Как найти внутреннюю энергию газа под поршнем

Наука о тепловых явлениях называется термодинамика. Термодинамика исходит из наиболее общих закономерностей тепловых процессов и свойств макроскопических систем.

При изучении основ термодинамики необходимо помнить следующие определения. Физическая система, состоящая из большого числа частиц — атомов или молекул, которые совершают тепловое движение и, взаимодействуя между собой, обмениваются энергиями, называется термодинамической системой.

Состояние термодинамической системы определяется макроскопическими параметрами, например удельным объемом, давлением, температурой.

Термодинамика рассматривает изолированные системы тел, находящиеся в состоянии термодинамического равновесия. Это означает, что в таких системах прекратились все наблюдаемые макроскопические процессы. Важным свойством термодинамически равновесной системы является выравнивание температуры всех ее частей.

Термодинамика рассматривает только равновесные состояния, т.е. состояния, в которых параметры термодинамической системы не меняются со временем.

Если термодинамическая система была подвержена внешнему воздействию, то в конечном итоге она перейдет в другое равновесное состояние. Такой переход называется термодинамическим процессом.

Термодинамическим процессом называется переход системы из начального состояния в конечное через последовательность промежуточных состояний.

Процессы бывают обратимыми и необратимыми.

Обратимым называется такой процесс, при котором возможен обратный переход системы из конечного состояния в начальное через те же промежуточные состояния, чтобы в окружающих телах не произошло никаких изменений. Обратимый процесс является физической абстракцией. Примером процесса, приближающегося к обратимому, является колебание тяжелого маятника на длинном подвесе. В этом случае кинетическая энергия практически полностью превращается в потенциальную, и наоборот. Колебания происходят долго без заметного уменьшения амплитуды ввиду малости сопротивления среды и сил трения.

Любой процесс, сопровождаемый трением или теплопередачей от нагретого тела к холодному, является необратимым. Примером необратимого процесса является расширение газа, даже идеального, в пустоту. Расширяясь, газ не преодолевает сопротивления среды, не совершает работы, но, для того чтобы вновь собрать все молекулы газа в прежний объем, т. е. привести газ в началь­ное состояние, необходимо затратить работу. Таким образом, все реальные процессы являются необратимыми.

Изменение внутренней энергии газа в процессе теплообмена и совершаемой работы.

   Одним из важнейших понятий термодинамики является внутренняя энергия тела. Все макроскопические тела обладают энергией, заключенной внутри самих тел. С точки зрения молекулярно-кинетической теории внутренняя энергия вещества складывается из кинетической энергии всех атомов и молекул и потенциальной энергии их взаимодействия друг с другом.

   Внутренняя энергия – это сумма энергий молекулярных взаимодействий и энергии теплового движения молекул.

   В частности, внутренняя энергия идеального газа равна сумме кинетических энергий всех частиц газа, находящихся в непрерывном и беспорядочном тепловом движении. Внутренняя энергия идеального газа зависит только от его температуры и не зависит от объема (закон Джоуля).

   Молекулярно-кинетическая теория приводит к следующему выражению для внутренней энергии одного моля идеального одноатомного газа (гелий, неон и др.), молекулы которого совершают только поступательное движение:

   Поскольку потенциальная энергия взаимодействия молекул зависит от расстояния между ними, в общем случае внутренняя энергия

   U тела зависит наряду с температурой T также и от объема V:                       U = U(T, V).

   Таким образом, внутренняя энергия системы зависит только от её состояния и является однозначной функцией состояния, внутренняя энергия U тела однозначно определяется макроскопическими параметрами, характеризующими состояние тела. Она не зависит от того, каким путем было реализовано данное состояние.

   Внутреннюю энергию тела можно изменить разными способами:

1. Совершение механической работы.
2. Теплообмен.

   Внутренняя энергия тела может изменяться, если действующие на него внешние силы совершают работу (положительную или отрицательную).

   Например, газ подвергается сжатию в цилиндре под поршнем площадью S. Поршень, сжимая газ, движется с некоторой скоростью v. Молекулы газа, беспорядочно двигаясь, ударяются о поршень. После упругого удара молекулы о поршень скорость молекулы возрастает, а значит возрастает и её кинетическая энергия, что приводит к увеличению внутренней энергии газа.

   При сжатии газа его внутренняя энергия увеличивается за счет совершения поршнем механической работы. При расширении газа его внутренняя энергия уменьшается, превращаясь в механическую энергию поршня.

   При сжатии газа внешние силы совершают над газом некоторую положительную работу A’.

   В то же время силы давления, действующие со стороны газа на поршень, совершают работу

   A = –A’.

   Если объем газа изменился на малую величину ΔV, то газ совершает работу  pSΔx = pΔV, где p – давление газа, S – площадь поршня, Δx – его перемещение.

   При расширении работа, совершаемая газом, положительна, при сжатии – отрицательна.

