Задания на вероятность в ОГЭ
Опубликовано 28.05.2021
Чтобы понять – что такое вероятность и записать основные формулы, которые нам понадобятся, советуем прочить статью про вероятность. Мы же с вами рассмотрим решение некоторых задач. В ОГЭ по математике они идут под номером 10 в каждом варианте.
Задача 1
На экзамене 40 билетов, Олег не выучил 12 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.
Источник: тексты задач взяты из сборника заданий по математике ОГЭ 2021 под ред Ященко.
Решение.
Используем формулу нахождения вероятностей:
,
где
– число случаев, вероятность выпадения которых надо определить;
– общее число случаев.
В нашей задаче – это число выученных билетов, вероятность попадания которых на экзамене и нужно было определить.
.
Тогда 
.
Ответ: 0,7
Задача 2
В среднем из 150 садовых насосов, поступивших в продажу, 6 подтекает. Найдите вероятность того, что случайно выбранный для контроля насос подтекает.
Решение. Используем ту же формулу, что и в задаче 1. В нашей задаче ,
.
Тогда .
Ответ: 0,04.
Задача 3
Перед началом первого тура чемпионата по шашкам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 71 спортсмен, среди которых 22 спортсмена из России, в том числе Т. Найдите вероятность того, что в первом туре Т. будет играть с каким-либо спортсменом из России.
Решение:
Для нашего спортсмена благоприятных исходов будет 21: 22-1=21, так как спортсмен Т. не может играть сам с собою. А вот с любым другим участником из России он сыграть может. Тогда число всех событий 71-1=70, потому что спортсменов без Т. всего 70.
Подставляем полученные значения в формулу нахождения вероятности и получаем:
.
Ответ: 0,3.
Решим аналогичную задачу.
Задача 4
Перед началом первого тура чемпионата по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 51 спортсмен, среди которых 14 спортсменов из России, в том числе Д. Найдите вероятность того, что в первом туре Д. будет играть с каким-либо спортсменом не из России.
Решение:
Формула для определения вероятностей та же. Определим числитель и знаменатель в ней. Так как Д. – из России должен играть со спортсменом не из России – то спортсменов не из России 51-14=37. Всего спортсменов, с которыми может играть Д. 50, так как Д. не может играть с собой: 51-1=50.
Тогда получим: 
Ответ: 0,74.
Задача 5
На экзамене 60 билетов, Николай не выучил 9 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.
Решение:
Выученных билетов 60-9=51. Находим вероятность того, что Николаю попадется выученный билет.
Ответ: 0,85.
Таким образом, основная сложность в таких задачах – это определение числа благоприятных исходов. В дальнейшем мы просто делим число благоприятных исходов на число всех исходов и находим десятичную дробь, которая и будет являться вероятностью благоприятного события.
( 4 оценки, среднее 5 из 5 )
Теория вероятностей для сдачи ОГЭ и ЕГЭ
Справится с задачей по теории вероятности можно запросто, если знаешь формулу нахождения вероятности и если повезет с задачей. Пока практика показывает, что на экзамене даются задачи проще, чем на пробнике.
К таким простым задачам будем относить задачи из разряда «на тарелке лежат столько-то пирожков, найти вероятность, что попадется пирожок с вишней», с кубиками/монетками и задачки на подобие «найти вероятность того, что ручка не пишет, если вероятность того, что она пишет равна 0,6».
Все остальные типы задач будем считать сложными, т.к. не каждый сможет к ним подступиться без определенных знаний.
Начнем разбор задач с формулы нахождения вероятности:
P=m:n, где P – вероятность какого-либо события, m – благоприятные события (то, что нас спрашивают в вопросе), n – всевозможные события.
Разберемся с поиском благоприятных событий на примере.
#1.
Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию А=«сумма очков равна 10»?
Задаем себе вопрос: в каких случаях сумма очков будет равна 10?
| 1 кубик | 2 кубик | |
| 1 | 4 | 6 |
| 2 | 5 | 5 |
| 3 | 6 | 4 |
Это и есть все благоприятные события. Итого, их 3.
Ответ: 3.
Ну и теперь рассмотрим несколько простейших задач.
Простейшие задачи на нахождение вероятности.
#2.
На тарелке лежат 15 пирожков. Из них 4 с вишней, 5 с яблоком, остальные с абрикосом. Вова наугад берет пирожок. Найдите вероятность того, что ему попадется пирожок с абрикосом.
