Как найти вероятность распада

Радиоактивный распад и закон больших чисел

Реальность предоставляет нам факты столь романтичные,
что воображение бессильно добавить что-либо к ним.
Жюль Верн

Всегда любопытно заглянуть в конец книжки и узнать, что случилось с главными героями.

В конце школьного учебника физики рассматривается интересная и непростая тема «Физика атомного ядра». Рассмотрение ведется на качественном уровне, формулируется только один важный количественный закон — закон радиоактивного распада. Он записывается так: число нераспавшихся атомов радиоактивного вещества N уменьшается со временем по формуле

N(t) = N₀2^-1/T.

Здесь N₀ — число радиоактивных атомов в начальный момент времени (t=0), T — время, за которое распадается половина радиоактивных атомов, — период полураспада.

Сама формула довольно проста и понятна, ведь показательные функции изучаются в курсе школьной математики. Но физический смысл этого закона понять не так просто. Распад происходит не потому, что радиоактивные атомы «стареют». В учебнике физики Г. Я. Мякишева, Б. Б. Буховцева (11-й класс) говорится следующее: «Предсказать, когда произойдет распад данного атома, невозможно. Определенный смысл имеют только утверждения о поведении в среднем большой совокупности атомов. Закон радиоактивного распада определяет среднее число атомов, распадающихся за определенный интервал времени. Но всегда имеются неизбежные отклонения от среднего значения, и чем меньше атомов в препарате, тем больше эти отклонения. Закон радиоактивного распада является статистическим законом. Говорить об определенном законе радиоактивного распада для малого числа атомов не имеет смысла». Это очень необычно и не похоже на другие физические законы, изучаемые в школе. Оказывается, для одного атома или небольшого числа атомов нет никакого закона — все происходит случайно, а для большого числа атомов — закон есть. Сколько же нужно взять радиоактивных атомов, чтобы закон заработал? С какой точностью он выполняется? Каким образом из случайности возникает закономерность?

Как ответить на эти вопросы? В школьных условиях невозможно провести тонкие опыты с радиоактивными препаратами. К счастью, сегодня в школе есть современные компьютеры, позволяющие моделировать самые различные физические процессы. Такое моделирование, конечно, не заменяет реальный эксперимент, в котором открывают новые факты. Но построение математической компьютерной модели позволяет проникнуть в суть физических явлений как при объяснении известных фактов, так и при исследовании новых. Интересно отметить, что в Европейском центре ядерных исследований ЦЕРН’е для обоснования необходимости финансирования любого эксперимента авторы должны представить компьютерную модель, демонстрирующую осуществимость и перспективность планируемого эксперимента.

Не будем сразу браться за моделирование распада радиоактивного вещества. Попробуем смоделировать более простой и знакомый случайный процесс — бросание монет. Выпадение орла или решки в одном броске является случайным событием, и распад радиоактивного атома за данный промежуток времени — событие случайное. Здесь есть глубокая аналогия. Выпадение орла в одном броске — случайность, но все знают, что если много раз бросить монету, то орел выпадет примерно в половине случаев (закономерность!).

Проведем эксперимент: подбросим с закручиванием одну монету десять раз. У нас орел выпал семь раз. А у вас сколько получилось? А что получится при следующих десяти бросках? А при тысяче бросков? А при следующей тысяче бросков? Что означают слова «выпадает примерно половина орлов»?

Тут на помощь приходит компьютерный эксперимент. Поручим компьютеру осуществлять броски монет, то есть разработаем соответствующую программу. Мы написали также и программы для моделирования процесса радиоактивного распада, но об этом чуть позже. Программы написаны на языке Паскаль, точнее, в Delphi – среде разработки приложений Windows 95/98.

Заметим, что можно бросить одну монету десять раз и подсчитать количество выпавших орлов, но это все равно что бросить один раз десять монет и подсчитать количество выпавших орлов.

Опыт с броском нескольких монет можно провести много раз. Давайте возьмем для определенности четыре монеты. При броске четырех монет может выпасть ноль орлов (все решки, правда, очень редко), может выпасть один, два, три или все четыре орла (так же редко, как 0 орлов). Итак, всего есть пять возможных исходов опыта. Мы чувствуем, что чаще всего будет выпадать два орла. Проверим это в компьютерном эксперименте.

Броски монет моделируются в программе датчиком случайных чисел. Набор из нескольких монет бросается некоторое количество раз. Программа подсчитывает, сколько раз в этой серии опытов выпало ноль орлов, один орел, два орла и т. д., вплоть до случая, когда выпадут все орлы. Количество монет и количество опытов задает пользователь, работающий с программой. Вот фрагмент программы:

FOR i := 0 TO n_monet do orl[i]:=0;  
     {перед серией бросков числа}
     {выпадений i штук орлов orl[i] обнуляются}
FOR j := 1 TO n_opit do   
     {производим n_opit штук бросков}
begin
orlvop := 0;   
     {количество выпавших в данном 
броске орлов обнулено}
FOR i := 1 TO n_monet do   
     {проверяем, как упала каждая из монет}
IF random > 0.5 THEN orlvop := orlvop + 1; 
     {если орел, добавь 1}
orl[orlvop]:=orl[orlvop]+1;  
     {в данном опыте выпало orlvop орлов}
end;                           
     {добавим в orl[orlvop] единицу}

Здесь n_monet — количество подбрасываемых монет, а n_opit — число опытов (число бросков этой группы монет). В orl[i] запоминается, сколько раз в этой серии опытов выпало i штук орлов. Факт выпадения орла определяется по датчику случайных чисел:

IF random > 0.5 THEN orlvop := orlvop + 1.

