Как найти вес цифры в числе

Что значит вес десятичным числом

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДВОИЧНОЕ КОДИРОВАНИЕ ИНФОРМАЦИИ НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ АЛГОРИТМ ПЕРЕВОДА ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА В ЛЮБУЮ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯАЛГОРИТМ ПЕРЕВОДА ЧИСЛА ИЗ ЛЮБОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ДЕСЯТИЧНУЮ СООТНОШЕНИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ И ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ (7 КЛАСС) ПЕРЕВОД ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА В ДВОИЧНОЕ МЕТОДОМ ПОДБОРА СТЕПЕНЕЙ ЧИСЛА 2 ПЕРЕВОД ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНОГО И ВОСЬМЕРИЧНОГО ЧИСЛА В ДВОИЧНОЕ АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ В ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ

СООТНОШЕНИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ И ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ (МАТЕРИАЛ ДЛЯ 7 КЛАССА).

Десятичная система счисления – это позиционная система счисления, в которой используется десять цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) и в которой значение цифры зависит от её позиции в числе. Говорят, что цифра в числе имеет определённый «вес».

Так как цифр всего десять, то говорят, что основание десятичной системы – число 10.

Для примера возьмём число 1234. Чтобы определить вес каждой цифры, разложим это число по разрядам:

1234 = 1 × 1000 + 2 × 100 + 3 × 10 + 4.

1000 = 10 × 10 × 10. Это очень удобно записать так: 10 3 (10 в третьей степени). Тогда 100 можно представить как 10 2 , 10 = 10 1 .

Получается, что у самого старшего разряда в этом числе «вес» равен 3, а «вес» каждого следующего более младшего разряда уменьшается на 1.

Остаётся цифра 4. Множителя 10 рядом с этой цифрой не видно, но если вес 10 уменьшить ещё на 1, получится запись 10 0 , т.е. разряд единиц имеет нулевой вес. Получается, что

1234 = 1 × 10 3 + 2 × 10 2 + 3 × 10 1 + 4 × 10 0 .

Задание 1. Определите вес каждой цифры в числах 567, 45263, 30401.

Задание 2. Какое десятичное число записано:

а) 8 × 10 5 + 3 × 10 4 + 2 × 10 3 + 7 × 10 2 + 6 × 10 1 + 3 × 10 0 .

б) 2 × 10 4 + 1 × 10 2 + 7 × 10 0 .

Любое десятичное число можно представить как сумму произведений цифры каждого разряда на число 10 (основание системы) в степени, равной весу этого разряда (развёрнутая форма числа).

Теперь попробуем разобраться с двоичными числами. В двоичной системе значение цифры также зависит от её позиции в числе – двоичная система тоже позиционная и каждая цифра имеет свой вес – от 0 и выше. Используется всего две цифры – 1 и 0, значит, основание системы – число 2.

Рассмотрим для примера число 1111 в двоичной системой. Чтобы отличить 1111 десятичное от 1111 двоичного справа внизу ставят индекс – 10 или 2: 1111₁₀ и 1111₂.

Представим 1111₂ в развёрнутой форме, только теперь вместо числа 10 подставим основание двоичной системы – число 2:

1111₂ = 1 × 2 3 + 1 × 2 2 + 1 × 2 1 + 1 × 2 0 .

Но цифра 2 не принадлежит двоичной системе, зато она есть в десятичной. Попробуем выполнить те действия, которые мы только что записали:

1111₂ = 1 × 2 3 + 1 × 2 2 + 1 × 2 1 + 1 × 2 0 = 1 × 8 + 1 × 4 + 1 × 2 + 1 = 15₁₀.

Число 15 – это десятичное число, поэтому его записали так: 15₁₀.

А теперь заглянем в Таблицу соответствия десятичной и двоичной систем счисления:

По этой таблице двоичному числу 1111 соответствует десятичное число 15.

Вывод 1: двоичное число можно также представить в развёрнутой форме, только вместо 10 (основания десятичной системы) надо подставить 2 (основание двоичной системы). «Вес» цифры проставляется также как и для десятичного числа – самый младший разряд имеет вес 0, вес каждого следующего разряда больше на 1.

Вывод 2: мы вывели правило, по которому можно любое двоичное число перевести в десятичное.

Задание 3. Определите вес каждой цифры в числах 101₂, 11001₂, 10010₂.

Задание 4. Какое двоичное число записано:

а) 1 × 2 5 + 0 × 2 4 + 1 × 2 3 + 1 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 .

б) 1 × 2 4 + 1 × 2 2 + 1 × 2 0 .

Задание 5. Переведите в десятичную систему числа: а) 1100010₂; б) 1010111₂; в) 11001101₂.

© Материал разработан учителем информатики ЦО №109 Максимовской Мариной Алексеевной

Источник

Что значит вес десятичным числом

Система счисления — это способ записи чисел.

Позиционная система счисления — это такая система, в которой вклад цифры зависит от её позиции в записи числа.

Вес позиции — это число, на которое умножается цифра, находящаяся в этой позиции.

Чтобы определить значение числа по его записи в позиционной системе счисления, нужно умножить цифры на веса их позиций и сложить результаты.

Основание позиционной системы счисления — это число, которое используется для определения веса позиций.

Вес первой позиции всегда равен единице. Вес каждой следующей позиции получается из веса предыдущей умножением на основание системы (нумерация справа налево).

Дайте определение термину “система счисления”.

Дайте определение термину “позиционная система счисления”.

Объясните принципы построения чисел в десятичной системе счисления на примере числа 548.

Что называют весом позиции? Расскажите алгоритм нахождения веса позиции. Чему равен вес третьей справа позиции в десятичной записи числа? А в двоичной? А в троичной?

Что понимают под разрядом? В каком разряде расположена цифра 5 в десятичном числе 1532?

Что называют вкладом цифры? Чему равен вклад цифры 7 в числе 1745 10 ? А вклад цифры 4 в числе 1432 5 ?

Дайте определение термину “основание позиционной системы счисления”. Как связано основание системы с количеством цифр в этой системе? Сколько цифр в 5-ричной системе счисления? А в 16-ричной? А в системе с основанием 25?

На каком месте в записи числа располагается младшая цифра? А старшая?

Расскажите алгоритм перевода двоичного числа в десятичную систему счисления и выполните этот алгоритм для числа 101101 2 .

Расскажите алгоритм перевода десятичного числа в двоичную систему счисления и выполните этот алгоритм для числа 50 10 .

Как перевести число из любой позиционной системы счисления в десятичную систему? Объяснение постройте на примере системы с основанием 4.

Вариант 1

Прочитайте скороговорки, заменяя двоичные числа десятичными:

Разгадайте двоично-буквенные ребусы:

1100100 Л	101000 А
СВИ 1100100 К	10001 плюс 11001 равно 101010

Выполните вычисления и запишите ответ в десятичной системе счисления:

1)	100 2 ·5 8 =
2)	100 3 + 100 5 =
3)	10 9 ·10 100 – 10 900 =
4)	33 4 + 44 5 =
5)	15 6 + 51 8 =

Переведите заданные числа в указанные системы счисления:

Число 10	Число 5	Число 4	Число 3	Число 2
1)	0
2)	1
3)	2
4)	3
5)	4
6)	5
7)	9
8)	16
8)	25
9)	32
10)	64

Вариант 2

Запишите арифметическое выражение для решения следующей задачи и подсчитайте ответ:

Наша умница Мальвина
Опекает Буратино
И купила для него,
Что ему нужней всего:
10 2 обложки, 11 2 линейки
И на 111 2 рублей наклейки.
На обложках — Бармалей,
Цена каждой — 101 2 рублей.
На линейки, что купила,
101010 2 рубля хватило.
Сколько стоили покупки?
На раздумье — полминутки.

Попробуйте использовать стандартную программу Калькулятор для перевода чисел из стихотворения в привычную десятичную запись ( Вид — Инженерный, Bin — двоичное представление числа, Dec — десятичное представление числа). Запишите алгоритмы перевода чисел с помощью Калькулятора из двоичного представления в десятичное и наоборот, из десятичного — в двоичное.

Вариант 3

Докажите, что запись 10 в любой позиционной системе счисления означает число, равное основанию этой системы.

Определите основание позиционной системы счисления для каждого равенства.

1)	10 b = 50 10	b = ?
2)	11 b = 6 10	b = ?
3)	100 b = 64 10	b = ?
4)	101 b = 26 10	b = ?
5)	50 b = 30 10	b = ?
6)	99 b = 909 10	b = ?
7)	21 b = 15 6	b = ?
8)	10 2·b = 100 b	b = ?
9)	12 2·b = 22 b	b = ?
10)	14 b·b = 104 b	b = ?

Шестнадцатеричная система счисления использует 16 цифр. Первые десять цифр совпадают с цифрами десятичной системы, а последние обозначаются буквами латинского алфавита:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Цифра	Значение
A	10
B	11
C	12
D	13
E	14
F	15

Переведём, например, в десятичную систему число A8 16 .

A8 16 = 10 ·16 + 8 ·1 = 168 10

В каждом задании найдите значение числа x.

1)	25 16 = x 10	x = ?
2)	AB 16 = x 10	x = ?
3)	FD 16 = x 10	x = ?
4)	170 10 = x 16	x = ?
5)	2569 10 = x 16	x = ?
6)	80 32 = x 16	x = ?

Выполните следующие задания.

1. Найдите вес третьей позиции в записи числа, если известно, что вес второй позиции равен 7. Нумерация позиций справа налево.
2. Система счисления использует 5 цифр. Найдите вес четвёртой справа позиции в записи числа.
3. Число записано в виде двух единиц: 11. В какой системе счисления оно записано, если в десятичной оно равно 21.
4. В некой системе счисления число выглядит как 100. Сколько цифр использует эта система счисления, если в десятичной системе число равно 2500.
5. Два числа записаны как 100, но в системах с разным основанием. Известно, что основание первой системы в два раза больше основания второй. Какое число больше и во сколько раз?
6. Найти основание системы, если известно, что число 101, записанное в этой системе, означает десятичное число 37.
7. В какой системе счисления для удвоения числа, нужно дописать справа к его записи ноль?
8. Умножить на 10 в десятичной системе — значит дописать справа к числу ноль. Сформулируйте правило умножения на 10 b в системе с основанием b.

