Как найти вершину пирамиды формула

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 29 сентября 2022 года; проверки требуют 4 правки.

Пирами́да (от др.-греч. πυραμίς, род. п. πυραμίδος) — многогранник, одна из граней которого (называемая основанием) — произвольный многоугольник, а остальные грани (называемые боковыми гранями) — треугольники, имеющие общую вершину[1]. По числу углов основания различают пирамиды треугольные (тетраэдр), четырёхугольные и т. д.
Пирамида является частным случаем конуса[2].

История развития пирамиды в геометрии[править | править код]

Начало геометрии пирамиды было положено в Древнем Египте и Вавилоне, однако активное развитие получило в Древней Греции. Объём пирамиды был известен древним египтянам. Первым греческим математиком, кто установил, чему равен объём пирамиды, был Демокрит
[3], а доказал Евдокс Книдский. Древнегреческий математик Евклид систематизировал знания о пирамиде в XII томе своих «Начал», а также вывел первое определение пирамиды: телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости сходятся в одной точке (книга XI, определение 12[4]).

Элементы пирамиды[править | править код]

SO — высота
SF — апофема
OF — радиус вписанной в основание окружности

  • вершина пирамиды — общая точка боковых граней, не лежащая в плоскости основания;
  • основание — грань, которой не принадлежит вершина пирамиды;
  • боковые грани — треугольные грани, сходящиеся в вершине;
  • боковые рёбра — рёбра, являющиеся сторонами двух боковых граней (и, соответственно, не являющиеся сторонами основания);
  • высота пирамиды — перпендикуляр из вершины пирамиды на её основание;
  • апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины;
  • диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через её вершину и диагональ основания.

Развёртка пирамиды[править | править код]

Развёртка правильной пятиугольной пирамиды:
1. в плоскости основания («звезда»)
2. в плоскости одной из боковых граней

Развёрткой называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с одной плоскостью (без наложения граней или иных элементов поверхности друг на друга).
Приступая к изучению развёртки поверхности, последнюю целесообразно рассматривать как гибкую, нерастяжимую плёнку. Некоторые из представленных таким образом поверхностей можно путём изгибания совместить с плоскостью. При этом, если отсек поверхности может быть совмещён с плоскостью без разрывов и склеивания, то такую поверхность называют развёртывающейся, а полученную плоскую фигуру — её развёрткой.

Свойства[править | править код]

Если все боковые рёбра равны, то:

  • вокруг основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
  • боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы;
  • также верно и обратное, то есть если боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы, или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые рёбра пирамиды равны.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то:

  • в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
  • высоты боковых граней равны;
  • площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани.

Теоремы, связывающие пирамиду с другими геометрическими телами[править | править код]

Описание сферы вокруг правильной пирамиды:
SD — высота пирамиды.
AD — радиус окружности, описывающей основание.
В — середина ребра боковой грани
С — точка пересечения плоскостей проходящих через середину рёбер перпендикулярно им.
AC=CS — радиус сферы описывающей пирамиду

Сфера, вписанная в правильную пирамиду:
D — центр основания
SF — апофема
ASD — биссекторная плоскость угла между боковыми гранями
BCE — биссекторная плоскость угла между основанием и боковой гранью
С — точка пересечения всех биссекторных плоскостей
CK=CD — радиус сферы вписанной в пирамиду

Сфера[править | править код]

  • около пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многоугольник, вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие)[5]. Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им. Из этой теоремы следует, что как около любой треугольной, так и около любой правильной пирамиды можно описать сферу;
  • в пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

Конус[править | править код]

  • Конус называется вписанным в пирамиду, если вершины их совпадают, а его основание вписано в основание пирамиды. Причём вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие);[6]
  • Конус называется описанным около пирамиды, когда их вершины совпадают, а его основание описано около основания пирамиды. Причём описать конус около пирамиды можно только тогда, когда все боковые рёбра пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие);
  • Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой.

Цилиндр[править | править код]

  • Цилиндр называется вписанным в пирамиду, если одно его основание совпадает с окружностью вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание принадлежит основанию пирамиды.
  • Цилиндр называется описанным около пирамиды, если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание описано около основания пирамиды. Причём описать цилиндр около пирамиды можно только тогда, когда в основании пирамиды — вписанный многоугольник (необходимое и достаточное условие).

Формулы, связанные с пирамидой[править | править код]

  • Объём пирамиды может быть вычислен по формуле:
V={frac {1}{3}}Sh,
где  S — площадь основания и  h — высота;[7]
V={frac {1}{6}}V_{p},
где {textstyle  V_{p}} — объём параллелепипеда;
  • Также объём треугольной пирамиды (тетраэдра) может быть вычислен по формуле[8]:
V={frac {1}{6}}a_{1}a_{2}dsin varphi ,
где a_{1},a_{2} — скрещивающиеся рёбра , d — расстояние между a_{1} и a_{2} , varphi  — угол между a_{1} и a_{2};
  • Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней:
S_{b}=sum _{i}^{}S_{i}
  • Полная поверхность — это сумма площади боковой поверхности и площади основания:
 S_{p}=S_{b}+S_{o}
  • Для нахождения площади боковой поверхности в правильной пирамиде можно использовать формулы:
{displaystyle S_{b}={frac {1}{2}}Pa={frac {n}{2}}b^{2}sin alpha }
где a — апофема ,  P — периметр основания,  n — число сторон основания,  b — боковое ребро, alpha  — плоский угол при вершине пирамиды.

Особые случаи пирамиды[править | править код]

Правильная пирамида[править | править код]

Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.
Тогда она обладает такими свойствами:

Прямоугольная пирамида[править | править код]

Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.

Тетраэдр[править | править код]

Тетраэдром называется треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды. Кроме того, существует большое различие между понятиями «правильная треугольная пирамида» и «правильный тетраэдр». Правильная треугольная пирамида — это пирамида с правильным треугольником в основании (грани же должны быть равнобедренными треугольниками). Правильным тетраэдром является тетраэдр, у которого все грани являются равносторонними треугольниками.

