Как найти внешние углы правильного треугольника

Внешний угол треугольника

Внешний угол треугольника — это угол, смежный с любым из внутренних углов треугольника.

При каждой вершине треугольника может быть построено по два равных внешних угла. Например, если продолжить все стороны треугольника ABC, то при каждой его вершине получится по два внешних угла, которые равны между собой, как вертикальные углы:

Из данного примера можно сделать вывод, что внешние углы, построенные при одной вершине, будут равны.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Так как внешний угол (∠1) дополняет внутренний угол (∠4) до развёрнутого угла, то их сумма равна 180°:

Сумма внутренних углов углов любого треугольника тоже равна 180°, значит:

Из этого следует, что

Сократив обе части полученного равенства на одно и тоже число (∠4), получим:

Из этого можно сделать вывод, что внешний угол треугольника всегда больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Сумма внешних углов

Сумма трёх внешних углов треугольника, построенных при разных вершинах, равна 360°

Рассмотрим треугольник ABC:

Каждая пара углов (внутренний и смежный с ним внешний) в сумме равны 180°. Все шесть углов (3 внутренних и 3 внешних) вместе равны 540°:

(∠1 + ∠4) + (∠2 + ∠5) + (∠3 + ∠6) = 180° + 180° + 180° = 540°.

Значит чтобы найти сумму внешних углов, надо из общей суммы вычесть сумму внутренних углов:

∠1 + ∠2 + ∠3 = 540° – (∠4 + ∠5 + ∠6) = 540° – 180° = 360°.

Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

Определение равностороннего треугольника

Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.

Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.

Свойство 2

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.

CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.

Свойство 3

В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.

Свойство 4

Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.

Свойство 5

Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.

• R – радиус описанной окружности;
• r – радиус вписанной окружности;
• R = 2r.

Свойство 6

В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:

1. Высоту/медиану/биссектрису:

2. Радиус вписанной окружности:

3. Радиус описанной окружности:

4. Периметр:

5. Площадь:

Пример задачи

Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.

Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:

Углы равностороннего треугольника

Чему равны углы равностороннего треугольника?

(свойство углов равностороннего треугольника)

Все углы равностороннего треугольника равны по 60º.

Аналогично, так как AC=BC, ∠A=∠B.

Отсюда следует, что в равностороннем треугольнике все углы равны между собой: ∠A=∠B=∠C

Так как сумма углов треугольника равна 180º, то ∠A=∠B=∠C=180º:3=60º, то есть каждый угол равностороннего треугольника равен 60º.

Что и требовалось доказать .

Тот факт, что все углы равностороннего треугольника равны между собой, можно рассмотреть также как следствие из теоремы о соотношении между сторонами и углами треугольника. В треугольнике напротив большей стороны лежит больший угол, напротив меньшей стороны — меньший угол. Так как все три стороны правильного треугольника равны, то и все углы тоже равны.

[spoiler title=”источники:”]

[/spoiler]

Внешний угол треугольника

Внешний угол треугольника — это угол, смежный с любым из внутренних углов треугольника.

При каждой вершине треугольника может быть построено по два равных внешних угла. Например, если продолжить все стороны треугольника ABC, то при каждой его вершине получится по два внешних угла, которые равны между собой, как вертикальные углы:

Из данного примера можно сделать вывод, что внешние углы, построенные при одной вершине, будут равны.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Так как внешний угол (∠1) дополняет внутренний угол (∠4) до развёрнутого угла, то их сумма равна 180°:

Сумма внутренних углов углов любого треугольника тоже равна 180°, значит:

Из этого следует, что

Сократив обе части полученного равенства на одно и тоже число (∠4), получим:

Из этого можно сделать вывод, что внешний угол треугольника всегда больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Сумма внешних углов

Сумма трёх внешних углов треугольника, построенных при разных вершинах, равна 360°

Рассмотрим треугольник ABC:

Каждая пара углов (внутренний и смежный с ним внешний) в сумме равны 180°. Все шесть углов (3 внутренних и 3 внешних) вместе равны 540°:

(∠1 + ∠4) + (∠2 + ∠5) + (∠3 + ∠6) = 180° + 180° + 180° = 540°.

Значит чтобы найти сумму внешних углов, надо из общей суммы вычесть сумму внутренних углов:

Источник

Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

Определение равностороннего треугольника

Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.

Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.

Свойство 2

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.

CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.

Свойство 3

В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.

Свойство 4

Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.

Свойство 5

Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.

Свойство 6

В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:

1. Высоту/медиану/биссектрису:

2. Радиус вписанной окружности:

3. Радиус описанной окружности:

4. Периметр:

5. Площадь:

Пример задачи

Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.

Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:

Источник

Внешний угол треугольника

Углы треугольника бывают внутренние и внешние. Что такое внешний угол треугольника? Как его найти?

Внешний угол треугольника при данной вершине — это угол, смежный с внутренним углом треугольника при этой вершине.

Как построить внешний угол треугольника? Нужно продлить сторону треугольника.

∠3 — внешний угол при вершине А,

∠2 — внешний угол при вершине С,

∠1 — внешний угол при вершине В.

Сколько внешних углов у треугольника?

При каждой вершине треугольника есть два внешних угла. Чтобы построить внешний угол при вершине треугольника, можно продлить любую из двух сторон, на которых лежит данная вершина. Таким образом получаем 6 внешних углов.

Внешние углы каждой пары при данной вершины равны между собой (как вертикальные):

Поэтому, когда говорят о внешнем угле треугольника, не важно, какую из сторон треугольника продлили.

Чему равен внешний угол?

Теорема (о внешнем угле треугольника)

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Дано : ∆АВС, ∠1 — внешний угол при вершине С.

∠1 и ∠С (∠АСВ) — смежные, поэтому их сумма равна 180º, значит, ∠1=180º-∠С=180º-(180º-(∠А+∠В))=180º-180º+(∠А+∠В)=∠А+∠В.

Источник

Внешний угол треугольника – определение и свойство

Внешний угол треугольника редко используется при решении геометрических задач. Однако при этом свойства внешнего угла лучше знать, потому как задача на применение этих свойств рано или поздно попадется каждому ученику.

Внешний угол

Внешний угол треугольника это угол, смежный с внутренним. Внутренних углов в треугольнике три, и их сумма равняется 180 градусам. Смежными углами зовутся углы, одна из сторон которых лежит на одной прямой, а вторая является общей.

Что нужно сделать, чтобы увидеть внешний угол треугольника? Для этого придется выполнить некоторые дополнительные построения. Чтобы увидеть внешний угол треугольника необходимо продолжить его сторону. При каждой вершине две стороны, соответственно продолжить можно две прямых и смежных углов будет два.

Рис. 1. Внешние углы треугольника.

Итого в треугольнике получается 6 внешних углов.

Нежелательно на рисунке строить два внешних угла при одной вершине одновременно. Это усложнит построение и, чаще всего, не принесет никакого положительного результата.

Свойства внешних углов

Свойств у внешних углов треугольника не так много и все они связаны с определением внешнего угла.

Основное свойство гласит, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов не смежных с ним. Свойство доказывается достаточно просто. Сумма смежных углов равна 180. Сумма углов в треугольнике все те же 180. Тогда, если обозначить внутренние углы а,в,с, внешний угол d, то:

Вычтем из первого выражения второе и получим:

d=в+с – вот и все доказательство.

Рис. 2. Рисунок к доказательству.

Есть еще несколько дополнительных свойств внешних углов:

Особенное значение имеют внешние углы при решении тупоугольных треугольников. Дело в том, что в тупоугольном треугольнике одна из высот всегда внешняя. Найти эту высоту можно через тригонометрические функции. Для этого и нужно знать угол, который для тупоугольного треугольника будет внешним, а для достроенного прямоугольного треугольника – внутренним.

Рис. 3. Внешний угол тупоугольного треугольника.

Что мы узнали?

Мы привели определение внешнего угла треугольника. Посчитали количество внешних углов треугольника, определили особенности построения внешних углов при решении задачи. Рассказали, где чаще всего применяются свойства внешних углов треугольника.

Источник

Равносторонний треугольник: характеристики, свойства, формулы, площадь

Содержание:

А равносторонний треугольник многоугольник с тремя сторонами, у которого все равны; то есть у них одинаковая мера. За эту характеристику он получил название равносторонний (равные стороны).

Характеристики равносторонних треугольников

— Равные стороны

Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника, поскольку две его стороны совпадают. Таким образом, все равносторонние треугольники также равнобедренные, но не все равнобедренные треугольники будут равносторонними.

Таким образом, равносторонние треугольники обладают теми же свойствами, что и равнобедренный треугольник.

— Составные части

Треугольники обычно состоят из нескольких линий и точек. Они используются для вычисления площади, сторон, углов, медианы, биссектрисы, биссектрисы и высоты.

На следующем графике мы видим разносторонний треугольник, в котором подробно описаны некоторые из упомянутых компонентов.

Биссектриса делит сторону треугольника на две части. В равносторонних треугольниках эта сторона будет разделена на две точно равные части, то есть треугольник будет разделен на два равных прямоугольных треугольника.

Таким образом, биссектриса, проведенная из любого угла равностороннего треугольника, совпадает с медианой и биссектрисой стороны, противоположной этому углу.

Пример:

На следующем рисунке показан треугольник ABC со средней точкой D, которая делит одну из его сторон на два сегмента AD и BD.

Проведя линию от точки D к противоположной вершине, по определению получается медиана CD, которая относится к вершине C и стороне AB.

Поскольку сегмент CD делит треугольник ABC на два равных треугольника CDB и CDA, это означает, что будет соблюден случай сравнения: сторона, угол, сторона, и поэтому CD также будет биссектрисой BCD.

Отрезок CD образует углы, которые имеют одинаковую меру для треугольников ADC и BDC, то есть они являются дополнительными таким образом, что размер каждого из них будет:

Мед. (ADB) + Мед. (ADC) = 180 или

2 _* Мед. (ADC) = 180 или

Мед. (ADC) = 180 или ÷ 2

Итак, у нас есть, что отрезок CD также является биссектрисой стороны AB.

Биссектриса и высота совпадают

Проведя биссектрису от вершины одного угла к середине противоположной стороны, он делит равносторонний треугольник на два равных треугольника.

Таким образом, чтобы угол 90 или (Прямо). Это означает, что этот сегмент линии полностью перпендикулярен этой стороне, и по определению эта линия будет высотой.

Таким образом, биссектриса любого угла равностороннего треугольника совпадает с высотой относительно противоположной стороны этого угла.

Ортоцентр, барицентр, инцентр и совпадающий центр окружности

Свойства

Таким образом, равносторонние треугольники унаследовали все свойства равнобедренного треугольника:

Внутренние углы

Внешние углы

Сумма сторон

Конгруэнтные стороны

У равносторонних треугольников все три стороны одинаковой меры или длины; то есть они конгруэнтны. Следовательно, в предыдущем пункте мы имеем, что a = b = c.

Конгруэнтные углы

Равносторонние треугольники также известны как равносторонние треугольники, потому что их три внутренних угла конгруэнтны друг другу. Это потому, что все его стороны также имеют одинаковый размер.

Как рассчитать периметр?

Периметр многоугольника вычисляется путем сложения сторон. Так как в этом случае все стороны равностороннего треугольника имеют одинаковую меру, его периметр рассчитывается по следующей формуле:

P = 3 _* боковая сторона.

Как рассчитать высоту?

Высота (h) представляет собой противоположное плечо (a), середина стороны AC относительно соседнего плеча (b), а сторона BC представляет собой гипотенузу (c).

Используя теорему Пифагора, значение высоты можно определить:

Подставляя эти значения в теорему Пифагора и решая высоту, мы имеем:

Если известен угол, образованный конгруэнтными сторонами, высоту (представленную ногой) можно вычислить, применив тригонометрические соотношения.

Ноги называются противоположными или смежными в зависимости от угла, принятого за ориентир.

Например, на предыдущем рисунке полоса h будет противоположной для угла C, но примыкает к углу B:

Таким образом, высоту можно рассчитать с помощью:

Как рассчитать стороны?

Бывают случаи, когда неизвестны размеры сторон треугольника, а скорее их высота и углы, образующиеся при вершинах.

Для определения площади в этих случаях необходимо применять тригонометрические соотношения.

Зная угол одной из его вершин, опоры идентифицируются и используется соответствующее тригонометрическое соотношение:

Таким образом, отрезок AB будет противоположным для угла C, но примыкает к углу A. В зависимости от стороны или отрезка, соответствующего высоте, другая сторона очищается для получения ее значения, зная, что в равностороннем треугольнике три стороны всегда будут иметь одинаковые размеры.

Как рассчитать площадь?

Площадь треугольников всегда вычисляется по одной и той же формуле: умножение основания на высоту и деление на два:

Зная, что высота определяется по формуле:

Упражнения

— Первое упражнение

Стороны равностороннего треугольника ABC равны 20 см каждая. Вычислите высоту и площадь этого многоугольника.

Решение

Чтобы определить площадь этого равностороннего треугольника, необходимо вычислить высоту, зная, что при его рисовании треугольник делится на два равных прямоугольных треугольника.

Таким образом, можно использовать теорему Пифагора, чтобы найти его:

Данные подставляются в теорему:

100 см + б 2 = 400 см

То есть высота треугольника равна 17,32 см. Теперь можно вычислить площадь данного треугольника, подставив в формулу:

Площадь = (20 см _* 17,32 см) ÷ 2

Площадь = 346,40 см. 2 ÷ 2

— Второе упражнение

Цветы будут высажены на поле в форме равностороннего треугольника. Если периметр этого участка равен 450 м, посчитайте, сколько квадратных метров будут занимать цветы.

Решение

Зная, что периметр треугольника соответствует сумме трех его сторон, и поскольку местность имеет форму равностороннего треугольника, три стороны этого треугольника будут иметь одинаковую меру или длину:

P = сторона + сторона + сторона = 3 _* л

Теперь нужно только рассчитать высоту этого треугольника.

Данные подставляются в теорему:

(75 м) 2 + b 2 = (150 м) 2

5625 м + b 2 = 22 500 м

Таким образом, площадь, которую будут занимать цветы, будет:

Площадь = (150 м _* 129,9 м) ÷ 2

Площадь = (19 485 м 2 ) ÷ 2

Площадь = 9 742,5 м 2

— Третье упражнение

Равносторонний треугольник ABC разделен отрезком прямой, идущим от его вершины C до середины D, расположенной на противоположной стороне (AB). Этот отрезок имеет длину 62 метра. Вычислите площадь и периметр равностороннего треугольника.

Решение

Зная, что равносторонний треугольник разделен отрезком прямой, который соответствует высоте, таким образом образуя два конгруэнтных прямоугольных треугольника, это, в свою очередь, также делит угол при вершине C на два угла с той же мерой 30. или каждый.

По этим данным можно определить значение одной из сторон треугольника, используя тригонометрические соотношения:

Поскольку все стороны равностороннего треугольника имеют одинаковую длину или длину, это означает, что каждая сторона равностороннего треугольника ABC равна 71,6 метра. Зная это, можно определить его площадь:

Площадь = (71,6 м _* 62 м) ÷ 2

Площадь = 4438,6 м 2 ÷ 2

Площадь = 2219,3 м 2

Периметр определяется суммой трех его сторон:

P = сторона + сторона + сторона = 3 _* л

Ссылки

10 институтов, защищающих права человека

Лучший онлайн-тренинг для психологов: как его найти

Источник

Внешний угол треугольника

• Сумма внешних углов

Внешний угол треугольника — это угол, смежный с любым из внутренних углов треугольника.

При каждой вершине треугольника может быть построено по два равных внешних угла. Например, если продолжить все стороны треугольника  ABC,  то при каждой его вершине получится по два внешних угла, которые равны между собой, как вертикальные углы:

Из данного примера можно сделать вывод, что внешние углы, построенные при одной вершине, будут равны.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Так как внешний угол (∠1) дополняет внутренний угол (∠4) до развёрнутого угла, то их сумма равна  180°:

∠1 + ∠4 = 180°.

Сумма внутренних углов углов любого треугольника тоже равна  180°, значит:

∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

Из этого следует, что

∠1 + ∠4 = ∠2 + ∠3 + ∠4.

Сократив обе части полученного равенства на одно и тоже число (∠4), получим:

∠1 = ∠2 + ∠3.

Из этого можно сделать вывод, что внешний угол треугольника всегда больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Сумма внешних углов

Сумма трёх внешних углов треугольника, построенных при разных вершинах, равна  360°

Рассмотрим треугольник  ABC:

Каждая пара углов (внутренний и смежный с ним внешний) в сумме равны  180°.  Все шесть углов (3 внутренних и 3 внешних) вместе равны  540°:

(∠1 + ∠4) + (∠2 + ∠5) + (∠3 + ∠6) = 180° + 180° + 180° = 540°.

Значит чтобы найти сумму внешних углов, надо из общей суммы вычесть сумму внутренних углов:

∠1 + ∠2 + ∠3 = 540° – (∠4 + ∠5 + ∠6) = 540° – 180° = 360°.