Сформулировать алгоритм перевода числа из десятичной в троичную систему счисления.

Построить таблицы сложения и умножения для четверичной системы счисления. Пользуясь этими таблицами выполнить столбиком следующие действия над числами (оставаясь в четверичной системе счисления):

• а) 1021 4 +333 4 б)3333 4 +3210 4
• а) 321 4 –123 4 б) 1000 4 –323 4
• а) 13 4 ·12 4 б) 302 4 ·23 4
• а) 1123 4 :13 4 б) 112003 4 :101 4

Построить таблицы сложения и умножения для двоичной системы счисления. Пользуясь этими таблицами выполнить столбиком следующие действия над числами (оставаясь в двоичной системе счисления):

• а) 1001 2 +1010 2 б) 10111 2 +1110 2
• а) 1110 2 –101 2 б) 10000 2 –111 2
• а) 101 2 ·11 2 б) 1110 2 ·101 2
• а) 1000110 2 :101 2 б) 100000100 2 :1101 2

Источник

Системы счисления

Система счисления — это совокупность правил записи чисел посредством конечного набора символов (цифр).

Системы счисления бывают:

• непозиционными (в этих системах значение цифры не зависит от ее позиции — положения в записи числа);
• позиционными (значение цифры зависит от позиции).

Непозиционные системы счисления

Примеры: унарная, римская, древнерусская и др.

Позиционные системы счисления

Основание системы счисления —

количество различных цифр, используемых в этой системе.

отношение количественного эквивалента цифры в этом разряде к количественному эквиваленту той же цифры в нулевом разряде

где i — номер разряда, а s — основание системы счисления.

Разряды числа нумеруются справа налево, причем младший разряд целой части (стоящий перед разделителем — запятой или точкой) имеет номер ноль. Разряды дробной части имеют отрицательные номера:

По определению веса разряда

где i — номер разряда, а s — основание системы счисления.

Тогда, обозначив цифры числа как a_i, любое число, записанное в позиционной системе счисления, можем представить в виде:

Например, для системы счисления с основанием 4:

1302.2₄ = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 + 2⋅4 -1

Выполнив вычисления, мы получим значение исходного числа, записанное в десятичной системе счисления (точнее, в той, в которой производим вычисления). В данном случае:

1302.2₄ = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 + 2⋅4 -1 =

= 1⋅64 + 3⋅16 + 0⋅4 + 2⋅1 + 2⋅0,25 =

= 64 + 48 + 2 + 0,5 = 114,5

Таким образом, для перевода числа из любой системы счисления в десятичную следует:

1. пронумеровать разряды исходного числа;
2. записать сумму, слагаемые которой получаются как произведения очередной цифры на основание системы счисления, возведенное в степень, равную номеру разряда;
3. выполнить вычисления и записать полученный результат (указав основание новой системы счисления — 10).

Вспомним пример перевода из системы счисления с основанием 4 в десятичную:

1302₄ = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 = 114

Иначе это можно записать так:

114 = ((1 ⋅ 4 + 3) ⋅ 4 + 0) ⋅ 4 + 2 = 1302₄

Отсюда видно, что при делении 114 на 4 нацело в остатке должно остаться 2 — это младшая цифра при записи в четверичной системе. Частное же будет равно

Деление его на 4 даст остаток — следующую цифру (0) и частное 1 ⋅ 4 + 3. Продолжая действия, получим аналогичным образом и оставшиеся цифры.

В общем случае для перевода целой части числа из десятичной системы счисления в систему с каким-либо другим основанием необходимо:

1. Выполнить последовательное деление с остатком исходного числа и каждого полученного частного на основание новой системы счисления.
2. Записать вычисленные остатки, начиная с последнего (т.е. в обратном порядке)

Источник

0

Этот калькулятор можно использовать для подсчета знаков, необходимых для записи большого числа в двоичном виде (число бит). Также выдается какой объем памяти требуется для хранения этого числа в памяти компьютера (число байт). Кроме этого калькулятор определяет число разрядов для вывода числа в восьмеричном, в десятичном и шестнадцатеричном виде и выводит исходное число в этих системах счисления.

Ограничения на длину числа нет – максимум зависит только от ресурсов вашего компьютера.
К примеру, число с одной тысячей нулей можно ввести вот так: 123E1000

Калькулятор вычисляет число двоичных разрядов путем преобразования числа в двоичную строку и последующего вычисления ее длины.
На практике такой способ неэффективен. Реализация более эффективного алгоритма поиска позиции старшего значащего бита во многом зависит от представления числа в памяти компьютера и сложности выполнения тех или иных операций.
Например, математически число бит можно вычислить путем округления в большую сторону логарифма по основанию 2 от заданного числа плюс 1: