Как найти внутреннюю поверхность конуса

Онлайн-калькулятор

Общее определение конуса
Конус – это тело, образованное совокупностью всех лучей, исходящих из точки пространства и пересекающих плоскость.

Точка, из которой лучи исходят, получила название вершины конуса. В случае, когда основанием конуса является многоугольник, он превращается в пирамиду.

Рассмотрим некоторые важные понятия.

Образующей конуса называется отрезок, который соединяет любую точку границы основания конуса, с его вершиной. Высотой конуса является перпендикуляр, который опущен из вершины к основанию тела.

Конус бывает нескольких типов:

Прямой, если его основание – одна из таких фигур, как эллипс или круг. Обязательным условием является проецирование вершины конуса в центр основания.

Косой – у него центр фигуры, которая находится в основании, не совпадает с проекцией вершины на это самое основание.

Круговой – отталкиваясь от названия, понятно, что в его основании лежит круг.

Усеченный – область конуса, лежащая между основанием и сечением плоскости, которая параллельна основанию и пересекает данный конус.

Свойства кругового конуса

Выделяют несколько особенностей, которыми обладает фигура данного типа:

1. Образующие кругового конуса равны друг другу.
2. Чтобы найти центр тяжести фигуры, нужно её высоту поделить на четыре части.
3. Место пересечения плоскости сечения и основы образует параболу. Если через вершину тела провести плоскость сечения, то получится равнобедренный треугольник.

Интересный факт!

Если вращать прямоугольный треугольник вокруг одного из катетов, то получится конус. При этом важно, чтобы угол вращения был не менее 360 градусов.

Связанные определения для конуса

Образующая конуса. Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса.

Образующая поверхность конуса. Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса.

Коническая поверхность. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью.

Высота конуса (H). Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса.

Угол раствора конуса. Угол раствора конуса – угол между двумя противоположными образующими (угол при вершине конуса, внутри конуса).

Прямой конус. Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то конус называется прямым. При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса.

Косой (наклонный) конус. Косой (наклонный) конус – конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.

Круговой конус. Круговой конус – конус, основание которого является кругом.

Прямой круговой конус. Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса).

Эллиптическим конус. Конус, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом (последние два имеют бесконечный объём).

Усечённый конус. Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом, или коническим слоем.

Виды конусов

1. Прямой конус – имеет симметричное основание. Ортогональная проекция вершины данной фигуры на плоскость основания совпадает с центром этого основания.

   

2. Косой (наклонный) конус – ортогональная проекция вершины фигуры на ее основание не совпадает с центром этого основания.

   

3. Усеченный конус (конический слой) – часть конуса, которая остается между его основанием и секущей плоскостью, параллельной данному основанию.

   

4. Круговой конус – основанием фигуры является круг. Также бывают: эллиптический, параболический и гиперболический конусы.
5. Равносторонний конус – прямой конус, образующая которого равняется диаметру его основания.

Объем конуса

Объем конуса

равен трети от произведению площади его основания на высоту.

Формулы объема конуса:

где V – объем конуса, So – площадь основания конуса, R – радиус основания конуса, h – высота конуса, π = 3.141592.

Вариации и обобщения

• В алгебраической геометрии конус
  — это произвольное подмножество K {displaystyle K} векторного пространства V {displaystyle V} над полем F {displaystyle F} , для которого для любого λ ∈ F {displaystyle lambda in F} λ K = K . {displaystyle lambda K=K.}
• В топологии конус над топологическим пространством X
  есть фактор-пространство X × [ 0 , ∞ ) {displaystyle Xtimes [0,infty )} по отношению эквивалентности ( x , 0 ) ∼ ( y , 0 ) . {displaystyle (x,0)sim (y,0).}

Объем конуса через радиус

Данный треугольник

для получения конуса должен вращаться вокруг одного из своих
катетов
, который является не только осью вращения, но и высотой конуса.
Второй
же катет становится радиусом полученной в результате вращения окружности-основания конуса, а гипотенуза будет апофемой (высотой опущенной под прямым углом к линии окружности, а не центру).

Технически взаимосвязь конуса

с цилиндром идентична взаимосвязи пирамиды с кубом (параллелепипедом), единственное, что вывод
формулы
проходит через отношения интегралов их сферических углов, но тем не менее, он точно также как и пирамида занимает одну треть цилиндра, в который он может быть вписан.

Поэтому его объем

равен произведению площади основания на высоту, деленному на три, или произведению числом
π
на квадрат радиуса и высоту, деленному на три.

