимание, что во всех приведенных выше примерах полигоны частот строились для дискретных случайных величин.

Понятие гистограммы частот

Распределение значений непрерывной случайной величины также можно представлять графически. Для этого промежуток значений заданной непрерывной величины разбивают на несколько равных частей и считают частоты попадания значений случайной величины в каждую из этих частей.

Вернемся к таблице частот, напомним, что случайная величина X — время горения (в часах) электрической лампочки некоторого вида (до перегорания нити накаливания). Данные из этой таблицы можно представить с помощью так называемой гистограммы частот — ступенчатой фигуры (рис. 154).

Если основанием каждого столбца служит промежуток значений случайной величины длиной, то высоту столбца берут равной (это отношение

называется плотностью частоты на рассмотренном промежутке), где М — частота значений величины X на соответствующем промежутке. Тогда площадь такого столбца будет равняться а площадь фигуры под гистограммой равна

Замечание. Если договориться, что единица на горизонтальной оси соответствует величине (в нашем примере = 200 ч), а единица на вертикальной оси — частоте, равной 1, то построенная на рисунке 154 гистограмма удовлетворяет приведенным требованиям.

Если по данным предыдущей таблицы заполнить таблицу относительных частот, то построенную на ее основании ступенчатую фигуру называют гистограммой относительных частот (рис. 155).

Гистограмму относительных частот строят обычно таким образом, чтобы площадь каждого столбца под ступенькой равнялась соответствующему значению W. Это делается аналогично построению гистограммы частот. Если основанием каждого столбца служит промежуток значений случайна ной величины длиной , то высоту столбца берут равной (это отношение называется плотностью относительной частоты на рассмотренном промежутке), где W — относительная частота значений величины X на соответствующем промежутке. Тогда площадь такого столбца будет равняться , а площадь фигуры под гистограммой равна единице

Замечание. Если договориться, что единица на горизонтальной оси соответствует величине (в нашем примере = 200 ч), а единица на вертикальной оси — относительной частоте, равной 1, то построенная на рисунке 157 гистограмма удовлетворяет приведенным требованиям.

Если не придерживаться договоренностей, приведенных в замечаниях, то для построения гистограммы необходимо найти плотность соответствующей частоты на каждом из рассмотренных промежутков. После этого на вертикальной оси откладывают уже не значения частоты или относительной частоты, а полученные значения плотности. (Обратим внимание, что длины промежутков разбиения мы выбираем одинаковыми, поэтому все полученные значения плотности будут пропорциональны значениям соответствующих частот на этом промежутке.)

Подчеркнем также различие между гистограммой и столбчатой диаграммой. В столбчатой диаграмме основания прямоугольников выбираются произвольно, а в гистограмме основания прямоугольников — это длины выбранных интервалов. Внешним признаком отличия столбчатой диаграммы от гистограммы является также то, что столбчатая диаграмма состоит из отдельных столбиков, а гистограмма — из соединенных между собой прямоугольников.

Следует отметить, что многие дискретные случайные величины, которыми мы пользуемся и которые связанные со временем, с ростом живых организмов (людей, растений и т. д.), являются средними значениями промежутков значений непрерывных случайных величин.

Например, размер одежды является не чем иным, как средним значением половины обхвата грудной клетки (величина V— непрерывна), попадающих в определенные интервалы (рис. 156).