Благоприятные события – это пирожки с абрикосом. Их в тарелке 15-4-5=6.
Всевозможные события – это все пирожки. Их 15.
Вероятность=Благоприятные : Всевозможные, т.е.
P=6:15=0,4.
!!! Обратите внимание на то, что вероятность не может быть больше 1! Это связано с тем, что 100%-ая вероятность равна 1.
Ответ: 0,4.
#3.
На научной конференции будут выступать 3 докладчика из Германии, 2 из России и 5 из Японии. Найдите вероятность того, что последним будет выступать докладчик из России, если порядок выступления определяется жребием.
Благоприятные события – это российские докладчики. Их 2.
Всевозможные события – это все прибывшие докладчики. Их 3+2+5=10.
P=2:10=0,2
Ответ: 0,2
#4.
Из слова «МАТЕМАТИКА» случайным образом выбирается одна буква. Найдите вероятность того, что эта буква окажется гласной.
Благоприятные события – это гласные буквы. Их 5.
Всевозможные события – это все буквы в слове. Их 10.
Р=5:10=0,5
Ответ: 0,5
#5.
Из класса, в котором учатся 12 мальчиков и 8 девочек, выбирают по жребию одного дежурного. Найдите вероятность того, что дежурным окажется мальчик.
Благоприятные события – это все мальчики. Их 12.
Всевозможные события – все дети в классе. Их 12+8=20.
Р=12:20=0,6
Ответ: 0,6
#6.
В партии из 1000 компьютеров оказалось 5 бракованных. Какова вероятность купить исправный компьютер?
Благоприятные события – это исправные компьютеры. Их 1000-5=995.
Всевозможные события – это все компьютеры. Их 1000.
Р=995:1000=0,995
Ответ: 0,995
#7.
В урне лежат 3 белых, 2 желтых и 5 красных шаров. Найдите вероятность того, что извлеченный наугад шар будет красного цвета.
Благоприятные события – это красные шарики. Их 5.
Всевозможные события – это все шарики. Их 3+2+5=10.
Р=5:10=0,5
Ответ: 0,5
#8.
В каждой пятой банке кофе есть приз. Призы распределены случайно. Галя покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Галя не найдет приз.
Благоприятные события – это банки, в которых нет приза. Их 4.
Всевозможные события – это все банки. Их 5.
P=4:5=0,8
Ответ: 0,8.
Из простых задач остались самые элементарные.
Мы уже знаем, что если какое-либо событие происходит стопроцентно, то его вероятность обозначают за 1.
Если вероятность выпадения снега 50%, то логично предположить, что вероятность того, что снег не выпадет равна так же 50%. Избавимся от процентов. Вероятность выпадения снега равна 0,5, вероятность невыпадения – 0,5. В сумме эти два числа равны 1.
Если вероятность того, что при письме карандаш сломается равна 0,24, то, чтобы найти вероятность того, что он не сломается, надо из 1 вычесть 0,24. Получится 0,76.
#9.
Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что ручка пишет хорошо.
Р=1-0,06=0,94
Ответ: 0,94.
Задачи с кубиками.
Следующий тип простых задач – это задачи с кубиками.
У кубика, как известно, 6 сторон. Значит, при подбрасывании одного кубика, всевозможных событий у нас будет 6. А при подбрасывании двух кубиков? Можно, конечно, расписать все варианты, но если кубиков не два, а три/четыре/пять? Всё время экзамена уйдет на это.
Нужно запомнить, что если количество сторон кубика возвести в степень, равную количеству кубиков, то мы получим число всевозможных событий.
6количество кубиков=всевозможные события
Для нахождения благоприятных событий такой формулы нет, поэтому разминаем мозг и ищем все самостоятельно.
#10.
В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 10 очков. Результат округлите до сотых.
