Как найти волновую функцию частицы

Квантовая механика
Введение[en] История[en] Математические основы
Основа Классическая механика Постоянная Планка Интерференция Бра и кет Гамильтониан Старая квантовая теория
Фундаментальные понятия Квантовое состояние Квантовая наблюдаемая Волновая функция Квантовая суперпозиция Квантовая запутанность Смешанное состояние Измерение Неопределённость Принцип Паули Дуализм Декогеренция Симметрия Теорема Эренфеста Туннельный эффект
Эксперименты Опыт Дэвиссона — Джермера Опыт Франка — Герца Опыт Штерна — Герлаха Опыт Юнга Квантовый ластик Квантовый ластик с отложенным выбором Проверка неравенств Белла Фотоэффект Эффект Комптона
Формулировки Представление Шрёдингера Представление Гейзенберга Представление взаимодействия Представление фазового пространства Матричная квантовая механика Интегралы по траекториям Диаграммы Фейнмана
Уравнения Шрёдингера Паули Клейна — Гордона Дирака Швингера — Томонаги фон Неймана Блоха Линдблада Гейзенберга
Интерпретации Копенгагенская Теория скрытых параметров Локальная[en] Многомировая Теория де Бройля — Бома
Развитие теории Квантовая теория поля Квантовая электродинамика Теория Глэшоу — Вайнберга — Салама Квантовая хромодинамика Стандартная модель Квантовая гравитация
Сложные темы Релятивистская квантовая механика Квантовая теория поля Квантовая гравитация Теория всего
Известные учёные Планк Эйнштейн Шрёдингер Гейзенберг Йордан Бор Паули Дирак Фок Борн де Бройль Ландау Фейнман Бом Эверетт
См. также История возникновения Глоссарий[en] ЭПР-парадокс
См. также: Портал:Физика

Волнова́я фу́нкция, или пси-фу́нкция  — комплекснозначная функция, используемая в квантовой механике для описания чистого состояния системы. Наиболее распространённые символы для волновой функции — греческие буквы ψ и Ψ (строчные и заглавные пси соответственно). Является коэффициентом разложения вектора состояния по базису (обычно координатному):

где  — координатный базисный вектор, а
 — волновая функция в координатном представлении.

Согласно копенгагенской интерпретации квантовой механики плотность вероятности нахождения частицы в данной точке конфигурационного пространства в данный момент времени считается равной квадрату абсолютного значения волновой функции этого состояния в координатном представлении.

Волновая функция — это функция степеней свободы, соответствующая некоторому максимальному набору коммутирующих наблюдаемых. Как только такое представление выбрано, волновая функция может быть получена из квантового состояния.

Для данной системы выбор коммутирующих степеней свободы не является уникальным, и, соответственно, область определения волновой функции также не уникальна. Например, её можно рассматривать как функцию всех координат положения частиц в координатном пространстве или импульсов всех частиц в пространстве импульсов; эти два описания связаны преобразованием Фурье. Некоторые частицы, такие как электроны и фотоны, имеют ненулевой спин, и волновая функция таких частиц включает спин как внутреннюю дискретную степень свободы; также для различных систем могут быть рассмотрены другие дискретные переменные, такие как изоспин. Когда система имеет внутренние степени свободы, волновая функция в каждой точке непрерывных степеней свободы (например, точка в координатном пространстве) присваивает комплексное число для каждого возможного значения дискретных степеней свободы (например, z-компонента спина) — эти значения часто отображаются в виде вектора-столбца (например, 2 × 1 для нерелятивистского электрона со спином.

Согласно принципу суперпозиции в квантовой механике, волновые функции можно складывать и умножать на комплексные числа, чтобы построить новые волновые функции и задать гильбертово пространство. Внутреннее произведение в гильбертовом пространстве между двумя волновыми функциями является мерой перекрытия между соответствующими физическими состояниями и используется в фундаментальной вероятностной интерпретации квантовой механики, правиле Борна, связывающем вероятности переходов со скалярным произведением состояний. Уравнение Шрёдингера определяет, как волновые функции эволюционируют с течением времени, а волновая функция качественно ведёт себя как другие волны, такие как волны на воде или волны в струне, потому что уравнение Шрёдингера математически является разновидностью волнового уравнения. Это объясняет название «волновая функция» и приводит к дуальности волна-частица. Однако волновая функция в квантовой механике описывает своего рода физическое явление, все ещё открытое для различных интерпретаций, которое принципиально отличается от такового для классических механических волн^{[1][2][3][4][5][6][7]}.

В статистической интерпретации Борна в нерелятивистской квантовой механике^[8][9][10], квадрат модуля волновой функции — это вещественное число, интерпретируемым как плотность вероятности измерения частицы как находящейся в заданном месте или имеющей заданный импульс в заданное время и, возможно, имеющей определённые значения для дискретных степеней свободы. Интеграл этой величины по всем степеням свободы системы должен быть равен 1 в соответствии с вероятностной интерпретацией. Это общее требование, которому должна удовлетворять волновая функция, называется условием нормировки. Поскольку волновая функция имеет комплексные значения, можно измерить только её относительную фазу и относительную величину — её значение, по отдельности, ничего не говорит о величинах или направлениях измеряемых наблюдаемых; необходимо применить квантовые операторы, собственные значения которых соответствуют наборам возможных результатов измерений, к волновой функции ψ и вычислить статистические распределения для измеримых величин.

История[править | править код]

В 1905 году Альберт Эйнштейн постулировал пропорциональность между частотой фотона и его энергии , ^[11], и в 1916 г. соответствующее соотношение между импульсом фотона и длиной волны , ^[12], где  — постоянная Планка. В 1923 году Де Бройль первым предположил, что соотношение , теперь называемое соотношением Де Бройля, справедливо для массивных частиц, главным ключом к пониманию которого является лоренц-инвариантность^[13], и это можно рассматривать как отправную точку для современного развития квантовой механики. Уравнения описывают дуальность волна-частица как для безмассовых, так и для массивных частиц.

В 1920-х и 1930-х годах квантовая механика развивалась с использованием математического анализа и линейной алгебры. Анализ в своих работах использовали Луи де Бройль, Эрвин Шредингер и другие, разработавшие «волновую механику». Среди тех, кто применял методы линейной алгебры, были Вернер Гейзенберг, Макс Борн и другие, разработавшие «матричную механику». Впоследствии Шрёдингер показал, что эти два подхода эквивалентны^[14].

В 1926 году Шрёдингер опубликовал знаменитое волновое уравнение, теперь названное его именем, уравнением Шрёдингера. Это уравнение было основано на классическом законе сохранении энергии, но записано с использованием квантовых операторов и соотношений де Бройля, а его решения представлялись волновыми функциями квантовой системы^[15]. Однако никто не знал, как это интерпретировать^[16]. Сначала Шрёдингер и другие думали, что волновые функции представляют собой частицы, которые распределены по пространству, причём большая часть частицы находится там, где волновая функция велика^[17]. Было показано, что это несовместимо с упругим рассеянием волнового пакета (представляющего собой частицу) от рассеивателя, потому что он распространяется во всех направлениях^[8]. Хотя рассеянная частица может рассеяться в любом направлении, она не разбивается на части и не улетает во всех направлениях. В 1926 году Борн представил свою интерпретацию амплитуды вероятности^[9][18]. Она связывает вычисления квантовой механики непосредственно с вероятностями наблюдаемыми в эксперименте. Сейчас эта картина принята как часть копенгагенской интерпретации квантовой механики. Существует много других интерпретаций квантовой механики. В 1927 году Хартри и Фок сделали первый шаг в попытке описать волновую функцию для N-частиц и разработали самосогласованую процедуру : итерационный алгоритм для аппроксимации решения многочастичной квантовомеханической задачи. Сейчас это метод известен как метод Хартри — Фока^[19]. Определитель и перманент Слейтера (матрицы) были частью метода, предложенного Джоном К. Слейтером.

