Как найти вершины многоугольника 5 класс

Многоугольники

• Выпуклые и вогнутые
• Периметр
• Диагональ

Многоугольник — это геометрическая фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией, не имеющей самопересечений.

Звенья ломаной называются сторонами многоугольника, а её вершины — вершинами многоугольника.

Углами многоугольника называются внутренние углы, образованные соседними сторонами. Число углов многоугольника равно числу его вершин и сторон.

Многоугольникам даются названия по количеству сторон. Многоугольник с наименьшим количеством сторон называется треугольником, он имеет всего три стороны. Многоугольник с четырьмя сторонами называется четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и т. д.

Обозначение многоугольника составляют из букв, стоящих при его вершинах, называя их по порядку (по часовой или против часовой стрелки). Например, говорят или пишут: пятиугольник  ABCDE:

В пятиугольнике  ABCDE  точки  A,  B,  C,  D  и  E  — это вершины пятиугольника, а отрезки  AB,  BC,  CD,  DE  и  EA  — стороны пятиугольника.

Выпуклые и вогнутые

Многоугольник называется выпуклым, если ни одна из его сторон, продолженная до прямой линии, его не пересекает. В обратном случае многоугольник называется вогнутым:

Периметр

Сумма длин всех сторон многоугольника называется его периметром.

Периметр многоугольника  ABCDE  равен:

AB + BC + CD + DE + EA.

Если у многоугольника равны все стороны и все углы, то его называют правильным. Правильными многоугольниками могут быть только выпуклые многоугольники.

Диагональ

Диагональ многоугольника — это отрезок, соединяющий вершины двух углов, не имеющих общей стороны. Например, отрезок  AD  является диагональю:

Единственным многоугольником, который не имеет ни одной диагонали, является треугольник, так как в нём нет углов, не имеющих общих сторон.

Если из какой-нибудь вершины многоугольника провести все возможные диагонали, то они разделят многоугольник на треугольники:

Треугольников будет ровно на два меньше, чем сторон:

t = n – 2,

где  t  — это количество треугольников, а  n  — количество сторон.

Разделение многоугольника на треугольники с помощью диагоналей используется для нахождения площади многоугольника, так как чтобы найти площадь какого-нибудь многоугольника, нужно разбить его на треугольники, найти площадь этих треугольников и полученные результаты сложить.

Математика

5 класс

Урок №37

Многоугольники

Перечень рассматриваемых вопросов:

– наглядные представления о фигурах на плоскости;

– многоугольники;

– периметр многоугольника;

– выпуклые многоугольники;

– изображение геометрических фигур.

Тезаурус

Многоугольник – это фигура, образованная ломаной, у которой никакие два звена не имеют общих точек, кроме концов соседних звеньев ломаной.

Периметр многоугольника – это сумма всех его сторон.

Диагональ многоугольника – это отрезок, соединяющий две несмежные вершины многоугольника.

Обязательная литература

Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 класс. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Мы уже знаем, из каких элементов состоят некоторые геометрические фигуры и как их изобразить на плоскости. Сегодня мы рассмотрим многоугольник.

Ломаная линия лежит в основе построения многоугольника.

Построим ломаную. Для этого отметим на плоскости несколько точек – например, пять. Соединим их так, чтобы никакие два из отрезков, имеющих общие точки, не лежали на одной прямой. Полученная фигура и будет ломаной, которую обозначают A, B, C, D, E.

Отрезки АВ, ВС, СD,DE называются звеньями ломаной. У ломаной, которую мы изобразили, четыре звена.

Если измерить длину каждого звена и найти их сумму, то получится длина ломаной.

Измерим длину ломаной.

АВ = 4 см

ВС = 2 см

СD = 3 см

DE = 5 см

Сумма длин всех звеньев равна:

АВ + ВС + СD + DЕ = 14 см – длина ломаной

Теперь нарисуем ломаную таким образом, чтобы её конец совпадал с началом. Получается замкнутая ломаная A, B, C, D, E, А.

Фигуру, образованную таким образом, называют многоугольником. То есть многоугольник – это фигура, образованная ломаной, у которой никакие два звена не имеют общих точек, кроме концов соседних звеньев ломаной.

Стоит помнить, что многоугольником является как замкнутая линия, так и эта линия вместе с плоскостью внутри неё.

Такие звенья называются сторонами многоугольника. В нашем случае это стороны АВ, ВС, СD,DE, ЕА.

Углы, образованные двумя соседними сторонами, называют углами многоугольника, а их вершины – вершинами многоугольника.

∠А, ∠В, ∠С, ∠D, ∠E – углы многоугольника

Точки А, В, С, D, E – вершины многоугольника

Кроме того, у многоугольника есть ещё и диагонали.

Диагональ – это отрезок, соединяющий две несмежные вершины многоугольника. АС, СЕ – диагонали.

Сумма всех сторон многоугольника составляет периметр многоугольника.

P = АВ + ВС + СD + DЕ + ЕА

Рассмотрим разновидности многоугольников.

Многоугольник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону.

Например, многоугольник ABCDE – выпуклый. А многоугольник MNKLO – нет.

По числу сторон многоугольники делятся на треугольники, пятиугольники и так далее.

Кроме того, многоугольники, у которых все стороны и все углы равны, называют правильными. Например, квадрат.

Многоугольники можно сравнить путём наложения. Если они полностью накладываются друг на друга, то считаются равными. При этом стоит помнить, они имеют одинаковые площади.

Для определения площади многоугольника надо выяснить, сколько раз выбранная единица измерения содержится в этой фигуре.

Не только человек может рисовать многоугольники. Природа тоже создаёт многоугольники в большом разнообразии. Рассмотрим, где они встречаются. Например, шестиугольники можно увидеть в сотах пчёл и – под микроскопом – в строении глаза мухи или некоторых других насекомых.

Панцирь черепахи тоже изобилует большим количеством многоугольников. Как и кожа змеи: она буквально покрыта многоугольниками. В общем, природа постаралась и разнообразила мир геометрическими фигурами.

Тренировочные задания

№ 1. Чему равен периметр правильного шестиугольника со стороной 4 см?

Решение: для решения этой задачи достаточно вспомнить, что в правильных фигурах все стороны равны, следовательно, все стороны шестиугольника равны 4 см. Вычислим периметр шестиугольника, это сумма всех его сторон.

Р = 4 см + 4 см + 4 см + 4 см + 4 см + 4 см = 24 см

Ответ: 24 см.

№ 2. Из листа железа размером 10 × 14 см вырезали два квадрата со стороной 4 см и три прямоугольника со сторонами 2см и 6см. Определите площадь остатка.

Решение: сначала найдём площадь листа:

S = 10 cм · 14 см = 140 см²

Далее вычислим площадь квадратов со сторонами 4см:

S = 4 cм · 4 см = 16 см²

Тогда площадь двух квадратов равна:

16 см²· 2 = 32 см²

Найдём площадь прямоугольника:

S = 2 cм · 6 см = 12 см²

Тогда площадь трёх прямоугольников равна:

12 см²· 3 = 36 см²

Определим площади всех квадратов и прямоугольников, вырезанных из листа:

32 см² + 36 см² = 68 см²

А теперь найдём площадь остатка: 140 см² – 68 см² = 72 см²

Ответ 72 см²

Многоугольник

Определение 1. Многоугольник − замкнутая ломаная линия.

Объединение многоугольника и ограниченной им части плоскости также называют многоугольником. Поэтому представим другое определение многоугольника:

Определение 2. Многоугольник − это геометрическая фигура, которая является частю плоскости, ограниченная замкнутой ломаной.

Вершины ломаной называются вершинами многоугольника. Звенья ломаной называются сторонами многоугольника.

Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней областью многоугольника, а другая внешней областью многоугольника.

Виды многоугольников

Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четыремя вершинами − четырехугольником, с пяти вершинами − пятиугольником, и т.д. Многоугольник с ( small n ) вершинами называется ( small n- )угольником.

На рисунке 1 представлены различные виды многоугольников.

Обозначение многоугольника

Обозначают многоугольник буквами, стоящих при его вершинах. Называют многоугольник чередовав буквы при его вершинах по часовой стрелке или против часовой стрелки. Например, многоугольник на рисунке 2 называют ( small A_1A_2A_3A_4A_5A_6 ) или ( small A_6A_5A_4A_3A_2A_1 ).

Соседние вершины многоугольника

Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.

На рисунке 2 вершины ( small A_2 ) и ( small A_3 ) являются соседними, так как они являются концами стороны ( small A_2A_3. )

Смежные стороны многоугольника

Стороны многоугольника называются смежными, если они имеют общую вершину.

На рисунке 2 стороны ( small A_4A_5 ) и ( small A_5A_6 ) являются смежными, так как они имеют общую вершину ( small A_5. )

Простой многоугольник. Самопересекающийся многоугольник

Многоугольник называется простым, если его несмежные стороны не имеют общих точек (внутренних или концевых).

На рисунке 3 изображен простой многоугольник так как стороны многоугольника не имеют самопересечений. А на рисунке 4 многоугольник не является простым, так как стороны ( small A_1A_4 ) и ( small A_2A_3 ) пересекаются. Такой многоугольник называется самопересекающийся многоугольник.

Выпуклый многоугольник

Многоугольник называется выпуклым, если она лежит по одну сторону от прямой, проходящей через любую его сторону.

На рисунке 5 многоугольник лежит по одну сторону от прямых ( small m, n, l, p, q, r) проходящих через стороны многоугольника.

На рисунке 6 прямая ( small m) делит многоугольник на две части, т.е. многоугольник не лежит по одну сторону от прямой ( small m). Следовательно многоугольник не является выпуклым.

Правильный многоугольник

Простой многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все углы равны. Например равносторонний треугольник является правильным многоугольником, поскольку все его стороны равны, и все его углы равны 60°. Квадрат является правильным многоугольником, так как все его стороны равны и все его углы равны 90°.

На рисунке 7 изображен правильный многоугольник (пятиугольник), так как у данного многоугольника все стороны равны и все углы равны. Многоугольник (ромб) на на рисунке 8 не является правильным, так как все стороны многоугольника равны, но все углы многоугольника не равны друг другу. Прямоугольник также не является правильным многоугольником, так как несмотря на то, что все углы прямоугольника равны, но все четыре стороны прямоугольника не равны друг другу.

Звездчатый многоугольник

Самопересекающийся многоугольник, все стороны которого равны и все углы равны, называется звездчатым или звездчато-правильным.

На рисунке 9 представлен звездчатый пятиугольник поскольку все углы ( small A_1, A_2, A_3, A_4, A_5 ) равны и равны все стороны: ( small A_1A_2=A_2A_3=A_3A_4=A_4A_5=A_5A_1. )

Периметр многоугольника

Сумма всех сторон многоугольника называется периметром многоугольника. Для многоугольника ( small A_1A_2…A_{n-1}A_n ) периметр вычисляется из формулы:

Угол многоугольника

Углом (внутренним углом) многоугольника при данной вершине называется угол между двумя сторонами многоугольника, сходящимися к этой вершине. Если многоугольник выпуклый, то все углы многоугольника меньше 180°. Если же многоугольник невыпуклый, то он имеет внутренний угол больше 180° (угол ( small A_3 ) на рисунке 2).

Внешний угол многоугольника

Внешним углом многоугольника при данной вершине называется угол смежный внутреннему углу многоугольника при данной вершине.

На рисунке 10 угол 1 является внешним углом данного многоугольника при вершине ( small E. )

Диагональ многоугольника. Количество диагоналей

Диагоналями называют отрезки, соединяющие две несоседние вершины многоугольника.

Выведем форулу вычисления количества диагоналей многоугольника. Пусть задан ( small n )-угольник. Выберем одну вершину многоугольника и проведем мысленно все отрезки, соединяющие эту вершину с остальными вершинами. Получим ( small n-1 ) отрезков. Но поскольку две вершины для выбранной вершины являются соседними, а по определнию диагональ − это отрезок соединяющий несоседние вершины, то из ( small n-1 ) вычтем 2. Получим ( small n-3 ). Всего ( small n ) вершин. Следовательно количество вычисленных диагоналей будет ( small n(n-3). ) Учитывая, что каждый диагональ − это отрезок соединяющий две вершины, то получится, что мы вычислили каждый диагональ дважды. Поэтому полученное число нужно делить на два. Получим количество диагоналей ( small n- )мерного многоугольника:

Сумма углов выпуклого многоугольника

Выведем формулу вычисления суммы углов выпуклого многоугольника. Для этого проведем из вершины ( small A_1 ) все диагноали многоугольника ( small A_1A_2…A_{n-1}A_n ) (Рис.11):

Количество диагоналей, проведенной из одной вершиы, как выяснили из предыдующего параграфа равно ( small n-3 ). Следовательно, эти диагонали разделяют многоугольник на ( small n-3+1=n-2 ) треугольников. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то получим, что сумма углов выпуклого многоугольника равна: ( small 180°(n-2). )

где ( small n ) −количество сторон (вершин) выпуклого многоугольника.

Угол правильного многоугольника

Поскольку у правильного многоугольника все углы равны, то используя формулу (1) получим угол правильного многоугольника:

где ( small n ) −количество сторон (вершин) правильного многоугольника.

Презентация по теме «Многоугольники»

5 КЛАСС

ЧТО ИЗОБРАЖЕНО НА РИСУНКЕ?

А

В

С

D

Е

М

N

P

Q

R

Отрезки АВ, ВС, CD, DE –

Ломаная ABCDE – незамкнутая

Точки А, В, С, D, E –

А

В

В

C

D

C

E

D

вершины ломаной

стороны (звенья) ломаной

Многоугольник-это геометрическая фигура,
образованная замкнутой ломаной линией

А

С

E

B

D

Замкнутая ломанная линия

AB

EA

ED

CD

А

С

E

B

D

Угол
при вершине Е

Вершина А

Сторона BC

С

B

A

D

С

D

B

E

многоугольник – пятиугольник

сторон –

5

5

5

вершин –

углов –

ОПРЕДЕЛИТЕ ВИД МНОГОУГОЛЬНИКА

1

5

2

3

4

6

ВЫПУКЛЫЕ И НЕВЫПУКЛЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ

выпуклый

невыпуклый

треугольник

семиугольник

НАЗОВИТЕ:

1

5

2

3

4

6

выпуклые многоугольники

невыпуклые многоугольники

ДИАГОНАЛЬ

ДИАГОНАЛЬ – это отрезок, соединяющий любые две не соседние вершины многоугольника.

K

L

M

N

T

R

Диагональ LT

LN

LR

Определите для каждого многоугольника:
1. Сколько диагоналей можно провести из одной вершины?
2. Сколько всего диагоналей можно провести в многоугольнике?

I

II

III

IV

V

А

В

С

D

Длину границы фигуры называют периметром

Периметр – это сумма длин сторон многоугольника

РАВСD =

АВ

+

ВС

+

СD

+

АD

1. Какой многоугольник изображен на рисунке?

1. Какой многоугольник изображен на рисунке?
2. Запишите:
а) вершины, б) стороны,
в) углы многоугольника.
3. На какие два многоугольника разбивает диагональ КС данный многоугольник? 4. Сколько диагоналей можно провести из вершины В? Запишите их.

K

М

В

С

L

1.Скопируйте

1.Скопируйте
многоугольник на рабочий лист. Определите вид многоугольника и запишите ответ.
2. Измерьте его стороны и найдите периметр.
3. Какие виды углов имеет многоугольник?

C

D

F

E

R

T

Назовите треугольники, которые можно найти на данном рисунке.

Назовите треугольники, которые можно найти на данном рисунке.

А

В

С

Е

О

К

Н

D

P

F

К

L

M

N

P

Выполни тест, записав верные ответы в тетрадь

Выполни тест, записав верные ответы в тетрадь
Поменяйся тетрадями с соседом по парте.
Сравни ответы с ответами на экране.
Оцени работу товарища.

1.УКАЖИТЕ ВЕРНОЕ НАЗВАНИЕ ФИГУРЫ:
1) APMKRD, 2)KAPMDR, 3) DMPARK

А

P

M

D

R

K

2. КАК ПРИНЯТО НАЗЫВАТЬ ФИГУРУ:
1) ШЕСТИВЕРШИННИК
2) ШЕСТИСТОРОННИК
3) ШЕСТИУГОЛЬНИК

А

P

M

D

R

K

3. СУММУ ДЛИН ВСЕХ СТОРОН МНОГОУГОЛЬНИКА НАЗЫВАЮТ:
1) ПЛОЩАДЬ, 2) ПЕРИМЕТР, 3) ДИАГОНАЛЬ

4. СКОЛЬКО ДИАГОНАЛЕЙ У ТРЕУГОЛЬНИКА?

1) 1 2) 2 3) 0

5. В КАКОМ СЛОВЕ ДОПУЩЕНА ОШИБКА
1) ПЯТИУГОЛЬНИК
2) ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК
3) ТРЕХУГОЛЬНИК?

а) Что называют многоугольником?
б) Что называют сторонами, углами, вершинами многоугольника?
в) Что называют периметром многоугольника?
г) Какой многоугольник называют выпуклым?
д) Какие многоугольники называют равными?