Как найти вершину в треугольнике формула - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Вершина треугольника – определение

В геометрии нередко рассматривают такое понятие, как «вершина треугольника». Это точка пересечения двух сторон данной фигуры. Практически в каждой задаче встречается это понятие, поэтому имеет смысл рассмотреть его более подробно.

Определение вершины треугольника

В треугольнике есть три точки пересечения сторон, образующие три угла. Их называют вершинами, а стороны, на которые они опираются – сторонами треугольника.

Рис. 1. Вершина в треугольнике.

Вершины в треугольниках обозначают большими латинскими буквами. Поэтому чаще всего в математике стороны обозначают двумя заглавными латинскими буквами, по названию вершин, которые входят в стороны. Например стороной АВ называют сторону треугольника, соединяющую вершины А и В.

Рис. 2. Обозначение вершин в треугольнике.

Характеристики понятия

Если взять произвольно ориентированный в плоскости треугольник, то на практике очень удобно выразить его геометрические характеристики через координаты вершин этой фигуры. Так, вершину А треугольника можно выразить точкой с определенными числовыми параметрами А(х; y).

Зная координаты вершин треугольника можно найти точки пересечения медиан, длину высоты, опущенную на одну из сторон фигуры, и площадь треугольника.

Для этого используются свойства векторов, изображаемых в системе декартовой системе координат, ведь длина стороны треугольника определятся через длину вектора с точками, в которых находятся соответствующие вершины этой фигуры.

Использование вершины треугольника

При любой вершине треугольника можно найти угол, который будет смежным внутреннему углу рассматриваемой фигуры. Для этого придется продлить одну из сторон треугольника. Поскольку сторон при каждой вершин две, то и внешних углов при каждой вершине два. Внешний угол равен сумме двух внутренних углов треугольника, несмежных с ним.

Рис. 3. Свойство внешнего угла треугольника.

Если построить при одной вершине два внешних угла, то они будут равны, как вертикальные.

Что мы узнали?

Одним из важных понятий геометрии при рассмотрении различных типов треугольников является вершина. Это точка, где пересекаются две стороны угла данной геометрической фигуры. Ее обозначают одной из больших букв латинского алфавита. Вершину треугольника можно выразить через координаты x и y, это помогает определять длину стороны треугольника как длину вектора.

Как найти вершину треугольника формула

Типы треугольников

По величине углов

По числу равных сторон

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a	=	b	=	c	= 2R
sin α	sin β	sin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 – 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Медианы треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

m_a = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 – a 2

m_b = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 – b 2

m_c = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 – c 2

Биссектрисы треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

l_a = 2√ bcp ( p – a ) b + c

l_b = 2√ acp ( p – b ) a + c

l_c = 2√ abp ( p – c ) a + b

где p = a + b + c 2 – полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

l_a = 2 bc cos α 2 b + c

l_b = 2 ac cos β 2 a + c

l_c = 2 ab cos γ 2 a + b

Высоты треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

h_a = b sin γ = c sin β

h_b = c sin α = a sin γ

h_c = a sin β = b sin α

Окружность вписанная в треугольник

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b – c )( b + c – a )( c + a – b ) 4( a + b + c )

Окружность описанная вокруг треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Формулы площади треугольника

Формула Герона

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

∆MNK => α = α ₁, β = β ₁, γ = γ ₁ и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k – коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

2 ответа 2

Пусть A , B — вершины основания, C — неизвестная вершина. Если дана сумма s длин боковых сторон, то каждая из сторон равна половине этой суммы. Итак, AC = BC = s/2 .

Пусть M — середина AB (её координаты равны полусумме координат A и B ). Тогда CM — высота, из прямоугольного треугольника AMC имеем:

(Если под корнем отрицательное число, задача, очевидно, не имеет решений.)

Итак, у нас есть длина вектора MC , его направление найти несложно, учитывая, что он перпендикулярен вектору AB : если (p, q) — вектор AB , то вектор (-q, p) перпендикулярен ему, вектор (-q/l, p/l) (где l = sqrt(p^2 + q^2) ) перпендикулярен AB и имеет длину 1, а вектор (-q/l*L, p/l*L) (где L — рассчитанная раньше длина CM ) перпендикулярен AB и имеет длину, равную длине MC .

Таким образом, у нас есть вектор MC . Прибавляя его координаты к координатам точки M , мы получаем точку C .

Заметьте, что у нас возможно 2 решения, отличающиеся знаком вектора MC : для получения второго решения поменяйте знак у MC из первого решения.

Эта и другие подобные задачи будут кодироваться очень легко, если в вашем арсенале есть классы, представляющие точку, вектор, и определены операции над ними. Например, в моём коде обычно решение выглядит так (C#):

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

a , b , c – стороны произвольного треугольника

α , β , γ – противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a , b – катеты

c – гипотенуза

α , β – острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Формулы для катета, ( b ):

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b – сторона (основание)

a – равные стороны

α – углы при основании

β – угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Формулы длины равных сторон , (a):

4. Найти длину высоты треугольника

Высота– перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется – ортоцентр.

H – высота треугольника

a – сторона, основание

b, c – стороны

β , γ – углы при основании

p – полупериметр, p=(a+b+c)/2

R – радиус описанной окружности

S – площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Что такое вершина треугольника

Определение вершины треугольника

Вершина треугольника – это точка, в которой соединяется две его стороны.

В треугольнике три вершины.

Вершины принято обозначать заглавными буквами греческого алфавита, например, $A$, $B$, $C$.

Задание. Какие из точек на рисунке 1 являются вершинами треугольника?

Ответ. Вершинами треугольника являются точки $A$, $B$, $K$.

[spoiler title=”источники:”]

http://dudom.ru/kompjutery/kak-najti-vershinu-treugolnika-formula/

http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_20_6.php

[/spoiler]

Источник

Треугольник

Треугольник — это замкнутая ломаная линия, состоящая из трёх звеньев:

Вершины ломаной называются вершинами треугольника, а её звенья — сторонами треугольника. Углы, образованные двумя сторона треугольника, называются углами треугольника:

В треугольнике ABC вершины A, B и C — это вершины треугольника, звенья AB, BC и CA — стороны треугольника. Три угла — ∠ABC, ∠BCA и ∠CAB — углы треугольника. Часто углы треугольника обозначаются только одной буквой: ∠A, ∠B, ∠C.

Треугольник обычно обозначается тремя буквами, стоящими при его вершинах. Например, треугольник ABC, или BCA, или CBA. Вместо слова треугольник часто используется знак />. Так, запись />ABC будет читаться: треугольник ABC .

У каждого треугольника 3 вершины, 3 стороны и 3 угла.

Высота

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на его основание. Высота треугольника может быть опущена и на продолжение основания.

Отрезок BN — это высота />ABC. Отрезок EL высота />DEF, опущенная на продолжение стороны DF.

Длина высоты — это длина отрезка от вершины угла до пересечения с основанием.

Каждый треугольник имеет три высоты.

Биссектриса

Биссектриса угла треугольника — прямая, делящая угол треугольника пополам. Длина отрезка этой прямой от вершины угла до точки пересечения с противоположной стороной называется длиной биссектрисы.

Отрезок BN — это биссектриса ABC.

Каждый треугольник имеет три биссектрисы.

Медиана

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Длина этого отрезка называется длиной медианы.

Отрезок BN — это медиана ABC.

Как найти вершину треугольника формула

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a	=	b	=	c	= 2R
sin α	sin β	sin γ

Теорема косинусов

a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 – 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Медианы треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

m_a = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 – a 2

m_b = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 – b 2

m_c = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 – c 2

Биссектрисы треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

l_a = 2√ bcp ( p – a ) b + c

l_b = 2√ acp ( p – b ) a + c

l_c = 2√ abp ( p – c ) a + b

где p = a + b + c 2 – полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

l_a = 2 bc cos α 2 b + c

l_b = 2 ac cos β 2 a + c

l_c = 2 ab cos γ 2 a + b

Высоты треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

h_a = b sin γ = c sin β

h_b = c sin α = a sin γ

h_c = a sin β = b sin α

Окружность вписанная в треугольник

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b – c )( b + c – a )( c + a – b ) 4( a + b + c )

Окружность описанная вокруг треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Формулы площади треугольника

Формула Герона

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

∆MNK => α = α ₁, β = β ₁, γ = γ ₁ и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k – коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

2 ответа 2

(Если под корнем отрицательное число, задача, очевидно, не имеет решений.)

Таким образом, у нас есть вектор MC . Прибавляя его координаты к координатам точки M , мы получаем точку C .

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

a , b , c – стороны произвольного треугольника

α , β , γ – противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a , b – катеты

c – гипотенуза

α , β – острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Формулы для катета, ( b ):

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b – сторона (основание)

a – равные стороны

α – углы при основании

β – угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Формулы длины равных сторон , (a):

4. Найти длину высоты треугольника

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется – ортоцентр.

H – высота треугольника

Вершина треугольника

Определение вершины треугольника

Рис. 1. Вершина в треугольнике.

Рис. 2. Обозначение вершин в треугольнике.

Характеристики понятия

Использование вершины треугольника

Рис. 3. Свойство внешнего угла треугольника.

Если построить при одной вершине два внешних угла, то они будут равны, как вертикальные.

Что мы узнали?

Источник

Вершина треугольника

4.2

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 215.

4.2

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 215.

Определение вершины треугольника

Рис. 1. Вершина в треугольнике.

Рис. 2. Обозначение вершин в треугольнике.

Характеристики понятия

Использование вершины треугольника

Рис. 3. Свойство внешнего угла треугольника.

Если построить при одной вершине два внешних угла, то они будут равны, как вертикальные.

Что мы узнали?

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда – пройдите тест.

Лёня Кондратьев

5/5
Али Юсупов

3/5

Оценка статьи

4.2

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 215.

А какая ваша оценка?

Источник

Раз уж вы нашли косинус и синус угла в треугольнике – дальше вы можете просто повернуть на этот угол вектор одной из сторон и получить направление второй стороны, а дальше нужно лишь изменить длину вектора.

Но есть и решение в векторах, вообще без тригонометрии.

Рассмотрим задачу в общем виде: у нас заданы вершины A и B, нам надо найти третью вершину треугольника С зная прилежащие к ней стороны – AC=a и BC=b соответственно. Построим окружности нужных радиусов с центрами в точках A и B, и тогда точка C как раз будет на их пересечении:

Обозначим через rA, rB и rC радиус-векторы точек. Тогда получаем следующую систему уравнений:

(rC-rA)² = a²
(rC-rB)² = b²

Решив её относительно rC можно получить ответ. Для решения первым делом вычтем одно уравнение из другого, чтобы избавиться от квадрата rC:

(rC-rA)² - (rC-rB)² = a² - b²
(rC² - 2rCrA + rA²) - (rC² - 2rCrB + rB²) = a² - b²
2rC(rB-rA) + rA² - rB² = a² - b²
2rC(rB-rA) = a² - b² - (rA² - rB²)

У нас получилось, внезапно или не очень, уравнение прямой в одном из своих форм. Этой прямой по построению принадлежат точки C и C’ – значит, это уравнение прямой CC’. Кстати, разности rB – rA будет в дальнейшем встречаться часто, поэтому обозначим её как AB (потому что это и есть вектор стороны AB).

В принципе, на этом этапе можно перейти от векторного вида к координатному, выразить через это уравнение переменную y через x или наоборот, подставить в любое уравнение окружности и решить обыкновенное квадратное уравнение. Однако, любого кто так попытается сделать, ожидает засада под названием “сингулярность”: если прямая CC’ вертикальная, то при попытке выразить y через x в формуле будет деление на ноль, а если она горизонтальная – деление на ноль будет при попытке выразить x через y.

Можно было бы просто разобрать два случая, но есть вариант лучше. Для этого надо перейти к параметрическому виду уравнения прямой СС’. Напомню, что параметрический вид уравнения прямой выглядит вот так:

r = r0 + t u

Чтобы получить параметрическое уравнение прямой, нужно знать направляющий вектор и любую точку на этой прямой. Точки C и С’ мы узнать не можем (точнее можем, но если узнаем – задача будет уже решена), поэтому попытаемся найти точку пересечения прямых CC’ и AB.

Это сделать не так сложно как кажется, потому что у нас есть уравнение прямой CC’ и мы можем составить параметрическое уравнение прямой AB:

r = rA + tAB
2r·AB = a² - b² - (rA² - rB²)

Подставим первое уравнение во второе и решим его относительно переменной t:

2(rA + tAB)·AB = a² - b² - (rA² - rB²)

2rA·AB + 2t AB² = a² - b² - (rA² - rB²)

t = (a² - b² - rA² + rB² - 2rA·AB) / 2AB²

t = (a² - b² - rA² + rB² + 2rA² - 2rA·rB) / 2AB²

t = (a² - b² + rA² + rB² - 2rA·rB) / 2AB²

t = (a² - b² + (rA - rB)²) / 2AB²

t = (a² - b² + AB²) / 2AB²

Осталось подставить эту переменную обратно в параметрическое уравнение:

t = (a² - b² + AB²) / 2AB²
r0 = rA + tAB

Формула выглядит страшно, но не имеет сингулярностей пока A и B – разные точки. Даже в случае некорректных начальных данных у тут будет какое-то решение.

Кстати, для проверки корректности формулы можно подставить сюда вырожденные треугольники: при a=0, b=AB точка r0 окажется равна rA; а при a=AB, b=0 точка r0 окажется равна rB. Пока всё нормально.

И так, у нас есть точка r0, осталось найти направляющий вектор прямой CC’. Ну, это тоже просто: надо лишь взять вектор AB и повернуть его на прямой угол в любую сторону. Это делается тоже просто, если вектор AB был с координатами (xB – xA, yB – yA) – то повёрнутый будет с координатами (-yB + yA, xB – xA). Почему так – объясняется по ссылке, которую я уже приводил ранее. Обозначим его через AB^.

Ну, теперь у нас есть параметрическое уравнение прямой CC’ и уравнение одной из окружностей, осталось их пересечь и мы найдём точки C и C’.

rC = r0 + k AB^
(rC-rA)² = a²

И снова мы можем просто подставить одно уравнение в другое (вот почему я так люблю параметрические уравнения прямых в задачах на геометрию!):

(r0-rA + k AB^)² = a²

k² AB^² + 2k AB^ (r0-rA) + (r0-rA)² - a² = 0

Тут есть и дальнейшие упрощения: вектор r0–rA сонаправлен AB, а потому при умножении на AB^ будет чистый ноль, можно и не считать. Кстати, длина вектора AB^ равна длине вектора AB, что тоже позволяет чуть упростить формулу.

Суммируя всё что написано выше, получаем следующую систему уравнений:

t = (a² - b² + AB²) / 2AB²
k² AB² = a² - t² AB²
r0 = rA + t AB
rC = r0 + k AB^

Осталось решить примитивное квадратное уравнение:

t = (a² - b² + AB²) / 2AB²
k = ± sqrt(a² / AB² - t²)
rC = rA + t AB + k AB^

Дальше осталось перейти от векторов к координатам и решение готово.

Источник

Внешний угол треугольника. Теорема о внешнем угле
- Свойства внешнего угла
ДЛИНА ОТРЕЗКА. ТРЕУГОЛЬНИК
Калькулятор вершин треугольника
- Каковы вершины треугольника?
- Инструкции по использованию нашего калькулятора вершин треугольника
- Как найти вершины треугольника — вершины треугольника формула
- Часто задаваемые вопросы
  - Сколько сторон и вершин у треугольника?
  - Как найти вершины треугольника, используя середины?
Нахождение вершин треугольника через середины треугольника (геометрия)
- - - - Здоровье и фитнес
  - Правила ответа:
    - Featured Events
    - Bach to Rock Wyckoff Winter Open House / Caroling Fun in Boulder Run
    - Мужской хор Orpheus Club
    - ПЕРМОНТ Праздничный рынок

Внешний угол треугольника. Теорема о внешнем угле

Содержание

Мы привыкли рассматривать треугольники, в особенности их углы, только «изнутри». Однако, знаете ли, «снаружи» треугольника тоже кипит жизнь. В этом уроке предлагаем узнать, что в геометрии треугольников имеется также внешний угол. А что же такое внешний угол? Какие свойства внешнего угла треугольника существуют? Может, есть какая-нибудь теорема о внешнем угле треугольника? Вот, сейчас будем все выяснять.

Что такое внешний угол?

Начертим треугольник $bigtriangleup{ABC}$ и построим при вершине $B$ угол, смежный с $angle{B}$. Теперь в $bigtriangleup{ABC}$ при вершине $B$ появилось два угла — один «внутри», другой «снаружи». Угол «снаружи» называется внешним углом при вершине $B$. Дадим ему определение.

Внешний угол при данной вершине — угол, смежный с углом треугольника при этой вершине.

Как обозначается внешний угол?

Углы в треугольнике обозначаются согласно вершинам, где они располагаются, либо по трем точкам.

Например, в треугольнике $bigtriangleup{ABC}$ угол при вершине $B$ обозначается как $angle{B}$, либо как $angle{ABC}$. А если при вершине $B$ в том числе имеется внешний угол? Его тоже обозначать как $angle{B}$?

Или лучше указать дополнительную точку на продолжении стороны? Вопрос отличный. Для того, чтобы подобной путаницы не возникало, в геометрии принят термин «внутренний угол».

К примеру, в ходе задачи или доказательства вы пользуетесь внешним углом при некоторой вершине. Скажем, вновь при вершине $B$ в треугольнике $bigtriangleup{ABC}$. Когда вы ссылаетесь к углу треугольника внутри, можно уточнить: «Внутренний угол $angle{B}$».

Когда ссылаетесь к углу снаружи, уточняйте: «Внешний угол $angle{B}$».

Способ с уточнениями «внутренний угол», «внешний угол» проще и не требует дополнительных точек. К тому же, такое обозначение облегчает понимание, где в треугольнике располагается угол. Ведь вы акцентируете внимание только на вершине.

Такое особенно полезно, когда решения или чертежи к задачам громоздкие. Бывает, что при одной вершине нужно рассматривать два внешних угла. Они все равно равны как вертикальные, но все же… Мало ли. Тут удобнее дать углам обозначение в стиле «$angle{1}$» или, например, «$angle{x}$».

{"questions":[{"content":"[[image-1]] В треугольнике $\bigtriangleup{AHF}$ при вершине $A$ построен внешний угол. Как этот угол можно обозначить? Выберите <i><b>все</b></i> подходящие варианты. [[choice-5]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/04/test-O.svg"},"choice-5":{"type":"choice","options":["$\angle{A}$","Внешний $\angle{A}$","$\angle{OAH}$","$\angle{OAF}$"],"answer":[1,2]}}}]}

Теорема о внешнем угле треугольника

Применим наши знания теоремы о сумме углов треугольника к внешним углам. \circ$»,»answer»:»110″}}}]}

Теорема о внешнем угле треугольника: доказательство Евклида

Официально теорему о внешнем угле треугольника впервые доказал Евклид — древнегреческий математик, считающийся «отцом геометрии». Примечательно, что его доказательство не имеет ничего общего с теоремой о сумме углов треугольника — математик воспользовался свойствами углов при параллельных и секущей. Оно в принципе и понятно: Евклид огромное количество времени посвятил изучению параллельных прямых.

В качестве практики и повторения материала по параллельным прямым и секущим мы приводим евклидовое доказательство. Оно очень даже достойно внимания. Итак, посмотрим, как внешний угол треугольника «общается» с параллельными прямыми.

Доказательство

Рассмотрим $bigtriangleup{ABC}$ с внешним углом при вершине $B$. Проведем через эту вершину луч, параллельный стороне $AC$. Отметим на полученном луче точку $B_1$. На продолжении стороны $AB$ отметим точку $B_2$.

Теперь рассмотрим параллельные отрезки $BB_1$ и $AC$ при секущей $AB$. Внутренний угол $angle{A}$ и угол $angle{B_{1}BB_2}$ равны как соответственные. Далее рассмотрим отрезки $BB_1$ и $AC$ при секущей $CB$. Углы $angle{B_{1}BC}$ и $angle{ACB}$ равны как накрест лежащие.

Видим, что внешний $angle{B}$ состоит из суммы внутренних углов $angle{A}$ и $angle{C}$. Что и требовалось доказать.

Свойства внешнего угла

Не сказать, что свойства внешнего угла многочисленные. В основном, когда затрагивается внешний угол, для решения задач или доказательства чего-либо хватает теоремы о внешнем угле треугольника. Ну, и смежности внутреннего и внешнего углов.

То есть базового определения.

Правда если к делу подключается биссектриса, свойства внешнего угла, помимо «классических», таки обнаруживаются. Разберем одно наиболее полезное.

Свойство биссектрис внешнего и внутреннего углов треугольника. circ$.

ДЛИНА ОТРЕЗКА. ТРЕУГОЛЬНИК

УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ И СТРУКТУРА УРОКА МАТЕМАТИКИ В ПЯТОМ КЛАССЕ НА ТЕМУ

«ОТРЕЗОК. ДЛИНА ОТРЕЗКА. ТРЕУГОЛЬНИК»

УЧЕБНЫЙ ПАРАГРАФ

Отрезок. На этом уроке вы познакомитесь с некоторыми понятиями геометрии. Геометрия – наука об «измерении земли». Это слово происходит от латинских слов: geo – земля и metr – мера, мерить. В геометрии изучаются различные геометрические объекты, их свойства и связи с окружающим миром. Простейшие геометрические объекты – это точка, линия, поверхность. Более сложные геометрические объекты – геометрические фигуры и тела.

Длина отрезка. Если приложить к двум точкам А и В линейку и вдоль нее провести линию, соединяющую эти точки, то мы получим отрезок, который называют АВ или ВА (читаем: «а – бэ», «бэ– а»). Точки А и В называются концами отрезка (рисунок 1).

Расстояние между концами отрезка, измеренное в единицах длины, называется длиной отрезка. .рис1

Единицы длины. Единицы длины: м – метр, см — сантиметр, дм – дециметр, мм – миллиметр, км – километр и др. (1 км = 1000 м; 1м =10 дм; 1 дм = 10 см; 1 см = 10 мм). Для измерения длины отрезков используют линейку, рулетку. Измерить длину отрезка, значит, выяснить, сколько раз в нем укладывается та или иная мера длины.

Равные отрезки. Равными называются два отрезка, которые можно совместить, наложив один на другой (рисунок 2). Например, можно вырезать реально или мысленно один из отрезков и приложить к другому так, чтобы совпали их концы. Если отрезки АВ и СК равны, то пишут    АВ = СК. Равные отрезки имеют равные длины. Верно обратное: два отрезка, имеющие равные длины, равны. Если два отрезка имеют различные длины, то они не равны. Из двух неравных отрезков меньше тот, который составляет часть другого отрезка.

Сравнивать отрезки наложением можно, используя циркуль.

Прямая и луч. Если мысленно продлить отрезок АВ в обе стороны до бесконечности, то мы получим представление о прямой АВ (рисунок 3). Любая точка, лежащая на прямой, разбивает ее на два луча (рисунок 4). Точка С разбивает прямую АВ на два луча СА и СВ. Точка С называется началом луча.

Треугольник. Если три точки, не лежащие на одной прямой, соединить отрезками, то получим фигуру, называемую треугольником. Данные точки называются вершинами

треугольника, а отрезки, их соединяющие, сторонами треугольника (рисунок 5). FNM — треугольник, отрезки FN, NM, FM – стороны треугольника, точки F, N, M – вершины треугольника. Стороны всех треугольников обладают следующим свойством: длина любой из сторон треугольника всегда меньше суммы длин двух других его сторон.

Плоскость. Если мысленно продлить во все стороны, например, поверхность крышки стола, то получим представление о плоскости. Точки, отрезки, прямые, лучи располагаются на плоскости (рисунок 6).

ОБУЧАЮЩИЕ БЛОКИ. Блок 1. Дополнительный

Мир, в котором мы живем, все, что нас окружает, древние называли природой или космосом. Пространство, в котором мы живем, считается трехмерным, т.е. имеет три измерения. Их часто называют: длина, ширина и высота (например, длина комнаты 4 м, ширина комнаты 2 м и высота 3 м).

Представление о геометрической (математической) точке дает нам звезда на ночном небе, точка в конце этого предложения, след от иглы и т.д. Однако все перечисленные объекты имеют размеры, в отличие от них размеры геометрической точки считаются равными нулю (её измерения равны нулю). Поэтому реальную математическую точку можно лишь мысленно представить. Можно также сказать, в каком месте она находится. Поставив авторучкой в тетради точку, мы не изобразим геометрическую точку, но будем считать, что построенный объект есть геометрическая точка (рисунок 7). Точки обозначают заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C, D, (читают «точка а, точка бэ, точка цэ, точка дэ»)

Провода, висящие на столбах, видимая линия горизонта (граница между небом и землей или водой), русло реки, изображенное на карте, гимнастический обруч, струя воды, бьющая из фонтана дают нам представление о линиях (рисунок 8). Различают замкнутые и незамкнутые линии, гладкие и негладкие линии, линии с самопересечением и без самопересечения (рисунок 9).

Лист бумаги, лазерный диск, оболочка футбольного мяча, картон упаковочной коробки, новогодняя пластиковая маска и т.д. дают нам представление о поверхностях    (рисунок 10). Когда красят пол комнаты или автомобиль, то покрывают краской именно поверхность пола или автомобиля.

Тело человека, камень, кирпич, головка сыра, мяч, ледяная сосулька и т.д. дают нам представление о геометрических телах (рисунок 12).

Наиболее простая из всех линий – это прямая. Приложим к листу бумаги линейку и проведем карандашом вдоль неё прямую линию. Мысленно продолжив эту линию до бесконечности в обе стороны, мы получим представление о прямой. Считают, что прямая имеет одно измерение – длину, а два других ее измерения равны нулю (рисунок 13).

При решении задач прямую изображают в виде линии, которую проводят вдоль линейки карандашом или мелом. Прямые обозначаются строчными латинскими буквами: a, b, n, m (рисунок 13). Можно обозначать прямую также двумя буквами, соответствующими точкам, лежащим на ней. Например, прямую n на рисунке 13 можно обозначить: АВ или ВА, АD или DА, DВ или ВD.

Точки могут лежать на прямой (принадлежать прямой) и не лежать на прямой (не принадлежать прямой). На рисунке 13 изображены точки A, D, B, лежащие на прямой AB (принадлежащие прямой AB). При этом пишут . Читают: точка A принадлежит прямой AB, точка В принадлежит AB, точка D принадлежит АВ. Точка D принадлежит также и прямой m, ее называют общей точкой. В точке D прямые AB и m пересекаются. Точки P и R не принадлежат прямым AB и m:

Через любые две точки всегда можно провести прямую и причем только одну. Из всех видов линий, соединяющих любые две точки, наименьшую длину имеет отрезок, концами которого служат данные точки (рисунок 14).

Фигура, которая состоит из точек и соединяющих их отрезков называется ломаной (рисунок 15). Отрезки, образующие ломаную, называются звеньями ломаной, а их концы — вершинами ломаной. Называют (обозначают) ломаную, перечисляя по порядку все ее вершины, например, ломаная ABCDEFG. Длиной ломаной называется сумма длин ее звеньев. Значит, длина ломаной ABCDEFG равна сумме: AB + BC + CD + DE + EF + FG.

Замкнутая ломаная называется многоугольником, ее вершины называются вершинами многоугольника, а ее звенья сторонами многоугольника (рисунок 16). Называют (обозначают) многоугольник, перечисляя по порядку все его вершины, начиная с любой, например, многоугольник (семиугольник) ABCDEFG , многоугольник (пятиугольник) RTPKL: рис17

Сумма длин всех сторон многоугольника называется периметром многоугольника и обозначается латинской буквой p (читаем: пэ). Периметры многоугольников на рисунке 16:

P_ABCDEFG = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GA.

P_RTPKL= RT + TP + PK + KL + LR.

Мысленно продлив поверхность крышки стола или оконного стекла до бесконечности во все стороны, получим представление о поверхности, которая называется плоскостью (рисунок 17). Обозначают плоскости малыми буквами греческого алфавита: α, β, γ, δ,… (читаем: плоскость альфа, бетта, гамма, дельта, и т.д.). рис 18

Калькулятор вершин треугольника

Вы хотите научиться вычислять вершины треугольника по математике? У вас есть треугольник, для которого вы хотели бы найти вершины? Если вы ответили утвердительно на любой из этих вопросов, вы попали по адресу.

Наш калькулятор вершин треугольника поможет вам найти координаты вершин, используя координаты средних точек.

Продолжайте читать, чтобы узнать:

Что такое вершина треугольника;

Как использовать наш калькулятор вершин треугольника; и

Как найти вершины треугольника, используя середины.

Каковы вершины треугольника?

Точка, в которой встречаются две стороны треугольника, называется вершиной. Слово, используемое для обозначения более чем одной вершины, — вершины.

Инструкции по использованию нашего калькулятора вершин треугольника

Чтобы найти вершины треугольника AAA, BBB и CCC , вам нужно вставить xxx и yyy координаты средних точек DDD, EEE и FFF, и наш калькулятор сгенерирует координаты вершин в режиме реального времени.

Как найти вершины треугольника — вершины треугольника формула

Рассмотрим следующую задачу.

Треугольник имеет вершины AAA, BBB и CCC. Середины сторон, обозначенные DDD, EEE и FFF, равны (2,32, 32,3), (4,34, 34,3) и (3,13, 13,1) соответственно. Как нам найти вершины, используя эти средние точки?

Поймите, что: DDD это (x1,y1x_1, y_1x1,y1), EEE это (x2,y2x_2, y_2x2,y2), а FFF это (x3,y3x_3, y_3x3,y3)

Используя формулу средней точки:
Найдите вершину AAA:

A=(x1+x3-x2,y1+y3-y2)A = (x_1+ x_3 — x_2, y_1 + y_3-y_2)
A=(x1+x3−x2,y1+y3−y2)

Подставьте значения:

A=(2+3−4,3+1−3)A = ( 2+ 3 — 4, 3 + 1-3)А=(2+3-4,3+1-3)

А=(1,1)А = (1,1) А=(1,1)

Найти вершину BBB:

B=(x1+x2−x3,y1+y2−y3)B = (x_1+x_2-x_3, y_1+y_2-y_3)B=(x1+x2-x3,y1+y2- y3)

Подставьте значения:

B=(2+4−3,3+3−1)B = (2+4-3, 3+3-1)B=(2+4 −3,3+3−1)

B=(3,5)B = (3,5)B=(3,5)

Найти вершину CCC:

C=(x2+x3−x1,y2+y3−y1)C = (x_2+x_3-x_1, y_2 + y_3 -y_1)C=(x2+x3-x1,y2+y3- y1)

Подставьте значения:

С=(4+3-2,3+1-3)С = (4 + 3-2, 3 + 1-3)С=(4+3-2,3+1-3)

С =(5,1)C = (5, 1)C=(5,1)

Вот некоторые связанные калькуляторы, которые могут вас заинтересовать:

Калькулятор равнобедренного треугольника;

Калькулятор равнобедренного прямоугольного треугольника;

Равнобедренный треугольник найти Калькулятор;

Калькулятор углов равнобедренного треугольника;

Калькулятор площади равнобедренного треугольника;

Калькулятор стороны равнобедренного треугольника;

Калькулятор высоты равнобедренного треугольника.

Часто задаваемые вопросы

Сколько сторон и вершин у треугольника?

Три. Треугольник имеет три стороны и три вершины. Вершины — это точки, в которых встречаются три стороны треугольника.

Как найти вершины треугольника, используя середины?

Чтобы найти вершины треугольника, используя средние точки, мы используем следующие шаги:

Определите значения x и y средних точек;

Используйте формулу средней точки: A = (x₁+x₃-x₂, y₁+y₃-y₂) ; B = (x₁+x₂-x₃, y₁+y₂-y₃) ; C = (x₂+x₃-x₁, y₂+y₃-y₁) ;

Замените соответствующие значения x и y ;

Рассчитать.

Нахождение вершин треугольника через середины треугольника (геометрия)

Перейти к основному содержанию0016

Wyckoff, NJ

River Dell, NJ

New Milford, NJ

Ramsey, NJ

Wayne, NJ

Oakland, NJ

Pearl River, NY

Нью-Джерси

Лучшие национальные новости
Просмотреть все сообщества

Это сообщение было опубликовано участником сообщества. Мнения, высказанные здесь, принадлежат автору.

Здоровье и фитнес

Mathnasium — Math Learning Center , Neighbor

Опубликовано в понедельник, 16 декабря 2013 г., в 5:30 утра по восточному времени

просто нужно проделать больше работы, чтобы прийти к окончательному решению) вопрос в школьной программе геометрии. Вам даны середины треугольника, и вы должны найти координаты фактического треугольника. Для нашего примера нам даны середины треугольника как A (-4, 1) B (-2, 2) C (-5, 3), и нам нужно будет найти вершины. Я полагаю, что большинству учащихся визуальное (мысленное) изображение реального треугольника, охватывающего эти средние точки, поможет немного лучше прояснить проблему.

Чтобы «набросать» настоящий треугольник, вам нужно будет найти 3 линии, которые параллельны линиям, созданным треугольником, используя средние точки. Таким образом, для отрезка AB будет параллельная линия, которая будет включать точку C (теперь называемую Line1). Также будет отрезок, параллельный BC, который будет включать точку A (Line2), и то же самое касается линии, параллельной AC, которая будет включать точку B (Line3).

В этом типе задачи вам будет предложено вспомнить информацию, которую вы узнали еще на уроке алгебры 1. Сначала вам нужно написать уравнение прямой, учитывая 2 балла. Затем вам нужно будет решить пересечение 2 линий, а это значит, что он предоставит вам координаты пересечения. Это пересечение между двумя линиями является одной из вершин треугольника. И это также означает, что вам нужно будет повторить этот процесс для двух других вершин (используя комбинацию двух других линий).

Итак, давайте найдем уравнение Line1. Сначала нам нужно узнать наклон Line1. Поскольку Line1 параллельна AB, это означает, что если мы найдем наклон AB, то мы нашли наклон Line1. Если мы знаем наклон Line1, мы можем использовать точку C, чтобы найти уравнение Line1.

A (-4, 1) B (-2, 2)
Наклон AB = (2 — 1)/(-2 + 4) = 1/2
Используя наклон 1/2 и точку C (- 5, 3) можно найти уравнение Line1.

y = mx + b
3 = 1/2(-5) + b
b = 11/2
Линия 1: y = x/2 + 11/2

B (-2, 2) C (-5, 3)
Наклон BC = (3 — 2)/(-5 + 2) = 1/-3 = -1/3
Используя наклон 1/2 и точку A (-4, 1), мы можем найти уравнение Line2.

y = mx + b
1 = -1/3(-4) + b
b = -1/3
Строка 2: y = -x/3 — 1/3

A (-4, 1) C (-5, 3)
Наклон AC = (3 — 1)/(-5 + 4) = 2/-1 = -2
Используя наклон -2 и точку B (-2, 2), мы можем найти уравнение Line3.

у = mx + b
2 = -2(-2) + b
b = -2
Line3: y = -2x — 2

Теперь, когда мы построили линии из 3 строк, нам нужно будет решить 3 линейных уравнения 3 раза.

Решим Line1, пересекающую Line2:

Line1: y = x/2 + 11/2
Line2: y = -x/3 — 1/3

x/2 + 11/2 = -x/3 — 1 /3
x/2 + x/3 = -1/3 — 11/2
5x/6 = (-2 — 33)/6
5x = -35
x = -7
Решите, используя Линию 1 или Строку 2 :
y = 1/2(-7) + 11/2
y = -7/2 + 11/2 = 4/2 = 2

Vertex1 = (-7, 2)

Решим Line2, пересекающую Line3:

Line2: y = -x/3 — 1/3
Line3: y = -2x — 2

-2x — 2 = -x/3 — 1/3
-2x + x/3 = -1/3 + 2
(-6x + x)/3 = (-1 + 6)/3
-5x = 5
x = -1
Найдите y с помощью Line2 или Line3:

y = -2x — 2 = -2(-1) — 2 = 2 — 2 = 0
Vertex2 = (-1, 0)

Решим Line1, пересекающую Line3:

Line1: y = x/2 + 11/2
Строка 3: y = -2x — 2

x/2 + 11/2 = -2x — 2
x/2 + 2x = -2 — 11/2
(x + 4x)/2 = (-4 — 11)/2
5x = -15
x = -3

Замените y, используя Строку 1 или Строку 3:
y = -2x — 2 = -2(- 3) — 2 = 4
Vertex3 = (-3, 4)

Если у вас есть какие-либо вопросы относительно этого типа проблем, пожалуйста, не стесняйтесь обращаться ко мне или любому из инструкторов в моем центре.

Майкл Хуанг
Директор центра
Mathnasium of Glen Rock/Ridgewood
T: 201-444-8020
E: [email protected]
www.mathnasium.com/glenrock

Мнения, выраженные в этом посте, принадлежат автору. Хотите опубликовать патч?

Правила ответа:

Преступность и безопасность| 1d

Общественный уголок| 2d

Сезон и праздники| 3d

Featured Events

Dec 17, 2022

Bach to Rock Wyckoff Winter Open House / Caroling Fun in Boulder Run

Dec 17, 2022

Мужской хор Orpheus Club

декабря 18, 2022

ПЕРМОНТ Праздничный рынок

DEC 18, 2022

Источник