Шрёдингер действительно работал с уравнением для волновой функции, которое удовлетворяло релятивистскому закону сохранения энергии, прежде чем он опубликовал нерелятивистскую версию, но отбросил его, поскольку оно предсказывало отрицательные вероятности и отрицательные энергии. В 1927 году Клейн, Гордон и Фок также нашли его, но учли электромагнитное взаимодействие и доказали, что оно Лоренц-инвариантно. Де Бройль также пришёл к тому же уравнению в 1928 году. Это релятивистское волновое уравнение сейчас наиболее широко известно как уравнение Клейна — Гордона^[20].

В 1927 году Паули феноменологически нашёл нерелятивистское уравнение для описания частиц со спином 1/2 в электромагнитных полях, которое теперь называется уравнением Паули^[21]. Паули обнаружил, что волновая функция не описывалась одной комплексной функцией пространства и времени, а требовалось два комплексных числа, которые соответствуют состояниям фермиона со спином +1/2 и −1/2. Вскоре после этого, в 1928 году, Дирак нашёл уравнение из первого успешного объединения специальной теории относительности и квантовой механики в применении к электрону, которое теперь называется уравнением Дирака. В этом случае волновая функция представляет собой спинор, представленный четырьмя комплексными компонентами^[19]: двумя для электрона и двумя для античастицы электрона — позитрона. В нерелятивистском пределе волновая функция Дирака напоминает волновую функцию Паули для электрона. Позже были найдены другие релятивистские волновые уравнения.

Волновые функции и волновые уравнения в современных теориях[править | править код]

Все эти волновые уравнения имеют непреходящее значение. Уравнение Шрёдингера и уравнение Паули во многих случаях являются превосходными приближениями для релятивистских задач. Их значительно легче решить в практических задачах, чем их релятивистские аналоги.

Уравнения Клейна — Гордона и Дирака, будучи релятивистскими, не полностью примиряют квантовую механику и специальную теорию относительности. Раздел квантовой механики, где эти уравнения изучаются так же, как уравнение Шрёдингера, часто называемый релятивистской квантовой механикой, хотя и очень успешен, имеет свои ограничения (см., например, Лэмбовский сдвиг) и концептуальные проблемы (см., например, море Дирака).

Относительность делает неизбежным то, что количество частиц в системе непостоянно. Для полного согласования нужна квантовая теория поля^[22]. В этой теории волновые уравнения и волновые функции также используются, но в несколько ином виде. Основными объектами интереса являются не волновые функции, а скорее операторы, так называемые операторы поля (или просто поля, под которыми понимаются «операторы») в гильбертовом пространстве состояний. Оказывается, исходные релятивистские волновые уравнения и их решения всё ещё необходимы для построения гильбертова пространства. Более того, операторы свободных полей, то есть для невзаимодействующих частиц, во многих случаях формально удовлетворяют тому же уравнению, что и поля (волновые функции).

Таким образом, уравнение Клейна — Гордона (спин 0) и уравнение Дирака (спин ¹⁄₂) в таком виде остаются в теории. Аналоги высших спинов включают уравнение Прока (спин 1), уравнение Рариты — Швингера (спин ³⁄₂) и, в более общем смысле, уравнения Баргмана — Вигнера. Для безмассовых свободных полей примерами являются уравнения Максвелла свободного поля (спин 1) и уравнение Эйнштейна свободного поля (спин 2) для операторов поля^[23]. Все они по сути являются прямым следствием требования лоренц-инвариантности. Их решения должны преобразовываться при преобразовании Лоренца заданным образом, то есть в соответствии с определённым представлением группы Лоренца и, что вместе с некоторыми другими разумными требованиями, например принципом кластерной декомпозиции^[24], с учётом причинности достаточно, для модификации уравнения.

Это относится к уравнениям свободного поля, когда взаимодействия не включены. Если доступна плотность лагранжиана (включая взаимодействия), то лагранжев формализм даст уравнение движения на классическом уровне. Это уравнение может быть очень сложным и не поддающимся решению. Любое решение будет относиться к фиксированному числу частиц и не будет учитывать термин «взаимодействие», как понимается в этих теориях, который включает в себя создание и уничтожение частиц, а не внешние потенциалы, как в обычной квантовой теории (первичного квантования).

В теории струн ситуация остаётся аналогичной. Например, волновая функция в импульсном пространстве играет роль коэффициента разложения Фурье в общем состоянии частицы (струны) с импульсом, который чётко не определён^[25].

Физический смысл[править | править код]

В координатном представлении волновая функция зависит от координат (или обобщённых координат) системы. Физическим смыслом волновой функции является то, что квадрат её модуля является плотностью вероятности (для дискретных спектров — просто вероятность) обнаружения системы в точке в момент времени :

.

Так, что в заданном квантовом состоянии системы, описываемом волновой функцией , вероятность того, что частица будет обнаружена в области конечного объёма конфигурационного пространства, равна

.

Возможно измерение и разницы фаз волновой функции, например, в опыте Ааронова — Бома.

Нормированность волновой функции[править | править код]

Поскольку суммарная вероятность обнаружения частицы во всём пространстве равна единице, то её волновая функция должна удовлетворять так называемому условию нормировки, например, в координатном представлении имеющему вид:

В общем случае интегрирование должно производиться по всем переменным, от которых волновая функция явно зависит в данном представлении (кроме времени).

Принцип суперпозиции квантовых состояний[править | править код]

Для волновых функций справедлив принцип суперпозиции, заключающийся в том, что если система может пребывать в состояниях, описываемых волновыми функциями и , то при любых комплексных и , , она может пребывать и в состоянии, описываемом волновой функцией

.

Очевидно, что можно говорить и о суперпозиции (сложении) любого числа квантовых состояний, то есть о существовании квантового состояния системы, которое описывается волновой функцией

.

В таком состоянии квадрат модуля коэффициента определяет вероятность того, что при измерении система будет обнаружена в состоянии, описываемом волновой функцией .

Поэтому для нормированных волновых функций .

Условия регулярности волновой функции[править | править код]

Вероятностный смысл волновой функции накладывает определённые ограничения, или условия, на волновые функции в задачах квантовой механики. Эти стандартные условия часто называют условиями регулярности волновой функции.

1. Условие конечности волновой функции. Волновая функция не может принимать бесконечных значений, таких, что интеграл станет расходящимся. Следовательно, это условие требует, чтобы волновая функция была квадратично интегрируемой функцией, т.е принадлежала гильбертовому пространству . В частности, в задачах с нормированной волновой функцией квадрат модуля волновой функции должен стремиться к нулю на бесконечности.
2. Условие однозначности волновой функции. Волновая функция должна быть однозначной функцией координат и времени, так как плотность вероятности обнаружения частицы должна определяться в каждой задаче однозначно. В задачах с использованием цилиндрической или сферической системы координат условие однозначности приводит к периодичности волновых функций по угловым переменным.
3. Условие непрерывности волновой функции. В любой момент времени волновая функция должна быть непрерывной функцией пространственных координат. Кроме того, непрерывными должны быть также частные производные волновой функции , , . Эти частные производные функций лишь в редких случаях задач с идеализированными силовыми полями могут терпеть разрыв в тех точках пространства, где потенциальная энергия, описывающая силовое поле, в котором движется частица, испытывает разрыв второго рода.

Волновая функция в различных представлениях[править | править код]

Набор координат, которые выступают в роли аргументов функции, представляет собой полную систему коммутирующих наблюдаемых. В квантовой механике возможно выбрать несколько полных наборов наблюдаемых, поэтому волновая функция одного и того же состояния может быть записана от разных аргументов. Выбранный для записи волновой функции полный набор величин определяет представление волновой функции. Так, возможны координатное представление, импульсное представление, в квантовой теории поля используется вторичное квантование и представление чисел заполнения, или представление Фока, и др.

