Как найти внутренний накрест лежащий угол

Внутренние накрест лежащие углы — один из видов углов, образованных при пересечении двух прямых секущей.

Две прямые разбивают плоскость на внутреннюю (внутри между прямыми) и внешнюю области. Углы, лежащие во внутренней части, так и называются — внутренние.

Внутренние накрест лежащие углы — это углы, которые лежат во внутренней области по разные стороны от секущей (накрест друг от друга).

При пересечении двух прямых секущей образуется две пары внутренних накрест лежащих углов.

vnutrennie nakrest lezhaschie uglyivnutrennie nakrest lezhaschie uglyi

∠1 и∠2 — внутренние накрест лежащие углы при прямых a и b и секущей c.

∠3 и∠4 — внутренние накрест лежащие углы при прямых a и b и секущей c.

Из всех внутренних накрест лежащих углов наибольший интерес представляют углы при параллельных прямых.

Свойство параллельных прямых

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны.

vnutrennie nakrest lezhaschie uglyi ravnyi  Если a ∥ b, то

∠1 =∠2

∠3=∠4

(как внутренние накрест лежащие углы при a ∥ b и секущей c).

Признак параллельных прямых

Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

ravnyie vnutrennie nakrest lezhaschie uglyi     ∠1=∠2.

А так как эти углы — внутренние накрест лежащие при прямых a и b и секущей c,

то a ∥ b (по признаку параллельных прямых).

Равенство внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых используется, в частности, при доказательстве равенства треугольников и подобия треугольников.

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Ёжику Понятно

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Понятие угла

Угол – геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки.

Стороны угла – лучи, которые образуют угол.

Вершина угла – точка, из которой выходят лучи.

Угол AOB

Угол называют тремя заглавными латинскими буквами, которыми обозначены вершина и две точки, расположенные на сторонах угла.

Важно: в названии буква, обозначающая вершину угла, стоит между двумя буквами, обозначающими точки на сторонах угла. Так, угол, изображенный на рисунке, можно назвать: ∠ A O B  или ∠ B O A ,  но ни в коем случае не ∠ O A B , ∠ O B A , ∠ A B O , ∠ B A O .

Величину угла измеряют в градусах. ∠ A O B = 24 ° .

Виды углов:

Виды углов

Биссектриса угла

Биссектриса угла – это луч с началом в вершине угла, делящий его на два равных угла.

Или

Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.

Биссектриса угла

O D – биссектриса угла ∠ A O B . Она делит этот угол на два равных угла.

∠ A O D = ∠ B O D = ∠ A O B 2

Точка D – произвольная точка на биссектрисе. Она равноудалена от сторон O A и O B угла ∠ A O B .

Углы, образованные при пересечении двух прямых

Вертикальные углы – пара углов, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон второго.

Свойство: вертикальные углы равны.

Смежные углы – пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие стороны расположены на одной прямой.

Свойство: сумма смежных углов равна 180 ° .

Пример:

Углы, образованные при пересечении двух прямых

Пары углов

( 1 ) и ( 3 )
( 2 ) и ( 4 )

называются вертикальными.

По свойству вертикальных углов:

∠ C O D = ∠ A O B
∠ B O D = ∠ A O C

Пары углов

( 1 ) и ( 2 )
( 2 ) и ( 3 )
( 3 ) и ( 4 )
( 4 ) и ( 1 )

называются смежными.

По свойству смежных углов:

∠ C O D + ∠ D O B = 180 ° ∠ D O B + ∠ B O A = 180 ° ∠ B O A + ∠ A O C = 180 ° ∠ A O C + ∠ C O D = 180 °

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей

Прямая, пересекающая две заданные прямые, называется секущей этих прямых.

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей

Существует пять видов углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей.

Пары углов:

( 1 ) и ( 5 )
( 2 ) и ( 6 )
( 3 ) и ( 7 )
( 4 ) и ( 8 )

называются соответственными.
(Легко запомнить: они соответствуют друг другу, похожи друг на друга).

Пары углов:

( 3 ) и ( 5 )
( 4 ) и ( 6 )

называются внутренними односторонними.
(Легко запомнить: лежат по одну сторону от секущей, между двумя прямыми).

Пары углов:

( 1 ) и ( 7 )
( 2 ) и ( 8 )

называются внешними односторонними.
(Легко запомнить: лежат по одну сторону от секущей по разные стороны от двух прямых).

Пары углов:

( 3 ) и ( 6 )
( 4 ) и ( 5 )

называются внутренними накрест лежащими.
(Легко запомнить: лежат между двумя прямыми, расположены наискосок друг относительно друга).

Пары углов:

( 1 ) и ( 8 )
( 2 ) и ( 7 )

называются внешними накрест лежащими.
(Легко запомнить: лежат по разные стороны от двух прямых, расположены наискосок друг относительно друга).

Если прямые, которые пересекает секущая, параллельны, то углы имеют следующие свойства:

  • Соответственные углы равны.
  • Внутренние накрест лежащие углы равны.
  • Внешние накрест лежащие углы равны.
  • Сумма внутренних односторонних углов равна 180 ° .
  • Сумма внешних односторонних углов равна 180 ° .

Углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей

Сумма углов многоугольника

Сумма углов произвольного n -угольника вычисляется по формуле:

S n = 180 ° ⋅ ( n − 2 )

где n – это количество углов в n -угольнике.