Найдем благоприятные события. В каких случаях сумма очков будет равна 10? Распишем, главное, ничего не забыть.
| 1 кубик | 2 кубик | 3 кубик | |
| 1 | 1 | 3 | 6 |
| 2 | 1 | 4 | 5 |
| 3 | 1 | 5 | 4 |
| 4 | 1 | 6 | 3 |
| 5 | 2 | 2 | 6 |
| 6 | 2 | 3 | 5 |
| 7 | 2 | 4 | 4 |
| 8 | 2 | 5 | 3 |
| 9 | 2 | 6 | 2 |
| 10 | 3 | 1 | 6 |
| 11 | 3 | 2 | 5 |
| 12 | 3 | 3 | 4 |
| 13 | 3 | 4 | 3 |
| 14 | 3 | 5 | 2 |
| 15 | 3 | 6 | 1 |
| 16 | 4 | 1 | 5 |
| 17 | 4 | 2 | 4 |
| 18 | 4 |
3 |
3 |
| 19 | 4 | 4 | 2 |
| 20 | 4 | 5 | 1 |
| 21 | 5 | 1 | 4 |
| 22 | 5 | 2 | 3 |
| 23 | 5 | 3 | 2 |
| 24 | 5 | 4 | 1 |
| 25 | 6 | 1 | 3 |
| 26 | 6 | 2 | 2 |
| 27 | 6 | 3 | 1 |
Итого, благоприятных событий 27, а всевозможных – 63=216.
Р=27:216=0,125. Округляем до сотых – 0,13.
Ответ: 0,13.
#11.
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 4 очка. Результат округлите до сотых.
С двумя кубиками совсем просто.
Всевозможных событий – 62=36
Благоприятных событий – 3 (в сумме выйдет 4, если выпадут 1 и 3, или 3 и 1, или 2 и 2)
Р=3:36=0,08333
Ответ: 0,08
Задачи с монетами.
Задачи с монетками похожи на задачки с кубиками, но придется все всевозможные варианты выписать, чтобы найти благоприятные. Не уверены, что выписали всё? По аналогии с кубиками, можно сделать проверку: количество сторон монеты возвести в степень, равную количеству монеток.
2количество монет=всевозможные события
#12.
Одновременно бросают две монеты. Найдите вероятность, что на обеих монетах выпадет орел.
О – орел, Р – решка
Благоприятных – 1
Всевозможных – 4
Р=1:4=0,25
Ответ: 0,25
#13.
Одновременно бросают три монеты. Найдите вероятность, что на выпадут два орла и одна решка.
Всевозможных событий у нас 23=8. Выпишем их.
| О | О | О |
| О | О | Р |
| О | Р | О |
| О | Р | Р |
| Р | О | О |
| Р | О | Р |
| Р | Р | О |
| Р | Р | Р |
Благоприятных событий 3.
Р=3:8=0,375
Ответ: 0,375.
На этом приятности заканчиваются, и начинаются неприятности.
Задачи на нахождение вероятности совместных и несовместных событий.
В предыдущих задачах события были случайными. Но еще есть такие виды событий как совместные и несовместные. Из названий понятно, что совместные события могут происходить одновременно, а несовместные нет. Например, к совместным событиям относятся снег с дождем, т.е. одновременно идет снег И дождь; к несовместным событиям относятся наступление дня и наступление ночи, т.к. в природе может быть ИЛИ день, ИЛИ ночь. Что-то одно.
Союзы и/или я выделила не просто так. В информатике есть тема «Логические операции». Правда не могу сказать, в каких классах ее изучают. Определенно в старших. В этой теме есть такие понятия как логическое сложение и логическое умножение. Так вот. Союз И отвечает за логическое умножение, а союз ИЛИ – за логическое сложение.
О чем это говорит? Если в задаче нам даны вероятности совместных событий, то их необходимо умножать. Если даны вероятности несовместных событий, то их будем складывать.
И – умножаем
ИЛИ – складываем
#14.
В уличном фонаре три лампы. Вероятность перегорания лампы в течении года равно 0,8. Найдите вероятность того, что в течении года хотя бы одна лампа не перегорит.
Начинаем рассуждать. Если лампа перегорает с вероятностью 0,8, то она не перегорает с вероятностью 1-0,8=0,2.
Возможны несколько случаев.
1) 1 лампа остается И 2 лампы перегорают. Вероятность такого расклада равна 0,2*0,8*0,8=0,128. Причем остаться гореть может первая лампа, вторая ИЛИ третья. Т.е. первый случай разбивается еще на три таких же. Учитывая этот факт, вероятность того, что одна лампа не перегорит, равна 0,128*3=0,384.
2) 2 лампы остаются И 1 перегорает. Этот случай так же разбивается на три. Найдем вероятность: (0,2*0,2*0,8)*3=0,096.
3) 3 лампы остаются гореть. И первая, и вторая, и третья. Вероятность данного события равна 0,2*0,2*0,2=0,008.