См. также[править | править код]

  • Усечённая пирамида
  • Бипирамида

Примечания[править | править код]

  1. Александров А. Д., Вернер А. Л. Геометрия. Учебник для 10—11 классов общеобразовательных учреждений. — 2-е изд. — М.: Просвещение, 2003. — 271 с. — ISBN 5-09-010773-4.
  2. Математика в понятиях, определениях и терминах. Ч. 1. Пособие для учителей. Под ред. Л. В. Сабинина. М., Просвещение, 1978. 320 с. С. 253.
  3. Б. Л. ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. — 3-е изд.. — М.: КомКнига, 2007. — 456 с. — ISBN 978-5-484-00848-3.
  4. М. Е. Ващенко-Захарченко. Начала Евклида с пояснительным введением и толкованиями. — Киев, 1880. — С. 473. — 749 с.
  5. Саакян С. М., Бутузов В. Ф. Изучение геометрии в 10—11-х классах: книга для учителя. — 4-е изд., дораб.. — М.: Просвещение, 2010. — 248 с. — (Математика и информатика). — ISBN 978-5-09-016554-9.
  6. Погорелов А. В. Геометрия: Учебник для 10—11 классов общеобразовательных учреждений. — 8-е изд. — М.: Просвещение, 2008. — 175 с. — 60 000 экз. — ISBN 978-5-09-019708-3.
  7. Геометрия по Киселёву Архивная копия от 1 марта 2021 на Wayback Machine, §357.
  8. Кушнир И. А. Триумф школьной геометрии. — К.: Наш час, 2005. — 432 с. — ISBN 966-8174-01-1.
  9. Готман Э. Свойства правильной пирамиды, вписанной в сферу Архивная копия от 22 января 2012 на Wayback Machine // Квант. — 1998. — № 4.

Литература[править | править код]

  • Александров А. Д., Вернер А. Л. Геометрия. Учебник для 10—11 классов общеобразовательных учреждений. — 2-е изд. — М.: Просвещение, 2003. — 271 с. — ISBN 5-09-010773-4.
  • Калинин А. Ю., Терешин Д. А. Стереометрия. 11 класс. — 2-е изд. — М.: Физматкнига, 2005. — 332 с. — ISBN 5-89155-134-9.
  • А. П. Киселёв, Геометрия по Киселёву, arΧiv:1806.06942 [math.HO].
  • Погорелов А. В. Геометрия: Учебник для 10—11 классов общеобразовательных учреждений. — 8-е изд. — М.: Просвещение, 2008. — 175 с. — 60 000 экз. — ISBN 978-5-09-019708-3.

Ссылки[править | править код]

  • Бумажные модели пирамид Архивная копия от 4 января 2010 на Wayback Machine (англ.)
  • «Начала» Евклида.

Многогранник, одна грань которого является (n)-угольником, а остальные грани — треугольники с общей вершиной, называется пирамидой, (n)-угольник называется основанием пирамиды, а треугольники — боковыми гранями.

Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды.

Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются рёбрами пирамиды.

В зависимости от количества сторон основания пирамиды могут быть треугольными, четырёхугольными, пятиугольными и т. д.

Перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды.

Важно знать, где на плоскости основания находится проекция вершины пирамиды, она может быть в центре основания, на стороне основания, за пределами многоугольника основания. Решение задачи в большей степени зависит от расположения этой точки.

Чтобы нарисовать пирамиду, нужно соблюдать определённый порядок:

1. первым рисуется основание, 

2. по условию задачи находится проекция вершины на плоскости основания,

3. вертикально проводится высота,

4. проводятся рёбра.

TPT 2.JPG

На рисунке изображена четырёхугольная пирамида (SABCD)

(первой пишут букву вершины).

Основание — четырёхугольник (ABCD).

Вершина проецируется в точку пересечения диагоналей (O) — основание высоты или проекция вершины.

(SA), (SB), (SC), (SD) — рёбра пирамиды,

(AB), (BC), (CD), (DA) — стороны основания.

В курсе средней школы в основном есть задачи, в которых даны:

– правильная пирамида (вершина проецируется в центр основания);
– пирамида, вершина которой проецируется в центр описанной окружности;
– пирамида, вершина которой проецируется в центр вписанной окружности;
– пирамида, высота которой совпадает с боковым ребром;
– пирамида, высота которой также является высотой боковой грани.

Углы, которые образованы боковой гранью и основанием пирамиды, называются двугранными углами при основании пирамиды.

Двугранный угол между боковой гранью (SCD) и гранью основания равен линейному углу 

 (OES). Этот угол образован отрезками (OE) и (SE), лежащими в этих гранях и перпендикулярных их общей прямой (CD). То есть (OE)

⊥CD

  и (SE)

⊥CD

.

Чтобы определить этот угол, часто нужно использовать теорему о трёх перпендикулярах.

Углы, которые образованы боковым ребром и его проекцией на плоскость основания, называются углами между боковым ребром и плоскостью основания.

На рисунке

 (OCS).

Угол, который образован двумя боковыми гранями, называется двугранным углом при боковом ребре пирамиды.

Угол, который образован двумя боковыми рёбрами одной грани пирамиды, называется углом при вершине пирамиды.

Основные формулы пирамиды

Площадь боковой поверхности равна сумме площадей всех боковых граней пирамиды:  

S=S1+S2+S3+…

(Некоторые формулы годятся только для определённых видов пирамиды.)

Площадь полной поверхности

Sп.п.=S+Sоснования

.

Объём пирамиды (V =)

13Sоснования

(H), где (H) — высота пирамиды.

Формула объёма используется для пирамид любого вида.

Источники:

Рис. 1. Пирамида, © ЯКласс.

Вы уже знакомы с пирамидой, т. е. многогранником, одна грань которого является многоугольником, а остальные грани-треугольники имеют общую вершину.

Треугольные грани пирамиды, имеющие общую вершину, называют боковыми гранями, а эту общую вершину — вершиной пирамиды. Ребра боковых граней, сходящиеся в вершине пирамиды, называют боковыми ребрами пирамиды. Многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды, называют основанием пирамиды (рис. 107).

Пирамиды разделяют на треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т. д. в зависимости от количества сторон их оснований. Пирамида, изображенная на рисунке 107, — пятиугольная, а на рисунке 108, — восьмиугольная. Треугольную пирамиду называют еще тетраэдром. У тетраэдра все грани являются треугольниками (рис. 109).

Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости ее основания, называется высотой пирамиды. На рисунке 108 показана высота Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Плоскость, проходящая через два боковых ребра пирамиды, не принадлежащие одной грани, называется диагональной плоскостью, а сечение пирамиды диагональной плоскостью — диагональным сечением. На рисунке 111 показано диагональное сечение шестиугольной пирамиды.

Пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, а основание ее высоты совпадает с центром этого многоугольника, называется правильной пирамидой (рис. 112).

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой пирамиды.

Отметим, что в правильной пирамиде:

  • боковые ребра равны;
  • боковые грани равны;
  • апофемы, равны;
  • двугранные углы при основании равны;
  • двугранные углы при боковых ребрах равны;
  • каждая точка высоты равноудалена от вершин основания;
  • каждая точка высоты равноудалена от ребер основания;
  • каждая точка высоты равноудалена от боковых граней.

Отметим, что если в пирамиде равны все:

  • боковые ребра, то около ее основания можно описать окружность, и центр этой окружности совпадает с основанием высоты пирамиды (рис. 113);
  • двугранные углы при основании, то в это основание можно вписать окружность, и центр этой окружности совпадает с основанием высоты пирамиды (рис. 114).

Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Боковые грани составляют боковую поверхность пирамиды, а боковые грани вместе с основанием — полную поверхность пирамиды.

Вы знаете, что боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра ее основания и апофемы.

Теорема 1.

Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной основанию, то:

  • а) боковые ребра и высота разделяются на пропорциональные части;
  • б) в сечении получается многоугольник, подобный основанию;
  • в) площади сечения и основания относятся как квадраты их расстояний от вершины пирамиды.

Используя рисунок 115, докажите эту теорему самостоятельно.

Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Секущая плоскость, параллельная основанию пирамиды, разделяет ее на две части (рис. 116). Одна из этих частей также является пирамидой, а другая — многогранником, который называется усеченной пирамидой.

Параллельные грани усеченной пирамиды называются ее основаниями (рис. 117). Основания усеченной пирамиды — подобные многоугольники, стороны которых попарно параллельны, поэтому ее боковые грани являются трапециями.

Высотой усеченной пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки одного основания пирамиды к плоскости другого основания.

Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Усеченная пирамида называется правильной, если она является частью правильной пирамиды. Высота боковой грани правильной усеченной пирамиды называется апофемой усеченной пирамиды. На рисунке 118 показана четырехугольная правильная усеченная пирамида и одна из ее апофем.

Теорема 2.

Боковая поверхность правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров ее оснований и апофемы:

Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Доказательство:

Пусть есть правильная Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами-угольная усеченная пирамида (рис. 119). Пусть Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами — соответственно периметры нижнего и верхнего оснований и Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами — апофема пирамиды.

Боковая поверхность данной пирамиды состоит из Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами равных трапеций. Пусть Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами — основания одной из этих трапеций, тогда ее площадь равна Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами. Учитывая, что боковая поверхность пирамиды состоит из Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами таких трапеций, получим, что

Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Теперь установим формулу для вычисления объема пирамиды.

Тела, имеющие равные объемы, называются равновеликими.

Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Теорема 3.

Треугольные пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами равновелики.

Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Доказательство:

Пусть есть две треугольные пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами (рис. 120). Разделим высоты одной и другой пирамид на Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами долей и через точки деления проведем плоскости, параллельные основаниям. Этим самым пирамиды разделяются на Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами частей. Для каждой части первой пирамиды построим наибольшие по объему призмы, целиком содержащиеся в пирамиде, а для каждой части другой пирамиды — наименьшие по объему призмы, целиком содержащие эту часть.

Пусть Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами — объемы первой и второй пирамид, a Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами — суммарные объемы призм, построенных для этих пирамид. При счете от оснований пирамид призма в Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами-й части первой пирамиды равновелика призме для Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами-й части второй пирамиды, так как у этих призм равновелики основания и равные высоты. Поэтому объем Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами больше объема Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами на объем первой призмы, у которой основанием является основание второй пирамиды, а высота равна Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, где Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами — высота пирамиды (см. рис. 120), т.е. Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, или Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, где Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами — площадь основания пирамиды. Теперь учтем, что Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, a Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами. Поэтому Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, или Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами. При увеличении значения переменной Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами значение выражения Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами стремится к нулю, а это означает, что Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, или

Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Такие же рассуждения можно провести, если первую и вторую пирамиды поменять ролями. В результате получим неравенство

Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Из неравенств (1) и (2) следует, что Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами.

Теорема 4.

Объем пирамиды равен третьей доле произведения площади ее основания и высоты:

Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Доказательство:

Пусть есть треугольная пирамида Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами (рис. 121). Достроим ее до призмы Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами с основанием Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами (рис. 122). Отделим от призмы данную пирамиду, получится четырехугольная пирамида Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами (рис. 122 и 123). Диагональная плоскость Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами разделяет ее на две пирамиды Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, у которых одна и та же высота, проведенная из вершины Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, и равные основания Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами. Поэтому, в соответствии с теоремой 3, пирамиды Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами равновелики. Сравним пирамиду Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами с данной пирамидой Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами. У них равные основания Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и высоты, проведенные из вершин Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, поэтому эти пирамиды также равновелики. Получается, что все три пирамиды Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами равновелики. Поскольку объем призмы Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами равен произведению Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами площади Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами основания Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и высоты призмы Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, которая равна высоте пирамиды Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, то объем пирамиды Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, т. е. третьей части призмы Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, равен третьей доле этого объема, т. е. Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами.

Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Пусть теперь есть произвольная пирамида Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами (рис. 124). Через диагонали Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами основания Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, выходящие из одной вершины Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, проведем диагональные сечения, они разделят данную пирамиду на треугольные пирамиды Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами. Поскольку все они имеют общую высоту Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, то

Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Пример:

Найдем объем усеченной пирамиды, нижнее и верхнее основания которой имеют площади Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, а высота равна Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами (рис. 125).

