Как найти вершины квадрата вписанного в окружность

Квадрат вписанный в окружность

Определение

Квадрат, вписанный в окружность — это квадрат, который находится
внутри окружности и соприкасается с ней углами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
квадрата и окружность, вписанная в квадрат.

Формулы

Радиус вписанной окружности в квадрат

1. Радиус вписанной окружности в квадрат, если известна сторона:
   

Радиус вписанной окружности в квадрат, если известен периметр:

Радиус вписанной окружности в квадрат, если известна площадь:

Радиус вписанной окружности в квадрат, если известен радиус описанной окружности:

Радиус вписанной окружности в квадрат, если известна диагональ:

Радиус описанной окружности около квадрата

1. Радиус описанной окружности около квадрата, если известна сторона:
   

Радиус описанной окружности около квадрата, если известен периметр:

Радиус описанной окружности около квадрата, если известнаплощадь:

Радиус описанной окружности около квадрата, если известен радиус вписанной окружности:

Радиус описанной окружности около квадрата, если известнадиагональ:

Сторона квадрата

1. Сторона квадрата вписанного в окружность, если известнаплощадь:
   

Сторона квадрата вписанного в окружность, если известнадиагональ:

Сторона квадрата вписанного в окружность, если известен периметр:

Площадь квадрата

1. Площадь квадрата вписанного в окружность, если известна сторона:

Площадь квадрата вписанного в окружность, если известен радиус вписанной окружности:

Площадь квадрата вписанного в окружность, если известен радиус описанной окружности:

Площадь квадрата вписанного в окружность, если известен периметр:

Площадь квадрата вписанного в окружность, если известна диагональ:

Периметр квадрата

1. Периметр квадрата вписанного в окружность, если известна сторона:
   

Периметр квадрата вписанного в окружность, если известна площадь:

Периметр квадрата вписанного в окружность, если известенрадиус вписанной окружности:

Периметр квадрата вписанного в окружность, если известен радиус описанной окружности:

Периметр квадрата вписанного в окружность, если известна диагональ:

Диагональ квадрата

1. Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известна сторона:
   

Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известна площадь:

Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известен периметр:

Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известен радиус вписанной окружности:

Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известен радиус описанной окружности:

Квадрат. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ квадрата, радиус вписанной в квадрат окружности, радиус описанной вокруг квадрата окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку “Вычислить”. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Квадрат − это четырехугольник, у которого все углы равны и все стороны равны (Рис.1):

Можно дать и другие определение квадрата.

Определение 2. Квадрат − это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Определение 3. Квадрат − это ромб, у которого все углы прямые (или равны).

Свойства квадрата

• Длины всех сторон квадрата равны.
• Все углы квадрата прямые.
• Диагонали квадрата равны.
• Диагонали пересекаются под прямым углом.
• Диагонали квадрата являются биссектрисами углов.
• Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

Изложеннные свойства изображены на рисунках ниже:

Диагональ квадрата

Определение 4. Диагональю квадрата называется отрезок, соединяющий несмежные вершины квадрата.

На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. У квадрата две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

.

(1)

Из равенства (1) найдем d:

.

(2)

Пример 1. Сторона квадрата равна a=53. Найти диагональ квадрата.

Решение. Для нахождения диагонали квадрата воспользуемся формулой (2). Подставляя a=53 в (2), получим:

Ответ:

Окружность, вписанная в квадрат

Определение 5. Окружность называется вписанной в квадрат, если все стороны касаются этого квадрата (Рис.3):

Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата

Из рисунка 3 видно, что диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата. Следовательно, формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата имеет вид:

(3)

Пример 2. Сторона квадрата равна a=21. Найти радиус вписанной окружности.

Решение. Для нахождения радиуса списанной окружности воспользуемся формулой (3). Подставляя a=21 в (3), получим:

Ответ:

Формула вычисления сторон квадрата через радиус вписанной окружности

Из формулы (3) найдем a. Получим формулу вычисления стороны квадрата через радиус вписанной окружности:

(4)

Пример 3. Радиус вписанной в квадрат окружности равен r=12. Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадраиа воспользуемся формулой (4). Подставляя r=12 в (4), получим:

Ответ:

Окружность, описанная около квадрата

Определение 6. Окружность называется описанной около квадрата, если все вершины квадрата находятся на этой окружности (Рис.4):

Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около квадрата через сторону квадрата.

Обозначим через a сторону квадрата, а через R − радиус описанной около квадрата окружности. Проведем диагональ BD (Рис.4). Треугольник ABD является прямоугольным треугольником. Тогда из теоремы Пифагора имеем:

(5)

Из формулы (5) найдем R:

(6)

или, умножая числитель и знаменатель на , получим:

.

(7)

Пример 4. Сторона квадрата равна a=4.5. Найти радиус окружности, описанной вокруг квадрата.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг квадрата воспользуемся формулой (7). Подставляя a=4.5 в (7), получим:

Ответ:

Формула стороны квадрата через радиус описанной около квадрата окружности

Выведем формулу вычисления стороны квадрата, через радиус описанной около квадрата окружности.

Из формулы (1) выразим a через R:

.

(8)

Пример 5. Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадрата воспользуемся формулой (8). Подставляя в (8), получим:

Ответ:

Периметр квадрата

Периметр квадрата − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

Поскольку стороны квадрата равны, то периметр квадрата вычисляется формулой:

(9)

где − сторона квадрата.

Пример 6. Сторона квадрата равен . Найти периметр квадрата.

Решение. Для нахождения периметра квадрата воспользуемся формулой (9). Подставляя в (9), получим:

Ответ:

Признаки квадрата

Признак 1. Если в четырехугольнике все стороны равны и один из углов четырехугольника прямой, то этот четырехугольник является квадратом.

Доказательство. По условию, в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник праллелограмм (признак 2 статьи Параллелограмм). В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно напротив прямого угла находится прямой угол. Тогда сумма остальных двух углов равна: 360°-90°-90°=180°, но поскольку они также являются противоположными углами, то они также равны и каждый из них равен 90°. Получили, что все углы четырехугольника прямые и, по определению 1, этот четырехугольник является квадратом.

Признак 2. Если в четырехугольнике диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является квадратом (Рис.5).

Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O и пусть

(10)

Так как AD и BC перпендикулярны, то

Из (10) и (11) следует, что треугольники OAB, OBD, ODC, OCA равны (по двум сторонам и углу между ними (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников)). Тогда

(12)

Эти реугольники также равнобедренные. Тогда

Из (13) следует, что

(14)

Равенства (12) и (14) показывают, что четырехугольник ABCD является квадратом (определение 1).

Что такое квадрат? Как найти вершины, сечение, плоскость, уравнение, объем, площадь основания и угол квадрата?

Ответов на вопрос о том, что такое квадрат, может быть множество. Все зависит от того, кому вы этот вопрос адресовали. Музыкант скажет, что квадрат – это 4, 8, 16, 32 такта или джазовая импровизация. Ребенок – что это игра с мячом или детский журнал. Печатник отправит вас изучать кегли шрифта, а техник – разновидности металлопрокатного профиля.

Много и других значений у этого слова, но сегодня мы зададим вопрос математику. Итак.

Разбираться с этой фигурой мы будем постепенно, от простого к сложному, и начнем с истории квадрата. Как он появился, как его воспринимали люди, ученые разных стран и цивилизаций?

История изучения квадрата

Древний мир воспринимает квадрат, главным образом, как четыре стороны света. Вообще, несмотря на множество четырехугольников, именно у квадрата главное число – четыре. Для ассирийцев и перуанцев квадрат – весь мир, то есть он представляет четыре основных направления, стороны света.

Даже Вселенную представляли как квадрат, еще и разделенный на четыре части – это видение жителей Северной Америки. Для кельтов вселенная – это целых три квадрата, вложенных друг в друга, а из центра вытекают четыре (!) реки. А египтяне вообще обожествляли эту фигуру!

Впервые описали квадрат посредством математических формул греки. Но для них этот многоугольник обладал только отрицательными характеристиками. Пифагор вообще не любил четные числа, видя в них слабость и женственность.

Даже в религиях присутствует квадрат. В Исламе Кааба – пуп Земли – имеет не какую-нибудь сферическую, а именно кубическую форму.

В Индии главной графемой, изображающей Землю, или символом земли, был перекрещенный квадрат. И снова речь идет о четырех сторонах света, четырех областях земли.

В Китае квадрат – это мир, гармония и порядок. Хаос побеждается построением квадратной Вары. А квадрат, вписанный в круг, является основой видения мира, символизируя единство и связь Космоса и Земли.

Языческая Русь – Квадрат Сварога. Этот символ еще называют Звездой Сварога, или Звездой Руси. Он довольно сложный, так как составлен из пересекающихся и замкнутых линий. Сварог – бог-Кузнец, самый главный творец, создатель и само небо в представлении русичей. В этом символе есть ромб, что опять говорит о Земле и четырех ее направлениях. И звезда с четырьмя лучами – 4 стороны света, 4 лика Сварога – его всеведение. А пересечение лучей – очаг.

Интересное о квадрате

Самое популярное словосочетание, которое приходит в голову о нашем главном герое – “Черный Квадрат”.

Картина Малевича до сих пор очень популярна. Сам автор после ее создания долго мучился вопросом о том, что же это такое, и почему простой черный квадрат на белом фоне так притягивает внимание к себе.

Но если вы приглядитесь внимательно, то заметите, что плоскость квадрата не гладкая, а в трещинах черной краски есть множество разноцветных оттенков. Видимо, вначале была некая композиция, которая автору не понравилась, и он закрыл ее от наших глаз этой фигурой. Черный квадрат, как ничто – черная дыра, только магической квадратной формы. А пустота, как известно, притягивает.

Еще очень популярны “магические квадраты”. По сути это – таблица, естественно, квадратная, заполненная числами в каждой графе. Сумма этих чисел одинакова во всех строках, столбцах и диагоналях (по отдельности). Если диагонали исключаются из равенства, то квадрат – полумагический.

Альбрехт Дюрер в 1514 году создал картину “Меланхолия I”, на которой изобразил магический квадрат 4х4. В нем сумма чисел всех столбцов, строк, диагоналей и даже внутренних квадратов равна тридцати четырем.

На базе этих таблиц появились очень интересные и популярные головоломки – “Судоку”.

Египтяне первыми стали проводить линии взаимосвязи чисел (дата рождения) и качеств характера, способностей и талантов человека. Пифагор взял эти знания, несколько переработал и поместил в квадрат. Получился Квадрат Пифагора.

Это уже отдельное направление в нумерологии. Из даты рождения человека путем сложений высчитывают четыре основных числа, которые помещают в психоматрицу (квадрат). Так и раскладывают все тайные сведения о вашей энергии, здоровье, таланте, удаче, темпераменте и прочем по полочкам. В среднем, по опросам достоверность составляет 60%-80%.

Что такое квадрат?

Квадратом называют геометрическую фигуру. Форма квадрата – четырехугольник, который имеет равные стороны и углы. Еще точнее, этот четырехугольник называют правильным.

У квадрата есть свои признаки. Это:

• стороны, равные по длине;
• равные между собой углы – прямые (по 90 градусов).

В силу этих признаков и особенностей в квадрат можно вписать окружность и описать ее вокруг него. Описанная окружность будет касаться всех его вершин, вписанная – середины всех его сторон. Их центр будет совпадать с центром квадрата и разделит все его диагонали пополам. Последние, в свою очередь, равны между собой и делят углы квадрата на равные части.

Одна диагональ разделяет квадрат на два равнобедренных треугольника, обе – на четыре.

Таким образом, если длина стороны квадрата – t, длина радиуса описанной окружности – R, а вписанной – r, то

• площадь основания квадрата, или площадь квадрата (S) будет равна S=t 2 =2R 2 =4r 2 ;

• периметр квадрата P следует вычислять по формуле P=4t=4√2R=8r;

• длину радиуса описанной окружности R=(√2/2)t;

• вписанной – r=t/2.

Площадь основания квадрата еще можно вычислить, зная его сторону (a) или длину его диагонали (c), тогда формулы будут выглядеть соответственно: S=a 2 и S=1/2c 2 .

Что такое квадрат, мы с вами выяснили. Давайте подробнее рассмотрим детали, ведь фигура квадрат самый симметричный четырехугольник. У него пять осей симметрии, причем одна (четвертого порядка) проходит через центр и является перпендикуляром к плоскости самого квадрата, а четыре другие – оси симметрии второго порядка, две из них параллельны сторонам, а еще две проходят через диагонали квадрата.

Способы построения квадрата

Исходя из определений, кажется, что нет ничего проще, чем построить правильный квадрат. Это так, но при условии, что у вас есть все измерительные инструменты. А если чего-то нет в наличии?

Давайте рассмотрим существующие способы, которые помогут нам построить эту фигуру.

Измерительная линейка и угольник – это основные инструменты, при помощи которых наиболее просто можно построить квадрат.

Сначала отметьте точку, допустим А, от нее мы построим основание квадрата.

С помощью линейки отложите от нее вправо расстояние, равное длине стороны, допустим 30 мм, и поставьте точку Б.

Теперь от обеих точек, воспользовавшись угольником, проведите вверх перпендикуляры по 30 мм каждый. На концах перпендикуляров ставим точки В и Г, которые соединяем между собой, пользуясь линейкой – все, квадрат АБВГ со стороной 30 мм готов!

С помощью линейки и транспортира тоже довольно легко построить квадрат. Начните, как и в предыдущем случае с точки, допустим Н, от нее отложите горизонтальный отрезок, например 50 мм. Поставьте точку О.

Теперь центр транспортира соедините с точкой Н, поставьте отметку у величины угла 90 0 , через нее и точку Н постройте вертикальный отрезок 50 мм, на его конце поставьте точку П. Далее подобным образом постройте третий отрезок от точки О через угол 90 0 , равный 50 мм, пусть он заканчивается точкой Р. Соедините точки П и Р. У вас получился квадрат НОРП с длиной стороны 50 мм.

Можно построить квадрат, пользуясь только циркулем и линейкой. Если вам важен размер квадрата и известна длина стороны, то понадобится еще и калькулятор.

Итак, ставьте первую точку Е – это будет она из вершин квадрата. Далее укажите место, где будет находится противоположная вершина Ж, то есть постойте диагональ ЕЖ вашей фигуры. Если вы строите квадрат по размерам, то имея длину стороны, высчитайте длину диагонали по формуле:

d=√2*a, где a – длина стороны.

После того как вы узнаете длину диагонали, постройте отрезок ЕЖ этой величины. Из точки Е с помощью циркуля в направлении точки Ж проведите полукруг радиусом ЕЖ. И наоборот, из точки Ж – полукруг в сторону точки Е, радиусом ЖЕ. Через точки пересечения этих полукругов, пользуясь линейкой, постройте отрезок ЗИ. ЕЖ и ЗИ пересекаются под прямым углом и являются диагоналями будущего квадрата. Соединив точки ЕИ, ИЖ, ЖЗ и ЗЕ с помощью линейки, вы получите вписанный квадрат ЕИЖЗ.

Какие бывают квадраты?

Квадрат – фигура четко определенная и жестко ограниченная своими определениями, поэтому виды квадратов не отличаются многообразием.

В Неевклидовой геометрии квадрат воспринимается более широко – это четырехугольник с равными сторонами и углами, но градус углов не задан. Это значит, что углы могут быть и по 120 градусов (“выпуклый” квадрат) и, например, по 72 градуса (“вогнутый” квадрат).

Если вы спросите, что такое квадрат, у геометра или информатика, вам ответят, что – это полный или планарный граф (графы с К₁ по К₄). И это абсолютно справедливо. У графа есть вершины и ребра. Когда они встают в упорядоченную пару, образуется граф. Число вершин – это порядок графа, число ребер – его размер. Таким образом, квадрат – это планарный граф с четырьмя вершинами и шестью ребрами, или К₄:6.

Сторона квадрата

Одно из главных условий существования квадрата – наличие равных по длине сторон – делает сторону очень важной для различных вычислений. Но в то же время дает много способов, чтобы длина стороны квадрата была вычислена при наличии самых разных исходных данных.

Итак, как найти значение стороны квадрата?

• Если вам известна только длина диагонали квадрата d, то вычислить сторону можно по следующей формуле: a=d/√2.
• Диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата и, следовательно, двум радиусам, то есть: a=D=2R.
• Радиус описанной окружности тоже может помочь вычислить, чему равна сторона квадрата. Мы можем по радиусу R узнать диаметр D, который, в свою очередь, равен диагонали квадрата d, а формулу для стороны квадрата через диагональ мы уже знаем: a=D/√2=d/√2=2R/√2.
• Из равенства сторон следует, что узнать сторону квадрата (a) можно при помощи его периметра P или площади S: a=√S=P/4.
• Если мы знаем длину линии, которая выходит из угла квадрата и пересекает середину его смежной стороны C, то нам также удастся узнать, какова же длина стороны квадрата: a=2C/√5.

Вот сколько способов существует, чтобы выяснить такой важный параметр, как длина стороны квадрата.

Объем квадрата

Сама фраза является абсурдом. Что такое квадрат? Это плоская фигура, имеющая всего два параметра – длину и ширину. А объем? Это количественная характеристика пространства, которое занимает объект, то есть ее можно вычислить только у объемных тел.

Объемное тело, всеми гранями которого являются квадраты, – куб. Несмотря на колоссальное и принципиальное различие, школьники довольно часто пытаются вычислить объем квадрата. Если это кому-то удастся, Нобелевская премия обеспечена.

А чтобы узнать объем куба V, достаточно перемножить все три его ребра – a, b, c: V=a*b*c. А так как они по определению равны, то формула может выглядеть иначе: V=a 3 .

Величины, части и характеристики

У квадрата, как и у любого многоугольника, есть вершины – это точки, в которых пересекаются его стороны. Вершины квадрата лежат на описанной вокруг него окружности. Через вершину в центр квадрата проходит диагональ, которая также является биссектрисой и радиусом описанной окружности.

Так как квадрат – это плоская фигура, то рассечь и построить сечение квадрата невозможно. Зато он может быть результатом пересечения многих объемных тел плоскостью. Например, цилиндра. Осевое сечение у цилиндра – прямоугольник или квадрат. Даже при пересечении тела плоскостью под произвольным углом может получиться квадрат!

Но у квадрата есть еще одно отношение к сечению, да не к какому-нибудь, а к Золотому сечению.

Все мы знаем, что Золотое сечение – это пропорция, в которой одна величина относится к другой так же, как их сумма к большей величине. В обобщенном процентном выражении это выглядит следующим образом: исходная величина (сумма) делится на 62 и 38 процентов.

Да, для начала вам нужно построить квадрат. Его сторона будет равна меньшей стороне будущего прямоугольника. Затем необходимо провести диагональ этого квадрата и, воспользовавшись циркулем, длину этой диагонали отложить на продолжении стороны квадрата. Из полученной на пересечении точки выстраиваем прямоугольник, у которого снова строим диагональ и откладываем ее длину на продолжении стороны. Если продолжить работу по этой схеме, получатся те самые динамические прямоугольники.

Отношение длинной стороны первого прямоугольника к короткой будет 0,7. Это почти 0,68 в Золотом сечении.

Углы квадрата

Собственно, что-то свежее сказать об углах уже сложно. Все свойства, они же признаки квадрата, мы перечислили. Что касается углов, их четыре (как и во всяком четырехугольнике), каждый угол в квадрате – прямой, то есть имеет размер девяносто градусов. По определению, существует лишь прямоугольный квадрат. Если углы большего или меньшего размера – это уже другая фигура.

Диагонали квадрата делят его углы пополам, то есть являются биссектрисами.

Уравнение квадрата

При необходимости вычислить значение различных величин у квадрата (площади, периметра, длин сторон или диагоналей) используют различные уравнения, которые выводятся из свойств квадрата, основных законов и правил геометрии.

1. Уравнение площади квадрата

Из уравнений для вычисления площади четырехугольников мы знаем, что она (площадь) равна произведению длины и ширины. А так как стороны квадрата одинаковые по длине, то площадь его будет равна длине любой стороны, возведенной во вторую степень

Используя теорему Пифагора, мы можем вычислить площадь квадрата, зная длину его диагонали.

2. Уравнение периметра квадрата

Периметр квадрата, как и всех четырехугольников, равен сумме длин его сторон, а так как они все одинаковые, то можно сказать, что периметр квадрата равен длине стороны, умноженной на четыре

Снова теорема Пифагора поможет нам найти периметр через диагональ. Нужно значение длины диагонали умножить на два корня из двух

3. Уравнение диагонали квадрата

Диагонали квадрата равны, пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам.

Найти их можно, исходя из вышеприведенных уравнений площади и периметра квадрата

Есть еще способы узнать, какова же длина диагонали квадрата. Радиус вписанной в квадрат окружности равен половине его диагонали, отсюда

d=√2D=2√2R, где D – диаметр, а R – радиус вписанной окружности.

Зная радиус описанной окружности, рассчитать диагональ еще проще, ведь она является диаметром, то есть d=D=2R.

Но не стоит забывать, что квадрат – это участок плоскости, ограниченный четырьмя пересекающимися линиями.

Для линий (и образованных ими фигур) существует достаточно уравнений, не нуждающихся в дополнительном описании, но линия бесконечна. А многоугольники ограничены пересечением линий. Для них можно использовать линейные уравнения, объединенные в систему, задающие прямые линии. Но необходимо указывать дополнительные параметры, условия.

Для определения многоугольников же необходимо составить такое уравнение, которое бы описывало не линию, а отдельный произвольный отрезок без вмешательства дополнительных условий и описаний.

[ x/x_i ]*[ x_i/x]*y_i – вот это специальное уравнение для многоугольников.

Квадратные скобки в нем указывают на условие исключения дробной части числа, то есть мы должны оставить только целое число. y_i – функция, которая выполнятся в диапазоне параметра от x до x_i.

Используя это уравнение, можно вывести новые уравнения для вычисления отрезков и линий, состоящих из нескольких отрезков. Оно является базовым, универсальным для многоугольников.

Помним, что квадрат – это часть плоскости, поэтому его описание типа y=f(x) можно представить, чаще всего, только как многозначную функцию, которую, в свою очередь, можно выразить через однозначные, если представлять их параметрически, то есть зависящими от какого-либо параметра t:

Так вот, если использовать в совокупности универсальное уравнение и параметрическое представление, то действительно можно вывести уравнение для выражения многоугольников:

где P – диагональ прямоугольника, L – угол наклона к горизонтали диагонали P, T – параметр изменяющийся в диапазоне от P до 5P.

Если L=3,14/4, то уравнение будет описывать квадраты разной величины, в зависимости от размера диагонали P.

Применение квадрата

В современном мире технологии позволяют придавать различным материалам квадратную форму, точнее квадратное сечение.

Это во многом выгоднее, дешевле, долговечнее и безопаснее. Так, сейчас делают квадратные трубы, сваи, проволоку (провода) и даже квадратные нити.

Основные преимущества очевидны, они выходят из элементарной геометрии. При одинаковом размере площадь вписанного круга меньше площади квадрата, в который он вписан, следовательно, пропускная способность квадратной трубы или энергоемкость квадратного провода будут выше, чем у круглых аналогов.

Зачастую расходные материалы квадратного сечения более эстетичны и удобны в использовании, монтаже, креплении.

При выборе этих материалов важно правильно рассчитать сечение квадрата, чтобы провод или труба выдержали необходимую нагрузку. В каждом отдельном случае, конечно, будут необходимы такие параметры, как сила тока или давление, но и без основных геометрических правил квадрата тут не обойтись. Хотя размеры квадратных сечений уже не столько вычисляют, сколько выбирают по заданным параметрам из таблиц, установленных ГОСТами для разных отраслей.

[spoiler title=”источники:”]

http://matworld.ru/geometry/kvadrat.php

http://fb.ru/article/134956/chto-takoe-kvadrat-kak-nayti-vershinyi-sechenie-ploskost-uravnenie-obyem-ploschad-osnovaniya-i-ugol-kvadrata

[/spoiler]

Ответов на вопрос о том, что такое квадрат, может быть множество. Все зависит от того, кому вы этот вопрос адресовали. Музыкант скажет, что квадрат – это 4, 8, 16, 32 такта или джазовая импровизация. Ребенок – что это игра с мячом или детский журнал. Печатник отправит вас изучать кегли шрифта, а техник – разновидности металлопрокатного профиля.

Много и других значений у этого слова, но сегодня мы зададим вопрос математику. Итак…

Разбираться с этой фигурой мы будем постепенно, от простого к сложному, и начнем с истории квадрата. Как он появился, как его воспринимали люди, ученые разных стран и цивилизаций?

История изучения квадрата

Древний мир воспринимает квадрат, главным образом, как четыре стороны света. Вообще, несмотря на множество четырехугольников, именно у квадрата главное число – четыре. Для ассирийцев и перуанцев квадрат – весь мир, то есть он представляет четыре основных направления, стороны света.

Даже Вселенную представляли как квадрат, еще и разделенный на четыре части – это видение жителей Северной Америки. Для кельтов вселенная – это целых три квадрата, вложенных друг в друга, а из центра вытекают четыре (!) реки. А египтяне вообще обожествляли эту фигуру!

Впервые описали квадрат посредством математических формул греки. Но для них этот многоугольник обладал только отрицательными характеристиками. Пифагор вообще не любил четные числа, видя в них слабость и женственность.

Даже в религиях присутствует квадрат. В Исламе Кааба – пуп Земли – имеет не какую-нибудь сферическую, а именно кубическую форму.

В Индии главной графемой, изображающей Землю, или символом земли, был перекрещенный квадрат. И снова речь идет о четырех сторонах света, четырех областях земли.

В Китае квадрат – это мир, гармония и порядок. Хаос побеждается построением квадратной Вары. А квадрат, вписанный в круг, является основой видения мира, символизируя единство и связь Космоса и Земли.

Языческая Русь – Квадрат Сварога. Этот символ еще называют Звездой Сварога, или Звездой Руси. Он довольно сложный, так как составлен из пересекающихся и замкнутых линий. Сварог – бог-Кузнец, самый главный творец, создатель и само небо в представлении русичей. В этом символе есть ромб, что опять говорит о Земле и четырех ее направлениях. И звезда с четырьмя лучами – 4 стороны света, 4 лика Сварога – его всеведение. А пересечение лучей – очаг.

Интересное о квадрате

Самое популярное словосочетание, которое приходит в голову о нашем главном герое – “Черный Квадрат”.

Картина Малевича до сих пор очень популярна. Сам автор после ее создания долго мучился вопросом о том, что же это такое, и почему простой черный квадрат на белом фоне так притягивает внимание к себе.

Но если вы приглядитесь внимательно, то заметите, что плоскость квадрата не гладкая, а в трещинах черной краски есть множество разноцветных оттенков. Видимо, вначале была некая композиция, которая автору не понравилась, и он закрыл ее от наших глаз этой фигурой. Черный квадрат, как ничто – черная дыра, только магической квадратной формы. А пустота, как известно, притягивает…

Еще очень популярны “магические квадраты”. По сути это – таблица, естественно, квадратная, заполненная числами в каждой графе. Сумма этих чисел одинакова во всех строках, столбцах и диагоналях (по отдельности). Если диагонали исключаются из равенства, то квадрат – полумагический.

Альбрехт Дюрер в 1514 году создал картину “Меланхолия I”, на которой изобразил магический квадрат 4х4. В нем сумма чисел всех столбцов, строк, диагоналей и даже внутренних квадратов равна тридцати четырем.

На базе этих таблиц появились очень интересные и популярные головоломки – “Судоку”.

Египтяне первыми стали проводить линии взаимосвязи чисел (дата рождения) и качеств характера, способностей и талантов человека. Пифагор взял эти знания, несколько переработал и поместил в квадрат. Получился Квадрат Пифагора.

Это уже отдельное направление в нумерологии. Из даты рождения человека путем сложений высчитывают четыре основных числа, которые помещают в психоматрицу (квадрат). Так и раскладывают все тайные сведения о вашей энергии, здоровье, таланте, удаче, темпераменте и прочем по полочкам. В среднем, по опросам достоверность составляет 60%-80%.

Что такое квадрат?

Квадратом называют геометрическую фигуру. Форма квадрата – четырехугольник, который имеет равные стороны и углы. Еще точнее, этот четырехугольник называют правильным.

У квадрата есть свои признаки. Это:

• стороны, равные по длине;
• равные между собой углы – прямые (по 90 градусов).

В силу этих признаков и особенностей в квадрат можно вписать окружность и описать ее вокруг него. Описанная окружность будет касаться всех его вершин, вписанная – середины всех его сторон. Их центр будет совпадать с центром квадрата и разделит все его диагонали пополам. Последние, в свою очередь, равны между собой и делят углы квадрата на равные части.

Одна диагональ разделяет квадрат на два равнобедренных треугольника, обе – на четыре.

Таким образом, если длина стороны квадрата – t, длина радиуса описанной окружности – R, а вписанной – r, то

• площадь основания квадрата, или площадь квадрата (S) будет равна S=t²=2R²=4r²;

• периметр квадрата P следует вычислять по формуле P=4t=4√2R=8r;

• длину радиуса описанной окружности R=(√2/2)t;

• вписанной – r=t/2.

Площадь основания квадрата еще можно вычислить, зная его сторону (a) или длину его диагонали (c), тогда формулы будут выглядеть соответственно: S=a² и S=1/2c².

Что такое квадрат, мы с вами выяснили. Давайте подробнее рассмотрим детали, ведь фигура квадрат самый симметричный четырехугольник. У него пять осей симметрии, причем одна (четвертого порядка) проходит через центр и является перпендикуляром к плоскости самого квадрата, а четыре другие – оси симметрии второго порядка, две из них параллельны сторонам, а еще две проходят через диагонали квадрата.

Способы построения квадрата

Исходя из определений, кажется, что нет ничего проще, чем построить правильный квадрат. Это так, но при условии, что у вас есть все измерительные инструменты. А если чего-то нет в наличии?

Давайте рассмотрим существующие способы, которые помогут нам построить эту фигуру.

Измерительная линейка и угольник – это основные инструменты, при помощи которых наиболее просто можно построить квадрат.

Сначала отметьте точку, допустим А, от нее мы построим основание квадрата.

С помощью линейки отложите от нее вправо расстояние, равное длине стороны, допустим 30 мм, и поставьте точку Б.

Теперь от обеих точек, воспользовавшись угольником, проведите вверх перпендикуляры по 30 мм каждый. На концах перпендикуляров ставим точки В и Г, которые соединяем между собой, пользуясь линейкой – все, квадрат АБВГ со стороной 30 мм готов!

С помощью линейки и транспортира тоже довольно легко построить квадрат. Начните, как и в предыдущем случае с точки, допустим Н, от нее отложите горизонтальный отрезок, например 50 мм. Поставьте точку О.