Определение конуса

Далее мы будем рассматривать самый распространенный вид конуса – прямой круговой. Остальные возможные варианты фигуры перечислены в последнем разделе публикации.

Итак, прямой круговой конус – это трехмерная геометрическая фигура, полученная путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из своих катетов, который в данном случае будет являться осью фигуры. Ввиду этого иногда такой конус называют конусом вращения.

Конус на рисунке выше получен в результате вращения прямоугольного треугольника ACD (или BCD) вокруг катета CD.

Объем усеченного конуса

Усеченный конус получится, если в конусе провести сечение, параллельное основанию. Тело ограниченное этим сечением, основанием и боковой поверхностью конуса называется усеченным конусом.

Первый способ вычисления объема усеченного конуса

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:

[ LARGE V = frac{1}{3} left( Hcdot S_2 + h cdot s_1 right) ]

где: V – объем конуса h – расстояния от плоскости верхнего основания до вершины H – расстояния от плоскости нижнего основания до вершины S1 – площадь верхнего (ближнего к вершине) основания S2 – площадь нижнего основания

Второй способ вычисления объема усеченного конуса

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:

[ LARGE V = frac{1}{3} pi h left( R^2 + R cdot r + r^2 right) ]

где: V – объем конуса h – высота конуса R – радиус нижнего основания r – радиус верхнего основания

Развёртка

— высота конуса от центра основания до вершины — является катетом прямоугольного треугольника, вокруг которого происходит вращение. Второй катет прямоугольного треугольника
r
— радиус в основании конуса. Гипотенузой прямоугольного треугольника является
l
— образующая конуса.

В создании развёртки конуса могут использоваться всего две величины r

и
l
. Радиус основания
r
определяет в развертке круг основания конуса, а сектор боковой поверхности конуса определяет образующая боковой поверхности
l
, являющаяся радиусом сектора боковой поверхности. Угол сектора φ {displaystyle varphi } в развёртке боковой поверхности конуса определяется по формуле:
φ = 360°·(r
/
l
).

Элементы конуса

Определение. Вершина конуса

– это точка (K), из которой исходят лучи.

Определение. Основание конуса

– это плоскость, образованная в результате пересечения плоской поверхности и всех лучей, исходящих из вершины конуса. У конуса могут быть такие основы, как круг, эллипс, гипербола и парабола.

Определение. Образующей конуса

(L) называется любой отрезок, который соединяет вершину конуса с границей основания конуса. Образующая есть отрезок луча, выходящего из вершины конуса.

Формула. Длина образующей

(L) прямого кругового конуса через радиус R и высоту H (через теорему Пифагора): L2 = R2 + H2

Определение. Направляющая

конуса – это кривая, которая описывает контур основания конуса.

Определение. Боковая поверхность

конуса – это совокупность всех образующих конуса. То есть, поверхность, которая образуется движением образующей по направляющей конуса.

Определение. Поверхность

конуса состоит из боковой поверхности и основания конуса.

Определение. Высота

конуса (H) – это отрезок, который выходит из вершины конуса и перпендикулярный к его основанию.

Определение. Ось

конуса (a) – это прямая, проходящая через вершину конуса и центр основания конуса.

Определение. Конусность (С)

конуса – это отношение диаметра основания конуса к его высоте. В случае усеченного конуса – это отношение разности диаметров поперечных сечений D и d усеченного конуса к расстоянию между ними:

где C – конусность, D – диаметр основания, d – диаметр меньшего основания и h – расстояние между основаниями. Конусность характеризует остроту конуса, то есть, угол наклона образующей к основанию конуса. Чем больше конусность, тем острее угол наклона. угол конуса α будет:

где R – радиус основы, а H – высота конуса.

Определение. Осевое сечение

конуса – это сечение конуса плоскостью, проходящей через ось конуса. Такое сечение образует равнобедренный треугольник, у которого стороны образованы образующими, а основание треугольника – это диаметр основания конуса.

Определение. Касательная плоскость

к конусу – это плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярна к осевому сечению конуса.

Определение. Конус, что опирается на круг, эллипс, гиперболу или параболу называется соответственно круговым, эллиптическим, гиперболическим

или
параболическим
конусом (последние два имеют бесконечный объем).

Определение. Прямой

конус – это конус у которого ось перпендикулярна основе. У такого конуса ось совпадает с высотой, а все образующие равны между собой.