Что получаем на выходе? Произойти может или первый случай, или второй, или третий. Найдем вероятность:
Р=0,384+0,096+0,008=0,488
И решим задачу вторым способом. Более коротким.
Вероятность того, что все лампы перегорят (и первая, и вторая, и третья) равна 0,8*0,8*0,8=0,512
Т.к. нас интересует противоположный результат, то вероятность того, что в течении года хотя бы одна лампа не перегорит равна 1-0,512=0,488
Ответ: 0,488
#15.
Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.
Вероятность ничьей = 1-0,4-0,4=0,2.
Команду ожидают две игры. За эти игры она должна набрать 4 очка. Это возможно осуществить тремя способами. Либо они одерживают победу в обоих играх, либо одерживают победу в первой игре и играют вничью во второй, либо играют вничью в первой игре и побеждают во второй. Расставим союзы и/или, чтобы составить полноценную формулу:
(победа и победа) или (победа и ничья) или (ничья и победа)
Заменяем союзы на знаки и получим, что вероятность того, что команда попадет в следующий тур равна 0,4*0,4+0,4*0,2+0,2*0,4=0,32.
Ответ: 0,32.
Успехов в учебе!
Автор статьи, но не задач: Васильева Анна
Задача №10. Первый пример решения
Чтобы определить вероятность события, необходимо подсчитать число благоприятных событий для заданного события, определить общее число исходов и поделить первое число на второе. Вероятность лежит в пределах от нуля до единицы. Чтобы выразить вероятность события в процентах, необходимо умножить ее на 100%. Иногда требуется определить вероятность противоположного события, она равна: единица минус вероятность события.
Рассмотрим характерные задачи.
Решение:
1. Подсчитаем число благоприятных исходов. У нас 6 неисправных фонариков, тогда исправных фонариков будет 80 – 6 = 74 штуки.
2. Подсчитаем общее число исходов. Это общее число фонариков, т.е. 80.
3. Вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен равна 74/80=37/40=0,925.
Ответ: 0,925.
Задача №10. Второй пример решения
Решение:
1. Общее число исходов (сколько всего ручек) равно 132.
2. Подсчитаем число благоприятных исходов, это количество зеленых или черных ручек. Зеленых ручек 39. Количество черных найдем из уравнения 132 – 34- 39 – 5 – 2*х =0, 54 = 2*х, х=27. Таким образом, число благоприятных исходов 39 +27=66.
3. Вероятность того, что случайно выбранная в этом магазине ручка будет зеленой или черной равна 66 / 132 = 1 /2 = 0,5.
Ответ: 0,5.
Задача №10. Третий пример решения
Решение:
1. Подсчитаем количество девочек. Их двое: Оля и Рита. Таким образом, число благоприятных исходов 2.
2. Подсчитаем общее количество исходов. Это общее число ребят, их пятеро.
3. Вероятность того, что начинать игру должна будет девочка, равна: 2/5=0,4.
Ответ: 0,4.
Задача №10. Четвертый пример решения
Решение:
В данной задаче рассматриваются противоположные события. А – событие, которое состоит в том, что ручка не пишет (вероятность равна 0,02); В – событие, которое состоит в том, что ручка пишет. Тогда вероятность события В равна 1-0,02=0,98.
Ответ: 0,98.
Задача №10. Пятый пример решения
Решение:
1. Подсчитаем число благоприятных исходов. У нас имеется две девочки: пусть это будут Оля и Лена. Они могут сесть рядом в порядке “Оля-Лена” или “Лена-Оля”. Таким образом, у нас число благоприятных исходов 2.
2. Общее число исходов определим следующим образом. Пусть первой садится девочка (кстати, вероятность этого события 2/11). Тогда остается 10 свободных стульев для дальнейшего рассаживания.
3. Вероятность того, что две девочки окажутся на соседних местах, равна 2/10=0,2.
Ответ: 0,2.
© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Остались вопросы?
Задайте свой вопрос и получите ответ от профессионального преподавателя.
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
На экзамене 25 билетов, Сергей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
2
Коля выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 5.
3
Телевизор у Маши сломался и показывает только один случайный канал. Маша включает телевизор. В это время по трем каналам из двадцати показывают кинокомедии. Найдите вероятность того, что Маша попадет на канал, где комедия не идет.
4
На тарелке 12 пирожков: 5 с мясом, 4 с капустой и 3 с вишней. Наташа наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.
5
В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 9 черных, 4 желтых и 7 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет желтое такси.