На рис.1 приведен снимок экрана работающей программы.

Рис. 1. Компьютерный эксперимент, показывающий, что доля выпадения различного количества орлов пропорциональна биномиальным коэффициентам

Четыре монеты брошены 10 000 раз. Два орла выпали 37 847 раз, четыре орла 6159 раз. В нижней строчке приведены соответствующие доли выпадений. Видно, что два орла выпадает в шесть раз чаще, чем ни одного или четыре. Если бросать четыре монеты по 10 000 раз еще и еще, числа выпадений орлов несколько меняются, но доли выпадений остаются практически неизменными. Если количество бросков невелико, то изменения в числах выпадений и долях очень существенны. Проведем эксперименты для различного количества монет с большим числом опытов. Легко убедиться, что получающиеся доли выпадения орлов пропорциональны биномиальным коэффициентам. Это видно из сравнения полученных результатов с треугольником Паскаля, в котором в n-й строчке приведены коэффициенты бинома n-й степени.

Конечно, такой результат получился не случайно. В опыте с одной монетой орел может выпасть или не выпасть с одинаковой вероятностью. Когда мы бросаем две монеты, возможны четыре исхода: решка-решка, орел-решка, решка-орел, орел-орел. Все эти исходы равновероятны. Ноль орлов выпадает в одном случае, один орел — в двух, два орла — в одном. А 1, 2, 1 – это биномиальные коэффициенты бинома с показателем, равным 2:

(a + b)² = a² + 2ab + b².

Бином 3-й степени имеет вид:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab²+b³.

Запишем бином Ньютона в общем виде

(a + b)ⁿ = C⁰_naⁿ + C¹_na^n-1b + C²_na^n-2b² + … + C^m_na^n-mb^m + … + Cⁿ_nbⁿ,

             n!
где Cmn = --------  , n!=1•2•3•...•(n-1)•n.
          m!(n-m)!

Из комбинаторики известно, что из n монет выбрать m штук можно C^m_n способами. Биномиальный коэффициент C^m_n определяет число сочетаний из n предметов по m предметов. Так что доля (вероятность) выпадения m орлов в эксперименте с n монетами как раз задается биномиальными коэффициентами.

Cформулируем классическое определение вероятности: вероятностью события называется отношение числа благоприятных исходов к общему числу несовместных равновозможных исходов (при большом количестве опытов). Вероятность выпадения (или не выпадения) орла при одном броске одной монеты равна 1/2.

Распределение вероятностей выпадения m орлов из n монет (доля выпадения m орлов) дается биномиальными коэффициентами. Поэтому распределение, полученное в нашем компьютерном эксперименте, назовем биномиальным распределением.

Сумма биномиальных коэффициентов равна 2ⁿ. В самом деле, положим в формуле для бинома

a=b=1: (1 +1)ⁿ = C⁰_n + C¹_n + C²_n + … + C^m_n + … + Cⁿ_n= 2ⁿ.

Сумма долей (вероятностей) выпадения 0, 1, 2, 3…n орлов равна 1. Для того чтобы наглядно увидеть пропорциональность биномиальным коэффициентам, эти доли в программе мы умножали на 2ⁿ. Именно результат с умножением приведен в программе (рис. 1). Для одной монеты доли равны.

Наши компьютерные эксперименты с монетами помогают лучше понять характер закона радиоактивного распада. Явление микромира, в том числе распад радиоактивного ядра, описываются квантовой механикой. В этих явлениях принципиальную роль играет случайность. Это нелегко воспринять. Недаром сам Эйнштейн восклицал: «Я не верю, что Бог играет в кости!»

Никак нельзя определить, распадется данное ядро за некоторый промежуток времени или нет. Но можно сказать, что за интервал времени, равный периоду полураспада T, ядро распадется с вероятностью 1/2. Можно образно сказать, что Бог (природа) бросает монету для каждого ядра и так определяет, распасться ему или нет. Вероятность распада m ядер из n имеющихся за время T дается биномиальным распределением. Если наблюдать за четырьмя ядрами в течение времени, равного периоду полураспада, то могут распасться все ядра, три, два, одно или ни одного. Это вещь случайная. Но если много раз повторить опыт, чаще всего окажется, что распались два ядра. Так проявляет себя случайность. Что же будет, если ядер много? Как из этой случайности получается закон радиоактивного распада?

Продолжим опыты с монетами, но брать будем не только малое, но и большое количество монет. В следующей программе подразумевается, что распределение вероятностей при большом числе опытов дается биномиальными коэффициентами, а числу монет разрешено меняться от 2 до 100 000 штук. Надо научиться вычислять в программе биномиальные коэффициенты. Это не такая уж простая задача, ведь n! очень быстро растет с n, и значения переменных выходят за значения, допустимые в компьютере. С этой проблемой удалось справиться логарифмированием выражения для биномиальных коэффициентов, деленного на 2ⁿ:

ln(C^m_n/2ⁿ) = ln1 + ln2 +…+ lnn + ln1 – ln2 – … – lnm+ + ln1 – ln2 -… ln(n – m) – nln2

Эти логарифмы удобно заготовить в начале работы программы, чтобы не терять времени на их многократные вычисления в дальнейшем. Введение множителя 1/2ⁿ — просто выбор удобного масштаба (в математике это называют выбором нормировки).

Биномиальные коэффициенты программа отображает в виде столбчатых диаграмм. На рис. 2 приведена такая диаграмма для n=10 (на рисунке использовано обозначение N).