Пользуясь этой формулой, можно вычислить сумму углов для произвольного n -угольника.

Сумма углов треугольника: S 3 = 180 ° ⋅ ( 3 − 2 ) = 180 °

Сумма углов четырехугольника: S 4 = 180 ° ⋅ ( 4 − 2 ) = 360 °

Сумма углов пятиугольника: S 5 = 180 ° ⋅ ( 5 − 2 ) = 540 °

Так можно продолжать до бесконечности.

Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.

На рисунках изображены примеры правильных многоугольников:

Правильный треугольник (равносторонний треугольник) Правильный четырехугольник (квадрат) Правильный семиугольник

Чтобы найти величину угла правильного n -угольника, необходимо сумму углов этого многоугольника разделить на количество углов.

α n = 180 ° ⋅ ( n − 2 ) n

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с углами

Скачать домашнее задание к уроку 2.

Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

Углы при параллельных прямых и секущей

Пусть прямая c пересекает параллельные прямые a и b. При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.

Углы при параллельных прямых и секущей

Углы 1 и 3 — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть

angle 1=angle 3;

angle 2=angle 4.

Конечно, углы 5 и 7, 6 и 8 — тоже вертикальные.

Углы 1 и 2 — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна 180^{circ}.

Углы 3 и 5 (а также 1 и 7, 2 и 8, 4 и 6) — накрест лежащие.

Накрест лежащие углы равны.

angle 3=angle 5,

angle 1=angle 7,

angle 2=angle 8,

angle 4=angle 6.

Углы 1 и 6 — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы 4 и 7 — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна 180^{circ}, то есть

angle 1+angle 6=180^{circ},

angle 4+angle 7=180^{circ}.

Углы 2 и 6 (а также 3 и 7, 1 и 5, 4 и 8) называются соответственными.

Соответственные углы равны, то есть

angle 2=angle 6,

angle 3=angle 7.

Углы 3 и 5 (а также 2 и 8, 1 и 7, 4 и 6) называют накрест лежащими.

Накрест лежащие углы равны, то есть

angle 3=angle 5,

angle 1=angle 7,

angle 2=angle 8,

angle 4=angle 6.

Чтобы применять все эти факты в решении задач по геометрии, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть две параллельных прямые и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это – один из шагов, из которых и состоит решение.

В этой статье – полезные теоремы и примеры решения задач ЕГЭ и ОГЭ по теме «Углы при параллельных прямых и секущей».

Этот материал можно использовать для проектов по геометрии, в работе на уроке и самостоятельно.

Теорема 1.

Углы с соответственно параллельными сторонами равны, если они оба острые или тупые.

Доказательство:

Дано два острых угла: angle ACB и angle FNM. Известно, что их стороны параллельны: CAparallel NF и CBparallel NM.

Докажем, что angle ACB=angle FNM.

Пусть NFcap  CB=D.

Тогда angle ACB=angle FDB как соответственные углы при параллельных прямых CA и NF и секущей CB.

angle FDB=angle FNM, как соответственные углы при параллельных прямых CB и NM и секущей NF.

Отсюда следует, что angle ACB=angle FNM, что и требовалось доказать.

Аналогично и для тупых углов.

Теорема 2.

Углы с соответственно параллельными сторонами в сумме составляют 180{}^circ , если один из них острый, а другой тупой.

Доказательство:

Дано: angle ACB – острый, а angle FNM – тупой. Известно, что их стороны параллельны: CAparallel NF и CBparallel NM.

Докажем, что сумма углов angle ACB и angle FNM равна 180{}^circ .

Пусть NFcap  CB=D. Продолжим луч NM за точку N и получим прямую MK.

Получили два острых угла, angle ACB и angle FNK с параллельными сторонами. Согласно теореме 1, они равны, т. е. angle ACB=angle FNK.

angle MNF+angle FNK=180{}^circ как смежные. Значит, angle MNF+angle ACB=180{}^circ.

Теорема доказана.

Теорема 3.

Если накрест лежащие углы равны, прямые параллельны.

Доказательство:

Пусть при пересечении прямых a и b секущей AB накрест лежащие углы равны: angle 1=angle 2.

Докажем, что aparallel b. Если углы 1 и 2 прямые, то прямые a и b перпендикулярны к прямой AB и, следовательно, параллельны.

Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не прямые.

Из середины О отрезка АВ проведем перпендикуляр OH к прямой a.

На прямой b от точки В отложим отрезок {BH}_1 равный отрезку AH

triangle OHA=triangle OH_1B по двум сторонам и углу между ними, поэтому angle 3=angle 4 и angle 5=angle 6. Из равенства angle 3=angle 4  следует, что точка H_1 лежит на продолжении луча OH, т. е. точки H, O и H_1 лежат на одной прямой, а из равенства angle 5=angle 6 следует, что угол 6 – прямой (так как угол 5 – прямой). Итак, прямые a и b перпендикулярны к прямой HH_1, поэтому они параллельны. Теорема доказана.

Теорема 4.

Если соответственные углы равны, прямые параллельны.

Доказательство:

Пусть при пересечении прямых a и b секущей c соответственные углы равны, например angle 1=angle 2.

Так как углы 2 и 3 – вертикальные, то angle 2=angle 3. Из этих двух равенств следует, что angle 1=angle 3 . Но углы 1 и 3 – накрест лежащие, поэтому прямые a и b параллельны. Теорема доказана.

Теорема 5.

Если сумма односторонних углов равна 180 градусов, прямые параллельны.

Доказательство:

Пусть при пересечении прямых a и b секущей c сумма односторонних углов равна 180{}^circ , например angle 1+angle 4=180{}^circ.

Так как углы 3 и 4 – смежные, то angle 3+angle 4=180. Из этих двух равенств следует, что накрест лежащие углы 1 и 3 равны, поэтому прямые a и b параллельны. Теорема доказана

И самое главное. Подборка примеров заданий ОГЭ и ЕГЭ по темам: углы при параллельных прямых и секущей, внешние накрест лежащие и внутренние накрест лежащие углы, односторонние углы.

Задачи ОГЭ по теме: Свойства параллельных прямых и секущей, углы при пересечении параллельных прямых секущей

Задача 1. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK=5, CK=14.

Решение:

Стороны BC и AD параллелограмма параллельны, АК – секущая. Углы angle KAD и angle AKB равны как накрест лежащие.

BC=BK+KC=5+14=19,

triangle ABK – равнобедренный треугольник.

Мы доказали важное утверждение.

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

AB=BK=5.

P_{ABCD}=left(AB+BCright)cdot 2;

P_{ABCD}=left(5+19right)cdot 2=48.

Ответ: 48.

Задача 2. Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F.

Найдите AB, если AF=24, BF=10.

Решение:

Основания трапеции АD и ВС параллельны, поэтому углы BAD и АВС – односторонние при параллельных прямых АD и ВС и секущей АВ. Сумма односторонних углов равна 180^circ .

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна180{}^circ .

Мы получили, что

angle BAD+angle ABC=180^circ .

AF – биссектриса угла А,

BF – биссектриса угла В, поэтому

angle FAB=frac{1}{2}angle BAD;; angle ABF=frac{1}{2}angle ABC, тогда

angle FAB+angle ABF=90^circ .

Из треугольника AFB получим, что AFB=90{}^circ .

Мы доказали теорему:

Биссектрисы углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны.

Значит, треугольник AFB – прямоугольный.

По теореме Пифагора, {AB}^2={AF}^2+{BF}^2Rightarrow AB=sqrt{{24}^2+{10}^2}=sqrt{676}=26.

Ответ: 26.

Задача 3. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AB=28, AC=16, MN=12. Найдите AM.

Решение:

Пусть М – середина АВ, N – середина ВС. Тогда MN – средняя линия треугольника АВС, MNparallel AC.

Значит, angle BMN=angle BAC, как односторонние углы при параллельных прямых MN и AC и секущей АВ.

triangle ABCsim triangle MBN по двум углам.

Отсюда displaystyle frac{AB}{BM}=displaystyle frac{AC}{MN}Rightarrow BM=displaystyle frac{ABcdot MN}{AC};

BM=displaystyle frac{28cdot 12}{16}=21.

Ответ: 21.

Задача 4. Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 108{}^circ. Найдите угол B этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Решение:

ABCD – трапеция, ADparallel BC – основания, AB – секущая.

Значит, angle A и angle B – внутренние односторонне углы.

Отсюда angle B=180{}^circ -108{}^circ =72{}^circ.

Ответ: 72.

Задача 5. Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=7, а расстояние от точки K до стороны AB равно 4.

Решение:

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне параллелограмма, равна 180{}^circ .

Это значит, что angle BAD +angle ABC = 180{}^circ.

AК – биссектриса угла А,

BК – биссектриса угла В, поэтому

angle KAB=frac{1}{2}angle BAD; ; angle ABK=frac{1}{2}angle ABC, тогда

angle KAB+angle ABK= 90{}^circ .

Из треугольника AKB получим, что angle ABK= 90{}^circ .

Мы доказали теорему:

Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны.

Значит, треугольник AKB – прямоугольный.

Расстояние от точки K до стороны AB – это длина перпендикуляра, проведенного из точки K на прямую АВ, т.е. KH=4.

triangle AKN=triangle AKH по гипотенузе и острому углу Rightarrow KN=KH.

Аналогично, triangle BKH=triangle BKM по гипотенузе и острому углу Rightarrow KH=KM.

Получили: KN=KH=KM=4Rightarrow MN=8.

Тогда S_{ABCD}=ADcdot MN; S_{ABCD}=8cdot 7=56.

Ответ: 56.

Задача 6. На плоскости даны четыре прямые. Известно, что angle 1=120{}^circ , angle 2=60{}^circ , angle 3=55{}^circ . Найдите angle 4. Ответ дайте в градусах.

Решение:

angle 1 и angle 2 – это внутренние односторонние углы,

angle 1+angle 2=120{}^circ +60{}^circ =180{}^circ.

Отсюда следует, что прямые параллельны, т.е. aparallel b.

Рассмотрим углы при параллельных прямых aparallel b и секущей d.

angle 3 и angle 4 – это односторонние углы, а значит, они равны: angle 3=angle 4=55{}^circ.

Ответ: 55.

Задача 7. Прямые m и n параллельны. Найдите angle 3, если angle 1=22{}^circ , angle 2=72{}^circ . Ответ дайте в градусах.

Решение:

mparallel nRightarrow angle 1=angle 4=22{}^circ  как односторонние углы.

