Как найти волновое число

Волновое число
Размерность	L−1
Единицы измерения
СИ	м−1
СГС	см−1
Примечания
скаляр

Волново́е число́ — быстрота роста фазы волны по координате в пространстве^[1]:

.

Может вычисляться как отношение радиан к длине волны:

.

Обозначение «» является наиболее стандартным^[2]. Измеряется в рад·м⁻¹, физическая размерность м⁻¹ (в системе СГС: см⁻¹).

Волновое число используется в физике, математике^[3] (преобразование Фурье) и таких приложениях как обработка изображений. Выступает пространственным аналогом угловой частоты^[4] ( — период).

В одномерном случае волновому числу обычно приписывают знак плюс (минус), если волна распространяется в положительном (отрицательном) направлении оси . В многомерном случае — это обычно синоним абсолютной величины волнового вектора или его компонент (несколько волновых чисел по количеству осей координат), также может быть проекцией волнового вектора на некоторое определённое выбранное направление.

В большинстве случаев волновое число имеет смысл только применительно к монохроматической волне (строго монохроматической или, по крайней мере, почти монохроматической), поэтому производную в определении можно (для этих самых распространённых случаев) заменить выражением с конечными разностями:

.

Исходя из этого, можно получить разные практически удобные формулировки понятия:

• волновое число есть разность фазы волны (в радианах) в один и тот же момент времени в пространственных точках на расстоянии единицы длины (одного метра);
• волновое число есть количество пространственных периодов (горбов) волны, приходящееся на метров;
• волновое число равно числу радиан волны на отрезке в 1 метр.

Смежной с волновым числом величиной является так называемая пространственная частота — количество периодов колебаний в пространстве на единицу длины (равное )^[5][6]. В спектроскопии пространственную частоту саму нередко именуют волновым числом и измеряют в см⁻¹. Такое определение отличается от обычного отсутствием множителя .

Основные соотношения[править | править код]

Имеет место цепочка равенств:

,

где — длина волны, (греческая буква «ню») — частота, — фазовая скорость волны, — угловая частота.

Для фазы монохроматической бегущей волны можно записать:

,

а для самой волны:

или в комплексном виде:

,

здесь может быть спрятано в ,

Для монохроматической стоячей волны:

.

Замечания[править | править код]

Волновое число точно определено для монохроматической волны. К волнам другого вида волновое число относится через понятие спектра (а конкретнее, через преобразования Фурье), то есть немонохроматическая волна, вообще говоря, содержит в разных пропорциях монохроматические компоненты с разными волновыми числами; впрочем, почти монохроматические волны могут приближённо быть описаны как волны с определённым волновым числом (их спектр в основном сосредоточен вблизи одного значения волнового числа).

Иногда, например, в квазигеометрическом (квазиклассическом) приближении, можно рассматривать волновое число (волновой вектор) как медленно меняющийся в пространстве, то есть волну не как монохроматическую, а как квазимонохроматическую. В этом случае, естественно, лучше использовать определение волнового числа (волнового вектора) с производной, а не с конечными разностями.

В сущности, единственный физически осмысленный случай, когда волновое число (волновой вектор) может меняться с , даже относительно быстро, — это случай формализма интеграла по траекториям. В этом случае в теории для описания волны присутствуют волны весьма специального вида:

.

для которых упомянутое вполне корректно и осмысленно.

Волновое число в квантовой физике[править | править код]

В квантовой физике волновое число связывается с компонентой импульса по данному направлению:

,

где — компонента импульса по направлению (для одномерной системы — полный импульс), — волновое число (компонента волнового вектора) по направлению (для одномерной системы — просто волновое число), — редуцированная постоянная Планка (постоянная Дирака).

Таким образом, в квантовой физике понятия компоненты импульса и волнового числа по сути совпадают. То же относится к полному импульсу и волновому числу без указания направления волнового вектора:

.

(Более того, поскольку постоянная Планка — универсальная константа, можно выбором системы единиц просто сделать её равной 1. Тогда вообще м .)
Это можно считать одним из фундаментальных принципов квантовой механики.

В важном частном случае, для света в вакууме (и, в принципе, любых других безмассовых полей; приближённо — для ультрарелятивистских частиц), можно написать

,

где — энергия, — скорость света в вакууме.