Для этого достроим данную усеченную пирамиду до полной. Пусть высота дополнительной пирамиды равна Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами. Искомый объем Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами можно найти как разность объемов полной и дополнительной пирамид:

Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Чтобы найти высоту Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, используем установленное в теореме 1 утверждение о том, что площади сечений пирамиды относятся как квадраты их расстояний от вершины:

Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Решим это уравнение, учитывая, что Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами — положительные числа:

Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Таким образом, объем Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами усеченной пирамиды равен третьей доле произведения высоты Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами пирамиды и суммы площадей Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами оснований пирамиды и их среднего геометрического Пирамида в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами.

  • Конус в геометрии
  • Сфера в геометрии
  • Шар в геометрии
  • Правильные многогранники в геометрии
  • Возникновение геометрии
  • Призма в геометрии
  • Цилиндр в геометрии
  • Стереометрия – формулы, определение и вычисление

Четырехугольная пирамида: как найти координаты вершин

20 июня 2013

Задача C2 немыслима без метода координат. Но для того, чтобы воспользоваться этим методом, приходится самостоятельно вводить декартову систему координат и считать координаты каждой точки. И если с параллелепипедами (особенно с кубами) все более-менее понятно, то всевозможные пирамиды и призмы у многих вызывают трудности.

Сегодня мы узнаем, как считаются координаты вершин для правильной четырехугольной пирамиды. Причем сначала рассмотрим простейший случай, когда все ребра равны, а затем — более сложный случай, когда длины ребер явно указаны в условии задачи.

Задача. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, введите систему координат и найдите координаты всех вершин.

Теперь переходим к более сложному случаю.:)

Задача. В основании правильной четырехугольной пирамиды SABCD лежит квадрат со стороной:

Длина стороны квадрата

[Подпись к рисунку]

Боковые ребра равны 17. Введите систему координат и найдите координаты всех вершин.

Смотрите также:

  1. Координаты вершин правильного тетраэдра
  2. Четырехугольная пирамида в задаче C2
  3. Тест к уроку «Что такое числовая дробь» (легкий)
  4. Сводный тест по задачам B12 (1 вариант)
  5. Как быстро запомнить таблицу синусов и косинусов
  6. Задача B4: экономика

§ 14. Пирамида

14.1. Определение пирамиды и её элементов

Определение. Пирамидой называется многогранник, у которого одна грань — многоугольник, а остальные грани — треугольники с общей вершиной (рис. 95, 96).

Рис. 95

Рис. 96

Многоугольник называется основанием пирамиды, остальные грани — боковыми гранями пирамиды, их общая вершина — вершиной пирамиды. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами её основания, называются боковыми рёбрами пирамиды.

Пирамиду с основанием АВСDЕ и вершиной Р обозначают PABCDE.

Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость её основания, называется высотой пирамиды. Длину этого перпендикуляра также называют высотой пирамиды.

Пирамида называется n-угольной, если её основанием является n-угольник.

На рисунке 96 изображена четырёхугольная пирамида PABCD, у которой: четырёхугольник ABCD — основание пирамиды; точка Р — вершина пирамиды; отрезки РA, РВ, PC, PD — боковые рёбра пирамиды; отрезки АВ, ВС, CD, DA — стороны (рёбра) основания пирамиды; отрезок РО — высота пирамиды; треугольники РАВ, РВС, PCD, PDA — боковые грани пирамиды.

Рис. 97

У n-угольной пирамиды имеется (n + 1) вершин, 2n рёбер и (n + 1) граней. Диагоналей пирамида не имеет. В пирамиде различают плоские углы при её вершине и двугранные углы при её рёбрах. Двугранным углом при ребре пирамиды называют содержащий пирамиду двугранный угол, образованный плоскостями граней, проходящими через данное ребро.

Треугольную пирамиду (рис. 97) называют также тетраэдром («тетраэдр» по-гречески означает «четырёхгранник»). Тетраэдр — это многогранник с наименьшим числом граней. Любая грань тетраэдра может быть принята за его основание; это отличает тетраэдр от всех остальных пирамид.

Любую пирамиду можно разбить на некоторое число тетраэдров, а любой выпуклый многогранник — на некоторое число пирамид. Для этого достаточно, например, взять любую точку внутри данного многогранника и соединить её отрезками со всеми его вершинами. Такое разбиение часто используется при нахождении объёмов многогранников.

14.2. Некоторые виды пирамид

Если все боковые рёбра пирамиды составляют с плоскостью основания равные углы, то: а) основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды; б) все боковые рёбра пирамиды равны между собой.

Рис. 98

Доказательство. а) Пусть отрезок РО — высота пирамиды PABCDEF, все рёбра которой составляют с плоскостью основания угол ϕ (рис. 98). Тогда прямоугольные треугольники РОА, POB, POC, POD, РОЕ и POF, имея общий катет РО, равны между собой (по катету и острому углу ϕ). Из равенства этих треугольников следует: ОА =  = ОС = OD  = OE = OF, т. е. вершины основания пирамиды равноудалены от основания О её высоты РО. Это означает, что точка О — центр окружности, описанной около основания ABCDEF данной пирамиды.

б) Из ОА =  = ОС = OD = ОЕ = OF следует, что боковые рёбра РА, РВ, PC, PD, РЕ, PF пирамиды равны, как наклонные, имеющие равные проекции, т. е. РА = РВ = PC = PD  = РЕ = PF. Что и требовалось доказать.

Вы самостоятельно можете доказать обратные утверждения.

1. Если основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около её основания, то: а) все боковые рёбра пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы; б) все боковые рёбра пирамиды равны между собой.

2. Если все боковые рёбра пирамиды равны, то: а) основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды; б) все боковые рёбра пирамиды составляют с плоскостью её основания равные между собой углы.

Также имеет место следующее утверждение.

Если высота пирамиды пересекает её основание и все боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания равные двугранные углы, то основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, вписанной в её основание.

Доказательство. Пусть РО — высота пирамиды PABCDE, боковые грани которой образуют с плоскостью основания пирамиды двугранные углы, равные ϕ (рис. 99).

Рис. 99

Проведём высоты РН1, РH2, РН3, PH4, РH5 боковых граней.

Тогда по теореме о трёх перпендикулярах получаем OH1  AB, OH2  BC, OH3  CD, OH4  DE, OH5  EA, следовательно, OH1P  = ∠ OH2P = ∠ OH3P = ∠ OH4P  = ∠ OH5P = ϕ. Поэтому  OH1P  =  OH2P =  OH3P =  OH4P  =  OH5P (как прямоугольные с общим катетом OP и острым углом ϕ). Из равенства этих треугольников следует ОН1  = OH2 = OH3 = ОН4 = ОН5, т. е. точка О — основание высоты РО пирамиды — равноудалена от всех сторон многоугольника ABCDE. Это означает, что точка O является центром окружности, вписанной в основание ABCDE данной пирамиды. Теорема доказана.

Самостоятельно докажите обратное утверждение.

Если вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды, то боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания равные двугранные углы.

Перечислим ещё несколько часто встречающихся в задачах видов пирамид.

Рис. 100

Рис. 101

Рис. 102

 Пирамида, ровно одна боковая грань которой перпендикулярна плоскости основания. Высота такой пирамиды лежит в этой, перпендикулярной основанию, грани (рис. 100).

 Пирамида, две соседние боковые грани которой перпендикулярны плоскости основания. Высотой такой пирамиды служит боковое ребро, общее для этих граней (рис. 101).

 Пирамида, две не соседние боковые грани которой перпендикулярны плоскости основания. Высота такой пирамиды лежит на прямой пересечения плоскостей этих граней (рис. 102).

14.3. Правильная пирамида

Определение. Пирамида называется правильной, если её основание — правильный многоугольник и вершина пирамиды проектируется в центр этого основания.

Рис. 103

Из определения следует алгоритм построения изображения правильных пирамид, что, в свою очередь, доказывает существование таких пирамид.

Для построения изображения правильной пирамиды достаточно построить изображение соответствующего правильного многоугольника (основания пирамиды) и его центра. Затем из построенного центра провести перпендикуляр к плоскости многоугольника и выбрать на этом перпендикуляре (в качестве вершины пирамиды) любую точку, отличную от центра многоугольника. Соединив отрезками прямых эту точку со всеми вершинами многоугольника, получим изображение правильной пирамиды.

На рисунке 103, а, б, в построены изображения правильных пирамид: а) треугольной; б) четырёхугольной; в) шестиугольной.

Правильные пирамиды обладают замечательным свойством.

В правильной пирамиде все боковые рёбра равны, а все боковые грани — равные равнобедренные треугольники.

Рис. 104

Доказательство. Рассмотрим правильную n-угольную пирамиду РА1А2An. Пусть точка O — центр n-угольника A1A2A3An; отрезок РО — перпендикуляр к плоскости основания пирамиды (рис. 104).

Так как центр правильного многоугольника является центром окружности, описанной около этого многоугольника, то ОА1 = OA2 = OA3 = … = OAn (как радиусы описанной окружности). Тогда равны боковые рёбра пирамиды, как наклонные к плоскости её основания, имеющие равные проекции, т. е. PA1 = PA2 = PA3 = … = PAn.

Таким образом, имеем:

РА1 = РA2 = … = PAn (как боковые рёбра);

A1A2 = A2A3 = … = AnA1 (как стороны правильного n-угольника).

Следовательно, треугольники PA1A2, РA2A3, …, PAnA1 являются равнобедренными и по третьему признаку равенства треугольников равны между собой.

Это свойство правильной пирамиды можно доказать при помощи поворота пирамиды вокруг оси, содержащей её высоту.

Так как точка О — центр правильного n-угольника A1A2A3An, лежащего в основании правильной пирамиды PA1A2An, РО — перпендикуляр к плоскости её основания, то при вращении данной пирамиды вокруг оси ОР на угол, равный (где k = 1, 2, 3, …, n), происходит самосовмещение этой пирамиды: вершины основания пирамиды отображаются на его же вершины (основание совмещается с самим собой); вершина Р (как точка оси вращения) отображается на себя. Следовательно, боковые рёбра пирамиды отображаются на боковые рёбра, а боковые грани пирамиды — на её боковые грани. А так как вращение вокруг прямой — движение, то все боковые рёбра правильной пирамиды равны между собой, а грани являются равными равнобедренными (почему?) треугольниками. Утверждение доказано.

Следствием доказанного выше является утверждение.

Все боковые рёбра правильной пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы, а все боковые грани — равные двугранные углы.

Докажите это предложение самостоятельно.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая к ребру её основания, называется апофемой пирамиды. На рисунке 104 отрезок РН — одна из апофем пирамиды.

Все апофемы правильной пирамиды равны вследствие равенства всех её боковых граней.

Имеют место признаки правильной пирамиды:

Пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, является правильной, если: а) все её боковые рёбра равны; б) все её боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы; в) все её боковые грани — равные равнобедренные треугольники.

Докажите это самостоятельно.

ЗАДАЧА (2.245). Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна h и образует с боковой гранью угол α. Через сторону основания пирамиды проведена плоскость, перпендикулярная противоположной грани и пересекающая её. Найти площадь сечения.

Дано: PABCD — правильная пирамида (рис. 105); РО — высота пирамиды, РО = h; ∠ OPF = α.

Найти: SADKM.

Решение. Первый способ. Пусть отрезок EF — средняя линия основания пирамиды. Тогда AD  EF, AD  PF ⇒ АD  (РEF) (PEF)  (ADP) (по признаку перпендикулярности двух плоскостей). Поэтому прямая PF является ортогональной проекцией прямой РO на плоскость ADP. Значит, ∠ OPF — угол между высотой PO и боковой гранью ADP пирамиды: ∠ OPF = α.

Рис. 105

Далее имеем: AD  (PEF), ВС || AD ВC  (PEF) прямая ВС перпендикулярна любой прямой плоскости PEF. Поэтому если FL  РЕ (в плоскости PEF), то BС  FL. Тогда FL  ВС, FL  PE FL  (BCP) (ADL)   (ВCР) (по признаку перпендикулярности двух плоскостей); при этом (ADL)  (ВСР) = МK, МK || AD, так как плоскости ВСР и АDL проходят через параллельные прямые ВС и AD. Значит, сечение ADKM — трапеция, у которой FL — высота (почему?), откуда

Sсеч = FL.

Найдём AD, МK и FL.

В  OPF (∠ POF = 90°):

OF = OPtg α = htg α; PF =  =  = PE.

Поэтому

EF = 2FO = 2htg α = ВС.

В плоскости PEF получаем:

FL  РЕ, РО  EF ⇒ ∠ EFL = ∠ OPE = α.

Тогда в  ЕFL: FL = ЕFcos α = 2htg αcos α = 2hsin α;

в  PLF (∠ PLF = 90°, ∠ PFL = 90° – 2α):

PL = PFsin (90° – 2α) = PFcos 2α = .

Так как MK | | BC, то  МKР  ВСР, откуда

 = MK =  = =

= 2htg αcos 2α.

Таким образом,

AD = EF = 2htg α, FL = 2hsin α, MK = 2htg αcos 2α.

Тогда

Sсеч = FL = 2hsin α =

=  = 4h2sin2 αcos α.

Замечание. Отрезок MK можно найти следующим образом. Сечением данной пирамиды плоскостью, проходящей через прямую MK параллельно основанию пирамиды, является квадрат MKD1A1 (см. рис. 105). F1 = A1D1 PF. У этого квадрата LF1 = MK. Найдём F1L.

В треугольнике LFF1 имеем ∠ FLF1 = α (LF|| EF),

∠ F1FL = ∠ OFP∠ OFL = (90°α) – α = 90° – 2α;

∠ FF1L = 180°∠ OFF1 = 90° + α. Тогда по теореме синусов

Рис. 106

Значит, MK = LF1 = 2htg αcos 2α.

Второй способ Пусть точки M1, K1, L1 — ортогональные проекции на плоскость основания соответственно точек М, K, L (рис. 105, 106). Так как плоскости АСР, BDP и EFP перпендикулярны плоскости основания пирамиды, то ортогональными проекциями прямых PC, РВ и РЕ на эту плоскость являются соответственно прямые АС, BD и EF. Следовательно, M1  BD, K1  AC, L1  EF, причём четырёхугольник ADK1M1 — равнобедренная трапеция.

Таким образом, трапеция ADK1M1 — ортогональная проекция сечения ADKM. Это означает, что SADKM = . Найдём . Так как диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и M1K1 || AD, то OL1 = L1K1, OF = FD. Значит,

 = L1F = FL1 = .

Тогда

SADKM =  =  = 4h2sin2 αcos α.

Ответ: 4h2sin2 αcos α.

14.4.Площади боковой и полной поверхностей пирамиды

Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней. В этой связи различают боковую и полную поверхности пирамиды, а также их площади.

Площадью боковой поверхности пирамиды (обозначают Sбок) называется сумма площадей всех её боковых граней: Sбок = S1 + S2 + … + Sn, где S1, S2, …, Sn — площади боковых граней пирамиды.

Площадью полной поверхности пирамиды (обозначают Sполн) называется сумма площадей всех её граней, т. е. сумма площади основания пирамиды и площади её боковой поверхности.

Из определения следует: Sполн = Sбок + Sосн.

О площади боковой поверхности правильной пирамиды имеет место следующая теорема.

Теорема 18. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему пирамиды.

Рис. 107

Доказательство. PA1A2An — правильная пирамида, a — длина её апофемы (рис. 107).

Боковые грани правильной пирамиды — равные равнобедренные треугольники, у которых основаниями являются стороны правильного n-угольника A1A2An, а высоты равны апофеме пирамиды, т. е.

РE1 = РE2 = PE3 = … = PEn = a.

Тогда

Sбок = SPA1A2 + SPA2A3 + … +  SPAnA1 =

A1A2PE1 + A2A3PE2 + … + AA1PEn =

a(A1A2 + A2A3 + … + AnA1) = Pa,

где Р — периметр основания пирамиды. Теорема доказана.

Теорема 19. Если все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом ϕ и высота пересекает основание, то Sбок = .

Рис. 108

Доказательство. Пусть отрезок PO — высота пирамиды РA1A2A3An, все боковые грани которой образуют с плоскостью основания углы, равные ϕ (рис. 108); отрезки PH1, PH2, …, PHn — высоты боковых граней. Тогда (по теореме о трёх перпендикулярах) OH1  A1A2, OH2  A2A3, …, OHn  AnA1. Значит,

∠ OH1P = ∠ OH2P = ∠ OH3P = …

… = ∠ OHnP = ϕ.

Так как точка О является центром круга, вписанного в основание пирамиды (почему?), то эта точка лежит внутри n-угольника A1A2A3An. Поэтому n-угольник A1A2An является объединением непересекающихся треугольников A1OA2, A2OA3, …, AnOA1. Эти треугольники являются ортогональными проекциями на плоскость основания пирамиды её соответствующих боковых граней. По теореме о площади ортогональной проекции многоугольника имеем:

S△ A1OA2 = S△ A1PA2cos ϕ,

S△ A2OA3 = S△ A2PA3cos ϕ,

…………………………….

S△ AnOA1 = S△ AnPA1cos ϕ.

Сложив почленно эти равенства, получим Sосн = Sбокcos ϕ, откуда Sбок = . Теорема доказана.

Так как все боковые грани правильной пирамиды образуют с плоскостью основания равные двугранные углы (пусть величина этих углов равна ϕ, см. рис. 107), то для площади боковой поверхности и площади основания правильной пирамиды также справедлива формула

Sбок = .

14.5. Свойства параллельных сечений пирамиды

Если плоскость α параллельна основанию пирамиды и пересекает её, то в сечении пирамиды получается некоторый многоугольник (рис. 109).

Теорема 20. Если пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию, то: 1) боковые рёбра и высота делятся этой плоскостью на пропорциональные части; 2) в сечении получается многоугольник, подобный основанию; 3) площади сечения и основания относятся, как квадраты их расстояний от вершины.

Доказательство. 1) Пусть сечением пирамиды PABCD плоскостью α, параллельной плоскости β её основания, является четырёхугольник A1B1C1D1 (см. рис. 109).

Рис. 109

Проведём высоту РО данной пирамиды и обозначим O1 = РО α.

Рассмотрим гомотетию с центром Р, при которой плоскость основания данной пирамиды отображается на параллельную ей плоскость α (при гомотетии плоскость, не проходящая через центр гомотетии, отображается на параллельную ей плоскость).

Так как при гомотетии её центр является неподвижной точкой, прямая, проходящая через центр гомотетии, отображается на себя, а пересечение двух фигур — на пересечение их образов, то гомотетия отображает основание ABCD пирамиды на её параллельное сечение — многоугольник А1В1С1D1, при этом вершины А, В, С, D основания пирамиды — на вершины соответственно A1, B1, C1, D1, а точку O — на точку O1 (почему?).

Учитывая, что отношение длин гомотетичных отрезков равно коэффициенту гомотетии, получаем:

 =  =  =  =  = k, (*)

где k — коэффициент гомотетии . Это означает, что параллельное сечение пирамиды делит её рёбра и высоту на пропорциональные части. А поскольку гомотетия является подобием, то многоугольник A1B1C1D1, являющийся параллельным сечением пирамиды, подобен её основанию ABCD.

Вследствие того, что отношение площадей гомотетичных фигур равно квадрату коэффициента гомотетии, а k = РO1 : РО, где РO1 и РО — расстояния соответственно параллельного сечения и основания пирамиды от её вершины, то

SA1B1C1D1 : SABCD = k2 = : PO2.

Теорема доказана.

Следствие. Плоскость, параллельная основанию пирамиды и пересекающая её, отсекает пирамиду, подобную данной.

14.6. Усечённая пирамида

Плоскость α, параллельная основанию пирамиды PABCD и пересекающая её, делит эту пирамиду на два многогранника: пирамиду РA1B1C1D1 и многогранник ABCDA1B1C1D1 (см. рис. 109).

Рис. 110

Многогранник ABCDA1B1C1D1 (рис. 110) называют усечённой пирамидой. Грани ABCD и A1B1C1D1, лежащие в параллельных плоскостях, называются соответственно нижним и верхним основаниями усечённой пирамиды, остальные грани — её боковыми гранями. Так как нижнее и верхнее основания усечённой пирамиды гомотетичны (т. 20), то все её боковые грани — трапеции.

Таким образом, усечённой пирамидой называется часть полной пирамиды, заключённая между её основанием и параллельным ему сечением.

У n-угольной усечённой пирамиды 2n вершин, 3n рёбер, (+ 2) грани и n(n – 3) диагоналей.

Высотой усечённой пирамиды называется перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого. Длину этого перпендикуляра также называют высотой усечённой пирамиды. На рисунке 110 отрезки О1О, B1K — высоты усечённой пирамиды.

Рис. 111

Усечённая пирамида называется правильной, если она получена из правильной пирамиды (рис. 111).

Из теоремы 20 следует, что основания правильной усечённой пирамиды — подобные правильные многоугольники, а боковые грани — равные равнобедренные трапеции.

Высоты этих трапеций, соединяющие середины их оснований, называются апофемами усечённой пирамиды. Все её апофемы равны между собой.

Отрезок OO1, соединяющий центры оснований правильной усечённой пирамиды, является её высотой.

Площадью боковой поверхности усечённой пирамиды называется сумма площадей всех её боковых граней.

Для правильной усечённой пирамиды имеет место

Теорема 21. Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров её оснований на апофему.

Для доказательства теоремы достаточно площадь одной из боковых граней пирамиды умножить на их число. В результате получим формулу Sбок = h, где Р1, P2 — периметры нижнего и верхнего оснований усечённой пирамиды, h — её апофема.

Проведите доказательство теоремы самостоятельно.

Полная поверхность усечённой пирамиды — это объединение её оснований и боковой поверхности, поэтому для усечённой пирамиды

Sполн = Sбок + S1 + S2,

где S1 и S2 — площади большего и меньшего оснований этой пирамиды.

Для усечённой пирамиды, у которой все двугранные углы при рёбрах большего основания равны ϕ, справедливо: Sбок = . (Для вывода этой формулы достаточно учесть следующий факт: если R и r — радиусы окружностей, вписанных соответственно в большее и меньшее основания данной пирамиды, то S1 = 0,5P1R, S2 = 0,5P2r, cos ϕ = , где h — высота боковой грани этой пирамиды.)

14.7. Объём пирамиды

Лемма. Две треугольные пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами равновелики.

Доказательство. Пусть пирамиды РАВС и P1A1B1C1 имеют высоты, равные H, и равновеликие основания с площадью S; их объёмы — соответственно V1 и V2. Докажем, что V1 = V2.

Расположим пирамиды РАВС и P1A1B1C1 так, чтобы их основания лежали в одной плоскости, а сами пирамиды были расположены по одну сторону от этой плоскости (рис. 112). Тогда любая плоскость, параллельная плоскости оснований и пересекающая первую пирамиду, пересекает и вторую, причём по теореме о параллельных сечениях пирамиды площади этих сечений равны. Следовательно, на основании принципа Кавальери равны и объёмы этих пирамид. Лемма доказана.

Рис. 112

Теорема 22. Объём любой треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Рис. 113

Доказательство. Пусть А1AВC — данная треугольная пирамида с вершиной A1 и основанием ABC (рис. 113). Дополним эту пирамиду до треугольной призмы ABCA1B1C1 с тем же основанием, одним из боковых рёбер которой является боковое ребро АA1 данной пирамиды. Это означает, что высота призмы равна высоте данной пирамиды.

Призма АВCA1B1C1 является объединением трёх треугольных пирамид с общей вершиной A1: A1ABC, A1BB1C1 и A1BCC1. Основания BB1C1 и BCC1 пирамид A1BB1C1 и A1BCC1 равны, а высота у них общая. Значит, по лемме эти пирамиды имеют равные объёмы.

Будем считать точку В вершиной пирамиды A1BB1C1,A1B1C1 — её основанием. Тогда эта пирамида равновелика пирамиде А1AВС, так как у них общая высота, а основания АВС и A1B1C1 равновелики (как основания призмы). Таким образом, призма ABCA1B1C1 является объединением трёх равновеликих пирамид, одной из которых является данная пирамида A1ABC. Это означает, что объём V пирамиды A1АВС составляет одну треть объёма призмы ABCA1B1C1, т. е. V =  SocнН, где Н — длина высоты призмы. Но построенная призма и данная пирамида имеют общую высоту, длина которой равна Н, следовательно, объём треугольной пирамиды вычисляется по формуле

= SоснH,

где Н — длина высоты данной пирамиды. Теорема доказана. 

Рис. 114

На рисунке 114 изображены треугольная призма ABCDEF и составляющие её три равновеликие треугольные пирамиды ABDF, ABCF и BDEF.

Рис. 115

Для вычисления объёма n-угольной пирамиды PA1A2An (рис. 115) разобьём её основание A1A2An диагоналями A1A3, A1A4, …, A1An1 на треугольники с общей вершиной A1. Тогда данная пирамида разбивается в объединение пирамид PA1A2A3, PA1A3A4, …, PA1An1An с общей вершиной Р и общей высотой, которая равна высоте данной пирамиды. Основаниями этих пирамид являются треугольники разбиения основания данной пирамиды. Это означает (свойство 2 объёмов), что объём V пирамиды PA1A2An равен сумме объёмов V1, V2, …, Vn2 треугольных пирамид соответственно PA1A2A3, PA1A3A4, …, PA1An1An.

Пусть длина высоты пирамиды равна Н, площадь её основания — S, а площади треугольников разбиения этого основания равны S1, S2, …, Sn  2. Это означает, что S1 + S2 + … + Sn  2 = S. Тогда получаем:

V = V1 + V2 + … + Vn  2 = H(S1 + S2 + … + Sn  2) = SH.

Таким образом, объём любой пирамиды вычисляется по формуле

V = SоснH,

где Sосн — площадь основания, Н — длина высоты пирамиды.

Итак, доказана теорема.

Теорема 23. Объём любой пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

14.8. Об объёме тетраэдра

У тетраэдра за основание можно принять любую его грань, на каждую из которых можно провести высоту тетраэдра из вершины, противоположной этой грани. Поэтому для объёма V одного и того же тетраэдра имеют место соотношения

V = S1h1 = S2h2 = S3h3 = S4h4,

где Sk и hk (k = 1, 2, 3, 4) — площадь грани и длина опущенной на неё высоты. Эти соотношения часто используют при решении задач.

Заметим, что не в любом тетраэдре все четыре высоты пересекаются в одной точке (для сравнения — все три высоты любого треугольника пересекаются в одной точке). Тетраэдр, все высоты которого пересекаются в одной точке, называется ортоцентрическим.

Интересен также тетраэдр (рис. 116, а), все грани которого равны. Такой тетраэдр называется равногранным. Его развёрткой является остроугольный треугольник (рис. 116, б).

Докажите самостоятельно, что в равногранном тетраэдре:

скрещивающиеся рёбра попарно равны;

все высоты равны;

сумма плоских углов трёхгранного угла при каждой вершине тетраэдра равна 180°;

двугранные углы при скрещивающихся рёбрах тетраэдра равны.

Рис. 116

Рис. 117

Не менее интересен следующий факт. Пусть дан тетраэдр A1C1BD. Проведём через каждое его ребро плоскость, параллельную скрещивающемуся с ним ребру. Проведённые шесть плоскостей при пересечении образуют некоторый параллелепипед АВСDA1В1C1D1 (рис. 117), параллельные грани ABCD и A1B1C1D1 которого содержат скрещивающиеся рёбра А1C1 и BD данного тетраэдра. Тогда расстояние между основаниями АВСD и А1В1С1D1 полученного параллелепипеда равно длине его высоты и равно расстоянию между скрещивающимися рёбрами А1C1 и BD данного тетраэдра.

Этот параллелепипед можно разбить на пять тетраэдров — данный тетраэдр A1С1ВD и ещё четыре тетраэдра: A1ABD; ВВ1A1C1; C1CBD; DD1A1C1. Объём каждого из четырёх последних тетраэдров равен одной трети высоты h параллелепипеда, умноженной на половину площади его основания ABCD, т. е. шестой части объёма V полученного параллелепипеда.

Таким образом,

где ϕ — угол между диагоналями АС и BD параллелограмма ABCD. А так как AC || A1C1, то величина угла между скрещивающимися диагоналями A1С1 и BD тетраэдра А1С1BD также равна ϕ.

Мы получили: объём тетраэдра равен одной шестой произведения длин любых двух его скрещивающихся рёбер, расстояния между ними и синуса угла между скрещивающимися прямыми, содержащими эти рёбра.

Отметим ещё несколько очевидных и менее очевидных свойств тетраэдров, связанных с их объёмами.

1. Объёмы тетраэдров с равными основаниями относятся как их высоты, опущенные на эти основания.

Рис. 118

2. Объёмы тетраэдров с равными высотами относятся как площади их оснований.

3. Объёмы тетраэдров, имеющих равные трёхгранные углы, относятся, как произведения длин рёбер, образующих эти углы.

Используя рисунок 118, вы сможете легко доказать третье утверждение.

14.9. Объём усечённой пирамиды

Теорема 24. Объём усечённой пирамиды, у которой площади оснований равны S1 и S2, а высота — Н, вычисляется по формуле

V = H(S1 +  + S2).

Рис. 119

Доказательство. Пусть дана усечённая пирамида (рис. 119), у которой S1 > S2, а высота OO1 = H. Дополним эту пирамиду до полной пирамиды с вершиной Р. Объём V данной усечённой пирамиды равен разности объёмов полной и дополнительной пирамид.

Если длина высоты PO1 дополнительной пирамиды равна x, то высота PO полной пирамиды равна H + x.

Выразим х через S1, S2 и Н. По теореме 20 (o площадях параллельных сечений пирамиды) имеем

S1 : S2 = (H + x)2 : x2 :  = (H + x) : x

= .

Поэтому для объёма V усечённой пирамиды находим

что и требовалось доказать.

Добавить комментарий