Сумма углов треугольника равна 180{}^circ .

Для треугольника на рисунке:

angle 2+angle 3+angle 4=180{}^circ Rightarrow angle 3=180{}^circ -72{}^circ -22{}^circ =86{}^circ .

Ответ: 86.

Задача 8. Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 30{}^circ и 45{}^circ. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение:
angle A=angle BAC+angle CAD=30{}^circ +45{}^circ =75{}^circ ,

angle A и angle B – это внутренние односторонние углы при параллельных прямых.

ADparallel BC и секущей АВ, их сумма равна 180{}^circ .

Тогда angle B=180{}^circ -angle A=180{}^circ -75{}^circ =105{}^circ .

Это и есть наибольший угол параллелограмма.

Ответ: 105.

Задача 9. Найдите величину тупого угла параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 15{}^circ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

AK – биссектриса угла А параллелограмма ABCD, angle A=30{}^circ.

angle A и angle B – внутренние односторонние углы при параллельных прямых.

ADparallel BC и секущей АВ. Их сумма равна 180{}^circ , значит, angle B=180{}^circ -30{}^circ =150{}^circ.

Ответ: 150.

Задача 10. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и angle ACD=169{}^circ . Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение: AC=2ABRightarrow AO=OC=AB=CD, тогда triangle COD – равнобедренный, в нем OC= CD. Значит,  angle COD=angle CDO=displaystyle frac{180{}^circ -169{}^circ }{2}=5,5{}^circ .

Ответ: 5,5.

Задачи ЕГЭ по теме: Углы при параллельных прямых и секущей

Задача 1, ЕГЭ. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 3:4, считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 88.

Решение:

Напомним, что биссектриса угла – это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Пусть BM – биссектриса тупого угла B. По условию, отрезки MD и AB равны 3x и 4x соответственно.

Рассмотрим углы CBM и BMA. Поскольку AD и BC параллельны, BM – секущая, углы CBM и BMA являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник ABM – равнобедренный, следовательно, AB = AM = 4x.

Периметр параллелограмма – это сумма всех его сторон, то есть

7x+7x+4x+4x=88.

Отсюда x=4, 7x=28.

Ответ: 28.

Задача 2, ЕГЭ. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 50{}^circ ? Ответ дайте в градусах.

Решение:

Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.

Давайте посмотрим на рисунок. По условию, alpha -beta =50{}^circ , то есть alpha =beta +50{}^circ .

Углы alpha и beta – односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,

alpha +beta =180{}^circ , по свойству односторонних углов.

Итак, 2beta +50{}^circ =180{}^circ.

beta =65{}^circ , тогда alpha =115{}^circ .

Ответ: 115.

Задача 3, ЕГЭ. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5. Найдите его большую сторону.

Решение:

angle B и angle C – внутренние односторонние углы и при параллельных прямых

AB и DC и секущей BC; их сумма равна 180{}^circ .

BE – биссектриса угла В, значит angle ABE=angle CBE=angle BEA как накрест лежащие углы при BCparallel AD и секущей BE. Тогда triangle ABE – равнобедренный, AB=AE=5=DC.

Аналогично, CE – биссектриса угла С, значит angle DCE=angle BCE=angle CED как накрест лежащие углы при BCparallel AD и секущей CE. Тогда triangle DCE – равнобедренный и DC=DE=5.

Значит AD=AE+ED=10.

Ответ : 10.

Задача 4, ЕГЭ. В ромбе ABCD угол ABC равен 122{}^circ. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

angle B и angle C – это внутренние односторонние углы при параллельных прямых.

ABparallel DC и секущей BC, их сумма равна 180{}^circ .

Значит, angle C=180{}^circ -angle B=180{}^circ -122{}^circ =58{}^circ .

ABCD – ромб, диагонали ромба делят его углы пополам.

Тогда angle ACD=58div 2=29{}^circ .

Ответ: 29.

Задача 5, ЕГЭ. Угол между стороной и диагональю ромба равен 54{}^circ . Найдите острый угол ромба.

Решение:

Диагональ ромба делит его угол пополам, то есть является биссектрисой угла ромба. Поэтому один из углов ромба равен 54cdot 2=108 градусов, и это тупой угол ромба. Тогда острый угол ромба равен 180{}^circ -108{}^circ =72{}^circ .

Ответ: 72.

Задача 6, ЕГЭ. Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол 150{}^circ. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Пусть angle D=150{}^circ ;  AB=18;  DC=6;  AD=7.

Углы, прилежащие к боковой стороне AD трапеции, являются внутренними односторонними при ABparallel DC и секущей BC. Их сумма равна 180{}^circ .

Тогда angle A=30{}^circ . Построим высоту из вершины D. Получим прямоугольный треугольник с острым углом в 30{}^circ .

Высота трапеции DH – это катет, лежащий напротив угла в 30{}^circ и равный половине гипотенузы, т. е. h=0.5cdot AD=0.5cdot 7=3.5.

Отсюда S_{ABCD}=displaystyle frac{DC+AB}{2}cdot h; S_{ABCD}=displaystyle frac{6+18}{2}cdot 3.5=12cdot 3.5=42.

Ответ: 42.

Задача 7, ЕГЭ. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 50{}^circ? Ответ дайте в градусах.

Решение:

У равнобедренной трапеции углы при основании равны т.е. angle A=angle B; ; angle D=angle C.

