Как найти вид точки разрыва

Нахождение точек разрыва функции является одним из обязательных моментов исследования на непрерывность. Для кого-то это может прозвучать непонятно, а для остальных будет слишком банально.

Но и тем, и другим не стоит делать поспешные выводы: материал этой темы действительно предельно прост, но вместе с тем для успешного решения практических задач потребуется осмыслить и запомнить несколько технических приемов и нюансов.

Наглядный график  точки разрыва функции

Как минимум необходимо понимать, что за «зверь» кроется под понятием предела функции. И конечно же, нужно уметь их решать. Не менее полезным станет понимание геометрического смысла, дополненное графиком — большинство задач подобного характера требуют построения чертежа после решения.

Точки разрыва функции

Определение точки разрыва

Как уже упоминалось, их поиск напрямую связан с темой непрерывности. Если говорить простым языком, то это не что иное, как координаты графика функции, в которых точки не соединяются между собой. Образуются «рваные области», которые и называют местом разрыва. Вообще, чтобы понять смысл, достаточно всего лишь взглянуть на рисунок:

Он более чем очевидно иллюстрирует определение понятия. Если функция прерывается в X0, то непрерывность в этом месте нарушена одним из двух возможных способов:

  • первый род;
  • второй род.

Задачи похожего типа, где необходимо находить точки разрыва, могут выступать не только, как один из этапов полного исследования на непрерывность, но и в качестве самостоятельных заданий. Чтобы определить их вид, потребуется отыскать предел для найденных значений. Поэтому, если вы еще не умеете их решать, самое время ненадолго отвлечься, чтобы изучить базовые основы.

К счастью, на практике это не так сложно — самый трудный этап заключается в приведении примера к одному из табличных. Остальные моменты легко запомнить. Не стоит забывать и о большом количестве сервисов, которые в несколько кликов выдадут значение предела любой сложности онлайн.

Классификация точек разрыва.

Точки разрыва первого и второго рода

Если функция не определена, но односторонние пределы имеют конечное значение, то ее относят к случаю первого рода. Который, в свою очередь, может иметь характеристику устранимого или конечного:

  • Точки устранимого разрыва функции. Значения вычислений обоих пределов для них равны. Но также имеется возможность «исправить ситуацию»: нахождения между двумя координатами такой, левый и правый пределы которой будут одинаковы, а сама она — соединит «порванный» участок, сделав график непрерывным.
  • Точки конечного разрыва первого родаскачок функции. Пределы могут быть вычислены, но в то же время не равны друг другу, и поэтому доопределение уравнения невозможно. Разница первого и второго называется скачком.

  • Точки разрыва второго рода отличаются тем, что вычисляемые пределы не просто различны по значению, но результат хотя бы одного из них обязательно должен быть равен бесконечности или несуществующему числу.

Точки разрыва функции - определение

Как найти точки разрыва функции

Если в условиях задачи не были даны координаты проверяемого отрезка, то процесс решения делится на несколько этапов. Для начала нужно найти область определенных значений, с которой в дальнейшем пойдет работа. После это вычисляются односторонние пределы функции. Полученные результаты необходимо будет сравнить, чтобы однозначно определить род и характеристику разрыва.

Точка разрыва

Рассмотрим более подробно каждый из этих моментов на примере нахождения нужных нам точек у конкретного примера f (y)=(y² – 25)/(y – 5):

  1. Областью определения называют множество значений, в котором существует функция. Здесь не нужны никакие сложные вычисления, достаточно взять лишь знаменатель. Если y=5, то он будет (5−5)=0 и, как всем известно, делить на него нельзя. Таким образом, получаем область допустимых y ∈ (-∞; 5) ∪ (5; +∞) и предполагаем, что наша y = 5 является точкой разрыва.
  2. Вычисление односторонних пределов. Это самая сложная для учеников часть, т. к. пределы не всегда бывают удобными для вычисления, да не все на них «собаку съели». Но в этом случае функцию можно значительно упростить еще до начала вычисления: f (y) = (y ²-25)/(y — 5) = ((y-5)(y+5)) /(y — 5) = y+5. Никогда не пренебрегайте такой возможностью, если она есть. Заметим, что новая функция непрерывна при любом численном значении, т. ч. по всем математическим правилам пределы будут равны: lim (y + 5) = 5 + 5 = 10.
  3. Проверяя совпадение результатов, мы выяснили, что левый и правый предел функции в точке y=5 одинаковые. Но вместе с тем функция f(y) не может быть определена в этой координате, иначе ее знаменатель обращается в ноль, что невозможно по условиям. Следовательно, она действительно является разрывом, а именно: устранимым и первого рода.

Видео

Из этого видео вы узнаете, как исследовать непрерывность функции.

Содержание:

  • Определение точки разрыва
  • Точка разрыва первого рода
  • Точка разрыва второго рода
  • Точка устранимого разрыва
  • Примеры решения задач

Определение точки разрыва

Определение

Точка $a$, в которой нарушено хотя бы одно
из трех условий непрерывности функции, а именно:

  1. функция $f(x)$ определена в точке и ее окрестности;
  2. существует конечный предел функции $f(x)$
    в точке $a$;
  3. это предел равен значению функции в точке $a$,
    т.е. $lim _{x rightarrow a} f(x)=f(a)$

называется точкой разрыва функции.

Пример

Функция $y=sqrt{x}$ не определена в точке
$x=-1$, а значит, эта точка является точкой
разрыва указанной функции.

Точка разрыва первого рода

Определение

Если в точке $a$ существуют конечные
пределы $f(a-0)$ и
$f(a+0)$, такие, что
$f(a-0) neq f(a+0)$, то точка
$a$ называется точкой разрыва первого рода.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Функция $f(x)=left{begin{array}{l}{0, x>1} \ {1, x leq 1}end{array}right.$ в точке
$x=1$ имеет разрыв первого рода, так как

$f(1-0)=1$, а
$f(1+0)=0$

Точка разрыва второго рода

Определение

Если хотя б один из пределов $f(a-0)$ или
$f(a+0)$ не существует или равен бесконечности, то
точка $a$ называется точкой разрыва второго рода.

Пример

Для функции $y=frac{1}{x}$ точка
$x=0$ – точка разрыва второго рода, так как
$f(0-0)=-infty$ .

Точка устранимого разрыва

Определение

Если существуют
левый и правый пределы функции в точке и они равны друг другу, но не совпадают со значением
функции $f(x)$ в точке
$a$:
$f(a) neq f(a-0)=f(a+0)$ или функция
$f(x)$ не определена в точке
$a$, то точка
$a$ называется точкой устранимого разрыва.

Пример

Рассмотрим функцию $f(x)=left{begin{array}{l}{3 x+1, x lt 0} \ {1-4 x, x>0} \ {e^{2}, x=0}end{array}right.$ .
Найдем односторонние пределы и значение функции в точке $x=0$:

$f(0)=e^{2}$

$f(0-0)=lim _{x rightarrow 0-} f(x)=lim _{x rightarrow 0-}(3 x+1)=1$

$f(0+0)=lim _{x rightarrow 0+} f(x)=lim _{x rightarrow 0+}(1-4 x)=1$

Так как $f(0-0)=f(0+0)$ и не равны значению функции в
точке, то точка $x=0$ – точка устранимого разрыва.

Примеры решения задач

Пример

Задание. Исследовать функцию $f(x)=left{begin{array}{l}{x^{2}, x lt 1} \ {(x-1)^{2}, 1 leq x leq 2} \ {3-x, x>2}end{array}right.$ на непрерывность.

Решение. Рассматриваемая функция определена и
непрерывна на промежутках
$(-infty ; 1)$,
$(1 ; 2)$ и
$(2 ;+infty)$, на которых она задана непрерывными
элементарными функциями $y_{1}(x)=x^{2}$,
$y_{2}(x)=(x-1)^{2}$ и
$y_{3}(x)=3-x$ соответственно. А тогда, разрыв возможен
только на концах указанных промежутков, то есть в точках
$x=1$ и
$x=2$ .

Найдем односторонние пределы и значение функции в каждой из точек.

1) Рассмотрим точку $x=1$ . Для нее

$f(1)=left.(x-1)^{2}right|_{x=1}=0$

$f(1-0)=lim _{x rightarrow 1-} f(x)=lim _{x rightarrow 1-} y_{1}(x)=lim _{x rightarrow 1-} x^{2}=1$

$f(1+0)=lim _{x rightarrow 1+} f(x)=lim _{x rightarrow 1+} y_{2}(x)=lim _{x rightarrow 1+}(x-1)^{2}=0$

Так как $f(1-0) neq f(1+0)$ , то в точке
$x=1$ функция терпит разрыв первого рода.

2) Для точки $x=2$ имеем:

$f(2)=left.(x-1)^{2}right|_{x=2}=1$

$f(2-0)=lim _{x rightarrow 2-} f(x)=lim _{x rightarrow 2-} y_{2}(x)=lim _{x rightarrow 2-}(x-1)^{2}=1$

$f(2+0)=lim _{x rightarrow 2+} f(x)=lim _{x rightarrow 2+} y_{3}(x)=lim _{x rightarrow 2+}(3-x)=1$

Так как односторонние пределы и значение функции в этой точке равны, то это означает, что в точке
$x=2$ функция непрерывна.

Ответ. В точке $x=1$ функция
терпит разрыв первого рода, а в точке $x=2$ непрерывна.

Пример

Задание. Исследовать функцию $y=e^{frac{1}{x-1}}$
на непрерывность в точках $x_{1}=1$ и
$x_{2}=0$ .

Решение. 1) Исследуем функцию на
непрерывность в точке
$x_{1}=1$:

$f(1-0)=lim _{x rightarrow 1-} e^{frac{1}{x-1}}=e^{-infty}=0$

$f(1+0)=lim _{x rightarrow 1+} e^{frac{1}{x-1}}=e^{+infty}=infty$

Так как один из односторонних пределов бесконечен, то точка $x_{1}=1$
точка разрыва второго рода.

2) Для точки $x_{2}=0$ получаем:

$f(0-0)=lim _{x rightarrow 0-} e^{frac{1}{x-1}}=e^{-1}=frac{1}{e}$

$f(0+0)=lim _{x rightarrow 0+} e^{frac{1}{x-1}}=e^{-1}=frac{1}{e}$

и значение функции в точке

$f(0)=e^{frac{1}{x-1}}=frac{1}{e}$

Таким образом, в точке $x_{2}=0$ заданная
функция является непрерывной.

Ответ. $x_{1}=1$
– точка разрыва второго рода, а в точке $x_{2}=0$
функция непрерывна.

Читать дальше: основные теоремы о непрерывности функций.

Содержание:

Точки разрыва и их классификация

Непрерывность или разрыв функции может зависеть от конкретных условий, в которых рассматривается задача. Рассмотрим, например, численность населения земного шара как функцию времени. Она увеличивается на 1 в момент рождения каждого человека и уменьшается на 1 в момент смерти. Но рождения и смерти следуют друг за другом через бесконечно малые интервалы времени и изменение численности населения планеты на 1 настолько мало его меняет, что практически функцию можно рассматривать непрерывной. По стоит перейти от численности населения земного шара к численности населения одной квартиры, как рождение или смерть отдельного ее жителя будут так заметно менять ее численность, что функцию нельзя будет рассматривать как непрерывную.

Если хотя бы одно из условий определения непрерывности функции в точке (см. п. 3.1) не выполнено, то в данной точке функция терпит разрыв. Различают три вида точек разрыва непрерывной функции.

1. Точка Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения

Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения

Чтобы устранить разрыв в точке Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения достаточно положить Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решенияТочки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения В этом случае говорят, что функция доопределена до непрерывной в точке Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения

2. Точка Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решенияназывается точкой разрыва первого рода функции f(x), если в этой точке функция f(x) имеет конечные пределы слева Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения и справа Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения не равные друг другу:

Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения

При этом величина Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения называется скачком функции f(x) в точке Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения

3. Если хотя бы один из односторонних пределов Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения равен бесконечности или не существует, то Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решенияназывается точкой разрыва второго рода функции f(x).

Пример №32

Исследовать функции на непрерывность. В случае устранимого разрыва доопределить функцию до непрерывной.

Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

1. Данная функция элементарная, т.к. получена с помощью конечного числа арифметических действий над основными элементарными функциями: экспоненциальной, постоянной и степенной. Следовательно, она непрерывна в области определения Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения При х=0 функция Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения

не определена и поэтому разрывна. Исследуем характер точки разрыва. Так как Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения то х=0 – точка устранимого разрыва.

Если положить f(0)=0, то функция Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения будет непрерывной для всех х.

2. Функция Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения является элементарной как композиция основных элементарных функций. Следовательно, она непрерывна в области определения Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения и х=2 – точка разрыва. Для исследования характера точки разрыва найдем односторонние пределы:

Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения Так как один из односторонних пределов равен бесконечности, то х=2 -точка разрыва второго рода.

Пример №33

Исследовать функцию на непрерывность. Построить схематично график функции.

Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Область определения этой функции – вся числовая прямая: Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения Однако функция является составной. Составляющие ее функции непрерывны на множестве действительных чисел как элементарные. Поскольку функция задана различными аналитическими выражениями, то проверить на непрерывность нужно точки «стыка» Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения Исследуем точку Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения

Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения Так как Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения – точка разрыва первого рода. Скачок функции в данной точке равен Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения

Исследуем точку Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения

Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения

Поскольку Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения то в точке Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения функция непрерывна. Следовательно, искомая функция непрерывна для всех Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения

Построим график функции.

Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения

——

Точки разрыва и их классификация

Точка, в которой функция не является непрерывной, называется точкой разрыва функции, а сама функция называется разрывной в этой точке.

Точка Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения будет точкой разрыва функции Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения если выполняется одно из условий:

  1. функция в точке Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения не определена;
  2. не существует предела функции в точке Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения или он равен бесконечности;
  3. предел функции в точке Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения не совпадает со значением функции в этой точке.

Различают два вида точек разрыва — первого рода и второго рода (рис.55).

Исследуя точки разрыва, используют односторонние пределы. Это означает, что рассматривают поведение функции для значений Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения только справа или слева от точки Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения Таким образом получают соответственно правосторонний или левосторонний пределы.

Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения

Обозначают:

Точку Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения называют точкой разрыва первого рода, если в ней существуют конечные односторонние пределы (рис. 56, а).

Точку Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения называют точкой разрыва второго рода, если хоть один из односторонних пределов является бесконечным, либо вообще не существует (рис. 56, б).

Если левосторонний и правосторонний пределы в точке Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения — конечные и равные между собой, но не равны значению функции в этой точке, то точку Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения называют устранимой точкой разрыва (рис. 56, в).

Пример №522

Найдите точки разрыва функции Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения и выясните их характер.

Решение:

Поскольку на ноль делить нельзя, то точкой разрыва данной функции является Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения Для выяснения её характера вычислим односторонние границы данной функции в этой точке.

Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения Итак, односторонние пределы равны бесконечности, поэтому Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения — точка разрыва второго рода.

Пример №523

Исследуйте функцию Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения на непрерывность и постройте её график.

Решение:

На каждом из интервалов Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения функция непрерывна как многочлен. Поскольку вся область определения функции разделена на два промежутка точкой Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения то в этой точке функция может иметь разрыв. Выясним, существует ли предел функции в этой точке.

Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения

Если Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения слева, то функция имеет вид

Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения  а при Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения справа Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения — точка разрыва первого рода, неустранимый разрыв. График этой функции изображён на рисунке 57.

Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения

Односторонние пределы используют для нахождения вертикальных асимптот кривых.

Прямая Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения называется вертикальной асимптотой кривой, если при Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения (справа или слева) значение функции стремится к бесконечности, т.е. выполняется одно из условий:

Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения

Например, ось Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения является вертикальной асимптотой для графиков функций Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения (см. рис. 17, б) и Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения (см. рис. 33).

  • Заказать решение задач по высшей математике

Пример №524

Найдите вертикальные асимптоты кривой

Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Поскольку функция не определена в точке Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения то в этой точке кривая может иметь вертикальную асимптоту. Вычислим пределы:

Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения вертикальная асимптота данной кривой.

Замечание: Если Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения — вертикальная асимптота функции Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения — точка разрыва второго рода.

Пример №525

Исследуйте заданные функции на непрерывность и выясните характер их точек разрыва:

Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Заданные в условии функции элементарные, а потому непрерывные в каждой точке области определения, а именно на множестве Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения

а) Функция Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения не определена в точке Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения следовательно, эта точка является точкой разрыва. Поскольку Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения является точкой разрыва первого рода, устранимый разрыв.

б) Функция Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения не определена в точке Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения эта точка является точкой разрыва. Поскольку Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения то Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения является точкой разрыва второго рода.

Пример №526

Заданные функции до определить в точке Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения так, чтобы они стали непрерывными в этой точке:

Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

а) Имеем Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения Положив Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения получим, что Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения т.е. функция непрерывна в точке Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения Итак, Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения

б) Вычислим предел заданной функции в точке Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения Имеем:

Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения

Если теперь за значение функции в точке Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения взять число Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения , то функция станет непрерывной в этой точке.

Итак, Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения

Пример №527

Имеет ли уравнение Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения хотя бы один действительный корень на отрезке Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим функцию Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения Эта функция непрерывна на отрезке Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения и на его концах приобретает различные по знаку значения: Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения Итак, согласно теореме Больцано—Коши существует по крайней мере одна точка Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения в которой значение функции равно нулю. Число-с и является корнем заданного уравнения.

Пример №528

Имеет ли горизонтальные и вертикальные асимптоты кривая Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

1) Найдём вертикальные асимптоты. Заданная функция не определена в точке Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения Поскольку Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения то прямая Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения — вертикальная асимптота. 2) Найдём горизонтальные асимптоты.

Точки разрыва и их классификация - определение и вычисление с примерами решения

Горизонтальных асимптот нет.

  • Дифференциальное исчисление
  • Исследование функций с помощью производных
  • Формула Тейлора и ее применение
  • Интегрирование рациональных дробей
  • Преобразования декартовой системы координат
  • Бесконечно малые и бесконечно большие функции
  • Замечательные пределы
  • Непрерывность функций и точки разрыва

Процесс исследования функции на непрерывность неразрывно связан с навыком нахождения односторонних пределов функции. Поэтому, чтобы приступить к изучению материала данной статьи, желательно предварительно разобрать тему предела функции.

Непрерывность функции в точке

Определение 1

Функция f(x) является непрерывной в точке x0, если предел слева равен пределу справа и совпадает со значением функции в точке x0, т.е.: limx→x0-0f(x)=limx→x0+0f(x)=f(x0)

Данное определение позволяет вывести следствие: значение предела функции в точках непрерывности совпадает со значением функции в этих точках.

Пример 1

Дана функция f(x)=16(x-8)2-8. Необходимо доказать ее непрерывность в точке х0= 2.

Решение 

В первую очередь, определим существование предела слева. Чтобы это сделать, используем последовательность аргументов хn, сводящуюся к х0 =2·(хn<2). Например, такой последовательностью может быть:

-2, 0, 1, 112, 134, 178, 11516,…, 110231024,…→2

Соответствующая последовательность значений функций выглядит так:

f(-2); f(0); f(1); f112; f134; f178; f11516;…; f110231024;…==8.667; 2.667; 0.167; -0.958; -1.489; -1.747; -1.874;…;-1.998;…→-2

на чертеже они обозначены зеленым цветом.

Достаточно очевидно, что такая последовательность сводится к -2, значит limx→2-016(x-8)2-8=-2.

Определим существование предела справа: используем последовательность аргументов хn, сводящуюся к х0= 2 (хn>2). Например, такой последовательностью может быть:

6, 4, 3, 212, 214, 218, 2116,…, 211024,…→2

Соответствующая последовательность функций:

f(6); f(4); f(3); f212; f214; f218; f2116;…; f211024;…==-7.333; -5.333; -3.833; -2.958; -2.489; -2.247; -2.247; -2.124;…; -2.001;…→-2

на рисунке обозначена синим цветом.

И эта последовательность сводится к -2, тогда limx→2+016(x-8)2-8=-2.

Действиями выше было показано, что пределы справа и слева являются равными, а значит существует предел функции f(x)=16x-82-8 в точке х0= 2, при этом limx→216(x-8)2-8=-2.

После вычисления значения функции в заданной точке очевидно выполнение равенства:

limx→2-0f(x)=limx→2+0f(x)=f(2)=16(2-8)2-8=-2 что свидетельствует о непрерывности заданной функции в заданной точке.

Покажем графически:

Непрерывность функции в точке

Ответ: Непрерывность функции f(x)=16(x-8)2-8 в заданной части доказано.

Устранимый разрыв первого рода

Определение 2

Функция имеет устранимый разрыв первого рода в точке х0, когда пределы справа и слева равны, но не равны значению функции в точке, т.е.:

limx→x0-0f(x)=limx→x0+0f(x)≠f(x0)

Пример 2

Задана функция f(x)=x2-25x-5. Необходимо определить точки ее разрыва и определить их тип.

Решение

Сначала обозначим область определения функции: D(f(x))⇔Dx2-25x-5⇔x-5≠0⇔x∈(-∞; 5)∪(5; +∞)

В заданной функции точкой разрыва может служить только граничная точка области определения, т.е. х0= 5. Исследуем функцию на непрерывность в этой точке.

Выражение x2-25x-5 упростим: x2-25x-5=(x-5)(x+5)x-5=x+5.

Определим пределы справа и слева. Поскольку функция g(x)=x+5 является непрерывной при любом действительном x, тогда:

limx→5-0(x+5)=5+5=10limx→5+0(x+5)=5+5=10

Ответ: пределы справа и слева являются равными, а заданная функция в точке х0= 5 не определена, т.е. в этой точке функция имеет устранимый разрыв первого рода.

Неустранимый разрыв первого рода

Неустранимый разрыв первого рода также определяется точкой скачка функции.

Определение 3

Функция имеет неустранимый разрыв первого рода в точке х0, когда пределы справа и слева не являются равными, т.е.: limx→x0-0f(x)≠limx→x0+0f(x). Точка х0 здесь – точка скачка функции.

Пример 3

Задана кусочно-непрерывная функция f(x)=x+4, x<-1,x2+2, -1≤x<12x, x≥1. Необходимо изучить заданную функцию на предмет непрерывности, обозначить вид точек разрыва, составить чертеж.

Решение

Разрывы данной функции могут быть лишь в точке х0=-1 или в точке х0=1.

Определим пределы справа и слева от этих точек и значение заданной функции в этих точках:

  • слева от точки х0=-1 заданная функция есть f(x)=x+4, тогда в силу непрерывности линейной функции: limx→-1-0f(x)=limx→-1-0(x+4)=-1+4=3;
  • непосредственно в точке х0=-1 функция принимает вид: f(x)=x2+2, тогда: f(-1)=(-1)2+2=3;
  • на промежутке (-1; 1) заданная функция есть: f(x)=x2+2. Опираясь на свойство непрерывности квадратичной функции, имеем: limx→-1+0f(x)=limx→-1+0(x2+2)=(-1)2+2=3limx→1-0f(x)=limx→1-0(x2+2)=(1)2+2=3
  • в точке х0=-1 функция имеет вид: f(x)=2x и f(1)=2·1=2.
  •  справа от точки х0 заданная функция есть f(x)=2x. В силу непрерывности линейной функции: limx→1+0f(x)=limx→1+0(2x)=2·1=2

Ответ: в конечном счете мы получили:

  • limx→-1-0f(x)=limx→-1+0f(x)=f(-1)=3 – это означает, что в точке х0=-1 заданная кусочная функция непрерывна;
  • limx→-1-0f(x)=3, limx→1+0f(x)=2 – таким образом, в точке х0=1 определён неустранимый разрыв первого рода (скачок).

Нам остается только подготовить чертеж данного задания.

Неустранимый разрыв первого рода

Разрыв второго рода (бесконечный разрыв)

Определение 4

Функция имеет разрыв второго рода в точке х0, когда какой-либо из пределов слева limx→x0-0f(x) или справа limx→x0+0f(x) не существует или бесконечен.

Пример 4

Задана функция f(x)=1x. Необходимо исследовать заданную функцию на непрерывность, определить вид точек разрыва, подготовить чертеж.

Решение 

Запишем область определения функции: x∈(-∞; 0)∪(0; +∞).

Найдем пределы справа и слева от точки х0= 0.

Зададим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к х0 слева. К примеру:

-8; -4; -2; -1; -12; -14;…; -11024;…

Ей соответствует последовательность значений функции:

f(-8); f(-4); f(-2); f(-1); f-12; f-14;…; f-11024;…==-18;-14; -12; -1; -2; -4;…; -1024;…

Очевидно, что эта последовательность является бесконечно большой отрицательной, тогда limx→0-0f(x)=limx→0-01x=-∞.

Тепереь зададим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к х0 справа. К примеру: 8; 4; 2; 1; 12; 14;…; 11024;…, и ей соответствует последовательность значений функции:

f(8); f(4); f(2); f(1); f12; f14;…; f11024;…==18; 14; 12; 1; 2; 4;…; 1024;…

Эта последовательность  – бесконечно большая положительная, а значит limx→0+0f(x)=limx→0+01x=+∞.

Ответ: точка х0= 0 – точка разрыва функции второго рода.

Проиллюстрируем:

Разрыв второго рода (бесконечный разрыв)

Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Точки разрыва функции

Назначение

Сервис предназначен для определения типа точек разрыва функции.

  • Шаг №1
  • Шаг №2
  • Видеоинструкция
  • Оформление Word

Решение сохраняется в формате MS Word

Классификация точек разрыва

Для точек разрыва принята следующая классификация.

  1. Точка разрыва первого рода Если в точке имеются конечные пределы, но они не равны f(x0+0)≠f(x0-0), то x0 называется точкой разрыва первого рода, при этом разрыв называют скачком функции.
  2. Точка разрыва второго рода Точками разрыва второго рода называются точки, в которых хотя бы один из односторонних пределов равен или не существует.
  3. Устранимая точка разрыва Точка x=x0 называется точкой устранимого разрыва, если f(x0+0)=f(x0-0)≠f(x0). Разрыв «устраним» в том смысле, что достаточно изменить (доопределить или переопределить) функцию и функция станет непрерывной в точке x0.

см. также Непрерывность функции: основные понятия и свойства (разрывы функции и их классификации с подробными примерами).

Пример №1. Установить непрерывность или определить характер точек разрыва. Нарисовать график функции f(x) в окрестностях этих точек:


Решение. Найдем точки разрыва функции внутри указанной области.

Находим переделы в точке x=1.





В этой точке функция терпит разрыв. Предел равен ∞, поэтому это точка разрыва II-го рода.

Находим переделы в точке x=0





В этой точке функция терпит разрыв. Пределы существуют, но не равны, поэтому это точка разрыва I-го рода.



Ответ: точка x1=1 является точкой разрыва II-го рода, точка x2=0 является точкой разрыва I-го рода.

Пример №2. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.



Решение. Исследуем точку стыка промежутков x=π/2





В этой точке пределы существуют и они равны, поэтому функция в этой точке непрерывна.

Исследуем поведение функции на отрезке (π/2;π).





Пределы существуют, на указанном промежутке функция непрерывна.

Исследуем точку стыка промежутков x=π





В этой точке пределы существуют, но они разные, поэтому это точка разрыва I-го рода.

Исследуем поведение функции на отрезке (pi;∞).





Пределы существуют, на указанном промежутке функция непрерывна.



Ответ: Точка x=π является точкой разрыва I-го рода.

Пример №3. Найти точки разрыва функции и определить их тип.

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).

Добавить комментарий