На чтение 16 мин Просмотров 125к. Опубликовано 25 мая, 2018
Вероятность — очень лёгкая тема, если концентрироваться на смысле задач, а не на формулах. Найти вероятность того что — не просто. И как решать задачи на вероятность?. Во-первых, что такое вероятность? Это шанс, что какое-то событие произойдёт. Если мы говорим, что вероятность некоторого события 50%, что это значит? Что оно либо произойдет, либо не произойдет — одно из двух. Таким образом подсчитать значение вероятности очень просто — нужно взять количество подходящих нам вариантов и разделить на количество всех возможных вариантов. Например, шанс получить решку при подбрасывании монеты это ½. Как мы получаем ½? Всего у нас два возможных варианта (орёл и решка), из них нам подходит один (решка), так мы и получаем вероятность ½.
Как мы уже с вами увидели, вероятность может быть выражена как в процентах, так и в обычных числах. Важно: на ЕГЭ вам нужно будет записать ответ в числах, не в процентах. Принято, что вероятность изменяется от 0 (никогда не произойдет) до 1 (абсолютно точно произойдет). Также можно сказать, что всегда
Вероятность подходящих событий + вероятность неподходящих событий = 1
Теперь мы точно понимаем, как считать вероятность отдельного события, и даже такие задачи есть в банке ФИПИ, но понятно, что на этом всё не заканчивается. Чтобы жизнь была веселее, в задачах на вероятность обычно происходят как минимум два события, и надо посчитать вероятность с учетом каждого из них.
Содержание
- Вероятность нескольких событий
- Задачи и решения задач на вероятность
- Вероятность нескольких событий
- Дополняющая вероятность
Вероятность нескольких событий
Подсчитываем вероятность каждого события в отдельности, затем между дробями ставим знаки:
1. Если нужно первое И второе событие, то умножаем.
2. Если нужно первое ИЛИ второе событие, то складываем.
Задачи и решения задач на вероятность
Задача 1. Среди натуральных чисел от 23 до 37 случайно выбирают одно число. Найдите вероятность того, что оно не делится на 5.
Решение:
Вероятность, это отношение благоприятных вариантов к общему их количеству.
Всего в этом промежутке 15 чисел. Из них на 5 делится всего 3, значит не делится 12.
Вероятность тогда: 
Ответ: 0,8.
Задача 2. Для дежурства в столовой случайно выбирают двух учащихся класса. Какова вероятность того, что дежурить будут два мальчика, если в классе обучается 7 мальчиков и 8 девочек?
Решение: Вероятность, это отношение благоприятных вариантов к общему их количеству. В классе 7 мальчиков, это благоприятные варианты. А всего 15 учеников.
Вероятность что первый дежурный мальчик:
Вероятность что второй дежурный мальчик:
Раз оба должны быть мальчики, вероятности перемножим:
Ответ: 0,2.
Задача 3. На борту самолёта 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.
Решение: Пассажиру В. удобны 30 мест (12 + 18 = 30), а всего в самолете 300 мест. Поэтому вероятность того, что пассажиру В. достанется удобное место равна 30/300, т. е. 0,1.
Задача 4. В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по неравенствам.
Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам.
Решение: Из 25 билетов 15 не содержат вопроса по неравенствам, поэтому вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам, равна 15/25, т. е. 0,6.
Задача 5. В сборнике билетов по химии всего 35 билетов, в 7 из них встречается вопрос по кислотам.
Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по кислотам.
Решение: Из 35 билетов 28 не содержат вопроса по кислотам, поэтому вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по кислотам, равна 28/35, т. е. 0,8.
Задача 6. В среднем из 500 садовых насосов, поступивших в продажу, 2 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
Решение: Если из 500 насосов 2 подтекают, то 498 не подтекают. Следовательно, вероятность выбора хорошего насоса — 498/500, т. е. 0,996.
Задача 7. Вероятность того, что новый пылесос в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,065. В некотором городе из 1000 проданных пылесосов в течение года в гарантийную мастерскую поступило 70 штук.
На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?
Решение: Частота события «гарантийный ремонт» равна 70/1000, т. е. 0,07. Она отличается от предсказанной вероятности на 0,005 (0,07 – 0,065 = 0,005).
Задача 8. В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 18 из России, 14 из Украины, остальные — из Белоруссии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием.
Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Белоруссии.
Решение: Всего участниц на чемпионате 50, а спортсменок из Белоруссии — 18 (50 – 18 – 14 = 18).
Вероятность того, что первой будет выступать спортсменка из Белоруссии — 18 из 50, т. е. 18/50, или 0,36.
Задача 9. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 80 докладов — первые три дня по 12 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой.
Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
Решение: За первые три дня будут прочитаны 36 докладов (12 ∙ 3 = 36), на последние два дня планируется 44 доклада. Поэтому на последний день запланировано 22 докладов (44 : 2 = 22). Значит, вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции, равна 22/80, т. е. 0,275.
Задача 10.
Перед началом первого тура чемпионата по шахматам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 шахматистов, среди которых 14 участников из России, в том числе Егор Косов.
Найдите вероятность того, что в первом туре Егор Косов будет играть с каким-либо шахматистом из России?
Решение: В первом туре Егор Косов может сыграть с 25 шахматистами (26 – 1 = 25), из которых 13 ― из России. Значит, вероятность того, что в первом туре Егор Косов будет играть с каким-либо шахматистом из России, равна 13/25, или 0,52.
Задача 11.
В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.
Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?
Решение: Вероятность того, что команда России окажется во второй группе, равна отношению количества карточек с номером 2, к общему числу карточек, т. е. 4/16, или 0,25.
Задача 12. В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдёт в магазин?
Решение: Выбирают двоих туристов из пяти. Следовательно, вероятность быть выбранным равна 2/5, т. е. 0,4.
Задача 13. В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта.
Решение: На первом рейсе 6 мест, всего мест 30. Тогда вероятность того, что турист полетит первым рейсом вертолёта, равна 6/30, или 0,2.
Задача 14. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?
Решение: Натуральных чисел от 10 до 19 десять, из них на 3 делятся три числа: 12, 15 и 18. Следовательно, искомая вероятность равна 3/10, т. е. 0,3.
Вероятность нескольких событий
Задача 1. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Стартер» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стратор». Найдите вероятность того, что «Стартер» будет начинать только вторую игру.
Решение:
Тип вопроса: совмещение событий.
Нас устроит следующий вариант: «Статор» не начинает первую игру, начинает вторую игру, не начинает третью игру. Вероятность такого развития событий равна произведению вероятностей каждого из этих событий. Вероятность каждого из них равна 0,5, следовательно: 0,5 · 0,5 · 0,5 = 0,125.
Задача 2. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей ― 1 очко, если проигрывает ― 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.
Решение:
Тип вопроса: совмещение событий.
Задачу выполняют несколько вариантов:
| Игра №1 | Игра №2 | Вероятность данного варианта |
| 3 | 1 | 0,4 · 0,2 = 0,08 |
| 1 | 3 | 0,2 · 0,4 = 0,08 |
| 3 | 3 | 0,4 · 0,4 = 0,16 |
Вероятность происхождения какого-либо их этих 3-х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 0,08 + 0,08 + 0,16 = 0,32.
Задача 3. В классе учится 21 человек. Среди них две подруги: Аня и Нина. Класс случайным образом делят на 7 групп, по 3 человека в каждой. Найти вероятность того что Аня и Нина окажутся в одной группе.
Решение:
Тип вопроса: уменьшение групп.
Вероятность попадания Ани в одну из групп равна 1. Вероятность попадания Нины в ту же группу равна 2 из 20 (2 оставшихся места в группе, а человек осталось 20). 2/20 = 1/10 = 0,1.
