Как найти внешнее сопряжение окружностей

Сопряжения

В этой небольшой статье, будут рассмотрены основные виды сопряжений и Вы узнаете о том, как построить сопряжение углов, прямых линий, окружностей и дуг, окружностей с прямой.

Сопряжением называют плавный переход одной линии в другую. Для того чтобы построить сопряжение, нужно найти центр сопряжения и точки сопряжений.

Точка сопряжения – это общая точка для сопрягаемых линий. Точку сопряжения также называют точкой перехода.

Ниже будут рассмотрены основные типы сопряжений.

Сопряжение углов (Сопряжение пересекающихся прямых)

Сопряжение прямого угла(Сопряжение пересекающихся прямых под прямым углом)

В данном примере будет рассмотрено построение сопряжения прямого угла заданным радиусом сопряжения R. Первым делом найдём точки сопряжения. Для нахождения точек сопряжения, нужно поставить циркуль в вершину прямого угла и провести дугу радиусом R до пересечения со сторонами угла. Полученные точки и будут являться точками сопряжения. Далее нужно найти центр сопряжения. Центром сопряжения будет точка равноудалённая от сторон угла. Проведём из точек a и b две дуги радиусом сопряжения R до пересечения друг с другом. Полученная на пересечении точка О и будет центром сопряжения. Теперь из центра сопряжения точки О описываем дугу радиусом сопряжения R от точки a до точки b. Сопряжение прямого угла построено.

Сопряжение острого угла(Сопряжение пересекающихся прямых под острым углом)

Ещё один пример сопряжения угла. В этом примере будет построено сопряжение
острого угла. Для построения сопряжения острого угла раствором циркуля,равным радиусу сопряжения R, проведём из двух произвольных точек на каждой стороне угла по две дуги. Затем проведём касательные к дугам до пересечения в точке О, центре сопряжения. Из полученного центра сопряжения опустим перпендикуляр к каждой из сторон угла. Так мы получим точки сопряжения a и b. Затем проведём из центра сопряжения, точки О, дугу радиусом сопряжения R, соединив точки сопряжения a
и b. Сопряжение острого угла построено.

Сопряжение тупого угла(Сопряжение пересекающихся прямых под тупым углом)

Сопряжение тупого угла строится по аналогии с сопряжением острого угла. Мы также, сначала радиусом сопряжения R проводим по две дуги из двух произвольно взятых точек на каждой из сторон, а затем проводим касательные к этим дугам до пересечения в точке О, центре сопряжения. Затем опускаем перпендикуляры из центра сопряжения к каждой из сторон и соединяем дугой, равной радиусу сопряжения тупого угла R, полученные точки a и b.

Сопряжение параллельных прямых линий

Построим сопряжение двух параллельных прямых. Нам задана точка сопряжения a, лежащая на одной прямой. Из точки a проведём перпендикуляр до пересечения его с другой прямой в точке b. Точки a и b являются точками сопряжения прямых линий. Проведя из каждой точки дугу, радиусом больш отрезка ab, найдём центр сопряжения — точку О. Из центра сопряжения проведём дугу заданного радиуса сопряжения R.

Сопряжение окружностей(дуг) с прямой линией

Внешнее сопряжение дуги и прямой линии

В этом примере будет построено сопряжение заданным радиусом r прямой линии, заданной отрезком AB, и дуги окружности радиусом R.

Сначала найдём центр сопряжения. Для этого проведём прямую, параллельную отрезку AB и отстоящую от него на расстояние радиуса сопряжения r, и дугу, из центра окружности OR радиусом R+r. Точка пересечения дуги и прямой и будет центром сопряжения – точкой Оr.

Из центра сопряжения, точки Оr, опустим перпендикуляр на прямую AB. Точка D, полученная на пересечении перпендикуляра и отрезка AB, и будет точкой сопряжения. Найдём вторую точку сопряжения на дуге окружности. Для этого соединим центр окружности ОR и центр сопряжения Оr линией. Получим вторую точку сопряжения – точку C. Из центра сопряжения проведём дугу сопряжения радиусом r, соединив точки сопряжения.

Внутреннее сопряжение прямой линии с дугой

По аналогии строится внутреннее сопряжение прямой линии с дугой. Рассмотрим пример построения сопряжения радиусом r прямой линии, заданной отрезком AB, и дуги окружности радиуса R. Найдём центр сопряжения. Для этого построим прямую, параллельную отрезку AB и отстоящую от него на расстояние радиуса r, и дугу, из центра окружности OR радиусом R-r. Точка Оr, полученная на пересечении прямой и дуги, и будет центром сопряжения.

Из центра сопряжения(точка Оr) опустим перпендикуляр на прямую AB. Точка D, полученная на основании перпендикуляра, и будет точкой сопряжения.

Для нахождения второй точки сопряжения на дуге окружности, соединим центр сопряжения Оr и центр окружности ОR прямой линией. На пересечении линии с дугой окружности получим вторую точку сопряжения – точку C. Из точки Оr, центра сопряжения, проведём дугу радиусом r, соединив точки сопряжения.

Сопряжение окружностей (дуг)

Внешнее сопряжение дуг окружностей

Внешним сопряжением считается сопряжение, при котором центры сопрягаемых окружностей(дуг) O1( радиус R1) и O2 (радиус R2) располагаются за сопрягающей дугой радиуса R. На примере рассмотрено внешнее сопряжение дуг. Сначала находим центр сопряжения. Центром сопряжения является точка пересечения дуг окружностей с радиусами R+R1 и R+R2, построенных из центров окружностей O1(R1) и O2(R2) соответственно. Затем центры окружностей O1 и O2 соединяем прямыми с центром сопряжения, точкой O, и на пересечении линий с окружностями O1 и O2 получаем точки сопряжения A и B. После этого, из центра сопряжения строим дугу заданного радиуса сопряжения R и соединяем ей точки A и B.

