Как найти внутренний радиус треугольника - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Радиус описанной около треугольника окружности

Радиус описанной около треугольника окружности можно найти по одной из двух общих формул.

Кроме того, для правильного и прямоугольного треугольников существуют дополнительные формулы.

Радиус описанной около произвольного треугольника окружности

То есть радиус описанной окружности равен отношению длины стороны треугольника к удвоенному синусу противолежащего этой стороне угла.

В общем виде эту формулу записывают так:

То есть чтобы найти радиус описанной около треугольника окружности, надо произведения длин сторон треугольника разделить на четыре площади треугольника.

Если площадь треугольника находить по формуле Герона

где p — полупериметр,

то получим формулу радиуса описанной около треугольника окружности через длины сторон:

Обе эти формулы можно применить к треугольнику любого вида. Следует только учесть положение центра.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника, напротив тупого угла.

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника

Формула:

То есть в прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.

Обычно гипотенузу обозначают через c (AB=c) и формулу записывают так:

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника

Если без иррациональности в знаменателе, то

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности:

Треугольник. Соотношения между сторонами треугольника и радиусами вписанного и описанного кругов.

По двум сторонам a и b треугольника ABC и радиусу R описанного круга вычислить третью сторону x треугольника.

Применяя к этому четырехугольнику теорему Птоломея будем иметь:

откуда легко найдем x .

Задача будет иметь другое решение, если предположим, что стороны a и b лежат по одну сторону от центра. Применяя к этому случаю теорему Птоломея, мы получим следующее уравнение:

Теорема.

Произведение двух сторон треугольника равно:

1. произведению диаметра описанного круга на высоту, проведенную к третьей стороне.

2. квадрату биссектрисы угла, заключенного между этими сторонами, сложенному с произведением отрезков третьей стороны.

1.Обозначим стороны треугольника ABC через a, b и с, высоту, опущенную на сторону a через h_a , а радиус описанного круга через R.Проведем диаметр AD и соединим D с B.

Треугольники ABD и AEC подобны, потому что углы B и E прямые и D= С , как углы вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу.

Из этой формулы легко определить величину радиуса R описанного круга.

По первой теореме мы имеем: bс = 2Rh_a , где b и с есть две стороны треугольника, h_a – высота, опущенная на третью сторону треугольника, и R – радиус описанного круга.

Из этого равенства выводим:

Исключим из этой формулы высоту h_a: для этого умножим числитель и знаменатель дроби на a. Тогда, заменив произведение h_a a удвоенной площадью треугольника (которую обозначим S), получим:

Чтобы найти радиус r внутреннего вписанного круга рассмотрим треугольник АВС со вписанной в него окружностью. Отметим центр вписанной окружности и примем во внимание, что прямые OA, OB и OС разделяют данный треугольник на три других треугольника, у которых основаниями служат стороны данного треугольника, а высотой – радиус r.

Поэтому: S=1/2ar + 1/2br + 1/2cr = r ½ (a+b+c) = rp.

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Типы треугольников

По величине углов

По числу равных сторон

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a	=	b	=	c	= 2R
sin α	sin β	sin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 – 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Медианы треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

m_a = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 – a 2

m_b = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 – b 2

m_c = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 – c 2

Биссектрисы треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

l_a = 2√ bcp ( p – a ) b + c

l_b = 2√ acp ( p – b ) a + c

l_c = 2√ abp ( p – c ) a + b

где p = a + b + c 2 – полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

l_a = 2 bc cos α 2 b + c

l_b = 2 ac cos β 2 a + c

l_c = 2 ab cos γ 2 a + b

Высоты треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

h_a = b sin γ = c sin β

h_b = c sin α = a sin γ

h_c = a sin β = b sin α

Окружность вписанная в треугольник

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b – c )( b + c – a )( c + a – b ) 4( a + b + c )

Окружность описанная вокруг треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Формулы площади треугольника

Формула Герона

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

∆MNK => α = α ₁, β = β ₁, γ = γ ₁ и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k – коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

[spoiler title=”источники:”]

http://www.calc.ru/Treugolnik-Sootnosheniya-Mezhdu-Storonami-Treugolnika-I-Radi.html

http://ru.onlinemschool.com/math/formula/triangle/

[/spoiler]

Источник

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, описанной около произвольного (любого), прямоугольного или равностороннего треугольника. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного теоретического материала.

