Углы правильного многоугольника делятся на :
- центральный угол;
- внутренний угол;
- внешний угол.
Сумма внутреннего и внешнего угла равна (180°).
Сумма внутренних углов правильного многоугольника с (n) сторонами равна:
((n – 2)180°)
Для нахождения внутреннего угла используют формулу:
(alpha = frac{{{{180}^o}(n – 2)}}{n})
(n)– число сторон
Для нахождения внешнего угла используют формулу:
(varphi = frac{{{{360}^o}}}{n})
(n)– число сторон
Для нахождения центрального угла используют формулу:
(beta = frac{{{{360}^o}}}{n})
(n)– число сторон
Больше уроков и заданий по всем школьным предметам в онлайн-школе “Альфа”. Запишитесь на пробное занятие прямо сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!
Главная 
Учёба 
Найти внутренние и внешние углы многоугольника
Найти внутренние и внешние углы многоугольника
Укажите количество сторон многоугольника.
Формула расчёта внутренних и внешних углов многоугольника:
Внутренний угол=((n-2)*180)/n, Внешний угол=180-внутренний угол
n – количество сторон многоугольника. Сумма всех углов в равностороннем многоугольнике, имеющем n сторон, равна по этой формуле, которая разделяет на количество сторон. Во всех правильных многоугольниках все величины углов равны между собой.
Периметр многоугольника
Длина стороны многоугольника
Площадь правильного многоугольника
Калькулятор расчёта внутренних и внешних углов многоугольника, онлайн
Понравилась страница? Поделитесь ссылкой в социальных сетях. Поддержите проект!
Нет комментариев.
На этом уроке мы узнаем, какой многоугольник называют
правильным. А также выведем формулу для вычисления угла правильного n-угольника.
Прежде, чем мы приступим к изучению новой темы,
давайте вспомним, что мы уже знаем о многоугольниках.
Итак, на рисунке
изображены два произвольных многоугольника. Напомню, что многоугольником
называется часть плоскости, состоящая из простой замкнутой ломаной и
ограниченной ею внутренней области. Или иными словами, многоугольник –
это замкнутая ломаная без самопересечений. В зависимости от числа вершин или
сторон многоугольник называют треугольником, четырехугольником, пятиугольником и
т.д.
Давайте рассмотрим первый многоугольник A1A2A3A4A5. Он составлен из отрезков ,
,
,
,
. Причем смежные отрезки, то есть отрезки
и
,
,
и
,
и
,
и
не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки,
например, и
,
и
,
и
не имеют общих точек.
Точки ,
,
,
,
называются вершинами этого многоугольника, а отрезки
,
,
,
,
– его
сторонами.
Две вершины, которые
принадлежат одной стороне, например, и
,
,
, называются соседними.
Отрезок, соединяющий
две не соседние вершины многоугольника, называют его диагональю.
Например, отрезок А один А три – диагональ данного многоугольника.
Сумму длин всех сторон
многоугольника называют периметром.
Обратите внимание, что
рассматриваемый многоугольник имеет 5 вершин и 5 сторон, а поэтому его называют
пятиугольником.
Многоугольник разделяет
плоскость на две части, а именно, на внутреннюю область многоугольника и на
внешнюю.
Угол, образованный
двумя сторонами многоугольника, выходящими из одной вершины, и содержащий
многоугольник, называют внутренним углом многоугольника. А угол,
смежный внутреннему углу многоугольника при данной вершине, называют внешним
углом многоугольника при этой вершине. В общем случае внешний угол это
разность между 180° и внутренним углом.
Все многоугольники
делят на выпуклые и невыпуклые. Рассмотрим наши многоугольники.
Если во втором
многоугольнике провести прямую A1A2, то весь многоугольник лежит по одну сторону от этой
прямой. А вот, если провести прямую A3A4, то она разделит многоугольник на две части, лежащие
по разные стороны от этой прямой. Такой многоугольник называют невыпуклым.
Вернемся к первому
многоугольнику. Какую бы прямую, содержащую одну из его сторон, мы не провели,
например, A1A2 или A4A5 и т.д., многоугольник всегда будет лежать по одну
сторону от любой подобной прямой. Такой многоугольник называют выпуклым.
Вспомним определения. Многоугольник называется выпуклым,
если он лежит по одну сторону от прямой, проходящей через любые две соседние вершины.
А вот если многоугольник лежит по разные стороны хотя бы от одной
прямой, проходящей через две соседние вершины, то его называют невыпуклым.
Многоугольник с n вершинами называют n-угольником.
Точки ,
,
, …,
,
– вершины n-угольника.
Отрезки ,
, …,
,
– стороны n-угольника.
Теперь давайте разберемся, какой многоугольник называют правильным. Определение.
Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все
углы равны и все стороны равны.
Примерами правильных многоугольников являются
правильный треугольник и квадрат.
На рисунке изображены правильные многоугольники.