Рис. 2. Биномиальное распределение для n=10.

Используя эту программу, легко экспериментировать с различным количеством монет. Число монет выбирается с помощью линейки прокрутки или задается в окне ввода. Распределения для n = 10, 100, 1000, 10 000 и 100 000 можно построить, просто нажав на соответствующие кнопки на форме. Построим эти распределения на одном рисунке. Результат приведен на рис. 3. Диаграммы при различных n масштабированы так, чтобы значения аргумента от 0 до n в каждом случае располагались на экране на одном отрезке. По оси y, где отложена доля событий, также проведено масштабирование, причем так, что величины максимумов пиков распределений находились на одном уровне.

Рис. 3. Биномиальное распределение при n = 10, 100, 1000, 10 000, 100 000.

Анализируя рис. 3, обнаруживаем замечательный результат: биномиальное распределение при больших n имеет ярко выраженный пик, относительная ширина которого сильно уменьшается с ростом n. Так что, чем больше число монет n, тем точнее при броске выпадает половина орлов. Хотя всегда имеется разброс результатов, который определяется шириной пика. Этот разброс и показывает, какова доля случайности в проявившейся жесткой закономерности (выпадении в броске n монет с высокой точностью n/2 орлов).

На рис. 4 пики для n = 1000, 10 000 и 100 000 приведены в увеличенном виде.

Рис. 4. Пик при n = 1000, 10000, 100000 в увеличенном виде

Определим, что такое ширина пика. На самом деле, удобнее работать не с шириной, а с полушириной (величиной разброса). Полуширину пика будем измерять на его полувысоте. Определить зависимость полуширины пика от числа монет n тоже можно поручить машине. Что и было сделано в программе. Результат ее работы можно увидеть в виде графика (рис. 5), если нажать на узкую длинную безымянную кнопку справа на форме (хоть кнопка и безымянная, всплывающая подсказка у нее есть, как и у других элементов окна).

Рис. 5. Зависимость полуширины пика от числа монет n

Из рис. 5 обнаруживаем замечательный факт: полуширина пика зависит от числа брошенных монет N практически как N. (напомним, n малое и N большое — это одно и то же). Значит, относительное отклонение (полуширина) имеет вид

N /N = 1/N

и становится все меньше при росте N. Этот факт называется законом больших чисел и показывает, как из случайного вырастает закономерность.

Этот закон получен в настоящей работе из компьютерного эксперимента. Его можно получить также аналитически из выражения для биномиальных коэффициентов, причем обычными средствами школьной математики. Для этого надо от ветить на вопрос: на сколько нужно отступить от n/2, где находится максимум пика, чтобы величина биномиального коэффициента упала вдвое?

В случае, когда монета несимметрична, вероятность выпадения орла p, а решки 1 – р распределение вероятностей выпадения m орлов имеет вид C^m_nр^m(1 – р)^{n – m}. На самом деле именно это распределение принято называть биномиальным. При р=1/2 оно принимает вид распределения для симметричных монет, который мы использовали раньше, C^m_n(1/2ⁿ). Несимметричную монету можно представить себе, например, как кость. Выпадение грани с одним очком будем считать выпадением орла, а любой другой – не выпадением орла. Тогда р = 1/6, 1 – р = 5/6. Моделирование бросков n таких несимметричных монет полностью аналогично проведенному выше моделированию с симметричными монетами. Для несимметричных монет пик распределения с положения n/2 сдвигается в положение pn, то есть выпадает pn орлов с отклонением (полушириной), подчиняющимся закону больших чисел.

Проведенное обсуждение закона больших чисел проясняет характер закона радиоактивного распада. Возьмем N0 радиоактивных ядер, разобьем время наблюдения на интервалы, равные периоду полураспада T. Ситуация теперь полностью аналогична броскам симметричных монет: за один интервал распадется половина ядер с возможным отклонением порядка N. При больших N относительное отклонение равно примерно 1/N, то есть очень мало, и уменьшение числа не распавшихся ядер происходит по закону N(t) = N₀2^-t/T. Когда ядер остается мало, отклонения от половины становятся все большими – проявляется случайный характер процесс распада.

При моделировании будем разбивать время наблюдения на интервалы Δt и подсчитывать число nr распавшихся за время δt ядер, бросая несимметричную монету (кость) для каждого ядра:

if random

Здесь р – вероятность распада ядра за время Δt, т. е. отношение количества распавшихся за время Δt ядер к исходному.

Вычислим эту вероятность по известному периоду полураспада Т данного радиоактивного вещества. Перепишем закон радиоактивного распада следующим образом:

N(t) = N₀2^-t/T = N₀e^-(ln2)t/T = N₀e^-λt.

Здесь λ = ln2/T называется постоянной распада.

Пусть N(t) = N₀e^-λt– число нераспавшихся ядер к моменту времени t, тогда нераспавшихся ядер в момент времени t + Δt будет N(t + Δt) = N₀e^{-λ(t + Δt)} + Δt). Значит, за время Δt распалось количество ядер, равное N(t) – N(t + Δt). Найдем теперь вероятность распада

p = (N₀e^-λt – N₀e^{-λ(t + Δt)})/N₀e^-λt = = 1- e^λΔt

Основной блок программы моделирования имеет вид

for i:=1 to nt do {бросай nt раз несимметричную монету} if random

где nt – число нераспавшихся ядер к моменту t, nr – число ядер, распавшихся за время от t до t+Δt.

Программа моделирования может работать в двух режимах: показ числа распавшихся ядер за последовательные интервалы времени δt или показ числа нераспавшихся к этим моментам времени ядер.