Пройти тестирование по этим заданиям
Рассмотрим типовые задания №10 ОГЭ по математике — статистика и вероятности. Задание не является трудным даже для человека, не знакомого с теорией вероятностей или статистикой.
Обычно нам предлагается набор вещей — яблок, конфет, чашек или чего угодно различающихся цветом или другим качеством. Нам необходимо оценить вероятность попадания одного из класса вещей одному человеку. Задача сводится к вычислению общего количества вещей, а затем делению числа вещей необходимого класса на общее количество.
Итак, перейдем к рассмотрению типовых вариантов.
Разбор типовых вариантов задания №10 ОГЭ по математике
Первый вариант задания
У бабушки 20 чашек: 6 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
Решение:
Как было сказано выше, найдем общее число чашек — в данном случае это известно по условию — 20 чашек. Нам необходимо найти число синих чашек:
20 — 6 = 14
Теперь мы можем найти вероятность:
14 / 20 = 7 / 10 = 0,7
Ответ: 0,7
Второй вариант задания
В магазине канцтоваров продаётся 138 ручек, из них 34 красные, 23 зелёные, 11 фиолетовые, ещё есть синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что при случайном выборе одной ручки будет выбрана красная или чёрная ручка.
Решение:
Найдем вначале число черных ручек, для этого из общего числа вычитаем все известные цвета и делим на два, так как синих и чёрных ручек поровну:
(138 — 34 — 23 — 11) / 2 = 35
После этого можем найти вероятность, сложив количество чёрных и красных, разделив на общее количество:
(35 + 34) / 138 = 0,5
Ответ: 0,5
Третий вариант задания
В фирме такси в данный момент свободно 12 машин: 1 чёрная, 3 жёлтых и 8,зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.
Решение:
Найдем общее число машин:
1 + 3 + 8 = 12
Теперь оценим вероятность, разделив количество желтых на общее число:
3 / 12 = 0,25
Ответ: 0,25
Демонстрационный вариант ОГЭ 2019
На тарелке лежат пирожки, одинаковые на вид: 4 с мясом, 8 с капустой и 3 с яблоками. Петя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с яблоками.
Решение:
Классическая задача по теории вероятностей. В нашем случае удачный исход — это пирожок с яблоком. Пирожков с яблоками 3, а всего пирожков:
4 + 8 + 3 = 15
Вероятность того, что попадется пирожок с яблоками — это количество пирожков с яблоками, деленное на общее количество:
3 / 15 = 0,2 или 20%
Ответ: 0,2
Четвертый вариант задания
Вероятность того, что новый принтер прослужит больше года, равна 0,95. Вероятность того, что он прослужит два года или больше, равна 0,88. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но не меньше года.
Решение:
Введем обозначения событий:
X – принтер прослужит «больше 1 года»;
Y – принтер прослужит «2 года или больше»;
Z – принтер прослужит «не менее 1 года, но меньше 2-х лет».
Анализируем. События Y и Z независимы, т.к. исключают друг друга. Событие X произойдет в любом случае, т.е. и при наступлении события Y, и наступлении события Z. Действительно, «больше 1 года» означает и «2 года», и «больше 2-х лет», и «меньше 2-х лет, но не менее 1 года».
Если так, то событие X можно считать суммой событий, и тогда на основании теоремы о сложении вероятностей запишем:
Р(X)=Р(Y)+Р(Z).
По условию вероятность события Х (т.е. «больше года») равно 0,95, события Y (т.е. «2 года и больше») – 0,88.
Подставим в формулу числовые данные:
0,95=0,88+Р(Z)
Получаем:
Р(Z)=0,95–0,88=0,07
Р(Z) – искомое событие.
Ответ: 0,07
Пятый вариант задания
За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки окажутся на соседних местах.
Решение:
Для расчета вероятности используем классическую ее формулу:
где m – кол-во благоприятных исходов для искомого события, n – общее кол-во всех возможных исходов.
Одна из девочек (которая села первой) занимает стул произвольно. Значит, для другой имеется 9-1=8 стульев, чтобы сесть. Т.е. кол-во всех возможных вариантов событий равно n=8.
Другая девочка должна занять один из 2-х стульев, соседствующих со стулом первой. Только такая ситуация может считаться благоприятным исходом события. Значит, кол-во благоприятных исходов составляет m=2.
Подставляем данные в формулу для расчета вероятности:
Ответ: 0,25
