Как найти во сколько раз увеличивается скорость

Прямая и обратная пропорциональность

• Прямая пропорциональность
• Формула прямой пропорциональности
• Обратная пропорциональность
• Формула обратной пропорциональности

Пропорциональность — это зависимость одной величины от другой, при которой изменение одной величины приводит к изменению другой во столько же раз.

Пропорциональность величин может быть прямой и обратной.

Прямая пропорциональность

Прямая пропорциональность — это зависимость двух величин, при которой одна величина зависит от второй величины так, что их отношение остаётся неизменным. Такие величины называются прямо пропорциональными или просто пропорциональными.

Рассмотрим пример прямой пропорциональности на формуле пути:

s = vt,

где  s  — это путь,  v  — скорость, а  t  — время.

При равномерном движении путь пропорционален времени движения. Если взять скорость  v  равной  5 км/ч,  то пройденный путь  s  будет зависеть только от времени движения  t:

Скорость v = 5 км/ч
Время t (ч)	1	2	4	8	16
Путь s (км)	5	10	20	40	80

Из примера видно, что во сколько раз увеличивается время движения  t,  во столько же раз увеличивается пройденное расстояние  s.  В примере мы увеличивали время каждый раз в 2 раза, так как скорость не менялась, то и расстояние увеличивалось тоже в два раза.

В данном случае скорость  (v = 5 км/ч)  является коэффициентом прямой пропорциональности, то есть отношением пути ко времени, которое остаётся неизменным:

следовательно,

5	=	10	=	20	=	40	=	80	= 5.
1	2	4	8	16

Если время движения остаётся неизменным, то при равномерном движении расстояние будет пропорционально скорости:

Время  t = 2 ч
Скорость  v (км/ч)	5	15	45	90
Расстояние  s (км)	10	30	90	180

В этом примере коэффициентом прямой пропорциональности, то есть, отношением пути к скорости, которое остаётся неизменным, является время  (t = 2 ч):

следовательно,

10	=	30	=	90	=	180	= 2.
5	15	45	90

Из данных примеров следует, что две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз.

Формула прямой пропорциональности

Формула прямой пропорциональности:

y = kx,

где  y  и  x  — это переменные величины, а  k  — это постоянная величина, называемая коэффициентом прямой пропорциональности.

Коэффициент прямой пропорциональности — это отношение любых соответствующих значений пропорциональных переменных  y  и  x  равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента прямой пропорциональности:

Обратная пропорциональность

Обратная пропорциональность — это зависимость двух величин, при которой увеличение одной величины приводит к пропорциональному уменьшению другой. Такие величины называются обратно пропорциональными.

Рассмотрим пример обратной пропорциональности на формуле пути:

s = vt,

где  s  — это путь,  v  — скорость, а  t  — время.

При прохождении одного и того же пути с разной скоростью движения время будет обратно пропорционально скорости. Если взять путь  s  равным  120 км,  то потраченное на преодоление этого пути время  t  будет зависеть только от скорости движения  v:

Путь  s = 120 км
Скорость  v (км/ч)	10	20	40	80
Время  t (ч)	12	6	3	1,5

Из примера видно, что во сколько раз увеличивается скорость движения  v,  во столько же раз уменьшается время  t.  В примере мы увеличивали скорость движения каждый раз в 2 раза, а так как расстояние, которое нужно преодолеть, не менялось, то количество времени на преодоление данного расстояния сокращалось тоже в два раза.

В данном случае путь (s = 120 км) является коэффициентом обратной пропорциональности, то есть произведением скорости на время:

s = vt,

следовательно,

10 · 12 = 20 · 6 = 40 · 3 = 80 · 1,5 = 120.

Из данного примера следует, что две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.

Формула обратной пропорциональности

Формула обратной пропорциональности:

где  y  и  x  — это переменные величины, а  k  — это постоянная величина, называемая коэффициентом обратной пропорциональности.

Коэффициент обратной пропорциональности — это произведение любых соответствующих значений обратно пропорциональных переменных  y  и  x,  равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента обратной пропорциональности:

xy = k.

Расчеты константы и изменения скорости реакции

Задача 325. 
Найти значение константы скорости реакции А + В ⇒ АВ, если при концентрациях веществ А и В, равных соответственно 0,05 и 0,01 моль/л, скорость реакции равна 5 ^. 10 -5 моль/(л. мин).
Решение:
Скорость химической реакции выражается уравнением:

v- скорость реакции,  k – константа скорости реакции, [A] и [B] – концентрации исходных веществ.

Тогда

Ответ:  0,1/моль . мин.

---

Задача 326. 
Во сколько раз изменится скорость реакции 2А + В ⇒ А₂В, если концентрацию вещества А увеличить в 2 раза, а концентрацию вещества В уменьшить в 2 раза?
Решение:  
До изменения концентрации скорость реакции можно выразить уравнением:

v- скорость реакции,  k – константа скорости реакции, [A] и [B] – концентрации исходных веществ.