Если волновая функция, например, электрона в атоме, задана в координатном представлении, то квадрат модуля волновой функции представляет собой плотность вероятности обнаружить электрон в той или иной точке пространства. Если эта же волновая функция задана в импульсном представлении, то квадрат её модуля представляет собой плотность вероятности обнаружить тот или иной импульс.

Матричная и векторная формулировки[править | править код]

Волновая функция одного и того же состояния в различных представлениях будет соответствовать выражению одного и того же вектора в разных системах координат. Остальные операции с волновыми функциями также будут иметь аналоги на языке векторов.
В волновой механике используется представление, где аргументами пси-функции является полная система непрерывных коммутирующих наблюдаемых, а в матричной используется представление, где аргументами пси-функции является полная система дискретных коммутирующих наблюдаемых. Поэтому функциональная (волновая) и матричная формулировки, очевидно, математически эквивалентны.

Описание смешанных квантовых состояний[править | править код]

Волновая функция представляет собой метод описания чистого состояния квантовомеханической системы. Смешанные квантовые состояния (в квантовой статистике) следует описывать при помощи матрицы плотности.

Координатное и импульсное представления[править | править код]

Волновая функция, представленная в виде функции от координат , называется волновой функцией в координатном представлении^[26]

Всякая волновая функция в координатном представлении может быть разложена по собственным функциям оператора её импульса:

В результате получаем обратное преобразование Фурье:

,

где

Коэффициенты разложения равны преобразованию Фурье

Функция называется волновой функцией частицы в импульсном представлении, так как есть вероятность импульсу частицы иметь значения в интервале ^[27].

Волновые функции и функциональные пространства[править | править код]

Концепция функциональных пространств естественным образом используется в дискуссии о волновых функциях. Функциональное пространство — это набор функций, обычно с некоторыми определяющими требованиями к функциям (в данном случае они являются квадратично интегрируемыми), иногда с заданной алгебраической структурой на множестве (в данном случае структура векторного пространства со скалярным произведением) вместе с топологией на множестве. Последнее будет использоваться здесь редко, оно необходимо только для получения точного определения того, что означает замкнутое подмножества функционального пространства. Ниже будет сделан вывод, что функциональное пространство волновых функций является гильбертовым пространством. Это наблюдение является основой преобладающей математической формулировкой квантовой механики.

Структура векторного пространства[править | править код]

Волновая функция, как элемент функционального пространства, частично характеризуется следующими конкретными и абстрактными описаниями.

• Уравнение Шрёдингера линейно. Это означает, что его решения, волновые функции, можно складывать и умножать на скаляры, чтобы получить новое решение. Множество решений уравнения Шрёдингера представляет собой векторное пространство.
• Принцип суперпозиции квантовой механики. Если Ψ и Φ — два состояния в абстрактном пространстве состояний квантовой механической системы, а a и b — любые два комплексных числа, то aΨ + bΦ является допустимым состоянием. Считается ли нулевой вектор допустимым состоянием («система отсутствует») — вопрос определения. Нулевой вектор ни в коем случае не описывает состояние вакуума в квантовой теории поля. Множество допустимых состояний — векторное пространство.

Это сходство не случайно. Также следует помнить о различиях между пространствами.

Представления[править | править код]

Основные состояния характеризуются набором квантовых чисел. Это набор собственных значений максимального набора коммутирующих наблюдаемых. Физические наблюдаемые представлены линейными операторами, также называемыми наблюдаемыми, в пространстве векторов. Максимальность означает, что в такой набор нельзя добавить никакие другие алгебраически независимые наблюдаемые, которые коммутируют с уже имеющимися. Выбор такого множества можно назвать выбором представления.

• В квантовой механике постулируется, что физически наблюдаемая величина системы, такая как положение, импульс или спин, представлена линейным эрмитовым оператором в пространстве состояний. Возможными результатами измерения этой величины являются собственные значения оператора^[17]. На более глубоком уровне большинство наблюдаемых, а возможно, и все, возникают как генераторы симметрий^{[17][28][nb 1]}.
• Физическая интерпретация состоит в том, что такой набор представляет то, что теоретически можно одновременно измерить с произвольной точностью. Соотношение неопределенностей Гейзенберга запрещает одновременные точные измерения двух некоммутирующих наблюдаемых.
• Набор неуникальный. Для одночастичной системы это может быть z проекция (x, S_z) y проекция (p, S_y). В этом случае оператор, соответствующий положению (оператор умножения в координатном представлении), и оператор, соответствующий импульсу (дифференциальный оператор в координатном представлении), не коммутируют.
• После того, как представление выбрано, неоднозначность остаётся. Осталось выбрать систему координат. Это может, например, соответствовать выбору осей x, y и z или выбору криволинейных координат, как показано на примере сферических координат, используемых для волновых функций атомов водорода. Этот окончательный выбор также фиксирует базис в абстрактном гильбертовом пространстве. Основные состояния помечены квантовыми числами, соответствующими максимальному набору коммутирующих наблюдаемых и соответствующей системе координат^{[nb 2]}.

Абстрактные состояния являются «абстрактными» только в том смысле, что не даётся произвольный выбор, необходимый для конкретного явного описания. Или другими словами, не было дано никакого выбора максимального набора коммутирующих наблюдаемых. Что аналогично векторному пространству без заданного базиса. Соответственно, волновые функции, соответствующие квантовому состоянию, не уникальны. Эта неоднозначность отражает неоднозначность в выборе максимального набора коммутирующих наблюдаемых. Для одной частицы со спином в одном измерении конкретному состоянию соответствуют две волновые функции Ψ(x, S_z) и Ψ(p, S_y), они обе описывают одно и то же состояние.

• Для каждого выбора максимального набора коммутирующих наблюдаемых для абстрактного пространства состояний существует соответствующее представление, которое связано с функциональным пространством волновых функций.
• Между всеми этими различными функциональными пространствами и абстрактным пространством состояний существуют взаимно однозначные соответствия (здесь не учитываются нормализация и ненаблюдаемые фазовые факторы), причём общим знаменателем здесь является конкретное абстрактное состояние. Связь между импульсными и координатными волновыми функциями, например, описывающими одно и то же состояние, даёт преобразование Фурье.

Каждый выбор представления следует рассматривать как определение уникального функционального пространства, в котором определены волновые функции, соответствующие этому выбору представления. Это различие лучше всего сохранить, даже если можно будет утверждать, что два таких функциональных пространства математически равны, например, являются набором квадратично интегрируемых функций. Тогда можно думать о функциональных пространствах как о двух различных копиях этого набора.

Внутреннее произведение[править | править код]

Имеется дополнительная алгебраическая структура векторных пространств волновых функций и абстрактного пространства состояний.

• Физически различные волновые функции интерпретируются как частично перекрывающиеся. Система в состоянии Ψ, которая не перекрывается с состоянием Φ не может быть найдена в состоянии Φ при измерении. Но если Φ₁, Φ₂, … перекрываются с Ψ в некоторой степени, существует вероятность того, что измерение системы, описываемой Ψ будет найдено в состояниях Φ₁, Φ₂, … Также соблюдаются правила отбора. Обычно их формулируют в терминах сохранения некоторых квантовых чисел. Это означает, что определённые процессы, допустимые с некоторых точек зрения (например, сохранение энергии и импульса), не происходят, потому что начальная и конечная полные волновые функции не перекрываются.
• Математически оказывается, что решения уравнения Шрёдингера для конкретных потенциалов каким-то образом ортогональны, это обычно описывается интегралом

где m, n — (наборы) индексов (квантовых чисел), обозначающих различные решения, строго положительная функция w называется весовой функцией, а δ_mn — символом Кронекера. Интегрирование осуществляется по всему соответствующему пространству.

