Как найти вершину угла кривой

Круговые кривые. Железнодорожные линии (также и автомобильные дороги) в плане состоят из прямолинейных участков, сопряжённых между собой кривыми. Наиболее простой и распространённой формой кривой является дуга окружности. Такие кривые носят название круговых кривых. На железных дорогах применяют круговые кривые со следующими радиусами: 4000, 3000, 2000, 1800, 1500, 1200, 1000, 800, 700, 600, 500, 400 и 300 м. Радиус кривой выбирают при проектировании дороги, руководствуясь конкретными техническими условиями.

Главными точками кривой, определяющими её положение на местности, являются вершина угла ВУ, начало кривой НК, середина кривой СК и конец кривой КК (рис. 15.3).

Рис. 15.3 Схема круговой кривой

Основные элементы кривой – её радиус R и угол поворота a. К основным элементам относятся также:

– тангенс кривой Т (или касательная) – отрезок прямой между вершиной угла и началом или концом кривой;

– кривая К – длина кривой от начала кривой до её конца;

– биссектриса кривой Б – отрезок от вершины угла до середины кривой;

– домер Д – разность между длиной двух тангенсов и кривой.

Во время изысканий угол a измеряют, а радиус R назначают. Остальные элементы вычисляют по формулам, вытекающим из прямоугольного треугольника с вершинами ВУ, НК, О (центр окружности):

Т = R×tg(a/2); К = R×a = p R a°¤180°; Б = R [sec(a/2) – 1], (15.1)

где a° – угол поворота в градусах.

Домер вычисляют по формуле

. (15.2)

Вместо вычислений по формулам можно воспользоваться таблицами для разбивки кривых на железных дорогах, где по заданным радиусу и углу поворота сразу находят значения Т, К, Б и Д.

В месте поворота трассы пикетаж ведётся по кривой. Пикетажное положение главных точек кривой определяют по формулам:

ПК НК = ПК ВУ – Т; ПК КК = ПК НК + К; ПК СК = ПК НК + К/2. (15.3)

Правильность вычислений контролируют по формулам:

ПК КК = ПК ВУ + Т – Д; ПК СК = ПК ВУ + Д/2. (15.4)

Пример.

Измерено a = 18°19¢ и задан радиус R = 600 м. Вершина угла расположена на пикете 6 + 36,00.

По формулам (15.1) и (15.2) или по таблицам находим элементы кривой: Т = 96,73 м; К = 191,81 м; Д = 1,65 м; Б = 7,75 м.

Вычислим пикетажное положение главных точек:

Контроль:

ПК ВУ 6 + 36,00 ПК ВУ 6 + 36,00

– Т 96,73 + Т 96,73

ПК НК 5 + 39,27 7 + 32,73

+ К 1 + 91,81 – Д 1,65

ПК КК 7 + 31,08 ПК КК 7 + 31,08

ПК НК 5 + 39,27 ПК ВУ 6 + 36,00

+ К/2 95,90 – Д/2 0,82

ПК СК 6 + 35,17 ПК СК 6 + 35,18

Переходные кривые. Непосредственное сопряжение прямого участка пути с круговой кривой приводит к тому, что во время движения поезда в месте сопряжения внезапно возникает центробежная сила F, прямо пропорциональная квадрату скорости движения v и обратно пропорциональная радиусу кривой . Чтобы обеспечить постепенное нарастание центробежной силы, между прямой и круговой кривой вставляют переходную кривую, радиус кривизны r которой плавно изменяется от ¥ до R. Если положить, чтобы центробежная сила менялась пропорционально расстоянию s от начала кривой, то получим

,

где s и r – текущие значения расстояния от начала переходной кривой и ее радиуса кривизны;

R – радиус кривизны в конце переходной кривой.

Индексом k отмечены значения переменных в конце переходной кривой.

Для радиуса кривизны переходной кривой в текущей точке i найдём:

r = lR/s, (15.5)

где через l обозначена длина переходной кривой s_k. Кривая, описываемая уравнением (15.5), в математике называется клотоидой, или радиоидальной спиралью.

Угол поворота трассы на переходной кривой. На бесконечно малом отрезке кривой ds (рис. 15.4, а) происходит поворот трассы на угол

.

Подставляя выражение радиуса кривизны r из (15.5), получим

.

Выполним интегрирование от начала кривой НК, где j = 0 и s = 0, до текущей точки i:

,

откуда

Rlj = s²/2.

б)

а)

Рис. 15.4 Схема переходной кривой:

а – углы поворота трассы: φ – в текущей точке i, β – в конце

переходной кривой (точка КПК); б – приращения координат

Из полученного уравнения вытекают формулы:

; ; l = 2Rb, (15.6)

где b – угол поворота трассы в конце переходной кривой;

l – длина переходной кривой;

R – радиус кривизны в конце переходной кривой, равный радиусу следующей за нею круговой кривой.

Координаты точки переходной кривой. Совместим начало координат с началом переходной кривой и направим ось x по касательной к ней (см. рис. 15.4, а). Бесконечно малому приращению дуги кривой соответствуют бесконечно малые приращения координат (рис. 15.4, б):

dx = cosj×ds; dy = sinj×ds. (15.7)

Разложим синус и косинус в ряд и, удержав в разложениях по два члена, подставим в них выражения для j из (15.6):

cosj = 1-j²/2 = 1 – s⁴/(8R²l²);

sinj = j – j³/6 = s²/(2Rl) – s⁶/(48R³l³).

Подставляя полученные выражения в (15.7) и выполняя интегрирование, найдём:

; (15.8)

. (15.9)

Смещение начала кривой (сдвижка). На рис. 15.5 дуга НК-КПК представляет собой переходную кривую, переходящую после точки КПК в круговую. Продолжим круговую кривую до точки Q, где её направление, параллельно оси x. Обозначим через m смещение, параллельное оси x, начала переходной кривой относительно точки Q, в которой начиналась бы круговая кривая при отсутствии переходной. Через p обозначим смещение в перпендикулярном направлении. Из рис. 15.5 видно:

,

где x_КПК и y_КПК – координаты конца переходной кривой, вычисляемые по формулам (15.8) и (15.9) с аргументом s = l .

Сочетание круговой кривой с переходными. На рис. 15.6 показана кривая, поворачивающая трассу на угол a и состоящая из круговой части с радиусом R и двух переходных кривых одинаковой длины l.

Рис. 15. 5 Смещение начала переходной кривой	Рис. 15.6 Сопряжение круговой кривой с переходными

Если бы не было переходных кривых, в образованный прямыми линиями трассы угол была бы вписана дуга окружности радиуса R, равная Q-СК-Q₁ и имеющая длину K = Ra.

При наличии переходных кривых на каждой из них происходит поворот трассы на угол b, отчего на долю круговой кривой приходится поворот на угол a-2b. Поэтому суммарная длина кривой равна

K_c = R (a-2b) + 2l = Ra – 2Rb + 2l = K – l + 2l = K + l.

Тангенс и биссектриса определяются по формулам:

Т_с = T + m + T_p; Б_c = Б + Б_p,

где Т_p = ptg(a/2); Б_p = psec(a/2).

Домер в этом случае равен

.

В полевых условиях значения m, Т_p и Б_p вычисляют на микрокалькуляторе или выбирают из таблиц для разбивки кривых на железных дорогах. Пикетажное положение главных точек кривой вычисляют по формулам, аналогичным (15.3) и (15.4).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 2

По МДК 01.01. Технология производства полевых геодезических работ

Количество часов: 6

Тема занятия: «Определение элементов кривой и координат для детальной разбивки»

Наименование работы: расчетно-графическая работа.

Цель занятия:

-закрепление и развитие знаний, полученных при изучении теоретического материала по модулю;

– приобретение профессиональных навыков и умений по производству полевых геодезических работ;

– выполнить расчет элементов кривой и вычислить координаты для ее детальной разбивки, составить схему.

Приобретаемые умения и навыки:

– выполнения полевых геодезических работ на производственном участке;

– обрабатывать результаты полевых измерений;

– рассчитывать координаты опорных точек;

– осуществлять контроль производства геодезических работ;

Учебно-методическое оснащение рабочего места:

1. Инструкционно-технологическая карта.

2. Методические рекомендации.

3. Исходные данные (индивидуально).

Особые правила техники безопасности:

Инструкция по технике безопасности при выполнении камеральных работ.

Правила техники безопасности при выполнении чертежных работ.

Литература

Согласно пункта 4.2 рабочей программы ПМ 01

Исходные данные:

Вариант №__________

1. Пикетажное наименование вершины угла поворота ВУ ___________________

2. Измеренный угол поворота β = ______________

3. Радиус поворота R = _____________

Порядок выполнения практической работы

На всех линейных сооружениях, предназначенных для движения транспорта, в местах изменения направления трассы для сопряжения прямых участков с целью плавного и постепенного поворота движущего транспортного средства устраивают закругления или кривые. Закругления могут быть любыми. Простейшим является дуга окружности определенного радиуса, т.е. круговая кривая.

Конкретное решение о применении радиусов автомобильных, железнодорожных и других кривых принимают в соответствии с конкретными условиями и строительно-техническими нормами того или иного сооружения.

Разбивочные работы круговых кривых делятся на два этапа:

1. Разбивка главных точек круговой кривой выполняется одновременно с разбивкой пикетажа. Цель – определить пикетажное наименование конца кривой и затем продолжить разбивку пикетажа.

2. Детальная разбивка кривых – выполняется в период строительства.

Круговая кривая характеризуется четырьмя главными точками и шестью основными элементами.

Главными точками кривой, которые определяют положение кривой на местности, являются:

– вершина угла ВУ;

– начало кривой НК;

– середина кривой СК;

– конец кривой КК.

Рис.1 Главные точки кривой.

Основными элементами кривой, которые определяют положение главных точек, являются:

– угол поворота трассы – α;

– радиус закругления – R;

– длина кривой вставки – К;

– тангенсы – Т;

– биссектриса – Б;

– домер – Д.

Все линейные величины выражаются в метрах до сотых.

Во время изысканий угол α вычисляют, а радиус R назначают. Остальные элементы находят по формулам, вытекающим из прямоугольного треугольника с вершинами ВУ, НК, О (рис. 1).

Ход работы

1. Вычисляем угол поворота трассы – α:

α = 180⁰ – β

______________________________________________________________________________________

2. Вычисляем тангенс по формуле:

Т = R*tg*α/2

____________________________________________________________________________________

3. Вычисляем длину кривой по формуле:

K = α/180⁰*πR

_____________________________________________________________________________________

4. Вычисляем биссектрису по формуле:

Б = R(sek α/2 – 1) = (√R² + T² )– R

_____________________________________________________________________________________

5. Вычисляем домер по формуле:

D = 2T – K

__________________________________________________________________________________________

Все элементы кривой можно вычислить по вышеприведенным формулам. Но так как Т, K, Б и Д находятся в прямой зависимости от угла поворота и радиуса, то для их определения составлены специальные таблицы которыми пользуются для быстрой разбивки кривых.

6. Вычисляем пикетажные значения главных точек кривой, то есть определяем на каких пикетах и плюсовых точках они находятся. Для этого используем ниже следующие формулы:

НК = ВУ – Т =_______________________________________________________________________________

КК = НК + К=_______________________________________________________________________________

СК = НК + К/2=______________________________________________________________________________

Контроль:

КК = ВУ + Т – Д = ___________________________________________________________________________

КК = ВУ – Т + К =___________________________________________________________________________

СК = КК – К/2 =_____________________________________________________________________________

Расхождения в расчетах по двум формулам должны быть не более 0,01 м.

7. Вычерчиваем схему, на которую наносим все вычисленные величины и пикетажные наименования, необходимые для закрепления главных точек кривой и дальнейшей разбивки трассы.

Вывод:___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Выполнил:____________________________________________________________________________

Исходные данные к практической работе:

«Определение элементов кривой и координат для детальной разбивки»

2. Определение координат для детальной разбивки кривой.

По трем главным точкам НК, СК и КК точно построить кривую на местности невозможно, поэтому при строительстве трассы её обозначают рядом дополнительных точек. Данные работы называются детальной разбивкой кривой.

Расстояние между соседними точками на кривой  К  при детальной разбивке зависит от её радиуса R и характера сооружения, однако чем меньше R кривой, тем меньше значение К тем меньше промежутки k.

–  если R > 500 м, то  k = 20 м;

– если 500 > R > 100 м, то k = 10 м;

– если R ≤ 100 м, то k = 5 м.

Задание № 2 Определить координаты для детальной разбивки кривой применяя способ прямоугольных координат от тангенсов.

Ход работы:

1. За начало координат принимаем точку М – НК начало круговой кривой.

2. Тангенс МА принимаем за ось абсцисс (Х), а радиус МО за ось ординат (У).

3. Положение точки N, кривой в принятой системе  координат определяется абсциссой X₁ и ординатой Y₁.

4. Из прямоугольника ON1  находим Х₁ и У₁ используя формулы:

5. Угол φ находим в зависимости от длины дуги k, через которую производится разбивка кривой, используя формулу:

________________ φ = ______________________________________________

6. Для точек 2, 3 и т.д. координаты вычисляем, подставляя в вышеприведенные формулы углы 2φ, 3φ и т.д. до середины кривой:

7. На основании вычислений строим чертеж детальной разбивки круговой кривой способом прямоугольных координат. Масштаб подобран индивидуально:__1:_________

Вдоль тангенсов (ось абсцисс) откладываем длины х, восстанавливаем прямой угол в полученной точке. Точка 1 круговой кривой фиксируется расстоянием у, отмеренным по перпендикуляру. Так же получем другие точки круговой кривой. Вторую половину круговой кривой разбиваем от ее конца, выполняя аналогичные действия и используя значения х и у, полученные для первой половины.

Таблица 1 – Вычисление координат для детальной разбивки кривой

точки

Формула для Хп

Координаты по Х

Формула для Уп

Координаты по У

№ точки

1

Х₁=Rφ

У₁=2R ² φ/2

2

Х₂=R2φ

У₂=2R ² φ

3

Х₃=R3φ

У₃=2R ² 3φ/2

4

Х₄=R4φ

У₄=2R ² 4φ/2

5

Х₅=R5φ

У₅=2R ² 5φ/2

6

Х₆=R6φ

У₆=2R ² 6φ/2

7

Х₇=R7φ

У₇=2R ² 7φ/2

8

Х₈=R8φ

У₈=2R ² 8φ/2

9

Х₉=R9φ

У₉=2R ² 9φ/2

10

Х₁₀=R10φ

У₁₀=2R ² 10φ/2

11

Х₁₁=R11φ

У₁₁=2R ² 11φ/2

12

Х₁₂=R12φ

У₁₂=2R ² 12φ/2

13

Х₁₃=R13φ

У₁₃=2R ² 13φ/2

14

Х₁₄=R14φ

У₁₄=2R ² 14φ/2

Вывод:___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Выполнил:____________________________________________________________________________