Как найти вершину параболы без формулы

Парабола присутствует в мире математики, физики и других наук. По траектории параболы передвигаются искусственные спутники, которые стремятся покинуть пределы Солнечной системы, мяч при игре в волейбол тоже описывает её траекторию. Нужно уметь строить параболу. А чтобы это не составляло труда, надо знать, как найти вершину параболы.

Нахождение вершины параболы: способы, примеры, советы

График функции y = ax²+ bx + c, где a — первый коэффициент, b – второй коэффициент, c – свободный член, называется параболой. Но обратите внимание на тот факт, что a ≠0.

У каждой точки параболы есть симметричная ей, кроме одной точки, и эта точка называется вершиной. Для того чтобы найти точку, которая является вершиной, нужно определиться, что такое точка на графике. Точка на графике – это определённая координата по оси абсцисс и по оси ординат. Она обозначается как (x; y). Давайте разбираться, как найти заветные числа.

Первый способ

Если вы хотите знать, как необходимо правильно вычислять координаты вершины, то нужно только выучить формулу x0 = -b/2a. Подставляя полученное число в функцию, получим y0.

Например, y =x²–8 x +15;

находим первый, второй коэффициенты и свободный член;

• a =1, b =-8, c =15;

подставляем значения a и b в формулу;

• x0=8/2=4;

вычисляем значения y;

• y0 = 16–32+15 = -1;

Значит, вершина находится в точке (4;-1).

Ветви параболы симметричны относительно оси симметрии, которая идёт через вершину параболы. Зная корни уравнения, можно без особых трудностей посчитать абсциссу вершины параболы. Предположим, что k и n – корни квадратичного уравнения. Тогда точка x0 равноудалена от точек k и n, и её можно вычислить по формуле: x0 = (k + n)/2.

Рассмотрим на примере y =x²–6x+5

1) Приравниваем к нулю:

• x²–6x+5=0.

2) Находим дискриминант, используя формулу: D = b ²–4 ac:

• D =36–20=16.

3) Находим корни уравнения по формуле (-b±√ D)/2a:

• 1 – первый корень;
• 5 – второй корень.

4) Вычисляем:

• x0 =(5+1)/2=3

Второй способ

Дополнение до полного квадрата – отличный способ узнать, где располагается вершина. Используя этот способ, вы сможете вычислить точки x и y одновременно, без нужды подставлять x в начальный пример. Рассмотрим этот метод на примере функции: y=x ²+8 x +10.

1. Сначала нужно приравнять выражение с переменной к 0. Потом перенести c в правую сторону с противоположным знаком, то есть у нас получается выражение x² + 8x = -10.

2. Теперь в левой части нужно сделать полный квадрат. Для этого посчитайте (b/2)² и увеличьте обе части уравнения результат. В этом случае нужно подставит 8 вместо b.

У нас получается 16. Теперь прибавьте это число к обеим частям уравнения:

x² + 8x +16= 6.

3. Видно, что полученное выражение – полный квадрат. Его можно представить в форме: (x + 4)² = 6.

4. Используйте это выражение для поиска координат вершины параболы. Чтобы посчитать x, нужно приравнять его к 0. Получаем, x =-4. Координата y равна тому, что находится в правой части, то есть y =6. Вершина параболы этого уравнения (-4, 6).

Третий способ

Если вы знаете, что такое производная, то для вас есть другая формула. Несмотря на то, куда смотрят «рога» параболы, её вершина — точка экстремума. Для этого способа надо применить следующий алгоритм:

1. Нахождение первой производной по формуле f'(x) = (ax² + bx + c)’ = 2ax + b.

2. Приравнивание производной к 0. В итоге вы получите 0 = 2ax + b, отсюда можно найти то, что нас интересует.

Рассмотрим этот способ подробнее.

Дана функция y = 4x²+16x-17;

• Записываем производную и приравниваем к нулю.

f'(x) = (4x²+16x-17)’ = 8x+16 =0

Построение параболы

Самое трудное при построении – это верно найти точки функции. Для подробного построения нужно просчитать 5–7 точек (для школьного курса хватит этого). Для этого выбираем какое-либо значение x и подставляем его в данную функцию. Итогом подсчётов будет число точки по оси ординат. После этого ставим на координатную плоскость полученные нами точки. В итоге у нас получается парабола.

Рассмотрим подробнее вопрос о нахождении точек, которые нужно отметить. Для примера возьмём функцию y =-x ²+11 x -24 с вершиной в точке (5,5;-6,25).

1) Строим таблицу

X			5,5
Y

2) Заполняем таблицу

Так как парабола имеет осевую симметрию, то можно считать только значения справа или слева от вершины. Лучше считать те значения, которые ближе к 0, так удобнее. В нашем случае эти значения 4 и 5.

X	4	5	5,5	6	7
Y	-4	-6	-6,25	-6	-4

Советы

Правильно находите коэффициенты.

Пишите промежуточные вычисления на бумаге. Это не только облегчит нахождение вершины, но и поможет найти свои ошибки.

Делайте всё поэтапно. Следуйте алгоритму.

Обратите ваше внимание на то, что:

• Нужно проверять правильно ли ваше решение.
• Необходимо успокоиться. Решение любых задач по математике требует опыта. Просто нужно отработать данную тему, и тогда непременно у вас всё получится.

Видео

Это видео поможет вам научиться находить вершину параболы

Общие сведения

Парабола — кривая, состоящая из равноудаленных точек от заданной точки (вершина) и прямой. Последняя называется директрисой. График функции имеет ось симметрии, которая проходит по определенной траектории и зависит от функции кривой (рис. 1). Ее вершина находится в центре координат.

Рисунок 1. График квадратичной функции с вершиной в начале координат.

Однако существуют и другие случаи прохождения кривой. Она может пересекать оси абсцисс или ординат. В некоторых случаях ее ветви направлены вниз. При вращении вокруг оси симметрии получается поверхность, которая используется в различных устройствах. По этому принципу изготовлены фары автомобиля, зеркала в телескопах и т. д. Кроме того, парабола — это квадратичная зависимость переменных друг от друга. Парабола имеет некоторые свойства:

1. Парабола — кривая второго порядка.
2. Ось симметрии перпендикулярна директрисе и проходит через фокус и вершины.
3. Оптическое свойство отражения.
4. Отрезок, который соединяет середину любой хорды параболы и точку пересечения касательных прямых, является перпендикуляром относительно директрисы.
5. Подобность всех парабол.
6. Траектория фокуса, которая катится по произвольной прямой — цепная молния.

Следует отметить, что оптическое свойство — это способность отражать свет от источника. Если пучок лучей, которые являются параллельными ее оси, отражаются в параболе, то они собираются в фокусе кривой. При нахождении источника света в фокусе происходит отражение параллельного пучка лучей относительно ее оси.

Уравнения квадратичной функции

Параболу можно описать несколькими способами. Каждый из них нужно применять в конкретных случаях для удобства вычислений. Существует три формы описания кривой:

1. Каноническая.
2. Квадратичная.
3. Общая.

В первой форме она имеет следующий вид: y ² = 2px. Если поменять местами оси декартовой системы, то получится следующий вид: x ² = 2yp. Коэффициент p — фокальный параметр. Он соответствует расстоянию между фокусом и директрисой. Кроме того, его значение всегда больше нуля. Вершина лежит всегда между фокусом и директрисой кривой на расстоянии, равном p/2 (рис. 2).

Рисунок 2. Директриса и фокус.

Пусть уравнение директрисы (прямая, которая параллельна оси ОУ) имеет следующий вид: х + p/2 = 0. Координаты фокуса F — (р/2;0). Начало координат делит луч, проходящий из точки F и точки пересечения с директрисой на 2 равных отрезка. Величина FM рассчитывается таким образом: FM = [(x — p/2)^2 + y ² ]^0.5. Отрезок (луч) из точки М до директрисы равен p/2 + x. Если приравнять оба выражения, то равенство имеет такой вид: p/2 + x = [(x — p/2)^2 + y ² ]^0.5. При возведении в квадрат и приведении подобных слагаемых, получается искомое уравнение параболы (y ² = 2px).

Парабола может задаваться квадратичной функцией. Она имеет такой вид: y = ax ² + bx + c. Следует учитывать, что коэффициент «a» не должен быть равен 0. Если a=1, b = 0 и с = 0, функция принимает такой вид: y = ax ² . В этом случае формула нахождения вершины параболы выглядит таким образом:

1. Абсцисса вершины параболы: xa = -b / 2a.
2. Координата «игрек» по оси ординат: yb = – D / 2a.

