Как найти вес минимального остовного дерева графа

const int maxn = 1e5, inf = 1e9;
vector from, to, weight;
bool used[maxn]

// считать все рёбра в массивы

used[0] = 1;
for (int i = 0; i < n-1; i++) {
    int opt_w = inf, opt_from, opt_to;
    for (int j = 0; j < m; j++)
        if (opt_w > weight[j] && used[from[j]] && !used[to[j]])
            opt_w = weight[j], opt_from = from[j], opt_to = to[j]
    used[opt_to] = 1;
    cout << opt_from << " " << opt_to << endl;
}

const int maxn = 1e5, inf = 1e9;
bool used[maxn];
vector< pair<int, int> > g[maxn];
int min_edge[maxn] = {inf}, best_edge[maxn];
min_edge[0] = 0;

// ...

for (int i = 0; i < n; i++) {
    int v = -1;
    for (int u = 0; u < n; j++)
        if (!used[u] && (v == -1 || min_edge[u] < min_edge[v]))
            v = u;

    used[v] = 1;
    if (v != 0)
        cout << v << " " << best_edge[v] << endl;

    for (auto e : g[v]) {
        int u = e.first, w = e.second;
        if (w < min_edge[u]) {
            min_edge[u] = w;
            best_edge[u] = v;
        }
    }
}

set< pair<int, int> > q;
int d[maxn];

while (q.size()) {
    v = q.begin()->second;
    q.erase(q.begin());

    for (auto e : g[v]) {
        int u = e.first, w = e.second;
        if (w < d[u]) {
            q.erase({d[u], u});
            d[u] = w;
            q.insert({d[u], u});
        }
    }
}

int _p[maxn];

int p(int v) {
    if (_p[v] == v)
        return v;
    else
        return p(_p[v]);
}

void unite(int a, int b) {
    a = p(a), b = p(b);
    _p[a] = b;
}

for (int i = 0; i < n; i++)
    _p[i] = i;

int _p[maxn], s[maxn];

int p (int v) { return (_p[v] == v) ? v : _p[v] = p(_p[v]); }

void unite(int a, int b) {
    a = p(a), b = p(b);
    if (s[a] > s[b])
        swap(a, b);
    s[b] += s[a];
    _p[a] = b;
}

// где-то в main:

for (int i = 0; i < n; i++)
    _p[i] = i;

// (w, (a, b))
vector< pair< int, pair<int, int> > > edges;

sort(edges.begin(), edges.end());

for (auto e : edges) {
    int a = e.first.first, b = e.first.second;
    // компоненты разные, если лидеры разные
    if (p(a) != p(b)) {
        // добавим ребро (a, b)
        unite(a, b);
    }
}

Привет, Хабр!
В свободное от учебы время пишу статьи, которых мне не хватало несколько лет назад.

Формальная постановка задачи

Имеется следующий неориентированный взвешенный граф. Назовем остовным деревом подграф, содержащий все вершины исходного графа, который является деревом. И задача состоит в том, чтобы найти такое остовное дерево, сумма рёбер которого минимальна.

Неформальная постановка задачи

Представьте исходный граф без рёбер, теперь вам нужно как-то соединить все вершины между собой, чтобы можно было бы попасть из любой вершины в другую, не имея при этом циклов в получившемся графе с минимально возможной суммой весов включенных рёбер.

Алгоритм Краскала

Механизм, по которому работает данный алгоритм, очень прост. На входе имеется пустой подграф, который и будем достраивать до потенциального минимального остовного дерева. Будем рассматривать только связные графы, в другом случае при применении алгоритма Краскала мы будем получать не минимальное остовное дерево, а просто остовной лес.

• Вначале мы производим сортировку рёбер по неубыванию по их весам.

• Добавляем i-ое ребро в наш подграф только в том случае, если данное ребро соединяет две разные компоненты связности, одним из которых является наш подграф. То есть, на каждом шаге добавляется минимальное по весу ребро, один конец которого содержится в нашем подграфе, а другой – еще нет.

• Алгоритм завершит свою работу после того, как множество вершин нашего подграфа совпадет с множеством вершин исходного графа.

Данный алгоритм называется жадным из-за того, что мы на каждом шаге пытаемся найти оптимальный вариант, который приведет к оптимальному решению в целом.

Разбор конкретного примера по шагам

При добавлении в наше остовное дерево ребра A <--> C, как вы можете заметить, образовывается цикл, поэтому мы просто пропускаем данное ребро.

По итогу у нас образовывается следующий подграф, и как вы заметили, мы соединили все вершины ребрами с минимально-возможными весами, а значит, нашли минимальное остовное дерево для нашего исходного графа.

Проводим проверку с помощью встроенного алгоритма для нахождения MST на graphonline, и видим, что подграфы идентичны.
И да, из-за того, что при равенстве весов рёбер мы можем выбрать любое из них, конечные подграфы, являющиеся минимальными остовными деревьями, могут различаться с точностью до некоторых рёбер.

Суммарный вес искомого MST равен 33.

Реализация

Псевдокод

vector<int> parent, rank;

void make_set(int v) {
    parent[v] = v;
    rank[v] = 0;
}

int find_set(int v) {
    if (v == parent[v])
        return v;
    return parent[v] = find_set(parent[v]);
}

void union_sets(int a, int b) {
    a = find_set(a);
    b = find_set(b);
    if (a != b) {
        if (rank[a] < rank[b])
            swap(a, b);
        parent[b] = a;
        if (rank[a] == rank[b])
            rank[a]++;
    }
}

struct Edge {
    int u, v, weight;
    bool operator<(Edge const& other) {
        return weight < other.weight;
    }
};

int n;
vector<Edge> edges;

int cost = 0;
vector<Edge> result;
parent.resize(n);
rank.resize(n);
for (int i = 0; i < n; i++)
    make_set(i);

sort(edges.begin(), edges.end());

for (Edge e : edges) {
    if (find_set(e.u) != find_set(e.v)) {
        cost += e.weight;
        result.push_back(e);
        union_sets(e.u, e.v);
    }
}

Алгоритм Прима

Суть самого алгоритма Прима тоже сводится к жадному перебору рёбер, но уже из определенного множества. На входе так же имеется пустой подграф, который и будем достраивать до потенциального минимального остовного дерева.

• Изначально наш подграф состоит из одной любой вершины исходного графа.

• Затем из рёбер инцидентных этой вершине, выбирается такое минимальное ребро, которое связала бы две абсолютно разные компоненты связности, одной из которых и является наш подграф. То есть, как только у нас появляется возможность добавить новую вершину в наш подграф, мы тут же включаем ее по минимальмально возможному весу.

• Продолжаем выполнять предыдущий шаг до тех пор, пока не найдем искомое MST.

Разбор конкретного примера

Выбираем чисто случайно вершину E,далее рассмотрим все ребра исходящие из нее, включаем в наше остовное дерево ребро C <--> E; w = 9, так как данное ребро имеет минимальный вес из всех рёбер инцидентных множеству вершин нашего подграфа. Имеем следующее:

Теперь выборка производится из рёбер:
D <--> C; w = 6
A <--> C; w = 8
F <--> E; w = 10
B <--> C; w = 11
D <--> E; w = 11

То есть, в данный момент, мы знаем только о двух вершинах, соответственно, знаем о всех ребрах, исходящих из них. Про связи между другими вершинами, которые не включены в наш подграф, мы ничего не знаем, поэтому они на этом шаге не рассматриваются.

Добавляем в наш подграф реброD <--> C и по аналогии добаляем ребро D <--> B. Получаем следующее:

Давайте добьем наш подграф до минимального остовного дерева. Вы, наверное, уже догадались о том, по каким ребрам мы будем связывать наши оставшиеся вершины:
A и F.

Проводим последние штрихи и получили тот же самый подграф в качестве минимального остовного дерева. Но как мы раннее говорили, сам подграф ничего не решает, главное тут – множество рёбер, которые включены в наше остовное дерево.

Суммарный вес искомого MST равен 33.

Источники

Инструмент для работы с графами
Лекция Павла Маврина

Насколько подробно я расписываю? (Учтите, что приоритетом данных статей является разжевывание)

Проголосовали 33 пользователя.

Воздержались 6 пользователей.

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 7 ноября 2020 года; проверки требуют 5 правок.

Минимальное остовное дерево (или минимальное покрывающее дерево) в (неориентированном) связном взвешенном графе — это остовное дерево этого графа, имеющее минимальный возможный вес, где под весом дерева понимается сумма весов входящих в него рёбер.

Пример[править | править код]

Задача о нахождении минимального остовного дерева часто встречается в подобной постановке: допустим, есть n городов, которые необходимо соединить дорогами так, чтобы можно было добраться из любого города в любой другой (напрямую или через другие города). Разрешается строить дороги между заданными парами городов и известна стоимость строительства каждой такой дороги. Требуется решить, какие именно дороги нужно строить, чтобы минимизировать общую стоимость строительства.

Эта задача может быть сформулирована в терминах теории графов как задача о нахождении минимального остовного дерева в графе, вершины которого представляют города, рёбра — это пары городов, между которыми можно проложить прямую дорогу, а вес ребра равен стоимости строительства соответствующей дороги.

Алгоритмы[править | править код]

Существует несколько алгоритмов для нахождения минимального остовного дерева. Некоторые наиболее известные из них перечислены ниже:

• Алгоритм Прима,
• Алгоритм Краскала (или алгоритм Крускала),
• Алгоритм Борувки,
• Алгоритм обратного удаления (получение минимального остовного дерева из связного рёберно взвешенного графа).

Родственные задачи[править | править код]

На задачу о нахождении минимального остовного дерева похожа задача о дереве Штейнера. В ней задано несколько точек на плоскости и требуется проложить между ними граф путей так, чтобы минимизировать сумму длин путей. Главное отличие от задачи о минимальном остовном дереве при этом заключается в том, что разрешается добавлять дополнительные точки ветвления с целью ещё сильнее уменьшить сумму длин рёбер. Задача о дереве Штейнера является NP-полной.

Литература[править | править код]

• Кормен, Т., Лейзерсон, Ч., Ривест, Р., Штайн, К. Глава 23. Минимальные остовные деревья // Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms / Под ред. И. В. Красикова. — 2-е изд. — М.: Вильямс, 2005. — 1296 с. — ISBN 5-8459-0857-4.

Дерево
– это граф без циклов.

Понятие дерева
широко используется во многих областях
математики и информатики. Например, как
инструмент при вычислениях, как удобный
способ хранения данных, способ сортировки
или поиска данных.

Достаточно
развитое генеалогическое дерево образует
дерево.

Типичное
частичное организационное дерево для
университета.

Если
дерево имеет хотя бы одно ребро, оно
имеет две вершины со степенью 1. Вершины
со степенью 1 называются листьями.
Другие вершины называются внутренними
вершинами.

Предположим, что
дерево представляет физический объект,
подвижный в вершинах, и подвесим дерево
за одну из его вершин:

Если
подвесить за вершину V3
или V4

Вершина
в верхней части называется корнем
дерева, если корень определен, то дерево
называется корневым.
При необходимости корневое дерево Т
можно заменить на ориентированное
корневое дерево Т’,
порожденное корневым деревом Т.

Если корень выбран,
уровень
вершины V
определяется длиной единственного пути
из корня в вершину V.
Высотой
дерева называется длина самого длинного
пути от корня дерева до листа.

Если рассматривается
корневое
ориентированное дерево Т’,
порожденное данным корневым деревом
Т, тогда вершина u
называется родителем
вершины v;
a v
называется сыном вершины u,
если существует ориентированное ребро
из u
в v.

Если u
— родитель v
и v1,
тогда v и
v1
называются братьями.

Если существует
ориентированный путь из вершины u
в вершину v,
тогда u
называется предком
вершины v,
a v
называется потомком
вершины u.

Если наибольшая
из степеней выхода для вершин дерева
равна m,
тогда дерево называется m
– арным
деревом.

В частном случае,
когда m
= 2, дерево называется бинарным
деревом.

В каждом бинарном
дереве каждый сын родителя обозначается
либо как левый сын, либо как правый сын
(но не то и другое одновременно).

Связный
граф G(V,E),
не имеющий циклов, называется деревом.

ТЕОРЕМА (основные свойства
деревьев):

Пусть граф G(V,E)
имеет n
вершин. Тогда следующие утверждения
эквивалентны:

1. G
   является деревом;

2. G
   не содержит циклов и имеет n-1
   рёбер;

3. G
   связен и имеет n-1
   рёбер;

4. G
   связен, но удаление ”
   ребра нарушает связность;

5. ”
   две вершины графа G
   соединены ровно одним путём;

6. G
   не имеет циклов, но добавление ”
   ребра порождает ровно один цикл.
   

Ориентированное
дерево
представляет собой ориентированный
граф без циклов, в котором полустепень
захода каждой вершины (за исключением
одной, например v₁)
не больше 1, а полустепень захода вершины
v₁
(называемой также корнем)
равна нулю.