Рис. 6. Картина распада 20 радиоактивных ядер

Если проследить за числом нераспавшихся ядер (возьмем за исходное количество 20 штук), то картина будет такого типа, как изображено на рис. 6. При каждом новом запуске гистограммы на рис. 6 меняются в соответствии со случайным характером процесса распада. Никакой гладкой зависимости нет.

Возьмем большое исходное количество ядер. На рис. 7 представлен результат моделирования для 10 000 ядер. Видно, что зависимость изменения N(t) — гладкая падающая показательная функция. Повторные запуски процесса распада приводят к такому же результату — картина не меняется. Точнее, она меняется, но отклонения согласно закону больших чисел малы по сравнению с N и на рисунке не видны. В случайном проявилась жесткая закономерность.

Рис. 7. Распад большого количества ядер

Программа позволяет проводить эксперименты по распаду микроскопических количеств радиоактивного вещества (до 1 000 000 штук). Период полураспада, время и интервалы наблюдения задаются пользователем. Такой компьютерный эксперимент помогает хорошо понять, почему физический закон радиоактивного распада столь необычен.

КОРОТКО ОБ АВТОРАХ:

Мангазеев Борис Викторович — к. ф.- м. н., доцент каф. теор. физики Иркутского госуниверситета, зав. лаб. информатики гимназии № 1 г. Иркутска
Мангазеев Виктор Борисович — студент 1-го курса физ. ф-та Иркутского госуниверситета

Основной закон радиоактивного распада

,

(2.1)

где N(t)
– ожидаемое количество радиоактивных
ядер к моменту времениt;N₀ – число
радиоактивных ядер в момент времениt= 0; λ – постоянная распада; τ –
среднее время жизни радиоактивных ядер;Т_1/2– их период полураспада.

Активность

,

(2.2)

где N_d(t)
– число ядер, которые должны испытать
распад к моменту времениt;А₀– активность в начальный
момент времениt= 0.
Остальные обозначения те же, что и в
формуле (2.1).

Закон накопления числа радиоактивных
ядер при активации

,

(2.3)

где g– среднее число радиоактивных ядер,
образующихся в единицу времени (скорость
активации).

Вековое равновесие

,

(2.4)

если λ₂>> λ₁иt>>Т_1/2. Индекс «1» относится к
материнским ядрам, индекс «2» – к
дочерним.

Биномиальный закон распределения
вероятностей (формула Бернулли) для
радиоактивного распада

(2.5)

позволяет
вычислить вероятность распада за время
t
точно N ядер, если в начальный момент
времени их было N₀.
Вероятности p(t)
и q(t)
(см. задачу 2.1) равны соответственно

р(t) =1 –e-λt,	(2.6)
q(t) =e-λt.	(2.7)

Распределение Пуассона

,

(2.8)

где W(N)
– вероятность совершения точноNслучайных событий в течение некоторого
промежутка времени; μ – математическое
ожидание случайной величины. Распределение
Пуассона можно использовать, если μ <<N₀, гдеN₀– возможное число случайных событий
(генеральная совокупность, например,
число радиоактивных ядер).

Дисперсия
распределения Пуассона

D ≡ σ2 = μ,

(2.9)

или
средняя квадратичная погрешность
(отклонение)

σ = .

(2.10)

Распределение
Гаусса или нормальное распределение

,

(2.11)

где ε = |N– μ| – отклонение случайной величиныNот ее математического ожиданияμ;
σ – среднее квадратичное отклонение
случайной величиныNот ее математического ожиданияμ.

Средняя квадратичная погрешность
суммы или разности независимых случайных
величин

,

(2.12)

где σ_i
– среднее квадратичное отклонение
отдельной случайной величиныN_i.

Погрешность f– функции
случайных аргументов х₁,
х₂, … :

,

(2.13)

где
–
погрешность соответствующего аргумента.

Кулоновская функция V_c(r)
ядра, для
частицы с зарядомz
:

МэВ,

(2.14)

где Z_я– атомный номер ядра, аrвыражено в см.

Из (2.14) получим формулу для расчета
высоты кулоновского барьераВ_св точкеr = R_я,
где радиус ядра находится по формуле
(1.1):

, МэВ.

(2.15)

2.1. Законы радиоактивного распада Задача 2.1

Найти вероятность распада радиоактивного
ядра за промежуток времени t,
если известна его постоянная распада
λ.

Решение.
Пусть в момент времениt= 0 ядро достоверно существует. Тогда к
моменту времениt =
t´(рис. 2.1.1)
имеются две возможности:

1) ядро не испытало радиоактивного
распада и вероятность этого события
q(t´);

2) ядро распалось и вероятность этого
события равна р(t´).

Очевидно, что

q(t´) +р(t´) = 1,

(2.1.1)

т.к.
третьей возможности нет.

Выясним, чему равна вероятность распада
ядра за бесконечно малый промежуток
времени dt´, если
за предшествующее времяt´
ядро не распалось.Это событие
сложное (см. рис. 2.1.1). Вероятность того,
что произойдут оба события будет равна

dр = q(t´)·λ·dt,

(2.1.2)

где λdt –
вероятность распада за интервал
времениdt. Из (2.1.1)
следует, чтоdp(t´)
=–dq(t´).
Произведя эту замену в (2.1.2), получаем
дифференциальное уравнение для нахожденияq(t´):

dq= –q(t´)·λ·dt.