В последней формуле переменная D является дискриминантом квадратного уравнения искомой функции. Он вычисляется с помощью такого соотношения: D = b ² — 4ac. При а>0 фокус лежит на оси, и находится над вершиной. Ось симметрии параллельна оси ординат. Кроме того, она проходит через вершину кривой. Расстояние до нее равно ¼ величины «а». Если а<0, то ось ее симметрии параллельна оси абсцисс. Расстояние до фокуса также равно ¼а. Уравнение y = a (x — xa)^2 + ya — функция, определяющая кривую II порядка, как параболу.

Поскольку искомую функцию можно назвать кривой второго порядка, то ее уравнение может быть записано в виде квадратного многочлена в декартовой системе координат. Вид его имеет такой вид: Ax ² + Bxy + Cy ² + Dx + Ey + F = 0. Дискриминант равен нулю (при старших членах).

В полярной системе координат с осями p и v уравнение квадратичной функции имеет такой вид: p (1 + cos (v)) = p. Расстояние от фокуса до директрисы обозначается фокальным коэффициентом p. Кроме того, p соответствует удвоенной длине отрезка, проведенного от фокуса до вершины.

Методы нахождения вершины

В математике есть три способа нахождения координат точки вершины кривой: по формуле, выделением полного квадрата и нахождением производной. Следует отметить, что первый способ не подойдет в том случае, когда функция отличается от вида y = ax ² + bx + c. Первый способ — расчет по формуле вершины параболы квадратичной функции. Координата x0 вычисляется таким образом: x0 = -b / 2a. Для нахождения координаты y0 следует подставить в функцию найденное значение x0.

Когда функция представлена неполным квадратом, нужно прибавить или отнять одинаковое число к двум частям уравнения. Если воспользоваться этим методом, то можно вычислить сразу значения х и у. Алгоритм нахождения вершины для функции у = x ² + 4x + 2 имеет такой вид:

1. Приравнять многочлен к нулю, и перенести свободный член в правую сторону с противоположным знаком: x ² + 4x = -2.
2. Дополнить до полного квадрата. Необходимо вычислить свободный член по такому соотношению: с = (b/2)^2 = (4/2)^2 = 4.
3. Записать полный квадрат, отняв и прибавив свободный член: x ² + 4x + 4 — 4 = -2.
4. Выделить квадрат: (x ² + 2x + 4) — 4 = -2.
5. Перенести свободное число в правую сторону с противоположным знаком: (x ² + 2x + 4) = 4 — 2.
6. Уравнение принимает следующий вид: (x + 2)^2 = 2.
7. Для того чтобы вычислить x0, нужно решить уравнение (x + 2)^2 = 0. Следовательно, x = -2.
8. Ординату точки определить очень просто, поскольку ее значение соответствует числу (нужно брать с противоположным знаком), которое находится в правой части уравнения, т. е. у = -2.

При изображении графика вершину нужно сместить в точку (-2;2). Третий способ позволяет узнать координаты вершины с помощью определения производной. Находить ее следует от заданной функции. Для вычисления координат вершины нужно действовать по следующему алгоритму:

1. Найти производную и приравнять ее к нулю: f'(x) = (ax ² + bx + c)’ = 2ax + b.
2. Выразить х: х = -b / (2a).
3. Подставить в функцию для вычисления y.
4. Записать координаты точки.

Однако эти все три метода относятся к ручному вычислению. Автоматизация действий осуществляется с помощью специализированного программного обеспечения. Для этой цели подойдет онлайн-калькулятор, поддерживающий функцию нахождения точек вершины квадратичной кривой. Программы рекомендуется применять только для проверки решения, поскольку очень важно знать методы нахождения этой точки.

Алгоритм построения

В различных задачах нужно выполнить построение графика функции. В некоторых случаях даются координаты вершины, а в других — их следует искать, используя какой-либо метод. Чтобы построить квадратичную функцию, нужно воспользоваться таким алгоритмом:

1. Если вершина не задана, то нужно найти ее любым из методов.
2. Определить точки пересечения с осями декартовой системы координат.
3. Построить таблицу зависимости ординаты от абсциссы. Для этой цели нужно выделить минимум 3 значения «х». Вершина должна находиться по центру таблицы.
4. Выполнить построение, соединив точки.

Если необходим более точный график, то необходимо брать больше точек. Значения рассчитываются при подстановке значений «х» в функцию. Когда парабола задана функцией y = x ² + c, нет смысла брать разные значения. Нужно использовать для построения искомой таблицы числа с противоположными знаками. Например, x1 = 2 и x2 = -2.