Задача 4. В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по два рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе двухрублёвые монеты лежат в одном кармане.
Решение:
Способ №1
Тип задачи: уменьшение групп.
Представим, что шесть монет делят на две группы по три монеты. Вероятность, что первая однорублевая монета попадет в один из карманов (групп) = 1.
Вероятность, что две двухрублевые монеты попадут в этот же карман = количество оставшихся мест в этом кармане/на количество оставшихся мест в обоих карманах = 2/5 = 0,4.
Способ №2
Тип вопроса: совмещение событий.
Задачу выполняют в несколько вариантов:
Если Петя переложил в другой карман три из четырех рублевых монет (а двухрублевые не перекладывал), или если переложил в другой карман обе двухрублевые монеты и одну рублевую одним из трех способов: 1, 2, 2; 2, 1, 2; 2, 2, 1. Можно изобразить это на схеме (перекладывает Петя в карман 2, поэтому будем высчитывать вероятности в колонке «карман 2»):
Вероятность происхождения какого-либо их этих 4-х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 
Задача 5. В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.
Решение:
Тип задачи: уменьшение групп.
Способ №1
Представим, что шесть монет делят на две группы по три монеты. Вероятность, что первая двухрублевая монета попадет в один из карманов (групп) = 1. Вероятность, что вторая монета попадет в другой карман = количество оставшихся мест в другом/ на количество оставшихся мест в обоих карманах = 3/5 = 0,6.
Способ №2
Тип вопроса: совмещение событий.
Задачу выполняют несколько вариантов:
Чтобы пятирублевые монеты оказались в разных карманах, Петя должен взять из кармана одну пятирублевую и две десятирублевые монеты. Это можно сделать тремя способами: 5, 10, 10; 10, 5, 10 или 10, 10, 5. Можно изобразить это на схеме (перекладывает Петя в карман 2, поэтому будем высчитывать вероятности в колонке «карман 2»):
Вероятность происхождения какого-либо их этих 4-х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 
Задача 6. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.
Решение: Тип вопроса: нахождение желаемого и действительного совмещение событий Нас устраивают три варианта:
Орёл ― решка ― орёл;
Орёл ― орёл ― решка;
Решка ― орёл ― орёл;
Вероятность каждого случая ― 1/2, а каждого варианта ― 1/8 (1/2 ∙ 1/2 ∙ 1/2 = 1/8)
Нас устроит либо первый, либо второй, либо третий вариант. Следовательно, складываем их вероятности и получаем 3/8 (1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8), т. е. 0,375.
Задача 7. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,34. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
Решение:
Тип вопроса: совмещение событий.
В любом случае А. будет играть как белыми, так и черными, поэтому нас устроит вариант, когда гроссмейстер А. выиграет, играя белыми (вероятность ― 0,5), а также играя чёрными (вероятность ― 0,34). Поэтому надо перемножить вероятности этих двух событий: 0,5 ∙ 0,34 = 0,17.
Задача 8. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,02. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.
Решение:
Тип вопроса: совмещение событий.
Вероятность того, что батарейка исправна, равна 0,98. Покупателю надо, чтобы и первая, и вторая батарейка были исправны: 0,98 · 0,98 = 0,9604.
Задача 9. На рок-фестивале выступают группы ― по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из США будет выступать после группы из Канады и после группы из Китая? Результат округлите до сотых.
Решение:
Тип вопроса: совмещение событий.
Общее количество выступающих на фестивале групп для ответа на вопрос неважно. Сколько бы их ни было, для указанных стран есть 6 способов взаимного расположения среди выступающих (КИТ — Китай, КАН = Канада):
… США, КАН, КИТ …
… США, КИТ, КАН …
… КИТ, США, КАН …
… КАН, США, КИТ …
… КАН, КИТ, США …
… КИТ, КАН, США …
США находится после Китая и Канады в двух последних случаях. Поэтому вероятность того, что группы случайным образом будут распределены именно так, равна:
≈ 0,33.
Дополняющая вероятность
Задача 1.
Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,97. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,05.
Найдите вероятность того, что случайно выбранная батарейка будет забракована.
Решение:
Существуют 2 варианта, которые нам подходят:
Вариант А: батарейка забракована, она неисправна;
Вариант Б: батарейка забракована, она исправна.
Вероятность варианта А: 0,02 ∙ 0,97 = 0,0194;
Вероятность варианта Б: 0,05 ∙ 0,98 = 0,049;
Нас устроит либо первый, либо второй вариант: 0,0194 + 0,049 = 0,0684.
Задача 2. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 60% этих стекол, вторая — 40%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 5%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
Решение:
Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике и оно бракованное: 0,6 · 0,03 = 0,018.
Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракованное: 0,4 · 0,05 = 0,02.
Вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным, равна 0,018 + 0,02 = 0,038.
Задача 3. На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до тысячных.
Решение:
Предположим, у нас х тарелок изначально (ведь мы постоянно имеем дело с процентами, поэтому нам ничего не мешает оперировать конкретными величинами).
Тогда 0,1х — дефектные тарелки, а 0,9х — нормальные, которые поступят в магазин сразу. Из дефектных убирается 80%, то есть 0,08х, и остаётся 0,02х, которые тоже пойдут в магазин. Таким образом, общее количество тарелок на полках в магазине окажется: 0,9х + 0,02х = 0,92х. Из них нормальными будет 0,9х. Соответственно, по формуле вероятность будет 0,9х/0,92х ≈ 0,978.
Задача 4. По отзывам покупателей Игорь Игоревич оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,91. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,89. Игорь Игоревич заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.
Решение. Вероятность того, что первый магазин не доставит товар, равна 1 − 0,91 = 0,09. Вероятность того, что второй магазин не доставит товар, равна 1 − 0,89 = 0,11. Вероятность происхождения двух этих событий одновременно равна произведению вероятностей каждого из них: 0,09 · 0,11 = 0,0099.
Задача 5. При изготовлении подшипников диаметром 70 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного меньше чем на 0,01 мм, равна 0,961. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 69,99 мм или больше чем 70,01 мм.
Решение: Нам дана вероятность события, при котором диаметр будет в пределах между 69,99 мм и 70,01 мм, и она равна 0,961. Вероятность всех остальных вариантов мы можем найти по принципу дополняющей вероятности: 1 − 0,961 = 0,039.
Задача 6. Вероятность того, что на тесте по истории учащийся верно решит больше 9 задач, равна 0,68. Вероятность того, что верно решит больше 8 задач, равна 0,78. Найдите вероятность того, что верно решит ровно 9 задач.
Решение: Вероятность того, что Т. верно решит более 8 задач, включает в себя вероятность решения ровно 9 задач. При этом, события, при которых О. решит больше 9 задач, нам не подходят. Следовательно, отняв от вероятности решения более 9 задач вероятность решения более 8 задач, мы и найдём вероятность решения только 9 задач: 0,78 – 0,68 = 0,1.
Задача 7. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 21 пассажира, равна 0,88. Вероятность того, что окажется меньше 12 пассажиров, равна 0,66. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 12 до 20.
Решение. Вероятность того, что в автобусе окажется меньше 21 пассажира, включает в себя вероятность, что в нём окажутся от 12 до 20 пассажиров. При этом события, при которых пассажиров будет меньше 12, нам не подходят. Следовательно, отняв от первой вероятности (менее 21) вторую вероятность (менее 12), мы и найдём вероятность того, что пассажиров будет от 12 до 20 : 0,88 – 0,66 = 0,22.
Задача 8. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,9 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 10 апреля погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 13 апреля в Волшебной стране будет отличная погода.