(2.1.3)

Используя очевидное начальное условие
q(t = 0) = 1
найдем, что вероятность того, что ядро
не испытает распад к заданному моменту
времени

q(t) = e-λt,

(2.1.4)

а,
в соответствии с (2.1.1), вероятность
распада ядра за это же время составит

p(t) = 1 –e-λt.

(2.1.5)

Если в момент
времени t= 0 имелосьN₀радиоактивных
ядер, то к моменту времениtнаиболее вероятное (ожидаемое)число
радиоактивных ядер, не испытавших
радиоактивный распад,должнобыть
равным

N(t) =N0·q(t) =N0e-λt,

что совпадает
с (2.1). Реальное же число оставшихся
ядер будет отличаться отN(t) в
большую или меньшую сторону из-за
случайного характера радиоактивного
распада.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Недавно проводил очередные занятия по физике со своими учениками и заметил некоторые трудности в решении задач на радиоактивный распад. По моим наблюдениям в школе и в интернете разбираются самые тривиальные задачи на распад. Задачи из ЕГЭ бывают немного сложнее. Но для интереса я добавил в статью разборы еще 6 задач, которые смело можно назвать задачами «со звёздочкой*», то есть повышенной сложности. На написание теории и подробные решения было потрачено много времени, поэтому, если Вам понравится статья, поддержите своей активностью.

💡 Крупные статьи я выкладываю в pdf в своём канале в telegram Репетитор IT mentor. Подписывайтесь, там публикуется контент, которого на Дзен не будет.

Прежде всего хотелось бы сделать замечание. Для успешного решения задач по физике (в целом, любых задач) Вам понадобятся:
◼ 1. Уверенные знания в математике на уровне физ-мат лицея (это минимум)
◼ 2. Базовые знания по дифференциальному и интегральному исчислению, а также умение применять начальные условия (НУ) и граничные условия (ГУ).
◼ 3. Понимание ограничений и сути процесса ( у вас не должны получаться отрицательная масса или отрицательное время, дробное количество, околосветовые скорости макроскопических объектов )
◼ 4. Хорошее воображение, 3D-видение эксперимента у себя в голове, а также возможность представить как выглядит график функции, описываемой в определенном законе (например: закон радиоактивного распада).
◼ 5. Умение разбивать большую задачу на малые подзадачи (например: определить амплитуду колебаний изображения математического маятника — у вас две задачи: механическая и оптическая — решайте их отдельно, потом сшивайте).
◼ 6. Чувствуйте абстракции. Вы никогда не решите задачу, если попытаетесь учесть всё. Пример: определите траекторию полёта камня, брошенного под углом к горизонту с учётом… эффекта Магнуса, динамического сопротивления ветра, фазы Луны, функции плотности воздуха, динамики вихрей потоков воздуха, распада вещества, из которого состоит камень, термодинамического расширения камня. Сложно? Вот поэтому чувствуйте абстракции.
◼ 7. Программирование. Да… внезапно. Для физики полезно знать какой-нибудь язык программирования. Попробуйте решенную задачу замоделировать и закодить в виде графической анимации. Так ваши решения станут куда более интересными и наглядными. А меняя входные параметры, вы станете лучше понимать поведение физических систем.

Основные определения

Радиоактивность – свойство некоторых нуклидов подвергаться радиоактивному распаду.

Радиоактивность – превращение одних атомных ядер в другие ядра, сопровождающееся испусканием различных частиц и электромагнитного излучения. На латыни radio – излучаю, activus – действенный.

Радиоактивность – самопроизвольное превращение неустойчивых изотопов одного химического элемента в изотоп другого элемента, сопровождающееся испусканием элементарных частиц, ядер и жесткого электромагнитного излучения.

Нуклид – разновидность атома, характеризуемая числом протонов и нейтронов, а в некоторых случаях энергетическим состоянием ядра.

Радионуклид – нуклид, испускающий ионизирующее излучение.

Радиация или ионизирующее излучение – это частицы или гамма-кванты, энергия которых достаточна велика, чтобы при воздействии на вещество создавать ионы и катионы (т.е. ионизировать молекулы на своём пути).

Ионизирующее излучение – поток заряженных или нейтральных частиц и квантов электромагнитного излучения, прохождение которых через вещество приводит к ионизации и возбуждению атомов или молекул среды. По своей природе делится на фотонное (гамма-излучение, тормозное излучение, рентгеновское излучение) и корпускулярное (альфа-излучение, электронное, протонное, нейтронное, мезонное).

Теория для решения задач

Закон радиоактивного распада – закон, который описывается зависимость интенсивности радиоактивного распада от времени и от количества радиоактивных атомов в образце. Закон был открыт Фредериком Содди и Эрнестом Резерфордом. Оба получили Нобелевскую премию. Они обнаружили закон экспериментальным путем. Ещё в далеком 1903 году в работах «Сравнительное изучение радиоактивности радия и тория» этот закон формулировался:

Во всех случаях, когда отделяли один из радиоактивных продуктов и исследовали его активность независимо от радиоактивности вещества, из которого он образовался, было обнаружено, что активность при всех исследованиях уменьшается со временем по закону геометрической прогрессии.

То есть скорость превращения всё время пропорционально количеству элементов, ещё не подвергнувшихся превращению.

Данную формулировку можно записать в виде дифференциального уравнения: dN/dt = – λ·N, где dN – изменение количества ядер за время dt.

Это изменение отрицательно, потому что при распаде уменьшается количество оставшихся элементов. Опытным путем было установлено, что эта скорость распада dN/dt пропорционально количеству оставшихся ядер N и некоторой постоянной λ, которая называется постоянной распада и характеризует вероятность радиоактивного распада за единицу времени (имеет размерность 1/c). Данное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными. Решение подобных уравнений можно найти в любом учебнике по высшей математике.