   В общем случае при переходе из некоторого начального состояния (1) в конечное состояние (2) работа газа выражается формулой:

или в пределе при ΔV_i → 0:   

  Работа численно равна площади под графиком процесса на диаграмме (p, V):

   Величина работы зависит от того, каким путем совершался переход из начального состояния в конечное. На рис. 2 изображены три различных процесса, переводящих газ из состояния (1) в состояние (2). Во всех трех случаях газ совершает различную работу.

 

Рисунок 2.
Три различных пути перехода из состояния (1) в состояние (2).
Во всех трех случаях газ совершает разную работу, равную площади под графиком процесса.

   Процессы, изображенные на рис. 2, можно провести и в обратном направлении; тогда работа A просто изменит знак на противоположный.

   Процессы которые можно проводить в обоих направлениях, называются обратимыми.

   В отличие от газа, жидкости и твердые тела мало изменяют свой объем, так что во многих случаях работой, совершаемой при расширении или сжатии, можно пренебречь. Однако, внутренняя энергия жидких и твердых тел также может изменяться в результате совершения работы. При механической обработке деталей (например, при сверлении) они нагреваются. Это означает, что изменяется их внутренняя энергия.

   Внутренняя энергия тела может изменяться не только в результате совершаемой работы, но и вследствие теплообмена.

   При тепловом контакте тел внутренняя энергия одного из них может увеличиваться, а внутренняя энергия другого – уменьшаться. В этом случае говорят о тепловом потоке от одного тела к другому. Передача энергии от одного тела другому в форме тепла может происходить только при наличии разности температур между ними.

   Приведем в соприкосновение два тела с раз­ными температурами. Пусть температура первого тела выше, чем второго. В результате обмена энергиями температура пер­вого тела уменьшается, а второго — увеличивается. В рассмат­риваемом примере кинетическая энергия хаотического движе­ния молекул первого тела переходит в кинетическую энергию хаотического движения молекул второго тела.

   Тепловой поток всегда направлен от горячего тела к холодному.

   Процесс передачи внутренней энергии без совершения меха­нической работы называется теплообменом.

   Мерой энергии, полу­чаемой или отдаваемой телом в процессе теплообмена, служит физическая величина, называемая количеством теплоты.

   Количеством теплоты Q, полученной телом, называют изменение внутренней энергии тела в результате теплообмена.

   Количество теплоты Q является энергетической величиной. В СИ количество теплоты измеряется в единицах механической работы – джоулях (Дж).

   До введения СИ количество теплоты выражали в калориях.

   Калория – это количество теплоты, необходимое для нагревания 1 г дистиллиро­ванной воды на 1°С, от 19,5°С до 20,5°С.

   Единица, в 1000 раз большая калории, называется килокалорией (1 ккал = 1000 кал). Соотношение между единицами: 1 кал =4,19 Дж.

   Если в результате теплообмена телу передается некоторое количество теплоты, то внутренняя энергия тела и его температура изменяются.

   Чтобы нагреть тело массой m от температуры t₁ до температуры t₂ ему необходимо сообщить количество теплоты

Q = cm(t₂ – t₁)

   Количество теплоты Q, необходимое для нагревания 1 кг вещества на 1 К называют удельной теплоемкостью вещества c.

c = Q / (mΔT).

   Во многих случаях удобно использовать молярную теплоемкость C:

   C = M · c, где M – молярная масса вещества.

   При передаче тепла от одного тела к другому всегда выполняется уравнение теплового баланса, по которому количество теплоты Q₁, отданное первым телом, равно количеству теплоты Q₂, полученному вторым телом.

Q₁ = Q₂ 

   Теплота и работа являются не видом энергии, а формой ее передачи, они существуют лишь в процессе передачи энергии.

   В реальных условиях оба способа передачи энергии системе в форме работы и форме теплоты обычно сопутствуют друг другу.

Первое начало термодинамики.

   На рисунке изображены энергетические потоки между термодинамической системой и окружающими телами. в результате теплообмена и совершаемой работы:

   Величина Q > 0, если тепловой поток нправлен в сторону термодинамической системы. Величина A > 0, если система совершает положительную работу над окружающими телами.

   Если система обменивается теплом с окружающими телами и совершает работу (положительную или отрицательную), то изменяется состояние системы, то есть изменяются ее макроскопические параметры (температура, давление, объем).

   Процессы теплообмена и совершения работы сопровождаются изменением ΔU внутренней энергии системы.

   Первый закон термодинамики является обобщением закона сохранения и превращения энергии для термодинамической системы. Он формулируется следующим образом:

   Изменение ΔU внутренней энергии неизолированной термодинамической системы равно разности между количеством теплоты Q, переданной системе, и работой A, совершенной системой над внешними телами.

ΔU = Q – A.

   Соотношение, выражающее первый закон термодинамики, часто записывают в другой форме:

Q = ΔU + A.

   Количество теплоты, полученное системой, идет на изменение ее внутренней энергии и совершение работы над внешними телами.