Волновое число в электродинамике[править | править код]

Уравнения плоской электромагнитной волны записываются как

.

Они же в координатной форме:

.

Решение этих уравнений имеет вид:

.

Подстановка выражения для в уравнение приводит к соотношению

,

откуда очевидна связь^[7]

.

См. также[править | править код]

• Волновой вектор

Примечания[править | править код]

From Wikipedia, the free encyclopedia

In the physical sciences, the wavenumber (or wave number), also known as repetency,^[1] is the spatial frequency of a wave, measured in cycles per unit distance (ordinary wavenumber) or radians per unit distance (angular wavenumber).^[2][3][4] It is analogous to temporal frequency, which is defined as the number of wave cycles per unit time (ordinary frequency) or radians per unit time (angular frequency).

In multidimensional systems, the wavenumber is the magnitude of the wave vector. The space of wave vectors is called reciprocal space. Wave numbers and wave vectors play an essential role in optics and the physics of wave scattering, such as X-ray diffraction, neutron diffraction, electron diffraction, and elementary particle physics. For quantum mechanical waves, the wavenumber multiplied by the reduced Planck’s constant is the canonical momentum.

Wavenumber can be used to specify quantities other than spatial frequency. For example, in optical spectroscopy, it is often used as a unit of temporal frequency assuming a certain speed of light.

Definition[edit]

Wavenumber, as used in spectroscopy and most chemistry fields, is defined as the number of wavelengths per unit distance, typically centimeters (cm⁻¹):

where λ is the wavelength. It is sometimes called the “spectroscopic wavenumber”.^[1] It equals the spatial frequency.

For example, a wavenumber in inverse centimeters can be converted to a frequency in gigahertz by multiplying by 29.9792458 cm/ns (the speed of light, in centimeters per nanosecond);^[5] conversely, an electromagnetic wave at 29.9792458 GHz has a wavelength of 1 cm in free space.

In theoretical physics, a wave number, defined as the number of radians per unit distance, sometimes called “angular wavenumber”, is more often used:^[6]

When wavenumber is represented by the symbol ν, a frequency is still being represented, albeit indirectly. As described in the spectroscopy section, this is done through the relationship , where ν_s is a frequency in hertz. This is done for convenience as frequencies tend to be very large.^[7]

Wavenumber has dimensions of reciprocal length, so its SI unit is the reciprocal of meters (m⁻¹). In spectroscopy it is usual to give wavenumbers in cgs unit (i.e., reciprocal centimeters; cm⁻¹); in this context, the wavenumber was formerly called the kayser, after Heinrich Kayser (some older scientific papers used this unit, abbreviated as K, where 1 K = 1 cm⁻¹).^[8] The angular wavenumber may be expressed in radians per meter (rad⋅m⁻¹), or as above, since the radian is dimensionless.

For electromagnetic radiation in vacuum, wavenumber is directly proportional to frequency and to photon energy. Because of this, wavenumbers are used as a convenient unit of energy in spectroscopy.

Complex[edit]

A complex-valued wavenumber can be defined for a medium with complex-valued relative permittivity , relative permeability and refraction index n as:^[9]

where k₀ is the free-space wavenumber, as above. The imaginary part of the wavenumber expresses attenuation per unit distance and is useful in the study of exponentially decaying evanescent fields.

Plane waves in linear media[edit]

The propagation factor of a sinusoidal plane wave propagating in the x direction in a linear material is given by^[10]: 51

where

The sign convention is chosen for consistency with propagation in lossy media. If the attenuation constant is positive, then the wave amplitude decreases as the wave propagates in the x direction.

Wavelength, phase velocity, and skin depth have simple relationships to the components of the wavenumber:

In wave equations[edit]

Here we assume that the wave is regular in the sense that the different quantities describing the wave such as the wavelength, frequency and thus the wavenumber are constants. See wavepacket for discussion of the case when these quantities are not constant.

In general, the angular wavenumber k (i.e. the magnitude of the wave vector) is given by

where ν is the frequency of the wave, λ is the wavelength, ω = 2πν is the angular frequency of the wave, and v_p is the phase velocity of the wave. The dependence of the wavenumber on the frequency (or more commonly the frequency on the wavenumber) is known as a dispersion relation.

For the special case of an electromagnetic wave in a vacuum, in which the wave propagates at the speed of light, k is given by:

where E is the energy of the wave, ħ is the reduced Planck constant, and c is the speed of light in a vacuum.

For the special case of a matter wave, for example an electron wave, in the non-relativistic approximation (in the case of a free particle, that is, the particle has no potential energy):

Here p is the momentum of the particle, m is the mass of the particle, E is the kinetic energy of the particle, and ħ is the reduced Planck constant.

Wavenumber is also used to define the group velocity.

In spectroscopy[edit]

In spectroscopy, “wavenumber” (in reciprocal centimeters, cm⁻¹) refers to a temporal frequency (in hertz) which has been divided by the speed of light in vacuum (usually in centimeters per second, cm⋅s⁻¹):

The historical reason for using this spectroscopic wavenumber rather than frequency is that it is a convenient unit when studying atomic spectra by counting fringes per cm with an interferometer : the spectroscopic wavenumber is the reciprocal of the wavelength of light in vacuum:

which remains essentially the same in air, and so the spectroscopic wavenumber is directly related to the angles of light scattered from diffraction gratings and the distance between fringes in interferometers, when those instruments are operated in air or vacuum. Such wavenumbers were first used in the calculations of Johannes Rydberg in the 1880s. The Rydberg–Ritz combination principle of 1908 was also formulated in terms of wavenumbers. A few years later spectral lines could be understood in quantum theory as differences between energy levels, energy being proportional to wavenumber, or frequency. However, spectroscopic data kept being tabulated in terms of spectroscopic wavenumber rather than frequency or energy.

For example, the spectroscopic wavenumbers of the emission spectrum of atomic hydrogen are given by the Rydberg formula:

where R is the Rydberg constant, and n_i and n_f are the principal quantum numbers of the initial and final levels respectively (n_i is greater than n_f for emission).

A spectroscopic wavenumber can be converted into energy per photon E by Planck’s relation:

It can also be converted into wavelength of light:

where n is the refractive index of the medium. Note that the wavelength of light changes as it passes through different media, however, the spectroscopic wavenumber (i.e., frequency) remains constant.

Often spatial frequencies are stated by some authors “in wavenumbers”,^[11] incorrectly transferring the name of the quantity to the CGS unit cm⁻¹ itself.^[12]

See also[edit]

• Spatial frequency
• Refractive index
• Zonal wavenumber

References[edit]

Волновое число: физический смысл, размерность, формулы, примеры расчета

Вы хотите знать, в чем разница между волновым числом и угловым волновым числом и как их рассчитать? Тогда эта статья как раз для вас. Мы подробно объясним эту тему и покажем на примере, как можно рассчитать эти величины.

Если вы рассматриваете электромагнитную волну с определенной длиной волны, то волновое число является обратным этой длине волны — оно ведет себя противоположным образом. Например, если длина волны увеличивается, волновое число уменьшается. Если, с другой стороны, длина волны уменьшается, то волновое число увеличивается.

Волновое число в спектроскопии

Волновое число k определяется в спектроскопии как обратная величина длины волны λ, то есть ξ = 1 / λ (называется еще пространственной частотой). Однако его также можно выразить через частоту f и скорость света в вакууме c, тогда ξ = f / c или также через число n длин волн, укладывающихся в определенную длину l, то есть ξ = n / l .

В целом, для волнового числа применимо следующее соотношение: ξ = 1 / λ = f / c = n / l .

Важно: Волновое число ξ не следует путать с частотой f. Частота имеет единицу измерения Гц = 1 / с = с -1 и определяется через обратную величину периода T: f = 1 / T . Она показывает, как часто электромагнитная волна колеблется в секунду.

Единица измерения волнового числа

Обычно волновое число выражается в в следующих единицах измерения (в СИ): 1 / м = м -1 , что соответствует числу колебаний на метр. Однако единица может быть также преобразована, например, в единицы 1 / см = см -1 или 1 / мм = мм -1 .

Между этими единицами измерения существует следующая взаимосвязь: 1 м -1 = 0,01 см -1 = 0,001 мм -1 , соответственно 1 мм -1 = 100 см -1 = 1000 м -1 .