Внутреннее сопряжение дуг окружностей

Внутренним сопряжением называется сопряжение, при котором центры сопрягаемых дуг O1, радиуса R1, и O2, радиус R2, располагаются внутри сопрягающей их дуги заданного радиуса R. На картинке ниже приведён пример построения внутреннего сопряжения окружностей(дуг). Вначале мы находим центр сопряжения, которым является точка O, точка пересечения дуг окружностей с радиусами R-R1 и R-R2 проведённых из центров окружностей O1и O2 соответственно. После чего соединяем центры окружностей O1 и O2 прямыми линиями с центром сопряжения и на пересечении линий с окружностями O1 и O2 получаем точки сопряжения A и B. Затем из центра сопряжения строим дугу сопряжения радиуса R и строим сопряжение.

Смешанное сопряжение дуг окружностей

Смешанным сопряжением дуг является сопряжение, при котором центр одной из сопрягаемых дуг (O1) лежит за пределами сопрягающей их дуги радиуса R, а центр другой окружности(O2) – внутри её. На иллюстрации ниже приведён пример смешанного сопряжения окружностей. Сначала находим центр сопряжения, точку O. Для нахождения центра сопряжения строим дуги окружностей с радиусами R+R1, из центра окружности радиуса R1 точки O1, и R-R2, из центра окружности радиуса R2 точки O2. После чего соединяем центр сопряжения точку O с центрами окружностей O1 и O2 прямыми и на пересечении с линиями соответствующих окружностей получаем точки сопряжения A и B. Затем строим сопряжение.

Сопряжения

В этой небольшой статье, будут рассмотрены основные виды сопряжений и Вы узнаете о том, как построить сопряжение углов, прямых линий, окружностей и дуг, окружностей с прямой.

Сопряжением называют плавный переход одной линии в другую. Для того чтобы построить сопряжение, нужно найти центр сопряжения и точки сопряжений.

Точка сопряжения – это общая точка для сопрягаемых линий. Точку сопряжения также называют точкой перехода.

Ниже будут рассмотрены основные типы сопряжений.

Сопряжение углов (Сопряжение пересекающихся прямых)

Сопряжение прямого угла(Сопряжение пересекающихся прямых под прямым углом)

В данном примере будет рассмотрено построение сопряжения прямого угла заданным радиусом сопряжения R. Первым делом найдём точки сопряжения. Для нахождения точек сопряжения, нужно поставить циркуль в вершину прямого угла и провести дугу радиусом R до пересечения со сторонами угла. Полученные точки и будут являться точками сопряжения. Далее нужно найти центр сопряжения. Центром сопряжения будет точка равноудалённая от сторон угла. Проведём из точек a и b две дуги радиусом сопряжения R до пересечения друг с другом. Полученная на пересечении точка О и будет центром сопряжения. Теперь из центра сопряжения точки О описываем дугу радиусом сопряжения R от точки a до точки b. Сопряжение прямого угла построено.

Сопряжение острого угла(Сопряжение пересекающихся прямых под острым углом)

Ещё один пример сопряжения угла. В этом примере будет построено сопряжение
острого угла. Для построения сопряжения острого угла раствором циркуля,равным радиусу сопряжения R, проведём из двух произвольных точек на каждой стороне угла по две дуги. Затем проведём касательные к дугам до пересечения в точке О, центре сопряжения. Из полученного центра сопряжения опустим перпендикуляр к каждой из сторон угла. Так мы получим точки сопряжения a и b. Затем проведём из центра сопряжения, точки О, дугу радиусом сопряжения R, соединив точки сопряжения a
и b. Сопряжение острого угла построено.

Сопряжение тупого угла(Сопряжение пересекающихся прямых под тупым углом)

Сопряжение тупого угла строится по аналогии с сопряжением острого угла. Мы также, сначала радиусом сопряжения R проводим по две дуги из двух произвольно взятых точек на каждой из сторон, а затем проводим касательные к этим дугам до пересечения в точке О, центре сопряжения. Затем опускаем перпендикуляры из центра сопряжения к каждой из сторон и соединяем дугой, равной радиусу сопряжения тупого угла R, полученные точки a и b.

Сопряжение параллельных прямых линий

Построим сопряжение двух параллельных прямых. Нам задана точка сопряжения a, лежащая на одной прямой. Из точки a проведём перпендикуляр до пересечения его с другой прямой в точке b. Точки a и b являются точками сопряжения прямых линий. Проведя из каждой точки дугу, радиусом больш отрезка ab, найдём центр сопряжения — точку О. Из центра сопряжения проведём дугу заданного радиуса сопряжения R.

Сопряжение окружностей(дуг) с прямой линией

Внешнее сопряжение дуги и прямой линии

В этом примере будет построено сопряжение заданным радиусом r прямой линии, заданной отрезком AB, и дуги окружности радиусом R.

Сначала найдём центр сопряжения. Для этого проведём прямую, параллельную отрезку AB и отстоящую от него на расстояние радиуса сопряжения r, и дугу, из центра окружности O R радиусом R+r. Точка пересечения дуги и прямой и будет центром сопряжения – точкой О r .

Из центра сопряжения, точки О r , опустим перпендикуляр на прямую AB. Точка D, полученная на пересечении перпендикуляра и отрезка AB, и будет точкой сопряжения. Найдём вторую точку сопряжения на дуге окружности. Для этого соединим центр окружности О R и центр сопряжения О r линией. Получим вторую точку сопряжения – точку C. Из центра сопряжения проведём дугу сопряжения радиусом r, соединив точки сопряжения.

Внутреннее сопряжение прямой линии с дугой

По аналогии строится внутреннее сопряжение прямой линии с дугой. Рассмотрим пример построения сопряжения радиусом r прямой линии, заданной отрезком AB, и дуги окружности радиуса R. Найдём центр сопряжения. Для этого построим прямую, параллельную отрезку AB и отстоящую от него на расстояние радиуса r, и дугу, из центра окружности O R радиусом R-r. Точка О r , полученная на пересечении прямой и дуги, и будет центром сопряжения.

Из центра сопряжения(точка О r ) опустим перпендикуляр на прямую AB. Точка D, полученная на основании перпендикуляра, и будет точкой сопряжения.

Для нахождения второй точки сопряжения на дуге окружности, соединим центр сопряжения Оr и центр окружности О R прямой линией. На пересечении линии с дугой окружности получим вторую точку сопряжения – точку C. Из точки О r , центра сопряжения, проведём дугу радиусом r, соединив точки сопряжения.

Сопряжение окружностей (дуг)

Внешнее сопряжение дуг окружностей

Внешним сопряжением считается сопряжение, при котором центры сопрягаемых окружностей(дуг) O1( радиус R1) и O2 (радиус R2) располагаются за сопрягающей дугой радиуса R. На примере рассмотрено внешнее сопряжение дуг. Сначала находим центр сопряжения. Центром сопряжения является точка пересечения дуг окружностей с радиусами R+R1 и R+R2, построенных из центров окружностей O1(R1) и O2(R2) соответственно. Затем центры окружностей O1 и O2 соединяем прямыми с центром сопряжения, точкой O, и на пересечении линий с окружностями O1 и O2 получаем точки сопряжения A и B. После этого, из центра сопряжения строим дугу заданного радиуса сопряжения R и соединяем ей точки A и B.

Внутреннее сопряжение дуг окружностей

Внутренним сопряжением называется сопряжение, при котором центры сопрягаемых дуг O1, радиуса R1, и O2, радиус R2, располагаются внутри сопрягающей их дуги заданного радиуса R. На картинке ниже приведён пример построения внутреннего сопряжения окружностей(дуг). Вначале мы находим центр сопряжения, которым является точка O, точка пересечения дуг окружностей с радиусами R-R1 и R-R2 проведённых из центров окружностей O1и O2 соответственно. После чего соединяем центры окружностей O1 и O2 прямыми линиями с центром сопряжения и на пересечении линий с окружностями O1 и O2 получаем точки сопряжения A и B. Затем из центра сопряжения строим дугу сопряжения радиуса R и строим сопряжение.

Смешанное сопряжение дуг окружностей

Смешанным сопряжением дуг является сопряжение, при котором центр одной из сопрягаемых дуг (O1) лежит за пределами сопрягающей их дуги радиуса R, а центр другой окружности(O2) – внутри её. На иллюстрации ниже приведён пример смешанного сопряжения окружностей. Сначала находим центр сопряжения, точку O. Для нахождения центра сопряжения строим дуги окружностей с радиусами R+R1, из центра окружности радиуса R1 точки O1, и R-R2, из центра окружности радиуса R2 точки O2. После чего соединяем центр сопряжения точку O с центрами окружностей O1 и O2 прямыми и на пересечении с линиями соответствующих окружностей получаем точки сопряжения A и B. Затем строим сопряжение.

Учебно-методическое пособие «Техника выполнения сопряжений»

При изучении дисциплины «Начертательная геометрия и инженерная графика» студенты должны усвоить правила и последовательность выполнения геометрических построений и сопряжений. В этом отношении лучшим способом приобретения навыков построения являются задания по вычерчиванию контуров сложных деталей.

Прежде чем приступить к выполнению контрольного задания, нужно изучить технику выполнения геометрических построений и сопряжений по методическому пособию.

Сопряжения линий

Сопряжением называется плавный переход от одной линии к другой. Для построения любого сопряжения дугой заданного радиуса нужно найти:

1. Центр сопряжения – центр, из которого проводят дугу;
2. Точки сопряжения (касания) – точки, в которых одна линия переходит в другую.

Центр сопряжения находится от точек сопряжения на одинаковых расстояниях, равных радиусу сопряжения R. Переход от прямой к окружности будет плавным в том случае, если прямая касается к окружности. Точка сопряжения К лежит на перпендикуляре, опущенном из центра О окружности к прямой (рис. 1)

Переход от одной окружности к другой будет плавным, если окружности касаются.

Различают два случая касания дуг окружностей: внешнее (рис. 2) и внутреннее (рис.3).

При внешнем касании центры окружностей лежат по разные стороны от их общей касательной L (рис. 2). Расстояние между их центрами ОО₁ равно сумме радиусов окружностей R+R₁ и точка касания лежит на прямой ОО₁, соединяющей их центры.

При внутреннем касании центры окружностей лежат по одну сторону от их общей касательной L. Расстояние между их центрами ОО₁ равно разности их радиусов R-R₁ и точка касания К окружностей лежит на продолжении прямой ОО₁ (рис. 3).

Касание дуг окружностей:

рис. 2 – сопряжение двух окружностей (внешнее касание)

рис. 3 – сопряжение двух окружностей (внутреннее касание)

Сопряжение двух пересекающихся прямых

Даны пересекающиеся под прямым, острым и тупым углами прямые линии.

Требуется построить сопряжения этих прямых дугой заданного радиуса R.

1. Для нахождения центра сопряжения проводят вспомогательные прямые, параллельные данным на расстоянии равном радиусу R. Точка пересечения этих прямых т.О и будет центом дуги сопряжения (рис. 4).
2. Перпендикуляры, опущенные из центра дуги сопряжения т.О на данные прямые, определяют точки касания К и N.
3. Из точки О, как центра, описывают дугу заданного радиуса R.

Примечание.Для прямых углов центр сопряжения удобнее находить с помощью циркуля (рис. 5).

Сопряжение дуги окружности и прямой линии дугой заданного радиуса.

Дана окружность радиуса R и прямая АВ. Требуется соединить их дугой радиусом R1.

1. Для нахождения центра сопряжения из центра О заданной окружности проводят дугу m радиуса R + R₁ и на расстоянии R₁ – прямую n // AB. Точка О₁ пересечения прямой n и дуги m будет центром сопряжения.
2. Для получения точек сопряжения: К и К₁ проводят линию центров ОО₁ и восстанавливают к прямой АВ перпендикуляр ОК₁.
3. Из центра сопряжения О₁ между точками К и К₁ проводят дугу сопряжения радиусом R₁

В случае внутреннего касания выполняют те же построения, но дугу m вспомогательной окружности проводят радиусом R – R₁.

Сопряжение двух окружностей дугой заданного радиуса

Заданы две окружности радиусом R₁ и R₂. Требуется построить сопряжение дугой заданного радиуса R.

1. Для определения центра сопряжения О проводят вспомогательные дуги: из центра О₁окружности радиусом R + R₁ и из центра О₂ окружности радиуса R + R₂. Точка О пересечения этих дуг является центом сопряжения.
2. Соединяя центры О и О₁, а так же О и О₂ , определяют точки сопряжения (касания) К₁ и К₂.
3. Из центра О радиусом R проводят дугу сопряжения между точками К₁ и К₂

При внутреннем касании выполняют те же построения, но дуги проводят радиусами

Центр сопряжения О находится в пересечении двух дуг, описанных из центра О₁ радиусом R – R₁ и из центра О₂ радиусом R + R₂

Примечание. При смешанном сопряжении центр О₁ одной из сопрягаемых дуг лежит внутри сопрягающей дуги радиуса R , а центр О₂ другой дуги – вне ее.

Нахождение центра дуги заданного радиуса.

Задана дуга радиусом R, соединяющая две параллельные прямые mи n и проходящая через точку А ∈ m (рис. 11). Требуется найти центр О заданной дуги.

В основу построения положено нахождение точки О, равноудаленной от заданных прямых (рис. 11).

1. Из точки А ∈ m, как из центра, проводят дугу вспомогательной окружности с заданным радиусом R.
2. Проводят вспомогательную прямую l, параллельную прямой n, на расстоянии, равном заданному радиусу R.
3. Точка О – точка пересечения этих вспомогательных линий является центром заданной дуги. (рис. 12)

Литература

1. Боголюбов С.К. Инженерная графика: Учебник для средних специальных учебных заведений. – 3-е изд., испр. И доп. – М.: Машиностроение, 2006. – с.392: ил.
2. Куприков М.Ю. Инженерная графика: учебник для ССУЗов – М.: Дрофа, 2010 – 495 с.: ил.
3. Федоренко В.А., Шошин А.И. Справочник по машиностроительному черчению Л.: Машиностроение. 1976. 336 с.

Copyright © 2010—2022
ООО «Современные медиа технологии в образовании и культуре»

Поддержка
(495) 589-87-71

Сервис «Комментарии» – это возможность для всех наших читателей дополнить опубликованный на сайте материал фактами или выразить свое мнение по затрагиваемой материалом теме.

Редакция Информио.ру оставляет за собой право удалить комментарий пользователя без предупреждения и объяснения причин. Однако этого, скорее всего, не произойдет, если Вы будете придерживаться следующих правил:

1. Не стоит размещать бессодержательные сообщения, не несущие смысловой нагрузки.
2. Не разрешается публикация комментариев, написанных полностью или частично в режиме Caps Lock (Заглавными буквами). Запрещается использование нецензурных выражений и ругательств, способных оскорбить честь и достоинство, а также национальные и религиозные чувства людей (на любом языке, в любой кодировке, в любой части сообщения – заголовке, тексте, подписи и пр.)
3. Запрещается пропаганда употребления наркотиков и спиртных напитков. Например, обсуждать преимущества употребления того или иного вида наркотиков; утверждать, что они якобы безвредны для здоровья.
4. Запрещается обсуждать способы изготовления, а также места и способы распространения наркотиков, оружия и взрывчатых веществ.
5. Запрещается размещение сообщений, направленных на разжигание социальной, национальной, половой и религиозной ненависти и нетерпимости в любых формах.
6. Запрещается размещение сообщений, прямо либо косвенно призывающих к нарушению законодательства РФ. Например: не платить налоги, не служить в армии, саботировать работу городских служб и т.д.
7. Запрещается использование в качестве аватара фотографии эротического характера, изображения с зарегистрированным товарным знаком и фотоснимки с узнаваемым изображением известных людей. Редакция оставляет за собой право удалять аватары без предупреждения и объяснения причин.
8. Запрещается публикация комментариев, содержащих личные оскорбления собеседника по форуму, комментатора, чье мнение приводится в статье, а также журналиста.

Претензии к качеству материалов, заголовкам, работе журналистов и СМИ в целом присылайте на адрес

Информация доступна только для зарегистрированных пользователей.

Уважаемые коллеги. Убедительная просьба быть внимательнее при оформлении заявки. На основании заполненной формы оформляется электронное свидетельство. В случае неверно указанных данных организация ответственности не несёт.

Сопряжения в инженерной графике на чертежах с примерами

Содержание:

В очертаниях технических форм часто встречаются плавные переходы от од- ной линии к другой. Плавный переход одной линии в другую, выполненный при помощи промежуточной линии, называется сопряжением. Построение сопряжений основано на следующих положениях геометрии.

1. Переход окружности в прямую будет плавным только тогда, когда заданная прямая является касательной к окружности (рис. 11а). Радиус окружности, проведенный в точку касания К, перпендикулярен к касательной прямой.
2. Переход от одной окружности к другой в точке К только тогда будет плавным, когда окружности имеют в данной точке общую касательную (рис. 11б).

Точка касания К и центры окружностей

• Центром сопряжения О называется точка, равноудаленная от сопрягаемых линий (рис. 12).
• Точкой сопряжения А (В) называется точка касания двух сопрягаемых линий (рис. 12).
• Дуга сопряжения АВ – это дуга окружности, с помощью которой выполняется сопряжение (рис. 12).
• Радиус сопряжения R – это радиус дуги сопряжения (рис. 12).

Для выполнения сопряжений необходимо определить три элемента построения: 1) радиус сопряжения; 2) центр сопряжения; 3) точки сопряжения.

Сопряжение двух пересекающихся прямых линий

Пусть даны две пересекающиеся прямые m, n и радиус сопряжения R (рис. 12). Необходимо построить сопряжение данных прямых дугой окружности радиусом R.

Выполним следующие построения:

1. Построим множество точек центров сопряжения, удаленных от прямой n на расстояние радиуса R сопряжения. Таким множеством является прямая параллельная данной прямой n и отстоящая от неё на расстояние R.
2. Построим множество точек центров сопряжения, удаленных от прямой m на расстояние радиуса сопряжения. Таким множеством является прямая параллельная m и отстоящая от последней на расстояние R.
3. В пересечении построенных прямых найдем центр сопряжения О.
4. Определим точку А сопряжения на прямой n. Для этого опустим из центра О перпендикуляр на прямую n . Для определения точки сопряжения В на прямой m необходимо опустить соответственно перпендикуляр из центра О на прямую m.

Проведем дугу сопряжения AB. Теперь будут определены все элементы сопряжения: радиус, центр и точки сопряжения.

Сопряжения прямой с окружностью

Сопряжение прямой с окружностью может быть внешним или внутренним. Рассмотрим построение внешнего сопряжения прямой с окружностью.

Пример 1. Пусть задана окружность радиусом R с центром в точке и прямая m. Требуется построить сопряжение окружности с прямой дугой окружности заданного радиуса R (рис. 13).

Для решения задачи выполним следующие построения:

1. Построим множество точек центров сопряжения, удаленных от сопрягаемой прямой на расстояние R. Это множество задает прямая параллельная m и отстоящая от неё на расстояние R.
2. Множество точек центров сопряжения, удаленных от окружности n на рас- стояние R, есть окружность проведенная радиусом
3. Центр сопряжения О находим как точку пересечения линий
4. Точку сопряжения А находим как основание перпендикуляра, проведенного из точки О на прямую m. Чтобы построить точку сопряжения В, необходимо про- вести линию центров т.е. соединить центры сопряженных дуг. В пересечении линии центров с заданной окружностью определим точку В.
5. Проведем дугу сопряжения АВ.

Пример 2. При построении внутреннего сопряжения (рис. 14) последовательность построений остается та же, что и в примере 1. Однако центр сопряжения определяется с помощью вспомогательной дуги окружности, проведенной из центра , радиусом

Сопряжение двух окружностей

Сопряжение двух окружностей может быть внешним, внутренним и смешанным. Пусть задан радиус сопряжения R, а центры сопряжения и точки сопряжения следует найти.

Пример 1. Построим сопряжение с внешним касанием двух данных окружностей m и n с радиусами дугой заданного радиуса R (рис. 15а).

1. Для нахождения центра сопряжения О проведем окружность удаленную от данной окружности m на расстояние R . Так как сопряжение с внешним касанием, то радиус окружности равен
2. Радиусом проведем окружность , удаленную от данной окружности n на расстояние R.
3. Найдем центр сопряжения О как точку пересечения окружностей .
4. Найдем точку сопряжения А как пересечение линии центров с дугой m.
5. Аналогично найдем точку В как пересечение линии центров с дугой n .
6. Проведем дугу сопряжения АВ.

Пример 2. Построим сопряжение с внутренним касанием двух данных окружностей m и n с радиусами дугой радиусом R (рис. 15б).

1. Для нахождения центра сопряжения О проведем окружность на расстоянии от данной окружности m.
2. Проведем окружность на расстоянии от данной окружности n.
3. Центр сопряжения О найдем как точку пересечения окружностей
4. Точку сопряжения А найдем как точку пересечения линии центров с заданной окружностью m.
5. Точку сопряжения В найдем как точку пересечения линии центров c заданной окружностью n.
6. Проведем дугу сопряжения AВ с центром в точке O.

Пример 3. На рис. 16 приведен пример построения сопряжения с внешне- внутренним касанием.

Построение касательных

Пример 1. Дана окружность с центром в точке и точка вне её. Через данную точку провести касательную к данной окружности (рис. 17).

Для решения задачи выполним следующие построения.

1. Соединим точку с центром окружности
2. Находим середину С отрезка
3. Из точки С, как из центра, проведем вспомогательную окружность радиусом
4. В точке пересечения вспомогательной окружности с заданной получим точку касания А. Соединим точку с точкой А.

Пример 2. Построим общую касательную АВ к двум заданным окружностям радиусов (рис. 18).

1. Находим середину С отрезка
2. Из точки С, как из центра, радиусом проведем вспомогательную окружность.
3. Из центра большей окружности проведем вторую вспомогательную окружность радиусом
4. Пересечение двух вспомогательных окружностей определяет точку К, через которую проходит радиус идущий в точку касания В. 5. Для построения второй точки касания А проведем
5. Соединим точки А и В отрезком прямой линии.

Рекомендую подробно изучить предметы:

Инженерная графика Начертательная геометрия Компас Автокад Черчение Проекционное черчение Аксонометрическое черчение Строительное черчение Техническое черчение Геометрическое черчение

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

• Нанесение размеров на чертежах
• Резьба на чертеже
• Соединения разъемные и неразъемные в инженерной графике
• Виды конструкторских документов
• Виды в инженерной графике
• Разрезы в инженерной графике
• Сечения в инженерной графике
• Выносные элементы в инженерной графике

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

[spoiler title=”источники:”]

http://www.informio.ru/publications/id593/Uchebno-metodicheskoe-posobie-Tehnika-vypolnenija-soprjazhenii

http://www.evkova.org/sopryazheniya-v-inzhenernoj-grafike

[/spoiler]

Сопряжения в инженерной графике на чертежах с примерами

Сопряжение окружностей (дуг) Внешнее сопряжение дуг окружностей

Внешним сопряжением
считается сопряжение, при котором центры
сопрягаемых окружностей (дуг) O₁
( радиус R₁)
и O₂
(радиус R₂)
располагаются за сопрягающей дугой
радиуса R. На примере рассмотрено внешнее
сопряжение дуг (рис.5). Сначала находим
центр сопряжения. Центром сопряжения
является точка пересечения дуг окружностей
с радиусами R+R₁
и R+R₂,
построенных из центров окружностей
O₁(R₁)
и O₂(R₂)
соответственно. Затем центры окружностей
O₁
и O₂
соединяем прямыми с центром сопряжения,
точкой O, и на пересечении линий с
окружностями O₁
и O₂
получаем точки сопряжения A и B. После
этого, из центра сопряжения строим дугу
заданного радиуса сопряжения R и соединяем
ей точки A и B.

Рисунок 5. Внешнее
сопряжение дуг окружностей

Внутреннее сопряжение дуг окружностей

Внутренним
сопряжением называется сопряжение, при
котором центры сопрягаемых дуг O₁,
радиуса R₁,
и O₂,
радиус R₂,
располагаются внутри сопрягающей их
дуги заданного радиуса R. На рис.6 приведён
пример построения внутреннего сопряжения
окружностей (дуг). Вначале мы находим
центр сопряжения, которым является
точка O, точка пересечения дуг окружностей
с радиусами R-R₁
и R-R₂
проведённых из центров окружностей O₁
и O₂
соответственно. После чего соединяем
центры окружностей O₁
и O₂
прямыми линиями с центром сопряжения
и на пересечении линий с окружностями
O₁
и O₂
получаем точки сопряжения A и B. Затем
из центра сопряжения строим дугу
сопряжения радиуса R и строим сопряжение.

Рисунок 6. Внутреннее сопряжение дуг окружностей

Рисунок 7. Смешанное сопряжение дуг окружностей

Смешанное сопряжение дуг окружностей

Смешанным сопряжением
дуг является сопряжение, при котором
центр одной из сопрягаемых дуг (O₁)
лежит за пределами сопрягающей их дуги
радиуса R, а центр другой окружности(O₂)
– внутри её. На рис.7 приведён пример
смешанного сопряжения окружностей.
Сначала находим центр сопряжения, точку
O. Для нахождения центра сопряжения
строим дуги окружностей с радиусами R+
R₁,
из центра окружности радиуса R₁
точки O₁,
и R-R₂,
из центра окружности радиуса R₂
точки O₂.
После чего соединяем центр сопряжения
точку O с центрами окружностей O₁
и O₂
прямыми и на пересечении с линиями
соответствующих окружностей получаем
точки сопряжения A и B. Затем строим
сопряжение.

Построение кулачка

Построение очертания
кулачка в каждом варианте следует
начинать с нанесения осей координат Ох
и Оу.
Затем строят лекальные кривые по их
заданным параметрам и выделяют участки,
входящие в очертание кулачка. После
этого можно вычертить плавные переходы
между лекальными кривыми. При этом
следует учесть, что во всех вариантах
через точку D
проходит касательная к эллипсу.

Обозначение Rx
показывает, что величина радиуса
определяется построением. На чертеже
вместо Rx
надо проставить соответствующее число
со знаком «*».

 Лекальной
называют кривую, которую нельзя построить
с помощью циркуля. Ее строят по точкам
с помощью специального инструмента,
называемого лекалом. К лекальным кривым
относятся эллипс, парабола, гипербола,
спираль Архимеда и др.

Среди закономерных
кривых наибольший интерес для инженерной
графики представляют кривые второго
порядка: эллипс, парабола и гипербола,
с помощью которых образуются поверхности,
ограничивающие технические детали.

Эллипс
– кривая второго порядка. Одним из
способов построения эллипса является
способ построения эллипса по двум осям
рис.8. При построении проводим окружности
радиусами r
и R
из одного центра О
и произвольную секущую ОА.
Из точек пересечения 1
и 2
проводим прямые, параллельные осям
эллипса. На их пересечении отмечаем
точку М
эллипса. Остальные точки строим
аналогично.

Рисунок 8. Способ построения эллипса по двум осям

Рисунок 9. Построение параболы

Параболой
называется плоская кривая, каждая точка
которой расположена на одинаковом
расстоянии от заданной прямой, носящей
название директрисы, и точки называемой
фокусом параболы, расположенных в той
же плоскости.

На
рисунке 9 приведен один из способов
построения параболы. Даны вершина
параболы О, одна из точек параболы А и
направление оси – ОС. На отрезке ОС и
СА строят прямоугольник, стороны этого
прямоугольника в задании – А1 и В1, делят
на произвольное одинаковое число равных
частей и нумеруют точки деления 1, 2, 3,
4… 10. Вершину О соединяют с точками
деления на А1, а из точек деления отрезка
В1 проводят прямые параллельные оси ОС.
Пересечение прямых, проходящих через
точки с одинаковыми номерами, определяют
ряд точек параболы.

Синусоидой
называют плоскую кривую, изображающую
изменение синуса в зависимости от
изменения его угла. Для построения
синусоиды (рис. 10) нужно разделить
окружность на равные части и на такое
же количество равных частей разделить
отрезок прямой АВ
= 2лR.
Из одноименных точек деления провести
взаимно перпендикулярные линии, в
пересечении которых получают точки,
принадлежащие синусоиде.

Рисунок 10. Построение
синусоиды

Эвольвентой
называют плоскую кривую, являющуюся
траекторией любой точки прямой линии,
перекатываемой по окружности без
скольжения. Построение эвольвенты
выполняют в следующем порядке (рис.11):
окружность делят на равные части;
проводят касательные к окружности,
направленные в одну сторону и проходящие
через каждую точку деления; на касательной,
проведенной через последнюю точку
деления окружности, откладывают отрезок,
равный длине окружности 2лR,
который делят на столько же равных
частей. На первой касательной откладывают
одно деление 2лR/n,
на второй – два и т.д.

Рисунок 11. Построение эвольвенты

Рисунок 12. Спираль Архимеда

Спираль
Архимеда –
плоская кривая, которую описывает точка,
движущаяся равномерно-поступательно
от центра О по равномерно вращающемуся
радиусу (рис.12).

Для
построения спирали Архимеда задается
шаг спирали – а, и центр О. Из центра О
описывают окружность радиусом Р = а
(0-8). Делят окружность на несколько равных
частей, например, на восемь (точки 1, 2,
…, 8). На столько же частей делят отрезок
О8. Из центра О радиусами О1, О2, и т.д.
проводят дуги окружностей, точки
пересечения которых с соответствующими
радиусами-векторами принадлежат спирали
(I,
II,
…,YIII)

Таблица 2

1 Кулачок № варианта R R1 R2 R3 a b d d1 h t x y 1 115 35 55 35 75 45 40 55 12 45 115 70

2 Кулачок № варианта R R1 R2 R3 a b d d1 h t x y 2 120 100 50 30 80 50 45 40 14 505 40 35

3 Кулачок № варианта R R1 R2 R3 a b d d1 h t x y y1 3 95 35 35 25 70 50 40 60 12 45 100 85 40

4 Кулачок № варианта R R1 R2 R3 a b d d1 h t x y 4 115 35 55 35 75 45 40 55 12 45 115 70

5 Кулачок № варианта S1 a1 b1 R a b y y1 R1 R2 R3 d h t 5 125 52 65 110 100 65 85 45 15 30 80 50 16 56

6 Кулачок № варианта R R1 R2 R3 a b d d1 h t x y y1 6 95 35 35 25 70 50 40 60 12 45 100 85 40

7 Кулачок № варианта R R1 R2 R3 S a a1 b b1 d h t x y 7 100 35 30 20 115 60 45 40 50 45 14 0,5 135 54

8 Кулачок № варианта R R1 R2 R3 S a a1 b b1 d h t x y 8 100 35 30 20 115 60 45 40 50 45 14 50,5 135 54

9 Кулачок № варианта R R1 R2 R3 a b d d1 h t x y 9 115 35 55 35 75 45 40 55 12 45 115 70

10 Кулачок № варианта R R1 R2 R3 a d d1 h t x y 10 110 45 50 40 70 40 35 50 10 40 120 60

11 Кулачок № варианта R R1 R2 R3 a b d d1 h t x y 11 110 45 50 40 70 40 35 50 10 40 120 60

12 Кулачок № варианта R R1 R2 R3 a b d d1 h t x y 12 115 110 75 40 90 55 50 45 16 56 45 40

13 Кулачок № варианта R R1 R2 R3 a b d d1 h t x y y1 13 90 40 40 25 75 45 40 60 12 45 110 90 35

14 Кулачок № варианта R R1 R2 R3 a b d d1 h t x y 14 110 45 50 40 70 40 35 50 10 40 120 60

15 Кулачок № варианта S1 a1 b1 R a b y y1 R1 R2 R3 d h 15 120 50 60 100 90 60 82 40 10 25 75 45 14 50,5

16 Кулачок № варианта R R1 R2 R3 a b d d1 h t x y y1 16 90 40 40 25 75 45 40 60 12 45 100 90 35

17 Кулачок № варианта R R1 R2 R3 S a a1 b b1 d h t x y 17 95 50 40 18 120 55 40 45 52 50 16 56 30 45

18 Кулачок № варианта R R1 R2 R3 S a a1 b b1 d h t x y 18 95 50 40 18 120 55 40 35 52 50 16 56 130 45

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

При изучении дисциплины «Начертательная геометрия и
инженерная графика» студенты должны усвоить правила и последовательность
выполнения геометрических построений и сопряжений. В этом отношении лучшим
способом приобретения навыков построения являются задания по вычерчиванию
контуров сложных деталей.

Прежде чем приступить к выполнению контрольного задания,
нужно изучить технику выполнения геометрических построений и сопряжений по
методическому пособию.

Сопряжения линий

Сопряжением называется
плавный переход от одной линии к другой. Для построения любого сопряжения дугой
заданного радиуса нужно найти:

1. Центр
   сопряжения – центр, из которого проводят дугу;
2. Точки
   сопряжения (касания) – точки, в которых одна линия переходит в другую.

Центр сопряжения
находится от точек сопряжения на одинаковых расстояниях, равных радиусу
сопряжения R.  Переход от прямой к
окружности будет плавным в том случае, если прямая касается к окружности. Точка
сопряжения К лежит на перпендикуляре, опущенном из центра О окружности к прямой
(рис.
1)

рис. 1

Переход от одной
окружности к другой будет плавным, если окружности касаются.

Различают два случая
касания дуг окружностей: внешнее (рис.
2)  и внутреннее (рис.3).

При внешнем касании
центры окружностей лежат по разные стороны от их общей касательной L (рис. 2). Расстояние между их центрами ОО₁ равно
сумме радиусов окружностей R+R₁ и точка касания лежит на прямой ОО₁,
соединяющей их центры.

При внутреннем касании
центры окружностей лежат по одну сторону от их общей касательной L. Расстояние
между их центрами ОО₁ равно разности их радиусов  R-R₁ и точка касания К окружностей
лежит на продолжении прямой ОО₁ (рис.
3).

рис. 2	рис. 3

Касание дуг окружностей:

рис. 2 – сопряжение двух окружностей (внешнее касание)

рис. 3 – сопряжение двух окружностей (внутреннее касание)

Сопряжение двух пересекающихся прямых 

Даны
пересекающиеся  под прямым, острым и
тупым углами прямые линии.

Требуется построить сопряжения этих прямых дугой заданного
радиуса R.

рис. 4

1. Для
   нахождения центра сопряжения проводят вспомогательные прямые, параллельные
   данным на расстоянии равном радиусу R. Точка пересечения этих прямых т.О и
   будет центом дуги сопряжения (рис.
   4).
2. Перпендикуляры,
   опущенные из центра дуги сопряжения т.О на данные прямые, определяют точки
   касания К и N.
3. Из
   точки О, как центра, описывают дугу заданного радиуса R.

рис. 5

Примечание.Для
прямых углов центр сопряжения удобнее находить с помощью циркуля (рис. 5).

Сопряжение дуги окружности и прямой
линии дугой заданного радиуса.

Внешнее касание

Дана окружность радиуса
R  и прямая АВ. Требуется соединить их дугой
радиусом  R1.

 

 рис. 6 

1. Для
   нахождения центра сопряжения из центра О заданной окружности проводят дугу m радиуса R + R₁ и
   на расстоянии R₁ – прямую n // AB. Точка  О₁  пересечения прямой n и дуги m будет центром
   сопряжения.
2. Для
   получения точек сопряжения: К и К₁  проводят линию центров ОО₁ и
   восстанавливают к прямой АВ перпендикуляр ОК₁.
3. Из
   центра сопряжения О₁ между точками К и К₁  проводят дугу сопряжения радиусом  R₁

Внутреннее касание

В случае внутреннего
касания выполняют те же построения, но дугу m 
вспомогательной окружности проводят радиусом R – R₁.

рис. 7

Сопряжение двух окружностей дугой
заданного радиуса

Заданы две окружности
радиусом R₁ и R₂. Требуется построить сопряжение дугой
заданного радиуса R.

рис. 8

Внешнее касание

1. Для
   определения центра сопряжения О проводят вспомогательные дуги: из центра О₁окружности радиусом  R + R₁  и из центра О₂ окружности радиуса R
   + R₂. Точка О пересечения этих дуг является центом сопряжения.
2. Соединяя
   центры О и О₁, а так же О и О₂ , определяют точки
   сопряжения (касания) К₁  и  К₂.
3. Из
   центра О радиусом R проводят дугу сопряжения между точками  К₁ 
   и К₂

Внутреннее касание

При внутреннем касании
выполняют те же построения, но дуги проводят радиусами

R -R₁  и R – R₂.

рис. 9

Смешанное касание

рис. 10

Центр сопряжения О
находится в пересечении двух дуг, описанных из центра О₁ радиусом R
– R₁ и из центра О₂ радиусом R + R₂

Примечание. При
смешанном сопряжении центр О₁ одной из сопрягаемых дуг лежит внутри
сопрягающей дуги радиуса R , а центр О₂ другой дуги – вне ее.

Частные случаи

Нахождение
центра дуги заданного радиуса.

Задана дуга радиусом R,
соединяющая две параллельные прямые mи n и проходящая через точку А ∈ m (рис. 11). Требуется найти центр О заданной дуги.

рис. 11

В основу построения положено нахождение
точки О, равноудаленной от заданных прямых (рис.
11).

1. Из
   точки А ∈ m, как из центра, проводят дугу
   вспомогательной окружности с заданным радиусом R.   
2. Проводят
   вспомогательную прямую l,
   параллельную прямой n, на
   расстоянии, равном заданному радиусу R.
3. Точка О – точка пересечения этих
   вспомогательных линий является центром заданной дуги. (рис. 12)

 

рис. 12

Литература

1. Боголюбов
   С.К. Инженерная графика: Учебник для средних специальных учебных заведений. –
   3-е изд., испр. И доп. – М.: Машиностроение, 2006. – с.392:  ил.
2. Куприков
   М.Ю. Инженерная графика: учебник для ССУЗов – М.: Дрофа, 2010 – 495 с.: ил.
3. Федоренко
   В.А., Шошин А.И. Справочник по машиностроительному черчению Л.: Машиностроение.
   1976. 336 с.