   Первый закон термодинамики является обобщением опытных фактов. Согласно этому закону, энергия не может быть создана или уничтожена; она передается от одной системы к другой и превращается из одной формы в другую. Если между телами, составляющими замкнутую систему, действуют силы трения, то часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию тел (нагревание).

   При любых физических взаимодействиях энергия не возникает и не исчезает. Она лишь превращается из одной формы в другую. Этот экспериментально установленный факт выражает фундаментальный закон природы – закон сохранения и превращения энергии.

    Задачи для самостоятельного решения ( Дмитриева В.Ф. Задачи по физике)

№ 2, стр. 148

Определите p – давление насыщенного водяного пара при температуре Т=290 К, если пло ность насыщенного водяного пара при этой температуре ρ=2,56·10^-2 кг/м³ (ответ р=3,43 Па)

№ 12, стр. 149

Определите m – массу стоградусного водяного пара, необходимого для нагревания m₁=10 кг воды от t₁=10^0С до t₂=60^0С. (ответ m=0,086 кг)

№ 1, стр. 156

Поверхностное натяжение керосина α=2,4·10^-2 Н/м. Какую работу А совершат силы поверхностного натяжения при уменьшении поверхностного слоя керосина на 25 см²? (ответ А=60 мкДж)

№ 7, стр. 156

В одной и той же  капиллярной трубке вода поднимается на 50 мм, а спирт на 19 мм. Определите поверхностное натяжение спирта α_с. Поверхностное натяжение воды α_в=0,072 Н/м (ответ α_с=22·10^-3 Н/м)

№ 8, стр. 163

Определите Q – теплоту, необходимую для плавления свинца массой m=10 кг, находящегос при температуре плавления. Удельная теплота плавления свинца λ=25 кДж/кг. (ответ Q=250 кДж)

1. Изопроцессы и адиабатный процесс

Напомним, что согласно первому закону термодинамики количество теплоты Q, переданное газу, связано с изменением внутренней энергии газа ∆U и работой газа A_г соотношением

Q = ∆U + A_г.      (1)

Часто требуется применять первый закон термодинамики к газовым процессам, представляющим собой последовательность изопроцессов (иногда добавляется еще адиабатный процесс).

Рассмотрим, как находить величины, фигурирующие в формуле (1), в этих процессах. Напомним, что каждая из тих величин может быть положительной, отрицательной или равной нулю.

Если график газового процесса задан не в координатах (p, V), то желательно начертить график этого же процесса в координатах (p, V), потому что с помощью этого графика легко найти работу газа. Напомним, что работа газа при расширении численно равна площади под графиком зависимости p(V), при сжатии газа – площади под тем же графиком, но взятой о знаком минус.

В большинстве задач на эту тему рассматривается однотомный идеальный газ. Напомним, что его внутренняя энергия выражается формулой

U = (3/2)νRT,      (2)

где ν – количество вещества (число молей), R – универсальная газовая постоянная, T – абсолютная температура.

? 1. Чему равно изменение внутренней энергии газа в изотермическом процессе?

Из формулы (2) и уравнения состояния идеального газа

pV = νRT     (3)

следует, что внутреннюю энергию одноатомного идеального газа можно выразить также формулой

U = (3/2)pV.     (4)

С помощью этой формулы можно находить изменение внутренней энергии одноатомного идеального газа, если известны начальные и конечные значения давления и объема газа.

Например, если начальные значения давления и объема обозначить p₁ и V₁, а конечные – p₂ и V₂, то

∆U = (3/2) (p₂V₂ – p₁V₁).      (5)

? 2. Чему равно изменение внутренней энергии при изохорном процессе, если объем газа равен V, а давление изменилось от p₁ до p₂?

? 3. Чему равно изменение внутренней энергии при изобарном процессе, если давление газа равно p, а объем изменился от V₁ до V₂?

? 4. На рисунке 47.1 изображен график зависимости p(T) для ν молей одноатомного идеального газа при изохорном переходе из состояния 1 в состояние 2. Даны начальные значения давления и температуры газа p₁ и T₁, конечная температура T₂.

а) Чему равно конечное давление газа p₂?
б) Чему равен объем газа V?
в) Начертите график этого же процесса в координатах (p, V).
г) Чему равна работа газа A_г?
д) Чему равно изменение внутренней энергии ∆U газа?
е) Чему равно полученное газом количество теплоты Q?

? 5. На рисунке 47.2 изображен график зависимости V(T), для ν молей одноатомного идеального газа при изобарном переходе из состояния 1 в состояние 2. Даны начальные значения объема и температуры газа V₁, и T₁, конечная температура T₂.
47.2
а) Чему равен конечный объем газа V₂?
б) Чему равно давление газа p?
в) Начертите график этого же процесса в координатах (p, V).
г) Чему равна работа газа A_г?
д) Чему равно изменение внутренней энергии газа?
е) Чему равно полученное газом количество теплоты Q?

? 6. Используя результаты предыдущих заданий, сравните значения количества теплоты, полученного одним и тем же количеством вещества газа в изохорном и изобарном процессе при нагревании от температуры T₁ до температуры T₂.
а) В каком случае количество теплоты больше? Во сколько раз больше?
б) Объясните этот результат, используя закон сохранения энергии.

Рассмотрим теперь изотермический и адиабатный процессы.

? 7. На рисунке 47.3 приведены графики зависимости p(V) для данной массы газа при изотермическом и адиабатном процессах. Какой график описывает адиабатный процесс? Поясните свой ответ.

? 8. В каком случае совершенная газом работа больше: когда он расширяется изотермически или адиабатно? Начальные объемы газа одинаковы, конечные объемы тоже одинаковы. Поясните свой ответ.

? 9. Как связаны полученное газом количество теплоты Q и работа газа A_г при изотермическом процессе?

Нахождение работы газа при изотермическом расширении выходит за рамки школьного курса физики. Но в задачах часто используется связь между Q и A_г в изотермическом процессе, выведенная вами при выполнении предыдущего задания.

? 10. В вертикальном цилиндре под поршнем массой 1 кг находится идеальный газ. При изотермическом расширении газа поршень поднялся на 5 см. Примите, что трением между поршнем и стенкой цилиндра можно пренебречь.
а) Чему равна работа газа?
б) Чему равно переданное газу количество теплоты?

? 11. Как связаны работа газа Aг и изменение его внутренней энергии ∆U при адиабатном процессе? (Напомним, что при адиабатном процессе отсутствует теплопередача, то есть Q = 0.)

Нахождение работы газа при адиабатном процессе также выходит за рамки школьного курса, но связь между A_г и ∆U в этом процессе широко используется при решении задач.

? 12. При адиабатном расширении 2 молей одноатомного идеального газа газ совершил работу 100 Дж.
а) Как изменилась при этом внутренняя энергия газа?
б) Как изменилась температура газа?

2. Циклические процессы

Циклические газовые процессы состоят из нескольких этапов, причем конечное состояние газа совпадает с начальным. Обычно рассматриваются случаи, когда этапами циклического процесса являются изопроцессы и адиабатный процесс.

Вопросы при этом ставятся, например, такие.

• На каких этапах процесса газ получает тепло, а на каких – отдает?
• Чему равно полученное газом или отданное им количество теплоты?
• Чему равно изменение внутренней энергии газа на различных этапах процесса?
• Чему равна работа газа за один цикл?
• Чему равен КПД цикла?

Для простейшего циклического процесса, состоящего из двух изохор и двух изобар, мы уже нашли ответы на эти вопросы (см. § 43). Рассмотрим теперь более сложный цикл.

На рисунке 47.4 изображен график циклического процесса, происходящего с некоторой массой одноатомного идеального газа.

На этапе 2–3 газ адиабатно расширяется, а на этапе 3–1 изотермически сжимается.

Известно, что при изобарном расширении газ совершает работу A, а при изотермическом сжатии отдает холодильнику количество теплоты Q_хол. Требуется найти КПД цикла.

Проанализируем сначала этот циклический процесс качественно. По определению КПД цикла равен отношению работы, совершенной газом за один цикл, к количеству теплоты, переданному газу за этот цикл.

Работа, совершенная газом за один цикл, равна разности работы, совершенной газом при его расширении, и работы, совершенной над газом при его сжатии.

? 13. На каких этапах процесса газ совершает работу, а на каких этапах работу совершают над газом?

? 14. На каких этапах процесса газ получает тепло?

Перейдем теперь к количественному описанию. Заметим, то в подобных задачах как работу газа, так и количество теплоты удобно выражать через число молей газа и значения абсолютной температуры газа в различных состояниях газа, даже если эти значения не заданы (в таком случае они сократятся, если найдено правильное решение).

Обозначим T₁, T₂ и T₃ значения абсолютной температуры соответственно в состояниях 1, 2, 3. Поскольку процесс 3–1 изотермический, T₁ = T₃.

? 15. Рассмотрим сначала изобарный процесс 1–2.
а) Выразите работу газа через давление p в этом процессе и значения объемов газа в состояниях 1 и 2.
б) Выразите эту работу через число молей газа и значения абсолютной температуры в состояниях 1 и 2.
в) Выразите изменение внутренней энергии газа в процессе 1–2 через число молей газа и значения абсолютной температуры в состояниях 1 и 2.
г) Выразите количество теплоты, полученное газом в процессе 1–2, через число молей газа и значения абсолютной температуры в состояниях 1 и 2.
д) Как связано переданное газу количество теплоты с работой, совершенной газом?

? 16. Рассмотрим адиабатный процесс 2–3.
а) Каково соотношение между работой газа в этом процессе и изменением его внутренней энергии?
б) Выразите работу газа в этом процессе через число молей газа и значения абсолютной температуры в состояниях 2 и 3.
в) Найдите соотношение между работой газа в процессе 1–3 и работой газа в процессе 2–3.

? 17. Рассмотрим изотермический процесс 3–1.
а) Найдите соотношение между работой газа в этом процессе и количеством теплоты, полученным газом. Учтите, что в данном случае обе эти величины отрицательны.
б) Выразите работу A_внеш, совершенную в этом процессе над газом, через количество теплоты Q_хол, отданное газом холодильнику.

Используя результаты, полученные при выполнении предыдущих заданий, получаем, что работу A_ц, совершенную газом за дин цикл, можно выразить через заданные величины:

3. Расширение газа под поршнем

Трением между поршнем и стенкой сосуда можно пренебречь

Если цилиндрический сосуд с газом расположен вертикально и трением между поршнем и стенками сосуда можно пренебречь, то при медленном нагревании процесс является изобарным. Работа газа

A_г = mgh,

где m – масса поршня, h – расстояние, на которое поднялся поршень. Используя первый закон термодинамики

Q = ∆U + A_г,

можно связать перемещение поршня с переданным газу количеством теплоты Q и изменением его внутренней энергии ∆U. Ее можно выразить через изменение температуры ∆T и число молей газа.

? 18. Одноатомный идеальный газ находится в вертикальном цилиндрическом сосуде под поршнем массой 2 кг. Когда газу передали количество теплоты, равное 10 Дж, поршень поднялся на 5 см, а температура газа увеличилась на 2 К. Трением между поршнем и стенкой сосуда можно пренебречь. Сколько молей газа содержится в сосуде?

Учет трение между поршнем и стенкой сосуда

Типичная ошибка при решении подобных задач состоит в ом, что не учитывают силу трения покоя. Дело в том, что при увеличении давления газа под поршнем он не сдвинется с места до тех пор, пока равнодействующая приложенных к нему сил не превысит максимальную силу трения покоя, которую обычно принимают равной силе трения скольжения. Только поле этого поршень начнет двигаться, и газ начнет расширяться.

Рассмотрим пример. Пусть теперь сосуд расположен горизонтально: в таком случае вес поршня не играет роли.

? 19. В горизонтальном цилиндрическом сосуде, закрытом поршнем, находится одноатомный идеальный газ. Начальное давление газа равно p₀, начальное расстояние от дна сосуда до поршня равно l₀, площадь поршня S (рис. 47.5).

При движении поршня на него со стороны стенки сосуда действует сила трения скольжения F_тр. Будем считать, что сосуд находится в вакууме (то есть на поршень не действует сила атмосферного давления). В начальный момент поршень находится в равновесии. Газу передают некоторое количество теплоты.
а) Какое соотношение между p₀, Fтр и S следует из условия, что в начальный момент поршень находится в равновесии?
б) При каком давлении p газа поршень начнет двигаться?
в) Насколько должна увеличиться внутренняя энергия газа, чтобы поршень начал двигаться?
г) Какое количество теплоты Q надо сообщить газу, чтобы поршень начал двигаться?
д) Чему будет равно давление p газа, когда поршень будет двигаться равномерно?
е) Какую работу A совершит газ при равномерном перемещении поршня на расстояние d?
ж) Насколько увеличится при этом внутренняя энергия газа по сравнению с ее начальным значением?
з) Какое количество теплоты Q надо передать газу в начальном состоянии, чтобы поршень сдвинулся на расстояние d?

Дополнительные вопросы и задания

20. На рисунке 47.6 изображен процесс, происходящий с ν молями одноатомного идеального газа.

а) Начертите график этого процесса в координатах (p, V).
б) Чему равны работа газа, изменение его внутренней энергии и переданное ему количество теплоты в процессе 1–2? Учтите, что эти значения могут быть отрицательными.
в) Чему равны работа газа, изменение его внутренней энергии и переданное ему количество теплоты в процессе 2–3?

21. На рисунке 47.7 изображен график цикла, происходящего с одноатомным идеальным газом. Найдите КПД цикла.

Первый закон термодинамики

Автор статьи — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: работа в термодинамике, первый закон термодинамики, адиабатный процесс.

Начнём с обсуждения работы газа.

Газ, находящийся в сосуде под поршнем, действует на поршень с силой , где — давление газа, — площадь поршня. Если при этом поршень перемещается, то газ совершает работу.

При расширении газа эта работа будет положительной (сила давления газа и перемещение поршня направлены в одну сторону). При сжатии работа газа отрицательна (сила давления газа и перемещение поршня направлены в противоположные стороны).

к оглавлению ▴

Работа газа в изобарном процессе

Предположим, что газ расширяется при постоянном давлении . Тогда сила , с которой газ действует на поршень, также постоянна. Пусть поршень переместился на расстояние (рис. 1).

Рис. 1.

Работа газа равна:

Но — изменение объёма газа. Поэтому для работы газа при изобарном расширении мы получаем формулу:

(1)

Если и — начальный и конечный объём газа, то для работы газа имеем: . Изобразив данный процесс на -диаграмме, мы видим, что работа газа равна площади прямоугольника под графиком нашего процесса (рис. 2).