Формулы вычисления радиуса описанной окружности
- Произвольный треугольник
- Прямоугольный треугольник
- Равносторонний треугольник
Примеры задач

Формулы вычисления радиуса описанной окружности

Произвольный треугольник

Радиус окружности, описанной вокруг любого треугольника, рассчитывается по формуле:

где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь.

Прямоугольный треугольник

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы или высоте, проведенной к гипотенузе.

Равносторонний треугольник

Радиус описанной около правильного треугольника окружности вычисляется по формуле:

где a – сторона треугольника.

Примеры задач

Задание 1
Дан треугольник со сторонами 4, 6 и 9 см. Найдите радиус описанной около него окружности.

Решение
Для начала нам необходимо найти площадь треугольника. Т.к. нам известны длины всех его сторон, можно применить формулу Герона:

Теперь мы можем воспользоваться первой формулой из перечисленных выше для расчета радиуса круга:

Задание 2
Дан треугольник, у которого известны две стороны из трех: 6 и 8 см. Найдите радиус описанной вокруг него окружности.

Решение
Треугольник со сторонами 6 и 8 см может быть только прямоугольным, причем известные по условиям задачи стороны являются его катетами. Таким образом, мы можем найти гипотенузу фигуры, воспользовавшись теоремой Пифагора:

Как мы знаем, радиус круга, описанного вокруг прямоугольного треугольника, равняется половине его гипотенузы, следовательно: R = 10 : 2 = 5.

Источник

Вокруг любого треугольника можно описать окружность. Центр описанной вокруг треугольника окружности может лежать как во внутреннем пространстве, так и на стороне треугольника или даже вне его. Для того чтобы найти радиус окружности, описанной вокруг произвольного треугольника, необходимо произведение его сторон разделить на четыре квадратных корня из полупериметра, умноженного на его разность с каждой стороной.

Равнобедренный треугольник имеет стороны a, a, b, подставив которые в вышеприведенную формулу, можно значительно ее упростить и привести к следующему виду:

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит в середине гипотенузы, разделяя ее на две части, каждая из которых соединяется с вершинами треугольника, следовательно, является радиусом. Таким образом, чтобы найти радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, необходимо гипотенузу разделить на два:

Или этот же радиус можно найти, подставив вместо гипотенузы катеты по теореме Пифагора:

Источник

Радиус описанной окружности около треугольника онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти радиус описанной около треугольника окружности. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку “Вычислить”. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Содержание

Радиус окружности описанной около треугольника, если известны три стороны треугольника
Радиус окружности описанной около треугольника, если известны сторона a и противолежащий угол A
Радиус окружности описанной около треугольника, если известны стороны b и c треугольника и угол между ними A
Радиус окружности описанной около треугольника, если известны сторона треугольника a и прилежащие углы B и C

1. Радиус окружности описанной около треугольника, если известны три стороны треугольника

Пусть известны три стороны a, b, c треугольника. Найдем радиус описанной окружности около треугольника.

Площадь треугольника по трем сторонам a, b, c и радиусу R описанной окружности имеет вид:

откуда

Площадь треугольника по трем сторонам имеет вид:

где

Подставляя (2) в (1), получим формулу радиуса описанной окружности около треугольника:

где p вычисляется из формулы (3).

Пример 1. Известны три стороны треугольника: ( small a=6, b=5, c=4.5 ). Найти радиус окружности описанной около треугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника воспользуемся формулой (4), где ( small р ) вычисляется из формулы (3).

Найдем p из (2):

Подставим значения a, b, c, p в (1):

Ответ:

2. Радиус окружности описанной около треугольника, если известны сторона a и противолежащий угол A

Пусть известны сторона a и противолежащий угол A. Найдем радиус описанной окружности около треугольника. Из расширенной теоремы синусов имеем:

Откуда:

Пример 2. Сторона треугольника равна: а противолежащий угол ( small angle A=35°.) Найти радиус окружности описанной около треугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника воспользуемся формулой (5). Подставим значения и ( small angle A=35° ) в (5):

Ответ:

3. Радиус окружности описанной около треугольника, если известны стороны b и c треугольника и угол между ними A

Пусть известны стороны b и c треугольника и угол между ними A. Найдем радиус описанной окружности около треугольника.

Из теоремы косинусов, имеем:

или

Подставляя (6) в (5), получим требуемую формулу:

Пример 3. Известны две стороны треугольника: и угол между ними: ( small angle A=30°. ) Найти радиус окружности описанной около треугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника воспользуемся формулой (7). Подставим значения и ( small angle A=30° ) в (7):

Ответ:

4. Радиус окружности описанной около треугольника, если известны сторона треугольника a и прилежащие углы B и C

Пусть известны сторона a треугольника и прилежащие к ней углы B и C. Найдем радиус описанной окружности около треугольника. Как известно, сумма углов треугольника равна 180°. Поэтому легко найти треий угол треугольника: ( small angle A=180°- (angle B+ nangle C). ) Тогда для нахождения радиуса описанной около треугольника окружности можно воспользоваться формулой (5):

Получили следующую формулу:

Пример 4. Известны сторона треугольника: и прилежащие к ней углы: ( small angle B=21°, ;angle C=34°. ) Найти радиус окружности описанной около треугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника воспользуемся формулой (8). Подставим значения и ( small angle B=21°, ;angle C=34° ) в (8):

Ответ:

Смотрите также:

Радиус описанной окружности около равнобедренного треугольника онлайн
Радиус описанной окружности около равностороннего треугольника онлайн
Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника онлайн

Источник

Как найти радиус вписанной окружности треугольника

Содержание:

Окружность, вписанная в треугольник — как найти радиус
Свойства вписанной в треугольник окружности
- Первое свойство
- Второе свойство
- Третье свойство
Формулы вычисления радиуса вписанной окружности
- Произвольный треугольник
- Прямоугольный треугольник
- Равнобедренный треугольник
- Равносторонний треугольник
Как найти через высоту или стороны, примеры решения

Окружность, вписанная в треугольник — как найти радиус

Определение

Вписанной в треугольник окружностью называют такую окружность, которая занимает внутреннее пространство геометрической фигуры, соприкасаясь со всеми ее сторонами.

В таком случае грани треугольника представляют собой касательные к этой окружности. Сама геометрическая фигура с тремя углами считается описанной вокруг рассматриваемой окружности.

Вписанная окружность

Источник: people-ask.ru

Свойства вписанной в треугольник окружности

Окружность, которую вписали в треугольник, обладает определенными свойствами. Основные из них можно записать таким образом:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Центр окружности, которую вписали в треугольник, совпадает с точкой пересечения биссектрис этой геометрической фигуры.
Во внутреннее пространство любого треугольника можно вписать лишь одну окружность.
Формула радиуса окружности, который вписали во многоугольник с тремя углами, будет иметь такой вид:

Радиус

Источник: people-ask.ru

В представленной формуле радиуса окружности использованы следующие величины:

S – является площадью треугольника;
р – представляет собой полупериметр геометрической фигуры;
a, b, c – являются сторонами треугольника.

Перечисленные свойства необходимо доказать.

Первое свойство

Требуется доказать, что центр окружности, которую вписали в фигуру с тремя углами, совпадает с точкой пересечения биссектрис.

Доказательство построено в несколько этапов:

Необходимо опустить из центральной точки окружности перпендикулярные прямые OL, OK и OM, которые опускаются на стороны треугольника АВС. Из вершин треугольника следует провести прямые, соединяющие их с центром фигуры OA, OC и OB.

3 Доказательство

Источник: people-ask.ru

Далее можно рассмотреть пару треугольников AOM и AOK. Можно отметить, что они являются прямоугольными, так как OM и OK являются перпендикулярами к сторонам AC и AB. Гипотенуза OA является общей для пары этих фигур.
Исходя из того, что касательная к окружности является перпендикуляром к радиусу, который проведен в точку касания, согласно свойству касательной к окружности, то катеты OМ и OК представляют собой радиусы окружности и, следовательно, равны.
Согласно полученным утверждениям, можно сделать вывод о равенстве прямоугольных треугольников AOМ и AOК по гипотенузе и катету. Таким образом, углы OAМ и OAК тоже равны. Получается, что OA является биссектрисой угла BAC.
Аналогично можно доказать, что OC является биссектрисой угла ACB, а OB – биссектрисой угла ABC.
Таким образом, биссектрисы треугольника совпадают в одной точке, которая представляет собой центр вписанной окружности.

Данное свойство окружности доказано.

Второе свойство

Необходимо представить доказательства свойства окружности, согласно которому в любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.

Доказательство состоит из нескольких этапов:

Окружность получится вписать в треугольник в том случае, когда существует точка, удаленная на равные расстояния от сторон геометрической фигуры.
Можно построить пару биссектрис ОА и ОС. Из точки, в которой они пересекаются, необходимо опустить перпендикулярные прямые OK, OL и OM ко всем граням многоугольника с тремя углами ABC.

4 Второе свойство

Источник: people-ask.ru

Затем следует рассмотреть пару треугольников AOK и AOM.
Эти фигуры обладают общей гипотенузой АО. Углы OAK и OAM равны, так как OA является биссектрисой угла KAM. Углы OKA и OMA прямые, то есть также равны, так как OK и OM являются перпендикулярами к сторонам AB и AC.
Исходя из того, что две пары углов равны, можно сделать вывод о равенстве третьей пары AOM и AOK.
Таким образом, получилось подтвердить равенство треугольников AOK и AOM по стороне AO и двум углам, которые к ней прилегают.

5 Второе свойство

Источник: people-ask.ru

Удалось определить равенство сторон ОМ и ОК, то есть они удалены на одинаковое расстояние от сторон геометрической фигуры АС и АВ.
Аналогично можно доказать, что OM и OL равны, то есть равноудалены от граней AC и BC.
Таким образом, точка равноудалена от сторон треугольника, что делает ее центром окружности, которая вписана в этот многоугольник.
Аналогичным способом можно определить точку во внутреннем пространстве любой геометрической фигуры с тремя углами, которая будет удалена на равные расстояния от его сторон, и представляет собой центр окружности, вписанной в этот треугольник.
Исходя из вышесказанного, можно сделать вывод о том, что в любой треугольник можно вписать окружность.
Необходимо заметить, что центральная точка окружности совпадает с точкой, в которой пересекаются биссектрисы треугольника.
Можно допустить ситуацию, при которой в геометрическую фигуру с тремя углами можно вписать две и более окружности.
Необходимо провести три прямые из вершин геометрической фигуры к центральной точке окружности, вписанной в нее, и опустить перпендикулярные прямые к каждой грани треугольника. Таким образом, будет доказано, что рассматриваемая окружность лежит на пересечении биссектрис треугольника, согласно доказательству ее первого свойства.
Получим совпадение центральной точки окружности и центра первой окружности, которая уже была вписана в этот треугольник, а ее радиус соответствует перпендикуляру, опущенному на сторону треугольника так же, как и в первом случае. Можно сделать вывод о совпадении этих окружностей.
Аналогично любая другая окружность, вписанная в геометрическую фигуру с тремя углами, будет совпадать с первой окружностью.
Таким образом, в треугольник получается вписать лишь одну окружность.

Свойство доказано.

Третье свойство

Требуется доказать, что радиус окружности, которую вписали в геометрическую фигуру с тремя углами, представляет собой отношение площади треугольника к полупериметру:

6 Формула

Источник: people-ask.ru

Кроме того, необходимо представить доказательства следующему равенству:

7 Формула

Источник: people-ask.ru

Доказательство:

8 Треугольник

Источник: people-ask.ru

Следует рассмотреть произвольный треугольник АВС, стороны которого соответствуют a, b и c. Для расчета полупериметра данного треугольника целесообразно использовать формулу:

9 Формула

Источник: people-ask.ru

Центральная точка окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис геометрической фигуры с тремя углами. Прямые OA, OB и OC, которые соединяют O с вершинами треугольника АВС, разделяют геометрическую фигуру на три части: AOC, COB, BOA. Площадь треугольника ABC представляет собой сумму площадей этих трех частей.

10 Формула

Источник: people-ask.ru

Исходя из того, что площадь какого-либо треугольника представляет собой половину произведения его основания на высоту, а высота треугольников AOC, COB, BOA рассчитывается, как радиус окружности r, то площади треугольников AOC, COB и BOA можно определить по формулам:

11 Формула

Источник: people-ask.ru

Далее необходимо представить площадь S геометрической фигуры АВС, как сумму площадей нескольких треугольников:

12 Формула

Источник: people-ask.ru

Следует отметить, что второй множитель является полупериметром геометрической фигуры с тремя углами АВС, что можно записать в виде равенства:

13 Формула

Источник: people-ask.ru

14 Формула

Источник: people-ask.ru

Таким образом, доказано равенство радиуса вписанной окружности и отношения площади треугольника к полупериметру.
Можно записать формулу Герона, смысл которой заключается в следующем: площадь треугольника (S) равняется квадратному корню из произведения его полупериметра (p) на разности полупериметра и каждой из его сторон (a, b, c)

15 Формула

Источник: people-ask.ru

Далее следует преобразовать формулу для расчета радиуса:

16 Формула

Источник: people-ask.ru

Свойство окружности доказано.

Формулы вычисления радиуса вписанной окружности

Параметры окружности, которую вписали в геометрическую фигуру с тремя углами, можно рассчитать с помощью стандартных формул. Радиус окружности будет определен в зависимости от типа треугольника.