Вследствие увеличения концентрации вещества А в 2 раза и уменьшения концентрации вещества В в 2 раза скорость реакции будет выражаться уравнением:

Сравнивая выражения для v и v’ , находим, что скорость реакции увеличилась в 2 раза.

Ответ: увеличилась в 2 раза. 

---

Задача 327. 
Во сколько раз следует увеличить концентрацию вещества В₂ в системе 
2А_2(г) + В_2(г) = 2А₂В, чтобы при уменьшении концентрации вещества А в 4 раза скорость прямой реакции не изменилась?
Решение:
Концентрацию вещества А уменьшили в 4 раза. Изменение концентрации вещества В обозначим через  x. Тогда до изменения концентрации вещества А скорость реакции можно выразить уравнением:

v- скорость реакции,  k – константа скорости реакции, [A] и [B] – концентрации исходных веществ.
После изменения концентрации вещества А₂ скорость реакции будет выражаться уравнением:

По условию задачи  v =  v’ или 

Таким образом, следует увеличить в 16 раз концентрацию вещества В₂ в системе 2А_2(г) + В_2(г) = 2А₂В, чтобы при уменьшении концентрации вещества А₂ в 4 раза скорость прямой реакции не изменилась.

Ответ: в 16 раз.

---

Задача 328. 
В два сосуда одной и той же вместимости введены: в первый – 1 моль газа А и 2 моля газа В, во второй 2 моля газа А и 1 моль газа В. Температура в обоих сосудах одинакова. Будет ли различаться скорость реакции между газами А и В в этих сосудах, если скорость реакции выражается: а) уравнением б) уравнением
Решение:
а) Если скорость реакции выражается уравнением  , то, учитывая концентрации веществ А и В в сосудах, запишем выражения скоростей реакции для сосудов:

Таким образом,

б) Если скорость реакции выражается уравнением  , то, учитывая концентрации веществ А и В в сосудах, запишем выражения скоростей реакции для сосудов:

Таким образом,                    

Ответ: а) нет, б) да.

---

Задача 329. 
Через некоторое время после начала реакции 3А+В ⇒  2С+D концентрации веществ составляли: [А] = 0,03 моль/л; [В] =0,01 моль/л; [С] = 0,008 моль/л. Каковы исходные концентрации веществ А и В?

Решение:
Для нахождения концентраций веществ А и В учтём, что, согласно уравнению реакции, из 3 молей вещества А и 1 моля вещества В образуется 1 моль вещества С. Поскольку по условию задачи в каждом литре системы образовалось 0,008 молей вещества С, то при этом было израсходовано 0,012 моля вещества А (3/2 ^. 0,008 = 0.012) и 0,004 моля вещества В (1/2 ^. 0,008 = 0,004). Таким образом исходные концентрации веществ А и В будут равны:

[A]₀ = 0,03 + 0,012 = 0,042 моль/л;
[B]₀ = 0,01 + 0,004 = 0,014 моль/л.

Ответ: [A]₀ = 0,042 моль/л; [B]₀ = 0,014 моль/л.

---

Задача 330. 
В системе СО + С1₂ = СОС1₂ концентрацию увеличили от 0,03 до 0,12 моль/л, а концентрацию хлора от 0,02 до 0,06 моль/л. Во сколько раз возросла скорость прямой реакции?
Решение:
До изменения концентрации скорость реакции можно выразить уравнением:

v- скорость реакции,  k – константа скорости реакции, [СО] и [Cl₂] – концентрации исходных веществ.

Тогда

После увеличения концентрации реагирующих веществ скорость реакции равна:

Рассчитаем, во сколько раз возросла скорость реакции:

Ответ: в 12 раз.

---

Как определить во сколько раз увеличится скорость реакции по уравнению реакции

2.4 РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ “ХИМИЧЕСКАЯ КИНЕТИКА И ХИМИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ”
(для нехимических специальностей)

1. Во сколько раз изменится скорость прямой реакции N ₂ (г)+3Н₂(г)2 NH ₃ (г), если давление в системе увеличить в 2 раза?

Увеличение давления в системе в 2 раза равносильно уменьшению объема системы в 2 раза. При этом концентрации реагирующих веществ возрастут в 2 раза. Согласно закону действия масс, начальная скорость реакции равна v _н = k · [ N ₂ ] · [ H ₂ ] 3 . После увеличения давления в 2 раза концентрации азота и водорода увеличатся в 2 раза, и скорость реакции станет равна v _к = k · 2[ N ₂ ] · 2 3 [ H ₂ ] 3 = k · 32[ N ₂ ] · [ H ₂ ] 3 . Отношение v _к. / v _н показывает, как изменится скорость реакции после изменения давления. Следовательно, v _к / v _н = k · 32[ N ₂ ] · [ H ₂ ] 3 /( k · [ N ₂ ] · [ H ₂ ] 3 )=32. Ответ: скорость реакции увеличится в 32 раза.

2. В реакции С( т)+2 H ₂ (г) CH ₄ (г) концентрацию водорода уменьшили в 3 раза. Как изменится скорость реакции?

Согласно закону действия масс, начальная скорость реакции равна v _н = k · [ H ₂ ] 2 . После уменьшения концентрации водорода в 3 раза скорость станет равна v _к = k · (1/3) 2 [ H ₂ ] 2 =1/9 k [ H ₂ ] 2 . После изменения концентрации водорода скорость изменится следующим образом: v _к / v_н=1/9 k [ H ₂ ] 2 /( k [ H ₂ ] 2 )=1/9. Ответ: скорость реакции уменьшится в 9 раз.

3. Во сколько раз возрастет скорость реакции при повышении температуры с 10 до 30 o С ( γ =3)?

При увеличении температуры с 10 до 30 o С скорость реакции в соответствии с правилом Вант-Гоффа возрастает:

v ₂ / v ₁ = γ ( t 2- t 1)/10 , где t ₂ =30 o C , t ₁ =10 o C , а v ₂ и v ₁ – скорости реакции при данных температурах. Получаем v ₂ / v ₁ =3 (30–10)/10 =3 2 = 9 т.е. скорость реакции увеличится в 9 раз. Ответ: 9.

4. Равновесие реакции 2 H ₂ (г)+ O ₂ (г)2 H ₂ O _(г) ; Δ H

1) повышении температуры; 2) уменьшении давления; 3) увеличении давления?

Все вещества в системе – газы. В соответствии с принципом Ле Шателье , повышение давления приводит к смещению равновесия в сторону реакции, приводящей к меньшему количеству молей газов, т.е. в сторону образования Н₂О. Следовательно, повышение давления в системе смещает равновесие реакции вправо. Ответ: при увеличении давления.

5. В какую сторону сместится равновесие реакции 2 SO ₂ (г)+ O ₂ (г)2 SO ₃ (г); Δ H при повышении температуры?

6. Определите константу равновесия реакции
NOCl ₂ (г)+ NO (г) 2NOCl(г), если при некоторой температуре равновесные концентрации веществ составляют [NOCl₂]=0,05; [NO]=0,55; [ NOCl ]=0,08 моль/ л .

Константа равновесия обратимой химической реакции равна отношению произведения равновесных концентраций продуктов к произведению равновесных концентраций исходных веществ. Значение каждой из концентраций должно быть возведено в степень, равную стехиометрическому коэффициенту перед соответствующим веществом в уравнении реакции. Поэтому

Урок №75. Скорость химической реакции. Закон действующих масс

Образцы решений задач по теме “Скорость химической реакции”

Задача №1

Реакция протекает по уравнению А+В = 2С. Начальная концентрация вещества А равна 0,22 моль/л, а через 10 с — 0,215 моль/л. Вычислите среднюю скорость реакции.

Используем формулу для расчёта

υ = ± ΔС/Δτ = ± (0,215-0,22)/(10-0) = 0,0005 моль/л ∙ с

Задача №2

Вычислите, во сколько раз увеличится скорость реакции при повышении температуры от 30 до 70 ∘ С, если температурный коэффициент скорости равен 2.

По правилу Вант-Гоффа

υ=υ 0 ·γ (t2-t1)/10

По условию задачи требуется определить υ/υ 0 :

υ/υ 0 =2 (70-30)/10 = 2 4 = 16

Задача №3

Запишите кинетическое уравнение для следующих уравнений реакций:

А) S(тв) + O 2 (г) = SO 2 (г)

Б) 2SO 2 (г) + O 2 (г) = 2SO 3 (ж)

Согласно закону действующих масс, который действует для газов и жидкостей:

υ = к 2 C 2 (SO 2 )·C (O 2 )

Задача №4

Как изменится скорость реакции:

S (тв) + O 2 (г) = SO 2 (г)

при увеличении давления в системе в 4 раза?

Запишем кинетическое уравнение для реакции до повышения давления в системе. Обозначим концентрацию кислорода

С(О 2 ) = а, концентрация серы – твёрдого вещества не учитывается.

При повышении давления в 4 раза, объём уменьшается в 4 раза, следовательно концентрация газа кислорода увеличится в 4 раза и кинетическое уравнение примет вид:

Определяем, во сколько раз возрастёт скорость реакции:

υ ‘ /υ = к 1 4а / к 1 а = 4

Следовательно, при повышении давления в 4 раза, скорость данной реакции увеличится в 4 раза.

Задача №5

Как изменится скорость реакции:

2SО 2 (г) + O 2 (г) = 2SO 3 (г)

при увеличении давления в системе в 2 раза?

Запишем кинетическое уравнение для реакции до повышения давления в системе. Обозначим концентрацию SO 2

С(SО 2 ) = а, концентрация кислорода C(O 2 ) = b.