Рис. 2. Работа газа как площадь

Пусть теперь газ изобарно сжимается от объёма до объёма . С помощью аналогичных рассуждений приходим к формуле:

Но , и снова получается формула (1).

Работа газа опять-таки будет равна площади под графиком процесса на -диаграмме, но теперь со знаком минус.

Итак, формула выражает работу газа при постоянном давлении — как в процессе расширения газа, так и в процессе сжатия.

к оглавлению ▴

Работа газа в произвольном процессе

Геометрическая интерпретация работы газа (как площади под графиком процесса на -диаграмме) сохраняется и в общем случае неизобарного процесса.

Действительно, рассмотрим малое изменение объёма газа — настолько малое, что давление будет оставаться приблизительно постоянным. Газ совершит малую работу . Тогда работа газа во всём процессе найдётся суммированием этих малых работ:

Но данный интеграл как раз и является площадью криволинейной трапеции (рис. 3):

Рис. 3. Работа газа как площадь

к оглавлению ▴

Работа, совершаемая над газом

Наряду с работой , которую совершает газ по передвижению поршня, рассматривают также работу , которую поршень совершает над газом.

Если газ действует на поршень с силой , то по третьему закону Ньютона поршень действует на газ с силой , равной силе по модулю и противоположной по направлению: (рис. 4).

Рис. 4. Внешняя сила , действующая на газ

Следовательно, работа поршня равна по модулю и противоположна по знаку работе газа:

Так, в процессе расширения газ совершает положительную работу ; при этом работа, совершаемая над газом, отрицательна . Наоборот, при сжатии работа газа отрицательна , а работа, совершаемая поршнем над газом, положительна 0 right )’ class=’tex’ alt=’left ( {A}’ > 0 right )’ />.

Будьте внимательны: если в задаче просят найти работу, совершённую над газом, то имеется в виду работа .

Как мы знаем, существует лишь два способа изменения внутренней энергии тела: теплопередача и совершение работы.

Опыт показывает, что эти способы независимы — в том смысле, что их результаты складываются. Если телу в процессе теплообмена передано количество теплоты , и если в то же время над телом совершена работа , то изменение внутренней энергии тела будет равно:

(2)

Нас больше всего интересует случай, когда тело является газом. Тогда (где , как всегда, есть работа самого газа). Формула (2) принимает вид: , или

(3)

Соотношение (3) называется первым законом термодинамики. Смысл его прост: количество теплоты, переданное газу, идёт на изменение внутренней энергии газа и на совершение газом работы.

Напомним, что величина может быть и отрицательной: в таком случае тепло отводится от газа. Но первый закон термодинамики остаётся справедливым в любом случае. Он является одним из фундаментальных физических законов и находит подтверждение в многочисленных явлениях и экспериментах.

к оглавлению ▴

Применение первого закона термодинамики к изопроцессам

Напомним, что в изопроцессе остаётся неизменным значение некоторой величины, характеризующей состояние газа — температуры, объёма или давления. Для каждого вида изопроцессов запись первого закона термодинамики упрощается.

1. Изотермический процесс, .
Внутренняя энергия идеального газа зависит только от его температуры. Если температура газа не меняется, то не меняется и внутренняя энергия: . Тогда формула (3) даёт:

Всё подведённое к газу тепло идёт на совершение газом работы.

2. Изохорный процесс, .
Если объём газа остаётся постоянным, то поршень не перемещается, и потому работа газа равна нулю: . Тогда первый закон термодинамики даёт:

Всё тепло, переданное газу, идёт на изменение его внутренней энергии.

3. Изобарный процесс, .
Подведённое к газу тепло идёт как на изменение внутренней энергии, так и на совершение работы (для которой справедлива формула (1)). Имеем:

к оглавлению ▴

Адиабатный процесс

Процесс называется адиабатным, если он идёт без теплообмена с окружающими телами.

Адиабатный процесс совершается газом, находящимся в теплоизолированном сосуде. Такой сосуд препятствует всем видам теплопередачи: теплопроводности, конвекции, излучению. Пример теплоизолированного сосуда — термос.

Приблизительно адиабатным будет всякий процесс, протекающий достаточно быстро: в течение процесса теплообмен просто не успевает произойти.

При адиабатном процессе . Из первого закона термодинамики получаем: , или .

В процессе адиабатного расширения газ совершает положительную работу, поэтому (работа совершается за счёт убыли внутренней энергии). Следовательно, газ охлаждается. Если заставить газ совершить достаточно большую работу, охладить его можно весьма сильно. Именно на этом основаны методы сжижения газов.

Наоборот, в процессе адиабатного сжатия будет , поэтому : газ нагревается. Адиабатное нагревание воздуха используется в дизельных двигателях для воспламенения топлива.

Кривая, изображающая ход адиабатного процесса, называется адиабатой. Интересно сравнить ход адиабаты и изотермы на -диаграмме (рис. 5).

Рис. 5. Сравнительный ход изотермы и адиабаты

В обоих процессах давление убывает с увеличением объёма, но в адиабатном процессе убывание идёт быстрее. Почему?

При изотермическом расширении давление падает потому, что уменьшается концентрация частиц газа, в результате чего удары частиц по стенкам сосуда становятся реже. Однако интенсивность этих ударов остаётся прежней: ведь температура газа не меняется — значит, не меняется и средняя кинетическая энергия его частиц.

А при адиабатном расширении, наряду с уменьшением концентрации частиц, падает также и температура газа. Удары частиц становятся не только более редкими, но и более слабыми. Вот почему адиабата убывает быстрее изотермы.

Решение задач – занятие, которое любит далеко не каждый. Здесь мы стараемся сделать так, чтобы оно занимало у вас поменьше времени без ущерба для качества самого решения. Тема этой статьи — задачи на внутреннюю энергию.

Подписывайтесь на наш телеграм и читайте полезные материалы для студентов каждый день!

Решение задач: внутренняя энергия

Прежде чем приступать к задачам на внутреннюю энергию тела, посмотрите общую памятку по решению физических задач. И пусть под рукой на всякий случай всегда будут основные физические формулы.

Задача №1. Изменение внутренней энергии

Условие

Воздушный шар объёмом 500 м3 наполнен гелием под давлением 105 Па. В результате нагрева температура газа в аэростате поднялась от 10 °С до 25 °С. Как увеличилась внутренняя энергия газа?

Решение

Для решения будем использовать формулу внутренней энергии идеального газа:

Массу гелия выразим из уравнения Клапейрона-Менделеева:

Тогда можно записать:

Ответ: 4 МДж.

Задача №2. Внутренняя энергия и работа

Условие

Азот массой 200 г расширяется изотермически при температуре 280 К, причем объём газа увеличивается в 2 раза. Найти:

1. Изменение ∆U внутренней энергии газа.
2. Совершенную при расширении газа работу А.
3. Количество теплоты Q, полученное газом.

Решение

Так как процесс изотермический, то изменение внутренней энергии равно нулю, а работа равна количеству теплоты, полученному газом:

Ответ: 0; 11,6 кДж; 11,6 кДж.

Задача №3. Изменение внутренней энергии при изобарном и изохорном процессе

Условие 

Кислород занимает объём V1= 3 л при давлении p1= 820 кПа. В результате изохорного нагревания и изобарного расширения газ переведён в состояние с объёмом V2= 4,5 л и давлением p2= 600 кПа. Найти количество теплоты, полученное газом; изменение внутренней энергии газа. 

Решение

Теплота, подведенная к газу, идет на совершение работы и изменение внутренней энергии:

В изохорном и изобарном процессе соответственно:

Изохорное нагревание:

Изменение внутренней энергии при изохорном процессе:

Изменение внутренней энергии при изобарном процессе:

Общее изменение внутренней энергии:

Ответ: 4,75 кДж.

Задача №4. Изменение внутренней энергии двухатомного газа

Условие

Кислород массой 2 кг занимает объём 6 м3 и находится под давлением 1 атм. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объёма 13 м3, а затем при постоянном объёме – до давления 23 атм. Найти изменение внутренней энергии газа.

Решение

Изменение внутренней энергии находим по формуле:

Эту форму можно преобразовать, используя уравнение Клапейрона-Менделеева:

Ответ: 75,7 МДж.

Задача №5. Внутренняя энергия смеси газов

Условие

В закрытом сосуде находится масса m1 = 20 г азота и масса m2 = 32 г кислорода. Определить изменение ΔU внутренней энергии смеси газов при охлаждении ее на ΔТ = 28 К. 

Решение

Знак «минус» означает, что внутренняя энергия уменьшается.

Ответ: -539 Дж.

Вопросы на тему «Внутренняя энергия тела»

Вопрос 1. Что такое внутренняя энергия?

Ответ. Для начала, внутренняя энергия чего? Бутылки с пивом, воздуха в шарике, тазика с водой? Все макроскопические тела обладают энергией, заключенной внутри них: атомы твердого тела колеблются в кристаллической решетке около положений равновесия, молекулы газа находятся в постоянном хаотическом движении и т.д.

По определению:

Внутренняя энергия вещества – это энергия, которая складывается из кинетической энергии всех атомов и молекул, и потенциальной энергии их взаимодействия друг с другом.

Для идеального газа с числом степеней свободы i внутренняя энергия вычисляется по формуле:

Вопрос 2. От чего зависит внутренняя энергия идеального газа?

Ответ. Эта величина не зависит от объёма и определяется только температурой.

Вопрос 3. Как изменяется внутренняя энергия тела?

Ответ. Если тело совершает работу, его внутренняя энергия уменьшается. Например, газ передвигает поршень. Если же работа совершается над телом, то внутренняя энергия увеличивается.

Вопрос 4. Что такое функция состояния?

Ответ. Функция состояния – это один из параметров, которым можно описать термодинамическую систему. Функция состояния не зависит от того, как система пришла в то или иное состояние, а определяется несколькими переменными состояния.
Внутренняя энергия – это функция состояния термодинамической системы. В общем случае она зависит от температуры и объёма. 

Вопрос 5. Можно ли изменить внутреннюю энергию тела, не совершая над ним работы?

Ответ. Да, еще один способ изменения внутренней энергии – теплопередача. В процессе теплопередачи внутренняя энергия тел изменяется.

Нужна помощь в решении задач по любой теме и других студенческих заданий? Профессиональный студенческий сервис поспособствует в выполнении работы вне зависимости от ее сложности.

Определение

Числом степеней свободы механической системы называют количество независимых величин, с помощью которых может быть задано положение системы.

Внутренняя энергия идеального газа представляет собой сумму только кинетической энергии всех молекул, а потенциальной энергией взаимодействия можно пренебречь:

U=∑Ek0=NEk0=mNAM·ikT2=i2·mMRT=i2νRT=i2pV

i — степень свободы. i = 3 для одноатомного (или идеального) газа, i = 5 для двухатомного газа, i = 6 для трехатомного газа и больше.

Изменение внутренней энергии идеального газа в изопроцессах

Основная формула	ΔU=32·mMRT=32νRT=32νR(T2−T1)
Изотермический процесс	ΔU=0 Температура при изотермическом процессе — величина постоянная. Так как внутренняя энергия идеального газа постоянной массы в замкнутой системе зависит только от изменения температуры, то она тоже остается постоянной.
Изобарное расширение	ΔU=32νR(T2−T1)=32(pV2−pV1)=32pΔV
Изохорное увеличение давления	ΔU=32νR(T2−T1)=32(p2V−p1V)=32VΔp
Произвольный процесс	ΔU=32νR(T2−T1)=32(p2V2−p1V1)

Пример №1. На рисунке показан график циклического процесса, проведенного с идеальным газом. На каком из участков внутренняя энергия газа уменьшалась?

Внутренняя энергия газа меняется только при изменении температуры. Так как она прямо пропорциональная температуре, то уменьшается она тогда, когда уменьшается и температура. Температура падает на участке 3.

Работа идеального газа

Если газ, находящийся под поршнем, нагреть, то, расширяясь, он поднимет поршень, т.е. совершит механическую работу.

Механическая работа вычисляется по формуле:

A=Fscosα

Перемещение равно разности высот поршня в конечном и начальном положении:

s=h2−h1

Также известно, что сила равна произведению давления на площадь, на которое это давление оказывается. Учтем, что направление силы и перемещения совпадают. Поэтому косинус будет равен единице. Отсюда работа идеального газа равна произведению давления на площадь поршня:

Работа идеального газа

F=pS

p — давление газа, S — площадь поршня

Работа, необходимая для поднятия поршня — полезная работа. Она всегда меньше затраченной работы, которая определяется изменением внутренней энергии идеального газа при изобарном расширении:

A‘=p(V2−V1)=pΔV>0

Внимание! Знак работы определяется только знаком косинуса угла между направлением силы, действующей на поршень, и перемещением этого поршня.

Работа идеального газа при изобарном сжатии:

A‘=p(V2−V1)=pΔV<0

Работа идеального газа при нагревании газа:

A‘=νRΔT=νR(T2−T1)=mMνRΔT

Внимание! В изохорном процессе работа, совершаемая газом, равна нулю, так как работа газа определяется изменением его объема. Если изменения нет, работы тоже нет.

Геометрический смысл работы в термодинамике

В термодинамике для нахождения работы можно вычислить площадь фигуры под графиком в осях (p, V).

Примеры графических задач

Изобарное расширение: A‘=p(V2−V1) A‘>0
Изобарное сжатие: A‘=p(V2−V1) A‘<0
Изохорное охлаждение: V=const A‘=0
Изохорное охлаждение и изобарное сжатие: 1–2: A‘=0 2–3: A‘=pΔV<0
Замкнутый цикл: 1–2: A‘>0 2–3: A‘=0 3–4: A‘<0 4–1: A‘=0 A‘=(p1−p3)(V2−V1)
Произвольный процесс: A‘=p1+p22(V2−V1)

Пример №2. На pV-диаграмме показаны два процесса, проведенные с одним и тем же количеством газообразного неона. Определите отношение работ A₂ к A₁ в этих процессах.

Неон — идеальный газ. Поэтому мы можем применять формулы, применяемые для нахождения работы идеального газа. Работа равна площади фигуры под графиком. С учетом того, что в обоих случаях изобарное расширение, получим:

A2=p(V2−V1)=4p(5V−3V)=4p2V=8pV

A1=p(V2−V1)=p(5V−V)=4pV

Видно, что работа, совершенная во втором процессе, вдвое больше работы, совершенной газом в первом процессе.

Алиса Никитина | Просмотров: 14.9k