По условию, angle D-angle B=50{}^circ Rightarrow angle C-angle B=50{}^circ ;

angle C и angle B, прилежащие к боковой стороне CB трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых
AB и DC и секущей BC. Их сумма равна 180{}^circ .

angle C+angle B=180{}^circ.

Получили:

left{ begin{array}{c}angle C-angle B=50{}^circ \angle C+angle B=180{}^circ end{array}right. .

Сложив два уравнения, получим: 2angle C=230{}^circ , тогда angle C=115{}^circ.

Ответ: 115.

Задания ЕГЭ Базового уровня, геометрия. Свойства углов при параллельных прямых и секущей.

Задание 1. Основания трапеции равны 10 и 20, боковая сторона, равная 8, образует с одним из оснований трапеции угол 150{}^circ . Найдите площадь трапеции.

Решение:

Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных основаниях трапеции и секущей. Их сумма равна 180{}^circ . Значит, острый угол трапеции равен 30{}^circ . Построив высоту, мы увидим, что она лежит против прямого угла в прямоугольном треугольнике. Значит, высота равна половине боковой стороны, т.е. h=4.

Отсюда

Ответ: 60.

Задание 2. В прямоугольной трапеции основания равны 4 и 7, а один из углов равен 135{}^circ . Найдите меньшую боковую сторону.

Решение:

Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых и секущей. Их сумма равна 180{}^circ . Значит, острый угол равен 45{}^circ .

Вторая высота отсекает равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом, равным разности оснований. Значит, высота равна: 7–4=3.

Отсюда

Ответ: 16,5.

Задание 3. В трапеции ABCD известно, что AB = CD, angle BDA=40{}^circ и angle BDC=30{}^circ . Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

angle D=angle BDA+angle BDC=40{}^circ +30{}^circ =70{}^circ . Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых и секущей. Их сумма равна 180{}^circ . Значит, острый угол равен 110{}^circ .

Нам дана трапеция, в которой AB=CD. Очевидно, что это боковые стороны, и трапеция равнобедренная с основаниями AD и BC .

AD и BC параллельны, BD секущая, тогда angle ADB=angle DBC=40{}^circ .

angle ABD=angle ABC-angle DBC=110{}^circ -40{}^circ =70{}^circ.

Ответ: 70.

Задание 4. В параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла A, пересекающая сторону BC в точке K. Найдите KC, если AB = 4, а периметр параллелограмма равен 20.

Решение:

ABCD – параллелограмм, тогда AB = DC = 4.

AK – биссектриса угла А, значит, angle BAK=angle KAD;

angle KAD=angle AKC как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AK.

Получили, что triangle ABK – равнобедренный и AB=BK=4.

P_{ABCD}=left(AB+ADright)cdot 2=20, значит AB+AD=10Rightarrow AD=6,

KC=BC-BK=6-4=2.

Ответ: 2.

Задание 5. Прямые m и n параллельны (см. рисунок). Найдите angle 3, если angle 1=117{}^circ , angle 2=24{}^circ . Ответ дайте в градусах.

Решение:

mparallel n, angle 2=angle 4=24{}^circ (как накрест лежащие углы).

angle 1+angle 4+angle 3=180{}^circ (развернутый угол).

Тогда angle 3=180{}^circ -left(angle 1+angle 4right)=180{}^circ -left(117{}^circ +24{}^circ right)=39{}^circ .

Ответ: 39.

Задание 6. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и angle ACD=104{}^circ . Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть диагонали пересекаются в точке О, т.е. ACcap BD=O.

AC=2ABRightarrow AB=displaystyle frac{1}{2}cdot ACRightarrow AB=AO=OC=CD.

AB и CD параллельны, АС – секущая, Rightarrow angle BAC=angle ACD=104{}^circ .

AB=AORightarrow triangle BAO – равнобедренный, отсюда угол между диагоналями равен:

angle BOA=displaystyle frac{180{}^circ -104{}^circ }{2}=38{}^circ .

Ответ: 38.

Если вам понравился наш материал на тему “Углы при параллельных прямых и секущей” – записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

Пусть прямая с пересекает параллельные прямые и . При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.

Углы и — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть

Конечно, углы и , и — тоже вертикальные.

Углы и — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна .

Углы и (а также и , и , и ) — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны.

Углы и — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы и — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна , то есть

Углы и (а также и , и , и ) называются соответственными.

Соответственные углы равны, то есть

Углы и (а также и , и , и ) называют накрест лежащими.

Накрест лежащие углы равны, то есть

Чтобы применять все эти факты в решении задач ЕГЭ, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть пару параллельных прямых и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это — один из шагов, из которых и состоит решение.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

1. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении , считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен .

Напомним, что биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Пусть — биссектриса тупого угла . По условию, отрезки и равны и соответственно.

Рассмотрим углы и . Поскольку и параллельны, — секущая, углы и являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник — равнобедренный, следовательно, .

Периметр параллелограмма — это сумма всех его сторон, то есть

2. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы и . Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Нарисуйте параллелограмм и его диагональ. Заметив на чертеже накрест лежащие углы и односторонние углы, вы легко получите ответ: .

3. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна ? Ответ дайте в градусах.

Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.

Давайте посмотрим на чертеж. По условию, , то есть .

Углы и — односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,

Прямая линия. Признаки параллельности прямых линий.

Если две произвольные прямые AB и СD пересечены третьей прямой MN, то образовавшиеся при этом углы получают попарно такие названия:

соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7;

внутренние накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;

внешние накрест лежащие углы: 1 и 7, 2 и 8;

внутренние односторонние углы: 3 и 6, 4 и 5;

внешние односторонние углы: 1 и 8, 2 и 7.

Описанные углы видны на рисунке:

Теорема.

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сформировавшиеся:

1. внутренние накрест лежащие углы одинаковы;

2. внешние накрест лежащие углы одинаковы;

3. соответственные углы одинаковы;

4. сумма внутренних односторонних углов будет 2d = 180 0 ;

5. сумма внешних односторонних углов будет 2d = 180 0 ;

Данную теорему иллюстрирует рисунок:

Имеются две параллельные прямые AB и СD, их пересекает третья прямая MN.

1. ∠ 4 = ∠ 6 и ∠ 3 = ∠ 5;

2. ∠ 2 = ∠ 8 и ∠ 1 = ∠ 7;

3. ∠ 2 =∠ 6, ∠ 1 = ∠ 5, ∠ 3 = ∠ 7, ∠ 4 = ∠ 8;

4. ∠ 3 + ∠ 6 = 2d и ∠ 4 + ∠ 5 = 2d;

5. ∠ 2 + ∠ 7 = 2d и ∠ 1 + ∠ 8 = 2d.

1. Из середины E того отрезка прямой MN, который размещается между параллельными прямыми, прочертим на СD перпендикуляр EK и продолжим его до пересечения с AB в точке L. Так как перпендикуляр к одной из параллельных есть также и перпендикуляр к другой параллельной, то образовавшиеся при этом треугольники (заштрихованные на чертеже) – оба прямоугольные. Они одинаковы, потому что в них по равной гипотенузе и по одинаковому острому углу при точке E. Из равенства треугольников получаем, что внутренние накрест лежащие углы 4 и 6 одинаковы. Два прочих внутренних накрест лежащих угла 3 и 5 одинаковы, как дополнения до 2d к одинаковым углам 4 и 6 (как смежные с 4 и 6).

2. Внешние накрест лежащие углы равны соответственно внутренним накрест лежащим углам, как углы вертикальные.

Так, ∠ 2 = ∠ 4 и ∠ 8 = ∠ 6, но по доказанному ∠ 4 = ∠ 6.

Следовательно, ∠ 2 =∠ 8.

3. Соответственные углы 2 и 6 одинаковы, поскольку ∠ 2 = ∠ 4, а ∠ 4 = ∠ 6. Также убедимся в равенстве других соответственных углов.

4. Сумма внутренних односторонних углов 3 и 6 будет 2d, потому что сумма смежных углов 3 и 4 равна 2d = 180 0 , а ∠ 4 можно заменить идентичным ему ∠ 6. Также убедимся, что сумма углов 4 и 5 равна 2d.

5. Сумма внешних односторонних углов будет 2d, потому что эти углы равны соответственно внутренним односторонним углам, как углы вертикальные.

Из выше доказанного обоснования получаем обратные теоремы.

Когда при пересечении двух прямых произвольной третьей прямой получим, что:

1. Внутренние накрест лежащие углы одинаковы;

или 2. Внешние накрест лежащие углы одинаковые;

или 3. Соответственные углы одинаковые;

или 4. Сумма внутренних односторонних углов равна 2d = 180 0 ;

или 5. Сумма внешних односторонних равна 2d = 180 0 ,

Параллельность прямых

О чем эта статья:

10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение параллельности прямых

Начнем с главного — определимся, какие прямые параллельны согласно евклидовой геометрии. Мы недаром упомянули Евклида, ведь именно в его трудах, написанных за 300 лет до н. э., до нас дошли первые упоминания о параллельности.

Параллельными называются прямые в одной плоскости, не имеющие точек пересечения, даже если их продолжать бесконечно долго. Обозначаются они следующим образом: a II b.

Казалось бы, здесь все просто, но со времен Евклида над определением параллельных прямых и признаками параллельности прямых бились лучшие умы. Особый интерес вызывал 5-й постулат древнегреческого математика: через точку, которая не относится к прямой, в той же плоскости можно провести только одну прямую, параллельную первой. В XIX веке российский математик Н. Лобачевский смог опровергнуть постулат и указать на условия, при которых возможно провести как минимум 2 параллельные прямые через одну точку.

Впрочем, поскольку школьная программа ограничена евклидовой геометрией, вышеуказанное утверждение мы принимаем как аксиому.

На плоскости через любую точку, не принадлежащую некой прямой, можно провести единственную прямую, которая была бы ей параллельна.

Курсы по математике в онлайн-школе Skysmart помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Свойства и признаки параллельных прямых

Есть ряд признаков, по которым можно определить, что одна прямая параллельна другой. К счастью, свойства и признаки параллельности прямых тесно связаны, поэтому не придется запоминать много информации.

Начнем со свойств. Для этого проведем третью прямую, пересекающую параллельные прямые — она будет называться секущей. В результате у нас образуется 8 углов.

Если секущая проходит через две параллельные прямые, то:

    два внутренних односторонних угла образуют в сумме 180°:

∠4 + ∠6 = 180°; ∠3 + ∠5 = 180°.

два внутренних накрест лежащих угла равны между собой:

два соответственных угла равны между собой:

∠1 = ∠5, ∠3 = ∠7, ∠4 = ∠8, ∠2 = ∠6.

Если секущая образует перпендикуляр с одной из параллельных прямых, то она будет перпендикулярна и другой.

Вышеуказанные свойства являются одновременно признаками, по которым мы можем сделать вывод о параллельности прямых. Причем достаточно установить и доказать лишь один признак — остальные будут к нему прилагаться.

А сейчас посмотрим, как все это помогает решать задачи и практиковаться в определении параллельности двух прямых.

Задача 1

Прямые MN и KP пересекают две другие прямые, образуя несколько углов. Известно, что ∠1 = 73°; ∠3 = 92°; ∠2 = 73°. Требуется найти величину ∠4.

Решение

Поскольку ∠1 и ∠2 являются соответственными, их равенство говорит о том, что MN II KP. Следовательно, ∠3 = ∠MPK = 92°.

Согласно другому свойству параллельных прямых ∠4 + ∠MPK = 180°.

Задача 2

Две параллельные прямые а и b удалены друг от друга на расстояние 27 см. Секущая к этим прямым образует с одной из них угол в 150°. Требуется найти величину отрезка секущей, расположенного между а и b.

Решение

Поскольку а II b, значит ∠MKD + ∠KDN = 180°.

Соответственно, ∠MKD = 180° – ∠KDN = 180° – 150° = 30°.

Теперь рассмотрим треугольник KDM. Мы знаем, что отрезок DM представляет собой расстояние между прямыми а и b, а значит, DM ┴ b и наш треугольник является прямоугольным.

Поскольку катет, противолежащий углу в 30°, равен ½ гипотенузы, DM = 1/2DK.

[spoiler title=”источники:”]

http://www.calc.ru/Priznaki-Parallelnosti-Pryamykh-Liniy.html

http://skysmart.ru/articles/mathematic/parallelnost-pryamyh

[/spoiler]

Настало время разобрать теоремы, обратные признакам параллельности. Рассмотрим две параллельные прямые $a$ и $b$, пересеченные секущей $c$, и образованные секущей внутренние накрест лежащие углы $angle{A}$ и $angle{B}$. Если известно, что прямые параллельны ($aparallel{b}$), возможно ли сделать заключение, что углы $angle{A}$ и $angle{B}$ при этом равны?

Признаки параллельности все-таки «используются» в другую сторону: словом, нам известны признаки, на основе которых доказывается параллельность прямых. Давайте проверим, есть ли основания применять признаки не на посылке равенства или суммы углов, а на посылке параллельности.

Теорема о накрест лежащих углах

Теорема о накрест лежащих углах. Если прямые пересечены секущей и являются параллельными, то накрест лежащие углы равны.

Доказательство

Пусть параллельные прямые $a$ и $b$ и секущая $c$, пересекающая прямые в точках $A$ и $B$ соответственно, образуют пару внутренних накрест лежащих углов $1$ и $2$. Предположим, что $angle{1}neq{angle{2}}$, то есть заключение теоремы ложно.

Проведем через точку $A$ прямую $d$ и отметим на ней точку $P$. Рассмотрим $angle{PAB}$. Если $angle{1}neq{angle{2}},$ положим, что тогда $angle{PAB}=angle{1}$.

$angle{PAB}$ и $angle{1}$ — равные накрест лежащие углы для прямых $d$, $b$ и секущей $c$. Признак параллельности по накрест лежащим углам гласит, что $dparallel{b}$. Мы пришли к противоречию, поскольку через точку $A$ тогда будет проходит две параллельные прямые.

Следовательно накрест лежащие $angle1$ и $angle2$ равны. Теорема доказана.

Не забываем про внешние накрест лежащие углы!

Скрыть текст

Вновь тот же самый вопрос, что мы разбирали под признаки параллельности: накрест лежащие углы бывают внутренними и внешними, теорема, обратная признакам параллельности, доказывается под углы внутренние, при этом формулировка включает общее положение просто о накрест лежащих углах. Что там с углами внешними?

Опять же, равенство $angle{3}$ и $angle{4}$ — прямое следствие. У равных углов смежные углы равны, поэтому равенство $angle{1}=angle{2}$ позволяет «автоматически» заключать равенство  $angle{3}=angle{4}$.

Теорема о соответственных углах

Теорема о соответственных углах. Если прямые пересечены секущей и являются параллельными, то соответственные углы равны.

Доказательство

Даны параллельные прямые $a$ и $b$ и секущая $c$. Образованные при этом углы $angle{1}$ и $angle{2}$ будут равны как накрест лежащие. Рассмотрим $angle{3}$: он вертикальный с $angle{2}$, следовательно равный ему. Поскольку $angle{1}=angle{2}$, а $angle{2}=angle{3}$, соответственные углы $angle{1}$ и $angle{3}$ будут равны. Теорема о соответственных углах доказана.

Задача. Прямые $a$ и $b$ пересекаются секущими $c$ и $d$. Известно, что $angle{A}=107^circ$, $angle{B}=73^circ$, а $angle{C}=92^circ$. Чему равняется $angle{x}$?

Дано:

$a$, $b$, $c$, $d$
$angle{A}=107^circ$
$angle{B}=73^circ$
$angle{C}=92^circ$

Решение. Определим, параллельны ли прямые $a$ и $b$. Нам известно, что равенство соответственных углов является необходимым и достаточным условием параллельности. Рассмотрим угол $angle{D}$. Он смежный с $angle{A}$, откуда получаем:

$$angle{D}=180^circ-107^circ=73^circ$$

Углы $angle{D}$ и $angle{B}$ равны, они являются соответственными при прямых $a$ и $b$. Следовательно $aparallel{b}$. Раз прямые параллельны, то соответственные углы $angle{C}$ и $angle{x}$ тоже равны.

Ответ: $angle{x}=92^circ$.

Теорема о сумме односторонних углов

Теорема о сумме односторонних углов. Если прямые пересечены секущей и являются параллельными, то сумма односторонних углов равняется $180^circ$.

Доказательство

Даны параллельные прямые $a$ и $b$ и секущая $c$. Предположим, что образованные при этом углы $angle{1}$ и $angle{2}$ в сумме дают $180^circ$. Поскольку прямые $a$ и $b$ параллельны, соответственные углы $angle{1}$ и $angle{3}$ будут равны. Углы $angle{2}$ и $angle{3}$ смежные, поэтому $angle{2}+angle{3}=180^circ$.

При условии, что $angle{1}=angle{3}$, получаем:

$$angle{1}+angle{2}=180^circ$$

Сумма односторонних углов $angle{1}$ и $angle{2}$ равна $180^circ$. Теорема доказана.

Не забываем про внешние односторонние углы!

Скрыть текст

Сумма внешних односторонних углов также равняется $180^circ$, поскольку они являются смежными к внутренним односторонним. У нас — две пары смежных углов, одна из которых в сумме дает $180^circ$. Как видите, теоремы, обратные признакам параллельности, в доказательстве ведут себя как и признаки параллельности.

Следствие из теоремы о сумме односторонних углов

Давайте представим частный случай, что секущая $c$ при параллельных прямых $a$ и $b$ является перпендикуляром к прямой $a$.

Теперь подумаем: будет ли она также перпендикулярна к $b$?

Если прямые параллельны, то сумма односторонних углов равняется $180^circ$. Рассмотрим углы $angle{1}$ и $angle{2}$. По условию $angle{1}=90^circ$. Значит, заключаем, что $angle{2}$ также равняется $90^circ$. Следовательно секущая $c$, перпендикулярная к прямой $a$, будет также перпендикулярна к прямой $b$.

Следствие из теоремы о сумме односторонних углов. Прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, будет также перпендикулярна ко второй.

Учтите, что это следствие мы привязали к теореме о сумме односторонних углов лишь «для красоты», в стиле: «Пусть будет логичная завершающая точка». Это следствие можно вывести из любой теоремы выше.

Комментарий: необходимость и достаточность

А вот, теперь мы формально доказали, что сумма односторонних углов в $180^circ$, равенство накрест лежащих углов и равенство соответственных углов — необходимые и достаточные условия параллельности прямых. Сформулировав и доказав обратные теоремы к признакам в данном уроке, мы доказали необходимость каждого условия для параллельности.

Главный вывод: параллельность необходима и достаточна, чтобы заключить о равенстве накрест лежащих или соответственных углов, а также о сумме односторонних углов. В обратную сторону — то же самое!

Так что параллельных прямых, в которых бы, например, накрест лежащие углы были не равны, просто не существует в природе. Параллельность и ее признаки равнозначны.  

Решим задачу

Задача повышенного уровня сложности. Попробуйте решить сами. Все непременно получится!

Два тела $A_1$ и $C_1$ подвешены на концах нити, перекинутой через блоки $A$ и $C$. Третье тело $B_1$ подвешено на той же нити в точке $B$ и уравновешивает тела. Известно, что ${AA_1parallel{BB_1}}parallel{CC_1}$. Можно ли утверждать, что $angle{ABC}$ равняется сумме углов $angle{A_{1}AB}$ и $angle{C_{1}CB}?$

Показать решение

Спрятать решение

Дано:

$angle{ABC}$, $angle{A_{1}AB}$, $angle{C_{1}CB}$
${AA_1parallel{BB_1}}parallel{CC_1}$

Решение

Найти:

$angle{ABC}=angle{A_{1}AB}+angle{C_{1}CB}$

Построим продолжение для отрезков $AB$ и $CB$. Отметим точки на прямых $AA_1$ и $CC_1$ как $A_2$ и $C_2$ соответственно.

Для параллельных прямых $CC_1,$ $BB_1$ и секущей $CA_2$ углы $angle{C_{1}CB}$ и $angle{B_{1}BA_2}$ — соответственные. Следовательно равные. Аналогично: $angle{A_{1}AB}=angle{B_{1}BC_2}$, при параллельных прямых $AA_1$, $BB_1$ и секущей $AC_2$.

Угол $angle{A_{2}BC_2}$ следовательно равен сумме углов $angle{A_{1}AB}+angle{C_{1}CB}$. Также угол $angle{A_{2}BC_2}$ равен углу $angle{ABC}$ как вертикальный.

Откуда получаем, что $angle{ABC}=angle{A_{1}AB}+angle{C_{1}CB}$. Что и требовалось доказать.

Если вы решали через сумму односторонних углов и накрест лежащие углы, решение могло получиться объемнее. Но какая разница. Главное, что правильно.

Добавить комментарий