А теперь давайте выведем формулу для вычисления внутреннего угла
правильного н-угольника. Ранее мы с
вами выяснили, что сумма
углов выпуклого -угольника равна , где n – количество сторон (углов). Следовательно, эта формула подойдет
и для правильного n-угольника. Но так как в определении
прозвучала фраза, что правильный многоугольник – это многоугольник, у которого
все углы равны, т.е. правильный n-угольник
имеет n одинаковых углов. Значит, сумму его углов
можно вычислить как , где
– градусная мера внутреннего угла многоугольника. Преобразовав
это равенство, получим, что угол правильного n-угольника можно вычислить по формуле .
Обратите
внимание, чтобы вычислить (внутренний угол правильного
н-угольника), нужно сумму всех углов многоугольника разделить на количество Задача. Внутренний угол правильного многоугольника равен . Одна из сторон равна
см. Найдите периметр многоугольника.
Решение.
Пусть
многоугольник имеет сторон.
Сумма углов
многоугольника равна .
Значит,
(см)
Ответ: (см).
Задача. Докажите, что диагональ правильного
пятиугольника параллельна его стороне.
Доказательство.
Вычислим,
чему равен внутренний угол нашего правильного пятиугольника.
Рассмотрим .
Следовательно,
– равнобедренный.
Рассмотрим
четырехугольник .
Так как ,
то .
Следовательно,
.
Что и
требовалось доказать.
Подведем итоги урока. На
этом уроке мы узнали, что правильным многоугольником называется выпуклый
многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны. А также вывели
формулу для вычисления угла правильного n-угольника, а
именно , где n – количество сторон (углов) правильного n-угольника.
Правильный многоугольник
- формулы, признаки и свойства правильного многоугольника
- формулы правильного n-угольника
- правильный треугольник
- правильный четырехугольник
- правильный шестиугольник
- правильный восьмиугольник
Формулы, признаки и свойства правильного многоугольника
Многоугольником называется часть площади, которая ограничена замкнутой ломаной линией, не пересекающей сама себя.
Многоугольники отличаются между собой количеством сторон и углов.
Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.
Признаки правильного многоугольника
Многоугольник будет правильным, если выполняется следующее условие: все стороны и углы одинаковы.
a1=a2=a3=…=an-1=an
,
α1=α2=α3=…=αn-1=αn
где a1…an — длины сторон правильного многоугольника,
α1…αn — внутренние углы между стронами правильного многоугольника.
Основные свойства правильного многоугольника
- Все стороны равны:
a1=a2=a3=…=an-1=an - Все углы равны:
α1=α2=α3=…=αn-1=αn - Центр вписанной окружности Oв совпадает с центром описанной окружности Oо, что и образуют центр многоугольника O.
- Сумма всех углов n-угольника равна:180°·n-2
- Сумма всех внешних углов n-угольника равна 360°: β1+β2+β3+…+βn-1+βn=360°
- Количество диагоналей (Dn) n-угольника равна половине произведения количества вершин на количество диагоналей, выходящих из каждой вершины: Dn = n·n-32
- В любой многоугольник можно вписать окружность и описать круг; при этом площадь кольца, образованная этими окружностями, зависит только от длины стороны многоугольника: S = π4·a2
- Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного многоугольника O.
Формулы правильного n-угольника
Формулы длины стороны правильного n-угольника
Формула стороны правильного n-угольника через радиус вписанной окружности
a = 2·r·tg180°n
(через градусы),
a = 2·r·tgπn
(через радианы)
Формула стороны правильного n-угольника через радиус описанной окружности
a = 2·R·sin180°n
(через градусы),
a = 2·R·sinπn
(через радианы)
Формулы радиуса вписанной окружности правильного n-угольника
Формула радиуса вписанной окружности n-угольника через длину стороны
r = a:2·tg180°n
(через градусы),
r = a:2·tgπn
(через радианы)
Формула радиуса описанной окружности правильного n-угольника
Формула радиуса описанной окружности n-угольника через длину стороны
R = a:2·sin180°n
(через градусы),
R = a:2·sinπn
(через радианы)
Формулы площади правильного n-угольника
Формула площади n-угольника через длину стороны
S = n·a24·ctg180°n
Формула площади n-угольника через радиус вписанной окружности
S = n·r2·tg180°n
Формула площади n-угольника через радиус описанной окружности
S = n·R22·sin360°n
Формула периметра правильного многоугольника
Формула периметра правильного n-угольника
Периметр правильного n-угольника равен произведению длины одной стороны правильного n-угольника на количество его сторон.
P = n·a
Формула определения угла между сторонами правильного многоугольника
Формула угла между сторонами правильного n-угольника
αn = n-2n·180°
Правильный треугольник
Правильный треугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны правильного треугольника равны между собой, все углы также равны и составляют 60°.
Формулы правильного треугольника
Формула стороны правильного треугольника через радиус вписанной окружности
Сторона правильного треугольника равна удвоенному произведению радиуса вписанной окружности на корень из трёх.
a = 2·r·3
Формула стороны правильного треугольника через радиус описанной окружности
Сторона правильного треугольника равна произведению радиуса описанной окружности на корень из трёх.
a = R·3
r = a·36
R = a·33
Формула площади правильного треугольника через длину стороны
S = a2·34
Формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности
S = r2·3·3
Формула площади правильного треугольника через радиус описанной окружности
S = R2·3·34
Углы между сторонами правильного треугольника
α1=α2=α3=60°
Правильный четырехугольник
Правильный четырехугольник — это квадрат.
Формулы правильного четырехугольника
Формула стороны правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности
Сторона правильного четырехугольника равна двум радиусам вписанной окружности.
a = 2·r
Формула стороны правильного четырехугольника через радиус описанной окружности
Сторона правильного четырехугольника равна произведению радиуса описанной окружности на корень из двух.
a = R·2
Формула радиуса вписанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны
Радиус вписанной окружности правильного четырехугольника равен половине стороны четырехугольника.
r = a2
Формула радиуса описанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны
Радиус описанной окружности правильного четырехугольника равен половине произведения стороны четырехугольника на корень из двух.
R = a·22
Формула площади правильного четырехугольника через длину стороны
Площадь правильного четырехугольника равна квадрату стороны четырехугольника.
S = a2
Формула площади правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности
Площадь правильного четырехугольника равна четырем радиусам вписанной окружности четырехугольника.
S = 4·r2
Формула площади правильного четырехугольника через радиус описанной окружности
Площадь правильного четырехугольника равна двум квадратам радиуса описанной окружности.
S = 2·R2
Углы между сторонами правильного четырехугольника
α1=α2=α3=α4=90°
Правильный шестиугольник
Правильный шестиугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны правильного шестиугольника равны между собой, все углы также равны и составляют 120°.
Формулы правильного шестиугольник
Формула стороны правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности
a = 2·r·33
Формула стороны правильного шестиугольника через радиус описанной окружности
Длина стороны правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности.
a = R
Формула радиуса вписанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны
r = a·32
Формула радиуса описанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны
R = a
Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны
S = a2·3·32
Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности
S = r2·2·3
Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности
S = R2·3·32
Углы между сторонами правильного шестиугольника
α1=α2=α3=α4=α5=α6=120°
Правильный восьмиугольник
Правильный восьмиугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны правильного восьмиугольник равны между собой, все углы также равны и составляют 135°.
Формулы правильного восьмиугольника
Формула стороны правильного восьмиугольника через радиус вписанной окружности
a = 2·r·2-1
Формула стороны правильного восьмиугольника через радиус описанной окружности
a = R·2-2
Формула радиуса вписанной окружности правильного восьмиугольника через длину стороны
r = a·2+12
Формула радиуса описанной окружности правильного восьмиугольника через длину стороны
R = a·4+222
Формула площади правильного восьмиугольника через длину стороны
S = a2·2·2+1
Формула площади правильного восьмиугольника через радиус вписанной окружности
S = r2·8·2-1
Формула площади правильного восьмиугольника через радиус описанной окружности
S = R2·2·2
Углы между сторонами правильного восьмиугольника
α1=α2=α3=α4=α5=α6=α7=α8=135°
- Коротко о важном
- Таблицы
- Формулы
- Формулы по геометрии
- Теория по математике
Внутренний угол правильного многоугольника Калькулятор
| Search | ||
| Дом | математика ↺ | |
| математика | Геометрия ↺ | |
| Геометрия | Правильный многоугольник ↺ | |
| Правильный многоугольник | 2D геометрия ↺ | |
| 2D геометрия | Углы правильного многоугольника ↺ |
|
✖Количество сторон правильного многоугольника обозначает общее количество сторон многоугольника. Количество сторон используется для классификации типов многоугольников.ⓘ Количество сторон правильного многоугольника [NS] |
+10% -10% |
|
✖Внутренний угол правильного многоугольника — это угол между соседними сторонами многоугольника.ⓘ Внутренний угол правильного многоугольника [∠Interior] |
⎘ копия |
Внутренний угол правильного многоугольника Решение
ШАГ 0: Сводка предварительного расчета
ШАГ 1. Преобразование входов в базовый блок
Количество сторон правильного многоугольника: 8 –> Конверсия не требуется
ШАГ 2: Оцените формулу
ШАГ 3: Преобразуйте результат в единицу вывода
2.35619449019234 Радиан –>135.000000000025 степень (Проверьте преобразование здесь)
4 Углы правильного многоугольника Калькуляторы
Внутренний угол правильного многоугольника формула
Внутренний угол правильного многоугольника = ((Количество сторон правильного многоугольника-2)*pi)/Количество сторон правильного многоугольника
∠Interior = ((NS-2)*pi)/NS
Что такое правильный многоугольник?
Правильный многоугольник имеет стороны одинаковой длины и равные углы между сторонами. Правильный n-сторонний многоугольник имеет вращательную симметрию порядка n и также известен как вписанный многоугольник. Все вершины правильного многоугольника лежат на описанной окружности.
Что такое внутренний угол?
Внутренний угол многоугольника — это внутренний угол, образованный при сближении двух сторон. Все внутренние углы правильного многоугольника равны.