Решение:
Задачу выполняют несколько вариантов («Х» — хорошая погода, «О» — отличная погода):
| 11 апреля | 12 апреля | 13 апреля | Вероятность данного варианта |
| X – 0,9 | X – 0,9 | O – 0,1 | 0,9 ·0,9 ·0,1 = 0,081 |
| X – 0,9 | O – 0,1 | O – 0,9 | 0,9 ·0,1 ·0,9 = 0,081 |
| O – 0,1 | O – 0,9 | O – 0,9 | 0,1 ·0,9 ·0,9 = 0,081 |
| O – 0,1 | X – 0,1 | O – 0,1 | 0,1 ·0,1 ·0,1 = 0,001 |
Вероятность происхождения какого-либо их этих 4-х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 0,081 + 0,081 + 0,081 + 0,001 = 0,244.
Задача 9. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.
Решение:
Задачу выполняют несколько вариантов («Х» ― хорошая погода, «О» ― отличная погода):
| 4 июля | 5 июля | 6 июля | Вероятность данного варианта |
| X – 0,8 | X – 0,8 | O – 0,2 | 0,8 · 0,8 · 0,2 = 0,128 |
| X – 0,8 | O – 0,2 | O – 0,8 | 0,8 · 0,2 · 0,8 = 0,128 |
| O – 0,2 | O − 0,8 | O − 0,8 | 0,2 · 0,8 · 0,8 = 0,128 |
| O – 0,2 | X – 0,2 | O – 0,2 | 0,2 · 0,2 · 0,2 = 0,008 |
Вероятность происхождения какого-либо их этих 4 ― х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 0,128 + 0,128 + 0,128 + 0,008 = 0,392.
1
Сборник задач по теории вероятностей
(с решениями)
Разработка предназначена для учащихся 9–11 классов для
подготовки к ОГЭ и ЕГЭ по математике.
УМК любой
Цель: показать решение типовых задач по данной теме,
закрепить умение учащихся решать данные задачи, подготовить
учеников к сдаче ОГЭ и ЕГЭ
Методические рекомендации по использованию ресурса:
Работу можно применить:
при проведении урока по систематизации и закреплении
знаний учащихся
при проведении консультаций.
Документ можно распечатать на принтере и скрепить в виде
брошюры, для этого при печатании надо нажать кнопку
«двусторонняя печать».
Источники информации:
Открытый банк ЕГЭ ФИПИ http://fipi.ru/
Решу ЕГЭ по математике Д. Гущин. https://ege.sdamgia.ru
Составила учитель математики
Коммунаровской СОШ
Беловского района Курской области
Лукьянченко Светлана Викторовна.
2016 год
2
Теория вероятностей
Классическое определение вероятности
Вероятностью события A называется отношение числа
благоприятных для A исходов к числу всех равновозможных
исходов: Р (А) =
𝒎
𝒏
где n — общее число равновозможных исходов, m — число
исходов, благоприятствующих событию A.
Противоположные события
Событие, противоположное событию A, обозначают Ā. При
проведении испытания всегда происходит ровно одно из двух
противоположных событий и
Объединение несовместных событий
Два события A и B называют несовместными, если
отсутствуют исходы, благоприятствующие одновременно как
событию A, так и событию B.
Если события A и B несовместны, то вероятность их
объединения равна сумме вероятностей событий A и B:
P(A U B) =P(A) + P(B)
Пересечение независимых событий
Два события A и B называют независимыми, если вероятность
каждого из них не зависит от появления или непоявления
другого события.
Событие C называют пересечением событий A и B
(пишут C = A∩B), если событие C означает, что произошли оба
события A и B.
Если события A и B независимы, то вероятность их пересечения
равна произведению вероятностей событий A и B:
P(A∩B) = P(A) • P(B)
Формула сложения вероятностей совместных событий:
P(A U B) =P(A) + P(B) – P(A∩B)
3
1. Из 1000 собранных на заводе телевизоров 5 штук
бракованных. Эксперт проверяет один наугад выбранный
телевизор из этой 1000. Найдите вероятность того, что
проверяемый телевизор окажется бракованным.
Решение. При выборе телевизора наугад возможны 1000
исходов, событию A «выбранный телевизор — бракованный»
благоприятны 5 исходов. По определению вероятности
P(A) = 5÷1000 = 0,005. Ответ: 0,005.
2. В урне 9 красных, 6 жёлтых и 5 зелёных шаров. Из урны
наугад достают один шар. Какова вероятность того, что этот
шар окажется жёлтым?
Решение. Общее число исходов равно числу шаров: 9 + 6 + 5 =
20. Число исходов, благоприятствующих данному событию,
равно 6. Искомая вероятность равна 6÷20 = 0,3. Ответ: 0,3.
3. Петя, Вика, Катя, Игорь, Антон, Полина бросили жребий
— кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начи–
нать игру должен будет мальчик.
Решение. Вероятность события равна отношению количества
благоприятных случаев к количеству всех случаев. Благоприят–
ными случаями являются 3 случая, когда игру начинает Петя,
Игорь или Антон, а количество всех случаев 6. Поэтому искомое
отношение равно 3:6=0,5. О т в ет: 0,5.
4. В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью
жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре
команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с
номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.
Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова
вероятность того, что команда России окажется во второй
группе?
Решение: Обозначим через А событие «команда России во
второй группе». Тогда количество благоприятных событий m =
4 (четыре карточки с номером 2), а общее число
равновозможных событий n = 16 (16 карточек) по определению
вероятности Р= 4: 16 = 0,25. Отве т : 0,25
4
5. В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6
спортсменов из Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Поря–
док, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием.
Найдите вероятность того, что первым будет стартовать
спортсмен не из России.
Решение. Всего спортсменов 11 + 6 + 3 = 20 человек. Поэтому
вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен
не из России равна 9:20 = 0,45. Отве т : 0,45.
6. На каждые 1000 электрических лампочек приходится 5
бракованных. Какова вероятность купить исправную лам–
почку?
Решение. На каждые 1000 лампочек приходится 5 бракованных,
всего их 1005. Вероятность купить исправную лампочку будет
равна доле исправных лампочек на каждые 1005 лампочек, то
есть 1000:1005=0,995.Ответ : 0,995.
7. В группе туристов 8 человек. С помощью жребия они
выбирают шестерых человек, которые должны идти в село в
магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист
Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин? 6 : 8=0,75.
8. В чемпионате по футболу участвуют 16 команд, которые
жеребьевкой распределяются на 4 группы: A, B, C и D. Како–
ва вероятность того, что команда России не попадает в груп–
пу A?
Решение. Каждая команда попадет в группу с вероятностью
0,25. Таким образом, вероятность того, что команда не попа–
дает в группу равна 1-0,25=0,75. О т в ет:0,75
9. На турнир по шахматам прибыло 26 участников в том
числе Коля и Толя. Для проведения жеребьевки первого
тура участников случайным образом разбили на две группы
по 13 человек. Найти вероятность того, что Коля и Толя
попадут в разные группы.
Решение. Всего 26 мест. Пусть Коля займет случайное место в
любой группе. Останется 25 мест, из них в другой группе 13.
5
Исходом считаем выбор места для Толи. Благоприятных
исходов 13. Р=13/25 = 0,52. О т вет : 0,52
10. В классе 16 учащихся, среди них два друга —Вадим и
Сергей. Учащихся случайным образом разбивают на 4
равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и
Сергей окажутся в одной группе.
