Как найти вершины семиугольника

Как найти вершины семиугольника

Семиугольник, виды, свойства и формулы.

Семиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно семи.

Семиугольник, выпуклый и невыпуклый семиугольник

Правильный семиугольник (понятие и определение)

Свойства правильного семиугольника

Формулы правильного семиугольника

Семиугольник в природе, технике и культуре

Шестиугольник, семиугольник, восьмиугольник

Семиугольник, выпуклый и невыпуклый семиугольник:

Семиугольник – это многоугольник с семью углами.

Семиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно семи.

Семиугольник может быть выпуклым и невыпуклым.

Выпуклым многоугольником называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Невыпуклыми являются все остальные многоугольники.

Соответственно выпуклый семиугольник – это семиугольник, у которого все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Звёздчатый семиугольник – семиугольник, у которого все стороны и углы равны, а вершины совпадают с вершинами правильного семиугольника многоугольника. Стороны звёздчатого семиугольника могут пересекаться между собой.

Семиугольник, виды, свойства и формулы

Рис. 1. Выпуклый семиугольник

Семиугольник, виды, свойства и формулы

Рис. 2. Невыпуклый семиугольник

Сумма внутренних углов любого выпуклого семиугольника равна 900°.

Семиугольник_ф1

Правильный семиугольник (понятие и определение):

Правильный семиугольник – это правильный многоугольник с семью сторонами.

В свою очередь правильный многоугольник – это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.

Правильный семиугольник – это семиугольник, у которого все стороны равны, а все внутренние углы равны 128 4/7° ≈ 128,571°.

Семиугольник, виды, свойства и формулы

Рис. 3. Правильный семиугольник

Правильный семиугольник имеет 7 сторон, 7 углов и 7 вершин.

Углы правильного семиугольника образуют семь равнобедренных треугольников.

Правильный семиугольник невозможно построить с помощью циркуля и линейки, но можно построить с помощью циркуля и невсиса, то есть размеченной линейки, на которой можно делать отметки и с помощью которой можно проводить прямые, проходящие через какую-нибудь точку, причём отмеченные на линейке точки будут принадлежать данным линиям (прямым или окружностям).

Свойства правильного семиугольника:

1. Все стороны правильного семиугольника равны между собой.

a1 = a2 = a3 = a4= a5 = a6 = a7. 

2. Все углы равны между собой и составляют 128 4/7° ≈ 128,571°.

α1 = α2 = α3 = α4 = α5 = α6 = α7 = 128 4/7° ≈ 128,571°.

Семиугольник, виды, свойства и формулы

Рис. 4. Правильный семиугольник

3. Сумма внутренних углов любого правильного семиугольника равна 900°.

4. Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного семиугольника O.

Семиугольник, виды, свойства и формулы

Рис. 5. Правильный семиугольник

5. Количество диагоналей правильного семиугольника равно 14.

Семиугольник, виды, свойства и формулы

Рис. 6. Правильный семиугольник

6. Центр вписанной окружности O1 совпадает с центром описанной окружности O2, что и образуют центр многоугольника O.

Семиугольник, виды, свойства и формулы

Рис. 7. Правильный семиугольник

Формулы правильного семиугольника:

Пусть a – сторона семиугольника, r – радиус окружности, вписанной в семиугольник, R – радиус описанной окружности семиугольника, P – периметр семиугольника, S – площадь семиугольника.

Формулы стороны правильного семиугольника:

Формулы периметра правильного семиугольника:

Формулы площади правильного семиугольника:

Формулы радиуса окружности, вписанной в правильный семиугольник:

Семиугольник в природе, технике и культуре:

В некоторых странах, например, в Великобритании, некоторые монеты имеют правильную криволинейную семиугольную форму.

Некоторые виды кактусовых имеют форму звездчатого семиугольника.

Прямоугольник

Прямоугольный треугольник

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

Шестиугольник

Восьмиугольник

Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com

Коэффициент востребованности
2 367

Источник
Семиугольник
Правильный семиугольник
Правильный семиугольник
Тип Правильный многоугольник
Рёбра 7
Символ Шлефли {7}
Диаграмма Коксетера — Дынкина CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.png
Вид симметрии Диэдрическая группа (D7)
Площадь {displaystyle {frac {7}{4}}t^{2}operatorname {ctg} {frac {pi }{7}}}
{displaystyle ={frac {7}{2}}R^{2}sin {frac {2pi }{7}}}
{displaystyle =7r^{2}operatorname {tg} {frac {pi }{7}}}.
Внутренний угол ≈128.571°
Свойства
выпуклый, вписанный, Равносторонний, равноугольный[en], изотоксальный
Логотип Викисклада Медиафайлы на Викискладе

Правильный семиугольник — это правильный многоугольник с семью сторонами.

Свойства[править | править код]

Построение правильного семиугольника с помощью невсиса

Пусть t — сторона семиугольника, R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности.

t=2Rsin {frac {pi }{7}}=2roperatorname {tg}{frac {pi }{7}}~;~r=Rcos {frac {pi }{7}},

Периметр правильного семиугольника равен

P=7t=14Rsin {frac {pi }{7}}=14roperatorname {tg}{frac {pi }{7}}.

Площадь правильного семиугольника рассчитывается по формулам:

S={frac {7}{4}}t^{2}operatorname {ctg}{frac {pi }{7}},
S={frac {7}{2}}R^{2}sin {frac {2pi }{7}},
S=7r^{2}operatorname {tg}{frac {pi }{7}}.

Построение[править | править код]

Приближённое построение правильного семиугольника

Точное[править | править код]

Согласно теореме Гаусса — Ванцеля, правильный семиугольник невозможно построить с помощью циркуля и линейки, но можно построить с помощью циркуля и невсиса, то есть размеченной линейки, на которой можно делать отметки и с помощью которой можно проводить прямые, проходящие через какую-нибудь точку, причём отмеченные на линейке точки будут принадлежать данным линиям (прямым или окружностям).

Построим квадрат PQRO со стороной a (см. рис.). Проведём дугу окружности с центром O и радиусом OQ. Возьмём линейку невсиса с диастемой (длиной) a и используя вертикальную ось симметрии квадрата в качестве направляющей, точку P в качестве полюса и дугу окружности в качестве целевой линии, получим отрезок AB, который будет стороной правильного семиугольника, с вертикальной осью симметрии, совпадающей с осью симметрии квадрата.

Приближённое[править | править код]

Приближённое (но с достаточной для практики точностью ≈0,2 %) построение семиугольника показано на рисунке. Из точки A на окружности радиусом, равным радиусу окружности, проводим дугу BOC. Отрезок BD={1 over 2}BC и даст искомое приближение.

Анимация приближённого построения правильного семиугольника с помощью циркуля и линейки.

Семиугольные звёзды[править | править код]

Существует два звёздчатых семиугольника (гептаграммы): 7/2 и 7/3. Методы их построения аналогичны построению обычного семиугольника, только вершины нужно соединять через одну (7/2) или через две (7/3).

  • Семиугольная звезда 7/2

    Семиугольная звезда 7/2

  • Семиугольная звезда 7/3

    Семиугольная звезда 7/3

Применение[править | править код]

Семиугольная монета в 50 пенсов (150 лет Публичной библиотеке)

В Великобритании используются две монеты в форме семиугольника: 50 пенсов и 20 пенсов. Строго говоря, форма монет — криволинейный семиугольник, образующий кривую постоянной ширины, чтобы монеты плавно проходили в автоматы. Семиугольный кант аналогичной криволинейной формы имеет круглая монета номиналом в 10 киргизских сом.

Семиугольная звезда 7/2 являлась национальным символом Грузии и применялась, как элемент герба Грузии, в том числе и в советское время. В настоящее время не применяется.

Семиугольная звезда 7/3 является эмблемой компании A.P. Moller-Maersk Group.

Источник

From Wikipedia, the free encyclopedia

Regular heptagon
Regular polygon 7 annotated.svg

A regular heptagon
Type Regular polygon
Edges and vertices 7
Schläfli symbol {7}
Coxeter–Dynkin diagrams CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.png
Symmetry group Dihedral (D7), order 2×7
Internal angle (degrees) ≈128.571°
Properties Convex, cyclic, equilateral, isogonal, isotoxal
Dual polygon Self

In geometry, a heptagon or septagon is a seven-sided polygon or 7-gon.

The heptagon is sometimes referred to as the septagon, using “sept-” (an elision of septua-, a Latin-derived numerical prefix, rather than hepta-, a Greek-derived numerical prefix; both are cognate) together with the Greek suffix “-agon” meaning angle.

Regular heptagon[edit]

A regular heptagon, in which all sides and all angles are equal, has internal angles of 5π/7 radians (1284⁄7 degrees). Its Schläfli symbol is {7}.

Area[edit]

The area (A) of a regular heptagon of side length a is given by:

A={frac {7}{4}}a^{2}cot {frac {pi }{7}}simeq 3.634a^{2}.

This can be seen by subdividing the unit-sided heptagon into seven triangular “pie slices” with vertices at the center and at the heptagon’s vertices, and then halving each triangle using the apothem as the common side. The apothem is half the cotangent of pi /7, and the area of each of the 14 small triangles is one-fourth of the apothem.

The area of a regular heptagon inscribed in a circle of radius R is {tfrac {7R^{2}}{2}}sin {tfrac {2pi }{7}}, while the area of the circle itself is pi R^{2}; thus the regular heptagon fills approximately 0.8710 of its circumscribed circle.

Construction[edit]

As 7 is a Pierpont prime but not a Fermat prime, the regular heptagon is not constructible with compass and straightedge but is constructible with a marked ruler and compass. It is the smallest regular polygon with this property. This type of construction is called a neusis construction. It is also constructible with compass, straightedge and angle trisector. The impossibility of straightedge and compass construction follows from the observation that scriptstyle {2cos {tfrac {2pi }{7}}approx 1.247} is a zero of the irreducible cubic x3 + x2 − 2x − 1. Consequently, this polynomial is the minimal polynomial of 2cos(2π⁄7), whereas the degree of the minimal polynomial for a constructible number must be a power of 2.

Approximation[edit]

An approximation for practical use with an error of about 0.2% is shown in the drawing. It is attributed to Albrecht Dürer.[2] Let A lie on the circumference of the circumcircle. Draw arc BOC. Then scriptstyle {BD={1 over 2}BC} gives an approximation for the edge of the heptagon.

This approximation uses {displaystyle scriptstyle {{sqrt {3}} over 2}approx 0.86603} for the side of the heptagon inscribed in the unit circle while the exact value is {displaystyle scriptstyle 2sin {pi over 7}approx 0.86777}.

Example to illustrate the error:

At a circumscribed circle radius r = 1 m, the absolute error of the 1st side would be approximately -1.7 mm

7-gone approx.png

Symmetry[edit]

Symmetries of a regular heptagon. Vertices are colored by their symmetry positions. Blue mirror lines are drawn through vertices and edges. Gyration orders are given in the center.[3]

The regular heptagon belongs to the D7h point group (Schoenflies notation), order 28. The symmetry elements are: a 7-fold proper rotation axis C7, a 7-fold improper rotation axis, S7, 7 vertical mirror planes, σv, 7 2-fold rotation axes, C2, in the plane of the heptagon and a horizontal mirror plane, σh, also in the heptagon’s plane.[4]

Diagonals and heptagonal triangle[edit]

a=red, b=blue, c=green lines

The regular heptagon’s side a, shorter diagonal b, and longer diagonal c, with a<b<c, satisfy[5]: Lemma 1 

{displaystyle a^{2}=c(c-b),}
{displaystyle b^{2}=a(c+a),}
{displaystyle c^{2}=b(a+b),}
{displaystyle {frac {1}{a}}={frac {1}{b}}+{frac {1}{c}}} (the optic equation)

and hence

{displaystyle ab+ac=bc,}

and[5]: Coro. 2 

{displaystyle b^{3}+2b^{2}c-bc^{2}-c^{3}=0,}
{displaystyle c^{3}-2c^{2}a-ca^{2}+a^{3}=0,}
{displaystyle a^{3}-2a^{2}b-ab^{2}+b^{3}=0,}

Thus –b/c, c/a, and a/b all satisfy the cubic equation {displaystyle t^{3}-2t^{2}-t+1=0.} However, no algebraic expressions with purely real terms exist for the solutions of this equation, because it is an example of casus irreducibilis.

The approximate lengths of the diagonals in terms of the side of the regular heptagon are given by

{displaystyle bapprox 1.80193cdot a,qquad capprox 2.24698cdot a.}

We also have[6]

{displaystyle b^{2}-a^{2}=ac,}
{displaystyle c^{2}-b^{2}=ab,}
{displaystyle a^{2}-c^{2}=-bc,}

and

{displaystyle {frac {b^{2}}{a^{2}}}+{frac {c^{2}}{b^{2}}}+{frac {a^{2}}{c^{2}}}=5.}

A heptagonal triangle has vertices coinciding with the first, second, and fourth vertices of a regular heptagon (from an arbitrary starting vertex) and angles {displaystyle pi /7,2pi /7,} and {displaystyle 4pi /7.} Thus its sides coincide with one side and two particular diagonals of the regular heptagon.[5]

In polyhedra[edit]

Apart from the heptagonal prism and heptagonal antiprism, no convex polyhedron made entirely out of regular polygons contains a heptagon as a face.

Star heptagons[edit]

Two kinds of star heptagons (heptagrams) can be constructed from regular heptagons, labeled by Schläfli symbols {7/2}, and {7/3}, with the divisor being the interval of connection.

Heptagrams.svg
Blue, {7/2} and green {7/3} star heptagons inside a red heptagon.

Tiling and packing[edit]

Triangle, heptagon, and 42-gon vertex

Hyperbolic heptagon tiling

A regular triangle, heptagon, and 42-gon can completely fill a plane vertex. However, there is no tiling of the plane with only these polygons, because there is no way to fit one of them onto the third side of the triangle without leaving a gap or creating an overlap. In the hyperbolic plane, tilings by regular heptagons are possible.

The regular heptagon has a double lattice packing of the Euclidean plane of packing density approximately 0.89269. This has been conjectured to be the lowest density possible for the optimal double lattice packing density of any convex set, and more generally for the optimal packing density of any convex set.[7]

Empirical examples[edit]

Geometry problem of the surface of a heptagon divided into triangles, on a clay tablet belonging to a school for scribes; Susa, the first half of the 2nd millennium BCE

The United Kingdom, as of 2022, has two heptagonal coins, the 50p and 20p pieces, and the Barbados Dollar are also heptagonal. Strictly, the shape of the coins is a Reuleaux heptagon, a curvilinear heptagon which has curves of constant width; the sides are curved outwards to allow the coins to roll smoothly when they are inserted into a vending machine. Botswana pula coins in the denominations of 2 Pula, 1 Pula, 50 Thebe and 5 Thebe are also shaped as equilateral-curve heptagons. Coins in the shape of Reuleaux heptagons are also in circulation in Mauritius, U.A.E., Tanzania, Samoa, Papua New Guinea, São Tomé and Príncipe, Haiti, Jamaica, Liberia, Ghana, the Gambia, Jordan, Jersey, Guernsey, Isle of Man, Gibraltar, Guyana, Solomon Islands, Falkland Islands and Saint Helena. The 1000 Kwacha coin of Zambia is a true heptagon.

The Brazilian 25-cent coin has a heptagon inscribed in the coin’s disk. Some old versions of the coat of arms of Georgia, including in Soviet days, used a {7/2} heptagram as an element.

A number of coins, including the 20 euro cent coin, have heptagonal symmetry in a shape called the Spanish flower.

In architecture, heptagonal floor plans are very rare. A remarkable example is the Mausoleum of Prince Ernst in Stadthagen, Germany.

Many police badges in the US have a {7/2} heptagram outline.

See also[edit]

  • Heptagram
  • Polygon

References[edit]

  1. ^ Gleason, Andrew Mattei (March 1988). “Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon p. 186 (Fig.1) –187” (PDF). The American Mathematical Monthly. 95 (3): 185–194. doi:10.2307/2323624. JSTOR 2323624. Archived from the original (PDF) on 19 December 2015.
  2. ^ G.H. Hughes, “The Polygons of Albrecht Dürer-1525, The Regular Heptagon”, Fig. 11 the side of the Heptagon (7) Fig. 15, image on the left side, retrieved on 4 December 2015
  3. ^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 20, Generalized Schaefli symbols, Types of symmetry of a polygon pp. 275-278)
  4. ^ Salthouse, J.A; Ware, M.J. (1972). Point group character tables and related data. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-08139-4.
  5. ^ a b c Abdilkadir Altintas, “Some Collinearities in the Heptagonal Triangle”, Forum Geometricorum 16, 2016, 249–256.http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201630.pdf
  6. ^ Leon Bankoff and Jack Garfunkel, “The heptagonal triangle”, Mathematics Magazine 46 (1), January 1973, 7–19.
  7. ^ Kallus, Yoav (2015). “Pessimal packing shapes”. Geometry & Topology. 19 (1): 343–363. arXiv:1305.0289. doi:10.2140/gt.2015.19.343. MR 3318753.

External links[edit]

Look up heptagon in Wiktionary, the free dictionary.

  • Definition and properties of a heptagon With interactive animation
  • Heptagon according Johnson
  • Another approximate construction method
  • Polygons – Heptagons
  • Recently discovered and highly accurate approximation for the construction of a regular heptagon.
  • Heptagon, an approximating construction as an animation
  • A heptagon with a given side, an approximating construction as an animation
Источник
Помогите из публицистического текста переписать в научный

Роман  Тургенева  «Накануне»: идейно-художественное своеобразие

Из каких слоев общества появятся «новые люди»? Что будет отличать их от поколения Рудиных и Лаврецких? Какую про­грамму обновления России они примут и как приступят к осво­бождению народа от крепостного права? Эти вопросы волновали Тургенева давно. Еще в 1855 году, в момент работы над «Руди­ным», задача, которую он поставил в «Накануне», уже начинала возникать перед ним: «Фигура главной героини, Елены, тогда еще нового типа в русской жизни, довольно ясно обрисовывалась в моем воображении,— вспоминал Тургенев,— но недоставало ге­роя, такого лица, которому Елена, при ее еще смутном, хотя сильном стремлении к свободе, могла предаться» (XII, 306), Тогда же сосед Тургенева, отправляясь в Крым в качестве офи­цера дворянского ополчения, оставил писателю рукопись автобио­графической повести, одним из главных героев которой был моло­дой болгарский революционер, студент Московского университе­та. Теперь мы знаем, что прототипом тургеневского Инсарова явился Николай Димитров Катранов, родившийся в 1829 году в болгарском городе Свиштов в небогатой купеческой семье. В 1848 году в составе большой группы болгарских юношей он приехал в Россию и поступил на историко-филологический фа­культет Московского университета.

Начавшаяся в 1853 году русско-турецкая война всколыхнула революционные настроения балканских славян, боровшихся за избавление от многовекового турецкого ига. В начале 1853 года Николай Катранов с русской женой Ларисой уехал на родину. Но внезапная вспышка туберкулеза спутала все планы. При­шлось вернуться в Россию, а затем ехать на лечение в Венецию, где Катранов простудился и скоропостижно скончался 5 мая 1853 года. Это был талантливый человек: он писал стихи, зани­мался переводами, горячо пропагандировал среди русских друзей идею освобождения родины.  

Вплоть до 1859 года тетрадь с рукописью Каратеева — так звали тургеневского соседа — лежала без движения, хотя, позна­комившись с ней, писатель воскликнул: «Вот герой, которого я искал! Между тогдашними русскими такого еще не было». Поче­му же Тургенев обратился к этой тетради в 1859 году, когда и в России подобного типа герои уже появились? Почему в качестве образца для русских «сознательно-героических натур» Тургенев предлагает болгарина Дмитрия Инсарова? Что не устроило, на­конец, Тургенева в добролюбовской интерпретации романа «На­кануне», опубликованного в январском номере журнала «Русский вестник» в 1860 году?

Н. А. Добролюбов, посвятивший разбору этого романа специ­альную статью «Когда же придет настоящий день?», дал класси­ческое определение художественному дарованию Тургенева, уви­дев в нем писателя, чуткого к общественным проблемам. Очередной его роман «Накануне» еще раз блестяще оправдал эту репу­тацию. Добролюбов отметил четкую расстановку в нем главных действующих лиц. Центральная героиня Елена Стахова стоит перед выбором, на место ее избранника претендуют молодой уче­ный, историк Берсенев, будущий художник, человек искусства Шубин, успешно начинающий служебную деятельность чиновник Курнатовский и, наконец, человек гражданского подвига, болгар­ский революционер Инсаров. Социально-бытовой сюжет романа имеет символический подтекст: Елена Стахова олицетворяет мо­лодую Россию «накануне» предстоящих перемен, Кто всего нуж­нее ей сейчас: люди науки или искусства, государственные чинов­ники или героические натуры, люди гражданского подвига? Выбор Еленой Инсарова дает недвусмысленный ответ на этот вопрос.

Добролюбов заметил, что в Елене Стаховой «сказалась та смутная тоска по чем-то, та почти бессознательная, но неотрази­мая потребность новой жизни, новых людей, которая охватывает теперь все русское общество, и даже не одно только так называе­мое образованное» (VI, 120).

В описании детских лет Елены Тургенев обращает внимание на глубокую близость ее к народу. С тайным уважением и стра­хом слушает она рассказы нищей девочки Кати о жизни «на всей божьей воле» и воображает себя странницей, покинувшей отчий дом и скитающейся по дорогам. Из народного источника пришла к Елене русская мечта о правде, которую надо искать далеко-далеко, со странническим посохом в руках. Из того же источни­ка— готовность пожертвовать собой ради других, ради высокой цели спасения людей, попавших в беду, страдающих и несчаст­ных. Не случайно в разговорах с Инсаровым Елена вспоминает буфетчика Василия, «который вытащил из горевшей избы безно­гого старика и сам чуть не погиб».

Даже внешний облик Елены напоминает птицу, готовую взле­теть, и ходит героиня «быстро, почти стремительно, немного на­клонясь вперед». Смутная тоска и неудовлетворенность Елены тоже связаны с темой полета: «Отчего я с завистью гляжу на пролетающих птиц? Кажется, полетела бы с ними, полетела — куда, не знаю, только далеко, далеко отсюда» (VIII, 79). Устрем­ленность к полету проявляется и в безотчетных поступках герои­ни: «Долго глядела она на темное, низко нависшее небо; потом она встала, движением головы откинула от лица волосы и, сама не зная зачем, протянула к нему, к этому небу, свои обнаженные, похолодевшие руки…» (VIII, 35—36). Проходит тревога — «опу­скаются невзлетевшие крылья». И в роковую минуту, у постели больного Инсарова, Елена видит высоко над водой белую чайку: «Вот если она полетит сюда,— подумала Елена,— это будет хоро­ший знак…» Чайка закружилась на месте, сложила крылья — и, как подстреленная, с жалобным криком пала куда-то далеко за темный корабль» (VIII, 157).

Таким же окрыленным героем, достойным Елены, оказывается Дмитрий Инсаров. Что отличает   его   от русских   Берсеневых   и  Шубиных? Прежде всего — цельность характера, полное отсутст­вие противоречий между словом и делом. Он занят не собой, все помыслы его сосредоточены на одной цели — освобождении роди­ны, Болгарии. Тургенев верно уловил в характере Инсарова типи­ческие черты лучших людей эпохи болгарского Возрождения: широту и разносторонность умственных интересов, сфокусирован­ных в одну точку, подчиненных одному делу — освобождению на­рода от векового рабства. Силы Инсарова питает и укрепляет живая связь с родной землей, чего так не хватает русским геро­ям романа — Берсеневу, который пишет труд «О некоторых осо­бенностях древнегерманского права в деле судебных наказаний», талантливому Шубину, который лепит вакханок и мечтает об Италии. И Берсенев, и Шубин — тоже деятельные люди, но их деятельность слишком далека от насущных потребностей народ­ной жизни. Это люди без крепкого корня, отсутствие которого придает их характерам или внутреннюю вялость, как у Берсене­ва, или мотыльковое непостоянство, как у Шубина.

В то же время в характере Инсарова сказывается родовая ограниченность, типичная для Дон-Кихота. В поведении героя подчеркиваются упрямство и прямолинейность, некоторый педан­тизм. Художественную завершенность эта двойственная характе­ристика получает в ключевом эпизоде с двумя статуэтками ге­роя, которые вылепил Шубин. В первой Инсаров представлен героем, а во второй — бараном, поднявшимся на задние ноги и склоняющим рога для удара. Не обходит Тургенев в своем ро­мане и размышлений о трагичности судьбы людей донкихотского склада.

Рядом с сюжетом социальным, отчасти вырастая из него, от­части возвышаясь над ним, развертывается в романе сюжет фи­лософский. «Накануне» открывается спором между Шубиным и Берсеневым о счастье и долге. «…Каждый из нас желает для се­бя счастья… Но такое ли это слово «счастье», которое соединило, воспламенило бы нас обоих, заставило бы нас подать друг другу руки? Не эгоистическое ли, я хочу сказать, не разъединяющее ли это слово?» (VIII, 14). Соединяют людей слова: «родина», «нау­ка», «справедливость». И «любовь», но только если она — не «лю­бовь-наслаждение», а «любовь-жертва».

Инсарову и Елене кажется, что их любовь соединяет личное с общественным, что она одухотворяется высшей целью. Но вот оказывается, что жизнь вступает в некоторое противоречие с же­ланиями и надеждами героев. На протяжении всего романа Ин­саров и Елена не могут избавиться от ощущения непростительно­сти своего счастья, от чувства виновности перед кем-то, от страха расплаты за свою любовь. Почему?

Жизнь ставит перед влюбленной Еленой роковой вопрос: со­вместимо ли великое дело, которому она отдалась, с горем бед­ной, одинокой матери, которое попутно этим делом вызывается? Елена смущается и не находит на этот вопрос возражения. Ведь любовь Елены к Инсарову приносит страдание не только матери: она оборачивается невольной нетерпимостью и по отношению к отцу, к русским друзьям — Берсеневу и Шубину, она ведет Елену к разрыву с Россией. «Ведь все-таки это мой дом,—думала она,— моя семья, моя родина…»

Елена безотчетно ощущает, что и в ее чувствах к Инсарову счастье близости с любимым человеком временами преобладает над любовью к тому делу, которому весь, без остатка, хочет от­даться герой. Отсюда — чувство вины перед Инсаровым: «Кто знает, может быть, я его убила».

В свою очередь, Инсаров задает Елене аналогичный вопрос: «Скажи мне, не приходило ли тебе в голову, что эта болезнь по­слана нам в наказание?» (VIII, 128). Любовь и общее дело ока­зываются не вполне совместимыми. В бреду, в период первой болезни, а потом в предсмертные мгновения коснеющим языком Инсаров произносит два роковых для него слова: «резеда» и «Рендич». Резеда — это тонкий запах духов, оставленный Еленой в комнате больного Инсарова; Рендич — соотечественник героя, один из организаторов готовящегося восстания балканских сла­вян против турецких поработителей. Бред выдает глубокое внут­реннее раздвоение цельного Инсарова, источником этого раздво­ения является любовь.

В отличие от Чернышевского и Добролюбова с их оптимисти­ческой теорией «разумного эгоизма», утверждавшей единство личного и общего, счастья и долга, любви и революции в приро­де человека, Тургенев обращает внимание на скрытый драматизм человеческих чувств, на вечную борьбу центростремительных (эгоистических) и центробежных (альтруистических) начал в ду­ше каждого человека. Человек, по Тургеневу, драматичен не толь­ко в своем внутреннем существе, но и в отношениях с окружаю­щей его природой. Природа не считается с неповторимой цен­ностью человеческой личности: с равнодушным спокойствием она поглощает и простого смертного, и героя; все равны перед ее не­различающим взором. Этот мотив универсального трагизма жиз­ни вторгается в роман неожиданной смертью Инсарова, исчезно­вением Елены на этой земле —«навсегда, безвозвратно». «Смерть, как рыбак,—с горечью говорит Тургенев,—который поймал ры­бу в свою сеть и оставляет ее на время в воде: рыба еще плава­ет, но сеть на ней, и рыбак выхватит ее —когда захочет» (VIII, 166). С точки зрения «равнодушной природы» каждый из нас «виноват уже тем, что живет».

Однако мысль о трагизме человеческого существования не умаляет, а, напротив, укрупняет в романе Тургенева красоту и величие дерзновенных, освободительных порывов человеческого духа, оттеняет поэзию любви Елены к Инсарову, придает широ­кий общечеловеческий смысл социальному содержанию романа. Неудовлетворенность Елены современным состоянием жизни в России, ее тоска по иному, более совершенному социальному по­рядку в философском плане романа приобретает «продолжаю­щийся» смысл, актуальный во все эпохи и все времена. «Накануне» — это роман о порыве России к новым общественным отно­шениям, пронизанный нетерпеливым ожиданием «сознательно-героических натур», которые двинут вперед дело освобождения крестьян.

И в то же время это роман о бесконечных исканиях чело­вечества, о постоянном стремлении его к социальному совер­шенству, о вечном вызове, который бросает человеческая лич­ность «равнодушной природе»:

«О, как тиха и ласкова была ночь, какою голубиною кротостию дышал лазурный воздух, как всякое страдание, всякое горе должно было замолкнуть и заснуть под этим ясным небом, под этими святыми, невинными лучами! «О боже! — думала Елена,— зачем смерть, зачем разлука, болезнь и слезы? или зачем эта красота, это сладостное чувство надежды, зачем успокоительное сознание прочного убежища, неизменной защиты, бессмертного покровительства? Что же значит это улыбающееся, благословля­ющее небо, эта счастливая, отдыхающая земля? Ужели это все только в нас, а вне нас вечный холод и безмолвие? Ужели мы одни… одни… а там, повсюду, во всех этих недосягаемых безднах и глубинах, — все, все нам чуждо? К чему же тогда эта жажда и радость молитвы?.. Неужели же нельзя умолить, отвратить, спасти… О боже! неужели нельзя верить чуду?»  (VIII,  156).

Современников Тургенева из лагеря революционной демокра­тии, для которых главнее был социальный смысл романа, не мог не смущать его финал: неопределенный ответ Увара Ивановича на вопрос Шубина, будут ли у нас,. в России, люди, подобные Инсарову. Какие могли быть загадки на этот счет в конце 1859 года, когда дело реформы стремительно подвигалось вперед, когда «новые люди» заняли ключевые посты в журнале «Совре­менник»? Чтобы правильно ответить на этот вопрос, нужно выяс­нить, какую программу действий предлагал Тургенев «русским Инсаровым».

Автор «Записок охотника» вынашивал мысль о братском сою­зе всех антикрепостнических сил и надеялся на гармонический исход социальных конфликтов. Инсаров говорит: «Заметьте: по­следний мужик, последний нищий в Болгарии и я — мы желаем одного и того же. У всех у нас одна цель. Поймите, какую это дает уверенность и крепость!» (VIII, 68). Тургеневу хотелось, чтобы все прогрессивно настроенные люди России, без различия социальных положений и оттенков в политических убеждениях, протянули друг другу руки.

В жизни случилось другое. Добролюбов в статье «Когда же придет настоящий день?» решительно противопоставил задачи «русских Инсаровых» той программе общенационального едине­ния, которую провозгласил в романе Тургенева болгарский рево­люционер. «Русским Инсаровым» предстояла борьба с «внутрен­ними турками», в число которых у Добролюбова попадали не только консерваторы, противники реформ, но и либеральные пар­тии русского общества. Статья била в святая святых убеждений и верований Тургенева. Поэтому он буквально умолял Некрасова не печатать ее, а когда она была опубликована – покинул журнал «Современник» навсегда.

В романе «Накануне» (1860) смутные светлые предчувствия и надежды, которые пронизывали меланхоличное повествование «Дворянского гнезда», превращаются в определенные решения. Основной для Тургенева вопрос о соотношении мысли и деятельности, человека дела и теоретика в этом романе решается в пользу практически осуществляющего идею героя.

Само название романа «Накануне» — название «временное», в отличие от «локального» названия «Дворянское гнездо», — отра­жает то обстоятельство, что замкнутости, неподвижности пат­риархальной русской жизни приходит конец. Русский дворянский дом с вековым укладом его быта, с приживалками, соседями, кар­точными проигрышами оказывается на распутье мировых дорог. Русская девушка находит применение своим силам и самоотвер­женным стремлениям, участвуя в борьбе за независимость бол­гарского народа. Сразу после выхода в свет романа читатели и критики обратили внимание на то, что личностью, которую рус­ское молодое поколение готово признать за образец, здесь пред­ставлен болгарин.

Название романа «Накануне» не только отражает прямое, сюжетное его содержание (Инсаров гибнет накануне войны за независимость его родины, в которой он страстно хочет принять участие), но и содержит оценку состояния русского общества накануне реформы и мысль о значении народно-освободительной борьбы в одной стране (Болгарии) как кануна общеевропейских политических перемен (в романе косвенно затрагивается и во­прос о значении сопротивления итальянского народа австрийскому владычеству).

Добролюбов считал образ Елены средоточием романа — вопло­щением молодой России. В этой героине, по мнению критика, воплощена «неотразимая потребность новой жизни, новых людей, которая охватывает теперь все русское общество, и даже не одно только так называемое «образованное» <.. .> «Желание деятель­ного добра» есть в нас, и силы есть; но боязнь, неуверенность в своих силах и, наконец, незнание: что делать? — постоянно нас останавливают <…> и мы всё ищем, жаждем, ждем… ждем, чтобы нам хоть кто-нибудь объяснил, что делать».

Таким образом, Елена, представлявшая, по его мнению, моло­дое поколение страны, ее свежие силы, характеризуется стихий­ностью протеста, она ищет «учителя» — черта, присущая деятель­ным героиням Тургенева.

Идея романа и структурное ее выражение, столь сложные и многозначные в «Дворянском гнезде», в «Накануне» предельно ясны, однозначны. Героиня, ищущая учителя-наставника, до­стойного любви, в «Накануне» выбирает из четырех претендентов на ее руку, из четырех идеальных вариантов, ибо каждый из героев — высшее выражение своего этико-идейного типа. Шубин и Берсенев представляют художественно-мыслительный тип (тип людей отвлеченно-теоретического или образно-художественного творчества), Инсаров и Курнатовский относятся к «деятельному» типу, т. е. к людям, призвание которых состоит в  практическом «жизнетворчестве».                                                  

Говоря о значении в романе выбора своего пути и своего «героя», который делает Елена, Добролюбов рассматривает этот поиск-выбор как некий процесс, эволюцию, аналогичную разви­тию русского общества за последнее десятилетие. Шубин, а затем и Берсенев соответствуют по своим принципам и характерам бо­лее архаичным, отдаленным стадиям этого процесса. Вместе с тем оба они не настолько архаичны, чтобы быть «несовместимыми» с Курнатовским (деятелем эпохи реформ) и Инсаровым (особое значение которому придает складывающаяся революционная си­туация), Берсенев и Шубин — люди 50-х гг. Ни один из них не является чистым представителем гамлетовского типа. Таким образом, Тургенев в «Накануне» как бы распростился со своим излюбленным типом. И Берсенев, и Шубин генетически связаны с «лишними людьми», но в них нет многих главных черт героев этого рода. Оба они прежде всего не погружены в чистую мысль, анализ действительности не является их основным занятием. От рефлексии, самоанализа и бесконечного ухода в теорию их «спасает» профессионализация, призвание, живой интерес к опре­деленной сфере деятельности и постоянный труд.

«Одарив» своего героя-художника Шубина фамилией вели­кого русского скульптора, Тургенев придал его портрету привле­кательные черты, напоминающие внешность Карла Брюллова, — он сильный, ловкий блондин.

Из первого же разговора героев — друзей и антиподов (наруж­ность Берсенева рисуется как прямая противоположность внеш­ности Шубина: он худой, черный, неловкий), разговора, который является как бы прологом романа, выясняется, что один из них «умница, философ, третий кандидат московского университета», начинающий ученый, другой — художник, «артист», скульптор. Но характерные черты «артиста» — черты человека 50-х гг. и идеала людей 50-х гг. — сильно рознятся от романтического пред­ставления о художнике. Тургенев нарочито дает это понять: в самом начале романа Берсенев указывает Шубину, каковы должны быть его — «артиста» — вкусы и склонности, и Шубин, шутливо «отбиваясь» от этой обязательной и неприемлемой для него позиции художника-романтика, защищает свою любовь к чувственной жизни и ее реальной красоте.

В самом подходе Шубина к своей профессии проявляется его связь с эпохой. Сознавая ограниченность возможностей скульп­туры как художественного рода, он стремится передать в скульп­турном портрете не только и не столько внешние формы, сколько духовную суть, психологию оригинала, не «линии лица», а взгляд глаз. Вместе с тем ему присуща особенная, заостренная способ­ность оценивать людей и умение возводить их в типы. Меткость характеристик, которые он дает другим героям романа, превра­щает его выражения в крылатые слова; Эти характеристики в большинстве случаев и являются ключом к типам, изображен­ным в романе.

Если в уста Шубина автор романа вложил все социально-исторические приговоры, вплоть до приговора о правомерности «выбора Елены», Берсеневу он передал ряд этических деклара­ций. Берсенев — носитель высокого этического принципа самоот­вержения и служения идее («идее науки»), как Шубин — вопло­щение идеального «высокого» эгоизма, эгоизма здоровой и цель­ной натуры.

Берсеневу придана нравственная черта, которой Тургенев отводил особенно высокое место на шкале душевных достоинств: доброта. Приписывая эту черту Дон-Кихоту, Тургенев на ней основывался в своем утверждении исключительного этического значения образа Дон-Кихота для человечества. «Все пройдет, все исчезнет, высочайший сан, власть, всеобъемлющий гений, всё рас­сыплется прахом <…> Но добрые дела не разлетятся дымом: они долговечнее самой сияющей красоты» (VIII, 191). У Берсенева эта доброта происходит от глубоко, органически усвоенной им гуманистической культуры и присущей ему «справедливости», объективности историка, способного встать выше личных, эгои­стических интересов и пристрастий и оценить значение явлений действительности безотносительно к своей личности.

Отсюда и проистекает истолкованная Добролюбовым как при­знак нравственной слабости «скромность», понимание им второ­степенного значения своих интересов в духовной жизни совре­менного общества и своего «второго номера» в строго определен­ной иерархии типов современных деятелей.

Тип ученого как идеал оказывается исторически дезавуиро­ванным. Это «низведение» закреплено и сюжетной ситуацией (отношение Елены к Берсеневу), и прямыми оценками, данными герою в тексте романа, и самооценкой, вложенной в его уста. Такое отношение к профессиональной деятельности ученого могло родиться лишь в момент, когда жажда непосредственного жизне­строительства, исторического общественного творчества охватила лучших людей молодого поколения. Этот практицизм, это деятель­ное отношение к жизни не у всех молодых людей 60-х гг. носили характер революционного или даже просто бескорыстного служе­ния. В «Накануне» Берсенев выступает как антипод не столько Инсарова (мы уже отмечали, что он более чем кто-либо другой способен оценить значение личности Инсарова), сколько обер-­секретаря Сената — карьериста Курнатовского.

В характеристике Курнатовского, «приписанной» автором Елене,   раскрывается  мысль  о  принадлежности  Курнатовского,  как и Инсарова, к «действенному типу» и о взаимовраждебных позициях, занимаемых ими внутри этого — очень широкого — психологического типа. Вместе с тем в этой характеристике ска­зывается и то, как исторические задачи, необходимость решения которых ясна всему обществу (по словам Ленина, во время рево­люционной ситуации обнаруживается невозможность «для гос­подствующих классов сохранить в неизменном виде свое гос­подство» и вместе с тем наблюдается «значительное повышение <…> активности масс», не желающих жить по-старому), застав­ляют людей самой разной политической ориентации надевать маску прогрессивного человека и культивировать в себе черты, которые приписываются обществом таким людям.

«Вера» Курнатовского — это вера в государство в приложении к реальной русской жизни эпохи, вера в сословно-бюрократиче­ское, монархическое государство. Понимая, что реформы неиз­бежны, деятели типа Курнатовского связывали все возможные в жизни страны изменения с функционированием сильного госу­дарства, а себя считали носителями идеи государства и исполни­телями его исторической миссии, отсюда — самоуверенность, вера в себя, по словам Елены.

В центре романа — болгарский патриот-демократ и револю­ционер по духу — Инсаров. Он стремится опрокинуть деспотиче­ское правление в родной стране, рабство, утвержденное веками, и систему попрания национального чувства, охраняемую крова­вым, террористическим режимом. Душевный подъем, который он испытывает и сообщает Елене, связан с верой в дело, которому он служит, с чувством своего единства со всем страдающим наро­дом Болгарии. Любовь в романе «Накануне» именно такова, ка­кой ее рисует Тургенев в выше цитированных словах о любви как революции («Вешние воды»). Воодушевленные герои ра­достно летят на свет борьбы, готовые к жертве, гибели и победе.

В «Накануне» впервые любовь предстала как единство в убе­ждениях и участие в общем деле. Здесь была опоэтизирована ситуация, характерная для большого периода последующей жизни русского общества и имевшая огромное значение как выражение нового этического идеала. Прежде чем соединить свою жизнь с ее жизнью, Инсаров подвергает Елену своеобраз­ному «экзамену», предвосхищающему символический «допрос», которому подвергает таинственный голос судьбы смелую де­вушку-революционерку в стихотворении в прозе Тургенева «По­рог». При этом герой «Накануне» вводит любимую девушку в свои планы, свои интересы и заключает с ней своеобразный договор, предполагающий с ее стороны сознательную оценку их возможной будущности, — черта отношений, характерная для демократов-шестидесятников.

 Любовь Елены и ее благородная решимость разрушают аске­тическую замкнутость Инсарова, делают его счастливым. Добро­любов особенно ценил страницы романа, где изображалась светлая и счастливая любовь молодых людей. В уста Шубина Тур­генев вложил лирическую апологию идеала героической моло­дости: «Да, молодое, славное, смелое дело. Смерть, жизнь, борьба, падение, торжество, любовь, свобода, родина… Хорошо, хорошо. Дай бог всякому! Это не то, что сидеть по горло в болоте да стараться показывать вид, что тебе всё равно, когда тебе действи­тельно в сущности всё равно. А там — натянуты струны, звени на весь мир или порвись!» (VIII, 141).

Источник

Построение вписанного в окружность правильного семиугольника

Пусть дана окружность диаметра D; нужно вписать в неё правильный семиугольник (фиг. 65). Делим вертикальный диаметр окружности на семь равных частей. Из точки 7 радиусом, равным диаметру окружности D, описываем дугу до пересечения с продолжением горизонтального диаметра в точке F. Точку F назовём полюсом многоугольника. Приняв точку VII за одну из вершин семиугольника, проводим из полюса F через чётные деления вертикального диаметра лучи, пересечение которых с окружностью определят вершины VI, V и IV семиугольника. Для получения вершин / — // — /// из точек IV, V и VI проводим до пересечения с окружностью горизонтальные прямые. Найденные вершины соединяем последовательно между собой. Семиугольник может быть построен путём проведения лучей из полюса F и через нечётные деления вертикального диаметра.

Приведённый способ годен для построения правильных многоугольников с любым числом сторон.

Деление окружности на любое число равных частей можно производить также, пользуясь данными табл. 2, в которой приведены коэффициенты, дающие возможность определять размеры сторон правильных вписанных многоугольников.

В первой колонке этой таблицы указаны числа сторон правильного вписанного многоугольника, а во второй—коэффициенты.

Длина стороны заданного многоугольника получится от умножения радиуса данной окружности на коэффициент, соответствующий числу сторон этого многоугольника.

Техническое черчение

Popular

Основы черчения

Строительное

Машиностроительное

Построение вписанного в окружность правильного шестиуголь­ника. Построение шестиугольника основано на том, что сторона его равна радиусу описанной окружности. Поэтому для построения доста­точно разделить окружность на шесть равных частей и соединить най­денные точки между собой (фиг. 60, а).

Правильный шестиугольник можно построить, пользуясь рейсшиной и угольником 30X60°. Для выполнения этого построения принимаем горизонтальный диаметр окружности за биссектрису углов 1 и 4 (фиг. 60, б), строим стороны 1 —6, 4—3, 4—5 и 7—2, после чего прово­дим стороны 5—6 и 3—2.

Построение вписанного в окружность равностороннего треуголь­ника. Вершины такого треугольника можно построить с помощью циркуля и угольника с углами в 30 и 60° или только одного цир­куля.

Рассмотрим два способа построения вписанного в окружность рав­ностороннего треугольника.

Первый способ (фиг. 61,a) основан на том, что все три угла треугольника 7, 2, 3 содержат по 60°, а вертикальная прямая, прове­дённая через точку 7, является одновременно высотой и биссектрисой угла 1. Так как угол 0—1—2 равен 30°, то для нахождения стороны

1—2 достаточно построить по точке 1 и стороне 0—1 угол в 30°. Для этого устанавливаем рейсшину и угольник так, как это показано на фигуре, проводим линию 1—2, которая будет одной из сторон искомого треугольника. Чтобы построить сторону 2—3, устанавливаем рейсшину в положение, показанное штриховыми линиями, и через точку 2 прово­дим прямую, которая определит третью вершину треугольника.

Второй способ основан на том, что,если построить правильный шестиугольник, вписанный в окружность, и затем соединить его вер­шины через одну, то получится равносторонний треугольник.

Для построения треугольника (фиг. 61, б) намечаем на диаметре вершину—точку 1 и проводим диаметральную линию 1—4. Далее из точки 4 радиусом, равным D/2, описываем дугу до пересечения с окруж­ностью в точках 3 и 2. Полученные точки будут двумя другими вер­шинами искомого треугольника.

Построение квадрата, вписанного в окружность. Это построение можно выполнить при помощи угольника и циркуля.

Первый способ основан на том, что диагонали квадрата пере­секаются в центре описанного круга и наклонены к его осям под углом 45°. Исходя из этого, устанавливаем рейсшину и угольник с углами 45° так, как это показано на фиг. 62, а, и отмечаем точки 1 и 3. Далее через эти точки проводим при помощи рейсшины горизонтальные сто­роны квадрата 4—1 и 3—2. Затем с помощью рейсшины по катету угольника проводим вертикальные стороны квадрата 1—2 и 4—3.

Второй способ основан на том, что вершины квадрата делят пополам дуги окружности, заключённые между концами диаметра (фиг. 62, б). Намечаем на концах двух взаимно перпендикулярных диа­метров точки А, В и С и из них радиусом у описываем дуги до вза­имного их пересечения.

Далее через точки пересечения дуг проводим вспомогательные пря­мые, отмеченные на фигуре сплошными линиями. Точки их пересече­ния с окружностью определят вершины 1 и 3; 4 и 2. Полученные таким образом вершины искомого квадрата соединяем последовательно между собою.

Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника.

Чтобы вписать в окружность правильный пятиугольник (фиг. 63), про­изводим следующие построения.

Намечаем на окружности точку 1 и принимаем её за одну из вер­шин пятиугольника. Делим отрезок АО пополам. Для этого радиусом АО из точки А описываем дугу до пересечения с окружностью в точ­ках M и В. Соединив эти точки прямой, получим точку К, которую соединяем затем с точкой 1. Радиусом, равным отрезку A7, описываем из точки К дугу до пересечения с диаметральной линией АО в точке H. Соединив точку 1 с точкой H, получим сторону пятиугольника. Затем раствором циркуля, равным отрезку 1H, описав дугу из вершины 1 до пересечения с окружностью, найдём вершины 2 и 5. Сделав тем же раствором циркуля засечки из вершин 2 и 5, получим остальные вер­шины 3 и 4. Найденные точки последовательно соединяем между собой.

Построение правильного пятиугольника по данной его стороне.

Для построения правильного пятиугольника по данной его стороне (фиг. 64) делим отрезок AB на шесть равных частей. Из точек А и В радиусом AB описываем дуги, пересечение которых даст точку К. Через эту точку и деление 3 на прямой AB проводим вертикальную прямую.

Далее от точки К на этой прямой откладываем отрезок, равный 4/6 AB.

Получим точку 1—вершину пятиугольника. Затем радиусом, равным АВ, из точки 1 описываем дугу до пересечения с дугами, ранее проведён­ными из точек А и В. Точки пересечения дуг определяют вершины пятиугольника 2 и 5. Найденные вершины соединяем последовательно между собой.

Построение вписанного в окружность правильного семиугольника.

Пусть дана окружность диаметра D; нужно вписать в неё правильный семиугольник (фиг. 65). Делим вертикальный диаметр окружности на семь равных частей. Из точки 7 радиу­сом, равным диаметру окружности D, описываем дугу до пересечения с про­должением горизонтального диаметра в точке F. Точку F назовём полюсом многоугольника. Приняв точку VII за одну из вершин семиугольника, прово­дим из полюса F через чётные деления вертикального диаметра лучи, пересече­ние которых с окружностью определят вершины VI, V и IV семиугольника. Для получения вершин / — // — /// из точек IV, V и VI проводим до пересечения с окружностью горизонтальные прямые. Найденные вершины соединяем после­довательно между собой. Семиугольник может быть построен путём проведе­ния лучей из полюса F и через нечётные деления вертикального диаметра.

Приведённый способ годен для построения правильных многоуголь­ников с любым числом сторон.

Деление окружности на любое число равных частей можно произ­водить также, пользуясь данными табл. 2, в которой приведены коэф­фициенты, дающие возможность определять размеры сторон правильных вписанных многоугольников.

В первой колонке этой таблицы указаны числа сторон правильного вписанного многоугольника, а во второй—коэффициенты.

Длина стороны заданного многоугольника получится от умножения радиуса данной окружности на коэффициент, соответствующий числу сторон этого многоугольника.

Как начертить семиугольник в окружности

Построение вписанного в окружность правильного семиугольника

Пусть дана окружность диаметра D; нужно вписать в неё правильный семиугольник (фиг. 65). Делим вертикальный диаметр окружности на семь равных частей. Из точки 7 радиусом, равным диаметру окружности D, описываем дугу до пересечения с продолжением горизонтального диаметра в точке F. Точку F назовём полюсом многоугольника. Приняв точку VII за одну из вершин семиугольника, проводим из полюса F через чётные деления вертикального диаметра лучи, пересечение которых с окружностью определят вершины VI, V и IV семиугольника. Для получения вершин / — // — /// из точек IV, V и VI проводим до пересечения с окружностью горизонтальные прямые. Найденные вершины соединяем последовательно между собой. Семиугольник может быть построен путём проведения лучей из полюса F и через нечётные деления вертикального диаметра.

Приведённый способ годен для построения правильных многоугольников с любым числом сторон.

Деление окружности на любое число равных частей можно производить также, пользуясь данными табл. 2, в которой приведены коэффициенты, дающие возможность определять размеры сторон правильных вписанных многоугольников.

В первой колонке этой таблицы указаны числа сторон правильного вписанного многоугольника, а во второй—коэффициенты.

Длина стороны заданного многоугольника получится от умножения радиуса данной окружности на коэффициент, соответствующий числу сторон этого многоугольника.

Как начертить семиугольник

При необходимости построить правильный семиугольник обычно возникают небольшие сложности. Однако если вам не нужна идеальная точность чертежа и погрешность в 0,2% не является для вас критичной, вы можете легко произвести построение такого многоугольника при помощи циркуля и обычной линейки.

Чтобы начать построение, начертите произвольную окружность и обозначьте ее центр буквой О. Затем проведите радиус этой окружности в любом направлении. Точку пересечения радиуса с окружностью обозначьте буквой А. После этого переставьте циркуль в точку А и проведите окружность или дугу того же радиуса, что и у исходной окружности (ОА). Данная дуга пересечет исходную окружность в двух точках. Обозначьте их буквами В и С.

Соедините две полученные точки. При этом отрезок ВС пересечет радиус ОА. Точку их пересечения обозначьте буквой D. Образовавшиеся при этом отрезки ВD и DC будут равны между собой и каждый из них будет приблизительно равен стороне правильного семиугольника, который можно вписать в исходную окружность.

Отмерьте циркулем расстояние ВD (или DC) и, начиная с любой точки на окружности, отложите это расстояние шесть раз. Затем соедините все семь точек. Так вы получите семиугольник, который с небольшой погрешностью можно назвать правильным. Все его стороны и углы будут приблизительно равны.

Есть и другой способ построения правильного семиугольника. Для начала начертите произвольную окружность и проведите два взаимно перпендикулярных диаметра этой окружности. Назовите их АВ и СD. Далее один из диаметров (например, АВ) разделите на семь равных частей. Например, если длина вашего диаметра составляет 14 см, то длина каждой его части будет равна 2 см. В результате на данном диаметре должно появиться шесть отметок.

Затем переставьте циркуль в один из концов данного диаметра (например, В) и проведите из этой точки дугу, радиус которой будет равен диаметру исходной окружности (АВ). После этого продлите второй диаметр (СD) до пересечения с построенной дугой. Полученную точку обозначьте буквой Е.

Теперь из точки Е проведите прямые, проходящие только через четные или только через нечетные деления на диаметре АВ. Например, через второе, четвертое и шестое деления. Точки пересечения этих прямых с окружностью будут тремя из семи вершин вашего будущего многоугольника. Обозначьте их F, G и H. Четвертой вершиной будет точка А (в том случае, если вы проводили прямые через четные отметки) или точка В (если одна из прямых прошла через ближайшую к точке А отсечку).

Чтобы найти пятую, шестую и седьмую вершины, проведите из точек F, G и H прямые, строго перпендикулярные диаметру АВ. Те точки, в которых эти прямые пересекут противоположную сторону окружности, будут тремя искомыми вершинами. Для завершения построения вам нужно будет соединить все семь вершин.

Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Семиугольник, виды, свойства и формулы

Семиугольник, виды, свойства и формулы.

Семиугольник — это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно семи.

Семиугольник, выпуклый и невыпуклый семиугольник

Правильный семиугольник (понятие и определение)

Свойства правильного семиугольника

Формулы правильного семиугольника

Семиугольник в природе, технике и культуре

Шестиугольник, семиугольник, восьмиугольник

Семиугольник, выпуклый и невыпуклый семиугольник:

Семиугольник — это многоугольник с семью углами.

Семиугольник — это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно семи.

Семиугольник может быть выпуклым и невыпуклым.

Выпуклым многоугольником называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Невыпуклыми являются все остальные многоугольники.

Соответственно выпуклый семиугольник — это семиугольник, у которого все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Звёздчатый семиугольник — семиугольник, у которого все стороны и углы равны, а вершины совпадают с вершинами правильного семиугольника многоугольника. Стороны звёздчатого семиугольника могут пересекаться между собой.

Рис. 1. Выпуклый семиугольник

Рис. 2. Невыпуклый семиугольник

Сумма внутренних углов любого выпуклого семиугольника равна 900°.

Правильный семиугольник (понятие и определение):

Правильный семиугольник — это правильный многоугольник с семью сторонами.

В свою очередь правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.

Правильный семиугольник — это семиугольник, у которого все стороны равны, а все внутренние углы равны 128 4/7° ≈ 128,571°.

Рис. 3. Правильный семиугольник

Правильный семиугольник имеет 7 сторон, 7 углов и 7 вершин.

Углы правильного семиугольника образуют семь равнобедренных треугольников.

Правильный семиугольник можно невозможно построить с помощью циркуля и линейки, но можно построить с помощью циркуля и невсиса, то есть размеченной линейки, на которой можно делать отметки и с помощью которой можно проводить прямые, проходящие через какую-нибудь точку, причём отмеченные на линейке точки будут принадлежать данным линиям (прямым или окружностям).

Свойства правильного семиугольника:

1. Все стороны правильного семиугольника равны между собой.

a1 = a2 = a3 = a4= a5 = a6 = a7.

2. Все углы равны между собой и составляют 128 4/7° ≈ 128,571°.

α1 = α2 = α3 = α4 = α5 = α6 = α7 = 128 4/7° ≈ 128,571°.

Рис. 4. Правильный семиугольник

3. Сумма внутренних углов любого правильного семиугольника равна 900°.

4. Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного семиугольника O.

Рис. 5. Правильный семиугольник

5. Количество диагоналей правильного семиугольника равно 14.

Рис. 6. Правильный семиугольник

6. Центр вписанной окружности O1 совпадает с центром описанной окружности O2, что и образуют центр многоугольника O.

Рис. 7. Правильный семиугольник

Формулы правильного семиугольника:

Пусть a — сторона семиугольника, r — радиус окружности, вписанной в семиугольник, R — радиус описанной окружности семиугольника, P — периметр семиугольника, S — площадь семиугольника.

Формулы стороны правильного семиугольника:

Формулы периметра правильного семиугольника:

Формулы площади правильного семиугольника:

Формулы радиуса окружности, вписанной в правильный семиугольник:

Семиугольник в природе, технике и культуре:

В некоторых странах, например, в Великобритании, некоторые монеты имеют правильную криволинейную семиугольную форму.

Некоторые виды кактусовых имеют форму звездчатого семиугольника.

Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com

Коэффициент востребованности 974

Гептагон — Heptagon

В геометрии , A — угольник представляет собой семь-сторонний многоугольник или 7-угольник.

Угольник иногда называют septagon , используя «sept-» (в Пропуска из septua- , А латинский -derived числового префикса , а не гептабромированные , А греческий -derived числового префикс, оба родственны) вместе с греческим суффиксом «-агон» означает угол.

Обычный семиугольник

Регулярно угольник , в котором все стороны и все углы равны, имеет внутренние углы из его / 7 радиана (128 4 / 7 градусов ). Его символ Шлефли — .

Площадь

Площадь ( A ) правильного семиугольника с длиной стороны a определяется по формуле:

Это можно увидеть, разделив семиугольник с единичной стороной на семь треугольных «кусочков пирога» с вершинами в центре и в вершинах семиугольника, а затем разделив пополам каждый треугольник, используя апофему в качестве общей стороны. Апофема составляет половину котангенса, а площадь каждого из 14 маленьких треугольников составляет одну четвертую апофемы.

Точное алгебраическое выражение дается в комплексных числах следующим образом:

в котором мнимые части компенсируют друг друга, оставляя выражение с действительным знаком. Это выражение не может быть алгебраически переписано без комплексных компонентов, поскольку кубическая функция, которая служит минимальным многочленом, есть casus unducibilis .

Площадь правильного семиугольника, вписанного в круг радиуса R, равна площади самого круга, таким образом, правильный семиугольник заполняет приблизительно 0,8710 его описанной окружности .

Строительство

Поскольку 7 — простое число Пьерпона, но не простое число Ферма , правильный семиугольник нельзя построить с помощью циркуля и линейки, но можно построить с помощью отмеченной линейки и циркуля. Это самый маленький правильный многоугольник с этим свойством. Такой тип конструкции называется конструкцией neusis . Его также можно построить с помощью циркуля, линейки и трисектора. Невозможность построения линейки и циркуля следует из наблюдения, которое является нулем неприводимой кубики x 3 + x 2 — 2 x — 1 . Следовательно, этот многочлен является минимальным многочленом от 2cos ( 2π ⁄ 7 ), тогда как степень минимального многочлена для конструктивного числа должна быть степенью 2.

Жерар Т Хофт показывает правильный семиугольник, состоящий всего из 15 полосок Meccano с размером стержней 8 и 11.

Конструкция состоит из двух равнобедренных треугольников, на которых закреплены остальные стержни. Сторона правильного семиугольника a , сторона более короткого равнобедренного треугольника e и сторона более длинного равнобедренного треугольника d удовлетворяют условиям

Формула получена из формулы Гептагонального треугольника :

Небольшие возможные конструкции семиугольника:

Семиугольник а d е
1 3 4 1
2 8 11 6
3 33 46 29
4 40 53 6
5 55 74 27

Наименьший семиугольник меккано 1:

Приближение

Примерное значение для практического использования с погрешностью около 0,2% показано на чертеже. Его приписывают Альбрехту Дюреру . Пусть A лежит на окружности описанной окружности. Нарисуйте дугу BOC . Затем дает приближение для края семиугольника.

Это приближение используется для стороны семиугольника, вписанного в единичный круг, в то время как точное значение .

Пример для иллюстрации ошибки:

при радиусе описанной окружности r = 1 м абсолютная погрешность 1-й стороны будет приблизительно -1,7 мм.

Meccano аппроксимирует семиугольник. Размеры штанги — 20, 36 и 45.

Построение аппроксимации меккано может быть выполнено с помощью одиннадцати столбцов размером 20, 36 и 45. Эти значения оставляют ошибку около 0,1%.

Симметрия

Симметрии правильного семиугольника. Вершины раскрашены в соответствии с их положением симметрии. Синие зеркальные линии проводятся через вершины и ребра. В центре даны приказы гирации.

Регулярно угольник относится к D 7h точечной группы ( Шенфлиса обозначение ), порядка 28. Элементы симметрии: 7-кратное правильное вращение оси С 7 , 7-кратное неправильное вращение оси а, S 7 , 7 вертикальные плоскости зеркала, σ v , 7 2-кратные оси вращения C 2 в плоскости семиугольника и горизонтальная зеркальная плоскость σ h также в плоскости семиугольника.

[spoiler title=”источники:”]

http://www.nacherchy.ru/postroenie_pravilnich_mnogougolnikov.html

http://b4.cooksy.ru/articles/kak-nachertit-semiugolnik-v-okruzhnosti

[/spoiler]

Источник

Добавить комментарий