Специалисты-математики настоятельно рекомендуют не усложнять вычисления. Возможно, в школьных программах и рассматриваются различные случаи. Однако в высших учебных заведениях основной аспект изучения дисциплин с физико-математическим уклоном сводится к оптимизации процесса решения задачи.

Примеры решений

В математике существует определенная классификация заданий на простые и сложные типы. Все они считаются однотипными, но отличаются только объемами вычислений и необходимостью построения графиков. Для решения нужно воспользоваться рекомендуемыми алгоритмами, которые существенно оптимизируют вычисления.

«Корень» трудностей при расчете — отсутствие систематизации вычислений. Не все ими пользуются. В результате простая задача становится очень сложной, поскольку в ней присутствует много ненужных вычислений. Кроме того, как отмечалось выше, рекомендуется «набить руку» на ручных вычислениях, ведь не всегда можно будет воспользоваться программами.

Упрощенная задача

Простым примером задания является следующий: необходимо вычислить координаты вершины точки параболы y = x ² + 3x — 18. Следует продемонстрировать решение тремя способами. Решение первым методом:

1. Координата по оси абсцисс: х0 = -3 / (2 * 1) = -1,5.
2. По ординате: (-1,5)^2 + 3 * (-1,5) — 18 — y= 0. Отсюда, y = -20,25.

Следовательно, вершина находится в точке (-1,5;20,25). Второй способ решения данной задачи имеет такой вид:

1. Составить уравнение и перенести свободный член: x ² + 3x = 18.
2. Вычислить свободный член: с = (b/2)^2 = 2,25.
3. Записать выражение: x ² + 3x + 2,25 — 2,25 = 18.
4. Выделить квадрат: (x ² + 3x + 2,25) = 20,25.
5. Определить координаты: (x + 1,5)^2 = 20,25.
6. Искомая точка: (-1,5;20,25).

Для решения третьим методом следует найти производную: y’ = (x ² + 3x — 18)’ = 2x + 3. Затем нужно приравнять ее к нулю: 2х + 3 = 0. Уравнение является простым, а его переменная легко находится: x = -3 / 2 = -1,5. После этого необходимо подставить абсциссу в функцию, приравняв ее к 0: y = 20,25.

Повышенная сложность

Задания повышенной сложности сводятся к вычислению нескольких значений. Кроме того, в некоторых случаях следует построить график параболы y = x ² — 7x +10. Необходимо выполнить такие действия:

1. Пересечение с осями.
2. Вычислить экстремум (вершину) всеми методами.
3. Выполнить графический эскиз (график).

Точек пересечения по ОУ нет. Они есть по оси абсцисс. Следует приравнять функцию к 0. Нахождение корней выполняется по теореме Виета: x1 = 2 и x2 = 5.

Для нахождения вершины необходимо воспользоваться тремя методами. При решении первым способом находится координата x0 = 7 / (2 * 1) = 3,5. Ордината определяется таким образом: y0 = (3,5)^2 — (7 * 3,5) + 10 = -2,25. Точка экстремума имеет координаты (3,5;-2,25). Находить вершину параболы необходимо по такому алгоритму:

1. Записать уравнение, и выполнить перенос свободного члена: x ² — 7x = -10.
2. Найти свободный член: с = (7/2)^2 = 12,25.
3. Составить уравнение: x ² — 7x + 12,25 — 12,25 = -10.
4. Выделить квадрат: (x — 3,5)^2 = 2,25.
5. Экстремум: (3,5;-2,25).

Для следующего метода нужно найти производную: y’ = (x ² — 7x +10)’ = 2x — 7. Далее нужно приравнять y’ к нулю: 2x — 7 = 0. Значение по оси абсцисс равно х0 = 3,5, а y0 = -2,25. Далее нужно заполнить таблицу зависимостей ординаты от переменной.

y	4	0	-2	-2,25	-2	0	4
x	1	2	3	3,5	4	5	6

Таблица 1. Зависимость y от x.

После заполнения таблицы следует построить график искомой функции (рис. 3). Таблица состоит из следующих элементов: вершины, точек пересечения с осью абсцисс и 4 произвольных значений.

Рисунок 3. График функции.

Математики рекомендуют использовать для построения графика полученные значения при расчетах, поскольку подстановка и вычисление произвольных х существенно снижает скорость вычислений.