В итоге решение будет иметь вид N = N₀ · exp(- λ·t) :

Отсюда видно, что число радиоактивных атомов какого-либо вещества уменьшается со временем по экспоненциальному (показательному) закону. Помимо постоянной распада λ используются другие характеристики.

Среднее время жизни

Зная закон распада, можно посчитать среднее время жизни радиоактивного атома. Вспоминаем, что dN обозначает количество атомов, которое распадется за время от t до t + dt. Тогда среднее время можно будет найти подобно тому, как мы ищем среднее или математическое ожидание случайной непрерывной величины:

В вычислениях была использована формула для интегрирования по частям. Теория интегрирования также описана в любой книге с конспектами по высшей математике (или математическому анализу, или интегральному исчислению).

Подставим результат для тау (время жизни τ) в экспоненциальную зависимость в формуле распада:

Отсюда видно, что за среднее время жизни τ число радиоактивных атомов образца ( а также его активность – количество распадов в секунду) уменьшается в e ≈ 2.718 раз.

Период полураспада

И всё же большей популярностью пользуется другая характеристика для радиоактивных элементов. Называется она периодом полураспада T. Если немного подумать, то из названия понятно, что это время, в течение которого количество радиоактивных атомов исходного элемента уменьшается в 2 раза. Выведем связь этой величины с постоянной распада:

A – массовое число (число нуклонов в составе ядра атома)
Z – атомный номер в таблице Менделеева (число протонов в ядре)
Для нейтрального атома:

Законы сохранения в распадах

При радиоактивном распаде сохраняются следующие параметры:

1. Заряд. Электрический заряд не может создаваться или исчезать. Общий заряд до и после реакции должен сохраняться, хотя может по-разному распределяться среди различных ядер и частиц. Единичный положительный и отрицательный заряды нейтрализуют друг друга. Аналогично, возможно для нейтральной частицы (типа нейтрона) произвести один заряд каждого знака.
2. Массовое число или число нуклонов. Число нуклонов после реакции должно быть равно числу нуклонов до реакции.
3. Общая энергия. Кулоновская энергия и энергия эквивалентных масс должна сохраняться во всех реакциях и распадах.
4. Импульс и угловой момент. Сохранение линейного импульса ответственно за распределение кулоновской энергии среди ядер, частиц и/или электромагнитного излучения. Угловой момент относится к спину частиц.

Потенциальная энергия взаимодействия α-частицы и остаточного ядра с зарядом Z·e

Вид волновой функции можно получить из решения уравнения Шредингера для взаимодействия ядра атома и α-частицы. Способы решения можно почитать в книгах по физике вузовского уровня или в книгах по ММФ (методы математической физики). В целом, для понимания вам будет полезна теория решения дифференциальных уравнений из конспектов лекций по высшей математике или конкретно по теме – дифференциальное и интегральное исчисление.

По причинам исторического характера ядро He называют альфа-частицей. Установлено, что многие тяжелые ядра с зарядовым числом Z > 82 (Z = 82 имеет свинец) испытывают радиоактивный распад с испусканием альфа-частицы. В альфа-частице удельная энергия связи больше, чем в тяжелых ядрах, поэтому альфа-распад возможен энергетически. К примеру, образце урана U-238 испускает альфа-частицы с периодом полураспада 4.5 млрд. лет. Самопроизвольно происходит реакция:

Спустя 4.5 млрд. лет половина ядер урана U-238 распадается. Разность масс U-238 и продуктов распада равна энергии 4.2 МэВ. Рисунок выше позволяет получить представление о том, почему происходит альфа-распад. Ea – кинетическая энергия вылетающей альфа-частицы. Первоначально альфа-частицы находится в области I и может быть описана стоячей волной с амплитудой Ψвнутр (волновая функция в данной области пространства). Однако, возможно проникновение сквозь барьер, потому что в области вдали от ядра имеется небольшой «хвост» волновой функции Ψвнеш. Вероятность вылета альфа-частицы в момент её соударения с барьером можно оценить выражением: |Ψвнеш|²/|Ψвнутр|².

Число таких столкновений в 1 секунду приблизительно v/2R, где v – скорость альфа-частицы в области I. Таким образом, вероятность испускания альфа-частицы в единицу времени можно записать так:

В образце, содержащем n ядер, число распадов в секунду (скорость уменьшения n) равна

Отсюда с помощью интегрирования и подстановки начальных условий можно снова получить закон радиоактивного распада:

Можно получить ещё одну формулу для оценки периода полураспада:

Формула иллюстрирует применение квантовой механики для объяснения радиоактивности. Квантовая механика дает исчерпывающее объяснение альфа-распада и других радиоактивных превращений. Природа вероятности интересна тем, что если в силу редкой случайности текущее ядро уцелело на протяжении большого числа периодов полураспада, то эта предыстория абсолютно не влияет на вероятность распада в будущем. Этот же эффект имеет место при бросании монеты. Если у вас пять раз выпал орёл, вероятность шестой раз выпасть орлу остаётся по-прежнему равной 0.5.

Вероятность распада ядер одного вещества всегда одна и та же, независимо от их возраста. Допустим, половина ядер какого-либо изотопа распадается за один год. Какое-то ядро, избежавшее распада в первый год, по-прежнему будет иметь вероятность ½ распасться на протяжении второго года. Если сохранится на протяжении двух лет, то вероятность распада на третий год снова будет ½.