При повышении давления в 2 раза, объём уменьшается в 2 раза, следовательно концентрация газа кислорода и SO 2 увеличится в 2 раза и кинетическое уравнение примет вид:

υ ‘ = к 1 (2а) 2 ·2b = к 1 4а 2 ·2b= к 1 8а 2 ·b

Определяем, во сколько раз возрастёт скорость реакции:

υ ‘ /υ = к 1 8а 2 ·b / к 1 а 2 ·b =8

Следовательно, при повышении давления в 2 раза, скорость данной реакции увеличится в 8 раз.

Задача №6

При температуре 10 ºС реакция протекает за 5 мин, при 20ºС – за 1 мин. Рассчитайте температурный коэффициент скорости реакции.

1) При условии, что концентрация вещества (С), вступившего в реакцию, постоянна:

При температуре 10 ºС скорость реакции равна υ 0 =∆C/∆τ 0 ,

При температуре 30 ºС скорость реакции равна υ=∆C/∆τ,

υ=∆C/60, ∆C= 60υ. Следовательно, 300υ 0 =60υ, а υ/υ 0 =300/60=5.

2) По правилу Вант Гоффа: υ = υ 0 γ ∆t/10 , υ/υ 0 = γ ∆t/10

3) Согласно рассуждениям (1) и (2), получим γ (20-10)/10 = γ=5

Расчеты изменения скорости реакции

Задача 331.
Реакция между веществами А и В выражается уравнением: А + 2В → С. Начальные концентрации составляют: [А]₀ = 0,03 моль/л, [В]0 = 0,05 моль/л. Константа скорости реакции равна 0,4. Найти начальную скорость реакции и скорость реакции по истечении некоторого времени, когда концентрация вещества А уменьшится на 0,01 моль/л.
Решение:
До изменения концентрации скорость реакции можно выразить уравнением:

v – скорость реакции, k – константа скорости реакции, [А] и [В] – концентрации исходных веществ.

Для нахождения скорости реакции по истечении некоторого времени учтём, что на образование 1 моля вещества С затрачивается 1 моль вещества А и 2 моля вещества В, поэтому при уменьшении концентрации вещества А на 0,01 моль/л, концентрация вещества В уменьшится соответственно на 0,02 моль/л (2 . 0.01 = 0,02). Тогда оставшиеся концентрации веществ будут равны [A]_ост. = 0.03 – 0,01 = 0,02 моль/л, [B]_ост. = 0,05 – 0,02 = 0,03моль/л. Тогда скорость реакции по истечении некоторого времени будет составлять:

Ответ: v₁ = 3 . 10 -5 ; v₂ = 7,2 . 10 -6 .

Задача 332.
Как изменится скорость реакции 2NO _(г.) + O_{2 (г.)} → 2NO_{2 (г.)}, если: а) увеличить давление в системе в 3 раза; б) уменьшить объем системы в 3 раза; в) повысить концентрацию в 3 раза?
Решение:
До изменения объёма, давления и концентрации скорость реакции можно выразить уравнением:

а) Вследствие увеличения давления в системе в 3 раза, соответственно концентрация каждого из реагирующих веществ возрастёт в 3 раза. Следовательно, теперь скорость реакции будет равна:

Тогда, сравнивая выражения v и v_а) , находим, что скорость реакции возрастает в 27 раз

б) при уменьшении объёма в 3 раза в системе концентрация каждого из реагирующих веществ возрастёт в 3 раза. Следовательно, теперь скорость реакции будет равна:

Тогда, сравнивая выражения v и v_б), находим, что скорость реакции возрастает в 27 раз

в) При увеличении концентрации NO в 3 раза скорость реакции будет равна:

Cравнивая выражения v и v_в), находим, что скорость реакции возрастает в 9 раз

Ответ: а) возрастёт в 27 раз; б) возрастёт в 27 раз; в) возрастёт в 9 раз.

Задача 333.
Две реакции протекают при 25 °С с одинаковой скоростью. Температурный коэффициент скорости первой реакции равен 2,0, а второй 2,5. Найти отношение скоростей этих реакций при 95°С.
Решение:
Зависимость скорости реакции (или константы скорости реакции) от температуры может быть выражена уравнением:

Здесь v_t и k_t – скорость и константа скорости реакции при температуре t °С; v_{(t + 10)} и k_{(t + 10)} те же величины при температуре (t + 10 °С); – температурный коэффициент скорости реакции, значение которого для большинства реакций лежит в пределах 2 – 4 (правило Вант-Гоффа). В общем случае, если температура изменилась на 95 °С, последнее уравнение преобразуется к виду:

Поскольку t = 70 °С (95 – 25 = 75), то, скорость реакции равна:

Скорость второй реакции равна:

Найдём отношение этих скоростей:

Ответ:

Задача 334.
Чему равен температурный коэффициент скорости реакции, если при увеличении температуры на 30 градусов скорость реакции возрастает в 15,6 раза?
Решение:
Согласно правилу Вант Гоффа зависимость скорости реакции от температуры выражается уравнением:

v_t и k_t – скорость и константа скорости реакции при температуре t °С; v_{(t + 10)} и k_{(t + 10)} те же величины при температуре (t + 10 °С); – температурный коэффициент скорости реакции, значение которого для большинства реакций лежит в пределах 2 – 4. Поскольку t = 30 °С, то, подставив в уравнение Вант-Гоффа значения по условию задачи, рассчитаем температурный коэффициент скорости реакции:

Ответ: 2,5.