Таким образом, нахождение координат вершины параболы является довольно простой задачей, поскольку существует несколько методов. Из них можно выбрать оптимальный, который подходит в конкретной ситуации.

Определение

Функция вида y=ax²+bx+c, где а, b, с – некоторые числа, причем, а≠0 число, х – переменная, называется квадратичной функцией.

Графиком квадратичной функции является парабола, она имеет вершину и две ветви, которые могут быть направлены либо вверх, либо вниз (рис.1). Красной точкой обозначена вершина параболы, из которой выходят ветви. Её координаты по графику – (3; –4). Направление ветвей зависит от значения коэффициента «а», то есть, если «а» – положительное число, то ветви направлены вверх; если число «а» – отрицательное, то ветви направлены вверх. На данном рисунке ветви направлены вверх, значит коэффициент «а» у формулы, которая задает эту функцию – положительное число. Коэффициент «с» показывает ординату (у) точки пересечения ветви параболы с осью у. Так, на рисунке №1 парабола пересекает ось у в точке (5;0), значит коэффициент с=5.

Вершина параболы. Формула.

Чтобы найти координаты вершины параболы (х₀; у₀), надо воспользоваться формулой:

х₀=−b2a

для нахождения у₀ можно просто подставить значение х₀ в формулу данной функции y₀=ax²+bx+c вместо х.

Рассмотрим это на примере конкретно заданной функции.

Пример №1

Найти вершину параболы, заданной формулой у=2х² – 8х + 5.

Найдем, чему равны коэффициенты: а=2; b= – 8

Подставим их в формулу и вычислим значение х₀:

х₀=−b2a=82∙2=84=2

Теперь в заданную по условию формулу вместо х подставим найденное значение у₀=2∙2² – 8∙2 + 5=8 – 16 + 5= –3

Итак, мы нашли координаты вершины параболы: (2; –3).

Ответ: (2; –3).

Нули параболы

Значения х, при которых функция принимает значения, равные нулю, называются нулями функции. Другими словами, Значения абсцисс (х) точек пересечения ветвей параболы с осью х, называются нулями функции. На рисунке №1 точки координаты точек пересечения ветвей параболы с осью х следующие: (1;0) и (5;0). Значит, нули функции – это значения х, равные 1 и 5.

Рассмотрим, как найти нули функции не по рисунку, а по заданной формуле.

Пример №2

Найти нули функции у=х² +4х – 5

Так как нули функции это абсциссы точек пересечения ветвей параболы с осью х, то их координаты будут (х;0), то есть у=0. Значит, вместо у подставляем нуль в нашу формулу 0=х² +4х – 5 и получаем квадратное уравнение, решив которое, мы и найдем значения нулей функции:

х² +4х – 5=0

а=1, b=4, с= –5

D=b² – 4ac=4² – 4∙1∙(−5)=36

x=−b±√D2a

x=−4±√362; х₁=–5; х₂=1

Значит, нули функции равны –5 и 1

Ответ: –5 и 1

Примечание к заданию по нахождению нулей функции без графика

Если дискриминант уравнения отрицательный, значит, нулей функции нет, то есть парабола не пересекает ось х (вершина находится выше неё, если ветви направлены вверх и ниже, если ветви направлены вниз).

Рассмотрим нахождение соответствия рисунков парабол, расположенных в системе координат значениям а и с.

Пример №3

Для выполнения данного задания на соответствие необходимо сначала поработать с графиками, подписав на них, какими – отрицательными или положительными являются коэффициенты а и с.

Теперь можно выполнить соответствие:

Ответ: 231

Пример №4

Рассмотрим еще пример на соответствие

В данном задании рассмотрим коэффициенты в формулах и подчеркнем их: так, в формуле под буквой А коэффициент а=-2, т.е. отрицательный, значит, ветви направлены вниз, а это график под номером 2. В формулах под буквами Б и В первые и третьи коэффициенты одинаковые, значит, сравнить по рисунку их невозможно, следовательно, будем сравнивать по расположению вершины (справа или слева от оси у), а именно х₀.

Итак, найдем х₀ для формулы «Б»:

х₀=−b2a=−42∙2=−44=−1

Видим, что х₀ отрицательное, значит, вершина расположена слева от оси у, а это рисунок 3. Ну и осталось привести в соответствие В и 1.

Запишем в таблицу

Ответ: 231

Даниил Романович | Просмотров: 10.6k

Была ли эта статья полезной?