Как найти вершину параллелограмма зная координаты вершин - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Как найти координаты 4-й вершины параллелограмма, зная координаты трёх других его вершин?

В декартовых координатах эту задачу можно решить, используя свойство диагоналей параллелограмма.

Из трёх известных вершин две являются концами одной диагонали. Находим координаты середины этой диагонали. Точка пересечения диагоналей является серединой каждой из них. Для второй диагонали находим второй конец по известным одному концу и середине.

Примеры.

Дано: ABCD — параллелограмм,

A(-3;11), B(12;-4), C(1;-7)

Найти: D.

Решение:

1) Найдём координаты точки O — середины диагонали AC.

По формуле координат середины отрезка

$[x_O = frac{{x_A + x_C }}{2} = frac{{ - 3 + 1}}{2} = - 1;]$

$[y_O = frac{{y_A + y_C }}{2} = frac{{11 + ( - 7)}}{2} = 2.]$

То есть O(-1;2).

2) По свойству диагоналей параллелограмма, точка O также является серединой BD:

$[x_O = frac{{x_B + x_D }}{2}; - 1 = frac{{12 + x_D }}{2};x_D = - 14;]$

$[y_O = frac{{y_B + y_D }}{2};2 = frac{{ - 4 + y_D }}{2};y_D = 8.]$

Ответ: D (-14; 8).

Дано: ABCD — параллелограмм,

B(7;4), C(-5;10), D(-1;-2)

Найти: A.

Решение:

1) Ищем координаты точки O — середины отрезка BD:

$[x_O = frac{{x_B + x_D }}{2};x_O = frac{{7 + ( - 1)}}{2} = 3;]$

$[y_O = frac{{y_B + y_D }}{2};x_O = frac{{4 + ( - 2)}}{2} = 1.]$

Итак, O (3;1).

2) Точка O также является серединой AC:

$[x_O = frac{{x_A + x_C }}{2};3 = frac{{x_A + ( - 5)}}{2};x_A = 11;]$

$[y_O = frac{{y_A + y_C }}{2};1 = frac{{y_A + 10}}{2};y_A = - 8.]$

Ответ: A (11;-8).

Источник

Найти четвертую вершину параллелограмма

Как найти координаты 4-й вершины параллелограмма, зная координаты трёх других его вершин?

В декартовых координатах эту задачу можно решить, используя свойство диагоналей параллелограмма.

Дано: ABCD — параллелограмм,

1) Найдём координаты точки O — середины диагонали AC.

2) По свойству диагоналей параллелограмма, точка O также является серединой BD:

Дано: ABCD — параллелограмм,

1) Ищем координаты точки O — середины отрезка BD:

2) Точка O также является серединой AC:

2 Comments

А как вы получили -14 в первом примере.

Можно применить основное свойство пропорции: 12+xD=2∙(-1), xD=-2-12=-14.

Please wait.

We are checking your browser. mathvox.ru

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6d40003a0ca49045 • Your IP : 85.95.179.65 • Performance & security by Cloudflare

Даны 3 вектора найти четвертый

Задача 29832 даны три вектора а=(3,-2,4), в=(5,1,6).

Условие

даны три вектора а=(3,-2,4), в=(5,1,6), с=(-3,0,2) найти вектор х удовлетворяющий трем уравнениям: (а ^ x)=4 (b ^ x)=35 (c ^ x)=0

Все решения

Пусть вектор х имеет координаты (x_(1);x_(2);x_(3)).

Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами равно сумме произведений одноименных координат.

Найти четвертую вершину параллелограмма

Как найти координаты 4-й вершины параллелограмма, зная координаты трёх других его вершин?

В декартовых координатах эту задачу можно решить, используя свойство диагоналей параллелограмма.

Дано: ABCD — параллелограмм,

1) Найдём координаты точки O — середины диагонали AC.

2) По свойству диагоналей параллелограмма, точка O также является серединой BD:

Дано: ABCD — параллелограмм,

1) Ищем координаты точки O — середины отрезка BD:

2) Точка O также является серединой AC:

2 Comments

А как вы получили -14 в первом примере.

Можно применить основное свойство пропорции: 12+xD=2∙(-1), xD=-2-12=-14.

3.1.7. Примеры решения задач по теме «Линейные операции над векторами. Скалярное произведение»

Даны векторы А = (-2; 3; 5) и B = (4; -1; 7). Найти координаты вектора

При умножении вектора на число все его координаты

Умножаются на это число, при сложении векторов складываются их соответствующие координаты.

Координаты коллинеарных векторов пропорциональны.

Если A || B, то . Отсюда:

Ответ: .

Найти направляющие косинусы вектора А = .

Направляющие косинусы являются координатами орта (единичного вектора) данного направления.

Найдем модуль вектора А:

Разделив все координаты вектора А на его модуль, получим координаты орта:

Ответ:

Тогда AA + BB + GC = , причем координаты этого вектора должны равняться соответствующим координатам вектора D. Приравнивая эти координаты, получаем систему уравнений для определения A, B, G:

Для векторов A = , B = , C = , D = найти такие числа A, B, G, чтобы векторы AA, BB, GC и D образовали замкнутую ломаную линию, если начало каждого последующего вектора совместить с концом предыдущего.

C = линейно зависимой или линейно независимой.

Система векторов называется линейно независимой, если равенство

Вычислим главный определитель Δ системы уравнений

По правилу Крамера система имеет единственное решение, но для однородной системы всегда существует нулевое решение (A = B = G = 0).

Поскольку других решений нет, данная система векторов линейно независима.

Ответ: Система векторов линейно независима.

Найти координаты какого-либо вектора, направленного по биссектрисе угла между векторами А = (-4; 3; 0) и B = (12; -15; 16).

Диагональ параллелограмма является биссектрисой угла между сторонами только в том случае, если этот параллелограмм – ромб. Следовательно, искомым вектором можно считать сумму двух векторов равной длины, коллинеарных соответственно векторам А и B.

Вектор A + B направлен по диагонали параллелограмма, построенного на векторах А и B как на смежных сторонах и выходящей из общего начала векторов А и B.

Следовательно, |5A| = |B|. Значит, параллелограмм со сторонами, совпадающими с векторами 5A и B, является ромбом, поэтому вектор 5A + B будет иметь заданное направление.

При каких значениях X, Y, Z точки А(Х; -1; 3), В(5; -4; Z), C(-2; Y; 9), D(-5; 1; 7) являются вершинами параллелограмма?

Для выполнения условия задачи требуется коллинеарность векторов и и и .

Найдем координаты этих векторов:

Из последней пропорции получаем, что Z = 1 – 2Y. Тогда

Но при этих значениях неизвестных

Условие задачи выполнено.

Используйте определение скалярного произведения:

Используем свойства скалярного произведения:

По определению скалярного произведения

Сложим левые и правые части полученных равенств:

Даны векторы А = и B = . Найти скалярное произведение

Найдите координаты векторов 3А – B и A + 2B или используйте свойства скалярного произведения.

Используем свойства скалярного произведения:

Используйте формулу, выражающую косинус угла между векторами через их скалярное произведение.

Ответ: .

Координаты вектора B пропорциональны координатам А. Если K – коэффициент пропорциональности, то B = .

Известно, что |A| = 2, |B| = 7. Найти значения K, при которых векторы

Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.

Ответ: K = .

Найти проекцию вектора А = на ось, образующую с координатными осями Ох и Оу углы 60о и 45о, а с осью Oz – тупой угол γ.

Используйте свойство направляющих косинусов:

Найдем cosγ: cos260o + cos245o + cos2γ = 1,

Тогда проекция А на заданную ось равна:

[spoiler title=”источники:”]

http://mathvox.ru/geometria/dekartovi-koordinati-uravneniya-figur-v-dekartovoi-sisteme-koordinat/glava-2-metod-koordinat/kak-naiti-koordinati-chetvertoi-vershini-parallelogramma/

http://b4.cooksy.ru/articles/dany-3-vektora-nayti-chetvertyy

[/spoiler]

Источник

Найти четвертую вершину параллелограмма

Как найти координаты 4-й вершины параллелограмма, зная координаты трёх других его вершин?

В декартовых координатах эту задачу можно решить, используя свойство диагоналей параллелограмма.

Дано: ABCD — параллелограмм,

1) Найдём координаты точки O — середины диагонали AC.

$[x_O = frac{{x_A + x_C }}{2} = frac{{ - 3 + 1}}{2} = - 1;]$

$[y_O = frac{{y_A + y_C }}{2} = frac{{11 + ( - 7)}}{2} = 2.]$

2) По свойству диагоналей параллелограмма, точка O также является серединой BD:

Даны три вершины параллелограмма ABCD: A(−3;3;1) , B(−1;3;−1) , C(−2;7;−2). Определить: a) координаты четвертой вершины D; б) длину высоты, опущенной из вершины D на сторону AB; в) косинус острого угла между диагоналями AC и BD.

Даны три вершины параллелограмма ABCD: A ( − 3 ; 3 ; 1 ) A(−3;3;1) , B ( − 1 ; 3 ; − 1 ) B(−1;3;−1) , C ( − 2 ; 7 ; − 2 ) C(−2;7;−2) .

a) координаты четвертой вершины D;

б) длину высоты, опущенной из вершины D на сторону AB;

в) косинус острого угла между диагоналями AC и BD.

Лучший ответ по мнению автора

Владимир

a) Найдем координаты вектора AB (из координат конца вектора вычли координаты начала).

AB = (-1 — (-3); 3 — 3; -1 — 1) = (2; 0; -2)
Пусть D(x;y;z), тогда координаты вектора DC=(-2 — x; 7 — y; -2 — z).
Тогда
-2-x = 2
7-y = 0
-2-z = -2
Следовательно, x = -4, y = 7, z = 0, координаты точки D (-4, 7, 0).

б) Длина высоты, опущенной из вершины D на сторону AB:
AB = (-1 — (-3); 3 — 3; -1 — 1) = (2; 0; -2) (находили в первом пункте).
AD = (-4 — (-3); 7 — 3; 0 — 1) = (-1; 4; -1)
Векторное произведение ABxAD =

Площадь параллелограмма=|ABxAD|==12
Высота=Площадь параллелограмма / основание
Основание |AB|=
Высота =

в) косинус острого угла между диагоналями AC и BD

Найдем скалярное произведение векторов AC и BD
AC * BD = 1*(-3) + 4*4 + (-3)*1= -3 + 16 -3 = 10

Найдем модули векторов

Найдем угол между векторами:

Другие ответы

Владимир

a) Найдем координаты вектора AB (из координат конца вектора вычли координаты начала).

в) косинус острого угла между диагоналями AC и BD

Найдем скалярное произведение векторов AC и BD
AC * BD = 1*(-3) + 4*4 + (-3)*1= -3 + 16 -3 = 10

Источник

13. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если координаты трех других вершин известны:

1) А(2;3;2), В(0;2;4), С(4;1;0);

2) А(1;-1;0), В(0;1;-1), С(-1;0;1);

3) А(4;2;-1), В(1;-3;2), С(-4;2;1).

Диагонали параллелограмма пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

Источник:

Решебник

по

геометрии

за 10 класс (А.В. Погорелов, 2001 год),
задача №13
к главе «§18. Декартовы координаты и векторы в пространстве».

Все задачи

← 12. Даны один конец отрезка А(2;3;-1) и его середина С(1;1;1). Найдите второй конец отрезка В(х;у;z).

14. Докажите, что середина отрезка с концами в точках А(а;с;-Ь) и В(-а;d;b) лежит на оси у. →

Комментарии

Источник

Все ответы

0 Голосов

Posted Октябрь 18, 2016 by Вячеслав Моргун

Дано: параллелограмм ABCD и координаты вершин A(-2;-1), B(3;0), C(1;-2)
Найти: координаты вершины D
Решение: Параллелограмм – это четырехугольник у которого противоположные стороны попарно параллельны (лежат на параллельных прямых).

Отсюда получаем алгоритм решения задачи
1. Находим уравнения двух сторон по известным координатам вершин.
2. Находим уравнения параллельных сторон по известной координате одой из вершин и воспользовавшись условием параллельности сторон.
3. Находим координаты точки пересечения, полученных сторон.

Алгоритм решения:

1. Находим уравнения сторон AB и BC.
Из условия задачи известны координаты вершин A(-2;-1), B(3;0), C(1;-2), поэтому уравнения сторон будем находить по формуле уравнения прямой, проходящей через две заданные точки $$ frac{x-x_1}{x_2-x_1} = frac{y-y_1}{y_2-y_1} quad (1)$$
Уравнение стороны AB при известных координатах вершин A(-2;-1), B(3;0). Подставляем координаты в уравнение (1), получаем $$ frac{x+2}{3+2} = frac{y+1}{0+1} => y = frac{1}{5}x – frac{3}{5}$$
Уравнение стороны BC при известных координатах вершин B(3;0), C(1;-2). Подставляем координаты в уравнение (1), получаем $$ frac{x-3}{1-3} = frac{y-0}{-2-0} => y = x – 3$$

2. Находим уравнения параллельных сторон параллелограмма.
Через вершины параллелограмма проходят прямые (AD||BC) и (CD||AB). О прямых AD и CD известно, что они проходят через вершины с известными координатами и параллельны известным прямым. Воспользуемся свойством параллельных прямых: угловые коэффициенты параллельных прямых равны (k_1=k_2).

Найдем уравнение прямой (AD).
Для этой прямой известна координата A(-2;-1) и угловой коэффициент, который равен угловому коэффициенту прямой (k_{BC} = 1 => k_{AD} = 1).
Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении $$ y – y_0 = k(x-x_0) quad (2)$$ Подставляем данные A(-2;-1) и (k_{AD} = 1), получаем $$ y +1 = 1(x+2) => y = x+1 $$
Найдем уравнение прямой (CD).
Для этой прямой известна координата C(1;-2) и угловой коэффициент, который равен угловому коэффициенту прямой (k_{AB} = frac{1}{5} => k_{CD} = frac{1}{5}).
Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении $$ y – y_0 = k(x-x_0) $$ Подставляем данные C(1;-2) и (k_{CD} = frac{1}{5}), получаем $$ y +2 = frac{1}{5}(x-1) => y = frac{1}{5}x-frac{11}{5} $$

3. Находим координаты точки пересечения, полученных сторон(AD) и (CD).
Решим систему уравнений $$ begin{cases} y = x+ 1 \ y = frac{1}{5}x-frac{11}{5} end{cases} => $$$$ begin{cases} 0 = frac{4}{5}x+frac{16}{5} \ y = frac{1}{5}x-frac{11}{5} end{cases} => begin{cases} x = -4 \ y = -3 end{cases} $$ Подучили координаты точки (D(-4; -3) )

Ответ: координаты искомой вершины параллелограмма (D(-4; -3) ).

Источник

Найти четвертую вершину параллелограмма

2 Comments

Please wait.

We are checking your browser. mathvox.ru

Why do I have to complete a CAPTCHA?

What can I do to prevent this in the future?

Даны 3 вектора найти четвертый

Задача 29832 даны три вектора а=(3,-2,4), в=(5,1,6).

Условие

Все решения

Найти четвертую вершину параллелограмма

2 Comments

3.1.7. Примеры решения задач по теме «Линейные операции над векторами. Скалярное произведение»

Найти четвертую вершину параллелограмма

Лучший ответ по мнению автора

Владимир

Другие ответы

Владимир

Все ответы

Вам также может понравиться

Как найти число фробениуса матрицы

Как исправить шпагатик у индюшат

Как найти вашего клиента

Добавить комментарий Отменить ответ