💡 Теперь перейдем к практике и поучимся решать основные задачи. Здесь имеются две задачи из ЕГЭ по физике, но также я добавил более сложные задачи, которые не встречались мне в ЕГЭ, однако встречались в вузовской программе для физиков.

Практика решения задач

Задача 1. Какая доля радиоактивных ядер распадается через интервал времени, равный половине периода полураспада? Ответ приведите в процентах и округлите до целых.

Решение:

Задача 2. После крупной радиационной аварии, произошедшей в 1986 году на Чернобыльской атомной электростанции, некоторые участки местности оказались сильно загрязнены радиоактивным изотопом цезия-137 с периодом полураспада 30 лет. На некоторых участках норма максимально допустимого содержания цезия-137 была превышена в 1000 раз. Через сколько периодов полураспада после загрязнения такие участки местности вновь можно считать удовлетворяющими норме? Ответ округлите до целого числа.

Решение:

Задача 3. Период полураспада элемента 1 в три раза больше периода полураспада элемента 2. За некоторое время число атомов элемента 1 уменьшилось в 8 раз. Во сколько раз за это же время уменьшилось число атомов элемента 2?

Решение:

Задача 4*. Вычислить постоянную распада λ для изотопов радия:
а) ²¹⁹Ra; б) ²²⁶Ra; в) ²³⁰Ra. Чему равна вероятность распада изотопов радия за время t = 1 час ?

Решение:

Задача 5*. При определении периода полураспада короткоживущего радиоактивного изотопа использовался счётчик импульсов. За минуту в начале наблюдения было насчитано Δn₀ = 250 импульсов, а через время τ = 1 час было зарегистрировано Δn = 92 импульса. Чему равен период полураспада данного изотопа?

Решение:

Задача 6*. Известно, что из радиоактивного полония ²¹⁰Po массой m = 2.5 грамм за время t = 32 дня в результате его распада образуется гелий объемом V = 40 см³ при нормальных условиях: p₀ = 10⁵ Па и τ₀ = 273 К. Определить по этим данным период полураспада данного изотопа полония.

Решение:

Задача 7*.Оценить количество тепла, которое выделяет полоний ²¹⁰Po массой m = 1 мг за время, равное периоду полураспада этих ядер, если испускаемые α-частицы имеют кинетическую энергию Wα = 5.3 МэВ.

Решение:

Задача 8*. Пусть в ядре урана ²³⁸U альфа-частица сталкивается с потенциальным барьером 5·10²⁰ раз в секунду и Ψвнеш/Ψвнутр = 10⁻¹⁹.
а) Какова вероятность распада этого ядра в 1 сек ?
б) Каково среднее время жизни этого ядра?

Решение:

Понравилась статья? Поставьте лайк, подпишитесь на канал! Вам не сложно, а мне очень приятно 🙂

Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в telegram

Серия
экспериментов, проведённая с соля́ми урана в период 1899—1900 гг., показала,
что радиоактивное излучение в сильном магнитном поле распадается на три составляющие:

лучи
первого типа отклоняются так же, как поток положительно заряженных частиц. Их
назвали альфа-лучами;

лучи
второго типа обычно отклоняются в магнитном поле так же, как поток отрицательно
заряженных частиц, их назвали бета-лучами (существуют, однако, позитронные
бета-лучи, отклоняющиеся в противоположную сторону);

а
лучи третьего типа, которые не отклоняются магнитным полем, назвали гамма-излучением.

Хотя
в ходе исследований были обнаружены и другие типы частиц, испускающихся при
радиоактивном распаде, эти названия сохранились до сих пор, поскольку
соответствующие типы распадов наиболее распространены.

Позже
было установлено, что альфа-лучи представляют собой поток ядер атома гелия. А
продуктом распада материнского ядра оказывается элемент, зарядовое число
которого на две единицы меньше, а массовое число на четыре единицы меньше, чем
у материнского ядра:

При
бета-минус-распаде ядро атома испускает один электрон и антинейтрино, в
результате чего образуется ядро нового элемента с тем же самым массовым числом,
но с атомным номером на единицу больше, чем у материнского ядра:

А
при бета-плюс-распаде ядра самопроизвольно испускают позитрон и электронное
нейтрино. Ядро нового химического элемента имеет то же самое массовое число, но
его атомный номер уменьшается на единицу:

Исследование
изотопов различных химических элементов показало, что большинство из них превращается
в более устойчивые изотопы путём радиоактивного распада. При этом очевидно, что
в процессе радиоактивного распада число ядер со временем уменьшается. Но предсказать,
когда именно распадётся то или иное ядро, оказалось невозможным. Однако было
установлено, что для каждого радиоактивного ядра существует некоторое характерное
время, называемое периодом полураспада, спустя которое в исходном
состоянии остаётся половина первоначального количества радиоактивных
ядер. При этом распавшиеся ядра превращаются в ядра других, более
устойчивых изотопов.

Период
полураспада характеризует такое свойство, как активность радионуклида. Данная
величина указывает на интенсивность радиоактивных превращений, т. е. на
количество радиоактивных распадов атомных ядер, происходящих за единицу времени.

В
СИ единицей активности является беккерель. 1 Бк — это активность
радиоактивного препарата, в котором происходит распад одного ядра за одну
секунду. Внесистемной единицей активности служит кюри (1 Ки = 3,7 · 10¹⁰
Бк).

Таким
образом, чем меньше период полураспада радионуклида, тем быстрее происходит его
распад и тем активнее элемент.

Отметим
также, что период полураспада не зависит от того, в каком состоянии находится
вещество: твёрдом, жидком или газообразном. Кроме того, период полураспада не
зависит от времени, места и условий, в которых находится радиоактивное
вещество. Поэтому количество радиоактивных ядер «тогда», и «сейчас» зависит
только от промежутка времени, прошедшего с момента начала регистрации процесса
распада ядер.

Как
мы говорили, точно предсказать, когда произойдёт распад данного ядра невозможно.
Однако можно оценить среднее число ядер, которые распадутся за данный
промежуток времени. Закон, который описывает интенсивность
радиоактивного распада от времени и количества радиоактивных атомов в образце,
был открыт Фредериком Содди и Эрнестом Резерфордом в 1903 году. В своих работах
«Сравнительное изучение радиоактивности радия и тория» и «Радиоактивные
превращения» они сформулировали закон радиоактивного распада следующим образом:
«Во всех случаях, когда отделяли один из радиоактивных продуктов и
исследовали его активность независимо от радиоактивности вещества, из которого
он образовался, было обнаружено, что активность при всех исследованиях
уменьшается со временем по закону геометрической прогрессии».

Давайте с вами получим
математическую форму закона радиоактивного распада. Для этого будем считать,
что в начальный момент времени число радиоактивных ядер составляло «Эн
нулевое». Тогда, через промежуток времени, равный периоду полураспада, у нас
останется? Правильно, половина от их первоначального количества.

За второй период полураспада у
нас распадётся половина от половины исходного числа ядер. То есть
нераспавшимися останется четверть от начального числа ядер. Рассуждая далее аналогичным
образом, найдём, что за промежуток времени, равный n периодам
полураспада, радиоактивных ядер останется:

Поскольку n
— это отношение времени наблюдения к периоду полураспада радиоактивного
элемента, то последнюю запись можно представить в том виде, который вы сейчас
видите на экране:

Полученное соотношение и
выражает математическую запись закона радиоактивного распада. С его
помощью можно найти число нераспавшихся ядер в любой момент времени.

Для примера давайте с вами решим
такую задачу. Изотоп  является β^–-радиоактивным с
периодом полураспада 30 лет. Определите заряд β-частиц, испущенных
этим изотопом за 15 лет, если масса исходного препарата равна 2 г.

Отметим, что закон
радиоактивного распада является статистическим, так как он справедлив до тех
пор, пока число нераспавшихся ядер остаётся достаточно большим.

Вы видите теоретический и
экспериментальный графики распада 47 ядер изотопа фермия-256, период
полураспада которого равен 3,5 часам. Из графиков хорошо видно, что пока ядер
было достаточно много (от 47 до 12), показательная функция хорошо описывала
закон распада. Однако при меньшем числе ядер истинная зависимость существенно
отличается от показательной функции.

Теперь давайте с вами выясним,
от чего же зависит активность радионуклида. Для этого вспомним, что в процессе
радиоактивного распада количество нераспавшихся ядер уменьшается, значит,
активность образца равна скорости уменьшения количества нераспавшихся ядер:

Подставим в данное уравнение
математическую запись закона радиоактивного распада и возьмём первую
производную по времени полученного выражения.

После всех математических
преобразований получим, что активность источника прямо пропорциональна числу
радиоактивных ядер, имеющихся в образце в данный момент времени, и обратно
пропорциональна периоду полураспада данного радиоактивного вещества.

Представим полученную нами
формулу в том виде, как это показано на экране:

Произведение, стоящее в
знаменателе формулы представляет собой среднее время жизни радиоактивного
изотопа. Оно также равно периоду, за который количество нераспавшихся ядер
уменьшается в е ≅ 2,72 раз.

Как вы уже знаете, все
радиоактивные ядра данного изотопа одинаковы. Поэтому и вероятность распада для
каждого из них одинакова в каждую секунду. То есть распад ядра — это, так
сказать, не «смерть от старости», а скорее «несчастный случай» в его жизни. Ядро
может распасться сейчас, а может прожить в образце неопределённо долго без
распада.

Вероятность
распада одного ядра данного изотопа за одну секунду называется постоянной
распада и обозначается греческой буквой лямбда (λ). Для
любого ядра данного изотопа постоянная распада одинакова. Но для ядер различных
изотопов постоянная распада различна.

Давайте предположим, что в некотором
радиоактивном образце имеется N ядер. Тогда вероятность
распада равна той части ядер (|dN/N|) образца,
которая распадётся за единицу времени:

(знак «–» в
уравнении указывает на убывание числа радиоактивных ядер данного изотопа с
течением времени). Из этой формулы следует, что доля распавшихся ядер
равна произведению постоянной распада на малый промежуток времени, за который
они распались:

Проинтегрируем это выражение от
начального до произвольного момента времени:

Воспользовавшись свойствами
логарифма, мы с вами получим второй вариант записи закона радиоактивного
распада:

На основании полученного
уравнения мы с вами можем определить, от чего зависит постоянная радиоактивного
распада. Итак, предположим, что время наблюдения за радиоактивным препаратом
равно его периоду полураспада. Значит, через этот промежуток времени в образце
останется половина от первоначального количества ядер:

Перепишем закон радиоактивного
распада с учётом этого выражения.

И прологарифмируем полученное
равенство по основанию «Е».

Из полученной записи видно,
что постоянная распада обратно пропорциональна периоду полураспада
радиоактивного элемента:

Сравнивая эти формулы с
формулой, полученной нами ранее для активности вещества, видим, что активность
образца равна произведению постоянной распада и числа радиоактивных ядер в
образце в данный момент: