Функция вида y=ax2+bx+c, где а, b, с – некоторые числа, причем, а≠0 число, х – переменная, называется квадратичной функцией.
Графиком квадратичной функции является парабола, она имеет вершину и две ветви, которые могут быть направлены либо вверх, либо вниз (рис.1). Красной точкой обозначена вершина параболы, из которой выходят ветви. Её координаты по графику – (3; –4). Направление ветвей зависит от значения коэффициента «а», то есть, если «а» – положительное число, то ветви направлены вверх; если число «а» – отрицательное, то ветви направлены вверх. На данном рисунке ветви направлены вверх, значит коэффициент «а» у формулы, которая задает эту функцию – положительное число. Коэффициент «с» показывает ординату (у) точки пересечения ветви параболы с осью у. Так, на рисунке №1 парабола пересекает ось у в точке (5;0), значит коэффициент с=5.
Рисунок №1.
Вершина параболы. Формула.
Чтобы найти координаты вершины параболы (х0; у0), надо воспользоваться формулой:
х0=−b2a
для нахождения у0 можно просто подставить значение х0 в формулу данной функции y0=ax2+bx+c вместо х.
Рассмотрим это на примере конкретно заданной функции.
Пример №1
Найти вершину параболы, заданной формулой у=2х2 – 8х + 5.
Найдем, чему равны коэффициенты: а=2; b= – 8
Подставим их в формулу и вычислим значение х0:
х0=−b2a=82∙2=84=2
Теперь в заданную по условию формулу вместо х подставим найденное значение у0=2∙22 – 8∙2 + 5=8 – 16 + 5= –3
Итак, мы нашли координаты вершины параболы: (2; –3).
Ответ: (2; –3).
Нули параболы
Значения х, при которых функция принимает значения, равные нулю, называются нулями функции. Другими словами, Значения абсцисс (х) точек пересечения ветвей параболы с осью х, называются нулями функции. На рисунке №1 точки координаты точек пересечения ветвей параболы с осью х следующие: (1;0) и (5;0). Значит, нули функции – это значения х, равные 1 и 5.
Рассмотрим, как найти нули функции не по рисунку, а по заданной формуле.
Пример №2
Найти нули функции у=х2 +4х – 5
Так как нули функции это абсциссы точек пересечения ветвей параболы с осью х, то их координаты будут (х;0), то есть у=0. Значит, вместо у подставляем нуль в нашу формулу 0=х2 +4х – 5 и получаем квадратное уравнение, решив которое, мы и найдем значения нулей функции:
х2 +4х – 5=0
а=1, b=4, с= –5
D=b2 – 4ac=42 – 4∙1∙(−5)=36
x=−b±√D2a
x=−4±√362; х1=–5; х2=1
Значит, нули функции равны –5 и 1
Ответ: –5 и 1
Примечание к заданию по нахождению нулей функции без графика
Если дискриминант уравнения отрицательный, значит, нулей функции нет, то есть парабола не пересекает ось х (вершина находится выше неё, если ветви направлены вверх и ниже, если ветви направлены вниз).
Рассмотрим нахождение соответствия рисунков парабол, расположенных в системе координат значениям а и с.
Пример №3
Для выполнения данного задания на соответствие необходимо сначала поработать с графиками, подписав на них, какими – отрицательными или положительными являются коэффициенты а и с.
Теперь можно выполнить соответствие:
Ответ: 231
Пример №4
Рассмотрим еще пример на соответствие
В данном задании рассмотрим коэффициенты в формулах и подчеркнем их: так, в формуле под буквой А коэффициент а=-2, т.е. отрицательный, значит, ветви направлены вниз, а это график под номером 2. В формулах под буквами Б и В первые и третьи коэффициенты одинаковые, значит, сравнить по рисунку их невозможно, следовательно, будем сравнивать по расположению вершины (справа или слева от оси у), а именно х0.
Итак, найдем х0 для формулы «Б»:
х0=−b2a=−42∙2=−44=−1
Видим, что х0 отрицательное, значит, вершина расположена слева от оси у, а это рисунок 3. Ну и осталось привести в соответствие В и 1.
Запишем в таблицу
Ответ: 231
Задание 11OM21R
На рисунках изображены графики функций вида . Установите соответствие между знаками коэффициентов а и с и графиками функций.
КОЭФФИЦИЕНТЫ
А) a>0, с >0 Б) а<0; с>0 В) а>0, с<0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Ответ:
Решение
На рисунках в задании изображены параболы. Вспомним, что обозначают коэффициенты а и с: а – направление ветвей (a<0 – ветви вниз; а>0 – ветви вверх); коэффициент с показывает ординату точку пересечения параболы с осью х (с >0 – пересечение в положительном направлении; с<0 – пересечение в отрицательном направлении).
Теперь поработаем с графиками и подпишем на каждом из них соответствующие коэффициенты.
Теперь расставим в соответствии с указанными коэффициентами:
А) a>0, с >0 – это график №1
Б) а<0; с>0 – это график №3
В) а>0, с<0 – это график №2
Ответ: 132
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
Задание OM1105o
Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
А) у=–х2–4х–3 Б) у=–х2+4х–3 В) у=х2+4х+3
Сразу обратим внимание на вариант В. Эта функция единственная, имеющая положительный коэффициент при х2 (здесь а=1, т.е. а>0). При а>0 график параболы направлен ветками вверх. Такой график имеется только один – под №3. Кроме того, можно обратить внимание на коэфициент с. Она равен 3, т.е. с>0. Это указывает на то, что парабола должна пересечь ось Оу выше начала координат. Что и отображено на графике В. Получаем соответствие: В–3.
Оба других графика – 1-й и 2-й – пересекают ось Оу ниже начала координат, что соответствует значению с=–3<0 в обоих случаях.
Далее надежнее всего вычислить вершины оставшихся двух парабол из уравнений А и Б по формуле -b/2a. Видим, что случае А (- (-4)) / (2 • -1) = -2, следовательно, вершина левее оси Y, так как x0 отрицателен, значит, А-1, а Б-2.
Ответ: 123
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
Задание OM1101o
На рисунках изображены графики функций вида
y = ax² + bx + c
Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.
Коэффициенты:
А) a > 0, c > 0
Б) a < 0, c > 0
В) a > 0, c < 0
Графики:
Мы вспоминаем, за что отвечают коэффициенты a и b при построении графиков функции вида
y = ax² + bx + c
Коэффициент a определяет направление ветвей параболы: если a > 0, то ветви направлены вверх, а если a < 0, то ветви направлены вниз.
Таким образом, мы видим, что только у второй параболы ветви направлены вниз, а значит a < 0.
У первой и третьей ветви направлены вверх, то есть a > 0.
Далее мы смотрим, на что влияет коэффициент c.
Коэффициент c отвечает за положение параболы относительно оси x, или же отвечает за сдвиг по оси y, а именно:
если c > 0, то вершина параболы расположена выше оси х
если c < 0, то вершина параболы расположена ниже оси x
Так, у первой параболы c < 0, у второй и третьей c > 0.
Из всего вышеперечисленного можно найти ответ:
А) 3
Б) 2
В) 1
Ответ: 321
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
Даниил Романович | Просмотров: 10.5k
Как найти вершину параболы: три формулы
Парабола присутствует в мире математики, физики и других наук. По траектории параболы передвигаются искусственные спутники, которые стремятся покинуть пределы Солнечной системы, мяч при игре в волейбол тоже описывает её траекторию. Нужно уметь строить параболу. А чтобы это не составляло труда, надо знать, как найти вершину параболы.
Нахождение вершины параболы: способы, примеры, советы
График функции y = ax 2 + bx + c, где a — первый коэффициент, b – второй коэффициент, c – свободный член, называется параболой. Но обратите внимание на тот факт, что a ≠0.
У каждой точки параболы есть симметричная ей, кроме одной точки, и эта точка называется вершиной. Для того чтобы найти точку, которая является вершиной, нужно определиться, что такое точка на графике. Точка на графике – это определённая координата по оси абсцисс и по оси ординат. Она обозначается как (x; y). Давайте разбираться, как найти заветные числа.
Первый способ
Если вы хотите знать, как необходимо правильно вычислять координаты вершины, то нужно только выучить формулу x0 = -b/2a. Подставляя полученное число в функцию, получим y0.
Например, y =x 2 –8 x +15;
находим первый, второй коэффициенты и свободный член;
подставляем значения a и b в формулу;
вычисляем значения y;
Значит, вершина находится в точке (4;-1).
Ветви параболы симметричны относительно оси симметрии, которая идёт через вершину параболы. Зная корни уравнения, можно без особых трудностей посчитать абсциссу вершины параболы. Предположим, что k и n – корни квадратичного уравнения. Тогда точка x0 равноудалена от точек k и n, и её можно вычислить по формуле: x0 = (k + n)/2.
Рассмотрим на примере y =x 2 –6x+5
1) Приравниваем к нулю:
2) Находим дискриминант, используя формулу: D = b 2 –4 ac:
3) Находим корни уравнения по формуле (-b±√ D)/2a:
- 1 – первый корень;
- 5 – второй корень.
Второй способ
Дополнение до полного квадрата – отличный способ узнать, где располагается вершина. Используя этот способ, вы сможете вычислить точки x и y одновременно, без нужды подставлять x в начальный пример. Рассмотрим этот метод на примере функции: y=x 2 +8 x +10.
1. Сначала нужно приравнять выражение с переменной к 0. Потом перенести c в правую сторону с противоположным знаком, то есть у нас получается выражение x 2 + 8x = -10.
2. Теперь в левой части нужно сделать полный квадрат. Для этого посчитайте (b/2) 2 и увеличьте обе части уравнения результат. В этом случае нужно подставит 8 вместо b.
У нас получается 16. Теперь прибавьте это число к обеим частям уравнения:
3. Видно, что полученное выражение – полный квадрат. Его можно представить в форме: (x + 4) 2 = 6.
4. Используйте это выражение для поиска координат вершины параболы. Чтобы посчитать x, нужно приравнять его к 0. Получаем, x =-4. Координата y равна тому, что находится в правой части, то есть y =6. Вершина параболы этого уравнения (-4, 6).
Третий способ
Если вы знаете, что такое производная, то для вас есть другая формула. Несмотря на то, куда смотрят «рога» параболы, её вершина — точка экстремума. Для этого способа надо применить следующий алгоритм:
1. Нахождение первой производной по формуле f'(x) = (ax² + bx + c)’ = 2ax + b.
2. Приравнивание производной к 0. В итоге вы получите 0 = 2ax + b, отсюда можно найти то, что нас интересует.
Рассмотрим этот способ подробнее.
Дана функция y = 4x²+16x-17;
- Записываем производную и приравниваем к нулю.
f'(x) = (4x²+16x-17)’ = 8x+16 =0
Построение параболы
Самое трудное при построении – это верно найти точки функции. Для подробного построения нужно просчитать 5–7 точек (для школьного курса хватит этого). Для этого выбираем какое-либо значение x и подставляем его в данную функцию. Итогом подсчётов будет число точки по оси ординат. После этого ставим на координатную плоскость полученные нами точки. В итоге у нас получается парабола.
Рассмотрим подробнее вопрос о нахождении точек, которые нужно отметить. Для примера возьмём функцию y =-x 2 +11 x -24 с вершиной в точке (5,5;-6,25).
1) Строим таблицу
2) Заполняем таблицу
Так как парабола имеет осевую симметрию, то можно считать только значения справа или слева от вершины. Лучше считать те значения, которые ближе к 0, так удобнее. В нашем случае эти значения 4 и 5.
X | 4 | 5 | 5,5 | 6 | 7 |
Y | -4 | -6 | -6,25 | -6 | -4 |
Советы
Правильно находите коэффициенты.
Пишите промежуточные вычисления на бумаге. Это не только облегчит нахождение вершины, но и поможет найти свои ошибки.
Делайте всё поэтапно. Следуйте алгоритму.
Обратите ваше внимание на то, что:
- Нужно проверять правильно ли ваше решение.
- Необходимо успокоиться. Решение любых задач по математике требует опыта. Просто нужно отработать данную тему, и тогда непременно у вас всё получится.
Видео
Это видео поможет вам научиться находить вершину параболы
Как построить параболу? Что такое парабола? Как решаются квадратные уравнения?
Урок: как построить параболу или квадратичную функцию?
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Парабола — это график функции описанный формулой ax 2 +bx+c=0.
Чтобы построить параболу нужно следовать простому алгоритму действий:
1 ) Формула параболы y=ax 2 +bx+c,
если а>0 то ветви параболы направленны вверх,
а 2 +bx+c=0;
a) Полное квадратное уравнение имеет вид ax 2 +bx+c=0 и решается по дискриминанту;
b) Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0:
ax 2 +bx=0,
х(ax+b)=0,
х=0 и ax+b=0;
c)Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a);
4) Найти несколько дополнительных точек для построения функции.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
И так теперь на примере разберем все по действиям:
Пример №1:
y=x 2 +4x+3
c=3 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=3. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4-8+3=-1 вершина находится в точке (-2;-1)
Найдем корни уравнения x 2 +4x+3=0
По дискриминанту находим корни
a=1 b=4 c=3
D=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x1=(-4+2)/2=-1
x2=(-4-2)/2=-3
Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=-2
х -4 -3 -1 0
у 3 0 0 3
Подставляем вместо х в уравнение y=x 2 +4x+3 значения
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=-2
Пример №2:
y=-x 2 +4x
c=0 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=0. Ветви параболы смотрят вниз так как а=-1 -1 2 +4*2=-4+8=4 вершина находится в точке (2;4)
Найдем корни уравнения -x 2 +4x=0
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0.
х(-x+4)=0, х=0 и x=4.
Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=2
х 0 1 3 4
у 0 3 3 0
Подставляем вместо х в уравнение y=-x 2 +4x значения
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=2
Пример №3
y=x 2 -4
c=4 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=4. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 вершина находится в точке (0;-4)
Найдем корни уравнения x 2 -4=0
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a)
x 2 =4
x1=2
x2=-2
Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=0
х -2 -1 1 2
у 0 -3 -3 0
Подставляем вместо х в уравнение y= x 2 -4 значения
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=0
Подписывайтесь на канал на YOUTUBE, чтобы быть в курсе всех новинок и готовится с нами к экзаменам.
Формула нахождения вершины параболы
Вы будете перенаправлены на Автор24
Парабола – это геометрическое множество точек, равноудалённых от точки F, не лежащей на параболе, и прямой $d$, не проходящей через точку $F$.
Что значит вершина параболы
Вершина параболы – это точка, ближайшая к директрисе параболы. Она является центром отрезка, ограниченного точкой фокуса параболы $F$ и директрисой $d$.
Производная в вершине квадратичной параболы равна нулю.
Каноническое уравнение параболы $y^2 = 2px$ справедливо для параболы, вершина которой находится в центре осей.
Для того, чтобы определить, принадлежит ли точка графику заданной параболы, необходимо подставить её координаты в формулу $y = ax^2 + bx + c$.
Если равенство выполняется — точка принадлежит графику.
Как найти вершины параболы, задающейся квадратичной функцией
Рисунок 1. Пример уравнения и графика квадратичной параболы
Довольно часто парабола задаётся квадратичной функцией вида $y = ax^2 + bx + c$, вершина такой параболы находится в произвольной точке.
Какой-то единой формулы для нахождения сразу обеих координат вершины параболы нет, но при этом определить координаты вершины параболы по уравнению довольно просто.
Алгоритм для нахождения вершины параболы такой:
- Запишите коэффициенты $a, b, c$ из уравнения. Если коэффициент $a$ при $y$ положительный, то ветви параболы будут смотреть вверх, а если отрицательный, то вниз.
- Найдите абсциссу вершины параболы ($x$ вершины) по формуле $x = – frac<2a>$, для этого воспользуйтесь коэффициентами $a, b, c$ из уравнения.
- Подставьте найденный $x$ в уравнение параболы и вычислите ординату вершины параболы $y$.
- Запишите полученные координаты x и y вершины параболы в форме точки $(x; y)$.
Рассмотрим уравнение параболы $y = x^2 – 5x + 7$
- Коэффициенты этой параболы $a = 1$, $b = -5$, $c = 7$.
- Для вычисления x вершины параболы подставьте $a = 1$ и $b = -5$ в формулу $x = – frac<2a>= frac<5><2>=2.5$
- Подставьте найденный $x$ в исходное уравнение:
- $y = 2,5^2 – 5 cdot 2.5 + 7$
- $y = 0,75$
- Координаты вершины этой параболы $(2.5;0.75)$.
Вершина кубической параболы
Чтобы найти вершины (точки локальных минимумов и максимумов) кубической параболы, необходимо найти её производную, приравнять её к нулю и затем вычислить $x$ и $y$.
Если же необходимо найти точку перегиба кубической параболы, необходимо найти вторую производную и также приравнять её к нулю.
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 04 12 2021
[spoiler title=”источники:”]
http://tutomath.ru/uroki/kak-postroit-parabolu.html
http://spravochnick.ru/matematika/parabola/formula_nahozhdeniya_vershiny_paraboly/
[/spoiler]
Формула нахождения вершины параболы
Ирина Алексеевна Антоненко
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
Определение 1
Парабола – это геометрическое множество точек, равноудалённых от точки F, не лежащей на параболе, и прямой $d$, не проходящей через точку $F$.
Что значит вершина параболы
Определение 2
Вершина параболы – это точка, ближайшая к директрисе параболы. Она является центром отрезка, ограниченного точкой фокуса параболы $F$ и директрисой $d$.
Производная в вершине квадратичной параболы равна нулю.
Каноническое уравнение параболы $y^2 = 2px$ справедливо для параболы, вершина которой находится в центре осей.
Для того, чтобы определить, принадлежит ли точка графику заданной параболы, необходимо подставить её координаты в формулу $y = ax^2 + bx + c$.
Если равенство выполняется — точка принадлежит графику.
Как найти вершины параболы, задающейся квадратичной функцией
Рисунок 1. Пример уравнения и графика квадратичной параболы
Довольно часто парабола задаётся квадратичной функцией вида $y = ax^2 + bx + c$, вершина такой параболы находится в произвольной точке.
Какой-то единой формулы для нахождения сразу обеих координат вершины параболы нет, но при этом определить координаты вершины параболы по уравнению довольно просто.
Алгоритм для нахождения вершины параболы такой:
- Запишите коэффициенты $a, b, c$ из уравнения. Если коэффициент $a$ при $y$ положительный, то ветви параболы будут смотреть вверх, а если отрицательный, то вниз.
- Найдите абсциссу вершины параболы ($x$ вершины) по формуле $x = – frac{b}{2a}$, для этого воспользуйтесь коэффициентами $a, b, c$ из уравнения.
- Подставьте найденный $x$ в уравнение параболы и вычислите ординату вершины параболы $y$.
- Запишите полученные координаты x и y вершины параболы в форме точки $(x; y)$.
Пример 1
Рассмотрим уравнение параболы $y = x^2 – 5x + 7$
- Коэффициенты этой параболы $a = 1$, $b = -5$, $c = 7$.
- Для вычисления x вершины параболы подставьте $a = 1$ и $b = -5$ в формулу $x = – frac{b}{2a}= frac{5}{2}=2.5$
- Подставьте найденный $x$ в исходное уравнение:
- $y = 2,5^2 – 5 cdot 2.5 + 7$
- $y = 0,75$
- Координаты вершины этой параболы $(2.5;0.75)$.
Вершина кубической параболы
Чтобы найти вершины (точки локальных минимумов и максимумов) кубической параболы, необходимо найти её производную, приравнять её к нулю и затем вычислить $x$ и $y$.
Если же необходимо найти точку перегиба кубической параболы, необходимо найти вторую производную и также приравнять её к нулю.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Дата последнего обновления статьи: 04.12.2022
Парабола — это график функции описанный определённой формулой. Чтобы построить параболу нужно следовать формуле, определениям и уравнениям.
Парабола
Парабола – это множество точек плоскости, которые равноотделённые от заданной точки, что называется фокусом и заданной прямой под названием директриса.
Чтобы получить каноническое уравнение параболы, расположим директрису перпендикулярно оси , а фокус на оси так, чтобы начало координат помещался на одинаковом расстоянии от них (см. рис. 1). Обозначим через расстояние от фокуса к директрисе, тогда у фокуса будут координаты , .
Для произвольной точки параболы расстояний , а расстояние к директрисе . По определению из рис. 1 видим, что , а и поэтому:
Рис. 1
(1)
– каноническое уравнение параболы.
Нужна помощь в написании работы?
Мы – биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
Цена работы
Что такое вершина параболы
Вершина параболы – это парабола, которая проходит через точки . Если точка принадлежит параболе, то и тоже принадлежит параболе, так как из:
.
Значит, парабола симметрична относительно оси , её график достаточно построить в первой четверти, где из канонического уравнения параболы получается, что:
Чтобы найти вершину параболы, необходимо знать формулу: .
Давайте посмотрим, как данная формула действует, допустим дано уравнение:
Тогда:
, , . Чтобы найти величины , и , в квадратном уравнении коэффициент при , при , постоянная (коэффициент без переменной) = . Если взять тот же пример, , получается, что:
, , .
Форма и характеристики параболы
Исследуем за каноническим уравнением форму и расположение параболы:
1. В уравнении переменная входит в парной степени откуда получается, что парабола симметрична относительно оси . Ось – это ось, которая симметрична параболе.
2. Так как , тогда , откуда получается, что парабола расположена справа от оси .
3. При мы имеем , то есть парабола проходит через начало координат. Точка – это вершина параболы.
4. При увеличении значений переменной модуль тоже возрастает. Изобразим параболу на рисунке:
Рис. 2
5. В полярной системе координат, у канонического уравнения параболы такой вид:
6. Уравнение , , , тоже описывают параболы:
Рис. 3
Оптическое свойство параболы
У параболы “оптическое” свойство, если: в фокусе параболы поместить источник света, тогда отбитые от параболы лучи будут параллельными оси . Это свойство учитывают при изготовлении прожекторов, зеркальных телескопов, теле- и радио антенн.
При положительном уравнении:
описывают параболу симметричную относительно с вершиной в точке , ветви которой направлены влево (рис. 3 (а)).
Аналогично изложенному, уравнение и описывают параболы с вершиной в точке симметрично относительно , ветви которой направлены соответственно вверх и вниз (см. рис. 3 (б) и (в)). Если например, уравнение решить относительно
и обозначить , тогда получим известное со школьного курса уравнение параболы . Теперь её фокусное расстояние .
Примеры решения
Задача
Найти координаты фокуса и составить уравнение директрисы параболы .
Решение
Сравнивая каноническое уравнение и данное , получим , , тогда. Так как уравнение директрисы , тогда в данном случае .
Ответ
координаты фокуса: , а уравнение директрисы параболы: .
Задача
Составить каноническое уравнение параболы:
а) с фокусом в точке ;
б) с фокусом в точке .
Решение
а). Так как фокус на положительной полуоси , тогда парабола симметрична относительно с вершиной в точке и , поэтому и согласно формуле (1) .
б). Фокус лежит на отрицательной полуоси с вершиной в точке , ветви направлены вниз, каноническое уравнение следует искать в виде . Фокусное расстояние параболы и уравнение запишется .
Ответ
а) каноническое уравнение параболы с фокусом в точке : ;
б) каноническое уравнение с фокусом в точке : .
Задача
Показать путём выделения полного квадрата, что уравнение – это уравнение параболы. Привести его к каноническому виду. Найти вершину, фокус, ось и директрису этой параболы.
Решение
Выделим относительно переменной полный квадрат
= = = = = = .
Обозначим , . Тогда в результате параллельного переноса координатных осей в новое начало, то есть в точку , получим каноническое уравнение параболы .
Ветви этой параболы направлены вниз симметрично относительно оси , , – фокусное расстояние. В новой системе координат фокус находится в точке , уравнение директрисы в новой системе .
Повернёмся к старым координатам при помощи замены , . Уравнение оси в новой системе , а в старой – уравнение оси параболы.
Уравнение директрисы в новой системе координат , а в старой .
В новой системе для фокуса , , а в старой системе , , то есть .
Ответ
Каноническое уравнение параболы – ;
вершина – ветви параболы направлены вниз;
, , – фокусное расстояние, а фокус находится в точке ;
уравнение оси ;
уравнение директрисы .
На координатной плоскости отмечаем эти точки и чертим параболу.
Вершина этой параболы находится в точке (0; 0). И не забудь про то, что ветви параболы бесконечно поднимаются ввысь и не ограничены точками с координатами (3; 9) и (3; -9).
Еще одна стандартная парабола задается функцией y = –x2 (в этом случае а = -1). Для этого графика я тоже напишу табличку:
x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
y | -9 | -4 | -1 | 0 | -1 | -4 | -9 |
Начало координат тоже является вершиной этой параболы, как и в предыдущем случае, но ветви уже будут направлены вниз:
Сразу напрашивается вывод: если перед х2 стоит положительное число, то ветви параболы направлены вверх, если отрицательное – то вниз.
Если у тебя черный пояс по рисованию стандартных парабол, то следующий раздел пройдет у тебя “на ура”.
Параболы со смещенной вершиной.
Зачем я начала статью со стандартной параболы? Ответ прост. Графиком любой квадратичной функции y = ±x2 + bx + c (обязательно коэффициент перед х2 должен равняться ±1) является стандартной параболой, только вот вершины этих парабол не будут находится в начале координат.
Чтобы начертить подобные параболы нужно сначала узнать, где находится вершина.
Пусть вершиной параболы будет точка О с координатами (x1; y1). Тогда найти эти координаты можно по формулам:
Кстати, можно найти координаты вершины и другим способом.
Координату хО находим по той же формуле, а координату уО можно найти подстановкой координаты хО в функцию.
Без примера не обойтись)
Пример 1.
Дана функция y = x2 – 4x + 4. Найдите вершину параболы и постройте график.
Найдем сначала вершину параболы двумя способами, чтобы убедится, что оба способа рабочие.
1 способ: по формулам.
2 способ: подстановкой.
Одну координаты мы уже нашли по формуле. Подставляем ее в исходную функцию.
Итак, получили, что О(2; 0) – вершина параболы. Отмечаем ее на координатной плоскости.
Перед х2 стоит положительное число, значит ветви параболы направлены вверх. Наша задача: нарисовать стандартную параболу, представив, что точка О – начало координат. Если тебе это сложно сделать, то необходимо начертить таблицу значений и уже по ней рисовать параболу.
Параболы-стройняшки и параболы-пухляшки.
Удивительно, но числовой коэффициент перед х2 оказывается влияет на стройность и полноту парабол.
Если числовой коэффициент лежит в промежутке (-1; 0) ∪ (0; 1), то парабола будет более обширно смотреться на координатной плоскости.
А если числовой коэффициент лежит в промежутке (-∞; -1) ∪ (1; +∞), то парабола будет прижиматься к оси Оу и занимать меньше места на плоскости.
Не веришь? Давай проверим! Для примера возьмем две функции:
К сожалению, здесь схитрить не получится: обе параболы нестандартные и для обеих необходимо создать таблицы значений. Но перед эти определимся с их вершинами.
Пусть вершиной первой параболы будет точка А(хА; уА), а вершиной второй параболы – точка B(хB; уB). Вершины буду находить по второму способу (см. выше).
Переходим к таблицам значений.
Голубая парабола.
x | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
y | 3 | 6 | 7 | 6 | 3 |
Зеленая парабола.
x | -1,5 | -1 | -0,25 | 0 | 1 |
y | -3 | 1 | 4,5 | 3 | -3 |
Чертим обе параболы по получившимся координатам.
Вот о чем я и говорила) Перед тобой парабола-стройняшка и парабола-пухляшка во всей красе.
А ты заметил, что свободный член в уравнении функции – это точка пересечения графика с осью Оу? В обеих функциях свободный член равен 3 и графики пересекают ось Оу в точке с координатами (0; 3).
Практикум по параболам.
Теорию о параболах можно еще писать и дальше, но тебя, скорее всего, интересует практика по графикам.
Поскольку речь идет о параболах, то с параболами мы и будем сейчас возиться.
Задание 1. На рисунке изображены графики функций вида y = ax2 + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
Решение. Коэффициент а, стоящий перед х2, отвечает за направление ветвей параболы, а свободный член с – за пересечение графика с осью Оу.
А) Если коэффициент а положителен, то ветви направлены вверх; если коэффициент с отрицателен, то график пересекает ось Оу ниже нуля. Подходит график 1.
Б) Если коэффициент а отрицателен, то ветви направлены вниз; если коэффициент с положителен, то график пересекает ось Оу выше нуля. Подходит график 3.
В) Если коэффициент а положителен, то ветви направлены вверх; если коэффициент с положителен, то график пересекает ось Оу выше нуля. Подходит график 2.
Задание 2 (наоборот). На рисунке изображены графики функций вида y = ax2 + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
А) Ветви направлены вверх, значит а > 0; график пересекает ось Оу выше нуля, значит и с > 0. Подходит вариант под номером 3.
Б) Ветви направлены вверх, значит а > 0; график пересекает ось Оу ниже нуля, значит и с < 0. Подходит вариант под номером 1.
В) Ветви направлены вниз, значит а < 0; график пересекает ось Оу выше нуля, значит и с > 0. Подходит вариант под номером 2.
Задание 3. Установите соответствие между графиками и их функциями.
График В отличается от остальных тем, что его ветви направлены вниз. За направление ветвей отвечает коэффициент перед х2 – он отрицательный. Отрицательный коэффициент только в функции под номером 3. Значит В-3.
Дальше рекомендую отработанную годами технику. Она минимизирует твои ошибки, если ты, конечно, умеешь считать)
Итак, рассматриваем график А и выбираем на нем точку с красивыми координатами (красивые значит не дробные). Мне нравится тут вершина. Ее координаты (4; -3). Даже не спрашивайте почему не прорисованы оси; эти задания взяты с сайта ФИПИ)
Теперь эти координаты подставляем в оставшиеся функции: вместо у подставляем -3, а вместо х подставляем 4.
Подставляем в первую функцию: -3 = 2 · 42 – 16 · 4 + 29; -3 = -3 – верно. Значит, А-1.
И остается Б-2.
Задание 4 (наоборот, но принципе тот же). Установите соответствие между функциями и их графиками.
Очевидно, что В-2.
На графике 1 выбираем точку. Вершина снова четкая, но для разнообразия давайте возьмем другую точку, например, точку с координатами (-4; 1). Будь внимателен и смотри, чтобы точно такой же точки не было на третьем графике!
Подставляем в функцию А: 1 = (-4)2 + 4 · (-4) + 1; 1 = 1 – верно. Значит, А-1.
Соответственно, Б-3.
Если ты считаешь, что чего-то не хватает или у тебя есть ещё задания из первой части, связанные с параболами, – напиши мне в VK)