Решение. Если Сергею первому досталось некоторое место, то
Олегу остаётся 15 мест. Из них 3 — в той же группе, где
Сергей. Искомая вероятность равна 3/15. О твет: 0,2
11. В классе 21 учащийся, среди них два друга — Вадим и
Олег. Класс случайным образом разбивают на 3 равные
группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Олег
окажутся в одной группе.
Решение. Пусть один из друзей находится в некоторой группе.
Вместе с ним в группе окажутся 6 человек из 20 оставшихся
учащихся. Вероятность того, что друг окажется среди этих 6
человек, равна 6 : 20 = 0,3. Ответ: 0,3
12. Перед началом первого тура чемпионата по настольному
теннису участников разбивают на игровые пары случайным
образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует
16 спортсменов, среди которых 7 участников из России, в
том числе Платон Карпов. Найдите вероятность того, что в
первом туре Платон Карпов будет играть с каким–либо
спортсменом из России? 6:15=0,4. О т вет:0,4.
13. Перед началом первого тура чемпионата по шашкам
участников разбивают на игровые пары случайным образом
с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26
шашистов, среди которых 3 участника из России, в том
числе Василий Лукин. Найдите вероятность того, что в
первом туре Василий Лукин будет играть с каким–либо
шашистом из России? 2: 25=0,08. Ответ: 0,08.
14. В классе 26 учащихся, среди них два друга — Сергей и
Андрей. Учащихся случайным образом разбивают на 2
6
равные группы. Найдите вероятность того, что Сергей и
Андрей окажутся в одной группе. Ответ 12 : 25 = 0,48.
15. В классе 21 ученик, среди них 2 друга – Тоша и Гоша. На
уроке физкультуры класс случайным образом разбивают на
3 равные группы. Найдите вероятность того, что Тоша и
Гоша попали в одну группу. Ответ 6 : 20 = 0,3.
16. В классе 21 учащийся, среди них две подруги – Аня и
Нина. Класс случайным образом делят на семь групп, по 3
человека в каждой. Найдите вероятность того, что Аня и
Нина окажутся в одной группе. Ответ: 2: 20 = 0,1.
17. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в
какой–то момент сломались и перестали идти. Найдите
вероятность того, что часовая стрелка остановилась,
достигнув отметки 7, но не дойдя до отметки 1.
Ответ. 6 : 12= 0,5 ( 6 делений между 12 и 7, всего 12 делений)
18. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в
какой–то момент сломались и перестали ходить. Найдите
вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув
отметки 6, но не дойдя до отметки 9 часов. 3:12 = 0,25
При решении задач с монетами число всех возможных
исходов можно посчитать по формуле п=2ª, где α –
количество бросков
19. В случайном эксперименте симметричную монету броса–
ют 2 раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет
ровно 1 раз.
Решение. Всего возможны четыре исхода: решка–решка, решка–
орёл, орёл–решка, орёл–орёл. Орёл выпадает ровно один раз в
двух случаях, поэтому вероятность того, что орёл выпадет
ровно один раз равна 2:4=0,5. Отве т : 0,5.
20. В случайном эксперименте симметричную монету
бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл не
выпадет ни разу. Ответ: 1:4=0,25
7
21. В случайном эксперименте симметричную монету
бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл не
выпадет ни разу. Решение. 1:8=0,125 Ответ. 0,125
22. В случайном эксперименте симметричную монету
бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орёл
выпадет ровно 2 раза.
Решение. Составим список возможных вариантов. Бросают 2
раза может выпасть О – Орел, Р – Решка:
ОО, ОР, РО, РР. Всего 4 исхода из них только один случай
удовлетворяет условию. Вероятность (P) = 1 / 4 = 0.25.
Ответ: 0.25
23. В случайном эксперименте симметричную монету
бросают четырежды. Найдите вероятность того, что решка
не выпадет ни разу.
Решение. Всего исходов 2
4
= 16, благоприятных 1 ( ОООО).
1:16 = 0,0625. Ответ: 0,0625
При решении задач с кубиками число всех возможных исходов
можно посчитать по формуле п=6ª, где α –количество
бросков
24. Определите вероятность того, что при бросании играль–
ного кубика (правильной кости) выпадет нечетное число
очков.
Решение. При бросании кубика равновозможных шесть различ–
ных исходов. Событию “выпадет нечётное число очков” удовле–
творяют три случая: когда на кубике выпадает 1, 3 или 5 очков.
Поэтому вероятность того, что на кубике выпадет нечётное
число очков равна 3:6=0,5. Ответ : 0,5.
25. Определите вероятность того, что при бросании кубика
выпало число очков, не большее 3.
Решение. При бросании кубика равновозможны шесть различ–
ных исходов. Событию “выпадет не больше трёх очков” удовле–
8
творяют три случая: когда на кубике выпадает 1, 2, или 3 очка.
Поэтому вероятность того, что на кубике выпадет не больше
трёх очков равна 3:6=0,5 От вет: 0,5.
26. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероят–
ность того, что оба раза выпало число, большее 3.
Решение. При бросании кубика 6²= 36 различных исходов. Собы–
тию “выпадет больше трёх очков” удовлетворяют три случая:
когда на кубике выпадает 4, 5, или 6 очков , благоприятных
исходов 9 (4,4; 4,5; 4,6; 5,4; 5,5; 5,6; 6,4; 6,5; 6,6.)
Ответ : 9: 36 = 0,25.
27. В случайном эксперименте бросают три игральные
кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7
очков. Результат округлите до сотых.
Решение. При бросании кубика 6³= 216 различных исходов,
благоприятных 14. 14 : 216 = 0,07. Ответ: 0,07.
28. Коля выбирает трехзначное число. Найдите вероятность
того, что оно делится на 5.
Решение. Всего трехзначных чисел 900. На пять делится каж–
дое пятое их них, то есть таких чисел 900:5=180. Вероятность
того, что Коля выбрал трехзначное число, делящееся на 5, опре–
деляется отношением количества трехзначных чисел, делящих–
ся на 5, ко всему количеству трехзначных чисел: 180:900=0,2.
Ответ : 0,2.
29.Для экзамена подготовили билеты с номерами от 1 до 50.
Какова вероятность того, что наугад взятый учеником билет
имеет однозначный номер?
Решение. Всего было подготовлено 50 билетов. Среди них 9
были однозначными. Таким образом, вероятность того, что на–
угад взятый учеником билет имеет однозначный номер равна
9:50=0,18. Отве т : 0,18.
9
30. В мешке содержатся жетоны с номерами от 5 до 54 вклю–
чительно. Какова вероятность, того, что извлеченный нау–
гад из мешка жетон содержит двузначное число?
Решение. Всего в мешке жетонов – 50. Среди них 45 имеют дву–
значный номер. Таким образом, вероятность, того, что извле–
ченный наугад из мешка жетон содержит двузначное число
равна 45 : 50 = 0,9. О т вет: 0.9.
31. Какова вероятность того, что случайно выбранное
натуральное число от 10 до 19 делится на 3?
3 : 10 = 0,3. Отве т : 0,3.
Противоположные события.
32. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет
плохо (или не пишет), равна 0,19. Покупатель в магазине вы–
бирает одну такую ручку. Найдите вероятность того, что эта
ручка пишет хорошо.
Решение. Вероятность того, что ручка пишет хорошо, равна
1 − 0,19 = 0,81. Отве т : 0,81.
33. Вероятность того, что в случайный момент времени
температура тела здорового человека окажется ниже 36,8°C
равна 0,87. Найдите вероятность того, что в случайный
момент времени у здорового человека температура тела
окажется 36,8°C или выше. Ответ. 1-0,87=0,13
34. При изготовлении подшипников диаметром 67 мм веро–
ятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не
больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность
того, что случайный подшипник будет иметь диаметр мень–
ше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.
Решение. По условию, диаметр подшипника будет лежать в
пределах от 66,99 до 67,01 мм с вероятностью 0,965. Поэтому
искомая вероятность противоположного события равна
1 − 0,965 = 0,035. Отве т : 0,035.
10
Несовместные и независимые события.
35. На экзамене по геометрии школьнику достаётся одна за–
дача из сборника. Вероятность того, что эта задача по теме
«Углы», равна 0,1. Вероятность того, что это окажется зада–
ча по теме «Параллелограмм», равна 0,6. В сборнике нет
задач, которые одновременно относятся к этим двум темам.
Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику до–
станется задача по одной из этих двух тем.
Решение. Суммарная вероятность несовместных событий
равна сумме вероятностей этих событий: P=0,6+ 0,1 = 0,7.
Ответ : 0,7.
36. Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О.
верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того,
что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите ве–
роятность того, что О. верно решит ровно 11 задач.
Решение. Рассмотрим события A = «учащийся решит 11 задач»
и В = «учащийся решит больше 11 задач». Их сумма — событие
A + B = «учащийся решит больше 10 задач». События A и В не–
совместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей
этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B). Тогда, используя данные
задачи, получаем: 0,74 = P(A) + 0,67, откуда P(A) = 0,74 − 0,67
= 0,07. Отве т : 0,07.
37. Вероятность того, что на тесте по химии учащийся П.
верно решит больше 8 задач, равна 0,48. Вероятность того,
что П. верно решит больше 7 задач, равна 0,54. Найдите
вероятность того, что П. верно решит ровно 8 задач.
Решение. Вероятность решить несколько задач складывается
из суммы вероятностей решить каждую из этих задач. Больше
8: решить 9–ю, 10–ю … Больше 7: решить 8–ю, 9–ю, 10-ю
…Вероятность решить 8–ю = 0,54-0,48=0,06. От в е т :0.06
11
38. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова
вероятность того, что случайно нажатая цифра будет
меньше 4? Ответ: 4 : 10 = 0,4.
39. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность
попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите
вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в
мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите
до сотых.
Решение. Поскольку биатлонист попадает в мишени с вероят–
ностью 0,8, он промахивается с вероятностью 1 − 0,8 = 0,2.
Cобытия попасть или промахнуться при каждом выстреле не–
зависимы, вероятность произведения независимых событий
равна произведению их вероятностей. Тем самым, вероятность
события «попал, попал, попал, промахнулся, промахнулся» равна
0,8•0,8•0,8•0,2•0,2=0,02048. О т вет:0.02048.
40. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Ве–
роятность перегорания лампы в течение года равна 0,3. Най–
дите вероятность того, что в течение года хотя бы одна
лампа не перегорит.
Решение. Найдем вероятность того, что перегорят обе лампы.
Эти события независимые, вероятность их произведения равно
произведению вероятностей этих событий: 0,3·0,3 = 0,09. Со–
бытие, состоящее в том, что не перегорит хотя бы одна
лампа, противоположное. Следовательно, его вероятность
равна 1 − 0,09 = 0,91. О твет: 0,91.
41. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06.
Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в ко–
торой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что
обе батарейки окажутся исправными.
Решение. Вероятность того, что батарейка исправна, равна
0,94. Вероятность произведения независимых событий (обе ба–
тарейки окажутся исправными) равна произведению вероятно–
стей этих событий: 0,94·0,94 = 0,8836. Ответ : 0,8836.
12
42. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает
у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет чер–
ными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмей–
стеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии
меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиг–
рает оба раза.
Решение. Возможность выиграть первую и вторую партию не
зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых
событий равна произведению их вероятностей:
0,52 · 0,3 = 0,156. Ответ : 0,156.
43. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиен–
том с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в слу–
чайный момент времени все три продавца заняты одновре–
менно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от
друга).
Решение. Вероятность произведения независимых событий
равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому ве–
роятность того, что все три продавца заняты равна
(0,3)³ = 0,027. Отв е т : 0,027.
44. Из районного центра в деревню ежедневно ходит авто–
бус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажет–
ся меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что
окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите веро–
ятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19.
Решение. Рассмотрим события A = «в автобусе меньше 15 пас–
сажиров» и В = «в автобусе от 15 до 19 пассажиров». Их
сумма — событие A + B = «в автобусе меньше 20 пассажиров».
События A и В несовместные, вероятность их суммы равна
сумме вероятностей этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B).
Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,94 = 0,56 + P(В),
откуда P(В) = 0,94 − 0,56 = 0,38.Отве т : 0,38.
45. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один во–
прос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность
того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна
13
0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллело–
грамм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно отно–
сятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что
на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих
двух тем.
Решение. Вероятность суммы двух несовместных событий
равна сумме вероятностей этих событий: 0,2 + 0,15 = 0,35.
Ответ : 0,35.
46.Вероятность того, что новый электрический чайник про–
служит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он
прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероят–
ность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше
года.
Решение. Пусть A = «чайник прослужит больше года, но мень–
ше двух лет», В = «чайник прослужит больше двух лет»,
С = «чайник прослужит ровно два года», тогда
A + B + С = «чайник прослужит больше года». События A, В и
С несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятно–
стей этих событий. Вероятность события С, состоящего в
том, что чайник выйдет из строя ровно через два года — стро–
го в тот же день, час и секунду — равна нулю. Тогда:
P(A + B+ С) = P(A) + P(B)+ P(С)= P(A) + P(B)
откуда, используя данные из условия, получаем
0,97 = P(A) + 0,89.Тем самым, для искомой вероятности
имеем: P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08. О твет: 0,08.
47. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и
отличная, причём погода, установившись утром, держится
неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 по–
года завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля,
погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность
того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.
Решение. Для погоды на 4, 5 и 6 июля есть 4 варианта: ХХО,
ХОО, ОХО, ООО (здесь Х — хорошая, О — отличная погода).
Найдем вероятности наступления такой погоды: P(XXO) =
0,8·0,8·0,2 = 0,128; P(XOO) = 0,8·0,2·0,8 = 0,128; P(OXO) =
14
0,2·0,2·0,2 = 0,008; P(OOO) = 0,2·0,8·0,8 = 0,128.Указанные со–
бытия несовместные, вероятность их суммы равна сумме веро–
ятностей этих событий:
P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО) = 0,128 + 0,128 + 0,008
+ 0,128 = 0,392. Отве т : 0,392.
48. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из
них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо
от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы
один автомат исправен.
Решение. Найдем вероятность того, что неисправны оба авто–
мата. Эти события независимые, вероятность их произведения
равна произведению вероятностей этих событий:
0,05 · 0,05 = 0,0025. Событие, состоящее в том, что исправен
хотя бы один автомат, противоположное. Следовательно, его
вероятность равна 1 − 0,0025 = 0,9975. Ответ : 0,9975.
49. В торговом центре два одинаковых автомата продают
кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закон–
чится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончит–
ся в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того,
что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
Решение. Рассмотрим событиеА = кофе закончится в первом
автомате, В = кофе закончится во втором автомате.
Вероятность того, что кофе останется в первом автомате
равна 1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется во
втором автомате равна 1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что
кофе останется в первом или втором автомате равна
1 − 0,12 = 0,88. Поскольку P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B),
имеем: 0,88 = 0,7 + 0,7 − х, откуда искомая вероятность
х = 0,52. Отв е т : 0,9975.
50. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для авто–
мобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих сте–
кол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% брако–
ванных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того,
15
что случайно купленное в магазине стекло окажется брако–
ванным.
Решение. Вероятность того, что стекло куплено на первой
фабрике и оно бракованное: 0,45 · 0,03 = 0,0135. Вероятность
того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракован–
ное: 0,55 · 0,01 = 0,0055. Поэтому по формуле полной вероятно–
сти вероятность того, что случайно купленное в магазине
стекло окажется бракованным равна 0,0135 + 0,0055 = 0,019.
Ответ : 0,019.
51. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью
0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон
стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в
муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из
них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене
муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и
стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон про–
махнётся.
Решение. Джон попадает в муху, если схватит пристрелянный
револьвер и попадет из него, или если схватит непристрелянный
револьвер и попадает из него. По формуле условной вероятно–
сти, вероятности этих событий равны соответственно
0,4·0,9 = 0,36 и 0,6·0,2 = 0,12. Эти события несовместны, веро–
ятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:
0,36 + 0,12 = 0,48. Событие, состоящее в том, что Джон про–
махнется, противоположное. Его вероятность равна
1 − 0,48 = 0,52. Ответ. 0,52
52. Чтобы поступить в институт на специальность «Линг–
вистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее
70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, рус–
ский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специ–
альность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов
по каждому из трёх предметов — математика, русский язык
и обществознание.
16
Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70
баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8,
по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.
Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы
на одну из двух упомянутых специальностей.
Решение. В силу независимости событий, вероятность успешно
сдать экзамены на лингвистику: 0,6·0,8·0,7 = 0,336, вероят–
ность успешно сдать экзамены на коммерцию:
0,6·0,8·0,5 = 0,24, вероятность успешно сдать экзамены и на
«Лингвистику», и на «Коммерцию»: 0,6·0,8·0,7·0,5 = 0,168.
Успешная сдача экзаменов на «Лингвистику» и на «Коммерцию»
— события совместные, поэтому вероятность их суммы равна
сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероят–
ность их произведения. Тем самым, поступить на одну из этих
специальностей абитуриент может с вероятностью
0,336 + 0,24 − 0,168 = 0,408. Ответ: 0,408.
53. По отзывам покупателей Иван Иванович оценил
надёжность двух интернет– магазинов. Вероятность того, что
нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероят–
ность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9.
Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Счи–
тая, что интернет–магазины работают независимо друг от
друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не до–
ставит товар.
Решение. Вероятность того, что первый магазин не доставит
товар равна 1 − 0,9 = 0,1. Вероятность того, что второй мага–
зин не доставит товар равна 1 − 0,8 = 0,2. Поскольку эти собы–
тия независимы, вероятность их произведения (оба магазина не
доставят товар) равна произведению вероятностей этих собы–
тий: 0,1 · 0,2 = 0,02. Ответ: 0,02.
54.Перед началом волейбольного матча капитаны команд
тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд
начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с
командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероят–
ность того, что «Статор» будет начинать только первую и
17
последнюю игры. Решение. Требуется найти вероятность
произведения трех событий: «Статор» начинает первую игру,
не начинает вторую игру, начинает третью игру. Вероятность
произведения независимых событий равна произведению веро–
ятностей этих событий. Вероятность каждого из них равна
0,5, откуда находим: 0,5·0,5·0,5 = 0,125. О т вет: 0,125.
55. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ
крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа
называется положительным. У больных гепатитом пациен–
тов анализ даёт положительный результат с вероятностью
0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать
ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Из–
вестно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на
гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероят–
ность того, что результат анализа у пациента, поступившего
в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.
Решение. Анализ пациента может быть положительным по
двум причинам: А) пациент болеет гепатитом, его анализ
верен; B) пациент не болеет гепатитом, его анализ ложен. Это
несовместные события, вероятность их суммы равна сумме ве–
роятностей этих событий. Имеем: Р(А)=0,9•0.05=0,045;
Р(В)= 0,01•0,95=0,0095 ,Р(А+В)=Р(А)(В)=0,045+0,0095=0,0545.
Ответ : 0,0545.
56. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Веро–
ятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02.
Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему кон–
троля. Вероятность того, что система забракует неисправ–
ную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по
ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите
вероятность того, что случайно выбранная батарейка будет
забракована системой контроля.
Решение. Ситуация, при которой батарейка будет забракова–
на, может сложиться в результате событий: A = батарейка
действительно неисправна и забракована справедливо или В =
батарейка исправна, но по ошибке забракована. Это несов–
18
местные события, вероятность их суммы равна сумме вероят–
ностей эти событий. Имеем:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=0,02•0,99+0,98•0,01=0,0198+0,0098=0,0296
Ответ : 0,0296.
57. Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха
стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероят–
ность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,7. Най–
дите вероятность того, что мишень будет поражена (либо
первым, либо вторым выстрелом).
Решение. Пусть A — событие, состоящее в том, что мишень
поражена стрелком с первого выстрела, B — событие, состоя–
щее в том, что мишень поражена со второго выстрела. Веро–
ятность события A равна P(A) = 0,7. Событие B наступает,
если, стреляя первый раз, стрелок промахнулся, а, стреляя вто–
рой раз, попал. Это независимые события, их вероятность
равна произведению вероятностей этих событий: P(B) = 0,3·0,7
= 0,21. События A и B несовместные, вероятность их суммы
равна сумме вероятностей этих событий: P (A + B) = P(A) +
P(B) = 0,7 + 0,21 = 0,91. Ответ : 0,91.
58.Перед началом футбольного матча судья бросает монет–
ку, чтобы определить, какая из команд будет первой владеть
мячом. Команда А должна сыграть два матча — с командой
В и с командой С. Найдите вероятность того, что в обоих
матчах первой мячом будет владеть команда А.
Решение. Рассмотрим все возможные исходы жеребьёвки.
· КомандаА в матче в обоих матчах первой владеет мячом.
· КомандаА в матче в обоих матчах не владеет мячом первой.
· КомандаА в матче с командой В владеет мячом первой, а в
матче с командой С — второй.
· КомандаА в матче с командой С владеет мячом первой, а в
матче с командой В — второй.
Из четырех исходов один является благоприятным, вероят–
ность его наступления равна 1:4=0,25. Отв е т : 0,25.
59. Стрелок 4 раза стреляет по мишеням. Вероятность попа–
дания в мишень при одном выстреле равна 0,5. Найдите ве–
19
роятность того, что стрелок первые 3 раза попал в мишени,
а последний раз промахнулся.
Решение. Вероятность промаха равна 1 − 0,5 = 0,5. Вероят–
ность того, что стрелок первые три раза попал в мишени равна
0,5
3
= 0,125. Откуда, вероятность события, при котором стре–
лок сначала три раза попадает в мишени, а четвёртый раз про–
махивается равна 0,125 · 0,5 = 0,0625. Ответ : 0,0625.
6 0 . П е р е д н а ч а л ом м а т ча п о фу т б о л у су д ь я
б р о с ае т м он е т у , чт о б ы о п р ед е л и т ь , к а к а я и з
к о м ан д б у де т п е рв о й в ла д е т ь м я ч о м . К о м а нд а
« Б а йк а л » и гр а е т п о о ч е р ед и с ко м а н д а ми
« А му р » , « Ен и с е й » , « И рт ы ш» . Н ай т и
в е р о ят н о с т ь т о г о, ч т о к о м а нд а « Б ай к а л » бу д е т
п е р во й в л а д е т ь м я ч о м т о л ь к о в иг р е с
« А му р о м » .
Решен и е. Мон е т у б р о сают 3 раза .
Для к о ман ды « Б айк а л » во з м ожные исхо д ы в т р е х
броск а х {О О О } ,{Р О О } , {О Р О}, {О О Р},
{Р Р О } ,{Р О Р} , { О Р Р} ,{ Р Р Р } . В сег о и схо д о в 8,
благо п риятн ы x1(в ы п аден и е орл а в пе р в ой и г р е)
{О Р Р , 1:8=0,125.О т в е т 0,125.
61.У П е т и в к а р м а н е л е ж ат ш ес т ь м о н ет :
ч ет ы р е м о н е т ы п о р уб л ю и д в е м он е т ы по д в а
р у б ля . П е т я , н е г л я д я, п е р е ло ж и л к а к и е –т о т р и
м о н ет ы в д р у г о й к а р м а н . Н а й ди т е в е ро я т н о ст ь
т о г о, ч т о т е п е р ь д в е д ву х р у бл е в ы е м о н е т ы
л е жа т в о дн о м к ар м а н е .
Решен ие. Прон у м еруе м мон еты : руб л е вые – 1, 2,
3, 4; д в ухр у бл евы е – 5, 6. {123} {124} {125} {126}
{134} {135} {136} {145} {146} {156} {234} {235}
{236} {245} {246} {256} {345} {346} {356} {456}
n = 20 – ч исл о в сех ис х одов .Взят ь тр и
м онеты можн о так : ( числ а в п о р ядк е
возр а с тания,ч тобы н е пр опусти ть ком б и наци ю )
m = 8 – числ о бла г о приятн ых и с ход о в
(комбин ации , в к от о р ы х мо н е ты 5 и 6
(дву х р у бл евы е ) не в з яты и л и взят ы об е . 8:20 = 0,4
Для успешной сдачи ЕГЭ нужно знать, как решать задачи на вероятность. Эту тему проходят в школе уже в 8-9 классе. Но многие ученики приходят в тупик при решении этих задач. Для их решения нужно быть очень внимательным и грамотно работать с формулами.
В этой статье разберем задачи по теории вероятностей по принципу от простого к сложному, научимся работать с формулой и разберем особенности решения отдельных типов задач.
-
- Что такое вероятность простыми словами
- Как решать задачи с перечислением: примеры решения задач
- Как решать задачи с фиксированными элементами: примеры решения задач
- Как решать задачи с двумя кубиками: используем таблицы
- Независимые события в теории вероятностей
- Число сочетаний: учимся работать с формулой на примерах
Что такое вероятность простыми словами
Вся наша жизнь состоит из случайных событий, которые могут либо произойти, либо нет. Например, вы сегодня идете на экзамен, по которому лучше остальных знаете один билет, достанется он именно вам или нет – случайность. Так как билетов всего 20, а вам нужно вытянуть всего 1, мы можем определить вероятность, с которой вам достанется желаемый билет. Эта вероятность будет составлять 1 шанс к 20 возможным, то есть 1 к 20 или 1/20 или 0,05.
Формула вероятности
Формула для вычисления вероятности события выглядит следующим образом:
где P – вероятность события;
m — число вариантов, которые нас устраивают (число благоприятных исходов);
n – общее количество вариантов (возможных исходов).
Логично, что число благоприятных исходов всегда меньше, чем общее количество исходов, т.е. меньшее число мы делим на большее. Таким образом вероятность всегда находится в диапазоне от 0 до 1.
Приведем еще пример.
Задача 1
У нас есть пакет, в котором лежит 15 шариков, 9 из которых фиолетового цвета, а остальные белые. Какова вероятность вытащить из пакета один белый шарик?
Решение. Итак, общее количество белых шариков 15 – 9 = 6 штук, следовательно количество благоприятных исходов нашего события – 6. Общее количество возможных исходов – 15. Подставляем в формулу и получаем:
Таким образом, вероятность вытащить белый шарик равна 6/15.
Ответ: 6/15
Задачи на вероятность нужно читать внимательно, чтобы не допускать досадных ошибок. Например, вот в такой задаче.
Задача 2
В автомате, продающем, маленькие мячики есть мячи 5 цветов: 21 синих, 30 красных, 15 зеленых, 8 белых, а остальные желтые. Всего в автомате 90 мячиков. Какова вероятность, что Коле достанется мяч не синего цвета.
Решение. Мы обращаем внимание на то, что Коле должен достаться мяч НЕ синего цвета, а любого другого. Многие ученики просто не замечают частицу НЕ и ищут вероятность выпадения именно синего мяча, и естественно допускаю ошибку. Внимательно читаем условия задачи.
Итак, общее количество возможных вариантов – 90. Нам нужен любой мяч, кроме синего. Следовательно, количество вариантов, когда выпадет не синий мяч равно 90 – 21 = 69. Таким образом, вероятность того, что выпадет мячик любого цвета, кроме синего, равна:
Ну и разберем еще задачу.
Задача 3
На конкурсе выступают 11 участников из Казани, 6 участников из Нижнего Новгорода, 3 участника из Москвы и 7 участников из Твери. Порядок выступления в конкурсе определяется жеребьевкой. Какова вероятность того, что последним будем выступать конкурсант из Нижнего Новгорода? Результат округлите до сотых.
Решение. Итак, представим, что все конкурсанты подошли к барабану, где лежат номерки и тянут по одному номерку. Общее количество конкурсантов n = 11 + 6 + 3 + 7 = 27. Нас интересует, какова вероятность того, что один из конкурсантов из Нижнего Новгорода вытянет номерок с цифрой 27. Конкурсантов из Нижнего Новгорода всего 6, следовательно m = 6. Таким образом, вероятность будет равна:
Как представить в виде десятичной дроби?
Очень просто. Нужно разделить 6,0000 на 27 уголком. Тогда вы получите 0,222… или округляя до сотых 0,22.
Ответ: 0,22
Как решать задачи с перечислением
Этот тип задач отличается от предыдущих лишь тем, что в задаче предметы поименованы. А вычисления выполняются по той же формуле:
Приведем пример такой задачи.
Задача 4
В портфеле у Васи лежали учебники по алгебре, геометрии, химии, биологии и литературе. Вася не глядя вынимает один учебник, какова вероятность того, что он вытянул алгебру?
Решение. Не смотря на то, что теперь предметы поименованы, принцип решения задачи остался прежним. Общее количество вариантов (т.е. учебников в портфеле) – 5. Нужный нам вариант (т.е. учебник по алгебре) – 1. Следовательно, вероятность нужного нам события равна:
Р = = 0,2
Ответ: 0,2
Как решать задачи с фиксированными элементами: разбираем на примере
Задачи на вероятность с фиксированными элементами сводятся к стандартным задачам на вероятность, но из элементов m и n нужно вычесть 1.
Давайте разберемся на примере.
Задача 5
Задача 8. В соревнованиях по борьбе участвуют 73 участника. Из них 25 участников из Москвы, в том числе Б. Егоров. На пары участники разбиваются с помощью жеребьевки. Какова вероятность того, что противником Б. Егорова станет участник из Москвы? Результат округлите до сотых.
Решение. В этой задаче есть фиксированный элемент – Б. Егоров. Это фиксированный элемент мы должны вычесть из элементов m и n.
Итак, общее количество участников – 73. Но Б. Егоров у нас уже выбран, поэтому он не участвует в жеребьевке. Следовательно, его мы исключаем из общего количества и получаем n = 72. Нас интересуют только участники из Москвы, их 25. Но опять же Б. Егоров у нас уже выбран, поэтому он не участвует в жеребьевке. Следовательно, количество устраивающих нас вариантов m = 24. А теперь считаем по нашей формуле:
Таким образом, вероятность того, что противником Б. Егорова станет участник из Москвы равна 0,33.
Ответ: 0,33
Еще раз обратим внимание. Если в задаче есть фиксированный элемент, то мы вычитаем единицу из m и n, а дальше решаем задачу по стандартной формуле нахождения вероятности.
Как решать задачи с двумя кубиками: используем таблицы
Таблицы полезны при решении задач, где речь идет о двух игральных кубиках. Например.
Задача 6
Петя подбросил два игральных кубика. Какова вероятность того, что в сумме выпадет не менее 9 очков.
Решение. Вот в таких задачах удобнее всего построить таблицу. По горизонтали мы размещаем очки, которые могут выпасть на первом кубике, т.е. числа от 1 до 6. А по вертикали мы размещаем числа, которые могут выпасть на втором кубике, т.е. также числа от 1 до 6. Начертим таблицу:
Далее заполняем таблицу. Для этого мы вписываем сумму чисел, которые находятся на пересечении этой ячейки. Например, заполним первую строку. В ячейке на пересечении двух единиц у нас получится 1+1 = 2, далее пересекаются 2 и 1 получаем 2 +1 = 3, далее 3 + 1 = 4, далее 4 + 1 = 5, далее 5 + 1 = 6 и в последней ячейке этой строки получим 6 + 1 = 7
Таким образом, заполняем всю таблицу и получаем:
Мы получили таблицу со всеми возможными вариантами выпадения значений двух кубиков и их сумму.
Теперь вернемся к нашей задаче. Нам требовалось найти вероятность того, что на кубиках выпадет сумма не менее 9 очков. Следовательно, отмечаем в таблице значения больше или равные 9:
Таким образом, количество вариантов, которые нас устроят (считаем количество обведенных чисел), m = 10
А общее количество возможных вариантов выпадения значений кубиков: n = 6 * 6 = 36
Следовательно, вероятность того, что выпадет тот вариант, который нас устроит, равна:
Итак, вероятность того, что на кубиках выпадет сумма не менее 9 очков, равна 0,27.
Ответ: 0,27
Задача 7
Маша подбрасывает два игральных кубика. Какова вероятность того, что в сумме на кубиках выпадет 6 очков? Результат округлите до сотых.
Решение. Берем нашу таблицу и находим значения, когда на кубиках сумма составит 6 очков:
Итак, количество вариантов, которые нас устроят (считаем количество обведенных чисел), m = 5.
А общее количество возможных вариантов выпадения значений кубиков: n = 6 * 6 = 36
Следовательно, вероятность того, что выпадет тот вариант, который нас устроит, равна:
Напомним, чтобы 5/36 перевести в десятичную дробь, необходимо разделить столбиком 5,00000 на 36, в результате чего получим 0,13888. Округляем до сотых и получаем 0,14.
Итак, вероятность того, что на кубиках выпадет сумма 6 очков, равна 0,14.
Ответ: 0,14
Независимые события в теории вероятностей
Если вероятность появления одного события не зависит от появления другого события, и наоборот, то такие события называются независимыми.
Если события независимые, то их вероятности перемножаются. В результате этого мы получаем вероятность возникновения этих событий одновременно.
Давайте рассмотрим задачи с независимыми событиями.
Задача 8
Стрелок стреляет 6 раз по мишеням. Вероятность попадания стрелка в мишень при каждом выстреле равна 0,8. Какова вероятность того, что стрелок попадет в мишень все 6 раз подряд? Результат округлите до сотых.
Решение. В задаче происходит 6 независимых событий – 6 выстрелов. Вероятность каждого из них – 0,8. Чтобы найти вероятность возникновения этих независимых событий одновременно необходимо перемножить вероятности этих событий. Таким образом:
Р = 0,8 * 0,8 *0,8 * 0,8 *0,8 * 0,8 = 0,262144
Округляем результат до сотых и получаем 0,26.
Итак, вероятность того, что стрелок попадет в мишень все 6 раз подряд, равна 0,26.
Ответ: 0,26
Рассмотрим еще одну задачу, чуть сложнее.
Задача 9
Стрелок стреляет 6 раз по мишеням. Вероятность попадания стрелка в мишень при каждом выстреле равна 0,8. Какова вероятность того, что стрелок первые 2 раза промахнется, а остальные 4 раза попадет в цель? Результат округлите до сотых.
Решение. В задаче происходит 6 независимых событий – 6 выстрелов. Вероятность того, что стрелок попадет или не попадет в мишень, равна 1. Вероятность того, что стрелок попадет в мишень, равна 0,8. Тогда вероятность того, что не попадет в мишень, равна 1 — 0,8 = 0,2. Нам нужно найти вероятность, когда стрелок два раза промахнется, а потом четыре раза попадет. Перемножаем соответствующие вероятности:
Р = 0,2 * 0,2 * 0,8 * 0,8 * 0,8 * 0,8 = 0,016384
Округляем 0,016384 до сотых и получаем 0,02.
Итак, вероятность того, что стрелок два раза промахнется, а потом четыре раза попадет, равна 0,02.
Ответ: 0,26
Число сочетаний из n по m
Задача 10
Маше нужно выбрать из 8 книг 2 книги. Сколькими способами она может это сделать?
Мы понимаем, что здесь может быть большое количество вариантов сочетаний книг. Чтобы вычислить их количество нужно знать формулу числа сочетаний из n по m: 
где С – это число сочетаний
n – количество элементов, из которого нужно выбрать
m – количество элементов, которое нужно выбрать
В формуле присутствует факториал. Записывается факториал следующим образом: n!, 5!, 7! Напомним, что это такое.
Факториал – это произведение всех натуральных чисел от 1 до основания факториала. Основание факториала – это число, которое стоит перед знаком «!». Т.е. факториал 5! имеет основание 5 и найти его можно следующим образом:
5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5
А факториал n! имеет основание n:
n! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * … * n
Часто ученики путают, что в ставить внизу, а что наверху, т.е. меняют n и m местами. Применительно к нашей задаче можно перепутать, что ставить наверху: 2 или 8. Запомнить, что ставить наверху, а что внизу – легко. Сверху всегда стоит наименьшее число, т.е. в нашем случае – это 2.
Давайте вернемся к нашей задаче. Применяем формулу и получаем: 
Обратите внимание, что не нужно умножать в числителе все натуральные числа от 1 до 8, у вас это отнимет очень много времени. Достаточно подробно расписать числитель и знаменатель, сделать сокращение и все легко считается.
Итак, Маша может выбрать книги 28 способами.
Ответ: 28
Давайте разберем еще одну задачу.
Задача 11
Из 15 школьников нужно отправить 2 учеников на дежурство. Сколькими способами можно это сделать?
Решение. Применяем нашу формулу:
Ответ: 105 способов
Итак, сегодня мы разбирались, как решать задачи на вероятность. Теперь вы можете приступить к практике, ведь только большое количество тренировок позволит вам успешно справиться с заданиями ЕГЭ. Еще больше информации для подготовки к ЕГЭ по математике вы можете получить на нашем сайте, а также .
- Информация о материале
- Категория: Глава 1. Основные понятия теории вероятностей
-
Опубликовано: 14 сентября 2018
-
Просмотров: 2668
Глава 1. Задача 3. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5.
Решение.
Испытание: извлечение жетона из ящика.
Обозначим через A событие {Номер жетона не содержит цифры 5}.
Общее число возможных элементарных исходов (n = 100).
Число не благоприятствующих исходов 19. При извлечении 5, 15, 25, 35, 45, 65, 75, 85, 95 или номеров между 50 и 59 включительно.
Число благоприятствующих исходов (m = 81). 100 – 19 = 81.
Искомая вероятность (P(A) = frac{m}{n} = frac{81}{100} = 0,81).
Ответ. p = 0,81.
