3.4.1. Каноническое уравнение и построение гиперболы
Общая структура изложения материала будет напоминать предыдущий параграф. Начнём с общего понятия гиперболы и задачи на её построение.
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид , где – положительные действительные числа. Обратите внимание, что в отличие от эллипса, здесь не накладывается условие , то
есть, значение «а» может быть и меньше, чем «бэ».
Надо сказать, довольно неожиданно… – уравнение «школьной» гиперболы и
близко не напоминает каноническую запись. Но эта загадка нас ещё подождёт, а пока раскинем на экране своего воображения график функции …. Какие мысли?
У гиперболы две симметричные ветви.
У гиперболы две асимптоты.
Неплохой прогресс! Данными свойствами обладает любая гипербола, и сейчас вы с неподдельным восхищением заглянем в декольте этой линии:
Задача 99
Построить гиперболу, заданную уравнением
Решение: на первом шаге приведём данное уравнение к каноническому виду . Пожалуйста, запомните типовой порядок действий. Справа необходимо получить «единицу», поэтому
обе части исходного уравнения делим на 20:
Здесь можно сократить обе дроби, но технически грамотнее сделать каждую из них трёхэтажной (см. Приложение Школьные
материалы):
и только после этого провести сокращение:
Выделяем квадраты в знаменателях:
Готово.
Почему преобразования лучше проводить именно так? Ведь дроби левой части можно сразу сократить и получить .
Дело в том, что в рассматриваемом примере немного повезло: число 20 делится и на 4 и на 5. В общем случае получится что-нибудь вроде и без 3-го этажа не обойтись: .
Воспользуемся плодом наших трудов – каноническим уравнением :
Как построить гиперболу?
Существует два подхода к построению гиперболы – геометрический и алгебраический. С практической точки зрения вычерчивание с помощью циркуля я бы
даже сказал утопично, поэтому гораздо выгоднее вновь привлечь на помощь нехитрые расчёты.
Целесообразно придерживаться следующего алгоритма (читайте и смотрите на чертёж ниже):
1) Сначала находим асимптоты. Если гипербола задана каноническим уравнением , то её асимптотами являются прямые . В нашем случае: . Данный пункт
обязателен! Это принципиальная особенность чертежа, и будет грубой ошибкой, если ветви гиперболы «вылезут» за свои асимптоты.
2) Теперь находим две вершины гиперболы, которые расположены на оси абсцисс в точках . Выводится элементарно: если , то каноническое уравнение превращается в , откуда и следует,
что . Наша гипербола имеет вершины
3) Ищем дополнительные точки. Обычно хватает двух-трёх. В каноническом положении гипербола симметрична относительно начала
координат и обеих координатных осей, поэтому вычисления достаточно провести для 1-й координатной четверти. Методика точно такая же, как и при построении эллипса. Из канонического уравнения на черновике выражаем:
и уравнение распадается на две функции:
– определяет верхние дуги гиперболы (то, что нам надо);
– определяет нижние дуги гиперболы.
Напрашивается нахождение точек с абсциссами :
4) Изобразим асимптоты , вершины , дополнительные и
симметричные им точки в других координатных четвертях. Аккуратно соединим соответствующие точки у каждой ветви гиперболы:
Техническая трудность может возникнуть с иррациональным угловым коэффициентом , но это вполне преодолимая проблема.
Отрезок называют действительной осью гиперболы;
Число называют действительной полуосью гиперболы;
число – мнимой полуосью.
В нашем случае: , , и, очевидно, если гиперболу повернуть вокруг центра симметрии и / или переместить, то эти значения не
изменятся.
3.4.2. Определение гиперболы
3.3.4. Поворот и параллельный перенос эллипса
| Оглавление |
Автор: Aлeксaндр Eмeлин
Гипербола: формулы, примеры решения задач
Определение гиперболы, решаем задачи вместе
Определение гиперболы. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, таких, для которых модуль разности расстояний от двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:
,
где a и b – длины полуосей, действительной и мнимой.
На чертеже ниже фокусы обозначены как и .
На чертеже ветви гиперболы – бордового цвета.
При a = b гипербола называется равносторонней.
Пример 1. Составить каноническое уравнение гиперболы, если его действительная полуось a = 5 и мнимая = 3.
Решение. Подставляем значения полуосей в формулу канонического уравения гиперболы и получаем:
.
Точки пересечения гиперболы с её действительной осью (т. е. с осью Ox) называются вершинами. Это точки (a, 0) (- a, 0), они обозначены и надписаны на рисунке чёрным.
Точки и , где
,
называются фокусами гиперболы (на чертеже обозначены зелёным, слева и справа от ветвей гиперболы).
называется эксцентриситетом гиперболы.
Гипербола состоит из двух ветвей, лежащих в разных полуплоскостях относительно оси ординат.
Пример 2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между фокусами равно 10 и действительная ось равна 8.
Если действительная полуось равна 8, то её половина, т. е. полуось a = 4 ,
Если расстояние между фокусами равно 10, то число c из координат фокусов равно 5.
То есть, для того, чтобы составить уравнение гиперболы, потребуется вычислить квадрат мнимой полуоси b.
Подставляем и вычисляем:
Получаем требуемое в условии задачи каноническое уравнение гиперболы:
.
Пример 3. Составить каноническое уравнение гиперболы, если её действительная ось равна 48 и эксцентриситет .
Решение. Как следует из условия, действительная полуось a = 24 . А эксцентриситет – это пропорция и так как a = 24 , то коэффициент пропорциональности отношения с и a равен 2. Следовательно, c = 26 . Из формулы числа c выражаем квадрат мнимой полуоси и вычисляем:
.
Результат – каноническое уравнение гиперболы:
Если – произвольная точка левой ветви гиперболы () и – расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний – следующие:
.
Если – произвольная точка правой ветви гиперболы () и – расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний – следующие:
.
На чертеже расстояния обозначены оранжевыми линиями.
Для каждой точки, находящейся на гиперболе, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.
Прямые, определяемые уравнениями
,
называются директрисами гиперболы (на чертеже – прямые ярко-красного цвета).
Из трёх вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки гиперболы
,
где – расстояние от левого фокуса до точки любой ветви гиперболы, – расстояние от правого фокуса до точки любой ветви гиперболы и и – расстояния этой точки до директрис и .
Пример 4. Дана гипербола . Составить уравнение её директрис.
Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет гиперболы, т. е. . Вычисляем:
.
Получаем уравнение директрис гиперболы:
Многие задачи на директрисы гиперболы аналогичны задачам на директрисы эллипса. В уроке “Эллипс” это пример 7.
Характерной особенностью гиперболы является наличие асимптот – прямых, к которым приближаются точки гиперболы при удалении от центра.
Асимптоты гиперболы определяются уравнениями
.
На чертеже асимптоты – прямые серого цвета, проходящие через начало координат O.
Уравнение гиперболы, отнесённой к асимптотам, имеет вид:
, где .
В том случае, когда угол между асимптотами – прямой, гипербола называется равнобочной, и если асимптоты равнобочной гиперболы выбрать за оси координат, то её уравнение запишется в виде y = k/x , то есть в виде уравения обратной пропорциональной зависимости.
Пример 5. Даны уравнения асимптот гиперболы и координаты точки , лежащей на гиперболе. Составить уравнение гиперболы.
Решение. Дробь в уравнении асимптот гиперболы – это пропорция, следовательно, нужно сначала найти коэффициент пропорциональности отношения . Для этого подставляем в формулу канонического уравнения гиперболы координаты точки M x и y и значения числителя и знаменателя из уравнения асимптоты, кроме того, умножаем каждую дробь в левой части на коэффициент пропорциональности k.
.
Теперь имеем все данные, чтобы получить каноническое уравнение гиперболы. Получаем:
Гипербола обладает оптическим свойством, которое описывается следующим образом: луч, исходящий из источника света, находящегося в одном из фокусов гиперболы, после отражения движется так, как будто он исходит из другого фокуса.
Решить задачи на гиперболу самостоятельно, а затем посмотреть решения
Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:
1) b = 4 , а один из фокусов в точке (5; 0)
2) действительная ось 6, расстояние между фокусами 8
3) один из фокусов в точке (-10; 0), уравнения асимптот гиперболы
2.4 Гипербола
Гиперболой Называется геометрическое место точек на плоскости, разность расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Обозначим эту постоянную через 2А, расстояние между фокусами через 2С, а оси координат выберем так же, как в разделе 2.3.
Пусть М(Х, У) – произвольная точка гиперболы (рисунок 2.4).
По определению гиперболы F2M – F1М = ±2A. (Знак плюс в правой части надо выбрать, если F2M > F1М, и минус, если F2M A).
Исследуем формулу гиперболы.
1. Уравнение (2.7) содержит квадраты текущих координат, следовательно, оси координат являются осями симметрии гиперболы. Ось симметрии, на которой находятся фокусы, называется фокальной осью, точка пересечения осей симметрии – центром гиперболы. Для гиперболы, заданной уравнением (2.7), фокальная ось совпадает с осью ОХ, а центр – с началом координат.
В этом случае координаты фокусов гиперболы имеют вид F1(с,0), F2(-с,0).
2. Точки пересечения с осями симметрии. Точки пересечения гиперболы с осями симметрии называются Вершинами гиперболы. Полагая в уравнении (2.7) У = 0, найдем абсциссы точек пересечения с осью ОХ:
или X2 = А2, откуда Х = ±А.
Итак, точки и являются вершинами гиперболы.
Если же в уравнении (2.7) принять x = 0, получим
или У2 = –B2,
Т. е. для У мы получили мнимые значения. Это означает, что гипербола не пересекает ось ОY.
В соответствии с этим ось симметрии, пересекающая гиперболу, называется действительной осью (фокальная ось); ось симметрии, которая не пересекает гиперболу, – ее мнимой осью. Для гиперболы, заданной уравнением (2.7), действительной осью симметрии является ось ОХ, а мнимой осью – ось ОY. Длина отрезка А1А2 = 2А, число А называется действительной полуосью гиперболы. Отложим на мнимой оси гиперболы по обе стороны от центра симметрии O отрезки ОВ1 и ОВ2 длиною B, тогда отрезок В1B2 = 2B называют мнимой осью, а величину B – мнимой полуосью гиперболы.
Из уравнения (2.7) видно, что , следовательно, |X| ³ A. Кривая имеет форму, изображенную на рисунке 2.5. Она располагается вне прямоугольника со сторонами, равными 2А и 2B, с центром в начале координат, и состоит из двух отдельных ветвей, простирающихся в бесконечность (см. рисунок 2.5). Диагонали этого прямоугольника определяются уравнениями
(2.8)
И являются Асимптотами гиперболы.
Если A = B, гипербола называется равносторонней.
Замечание 1. Если мнимая ось гиперболы равна 2А и расположена на оси ОХ, а действи-тельная ось равна 2B и расположена на оси ОY, то уравнение такой гиперболы (рисунок 2.6) имеет вид (каноническое уравнение гиперболы, если ее фокальная ось – ось Y)
(2.9)
Координаты фокусов в этом случае имеет вид F1(0,с) и F2(0,-с).
Гиперболы (2.7) и (2.9) называются Сопряженными гиперболами.
Замечание 2. Эксцентриситетом Гиперболы называется отношение фокусного расстояния к действительной полуоси гиперболы
(2.10)
Для любой гиперболы ε > 1, это число определяет форму гиперболы.
Пример 2.3. Найти координаты фокусов и вершин гиперболы
Написать уравнение ее асимптот и вычислить эксцентриситет.
Решение. Напишем каноническое уравнение гиперболы, для чего обе части уравнения поделим на 144. После сокращения получим
.
Отсюда видно, что А2 = 9, т. е. A = 3 и B2 = 16, т. е. B = 4.
Для гиперболы С2 = А2 + B2 = 16 + 9 = 25, отсюда C = 5.
Теперь можем написать координаты вершин и фокусов гиперболы:
Эксцентриситет , а уравнения асимптот имеют вид
и .
Что такое гипербола
О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Понятие гиперболы
Гипербола — это множество точек на плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух точек (они же — «фокусы») — величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.
Каноническое уравнение гиперболы в алгебре выглядит так:
, где a и b — положительные действительные числа.
Кстати, канонический значит принятый за образец.
В отличие от эллипса, здесь не соблюдается условие a > b, значит а может быть меньше b. А если a = b, то гипербола будет равносторонней.
Мы помним, что гипербола в математике выглядит так y = 1/x, что значительно отличается от канонической записи.
Вспомним особенности математической гиперболы:
- Две симметричные ветви.
- Две асимптоты. Асимптота — это прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность. Их значение помогает найти специальное уравнение асимптот гиперболы.
Если гипербола задана каноническим уравнением, то асимптоты можно найти так:
Пример 1. Построить гиперболу, которая задана уравнением 5(x^2) – 4(y^2) = 20.
Приведем данное уравнение к каноническому виду (x^2)/(a^2) – (y^2)/(b^2) = 1.
Чтобы получить «единицу» в правой части, обе части исходного уравнения делим на 20:
Можно было сделать проще и дроби левой части 5(x^2)/20 – 4(y^2)/20 = 1 сразу сократить и получить (x^2)/4 – (y^2)/5 = 1. Нам повезло с примером, потому что число 20 делится и на 4 и на 5. Рассмотрим пример посложнее.
Пример 2. Построить гиперболу, которая задана уравнением 3(x^2)/20 – 8(y^2)/20 = 1.
- Произведем сокращение при помощи трехэтажной дроби:
- Воспользуемся каноническим уравнением
- Найдем асимптоты гиперболы. Вот так:
Важно! Без этого шага ветви гиперболы «вылезут» за асимптоты. - Найдем две вершины гиперболы, которые расположены на оси абсцисс в точках A1(a; 0), A2(-a; 0).
- Найдем асимптоты гиперболы. Вот так:
Если y = 0, то каноническое уравнение (x^2)/(a^2) – (y^2)/(b^2) = 1 превращается в (x^2)/(a^2) = 1, из чего следует, что x^2 = a^2 -> x = a, x = -a.
Данная гипербола имеет вершины A1(2; 0), A2(-2; 0).
Найдем дополнительные точки — хватит двух-трех.
В каноническом положении гипербола симметрична относительно начала координат и обеих координатных осей, поэтому вычисления достаточно провести для одной координатной четверти.
Способ такой же, как при построении эллипса. Из полученного канонического уравнения
на черновике выражаем:
Уравнение распадается на две функции:
— определяет верхние дуги гиперболы (то, что ищем);
— определяет нижние дуги гиперболы.
Далее найдем точки с абсциссами x = 3, x = 4:
Может возникнуть техническая трудность с иррациональным угловым коэффициентом √5/2 ≈ 1,12, но это вполне преодолимая проблема.
Действительная ось гиперболы — отрезок А1А2.
Расстояние между вершинами — длина |A1A2| = 2a.
Действительная полуось гиперболы — число a = |OA1| = |OA2|.
Мнимая полуось гиперболы — число b.
В нашем примере: а = 2, b = √5, |А1А2| = 4. И если такую гиперболу повернуть вокруг центра симметрии или переместить, то значения не изменятся.
Форма гиперболы
Повторим основные термины и узнаем, какие у гиперболы бывают формы.
Гипербола симметрична относительно точки О — середины отрезка F’F. Она также симметрична относительно прямой F’F и прямой Y’Y, проведенной через О перпендикулярно F’F. Точка О — это центр гиперболы.
Прямая F’F пересекает гиперболу в двух точках: A (a; 0) и A’ (-a; 0). Эти точки — вершины гиперболы. Отрезок А’А = 2a — это действительная ось гиперболы.
Несмотря на то, что прямая Y’Y не пересекает гиперболу, на ней принято откладывать отрезки B’O = OB = b. Такой отрезок B’B = 2b (также и прямую Y’Y) можно назвать мнимой осью гиперболы.
Так как AB^2 = OA^2 + OB^2 = a^2 + b^2, то из равенства следует: AB = c, то есть расстояние от вершины гиперболы до конца мнимой оси равно полуфокусному расстоянию.
Мнимая ось 2b может быть больше, меньше или равна действительной оси 2а. Если действительная и мнимая оси равны (a = b) — это равносторонняя гипербола.
Отношение F’F/А’А фокусного расстояния к действительной оси называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается e. Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен √2.
Гипербола лежит целиком вне полосы, ограниченной прямыми PQ и RS, параллельными Y’Y и отстоящими от Y’Y на расстояние OA =A’O = a. Вправо и влево от этой полосы гипербола продолжается неограниченно.
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.
Фокальное свойство гиперболы
Точки F1 и F2 называют фокусами гиперболы, расстояние 2c = F1F2 между ними — фокусным расстоянием, середина O отрезка F1F2 — центром гиперболы, число 2а — длиной действительной оси гиперболы (соответственно, а — действительной полуосью гиперболы).
Отрезки F1M и F2M, которые соединяют произвольную точку M гиперболы с ее фокусами, называются фокальными радиусами точки M. Отрезок, соединяющий две точки гиперболы, называется хордой гиперболы.
Отношение e = a/c, где c = √(a^2 + b^2), называется эксцентриситетом гиперболы. Из определения (2a 1 .
Геометрическое определение гиперболы, которое выражает ее фокальное свойство, аналогично ее аналитическому определению — линии, которая задана каноническим уравнением гиперболы:
Рассмотрим, как это выглядит на прямоугольной системе координат:
- пусть центр O гиперболы будет началом системы координат;
- прямую, которая проходит через фокусы (фокальную ось), примем за ось абсцисс (положительное направление на ней от точки F1 к точке F2);
- прямую, перпендикулярную оси абсцисс и проходящую через центр гиперболы, примем за ось ординат (направление на оси ординат выбирается так, чтобы прямоугольная система координат Oxy оказалась правой).
Воспользуемся геометрическим определением и составим уравнение гиперболы, которое выразит фокальное свойство. В выбранной системе координат определяем координаты фокусов F1(-c, 0) и F2(c, 0). Для произвольной точки M(x, y), принадлежащей параболе, имеем:
Запишем это уравнение в координатной форме:
Избавимся от иррациональности и придем к каноническому уравнению гиперболы:
, т.е. выбранная система координат является канонической.
Если рассуждать в обратном порядке, можно убедиться, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (x^2)/(a^2) – (y^2)/(b^2) = 1, и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому гиперболой. Именно поэтому аналитическое определение гиперболы эквивалентно его геометрическому определению.
Директориальное свойство гиперболы
Директрисы гиперболы — это две прямые, которые проходят параллельно оси.
ординат канонической системы координат на одинаковом расстоянии (a^2)/c от нее. Если а = 0, гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых, и директрисы совпадают.
Директориальное свойство гиперболы звучит так:
Гиперболу с эксцентриситетом e = 1 можно определить, как геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки F (фокуса) к расстоянию до заданной прямой d (директрисы), не проходящей через заданную точку, постоянно и равно эксцентриситету e.
Здесь F и d — один из фокусов гиперболы и одна из ее директрис, расположенные по одну сторону от оси ординат канонической системы координат.
На самом деле для фокуса F2 и директрисы d2 условие
можно записать в координатной форме так:
Избавляясь от иррациональности и заменяя e = a/c, c^2 – a^2 = b^2, мы придем к каноническому уравнению гиперболы. Аналогичные рассуждения можно провести для фокуса F1 и директрисы d1:
Построение гиперболы
Чтобы запомнить алгоритм построения гиперболы, рассмотрим чертёж и комментарии к нему.
Построим основной прямоугольник гиперболы и проведем его диагонали. Если продолжим диагонали прямоугольника за его пределы, получим асимптоты гиперболы.
В силу симметрии достаточно построить гиперболу в первой четверти, где она является графиком функции:
Важно учесть, что данная функция возрастает на промежутке [a; ∞], при x = a, y = 0 и ее график приближается снизу к асимптоте y = (b/a) * x. Рисуем график:
Далее построенный в первой четверти график симметрично отображаем относительно оси Ох и получаем правую ветвь гиперболы. Теперь отобразим правую ветвь гиперболы относительно оси Оу.
По определению эксцентриситет гиперболы равен
Зафиксируем действительную ось 2а и начнем изменять фокусное расстояние 2с.
Так как b^2 = c^2 – a^2, то величина b изменится.
При этом ε -> 1, b -> 0 и мнимые вершины B1, B2 стремятся к началу координат, асимптоты приближаются к оси Ох. Основной прямоугольник гиперболы выражается в пределе в отрезок A1A2, а сама гипербола выражается в два луча на оси абсцисс: (-∞; -a] и [a; ∞).
При этом ε -> ∞, b -> ∞ и мнимые вершины B1B2 стремятся к бесконечности, асимптоты приближаются к оси Оу. Основной прямоугольник гиперболы вытягивается вдоль оси ординат и ветви гиперболы приближаются к прямым x = +-a и в пределе сливаются с ними. Гипербола выражается в две прямые x = +-a, которые параллельны оси Оу.
При этом ε -> ∞, b -> ∞ и мнимые вершины B1B2 стремятся к бесконечности, асимптоты приближаются к оси Оу. Основной прямоугольник гиперболы вытягивается вдоль оси ординат и ветви гиперболы приближаются к прямым x = +-a и в пределе сливаются с ними. Гипербола выражается в две прямые x = +-a, которые параллельны оси Оу.
Равносторонняя гипербола это такая гипербола, у которой эксцентриситет равен √2. Ее еще называют равнобочной.
Из определения следует, что в равносторонняя гиперболе a = b, поэтому ее каноническое уравнение выглядит так: x^2 – y^2 = a^2
Действительно, ε = c/a = √2, откуда c^2 = 2a^2 и b^2 = c^2 – a^2 = a^2. И так как а и b положительные числа, получаем a = b.
[spoiler title=”источники:”]
http://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike/iunit-1-analiticheskaia-geometriia-na-ploskosti/2-4-giperbola
http://skysmart.ru/articles/mathematic/chto-takoe-giperbola
[/spoiler]
Елена Борисовна Калюжная
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
Каноническое уравнение гиперболы имеет следующий вид:
$frac{x^2}{a^2} – frac{y^2}{b^2} = 1$, где $a, b$ – положительные действительные числа.
Для того чтобы составить каноническое уравнение гиперболы, нужно привести квадратное уравнение к каноническому виду.
Вывод канонического уравнения гиперболы
уравнения гиперболы” />
Рисунок 1. Рис. 1.Вывод канонического уравнения гиперболы
Рассмотрим гиперболу с фокусами $F_1$ и $F_2$, находящимися на оси $OX$, причём точка $O$ лежит в центе между фокусами.
Следовательно координаты $F_1(-c; 0)$, а $F_2(c; 0)$, где $c$ – расстояние до фокуса гиперболы.
Сдай на права пока
учишься в ВУЗе
Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!
Получить скидку 3 000 ₽
Рассмотрим произвольную точку $M$, принадлежащую гиперболе.
Отрезки $r_1 =|F_1M|$ и $r_2 =|F_2M|$ называются фокальными радиусами точки $M$ гиперболы.
Из определения гиперболы следует, что $|r_1 -r_2| =2a$, следовательно $r_1 – r_2=±2a$, причём $r_1 = sqrt{(x + c)^2 + y^2}$, а $r_2 = sqrt{(x – c)^2 + y^2}$.
Соответственно, уравнение $r_1 – r_2=±2a$ иначе можно записать как $sqrt{(x + c)^2 + y^2} – sqrt{(x – c)^2 + y^2} = ±2a$ (1).
Умножим выражение (1) на $frac{$sqrt{(x + c)^2 + y^2} + sqrt{(x – c)^2 + y^2}}{±2a}$, получается:, получается:
$frac{(x + c)^2 + y^2 – (x – c)^2 – y^2}{±2a} = sqrt{(x + c)^2 + y^2} + sqrt{(x – c)^2 + y^2}$
Упростим: $frac{2cx}{±a} = sqrt{(x + c)^2 + y^2} + sqrt{(x – c)^2 + y^2}$ (2)
Сложим уравнения (1) и (2), получим:
$±(frac{cx}{a}) + a = sqrt{(x + c)^2 + y^2}$ (3)
Возведём (3) в квадрат:
$frac{c^2 x^2}{a^2} + 2xc + a^2 = (x^2 +2x c + c^2 + y^2)$
$frac{c^2 – a^2}{a^2} cdot x^2 – y^2 = c^2 – a^2$
Пусть $b^2 = c^2 – a^2$, так как $c > 0$ и, следовательно $frac{b^2}{a^2}x^2 – y^2 = b^2$
«Каноническое уравнение гиперболы» 👇
Получаем уравнение:
$frac{x^2}{a^2} – frac{y^2}{b^2} = 1$ (4), являющееся каноническим уравнением гиперболы с центром в начале координат.
Каноническое уравнение параболы и гиперболы немного похожи между собой.
Уравнение параболы выглядит следующим образом:
$y^2 = px$, где число $p$ должно быть больше нуля; это число называется фокальным параметром.
Каноническое уравнение гиперболы примеры решения
Пример 1
Ниже небольшая инструкция о том, как найти каноническое уравнение гиперболы.
Приведём уравнение $5x^2 – 4y^2 = 20$ к каноническому виду гиперболического уравнения, для этого разделим всё уравнение на $20$:
$frac{5x^2}{4} – frac{y^2}{5} = 1$
Запишем знаменатели в виде степеней:
$frac{x^2}{2^2} – frac{y^2}{sqrt{5}^2} = 1$
Теперь вы знаете, как написать каноническое уравнение гиперболы. Дальше мы расскажем о том, как строить гиперболу по каноническому уравнению.
Построение гиперболы по каноническому уравнению
Теперь давайте рассмотрим, как построить гиперболу по каноническому уравнению.
Рисунок 2. Рис. 2. Построение гиперболы по каноническому уравнению
-
Для начала необходимо построить асимптоты для данной гиперболы, их формулы определяются из уравнения $y = ±frac{bcdot x}{a}$.
Для нашего канонического уравнения гиперболы они будут выглядеть так: $y = ±frac{sqrt{5}} {2}cdot x$ -
Теперь найдём вершины гиперболы, они расположены на оси абсисс в точках $(0; a)$ и $(0; -a)$, назовём их точками $A_1, A_2$.
Вершины нашей гиперболы находятся в точках $(2; 0)$ и $(-2; 0)$.
Далее необходимо найти две-три точки, принадлежащие любой из двух ветвей гиперболы, если гипербола без смещения – точки на второй ветви будут симметричны им относительно осей гиперболы.
Выразим $y$ из канонического уравнения нашей гиперболы:
$y = ±frac{1}{2} sqrt{5 x^2 – 4}$
Найдём точки для положительной части гиперболы:
при $x = 3, y =2.5$,
а при $x = 3, y ≈3,87$.
Теперь можно отложить все эти точки и построить график гиперболы.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Гиперболой
называется геометрическое место точек,
для которых разность
расстояний от двух фиксированных точек
(называемых фокусами) есть величина
постоянная. Причем указанная разность
берется по абсолютному значению и
необходимо, что бы она была меньше
расстояния между фокусами и не равна
нулю. (См. Рис.23)
Рис.23
На
рисунке:
–
– левый фокальный радиус;
–
–
правый фокальный радиус;
–
(- с; 0) – координаты левого фокуса (точки
F1);
–
(с; 0) – координаты правого фокуса (точки
F2);
–
– действительная
полуось
гиперболы;
–
– мнимая
полуось гиперболы;
–
точка (а; 0) – правая вершина гиперболы;
–
точка (- а; 0) – левая вершина гиперболы;
–
прямые
– асимптоты гиперболы.
Названия
полуосей не случайны: точки
гиперболе принадлежат, а точки
–
гиперболе не принадлежат (потому и ось
– мнимая), но мнимая полуось, хотя и не
является частью гиперболы, вполне
определяет ее форму, поскольку именно
между асимптотами гиперболы и располагаются
ветви ее.
Каноническое уравнение гиперболы
(смотри
замечание о каноничности уравнения).
Связь между полуосями и координатами фокусов гиперболы
При
этом важным является выражение,
связывающее действительную, мнимую
полуось и координату фокуса (сравните
с формой аналогичной связи для параметров
эллипса)
.
Эксцентриситет
гиперболы
Пример 19 (о нахождении уравнения гиперболы)
Эксцентриситет
гиперболы равен
.
Найти каноническое уравнение гиперболы,
если точка
гиперболе принадлежит.
Решение
Прежде
всего, что ищем конкретно? – Ищем значения
a
и b
в каноническом уравнении гиперболы.
Неизвестных величин две, следовательно,
и уравнений для их нахождения должно
быть два.
Первое
уравнение получим из того факта, что
нам известен эксцентриситет гиперболы
и известна связь
между полуосями и координатами фокуса
гиперболы:
.
Это
первое равенство, а второе получим,
используя тот факт, что точка М гиперболе
принадлежит, т.е., ее координаты обращают
каноническое уравнение гиперболы в
тождество:
и,
окончательно, получаем
Ответ
Искомая
гипербола описывается каноническим
уравнением
x2
– y2
= 1.
Пример 20 (прямая и гипербола)
Через
точку М(0; – 1) и правую вершину гиперболы
3∙x2
– 4∙y2
= 12
проведена
прямая. Найти вторую точку пересечения
прямой с гиперболой.
Решение
Задачу
будем решать в два шага:
–
найдем уравнение прямой;
–
найдем координату точки пересечения
прямой и гиперболы.
Шаг
1
Для
нахождения уравнения прямой, проходящей
через точку М(0; – 1) и правую вершину
гиперболы необходимо знать координаты
правой вершины гиперболы. Найдем вторую
точку из уравнения гиперболы, приведя
данное уравнение к каноническому
виду,
зная при этом, что в каноническом
уравнении важно все: равно выражение
именно
единице, а в самом выражении – значения
действительной и мнимой полуоси – это
знаменатели дробей, в которых числители
x2
и y2.
Откуда
в уравнении гиперболы a
= 2, b
=
,
или координаты правой вершины М2(2;
0). А вот теперь ищем уравнение
прямой, проходящей через две данные
точки
М и М2
Шаг
2
Ищем
координаты точек пересечения найденной
прямой и данной гиперболы. Эти координаты
удовлетворяют обоим уравнениям, т.е.
являются решением системы уравнений
Решаем
полученное уравнение и находим, что x1
= – 4, x2
= 2.
Подставляем
найденные x1
и x2
во второе уравнение системы и находим
координаты точек пересечения прямой с
гиперболой N1(-
4; -3) и N2(2;
0).
Не
трудно убедиться (проверьте самостоятельно)
что точка М гиперболе не принадлежит,
а значит, точек пересечения будет две.
Ответ
Точки
пересечения прямой и гиперболы – N1(-
4; -3) и N2(2;
0).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Способы построения гиперболы самостоятельно
Содержание:
- Гипербола в математике — что это такое
- Как построить гиперболу самостоятельно
- Построение гиперболы по фокусам
- Как построить гиперболу по точкам
- Как построить график гиперболы по уравнению
Гипербола в математике — что это такое
определение 1
Гипербола представляет собой линию, определяемую в некой декартовой прямоугольной системе координат каноническим уравнением:
(frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}=1.label{ref9})
Согласно записанному правилу, все точки гиперболы (|x| geq a). Таким образом, данные точки расположены за пределами вертикальной полосы ширины (2a), как показано на рисунке. Ось абсцисс канонической системы координат имеет точки пересечения с гиперболой. Координаты этих точек соответствуют: ((a, 0)) и ((-a, 0)). Такие точки называют вершинами гиперболы.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Ось ординат не имеет общих точек с гиперболой. В состав гиперболы входят две части, которые не связаны между собой. Они носят название ветвей гиперболы. Числа «a» и «b» являются соответственно вещественной и мнимой полуосями гиперболы.
Определение 2
Ветви гиперболы — это две отдельные кривые, из которых состоит гипербола.
Определение 3
Ближайшие друг к другу точки двух ветвей гиперболы являются вершинами гиперболы.
Определение 4
Большая ось гиперболы — наименьшее расстояние между двумя ее ветвями.
Определение 5
Центр гиперболы — это середина ее большой оси.
Определение 6
Большая полуось гиперболы — расстояние, на которое удалены центр и одна из вершин, обозначается «а».
Определение 7
Фокальное расстояние гиперболы — расстояние, на которое удалены друг от друга центр и один из фокусов, обозначается «с».
Оба фокуса гиперболы расположены на продолжении большой оси и равноудалены от центра гиперболы.
Определение 8
Прямая, включающая в себя большую ось гиперболы, носит название действительной, или поперечной, оси гиперболы.
Определение 9
Прямая в виде перпендикуляра к действительной оси, которая пересекает центр гиперболы — мнимая, или сопряженная ось гиперболы.
Определение 10
Отрезок между фокусом гиперболы и гиперболой, который перпендикулярен к действительной оси, — это фокальный параметр.
Определение 11
Прицельный параметр — расстояние от фокуса до асимптоты гиперболы, обозначается «b».
Определение 12
Перицентрическое расстояние — расстояние, на которое фокус удален от ближайшей вершины гиперболы, обозначается ({displaystyle r_{p}}r_{p}).
Перечисленные характеристики гиперболы взаимосвязаны. Справедливы следующие соотношения:
- ({displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}{displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}})
- ({displaystyle varepsilon =c/a}{displaystyle varepsilon =c/a})
- ({displaystyle b^{2}=a^{2}left(varepsilon ^{2}-1right)}{displaystyle b^{2}=a^{2}left(varepsilon ^{2}-1right)})
- ({displaystyle r_{p}=aleft(varepsilon -1right)}{displaystyle r_{p}=aleft(varepsilon -1right)})
- ({displaystyle a={frac {p}{varepsilon ^{2}-1}}}{displaystyle a={frac {p}{varepsilon ^{2}-1}}})
- ({displaystyle b={frac {p}{sqrt {varepsilon ^{2}-1}}}}{displaystyle b={frac {p}{sqrt {varepsilon ^{2}-1}}}})
- ({displaystyle c={frac {pvarepsilon }{varepsilon ^{2}-1}}}{displaystyle c={frac {pvarepsilon }{varepsilon ^{2}-1}}})
- ({displaystyle p={frac {b^{2}}{a}}}p={frac {b^{2}}{a}})
Определение 13
Оси симметрии гиперболы представляют собой оси канонической системы координат, а начало канонической системы является центром симметрии.
Когда требуется исследовать форму гиперболы, следует начать с поиска ее пересечения с произвольной прямой, пересекающей начало координат. Уравнение прямой можно задать в виде:
(y=kx)
Такой выбор связан с тем, что прямая (x=0 ) не пересекает гиперболу. Абсциссы точек пересечения можно вычислить с помощью уравнения:
(frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{k^{2}x^{2}}{b^{2}}=1)
Таким образом, при (b^{2}-a^{2}k^{2} > 0) получим:
(x=pm frac{ab}{sqrt{b^{2}-a^{2}k^{2}}})
Полученное равенство позволит рассчитать координаты точек пересечения:
((ab/v, abk/v))
((-ab/v, -abk/v))
В данном случае:
(v=(b^{2}-a^{2}k^{2})^{1/2})
Руководствуясь свойством симметрии, можно проанализировать смещение первой из точек при изменении k, как показано на рисунке.
Числитель дроби (ab/v) является постоянной величиной, а знаменатель характеризуется максимальным значением, если (k=0). Таким образом, самую маленькую абсциссу имеет вершина ((a, 0)). При увеличении (k ) знаменатель убывает, и x растет, стремясь к бесконечности, когда k приближается к числу (b/a).
Прямая (y=bx/a) с угловым коэффициентом (b/a) не имеет точек пересечения с гиперболой, как и прямые с большими угловыми коэффициентами. Какая-либо прямая, обладающая меньшим положительным угловым коэффициентом, пересекает гиперболу.
При сдвиге прямой от горизонтального положения по часовой стрелке, k будет уменьшаться, (k^{2}) — увеличиваться, и прямая будет иметь удаляющиеся точки пересечения с гиперболой до тех пор, пока не займет положения с угловым коэффициентом (-b/a).
К прямой (y=-bx/a) относится все, что было сказано о (y=bx/a): она не пересекает гиперболу и отделяет прямые, пересекающие ее, от не пересекающих. Из вышесказанного следует вывод, что гипербола имеет вид, изображенный на рисунке.
Определение 14
Асимптоты гиперболы являются прямыми, описываемыми уравнениями (y=bx/a) и (y=-bx/a ) в канонической системе координат.
Предположим, что уравнения асимптот имеют вид:
(bx-ay=0)
(bx+ay=0)
Расстояния от точки (M(x, y)) до асимптот составят
(h_{1}=frac{|bx-ay|}{sqrt{a^{2}+b^{2}}},)( h_{2}=frac{|bx+ay|}{sqrt{a^{2}+b^{2}}})
В том случае, когда точка M расположена на гиперболе:
(b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2})
(h_{1}h_{2}=frac{|b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}|}{a^{2}+b^{2}}=frac{a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}})
Определение 15
Произведение расстояний от точки гиперболы до асимптот является постоянным и соответствует (a^{2}b^{2}/(a^{2}+b^{2})).
Из данного определения можно вывести ключевое свойство, которым обладают асимптоты гиперболы.
Определение 16
В том случае, когда точка совершает движение по гиперболе таким образом, что ее абсцисса по абсолютной величине неограниченно возрастает, расстояние от точки до одной из асимптот стремится к нулю.
В действительности получим, что хотя бы одно из расстояний (h_{1}) или (h_{2}) при этих условиях должно неограниченно увеличиваться. Если предположить, что утверждение не справедливо, то произведение не было бы постоянной величиной.
Введем такое число с, что:
(c^{2}=a^{2}+b^{2})
и (c > 0)
Определение 17
Фокусы гиперболы — точки (F_{1}) и (F_{2}) с координатами ((c, 0)) и ((-c, 0)) в канонической системе координат.
Отношение (varepsilon=c/a), как и для эллипса, называется эксцентриситетом. У гиперболы (varepsilon > 1).
Расстояния от произвольной точки (M(x, y)) на гиперболе до каждого из фокусов определяются абсциссой (x):
(r_{1}=|F_{1}M|=|a-varepsilon x|, r_{2}=|F_{2}M|=|a+varepsilon x|)
Следует отметить, что равенства eqref{ref11} можно представить в более подробной форме:
- для правой ветви гиперболы ((x geq a): r_{1}=varepsilon x-a), ( r_{2}=varepsilon x+a);
- для левой ветви гиперболы ((x leq -a): r_{1}= a-varepsilon x), ( r_{2}=-varepsilon x-a).
Таким образом, для правой ветви (r_{2}-r_{1}=2a), а для левой ветви (r_{1}-r_{2}=2a). В обоих случаях:
(|r_{2}-r_{1}|=2a)
Определение 18
Директрисы гиперболы — прямые, заданные в канонической системе координат уравнениями: (x=frac{a}{varepsilon}), ( x=-frac{a}{varepsilon}).
Директрисы расположены поблизости от центра в отличие от вершин. Из этого можно сделать вывод, что директрисы не имеют точек пересечения с гиперболой. Директриса и фокус, которые расположены по одну сторону от центра, считаются соответствующими друг другу.
Определение 19
Для того чтобы точка (M) была расположена на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы разность ее расстояний до фокусов по абсолютной величине равнялась вещественной оси гиперболы 2a.
С целью доказательства достаточности данного условия его следует записать в виде:
(sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=pm 2a+sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}})
Следующие действия отличаются от доказательства соответствующего утверждения для эллипса только тем, что нужно воспользоваться равенством:
(c^{2}=a^{2}+b^{2}), а не (c^{2}=a^{2}-b^{2})
Определение 20
Для того чтобы точка была расположена на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету (varepsilon).
Можно доказать, к примеру, необходимость условия для фокуса (F_{2}(-c, 0).) Предположим, что (M'(x, y)) является точкой гиперболы. Расстояние от (M’) до директрисы с уравнением (x=-a/varepsilon) равно:
(d’=left|x+frac{a}{varepsilon}right|=frac{1}{varepsilon}|varepsilon x+a|)
Таким образом:
(r’/d’=varepsilon).
Уравнение касательной к гиперболе в точке (M_{0}(x_{0}, y_{0})), которая принадлежит данной гиперболе, можно записать так же, как подобное уравнение в случае эллипса. Уравнение касательной к гиперболе:
(frac{xx_{0}}{a^{2}}-frac{yy_{0}}{b^{2}}=1)
Определение 21
Касательная к гиперболе в точке (M_{0}(x_{0}, y_{0})) представляет собой биссектрису угла между отрезками, которые соединяют рассматриваемую точку с фокусами.
Как построить гиперболу самостоятельно
Построение графика гиперболы следует начать с изображения прямоугольной системы координат Декарта. Алгоритм действий:
- На листе бумаги нарисовать горизонтальную прямую. Выполнить действие следует таким образом, чтобы конец прямой с правой стороны был обозначен с помощью стрелки. Данная прямая является осью (X) и носит название абсциссы.
- На середине оси ( Х) необходимо опустить перпендикуляр. Конец полученной прямой в верхней части нужно обозначить стрелкой. В результате получена ось (Y), которую называют ординатой.
- На следующем шаге необходимо пронумеровать шкалу. С правой стороны на оси (Х) расположены положительные значения (Х) в порядке возрастания — от 1 и выше. С левой стороны — отрицательные. В верхней части на оси (Y) расположены положительные значения (Y) в порядке возрастания. В нижней части — отрицательные.
Примечание
Точка, в которой пересекаются абсцисса и ордината является началом координат, то есть числом 0. От данной точки следует откладывать все значения (Х) и (Y).
С помощью прямоугольной системы координат плоскость поделена на четыре части, которые называют четвертями и нумеруют против часовой стрелки. Для того чтобы построить график, требуется определить точки. Каждая точка координатной плоскости определяется парой чисел ((x;y)). Данные числа представляют собой координаты точки, где:
- (х) — абсцисса точки;
- (y) — ордината.
Гипербола представляет собой график функции, которая задана формулой:
(y=k/x)
где (k) — является каким-то коэффициентом, не равным нулю;
(x) — представляет собой независимую переменную.
Гипербола включает в себя две части, расположенные симметрично в разных четвертях. Данные части носят название ветвей гиперболы. При (k>0), ветви расположены в 1 и 3 четвертях. При (k<0), ветви гиперболы размещены во 2 и 4 четвертях.
Принцип построения гиперболы можно рассмотреть на примере, когда функция задана следующей формулой:
(y=3/х)
Так как коэффициент 3 обладает положительным значением, гипербола, соответственно, будет находиться в 1 и 3 четвертях. Можно взять произвольно значения (Х) и найти значения (Y). Таким образом, получатся координаты точек, с помощью которых можно изобразить гиперболу. Важно отметить, что (Х) не должно иметь нулевое значение, так как на 0 делить нельзя.
Поскольку мы знаем, что гипербола располагается в двух четвертях, то берем как положительные значения, так и отрицательные. Предположим, что (Х) равен: -6, -3, -1, 1, 3, 6. Далее можно рассчитать ординаты путем подстановки каждого значение (Х) в начальную формулу:
(y=3/-6)
(у=3/-3)
(у=3/-1)
(у=3/1)
(у=3/3)
(у=3/6)
В результате, значения ( Y) равны: -0.5, -1, -3, 3, 1, 0.5.
Полученные 6 точек с координатами необходимо отложить на системе координат. Далее точки соединяют с помощью кривых линий, как изображено на рисунке. В итоге получилась гипербола.
Построение гиперболы по фокусам
Гиперболу можно построить, зная заданные вершины (А) и (В) и фокусное расстояние (FF1). Алгоритм построения следующий:
- В первую очередь фокусное расстояние следует разделить пополам, чтобы получить точку 0.
- Далее с левой стороны от фокуса (F) можно отметить ряд произвольных точек 1, 2, 3, 4 и так далее, расстояние между которыми постепенно увеличивается.
- Затем нужно начертить вспомогательные окружности с центром в фокусе (F), имеющие радиусы (R1=1B), (R2=2B), (R3=3B), (R4=4B) и так далее.
- На следующем этапе можно изобразить вспомогательные окружности с центром в фокусе (F1) и радиусами (r1=1A), (r2=2A), (r3=3A), (r4=4A) и так далее.
- При пересечении вспомогательных окружностей определяется положение точек гиперболы. (С), (С1 )представляют собой точки, которые образованы в результате пересечения окружностей радиусов (R1) и (r1). Точки (D,D1) являются точками, в которых пересекаются окружности (R2) и (r2).
- Полученные точки остается соединить с помощью плавной кривой линии, чтобы получить правую ветвь гиперболы.
- Аналогичным способом следует выполнить построение левой ветви гиперболы.
Как построить гиперболу по точкам
Исходя из определения гиперболы, разница между расстояниями (r1) и (r2) для всех ее точек является постоянной величиной. Таким образом, переход от одной точки гиперболы к другой осуществляется путем увеличения или уменьшения данных характеристик. Алгоритм действий:
- В первую очередь следует отложить точки (А1) и (А2). Точка ( А2) является точкой касания двух окружностей, центр одной из которых расположен в фокусе ( F1), а радиус составляет F1A2. Другая окружность обладает центром в фокусе (F2) и радиусом (F2A2).
- Следующие точки гиперболы можно определить при пересечении пар окружностей с радиусами, которые равны:
Таким образом, новые значения радиусов превышают предыдущие на одинаковую величину. Чем ближе расположены точки, тем точнее будет построен график гиперболы.
Как построить график гиперболы по уравнению
Каноническое уравнение гиперболы записывают таким образом:
где («a») и («b») являются положительными действительными числами, причем, («а») может быть больше или меньше, чем («b»).
Важно отметить, что гипербола обладает двумя симметричными ветвями и двумя асимптотами.
Построение гиперболы можно рассмотреть на примере. Предположим, что она задана следующим уравнением:
Рассматриваемое уравнение необходимо привести к каноническому виду:
Так как в правой части требуется получить единицу, необходимо обе части начального уравнения поделить на 20:
Далее следует сократить обе дроби:
Затем нужно выделить квадраты в знаменателях:
В результате получено каноническое уравнение:
Существует два подхода к построению гиперболы:
- геометрический;
- алгебраический.
С практической точки зрения, эффективнее воспользоваться расчетами. В первую очередь следует определить асимптоты:
Асимптоты равны:
На втором этапе можно определить вершины гиперболы, которые соответствуют точкам на оси абсцисс с координатами:
При у=0, каноническое уравнение гиперболы примет вид:
Таким образом:
Вершины гиперболы:
Затем необходимо определить дополнительные точки. В каноническом положении гипербола симметрична относительно начала координат и обеих координатных осей, поэтому вычисления достаточно провести для 1-й координатной четверти. Согласно каноническому уравнению, можно выразить:
В результате получим две функции. Первая функция определяет верхние дуги гиперболы:
Вторая функция выражает нижние дуги гиперболы:
Напрашивается нахождение точек с абсциссами:
На последнем этапе следует изобразить асимптоты, вершины, дополнительные точки, симметричные точки в других координатных четвертях:
После того, как все точки соединены, будет изображена гипербола.