Формула. Объём кругового конуса

:

где R – радиус основы, а H – высота конуса.
Формула. Площадь боковой поверхности

(Sb) прямого конуса через радиус R и длину образующей L: Sb = πRL

Формула. Общая площадь поверхности

(Sp) прямого кругового конуса через радиус R и длину образующей L: Sp = πRL + πR2

Определение. Косой (наклонный)

конус – это конус у которого ось не перпендикулярна основе. У такого конуса ось не совпадает с высотой.

Формула. Объём любого конуса

:

где S – площадь основы, а H – высота конуса.

Определение. Усеченный

конус – это часть конуса, которая находится между основанием конуса и плоскостью сечения, параллельная основе.

Формула. Объём усеченного конуса

:

где S1 и S2 – площади меньшей и большей основы соответственно, а H и h – расстояние от вершины конуса до центра нижней и верхней основы соответственно.

Основные элементы конуса

• R – радиус круга, являющегося основанием конуса. Центр круга – точка D, диаметр – отрезок AB.
• h (CD) – высота конуса, одновременно являющаяся осью фигуры и катетом прямоугольных треугольников ACD или BCD.
• Точка C – вершина конуса.
• l (CA, CB, CL и CM) – образующие конуса; это отрезки, соединяющие вершину конуса с точками на окружности его основания.
• Осевое сечение конуса – это равнобедренный треугольник ABC, который образуется в результате пересечения конуса плоскостью проходящей через его ось.
• Поверхность конуса – состоит из его боковой поверхности и основания. Формулы для расчета площади поверхности, а также объема прямого кругового конуса представлены в отдельных публикациях.

Между образующей конуса, его высотой и радиусом основания есть взаимосвязь (согласно теореме Пифагора):

l2 = h2 + R2

Развёртка конуса – боковая поверхность конуса, развернутая в плоскость; является круговым сектором.

• длина дуги сектора равняется длине окружности основания конуса (т.е. 2πR);
• α – угол развёртки (или центральный угол);
• l – радиус сектора.

Примечание: Основные свойства конуса мы рассмотрели в отдельной публикации.

Основные свойства кругового конуса

1. Все образующие прямого кругового конуса равны между собой.

2. При вращении прямоугольного треугольника вокруг своего катета на 360 ° образуется прямой круговой конус.

3. При вращении равнобедренного треугольника вокруг своей оси на 180 ° образуется прямой круговой конус.

4. В месте пересечения конуса плоскостью, параллельной основанию конуса, образуется круг. (см. Срезанный конус)

5. Если при пересечении плоскость не параллельна основе конуса и не пересекается с основанием, то в месте пересечения образуется эллипс (рис. 3).

6. Если плоскость сечения проходит через основание, то в месте пересечения образуется парабола (рис. 4).

7. Если плоскость сечения проходит через вершину, то в месте пересечения образуется равнобедренный треугольник (см. Осевое сечение).

8. Центр тяжести любого конуса находится на одной четвертой высоты от центра основы.

Определение и элементы конуса

Под конусом понимают тело, состоящее из круга и точки, которая удалена от его поверхности на определённое расстояние.

При этом точка соединяется с основанием посредством проведения лучей, которые называются образующими. Линия, соединяющая центр круга с удалённой точкой, является высотой данной фигуры.

Обратите внимание!

Также существует такое понятие, как ось конуса. Это линия, проходящая через его центр и совпадающая с высотой. Образующие строятся относительно оси.

Хотелось бы рассмотреть ещё несколько понятий по этой теме:

1. Под конусностью понимают отношение диаметра основания фигуры и её высоты:

Важно!

Конусность отвечает за угол наклона образующих. Чем больше данный параметр, тем острее угол.

2. Осевое сечение предполагает наличие плоскости, которая будет рассекать фигуру, проходя через ось:

3. Касательная— это плоскость, которая соприкасается с образующей конуса. При этом важно, чтобы она была перпендикулярна осевому сечению.

Введите радиус основания и высоту конуса

Радиус конуса r

Высота конуса h

Результат

Расчет объема куба, пирамиды, конуса, цилиндра, шара (объема всех фигур).

Объемы фигур

Радиус:

Высота:

Конус – геометрическое тело, которое состоит из круга (основание конуса), точки, не лежащей в плоскости этого круга (вершина конуса), и всех точек, соединяющих вершину конуса с точками основания. Формула объема конуса: , где R – радиус основания, h – высота конуса

Нормальные углы и конусы инструментов

НОРМАЛЬНЫЕ УГЛЫ ( ГОСТ 8908-81 )
Таблица не распространяется на угловые размеры конусов. При выборе углов 1-й ряд следует предпочитать 2-му, а 2-й — 3-му.
НОРМАЛЬНЫЕ КОНУСНОСТИ и УГЛЫ КОНУСОВ ( ГОСТ 8593-81 )
Стандарт распространяется на конусности и углы конусов гладких конических элементов деталей.

Примечание. Значения конусности или угла конуса, указанные в графе «Обозначение конуса», приняты за исходные при расчете других значений, приведенных в таблице. При выборе конусностей или углов конусов ряд 1 следует предпочитать ряду 2.
КОНУСЫ ИНСТРУМЕНТОВ УКОРОЧЕННЫЕ ( ГОСТ 9953-82 )
Стандарт распространяется на укороченные инструментальные конусы Морзе.

*z — наибольшее допускаемое отклонение положения основной плоскости, в которой находится диаметр D от теоретическогот положения. ** размеры для справок.

Обозначение конуса	Конус Морзе	D	D1	d	d1	l1	l2	a, не более	b	c
B7	0	7,067	7,2	6,5	6,8	11,0	14,0	3,0	3,0	0,5
B10 B12	1	10,094 12,065	10,3 12,2	9,4 11,1	9,8 11,5	14,5 18,5	18,0 22,0	3,5 3,5	3,5 3,5	1,0 1,0
B16 B18	2	15,733 17,780	16,8 18,0	14,5 16,2	15,0 16,8	24,0 32,0	29,0 37,0	5,0 5,0	4,0 4,0	1,5 1,5
B22 B24	3	21,793 23,825	22,0 24,1	19,8 21,3	20,5 22,0	40,5 50,5	45,5 55,5	5,0 5,0	4,5 4,5	2,0 2,0
B32	4	31,267	31,6	28,6	—	51,0	57,5	6,5	—	2,0
B45	5	44,399	44,7	41,0	—	64,5	71,0	6,5	—	2,0
Размеры D1 и d являются теоретическими, вытекающими соответственно из диаметра D и номинальных размеров а и l1

КОНУСНОСТЬ НАРУЖНЫХ И ВНУТРЕННИХ КОНУСОВ И КОНУСОВ С РЕЗЬБОВЫМ ОТВЕРСТИЕМ

Обозначение величины конуса	Конусность	Угол конуса 2α
B7 B10, B12 B16, B18 B22, B24 B32 B45	1 : 19,212 = 0,05205 1 : 20,047 = 0,49880 1 : 20,020 = 0,04995 1 : 19,922 = 0,05020 1 : 19,954 = 0,05194 1 : 19,002 = 0,05263	2°58′54″ 2°51′26″ 2°51′41″ 2°52′32″ 2°58′31″ 3°00′53″
угол конуса 2α подсчитан по величине конусности с округлением до 1″.

РЕКОМЕНДУЕМЫЕ РАЗМЕРЫ ЦЕНТРОВОГО ОТВЕРСТИЯ УКОРОЧЕННОГО КОНУСАКОНУСЫ ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ МОРЗЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ НАРУЖНЫЕ ( ГОСТ 25557-2006 )

Тип конуса	Метрический	Морзе	Метрический
Обозн.	4	6	0	1	2	3	4	5	6	80	100	120	160	200
D	4,0	6,0	9,045	9,065	17,78	23,825	31,267	44,399	63,348	80	100	120	160	200
D1	4,1	6,2	9,2	12,2	18,0	24,1	31,6	44,7	63,8	80,4	100,5	120,6	160,8	201,0
d*	2,9	4,4	6,4	9,4	14,6	19,8	25,9	37,6	53,9	70,2	88,4	106,6	143	179,4
d1	—	—	—	М6	М10	М12	М16	М20	М24	М30	М36	М36	М48	М48
d4 max	2,5	4,0	6,0	9,0	14,0	19,0	25,0	35,7	51,0	67,0	85,0	102,0	138,0	174,0
l min	—	—	—	16,0	24,0	24,0	32,0	40,0	47,0	59,0	70,0	70,0	92,0	92,0
l1	23,0	32,0	50,0	53,5	64,0	81,0	102,5	129,5	182,0	196,0	232,0	268,0	340,0	412,0
l2	25,0	35,0	53,0	57,0	69,0	86,0	109,0	136,0	190,0	204,0	242,0	280,0	356,0	432,0
l11	—	—	—	4,0	5,0	5,5	8,2	10,0	11,5	—	—	—	—	—
* — размер для справок. — угол конусов Морзе №0-№5 соответствует углу укороченных конусов Морзе; №6 — 1:19,180 = 0,05214 — угол метрических конусов — 1:20 = 0,05.

Профиль резьбового отверстия соответствует отверстию центровому форма Р

по
ГОСТ ГОСТ 14034-74
.

В ГОСТ 25557-2006 все размеры центрового отверстия приводятся в общей таблице. Стандарт также определяет размеры пазов канавок и отвестий, необходимых для конструирования конусов, в случае подачи смазочно-охлаждающей жидкости (СОЖ) через инструмент.

В зависимости от конструкции инструментальный хвостовик может иметь соответствующее обозначение:

BI

— внутренний конус с пазом;
BE
— наружный конус с лапкой;
AI
— внутренний конус с отверстием по оси;
АЕ
— наружный конус с резьбовым отверстием по оси;
BIK
— внутренний конус с пазом и отверстием для подачи СОЖ;
ВЕК
— наружный конус с лапкой и отверстием для подачи СОЖ;
AIK
— внутренний конус с отверстием по оси и отверстием для подачи СОЖ;
АЕК
— наружный конус с резьбовым отверстием по оси и отверстием для подачи СОЖ.
КОНУСЫ ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ МОРЗЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ВНУТРЕННИЕ ( ГОСТ 25557-2006 )КОНУСЫ ВНУТРЕННИЕ И НАРУЖНЫЕ КОНУСНОСТЬЮ 7 : 24 ( ГОСТ 15945-82 )
Допуски конусов внутренних и наружных конусностью 7:24

по ГОСТ 19860-93.
КОНУСЫ ИНСТРУМЕНТОВ Предельные отклонения угла конуса и допуски формы конусов ( ГОСТ 2848-75 )
Степень точности инструментальных конусов обозначается допуском угла конуса заданной степени точности по ГОСТ 8908-81 и определяется предельными отклонениями угла конуса и допусками формы поверхности конуса, числовые значения которых указаны ниже.

Примечания: 1. Отклонения угла конуса от номинального размера располагав в «плюс» — для наружных конусов, в «минус» — для внутренних. 2. ГОСТ 2848-75 для наружных конусов предусматривает также степени точности АТ4 и АТ5. Допуски по ГОСТ 2848-75 распространяются на конусы инструментов по ГОСТ 25557-2006 и ГОСТ 9953-82.

Пример обозначения конуса Морзе 3, степени точности АТ8:
Морзе 3 АТ8 ГОСТ 25557-2006
То же метрического конуса 160, степени точности АТ7:
Метр. 160 АТ7 ГОСТ 25557-2006
То же укороченного конуса В18, степени точности АТ6:
Морзе В18 АТ6 ГОСТ 9953-82
Похожие документы:

ГОСТ 2848-75 — Конусы инструментов. Допуски. Методы и средства контроля ГОСТ 7343-72 — Конусы инструментов с конусностью 1:10 и 1:7. Размеры ГОСТ 10079-71 — Развертки конические с коническим хвостовиком под конусы Морзе. Конструкция и размеры ГОСТ 22774-77 — Конусы и трубки шлифовальные. Типы и размеры ГОСТ 25548-82 — Основные нормы взаимозаменяемости. Конусы и конические соединения. Термины и определения

Формула площади конуса

Площадь поверхности конуса можно получить, сложив площадь боковой поверхности и площадь основания конуса:

S = Sбок.пов + Sосн = πRL + πR2

Источники

• https://studwork.org/spravochnik/matematika/obemy-figur/obem-konusa
• https://calcsbox.com/post/formula-obema-konusa.html
• https://worksbase.ru/matematika/formuly/37-konus.html
• https://ru.onlinemschool.com/math/formula/volume/
• https://allcalc.ru/node/36
• https://ru.onlinemschool.com/math/formula/cone/
• https://www.calc.ru/1430.html
• https://MicroExcel.ru/obyom-konusa/
• https://www.calc.ru/obyem-konusa.html
• https://mnogoformul.ru/obem-konusa-formula-i-raschet-onlayn

Площадь усечённого конуса

Для нахождения данного параметра нужно воспользоваться формулами:

• площади боковой поверхности усечённого конуса Sбок;
• полной площади усечённой фигуры Sпол, которая равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности:

Здесь l — длина образующей, а R и r — радиусы большего и меньшего оснований соответственно.