Теперь центр транспортира соедините с точкой Н, поставьте отметку у величины угла 90⁰, через нее и точку Н постройте вертикальный отрезок 50 мм, на его конце поставьте точку П. Далее подобным образом постройте третий отрезок от точки О через угол 90⁰, равный 50 мм, пусть он заканчивается точкой Р. Соедините точки П и Р. У вас получился квадрат НОРП с длиной стороны 50 мм.

Можно построить квадрат, пользуясь только циркулем и линейкой. Если вам важен размер квадрата и известна длина стороны, то понадобится еще и калькулятор.

Итак, ставьте первую точку Е – это будет она из вершин квадрата. Далее укажите место, где будет находится противоположная вершина Ж, то есть постойте диагональ ЕЖ вашей фигуры. Если вы строите квадрат по размерам, то имея длину стороны, высчитайте длину диагонали по формуле:

d=√2*a, где a – длина стороны.

После того как вы узнаете длину диагонали, постройте отрезок ЕЖ этой величины. Из точки Е с помощью циркуля в направлении точки Ж проведите полукруг радиусом ЕЖ. И наоборот, из точки Ж – полукруг в сторону точки Е, радиусом ЖЕ. Через точки пересечения этих полукругов, пользуясь линейкой, постройте отрезок ЗИ. ЕЖ и ЗИ пересекаются под прямым углом и являются диагоналями будущего квадрата. Соединив точки ЕИ, ИЖ, ЖЗ и ЗЕ с помощью линейки, вы получите вписанный квадрат ЕИЖЗ.

Еще есть возможность построить квадрат с помощью одной линейки. Что такое квадрат? Это участок плоскости, ограниченный пересекающимися отрезками (линиями, лучами). Следовательно, мы можем построить квадрат по координатам его вершин. Сначала начертите оси координат. Стороны квадрата могут лежать на них, или центр пересечения диагоналей будет совпадать с точкой начала координат – это зависит от вашего желания или условий задачи. Возможно, ваша фигура будет отстоять от осей на некотором расстоянии. В любом случае, сначала отмечаете по числовым значениям (произвольно или условно) две точки, тогда вам будет известна длина стороны квадрата. Теперь можно вычислить координаты оставшихся двух вершин, помня, что стороны квадрата равны и между собой попарно параллельны. Последний шаг – соединить все точки последовательно между собой с помощью линейки.

Какие бывают квадраты?

Квадрат – фигура четко определенная и жестко ограниченная своими определениями, поэтому виды квадратов не отличаются многообразием.

В Неевклидовой геометрии квадрат воспринимается более широко – это четырехугольник с равными сторонами и углами, но градус углов не задан. Это значит, что углы могут быть и по 120 градусов (“выпуклый” квадрат) и, например, по 72 градуса (“вогнутый” квадрат).

Если вы спросите, что такое квадрат, у геометра или информатика, вам ответят, что – это полный или планарный граф (графы с К₁ по К₄). И это абсолютно справедливо. У графа есть вершины и ребра. Когда они встают в упорядоченную пару, образуется граф. Число вершин – это порядок графа, число ребер – его размер. Таким образом, квадрат – это планарный граф с четырьмя вершинами и шестью ребрами, или К₄:6.

Сторона квадрата

Одно из главных условий существования квадрата – наличие равных по длине сторон – делает сторону очень важной для различных вычислений. Но в то же время дает много способов, чтобы длина стороны квадрата была вычислена при наличии самых разных исходных данных.

Итак, как найти значение стороны квадрата?

• Если вам известна только длина диагонали квадрата d, то вычислить сторону можно по следующей формуле: a=d/√2.
• Диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата и, следовательно, двум радиусам, то есть: a=D=2R.
• Радиус описанной окружности тоже может помочь вычислить, чему равна сторона квадрата. Мы можем по радиусу R узнать диаметр D, который, в свою очередь, равен диагонали квадрата d, а формулу для стороны квадрата через диагональ мы уже знаем: a=D/√2=d/√2=2R/√2.
• Из равенства сторон следует, что узнать сторону квадрата (a) можно при помощи его периметра P или площади S: a=√S=P/4.
• Если мы знаем длину линии, которая выходит из угла квадрата и пересекает середину его смежной стороны C, то нам также удастся узнать, какова же длина стороны квадрата: a=2C/√5.

Вот сколько способов существует, чтобы выяснить такой важный параметр, как длина стороны квадрата.

Объем квадрата

Сама фраза является абсурдом. Что такое квадрат? Это плоская фигура, имеющая всего два параметра – длину и ширину. А объем? Это количественная характеристика пространства, которое занимает объект, то есть ее можно вычислить только у объемных тел.

Объемное тело, всеми гранями которого являются квадраты, – куб. Несмотря на колоссальное и принципиальное различие, школьники довольно часто пытаются вычислить объем квадрата. Если это кому-то удастся, Нобелевская премия обеспечена.

А чтобы узнать объем куба V, достаточно перемножить все три его ребра – a, b, c: V=a*b*c. А так как они по определению равны, то формула может выглядеть иначе: V=a³.

Величины, части и характеристики

У квадрата, как и у любого многоугольника, есть вершины – это точки, в которых пересекаются его стороны. Вершины квадрата лежат на описанной вокруг него окружности. Через вершину в центр квадрата проходит диагональ, которая также является биссектрисой и радиусом описанной окружности.

Так как квадрат – это плоская фигура, то рассечь и построить сечение квадрата невозможно. Зато он может быть результатом пересечения многих объемных тел плоскостью. Например, цилиндра. Осевое сечение у цилиндра – прямоугольник или квадрат. Даже при пересечении тела плоскостью под произвольным углом может получиться квадрат!

Но у квадрата есть еще одно отношение к сечению, да не к какому-нибудь, а к Золотому сечению.

Все мы знаем, что Золотое сечение – это пропорция, в которой одна величина относится к другой так же, как их сумма к большей величине. В обобщенном процентном выражении это выглядит следующим образом: исходная величина (сумма) делится на 62 и 38 процентов.

Золотое сечение очень популярно. Оно используется в дизайне, архитектуре, да где угодно, даже в экономике. Но это далеко не единственная пропорция, выведенная Пифагором. Есть, например, еще выражение “√2”. На его основе проводится построение динамических прямоугольников, которые, в свою очередь, являются основоположниками форматов группы А (А6, А5, А4 и т.п.). Почему речь зашла о динамических прямоугольниках? Потому что их построение начинается с квадрата.

Да, для начала вам нужно построить квадрат. Его сторона будет равна меньшей стороне будущего прямоугольника. Затем необходимо провести диагональ этого квадрата и, воспользовавшись циркулем, длину этой диагонали отложить на продолжении стороны квадрата. Из полученной на пересечении точки выстраиваем прямоугольник, у которого снова строим диагональ и откладываем ее длину на продолжении стороны. Если продолжить работу по этой схеме, получатся те самые динамические прямоугольники.

Отношение длинной стороны первого прямоугольника к короткой будет 0,7. Это почти 0,68 в Золотом сечении.

Углы квадрата

Собственно, что-то свежее сказать об углах уже сложно. Все свойства, они же признаки квадрата, мы перечислили. Что касается углов, их четыре (как и во всяком четырехугольнике), каждый угол в квадрате – прямой, то есть имеет размер девяносто градусов. По определению, существует лишь прямоугольный квадрат. Если углы большего или меньшего размера – это уже другая фигура.

Диагонали квадрата делят его углы пополам, то есть являются биссектрисами.

Уравнение квадрата

При необходимости вычислить значение различных величин у квадрата (площади, периметра, длин сторон или диагоналей) используют различные уравнения, которые выводятся из свойств квадрата, основных законов и правил геометрии.

1. Уравнение площади квадрата

Из уравнений для вычисления площади четырехугольников мы знаем, что она (площадь) равна произведению длины и ширины. А так как стороны квадрата одинаковые по длине, то площадь его будет равна длине любой стороны, возведенной во вторую степень

S=a².

Используя теорему Пифагора, мы можем вычислить площадь квадрата, зная длину его диагонали.

S=d²/2.

2. Уравнение периметра квадрата

Периметр квадрата, как и всех четырехугольников, равен сумме длин его сторон, а так как они все одинаковые, то можно сказать, что периметр квадрата равен длине стороны, умноженной на четыре

P=a+a+a+a=4a.

Снова теорема Пифагора поможет нам найти периметр через диагональ. Нужно значение длины диагонали умножить на два корня из двух

P=2√2d

3. Уравнение диагонали квадрата

Диагонали квадрата равны, пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам.

Найти их можно, исходя из вышеприведенных уравнений площади и периметра квадрата

d=√2*a, d=√2S, d=P/2√2

Есть еще способы узнать, какова же длина диагонали квадрата. Радиус вписанной в квадрат окружности равен половине его диагонали, отсюда

d=√2D=2√2R, где D – диаметр, а R – радиус вписанной окружности.

Зная радиус описанной окружности, рассчитать диагональ еще проще, ведь она является диаметром, то есть d=D=2R.

Также есть возможность вычислить длину диагонали, зная длину линии, выходящей из угла к центру стороны квадрата C: d=√8/5*C.

Но не стоит забывать, что квадрат – это участок плоскости, ограниченный четырьмя пересекающимися линиями.

Для линий (и образованных ими фигур) существует достаточно уравнений, не нуждающихся в дополнительном описании, но линия бесконечна. А многоугольники ограничены пересечением линий. Для них можно использовать линейные уравнения, объединенные в систему, задающие прямые линии. Но необходимо указывать дополнительные параметры, условия.

Для определения многоугольников же необходимо составить такое уравнение, которое бы описывало не линию, а отдельный произвольный отрезок без вмешательства дополнительных условий и описаний.

[ x/x_i ]*[ x_i/x]*y_i – вот это специальное уравнение для многоугольников.

Квадратные скобки в нем указывают на условие исключения дробной части числа, то есть мы должны оставить только целое число. y_i – функция, которая выполнятся в диапазоне параметра от x до x_i.

Используя это уравнение, можно вывести новые уравнения для вычисления отрезков и линий, состоящих из нескольких отрезков. Оно является базовым, универсальным для многоугольников.

Помним, что квадрат – это часть плоскости, поэтому его описание типа y=f(x) можно представить, чаще всего, только как многозначную функцию, которую, в свою очередь, можно выразить через однозначные, если представлять их параметрически, то есть зависящими от какого-либо параметра t:

x=f(t), y=f(t).

Так вот, если использовать в совокупности универсальное уравнение и параметрическое представление, то действительно можно вывести уравнение для выражения многоугольников:

x=((A2+A3)*A5+A4*P)*Cos(L)

y=((A1+A4)*A5+A3*P)*Sin(L),

где

A1=[1/[T/P]]*[T/P]; A2=[2/[T/P]]*[[T/P]/2]; A3=[3/[T/P]]*[[T/P]/3]; A4=[4/[T/P]]*[[T/P]/4]; A5=T-P*[T/P],

где P – диагональ прямоугольника, L – угол наклона к горизонтали диагонали P, T – параметр изменяющийся в диапазоне от P до 5P.

Если L=3,14/4, то уравнение будет описывать квадраты разной величины, в зависимости от размера диагонали P.

Применение квадрата

В современном мире технологии позволяют придавать различным материалам квадратную форму, точнее квадратное сечение.

Это во многом выгоднее, дешевле, долговечнее и безопаснее. Так, сейчас делают квадратные трубы, сваи, проволоку (провода) и даже квадратные нити.

Основные преимущества очевидны, они выходят из элементарной геометрии. При одинаковом размере площадь вписанного круга меньше площади квадрата, в который он вписан, следовательно, пропускная способность квадратной трубы или энергоемкость квадратного провода будут выше, чем у круглых аналогов.

Зачастую расходные материалы квадратного сечения более эстетичны и удобны в использовании, монтаже, креплении.

При выборе этих материалов важно правильно рассчитать сечение квадрата, чтобы провод или труба выдержали необходимую нагрузку. В каждом отдельном случае, конечно, будут необходимы такие параметры, как сила тока или давление, но и без основных геометрических правил квадрата тут не обойтись. Хотя размеры квадратных сечений уже не столько вычисляют, сколько выбирают по заданным параметрам из таблиц, установленных ГОСТами для разных отраслей.

Как вписать квадрат в окружность

Вписать квадрат в окружность легко можно с помощью чертежных инструментов. Но эта задача решается даже при полном их отсутствии. Необходимо только помнить некоторые свойства квадрата.

Вам понадобится

• -циркуль
• -карандаш
• -угольник
• -ножницы

Инструкция

Нарисуйте эскиз к задаче. Очевидно, что диаметр окружности является диагональю вписанного в эту окружность квадрата. Вспомните известное свойство квадрата: его диагонали взаимно перпендикулярны. Используйте эту взаимосвязь диагоналей при построении заданного квадрата.

Начертите в окружности диаметр. Из центра с помощью угольника проведите второй диаметр под углом 90 градусов к первому. Соедините точки пересечения перпендикулярных диаметров с окружностью и получите вписанный в эту окружность квадрат.

Если из чертежных инструментов у вас имеется только циркуль, начертите окружность. Отметьте на окружности произвольную точку и проведите через нее диаметр с помощью любого предмета с ровным краем. Теперь нужно с помощью циркуля разделить половину окружности между концами диаметра на две равные части. Из точек пересечения диаметра с окружностью сделайте две засечки, сохраняя неизменным раствор циркуля. Через точку пересечения этих засечек и центр окружности проведите второй диаметр. Очевидно, что он будет перпендикулярен первому.

Если чертежных инструментов у вас нет, можно ножницами вырезать из бумаги круг, ограниченный заданной окружностью. Сложите вырезанную фигуру точно пополам. Повторите операцию. Нужно совместить концы линии сгиба, тогда криволинейные участки совпадут без дополнительных усилий. Зафиксируйте линии сложения. Теперь разверните круг. Линии сгибов отчетливо видны. Загните сегменты круга между точками пересечения линий сгибов с окружностью и отрежьте эти сегменты. Линии отреза являются сторонами искомого квадрата. Поместите вырезанный квадрат в заданную окружность, совместив ее центр с точкой пересечения линий сгиба круга. Вершины квадрата окажутся лежащими на окружности, что и требовалось выполнить.

Квадрат. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ квадрата, радиус вписанной в квадрат окружности, радиус описанной вокруг квадрата окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку “Вычислить”. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Квадрат − это четырехугольник, у которого все углы равны и все стороны равны (Рис.1):

Можно дать и другие определение квадрата.

Определение 2. Квадрат − это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Определение 3. Квадрат − это ромб, у которого все углы прямые (или равны).

Свойства квадрата

• Длины всех сторон квадрата равны.
• Все углы квадрата прямые.
• Диагонали квадрата равны.
• Диагонали пересекаются под прямым углом.
• Диагонали квадрата являются биссектрисами углов.
• Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

Изложеннные свойства изображены на рисунках ниже:

Диагональ квадрата

Определение 4. Диагональю квадрата называется отрезок, соединяющий несмежные вершины квадрата.

На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. У квадрата две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

или

Из равенства (1) найдем d:

Пример 1. Сторона квадрата равна a=53. Найти диагональ квадрата.

Решение. Для нахождения диагонали квадрата воспользуемся формулой (2). Подставляя a=53 в (2), получим:

Ответ:

Окружность, вписанная в квадрат

Определение 5. Окружность называется вписанной в квадрат, если все стороны касаются этого квадрата (Рис.3):

Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата

Из рисунка 3 видно, что диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата. Следовательно, формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата имеет вид:

Пример 2. Сторона квадрата равна a=21. Найти радиус вписанной окружности.

Решение. Для нахождения радиуса списанной окружности воспользуемся формулой (3). Подставляя a=21 в (3), получим:

Ответ:

Формула вычисления сторон квадрата через радиус вписанной окружности

Из формулы (3) найдем a. Получим формулу вычисления стороны квадрата через радиус вписанной окружности:

Пример 3. Радиус вписанной в квадрат окружности равен r=12. Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадраиа воспользуемся формулой (4). Подставляя r=12 в (4), получим:

Ответ:

Окружность, описанная около квадрата

Определение 6. Окружность называется описанной около квадрата, если все вершины квадрата находятся на этой окружности (Рис.4):

Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около квадрата через сторону квадрата.

Обозначим через a сторону квадрата, а через R − радиус описанной около квадрата окружности. Проведем диагональ BD (Рис.4). Треугольник ABD является прямоугольным треугольником. Тогда из теоремы Пифагора имеем:

или

Из формулы (5) найдем R:

или, умножая числитель и знаменатель на , получим:

Пример 4. Сторона квадрата равна a=4.5. Найти радиус окружности, описанной вокруг квадрата.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг квадрата воспользуемся формулой (7). Подставляя a=4.5 в (7), получим:

Ответ:

Формула стороны квадрата через радиус описанной около квадрата окружности

Выведем формулу вычисления стороны квадрата, через радиус описанной около квадрата окружности.

Из формулы (1) выразим a через R:

Пример 5. Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадрата воспользуемся формулой (8). Подставляя в (8), получим:

Ответ:

Периметр квадрата

Периметр квадрата − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

Поскольку стороны квадрата равны, то периметр квадрата вычисляется формулой:

где − сторона квадрата.

Пример 6. Сторона квадрата равен . Найти периметр квадрата.

Решение. Для нахождения периметра квадрата воспользуемся формулой (9). Подставляя в (9), получим:

Ответ:

Признаки квадрата

Признак 1. Если в четырехугольнике все стороны равны и один из углов четырехугольника прямой, то этот четырехугольник является квадратом.

Доказательство. По условию, в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник праллелограмм (признак 2 статьи Параллелограмм). В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно напротив прямого угла находится прямой угол. Тогда сумма остальных двух углов равна: 360°-90°-90°=180°, но поскольку они также являются противоположными углами, то они также равны и каждый из них равен 90°. Получили, что все углы четырехугольника прямые и, по определению 1, этот четырехугольник является квадратом.

Признак 2. Если в четырехугольнике диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является квадратом (Рис.5).

Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O и пусть

Так как AD и BC перпендикулярны, то

Из (10) и (11) следует, что треугольники OAB, OBD, ODC, OCA равны (по двум сторонам и углу между ними (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников)). Тогда

Эти реугольники также равнобедренные. Тогда

Из (13) следует, что

Равенства (12) и (14) показывают, что четырехугольник ABCD является квадратом (определение 1).

Смотрите также:

• Площадь квадрата онлайн