Задача 335.
Температурный коэффициент скорости некоторой реакции равен 2,3. Во сколько раз увеличится скорость этой реакции, если повысить температуру на 25 градусов?
Решение:
Согласно правилу Вант Гоффа зависимость скорости реакции от температуры выражается уравнением:

v_t и k_t – скорость и константа скорости реакции при температуре t °С; v_{(t + 10)} и k_{(t + 10)} те же величины при температуре (t + 10 °С); – температурный коэффициент скорости реакции, значение которого для большинства реакций лежит в пределах 2 – 4. Поскольку t = 25 °С, то, обозначив скорость начальной реакции и скорость реакции при повышении температуры системы на 25 градусов соответственно через v и v’, можем записать:

[spoiler title=”источники:”]

http://www.sites.google.com/site/himulacom/%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BA-%D0%BD%D0%B0-%D1%83%D1%80%D0%BE%D0%BA/11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D1%87%D0%B5%D1%82%D0%B2%D1%91%D1%80%D1%82%D1%8B%D0%B9-%D0%B3%D0%BE%D0%B4-%D0%BE%D0%B1%D1%83%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F/%D1%83%D1%80%D0%BE%D0%BA-75-%D1%81%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C-%D1%85%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B9-%D1%80%D0%B5%D0%B0%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8-%D0%B7%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD-%D0%B4%D0%B5%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D1%83%D1%8E%D1%89%D0%B8%D1%85-%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%81

http://buzani.ru/zadachi/khimiya-glinka/1138

[/spoiler]

3.2.1. Как правильно понимать условия задачи?

Скорость тела увеличилась в n раз:

Скорость уменьшилась в n раз:

Скорость увеличилась на 2 м/с:

Во сколько раз увеличилась скорость?

Во сколько раз уменьшилась скорость?

Как изменилась скорость?

На сколько увеличилась скорость?

На сколько уменьшилась скорость?

Тело достигло наибольшей высоты:

Тело прошло половину расстояния:

Тело бросают с земли: (последнее условие часто ускользает из вида — если у тела скорость равна нулю, например у ручки, лежащей на столе, оно может полететь само вверх?), начальная скорость направлена вверх.

Тело бросают вниз: начальная скорость направлена вниз.

Тело бросают вверх: начальная скорость направлена вверх.

В момент падения на землю:

Тело выпадает из аэростата (воздушного шара): начальная скорость равна скорости аэростата (воздушного шара) и направлена в ту же самую сторону.

3.2.2. Как по графику скорости определить ускорение?

Закон изменения скорости имеет вид:

Графиком этого уравнения является прямая линия. Так как — коэффициент перед t, то является угловым коэффициентом прямой.

Для графика 1:

То, что график 1 «поднимается вверх», означает — проекция ускорения положительна, т. е. вектор направлен в положительном направлении оси Ox. Пересечение графика с осью — изменение направления движения на противоположное.

Для графика 2:

То, что график 2 «опускается вниз», означает — проекция ускорения отрицательна, т. е. вектор направлен в отрицательном направлении оси Ox. Пересечение графика с осью — изменение направления движения на противоположное.

Для определения и выбираем такие точки на графике, в которых можно точно определить значения, как правило, это точки, находящиеся в вершинах клеток.

3.2.3. Как по графику скорости определить пройденный путь и перемещение?

Как сказано в пункте 3.1.6 путь можно как площадь под графиком зависимости скорости от ускорения. Простой случай показан в пункте 3.1.6. Рассмотрим более сложный вариант, когда график скорости пересекает ось времени.

Напомним, что путь может только увеличиваться, поэтому путь, который проехало тело в примере на рисунке 9 равен:

где и — площади фигур, закрашенных на рисунке.

Для определения перемещения нужно заметить, что в точках и тело меняет направление движения. Проезжая путь тело движется в положительном направлении оси Ox, так как график лежит над осью времени. Проезжая путь тело движется в обратную сторону, в отрицательном направлении оси Ox так как график лежит под осью времени. Проезжая путь , тело движется в положительном направлении оси Ox, так как график лежит над осью времени. Таким образом, перемещение равно:

Еще раз обратим внимание:

1) пересечение с осью времени означает поворот в обратную сторону;

2) площадь графика, лежащего под осью времени положительна и входит со знаком «+» в определение пройденного пути, но со знаком «−» в определении перемещения.

3.2.4. Как из графика зависимости ускорения от времени определить зависимость скорости от времени и координаты от времени?

Для того, чтобы определить требуемые зависимости необходимы начальные условия — значения скорости и координаты в момент времени Без начальных условий решить однозначно данную задачу невозможно, поэтому, как правило, в условии задачи они даны.

В данном примере постараемся привести все рассуждения в буквах, для того, чтобы частном примере (при подстановке цифр) не потерять суть действий.

Пусть в момент времени скорость тела равна нулю и начальная координата

1) От 0 до

Начальные значения скорости и координаты определяем из начальных условий, а ускорение из графика:

следовательно, движение равноускоренное и закон изменения скорости имеет вид:

К концу данного промежутка времени () скорость () и координата () будут равны (вместо времени в формулы и нужно подставить ):

2) От до

Начальное значение скорости на этом промежутке должно быть равно конечному значению на предыдущем промежутке, начальное значение координаты равно конечному значению координаты на предыдущем промежутке, а ускорение определяем из графика:

следовательно, движение равноускоренное и закон изменения скорости имеет вид:

К концу данного промежутка времени () скорость () и координата () будут равны (вместо времени в формулы и нужно подставить ):

3) От до

Начальное значение скорости на этом промежутке должно быть равно конечному значению на предыдущем промежутке, начальное значение координаты равно конечному значению координаты на предыдущем промежутке, а ускорение определяем из графика:

следовательно, движение равноускоренное и закон изменения скорости имеет вид:

К концу данного промежутка времени () скорость () и координата () будут равны (вместо времени в формулы и нужно подставить ):

Для лучшего понимания построим полученные результаты на графике (см. рис.)

На графике скорости:

1) От 0 до прямая линия, «поднимающаяся вверх» (т. к. );

2) От до горизонтальная прямая линия (т. к. );

3) От до : прямая линия, «опускающаяся вниз» (т. к. ).

На графике координаты:

1) От 0 до : парабола, ветви которой направлены вверх (т. к. );

2) От до : прямая линия, поднимающаяся вверх (т. к. );

3) От до : парабола, ветви которой направлены вниз (т. к. ).

3.2.5. Как из графика закона движения записать аналитическую формулу закона движения?

Пусть дан график равнопеременного движения.

Закон равнопеременного движения имеет вид:

В этой формуле три неизвестные величины: и

Для определения достаточно посмотреть на значение функции при Для определения двух других неизвестных выбираем две точки на графике, значения которых мы можем точно определить — вершины клеток. Получим систему:

При этом считаем, что нам уже известно. Умножим 1-ое уравнение системы на а 2-ое уравнение на :

Вычтем из 1-го уравнения 2-ое, после чего получаем:

Полученное из данного выражения значение подставим в любое из уравнений системы (3.67) и решим полученное уравнение относительно :

3.2.6. Как по известному закону движения определить закон изменения скорости?

Закон равнопеременного движения имеет вид:

Это его стандартный вид для данного типа движения и никак иначе он выглядеть не может, поэтому его стоит запомнить.

В данном законе коэффициент перед t — это значение начальной скорости, коэффициент пред — это ускорение, деленное пополам.

Например, пусть дан закон:

Тогда

И уравнение скорости имеет вид:

Таким образом, для решения подобных задач, необходимо точно помнить вид закона равнопеременного движения и смысл коэффициентов, входящих в это уравнение.

Однако можно пойти и иным путем. Вспомним формулу:

В нашем примере:

3.2.7. Как определить место и время встречи?

Пусть даны законы движения двух тел:

В момент встречи тела оказываются в одной координате, то есть и необходимо решить уравнение:

Перепишем его в виде:

Это квадратное уравнение, общее решение которого приводить не будем, в силу его громоздкости. Квадратное уравнение либо не имеет решений, что означает — тела не встретились; либо имеет одно решение — одна единственная встреча; либо имеет два решения — две встречи тел.

Полученные решения необходимо проверять на физическую реализуемость. Самое главное условие: и то есть время встречи должно быть положительным.

3.2.8. Как определить путь за -ую секунду?

Пусть тело начинает движение из состояния покоя и за -ую секунду проходит путь Требуется найти, какой путь проходит тело за n-ую секунду.

Для решения этой задачи необходимо воспользоваться формулой (3.25):

Обозначим Тогда

Поделим уравнение на и получим:

3.2.9. Как движется тело, брошенное вверх с высоты h?

Тело, брошено вверх с высоты h со скоростью

Уравнение координаты y в произвольный момент времени:

Уравнение проекции скорости в произвольный момент времени:

Время подъема до наивысшей точки полета определяется из условия :

Для нахождения максимальной высоты H необходимо в необходимо подставить :

Время всего полета определяется из условия Получаем уравнение:

Это квадратное уравнение, которое имеет два решения, но в данной задаче тело может оказаться в координате только один раз. Поэтому среди полученных решений нужно одно «убрать». Главный критерий отсева — время полета не может быть отрицательным:

Скорость в момент падения:

3.2.10. Как движется тело, брошенное вниз с высоты h?