Вершину v
ордерева называют потомком
вершины u,
если $
путь из u
в v.
В этом же случае вершину u
называют предком
вершины v.

Вершину, не имеющую
потомков, называют листом.

Высота ордерева
– это наибольшая длина пути из корня
в лист.

Уровень вершины
ордерева – длина пути из корня в эту
вершину.

Ордерево называют
бинарным,
если полустепень исхода любой его
вершины не превосходит 2.

Пусть задан
неориентированный граф.

Остовным деревом
(остовом)
связного графа называется любой его
остовный подграф, являющийся деревом.

Граф и два его
остовных дерева (удаленные ребра
показаны пунктиром).

Задачи о кратчайших
расстояниях на графах.

1. Построение
   минимального остовного дерева
   (кратчайшей связывающей сети) –
   соединение всех узлов сети с помощью
   путей наименьшей длины.

2. Задача
   о нахождении дерева кратчайших
   расстояний – нахождение кратчайшего
   пути из одной вершины в любую другую.

3. Построение
   матрицы кратчайших расстояний –
   нахождение кратчайших путей для любой
   пары вершин.

Необходимо
проложить линии коммуникаций (дороги,
линии связи, электропередач и т.п.) между
n
заданными “точечными” объектами,
при условии:

во-первых,
известны “расстояния” между каждой
парой объектов (это может быть
геометрическое расстояние или стоимость
прокладки коммуникаций между ними),

во-вторых,
объекты могут быть связаны как
непосредственно, так и с участием
произвольного количества промежуточных
объектов.

При допущении,
что разветвления возможны только в
этих же n
объектах, задача сводится к нахождению
кратчайшего остовного дерева (SST –
shortest spanning tree, или MST – minimal spanning tree) во
взвешенном графе, вершины которого
соответствуют заданным объектам, а
веса ребер равны “расстояниям”
между ними.

Определение.
Вес
остовного
дерева взвешенного графа G
равен сумме весов, приписанных ребрам
остовного дерева. Будем обозначать
(T).

Минимальным
остовным деревом
(МОД) называется такое остовное дерево
графа G,
что вес T
меньше или равен весу любого другого
остовного дерева графа G.
Вес минимального остовного дерева
будем обозначать _min(T).

Задача 1:
найти кратчайшее остовное дерево
(минимальный покрывающий остов)
взвешенного графа.

Пусть дан
неориентированный связный граф со
взвешенными ребрами. Вес ребра (x_i,x_j)
обозначим c_ij.
Из всех остовов графа необходимо найти
один, у которого сумма весов на ребрах
наименьшая.

Стоимость остовного
дерева вычисляется как сумма стоимостей
всех рёбер, входящих в это дерево.

Построение остова
графа G,
имеющего наименьший вес, имеет широкое
применение при решении некоторого
класса задач прикладного характера.

Например:

Пусть, например,
G=(V,
E,
)
служит моделью железнодорожной сети,
соединяющей пункты v₁,
v₂,
…, v_nV,
а (v_i,
v_j)
– расстояние между пунктами v_i
и v_j.

Требуется проложить
сеть телеграфных линий вдоль
железнодорожной сети так, чтобы все
пункты v₁,
v₂,
…, v_n
были связаны между собой телеграфной
сетью, протяженность которой была бы
наименьшей.

Рассмотрим два
способа построения минимального
остовного дерева взвешенного графа:
алгоритм Крускала и алгоритм Прима.

Алгоритм
Крускала:

1) Выбрать в графе
G
ребро e
минимального веса, не принадлежащее
множеству E
и такое, что его добавление в E
не создает цикл в дереве T.

2) Добавить это
ребро во множество ребер E.

3) Продолжить,
пока имеются ребра, обладающие указанными
свойствами.

Пример.
Для данного взвешенного графа найти
минимальное корневое остовное дерево,
используя алгоритм Крускала. Определить
высоту построенного дерева.

Алгоритм
Крускала.

Выбираем
ребро с минимальным весом. Это ребро,
(,
)
с весом, равным 4.

Пусть
вершина

будет корнем дерева. Далее выбираем
ребра, инцидентные вершинам
,

и имеющие минимальный вес.

Это
ребро (,
)
с весом 5. Затем к вершине

присоединяем ребро (,)
с весом 7.

Далее,
добавляем ребро (,
)
с весом 7 и ребро (,)
с весом 6.

Минимальный
вес построенного дерева равен:
_min(T)=4+5+7+7+6=29.