Как найти внутренний угол правильного двадцатиугольника

ldremoumat

Двадцатиугольник
Правильный двадцатиугольник
Тип	Правильный многоугольник
Рёбра	[math]displaystyle{ 20 }[/math]
Символ Шлефли	[math]displaystyle{ {20}, mathrm{t}{10}, mathrm{tt}{5} }[/math]
Диаграмма Коксетера — Дынкина
Вид симметрии	Диэдрическая группа ([math]displaystyle{ D_{20} }[/math])
Площадь	[math]displaystyle{ 5t^2 (1 + sqrt{5}+sqrt{5 + 2sqrt{5}}) }[/math]
Внутренний угол	[math]displaystyle{ 162^circ }[/math]
Свойства
выпуклый, вписанный, равносторонний, равноугольный[en], изотоксальный

Двадцатиугольник – это многоугольник с двадцатью сторонами и двадцатью углами. Сумма внутренних углов любого двадцатиугольника составляет [math]displaystyle{ 3240^{circ} }[/math].

Правильный двадцатиугольник

Правильный двадцатиугольник имеет символ Шлефли [math]displaystyle{ {20} }[/math], и может быть построен как усечённый десятиугольник, [math]displaystyle{ mathrm{t}{10} }[/math], или дважды усечённый пятиугольник, [math]displaystyle{ mathrm{tt}{5} }[/math].

Каждый из внутренних углов в правильном двадцатиугольнике равен [math]displaystyle{ 162^{circ} }[/math], а это значит, что каждый из внешних углов равен [math]displaystyle{ 18^{circ} }[/math].

Площадь правильного двадцатиугольника с длиной стороны [math]displaystyle{ t }[/math] равна

[math]displaystyle{ A={5}t^2(1+sqrt{5}+sqrt{5+2sqrt{5}}) simeq 31.5687cdot t^2. }[/math]

Площадь многоугольника, выраженная через радиус [math]displaystyle{ R }[/math] его описанной окружности равна

[math]displaystyle{ A=frac{5R^2}{2}(sqrt{5}-1); }[/math]

Поскольку площадь круга равна [math]displaystyle{ pi R^2, }[/math] правильный двадцатиугольник заполняет примерно [math]displaystyle{ 98,36~% }[/math] своей описанной окружности.

Построение

Так как [math]displaystyle{ 20 = 2^2cdot5 }[/math], правильный двадцатиугольник можно построить при помощи циркуля и линейки, или при помощи разбиения сторон правильного десятиугольника, или двойного разбиения сторон правильного пятиугольника.

Золотое сечение в правильном двадцатиугольнике

• При построении с заданной длиной стороны, дуга окружности с центром [math]displaystyle{ C }[/math] и радиусом [math]displaystyle{ overline{CD} }[/math], разделяет сегмент [math]displaystyle{ overline{E_{20}F} }[/math] в отношении, равном золотому сечению.

[math]displaystyle{ frac{overline{ E_{20}E_1}}{overline{E_1 F}} = frac{overline{E_{20} F}}{overline{ E_{20}E_1}} = frac{1+ sqrt{5}}{2} = Phi approx 1.618 }[/math]

Симметрия

Симметрии правильного двадцатиугольника образуют диэдральную группу [math]displaystyle{ mathrm{D}_{20} }[/math]. В ней можно выделить пять подгрупп диэдральных симметрий ([math]displaystyle{ mathrm{D}_{10}, mathrm{D}_5, mathrm{D}_4, mathrm{D}_2 }[/math] и [math]displaystyle{ mathrm{D}_1 }[/math]), и шесть циклических подгрупп ([math]displaystyle{ mathrm{Z}_{20}, mathrm{Z}_{10}, mathrm{Z}_5, mathrm{Z}_4, mathrm{Z}_2 }[/math] и [math]displaystyle{ mathrm{Z}_1 }[/math]). Все различные подгруппы симметрий правильного двадцатиугольника могут быть графически отображены диаграммой из [math]displaystyle{ 16 }[/math] элементов.

В данной диаграмме, предложенной Джоном Конвеем, каждая подгруппа симметрии обозначена буквой и собственным порядком.^[1] Вся группа симметрий названа [math]displaystyle{ mathrm{r}40 }[/math], а тривиальная подгруппа, соответствующая полному отсутствию симметрии, обозначена как [math]displaystyle{ mathrm{a}1 }[/math]. Диэдрические группы симметрии делятся на те, оси симметрий которых проходят только через вершины ([math]displaystyle{ mathrm{d} }[/math] — diagonal), только через рёбра ([math]displaystyle{ mathrm{p} }[/math] — perpendicular) или через и то, и другое (такая подгруппа обозначена буквой [math]displaystyle{ mathrm{i} }[/math]). Циклические симметрии обозначены буквой [math]displaystyle{ mathrm{g} }[/math] (англ. gyration) и своим порядком.

Группа симметрий любого неправильного двадцатиугольника образует подгруппу [math]displaystyle{ mathrm{D}_{20} }[/math]. Среди них наиболее симметричными являются фигуры, соответствующие симметриям [math]displaystyle{ mathrm{d}20 }[/math] (изогональный двадцатиугольник, построенный при помощи десяти зеркал с чередованием длинных и коротких рёбер) и [math]displaystyle{ mathrm{p}20 }[/math] (изотоксальный двадцатиугольник, в котором все стороны равны между собой, но внутренние углы при вершинах чередуются). Эти две формы двойственны^[en] друг другу и каждая из них обладает половиной симметрий правильного двадцатиугольника.

Разбиения

Двадцатиугольник, разбитый на 180 ромбов

Правильное разбиение

Изотоксальное разбиение

По Коксетеру, любой зоногон ([math]displaystyle{ 2m }[/math]-угольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны друг другу) может быть разбит на [math]displaystyle{ m(m-1)/2 }[/math] параллелограммов^[2]. В частности, это так для всех правильных многоугольников с чётным числом сторон — в этом случае все параллелограммы являются ромбами. Для двадцатиугольника [math]displaystyle{ m=10 }[/math], а значит, его можно разбить на [math]displaystyle{ 45 }[/math] параллелограммов: [math]displaystyle{ 5 }[/math] квадратов и [math]displaystyle{ 4 }[/math] набора ромбов — по [math]displaystyle{ 10 }[/math] в каждом. Это разбиение основано на проекции Декеракта в виде многоугольника Петри с [math]displaystyle{ 45 }[/math] гранями из [math]displaystyle{ 11520 }[/math]. Согласно данным из последовательности A006245, количество всевозможных описанных разбиений [math]displaystyle{ 20 }[/math]-угольника равно [math]displaystyle{ 18410581880 }[/math], если зеркальные и повёрнутые копии разбиения считать различными.

Изображение декеракта и примеры разбиения 20-угольника на 45 ромбов

Декеракт

Связанные многоугольники

Икосаграмма — звёздчатый многоугольник с двадцатью сторонами, имеющий символ Шлефли [math]displaystyle{ {20/n} }[/math]. Есть три правильных икосаграммы с символами Шлефли [math]displaystyle{ {20/3} }[/math], [math]displaystyle{ {20/7} }[/math] и [math]displaystyle{ {20/9} }[/math]. Есть также ещё 5 звёздчатых многоугольников с тем же относительным расположением вершин: [math]displaystyle{ 2{10} }[/math], [math]displaystyle{ 4{5} }[/math], [math]displaystyle{ 5{4} }[/math], [math]displaystyle{ 2{10/3} }[/math], [math]displaystyle{ 4{5/2} }[/math] и [math]displaystyle{ 10{2} }[/math].

n	1	2	3	4	5
Форма	Выпуклый многоугольник	Составной	Звёздчатый многоугольник	Составной
Фото	[math]displaystyle{ {20/1} = {20} }[/math]	[math]displaystyle{ {20/2} = 2{10} }[/math]	[math]displaystyle{ {20/3} }[/math]	[math]displaystyle{ {20/4} = 4{5} }[/math]	[math]displaystyle{ {20/5} = 5{4} }[/math]
Внутренний угол	[math]displaystyle{ 162^circ }[/math]	[math]displaystyle{ 144^circ }[/math]	[math]displaystyle{ 126^circ }[/math]	[math]displaystyle{ 108^circ }[/math]	[math]displaystyle{ 90^circ }[/math]
n	6	7	8	9	10
Форма	Составной	Звёздчатый многоугольник	Составной	Звёздчатый многоугольник	Составной
Фото	[math]displaystyle{ {20/6} = 2{10/3} }[/math]	[math]displaystyle{ {20/7} }[/math]	[math]displaystyle{ {20/8} = 4{5/2} }[/math]	[math]displaystyle{ {20/9} }[/math]	[math]displaystyle{ {20/10} = 10{2} }[/math]
Внутренний угол	[math]displaystyle{ 72^circ }[/math]	[math]displaystyle{ 54^circ }[/math]	[math]displaystyle{ 36^circ }[/math]	[math]displaystyle{ 18^circ }[/math]	[math]displaystyle{ 0^circ }[/math]

Более глубокие усечения правильного десятиугольника и декаграммы могут привести к изогональным (вершинно-транзитивным) промежуточным формам икосаграмм с одинаково расположенными вершинами и двумя длинами ребер.^[3]

Примечания

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах. 

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте. 

Как быстро и эффективно исправить почерк?  Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.