Разница между волновым числом и угловым волновым числом

Угловое волновое число часто ошибочно называют просто волновым числом. Однако, угловое волновое число k является величиной волнового вектора k и связано с волновым числом ξ следующим образом: k = | k | = 2*π*ξ = ω / c = 2*π / λ . В этой формуле где ω представляет собой так называемую угловую частоту. Волновой вектор — это вектор, перпендикулярный волновому фронту волны. Эта формула показывает, что волновое число ξ также может быть вычислено из углового волнового числа k: ξ = k / 2*π .

Важно: Угловую частоту и частоту также нельзя путать друг с другом. Угловая частота ω связана с частотой f следующим образом: ω = 2*π*f .

Физический смысл волнового числа.

Волновое число численно равно числу периодов волны, укладывающихся в отрезок 2π метров. Это пространственный аналог круговой частоты ω (рад·с -1 ). Характеристика периодического процесса в пространстве.

Пример расчета волнового числа

Если мы наблюдаем электромагнитную волну с длиной волны λ = 500 нм и хотим вычислить по ней волновое число ξ, то поступаем следующим образом. Чтобы получить размерность м -1 сначала переведите длину волны в метры. То есть 500 нм = 500 * 10 -9 м = 5*10 -7 м.

Используя представленную выше формулу, вы можете определить соответствующее волновое число: ξ = 1 / λ = 1 / 5*10 -7 = 2*10 6 м -1 .

На одном метре волна колеблется 2 миллиона раз. Если преобразовать единицу измерения, то можно сказать, что волна колеблется 2000 раз на одном миллиметре: 2 * 10 6 м -1 = 0,001 * 2 * 10 6 мм -1 = 2000 мм -1 .

Пример расчета углового волнового числа

Если использовать ту же длину волны λ = 500 нм =5 *10 -7 м, как в предыдущем примере, и подставьте это значение в формулу для расчета углового волнового числа, то это приведет к следующим результатам: k = 2 * π / λ = 2 * π / 5 *10 -7 м = 1,2566 * 10 7 м -1 .

Легко видеть, что угловое волновое число k отличается от волнового числа ξ из предыдущего примера:

ξ = 2*10 6 м -1 ↔ k = 1,2566 * 10 7 м -1

Преобразование длины волны в волновой число

В следующей таблице показаны два направления преобразования из длины волны в волновое число и наоборот. Кроме того, в последней колонке перечислены некоторые области применения спектроскопии:

Волновое число как найти из уравнения

Волновое уравнение
_{Wave equation}

Волновое уравнение − линейное дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее малые колебания струны, колебательные процессы в сплошных средах и в электродинамике.
В общем случае волна, распространяющаяся в пространстве, описывается уравнением

где u = u(x,y,z,t) − возмущение в точке x,y,z в момент времени t, v − скорость распространения волны. Уравнение (1) инвариантно относительно замены Монохроматическая волна − распространение колебаний с определённой частотой ω. В случае одномерного распространения волны вдоль оси x формула монохроматической волны имеет вид

u(x,t) = Asin(ωt − xv).

Длина волны λ − путь, пройденный возмущением (состоянием с определённой фазой) за время равное периоду колебаний T

Частота ω и период колебаний T связаны соотношением

Эквивалентные формулы для монохроматической волны, распространяющейся вдоль оси x

u(x,t) = Asin(ωt − kx) = Asinω(t − x/v) = Asin2π(t/T − x/λ).

u(r,t) = (A/r)sin(ωt − kr).

Стоячая волна. При наложении монохроматических волн одинаковой частоты образуется устойчивая картина результирующих колебаний с характерными максимумами и минимумами.

Стоячая волна образуется в системах с двумя жёстко закреплёнными точками. При отражении фаза волны меняется на π и происходит интерференция падающей и отраженной волн.

Падающая волна	u1 = Asin(ωt + kx)
Отражённая волна	u2 = Asin(ωt − kx + π)
Стоячая волна	u1 + u2 = A(x)cosωt	(2)

Соотношение (2) можно получить, используя формулу

sinα − sinβ = 2sin[(α − β)/2] cos[(α + β)/2]

и положив 2Asin(2πx/λ) = A(x), A(x) − амплитуда стоячей волны.

Волновое число как найти из уравнения

Уравнения плоской и сферической волн

• Физика
• Математика