Тело, брошено вверх с высоты h со скоростью

Уравнение координаты y в произвольный момент времени:

Уравнение проекции скорости в произвольный момент времени:

Время всего полета определяется из уравнения:

Это квадратное уравнение, которое имеет два решения, но в данной задаче тело может оказаться в координате только один раз. Поэтому среди полученных решений нужно одно «убрать». Главный критерий отсева — время полета не может быть отрицательным:

Скорость в момент падения:

3.2.11. Как движется тело брошенное вверх с поверхности земли?

Тело брошено вверх с поверхности земли со скоростью

Уравнение координаты y в произвольный момент времени:

Уравнение проекции скорости в произвольный момент времени:

Время подъема до наивысшей точки полета определяется из условия

Для нахождения максимальной высоты H необходимо в (3.89) необходимо подставить

Время всего полета определяется из условия Получаем уравнение:

Скорость в момент падения:

Заметьте, что что означает — время подъема равно времени падения на ту же высоту.

Также получили: то есть — с какой скоростью бросили, с такой же скоростью тело упало. Знак «−» в формуле указывает, что скорость в момент падения направлена вниз, то есть против оси Oy.

3.2.12. Тело побывало на одной высоте дважды…

При бросании тела оно может дважды оказаться на одной высоте — первый раз при движении вверх, второй — при падении вниз.

1) Когда тело оказывается на высоте h?

Для тела, брошенного вверх с поверхности земли справедлив закон движения:

Когда тело окажется на высоте h его координата будет равна Получаем уравнение:

решение которого имеет вид:

2) Известны времена и когда тело оказалось на высоте h. Когда тело окажется на максимальной высоте?

Время полета с высоты h назад до высоты h равно Как уже было показано, время подъема равно времени падения до той же высоты, поэтому время полета от высоты h до максимальной высоты равно:

Тогда время полета от начала движения до максимальной высоты:

3) Известны времена и когда тело оказалось на высоте h. Чему равно время полета тела?

Все время полета равно:

4) Известны времена и когда тело оказалось на высоте h. Чему равна максимальная высота подъема?

3.2.13. Как движется тело, брошенное горизонтально с высоты h?

Тело, брошено горизонтально с высоты h со скоростью

Проекции начальной скорости на оси:

Проекции ускорения:

Проекции скорости в произвольный момент времени t:

Модуль скорости в произвольный момент времени t:

Координаты тела в произвольный момент времени t:

Время полета определяется из условия

Для определения дальности полета необходимо в уравнение для координаты x вместо t подставить

Для определения скорости тела в момент падения необходимо в уравнение вместо t подставить

Угол, под которым падает тело на землю:

3.2.14. Как движется тело, брошенное под углом α к горизонту с высоты h?

Тело, брошено под углом α к горизонту с высоты h со скоростью

Проекции начальной скорости на оси:

Проекции ускорения:

Проекции скорости в произвольный момент времени t:

Модуль скорости в произвольный момент времени t:

Координаты тела в произвольный момент времени t:

Время полета до наивысшей точки определяется из условия

Скорость в наивысшей точке полета

Максимальная высота H определяется при подстановке в закон изменения координаты y времени

Все время полета находится из условия получаем уравнение:

Это квадратное уравнение, которое имеет два решения, но в данной задаче тело может оказаться в координате только один раз. Поэтому среди полученных решений нужно одно «убрать». Главный критерий отсева — время полета не может быть отрицательным:

Если подставим в закон изменения координаты x время то получим дальность полета L:

Скорость в момент падения

Угол, который образует вектор скорости с горизонталью в произвольный момент времени:

Угол падения:

3.2.15. Как движется тело, брошенное под углом α к горизонту земли?

Тело, брошено под углом α к горизонту с поверхности земли со скоростью

Проекции начальной скорости на оси:

Проекции ускорения:

Проекции скорости в произвольный момент времени t:

Модуль скорости в произвольный момент времени t:

Координаты тела в произвольный момент времени t:

Время полета до наивысшей точки определяется из условия

Скорость в наивысшей точке полета

Максимальная высота H определяется при подстановке в закон изменения координаты y времени

Все время полета находится из условия получаем уравнение:

Получаем

Снова получили, что то есть еще раз показали, что время подъема равно времени падения.

Если подставим в закон изменения координаты x время то получим дальность полета L:

Скорость в момент падения

Угол, который образует вектор скорости с горизонталью в произвольный момент времени:

Угол падения:

то есть

3.2.16. Что такое настильная и навесная траектории?

Решим следующую задачу: под каким углом нужно бросить тело с поверхности земли, чтобы тело упало на расстоянии L от точки броска?

Дальность полета определяется формулой:

Отсюда

Из физических соображений ясно, что угол α не может быть больше 90°, поэтому, из серии решений уравнения подходят два корня:

Траектория движения, для которой называется настильной траекторией. Траектория движения, для которой называется навесной траекторией.

3.2.17. Как пользоваться треугольником скоростей?

Как было сказано в 3.6.1 треугольник скоростей в каждой задаче будет иметь свой вид. Рассмотрим на конкретном примере.

Тело бросили с вершины башни со скорость так, что дальность полета максимальна. К моменту падения на землю скорость тела равна Сколько длился полет?

Построим треугольник скоростей (см. рис.). Проведем в ней высоту, которая, очевидно, равна Тогда площадь треугольника скоростей равна:

Здесь мы воспользовались формулой (3.121).

Найдем площадь этого же треугольника по другой формуле:

Так как это площади одного и того же треугольника, то приравняем формулы и :

Откуда получаем

Как видно из формул для конечной скорости, полученных в предыдущих пунктах, конечная скорость не зависит от угла, под которым бросили тело, а зависит только значения начальной скорости и начальной высоты. Поэтому дальность полета по формуле зависит только от угла между начальной и конечной скоростью β. Тогда дальность полета L будет максимальной, если примет максимально возможное значение, то есть

Таким образом, если дальность полета максимальна, то треугольник скоростей будет прямоугольным, следовательно, выполняется теорема Пифагора:

Откуда получаем

Свойством треугольника скоростей, который только что был доказан, можно пользоваться при решении других задач: треугольник скоростей является прямоугольным в задаче на максимальную дальность полета.

3.2.18. Как пользоваться треугольником перемещений?

Как было сказано в 3.6.2, треугольник перемещений в каждой задаче будет иметь свой вид. Рассмотрим на конкретном примере.

Тело бросают под углом β к поверхности горы, имеющей угол наклона α. С какой скоростью нужно бросить тело, чтобы оно упало ровно на расстоянии L от точки бросания?

Построим треугольник перемещений — это треугольник ABC (см. рис. 19). Проведем в нем высоту BD. Очевидно, что угол DBC равен α.

Выразим сторону BD из треугольника BCD:

Выразим сторону BD из треугольника ABD:

Приравняем и :

Откуда находим время полета:

Выразим AD из треугольника ABD:

Выразим сторону DC из треугольника BCD:

Но Получаем

Подставим в это уравнение, полученное выражение для времени полета :

Окончательно получаем

3.2.19. Как решать задачи с помощью закона движения? (по горизонтали)

Как правило, в школе при решении задач на равнопеременное движение применяются формулы

Однако такой подход к решению трудно применить к решению многих задач. Рассмотрим конкретный пример.

Опоздавший пассажир подошёл к последнему вагону поезда в тот момент, когда поезд тронулся, начав движение с постоянным ускорением Единственная открытая дверь в одном из вагонов оказалась от пассажира на расстоянии Какую наименьшую постоянную скорость он должен развить, чтобы успеть сесть в поезд?

Введем ось Ox, направленную вдоль движения человека и поезда. За нулевое положение примем начальное положение человека («2»). Тогда начальная координата открытой двери («1») L:

Дверь («1»), как и весь поезд, имеют начальную скорость равную нулю. Человек («2») начинает движение со скоростью

Дверь («1»), как и весь поезд, движется с ускорением a. Человек («2») движется с постоянной скоростью:

Закон движения и двери и человека имеет вид:

Подставим условия и в уравнение для каждого из движущихся тел:

Мы составили уравнение движения для каждого из тел. Теперь воспользуемся уже известным алгоритмом для нахождения места и времени встречи двух тел — нам нужно приравнять и :

Откуда получаем квадратное уравнение для определения времени встречи:

Это квадратное уравнение. Оба его решения имеют физический смысл — наименьший корень, это первая встреча человека и двери (человек с места может побежать быстро, а поезд не сразу наберет большую скорость, так что человек может обогнать дверь), второй корень — вторая встреча (когда уже поезд разогнался и догнал человека). Но наличие обоих корней означает — человек может бежать и медленнее. Скорость будет минимальна, когда уравнение будет иметь один единственный корень, то есть

Откуда находим минимальную скорость:

В таких задачах важно разобрать в условиях задачи: чему равны начальная координата, начальная скорость и ускорение. После этого составляем уравнение движения и думаем как дальше решать задачу. 

3.2.20. Как решать задачи с помощью закона движения? (по вертикали)

Рассмотрим пример.

Свободно падающее тело прошло последние 10 м за 0,5 с. Найти время падения и высоту, с которой упало тело. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Для свободного падения тела справедлив закон движения:

В нашем случае:

начальная координата:

начальная скорость:

Подставим условия в закон движения:

Подставляя в уравнение движения нужные значения времени, будем получать координаты тела в эти моменты.

В момент падения координата тела

За с до момента падения, то есть при координата тела

Уравнения и составляют систему уравнений, в которой неизвестны H и Решая эту систему, получим:

Итак, зная вид закона движения (3.30), и используя условия задачи для нахождения и получаем закон движения для данной конкретной задачи. После чего, подставляя нужные значения времени, получаем соответствующие значения координаты. И решаем задачу!