Это мотивирует введение внутреннего произведения на векторном пространстве абстрактных квантовых состояний, совместимого с математическими результатами приведёнными выше при переходе к представлению. Он обозначается (Ψ, Φ), или в обозначении бра и кет . Что даёт комплексное число. С внутренним произведением функциональное пространство является предгильбертовым пространством. Явный вид внутреннего произведения (обычно интеграла или суммы интегралов) зависит от выбора представления, а комплексное число (Ψ, Φ) — нет. Большая часть физической интерпретации квантовой механики проистекает из правила Борна. В нём говорится, что вероятность p обнаружения при измерении состояния Φ при условии, что система находится в состоянии Ψ равна

где Φ и Ψ предполагаются нормированными. Рассмотрим эксперимент по рассеянию. В квантовой теории поля, если Φ_out описывает состояние в «далёком будущем» («исходящая волна») после прекращения взаимодействий между рассеивающими частицами, и Ψ_in падающая волна в «далёком прошлом», то величины (Φ_out, Ψ_in), где Φ_out и Ψ_in изменяются по полному набору падающих и исходящих волн соответственно, называется S-матрицей или матрицей рассеяния. Знание этого, по сути, означает решение имеющейся задачи, по крайней мере, в том, что касается предсказаний. Измеримые величины, такие как скорость распада и сечения рассеяния, вычисляются с помощью S-матрицы^[29].

Гильбертово пространство[править | править код]

Приведённые выше результаты отражают сущность функциональных пространств, элементами которых являются волновые функции. Однако описание ещё не полное. Существует ещё одно техническое требование к функциональному пространству, а именно требование полноты, которое позволяет брать пределы последовательностей в функциональном пространстве и гарантировать, что, если предел существует, то он является элементом функционального пространства. Полное предгильбертовое пространство называется гильбертовым пространством. Свойство полноты имеет решающее значение для передовых подходов и приложений квантовой механики. Например, существование проекционных операторов или зависит от полноты пространства^[30]. Эти проекционные операторы, в свою очередь, необходимы для формулировки и доказательства многих полезных теорем, например, спектральной теоремы. Это не очень важно для вводной части квантовой механики, а технические детали и ссылки можно найти в сносках, подобных следующей^{[nb 3]}. Пространство L² — это гильбертово пространство, скалярное произведение которого будет представлено ниже. Функциональное пространство в примере на рисунке является подпространством L². Подпространство гильбертова пространства называется гильбертовым пространством, если оно замкнуто.

Таким образом, набор всех возможных нормированных волновых функций для системы с определённым выбором базиса вместе с нулевым вектором составляют гильбертово пространство.

Не все интересующие функции являются элементами некоторого гильбертова пространства, скажем, L². Самый яркий пример — набор функций e^{2πip · x⁄_h} . Эти плоские волны — решения уравнения Шрёдингера для свободной частицы, но они не нормируемые, следовательно, не принадлежат L². Но, тем не менее, они являются основополагающими для описания квантовой механики. С их помощью можно выразить функции, которые можно нормализовать с помощью волновых пакетов. В каком-то смысле они являются базисом (но не базисом гильбертова пространства и не базисом Гамеля), в котором могут быть выражены интересующие волновые функции. Существует также другое описание: «нормализация на дельта-функцию», которое часто используется для удобства записи, см. ниже. Сами дельта-функции также не интегрируемы в квадрате.

Приведённое выше описание функционального пространства, содержащего волновые функции, в основном имеют математическую мотивацию. Функциональные пространства из-за полноты в определённом смысле очень велики. Не все функции являются реалистичным описанием какой-либо физической системы. Например, в функциональном пространстве L² можно найти функцию, которая принимает значение 0 для всех рациональных чисел и –i для иррациональных [0, 1]. Это функция интегрируема с квадратом^{[nb 4]}, но вряд ли может представлять собой физическое состояние.

Общие гильбертовые пространства[править | править код]

Хотя пространство решений в целом является гильбертовым пространством, существует множество других гильбертовых пространств.

• Квадратно интегрируемые комплекснозначные функции на интервале [0, 2π]. Множество {e^int/2π, n ∈ ℤ} является базисом гильбертова пространства, т.о есть максимальным ортонормированным множеством.
• Преобразование Фурье переводит функции из указанного выше пространства в элементы l²(ℤ), пространства суммируемых с квадратом функций ℤ → ℂ. Последнее пространство является гильбертовым пространством, а преобразование Фурье задаёт изоморфизмом гильбертовых пространств^{[nb 5]}. Его базис — {e_i, i ∈ ℤ} где e_i(j) = δ_ij, i, j ∈ ℤ .
• Самый простой пример ограниченных многочленов — это пространство квадратично интегрируемых функций на интервале [–1, 1] для которого многочлены Лежандра являются базисом гильбертова пространства (полным ортонормированным множеством).
• Квадратные интегрируемые функции на единичной сфере S² образуют гильбертово пространство. Базисными функциями в этом случае являются сферические гармоники. Полиномы Лежандра входят в состав сферических гармоник. Большинство задач с вращательной симметрией будут иметь «то же самое» (известное) решение относительно этой симметрии, поэтому исходная задача сводится к задаче меньшей размерности.
• Соответствующие полиномы Лагерра появляются в задаче о водородных волновых функций после выделения сферических гармоник. Они покрывают гильбертово пространство квадратично интегрируемых функций на полубесконечном интервале [0, ∞) .

В более общем случае можно рассмотреть все полиномиальные решения уравнений Штурма — Лиувилля второго порядка в контексте гильбертова пространства. К ним относятся многочлены Лежандра и Лагерра, а также многочлены Чебышёва, многочлены Якоби и многочлены Эрмита. Они на самом деле возникают в физических задачах, последние — в гармоническом осцилляторе, и то, что в противном случае представляет собой запутанный лабиринт свойств специальных функций, представляется органичной картиной. Для этого см. Byron & Fuller (1992, Chapter 5) .

Встречаются также конечномерные гильбертовы пространства. Пространство ℂⁿ является гильбертовым пространством размерности n. Внутреннее произведение является стандартным внутреннии произведением для этих пространств. В нём находится «спиновая часть» волновой функции одной частицы.

• При нерелятивистском описании электрона n = 2, а полная волновая функция является решением уравнения Паули.
• В соответствующей релятивистской трактовке n = 4 и волновая функция является решением уравнение Дирака.

С большим количеством частиц ситуация более сложная. Необходимо использовать тензорные произведения и теорию представлений задействованных групп симметрии (группы вращения и группы Лоренца соответственно). Дальнейшие трудности возникают в релятивистском случае, если частицы не являются свободными^[31]. См. Уравнение Бете — Солпитера. Соответствующие замечания относятся к понятию изоспина, для которого группа симметрии — это SU (2). В моделях ядерных сил шестидесятых годов (которые всё ещё используются сегодня, см. ядерные силы) использовалась группа симметрии SU (3). В этом случае также часть волновых функций, соответствующая внутренним симметриям, находится в некоторых ℂⁿ или подпространствах тензорных произведений таких пространств.

• В квантовой теории поля основным гильбертовым пространством является пространство Фока. Оно построено из свободных одночастичных состояний, то есть волновых функций, выбранного представления, и может вместить любое конечное, не обязательно постоянное во времени количество частиц. Интересная динамика скрыта не в волновых функциях, а в полевых операторах, действующих на пространстве Фока. Таким образом, картина Гейзенберга оказывается более удобной (постоянные состояния, изменяющиеся во времени операторы).

Из-за бесконечномерного характера системы соответствующие математические инструменты являются объектами изучения функционального анализа.

Онтология[править | править код]

Существует ли волновая функция на самом деле и что она представляет, — вот главные вопросы интерпретации квантовой механики. Многие известные физики предыдущего поколения ломали голову над этой проблемой, например, Шрёдингер, Эйнштейн и Бор. Некоторые выступают за формулировки или варианты копенгагенской интерпретации (например, Бор, Вигнер и фон Нейман), в то время как другие, такие как Уиллер или Джейнс, придерживаются более классического подхода^[32] и рассматривают волновую функцию как представление информации в сознании наблюдателя, то есть меры нашего познания реальности. Некоторые, включая Шрёдингера, Бома, Эверетта и других, утверждали, что волновая функция должна иметь объективное физическое существование. Эйнштейн считал, что полное описание физической реальности должно относиться непосредственно к физическому пространству и времени, в отличие от волновой функции, которая относится к абстрактному математическому пространству^[33].

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Комментарии

1. ↑ Чтобы это утверждение имело смысл, наблюдаемые должны быть элементами максимального коммутирующего множества. Например, оператор импульса i-й частицы в системе из n частиц «не» является генератором какой-либо симметрии по своей природе. С другой стороны, «полный» импульс является генератором симметрии по своей природе; трансляционной симметрии.
2. ↑ Результирующий базис может быть, а может и не быть в математическом смысле, базисом гильбертовых пространств. Например, состояния с определённым положением и определённым импульсом не интегрируемы с квадратом. Это можно преодолеть с помощью волновых пакетов или заключением системы в «коробку». См. Дальнейшие примечания ниже.
3. ↑ Технически это формулируется следующим образом. Внутреннее произведение задаёт нормц. Эта норма, в свою очередь, индуцирует метрику. Если эта метрика полна, то вышеупомянутые пределы будут даны в функциональном пространстве. Тогда предгильбертово пространство называется полным. Полное внутреннее произведение — это гильбертово пространство. Абстрактное пространство состояний всегда рассматривается как гильбертово пространство. Требование согласуемости для функциональных пространств является естественным. Свойство гильбертова пространства абстрактного пространства состояний было первоначально определено из наблюдения, что функциональные пространства, образующие нормируемые решения уравнения Шредингера, являются гильбертовыми пространствами.
4. ↑ Как поясняется в следующей сноске, интеграл следует рассматривать как интеграл Лебега, поскольку интеграл Римана недостаточно.
5. ↑ Conway, 1990. Это означает, что скалярные произведения, а следовательно, и нормы, сохраняются и, что отображение является ограниченным, а значит, непрерывной линейной биекцией. Сохраняется и свойство полноты. Таким образом, это соответствует правильному понятию изоморфизма в категории гильбертовых пространств.

Источники

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]

• Квантовая механика — статья из Большой советской энциклопедии. 
• Физический энциклопедический словарь: Квантовая механика”

1. Волновая функция

Наличие
у микрочастиц волновых свойств означает,
что микрочастице следует сопоставить
некоторое волновое поле. Амплитуда
этого волнового поля зависит от координат
и времени и называется волновой функцией.
Волновую функцию принято обозначать с
помощью символа
или (в кратком варианте) просто.

Физическое
толкование волновой функции было дано
Максом Борном. Оно заключается в
следующем.

Рассмотрим
элемент объема пространства
.
Вероятность обнаружения частицы в
объеме

в момент времени

будет равна

. (2.14)

Здесь
–
квадрат модуля волновой функции.¹

Необходимо
отметить, что сама волновая функция не
имеет физического смысла, смысл имеет
квадрат ее модуля
.
Из формулы (2.14) следует, что

.
(2.15)

Таким
образом, квадрат
модуля волновой функции есть плотность
вероятности обнаружения частицы в
данной точке пространства.

Вероятность
нахождения частицы в ограниченной
области внутри некоторого объема
определится интегралом, взятым по этому
объему

. (2.16)

Возьмем
этот интеграл по всему пространству.
Так как пребывание частицы в какой-нибудь
(любой) точке пространства есть событие
достоверное, то интеграл по всему
пространству (в бесконечных пределах)
должен быть равен 1.

(2.16)

Условие
(2.16)
называется условием
нормировки
волновой функции.

Если
волновая функция известна, то средние
значения физических величин, характеризующих
данный микрообъект, могут быть найдены
по формуле

. (2.17)

Здесь
–
среднее значение величины. Интегрирование
производится по всей области пространства.

1. Уравнение Шредингера

Основным
уравнением нерелятивистской квантовой
механики является уравнение Шредингера
(1926 г.). Это уравнение не выводится из
каких-либо известных ранее соотношений,
а является исходным основным
предположением; справедливость его
доказывается согласием с опытом
получаемых с его помощью результатов.

Запишем его

. (2.18)

Здесь
– дифференциальный оператор Лапласа;–
потенциальная энергия частицы в силовом
поле,m– ее масса;
;– мнимая единица.

Уравнение Шредингера дополняется
условиями, которые накладываются на
волновую функцию
:

• волновая
  функция
  должна быть конечной, однородной,
  непрерывной;

• производные

  
  должны быть непрерывны;

• интеграл
  должен
  быть конечным.

Эти
условия называют стандартными
условиями.

Уравнение
(2.18) называется общим
(временным) уравнением Шредингера.
Во многих задачах квантовой механики
силовое поле, в котором движется частица,
стационарно. Это означает, что ее
потенциальная энергия не зависит от
времени и является функцией только
координат, т.е.
.

В
этом случае волновую функцию
можно
представить в виде двух сомножителей

(2.19
)

В
этом выражении E
– полная энергия частицы. Первый
сомножитель

зависит только от времени и называется
временной частью волновой функции.
Второй сомножитель

зависит только от координат и называется
координатной частью волновой функции.

Подставим
соотношение (2.19)
в уравнение Шредингера (2.18),
получим:

. (2.20)

Сокращая
выражение (2.20) на

и преобразуя, получим:

. (2.21)

Уравнение
(2.21) называется уравнением
Шредингера для стационарных состояний.

Соседние файлы в предмете Физика

• #
• #

In quantum physics, a wave function is a mathematical description of the quantum state of an isolated quantum system. The wave function is a complex-valued probability amplitude, and the probabilities for the possible results of measurements made on the system can be derived from it. The most common symbols for a wave function are the Greek letters ψ and Ψ (lower-case and capital psi, respectively).

The wave function is a function of the degrees of freedom corresponding to some maximal set of commuting observables. Once such a representation is chosen, the wave function can be derived from the quantum state.

For a given system, the choice of which commuting degrees of freedom to use is not unique, and correspondingly the domain of the wave function is also not unique. For instance, it may be taken to be a function of all the position coordinates of the particles over position space, or the momenta of all the particles over momentum space; the two are related by a Fourier transform. Some particles, like electrons and photons, have nonzero spin, and the wave function for such particles include spin as an intrinsic, discrete degree of freedom; other discrete variables can also be included, such as isospin. When a system has internal degrees of freedom, the wave function at each point in the continuous degrees of freedom (e.g., a point in space) assigns a complex number for each possible value of the discrete degrees of freedom (e.g., z-component of spin) – these values are often displayed in a column matrix (e.g., a 2 × 1 column vector for a non-relativistic electron with spin 1⁄2).

According to the superposition principle of quantum mechanics, wave functions can be added together and multiplied by complex numbers to form new wave functions and form a Hilbert space. The inner product between two wave functions is a measure of the overlap between the corresponding physical states and is used in the foundational probabilistic interpretation of quantum mechanics, the Born rule, relating transition probabilities to inner products. The Schrödinger equation determines how wave functions evolve over time, and a wave function behaves qualitatively like other waves, such as water waves or waves on a string, because the Schrödinger equation is mathematically a type of wave equation. This explains the name “wave function”, and gives rise to wave–particle duality. However, the wave function in quantum mechanics describes a kind of physical phenomenon, still open to different interpretations, which fundamentally differs from that of classic mechanical waves.^{[1][2][3][4][5][6][7]}

In Born’s statistical interpretation in non-relativistic quantum mechanics,^[8][9][10]
the squared modulus of the wave function, |ψ|², is a real number interpreted as the probability density of measuring a particle as being at a given place – or having a given momentum – at a given time, and possibly having definite values for discrete degrees of freedom. The integral of this quantity, over all the system’s degrees of freedom, must be 1 in accordance with the probability interpretation. This general requirement that a wave function must satisfy is called the normalization condition. Since the wave function is complex-valued, only its relative phase and relative magnitude can be measured—its value does not, in isolation, tell anything about the magnitudes or directions of measurable observables; one has to apply quantum operators, whose eigenvalues correspond to sets of possible results of measurements, to the wave function ψ and calculate the statistical distributions for measurable quantities.

Historical background[edit]

In 1900, Max Planck postulated the proportionality between the frequency of a photon and its energy , ,^[11][12]
and in 1916 the corresponding relation between a photon’s momentum and wavelength , ,^[13]
where is the Planck constant. In 1923, De Broglie was the first to suggest that the relation , now called the De Broglie relation, holds for massive particles, the chief clue being Lorentz invariance,^[14] and this can be viewed as the starting point for the modern development of quantum mechanics. The equations represent wave–particle duality for both massless and massive particles.

In the 1920s and 1930s, quantum mechanics was developed using calculus and linear algebra. Those who used the techniques of calculus included Louis de Broglie, Erwin Schrödinger, and others, developing “wave mechanics”. Those who applied the methods of linear algebra included Werner Heisenberg, Max Born, and others, developing “matrix mechanics”. Schrödinger subsequently showed that the two approaches were equivalent.^[15]

In 1926, Schrödinger published the famous wave equation now named after him, the Schrödinger equation. This equation was based on classical conservation of energy using quantum operators and the de Broglie relations and the solutions of the equation are the wave functions for the quantum system.^[16] However, no one was clear on how to interpret it.^[17] At first, Schrödinger and others thought that wave functions represent particles that are spread out with most of the particle being where the wave function is large.^[18] This was shown to be incompatible with the elastic scattering of a wave packet (representing a particle) off a target; it spreads out in all directions.^[8]
While a scattered particle may scatter in any direction, it does not break up and take off in all directions. In 1926, Born provided the perspective of probability amplitude.^[8][9][19] This relates calculations of quantum mechanics directly to probabilistic experimental observations. It is accepted as part of the Copenhagen interpretation of quantum mechanics. There are many other interpretations of quantum mechanics. In 1927, Hartree and Fock made the first step in an attempt to solve the N-body wave function, and developed the self-consistency cycle: an iterative algorithm to approximate the solution. Now it is also known as the Hartree–Fock method.^[20] The Slater determinant and permanent (of a matrix) was part of the method, provided by John C. Slater.

Schrödinger did encounter an equation for the wave function that satisfied relativistic energy conservation before he published the non-relativistic one, but discarded it as it predicted negative probabilities and negative energies. In 1927, Klein, Gordon and Fock also found it, but incorporated the electromagnetic interaction and proved that it was Lorentz invariant. De Broglie also arrived at the same equation in 1928. This relativistic wave equation is now most commonly known as the Klein–Gordon equation.^[21]

In 1927, Pauli phenomenologically found a non-relativistic equation to describe spin-1/2 particles in electromagnetic fields, now called the Pauli equation.^[22] Pauli found the wave function was not described by a single complex function of space and time, but needed two complex numbers, which respectively correspond to the spin +1/2 and −1/2 states of the fermion. Soon after in 1928, Dirac found an equation from the first successful unification of special relativity and quantum mechanics applied to the electron, now called the Dirac equation. In this, the wave function is a spinor represented by four complex-valued components:^[20] two for the electron and two for the electron’s antiparticle, the positron. In the non-relativistic limit, the Dirac wave function resembles the Pauli wave function for the electron. Later, other relativistic wave equations were found.

Wave functions and wave equations in modern theories[edit]

All these wave equations are of enduring importance. The Schrödinger equation and the Pauli equation are under many circumstances excellent approximations of the relativistic variants. They are considerably easier to solve in practical problems than the relativistic counterparts.

The Klein–Gordon equation and the Dirac equation, while being relativistic, do not represent full reconciliation of quantum mechanics and special relativity. The branch of quantum mechanics where these equations are studied the same way as the Schrödinger equation, often called relativistic quantum mechanics, while very successful, has its limitations (see e.g. Lamb shift) and conceptual problems (see e.g. Dirac sea).

Relativity makes it inevitable that the number of particles in a system is not constant. For full reconciliation, quantum field theory is needed.^[23]
In this theory, the wave equations and the wave functions have their place, but in a somewhat different guise. The main objects of interest are not the wave functions, but rather operators, so called field operators (or just fields where “operator” is understood) on the Hilbert space of states (to be described next section). It turns out that the original relativistic wave equations and their solutions are still needed to build the Hilbert space. Moreover, the free fields operators, i.e. when interactions are assumed not to exist, turn out to (formally) satisfy the same equation as do the fields (wave functions) in many cases.

Thus the Klein–Gordon equation (spin 0) and the Dirac equation (spin 1⁄2) in this guise remain in the theory. Higher spin analogues include the Proca equation (spin 1), Rarita–Schwinger equation (spin 3⁄2), and, more generally, the Bargmann–Wigner equations. For massless free fields two examples are the free field Maxwell equation (spin 1) and the free field Einstein equation (spin 2) for the field operators.^[24]
All of them are essentially a direct consequence of the requirement of Lorentz invariance. Their solutions must transform under Lorentz transformation in a prescribed way, i.e. under a particular representation of the Lorentz group and that together with few other reasonable demands, e.g. the cluster decomposition property,^[25]
with implications for causality is enough to fix the equations.

This applies to free field equations; interactions are not included. If a Lagrangian density (including interactions) is available, then the Lagrangian formalism will yield an equation of motion at the classical level. This equation may be very complex and not amenable to solution. Any solution would refer to a fixed number of particles and would not account for the term “interaction” as referred to in these theories, which involves the creation and annihilation of particles and not external potentials as in ordinary “first quantized” quantum theory.

In string theory, the situation remains analogous. For instance, a wave function in momentum space has the role of Fourier expansion coefficient in a general state of a particle (string) with momentum that is not sharply defined.^[26]

Definition (one spinless particle in one dimension)[edit]

For now, consider the simple case of a non-relativistic single particle, without spin, in one spatial dimension. More general cases are discussed below.

Position-space wave functions[edit]

The state of such a particle is completely described by its wave function,

where x is position and t is time. This is a complex-valued function of two real variables x and t.

For one spinless particle in one dimension, if the wave function is interpreted as a probability amplitude, the square modulus of the wave function, the positive real number

is interpreted as the probability density that the particle is at x. The asterisk indicates the complex conjugate. If the particle’s position is measured, its location cannot be determined from the wave function, but is described by a probability distribution.

Normalization condition[edit]

The probability that its position x will be in the interval a ≤ x ≤ b is the integral of the density over this interval:

where t is the time at which the particle was measured. This leads to the normalization condition:

because if the particle is measured, there is 100% probability that it will be somewhere.

For a given system, the set of all possible normalizable wave functions (at any given time) forms an abstract mathematical vector space, meaning that it is possible to add together different wave functions, and multiply wave functions by complex numbers (see vector space for details). Technically, because of the normalization condition, wave functions form a projective space rather than an ordinary vector space. This vector space is infinite-dimensional, because there is no finite set of functions which can be added together in various combinations to create every possible function. Also, it is a Hilbert space, because the inner product of two wave functions Ψ₁ and Ψ₂ can be defined as the complex number (at time t)^{[nb 1]}

More details are given below. Although the inner product of two wave functions is a complex number, the inner product of a wave function Ψ with itself,

is always a positive real number. The number ‖Ψ‖ (not ‖Ψ‖²) is called the norm of the wave function Ψ.

If (Ψ, Ψ) = 1, then Ψ is normalized. If Ψ is not normalized, then dividing by its norm gives the normalized function Ψ/‖Ψ‖. Two wave functions Ψ₁ and Ψ₂ are orthogonal if (Ψ₁, Ψ₂) = 0. If they are normalized and orthogonal, they are orthonormal. Orthogonality (hence also orthonormality) of wave functions is not a necessary condition wave functions must satisfy, but is instructive to consider since this guarantees linear independence of the functions. In a linear combination of orthogonal wave functions Ψ_n we have,

If the wave functions Ψ_n were nonorthogonal, the coefficients would be less simple to obtain.

Quantum states as vectors[edit]

In the Copenhagen interpretation, the modulus squared of the inner product (a complex number) gives a real number

which, assuming both wave functions are normalized, is interpreted as the probability of the wave function Ψ₂ “collapsing” to the new wave function Ψ₁ upon measurement of an observable, whose eigenvalues are the possible results of the measurement, with Ψ₁ being an eigenvector of the resulting eigenvalue. This is the Born rule,^[8] and is one of the fundamental postulates of quantum mechanics.

At a particular instant of time, all values of the wave function Ψ(x, t) are components of a vector. There are uncountably infinitely many of them and integration is used in place of summation. In Bra–ket notation, this vector is written

and is referred to as a “quantum state vector”, or simply “quantum state”. There are several advantages to understanding wave functions as representing elements of an abstract vector space:

• All the powerful tools of linear algebra can be used to manipulate and understand wave functions. For example:
  • Linear algebra explains how a vector space can be given a basis, and then any vector in the vector space can be expressed in this basis. This explains the relationship between a wave function in position space and a wave function in momentum space and suggests that there are other possibilities too.
  • Bra–ket notation can be used to manipulate wave functions.
• The idea that quantum states are vectors in an abstract vector space is completely general in all aspects of quantum mechanics and quantum field theory, whereas the idea that quantum states are complex-valued “wave” functions of space is only true in certain situations.

The time parameter is often suppressed, and will be in the following. The x coordinate is a continuous index. The |x⟩ are the basis vectors, which are orthonormal so their inner product is a delta function;

thus

and

which illuminates the identity operator

Finding the identity operator in a basis allows the abstract state to be expressed explicitly in a basis, and more (the inner product between two state vectors, and other operators for observables, can be expressed in the basis).

Momentum-space wave functions[edit]

The particle also has a wave function in momentum space:

where p is the momentum in one dimension, which can be any value from −∞ to +∞, and t is time.

Analogous to the position case, the inner product of two wave functions Φ₁(p, t) and Φ₂(p, t) can be defined as:

One particular solution to the time-independent Schrödinger equation is

a plane wave, which can be used in the description of a particle with momentum exactly p, since it is an eigenfunction of the momentum operator. These functions are not normalizable to unity (they aren’t square-integrable), so they are not really elements of physical Hilbert space. The set

forms what is called the momentum basis. This “basis” is not a basis in the usual mathematical sense. For one thing, since the functions aren’t normalizable, they are instead normalized to a delta function,^{[nb 2]}

For another thing, though they are linearly independent, there are too many of them (they form an uncountable set) for a basis for physical Hilbert space. They can still be used to express all functions in it using Fourier transforms as described next.

Relations between position and momentum representations[edit]

The x and p representations are

Now take the projection of the state Ψ onto eigenfunctions of momentum using the last expression in the two equations,^[27]

Then utilizing the known expression for suitably normalized eigenstates of momentum in the position representation solutions of the free Schrödinger equation

one obtains

Likewise, using eigenfunctions of position,

The position-space and momentum-space wave functions are thus found to be Fourier transforms of each other.^[28] The two wave functions contain the same information, and either one alone is sufficient to calculate any property of the particle. As representatives of elements of abstract physical Hilbert space, whose elements are the possible states of the system under consideration, they represent the same state vector, hence identical physical states, but they are not generally equal when viewed as square-integrable functions.

In practice, the position-space wave function is used much more often than the momentum-space wave function. The potential entering the relevant equation (Schrödinger, Dirac, etc.) determines in which basis the description is easiest. For the harmonic oscillator, x and p enter symmetrically, so there it does not matter which description one uses. The same equation (modulo constants) results. From this, with a little bit of afterthought, it follows that solutions to the wave equation of the harmonic oscillator are eigenfunctions of the Fourier transform in L².^{[nb 3]}

Definitions (other cases)[edit]

Following are the general forms of the wave function for systems in higher dimensions and more particles, as well as including other degrees of freedom than position coordinates or momentum components.

One-particle states in 3d position space[edit]

The position-space wave function of a single particle without spin in three spatial dimensions is similar to the case of one spatial dimension above:

where r is the position vector in three-dimensional space, and t is time. As always Ψ(r, t) is a complex-valued function of real variables. As a single vector in Dirac notation

All the previous remarks on inner products, momentum space wave functions, Fourier transforms, and so on extend to higher dimensions.

For a particle with spin, ignoring the position degrees of freedom, the wave function is a function of spin only (time is a parameter);

where s_z is the spin projection quantum number along the z axis. (The z axis is an arbitrary choice; other axes can be used instead if the wave function is transformed appropriately, see below.) The s_z parameter, unlike r and t, is a discrete variable. For example, for a spin-1/2 particle, s_z can only be +1/2 or −1/2, and not any other value. (In general, for spin s, s_z can be s, s − 1, …, −s + 1, −s). Inserting each quantum number gives a complex valued function of space and time, there are 2s + 1 of them. These can be arranged into a column vector^{[nb 4]}

In bra–ket notation, these easily arrange into the components of a vector^{[nb 5]}

The entire vector ξ is a solution of the Schrödinger equation (with a suitable Hamiltonian), which unfolds to a coupled system of 2s + 1 ordinary differential equations with solutions ξ(s, t), ξ(s − 1, t), …, ξ(−s, t). The term “spin function” instead of “wave function” is used by some authors. This contrasts the solutions to position space wave functions, the position coordinates being continuous degrees of freedom, because then the Schrödinger equation does take the form of a wave equation.

More generally, for a particle in 3d with any spin, the wave function can be written in “position–spin space” as:

and these can also be arranged into a column vector

in which the spin dependence is placed in indexing the entries, and the wave function is a complex vector-valued function of space and time only.

All values of the wave function, not only for discrete but continuous variables also, collect into a single vector

For a single particle, the tensor product ⊗ of its position state vector |ψ⟩ and spin state vector |ξ⟩ gives the composite position-spin state vector

with the identifications

The tensor product factorization is only possible if the orbital and spin angular momenta of the particle are separable in the Hamiltonian operator underlying the system’s dynamics (in other words, the Hamiltonian can be split into the sum of orbital and spin terms^[29]). The time dependence can be placed in either factor, and time evolution of each can be studied separately. The factorization is not possible for those interactions where an external field or any space-dependent quantity couples to the spin; examples include a particle in a magnetic field, and spin–orbit coupling.

The preceding discussion is not limited to spin as a discrete variable, the total angular momentum J may also be used.^[30] Other discrete degrees of freedom, like isospin, can expressed similarly to the case of spin above.

Many-particle states in 3d position space[edit]

If there are many particles, in general there is only one wave function, not a separate wave function for each particle. The fact that one wave function describes many particles is what makes quantum entanglement and the EPR paradox possible. The position-space wave function for N particles is written:^[20]

where r_i is the position of the i-th particle in three-dimensional space, and t is time. Altogether, this is a complex-valued function of 3N + 1 real variables.

In quantum mechanics there is a fundamental distinction between identical particles and distinguishable particles. For example, any two electrons are identical and fundamentally indistinguishable from each other; the laws of physics make it impossible to “stamp an identification number” on a certain electron to keep track of it.^[28] This translates to a requirement on the wave function for a system of identical particles:

where the + sign occurs if the particles are all bosons and − sign if they are all fermions. In other words, the wave function is either totally symmetric in the positions of bosons, or totally antisymmetric in the positions of fermions.^[31] The physical interchange of particles corresponds to mathematically switching arguments in the wave function. The antisymmetry feature of fermionic wave functions leads to the Pauli principle. Generally, bosonic and fermionic symmetry requirements are the manifestation of particle statistics and are present in other quantum state formalisms.

For N distinguishable particles (no two being identical, i.e. no two having the same set of quantum numbers), there is no requirement for the wave function to be either symmetric or antisymmetric.

For a collection of particles, some identical with coordinates r₁, r₂, … and others distinguishable x₁, x₂, … (not identical with each other, and not identical to the aforementioned identical particles), the wave function is symmetric or antisymmetric in the identical particle coordinates r_i only:

Again, there is no symmetry requirement for the distinguishable particle coordinates x_i.

The wave function for N particles each with spin is the complex-valued function

Accumulating all these components into a single vector,

For identical particles, symmetry requirements apply to both position and spin arguments of the wave function so it has the overall correct symmetry.

The formulae for the inner products are integrals over all coordinates or momenta and sums over all spin quantum numbers. For the general case of N particles with spin in 3-d,

this is altogether N three-dimensional volume integrals and N sums over the spins. The differential volume elements d³r_i are also written “dV_i” or “dx_i dy_i dz_i“.

The multidimensional Fourier transforms of the position or position–spin space wave functions yields momentum or momentum–spin space wave functions.

Probability interpretation[edit]

For the general case of N particles with spin in 3d, if Ψ is interpreted as a probability amplitude, the probability density is

and the probability that particle 1 is in region R₁ with spin s_z1 = m₁ and particle 2 is in region R₂ with spin s_z2 = m₂ etc. at time t is the integral of the probability density over these regions and evaluated at these spin numbers:

Time dependence[edit]

For systems in time-independent potentials, the wave function can always be written as a function of the degrees of freedom multiplied by a time-dependent phase factor, the form of which is given by the Schrödinger equation. For N particles, considering their positions only and suppressing other degrees of freedom,

where E is the energy eigenvalue of the system corresponding to the eigenstate Ψ. Wave functions of this form are called stationary states.

The time dependence of the quantum state and the operators can be placed according to unitary transformations on the operators and states. For any quantum state |Ψ⟩ and operator O, in the Schrödinger picture |Ψ(t)⟩ changes with time according to the Schrödinger equation while O is constant. In the Heisenberg picture it is the other way round, |Ψ⟩ is constant while O(t) evolves with time according to the Heisenberg equation of motion. The Dirac (or interaction) picture is intermediate, time dependence is places in both operators and states which evolve according to equations of motion. It is useful primarily in computing S-matrix elements.^[32]

Non-relativistic examples[edit]

The following are solutions to the Schrödinger equation for one non-relativistic spinless particle.

Finite potential barrier[edit]

One of the most prominent features of wave mechanics is the possibility for a particle to reach a location with a prohibitive (in classical mechanics) force potential. A common model is the “potential barrier”, the one-dimensional case has the potential

and the steady-state solutions to the wave equation have the form (for some constants k, κ)

Note that these wave functions are not normalized; see scattering theory for discussion.

The standard interpretation of this is as a stream of particles being fired at the step from the left (the direction of negative x): setting A_r = 1 corresponds to firing particles singly; the terms containing A_r and C_r signify motion to the right, while A_l and C_l – to the left. Under this beam interpretation, put C_l = 0 since no particles are coming from the right. By applying the continuity of wave functions and their derivatives at the boundaries, it is hence possible to determine the constants above.

In a semiconductor crystallite whose radius is smaller than the size of its exciton Bohr radius, the excitons are squeezed, leading to quantum confinement. The energy levels can then be modeled using the particle in a box model in which the energy of different states is dependent on the length of the box.

Quantum harmonic oscillator[edit]

The wave functions for the quantum harmonic oscillator can be expressed in terms of Hermite polynomials H_n, they are

where n = 0, 1, 2, ….

Hydrogen atom[edit]

The wave functions of an electron in a Hydrogen atom are expressed in terms of spherical harmonics and generalized Laguerre polynomials (these are defined differently by different authors—see main article on them and the hydrogen atom).

It is convenient to use spherical coordinates, and the wave function can be separated into functions of each coordinate,^[33]

where R are radial functions and Y^m
_ℓ(θ, φ) are spherical harmonics of degree ℓ and order m. This is the only atom for which the Schrödinger equation has been solved exactly. Multi-electron atoms require approximative methods. The family of solutions is:^[34]

where a₀ = 4πε₀ħ²/m_ee² is the Bohr radius,
L^{2ℓ + 1}
_{n − ℓ − 1} are the generalized Laguerre polynomials of degree n − ℓ − 1, n = 1, 2, … is the principal quantum number, ℓ = 0, 1, …, n − 1 the azimuthal quantum number, m = −ℓ, −ℓ + 1, …, ℓ − 1, ℓ the magnetic quantum number. Hydrogen-like atoms have very similar solutions.

This solution does not take into account the spin of the electron.

In the figure of the hydrogen orbitals, the 19 sub-images are images of wave functions in position space (their norm squared). The wave functions represent the abstract state characterized by the triple of quantum numbers (n, ℓ, m), in the lower right of each image. These are the principal quantum number, the orbital angular momentum quantum number, and the magnetic quantum number. Together with one spin-projection quantum number of the electron, this is a complete set of observables.

The figure can serve to illustrate some further properties of the function spaces of wave functions.

• In this case, the wave functions are square integrable. One can initially take the function space as the space of square integrable functions, usually denoted L².
• The displayed functions are solutions to the Schrödinger equation. Obviously, not every function in L² satisfies the Schrödinger equation for the hydrogen atom. The function space is thus a subspace of L².
• The displayed functions form part of a basis for the function space. To each triple (n, ℓ, m), there corresponds a basis wave function. If spin is taken into account, there are two basis functions for each triple. The function space thus has a countable basis.
• The basis functions are mutually orthonormal.

Wave functions and function spaces[edit]

The concept of function spaces enters naturally in the discussion about wave functions. A function space is a set of functions, usually with some defining requirements on the functions (in the present case that they are square integrable), sometimes with an algebraic structure on the set (in the present case a vector space structure with an inner product), together with a topology on the set. The latter will sparsely be used here, it is only needed to obtain a precise definition of what it means for a subset of a function space to be closed. It will be concluded below that the function space of wave functions is a Hilbert space. This observation is the foundation of the predominant mathematical formulation of quantum mechanics.

Vector space structure[edit]

A wave function is an element of a function space partly characterized by the following concrete and abstract descriptions.

• The Schrödinger equation is linear. This means that the solutions to it, wave functions, can be added and multiplied by scalars to form a new solution. The set of solutions to the Schrödinger equation is a vector space.
• The superposition principle of quantum mechanics. If Ψ and Φ are two states in the abstract space of states of a quantum mechanical system, and a and b are any two complex numbers, then aΨ + bΦ is a valid state as well. (Whether the null vector counts as a valid state (“no system present”) is a matter of definition. The null vector does not at any rate describe the vacuum state in quantum field theory.) The set of allowable states is a vector space.

This similarity is of course not accidental. There are also a distinctions between the spaces to keep in mind.

Representations[edit]

Basic states are characterized by a set of quantum numbers. This is a set of eigenvalues of a maximal set of commuting observables. Physical observables are represented by linear operators, also called observables, on the vectors space. Maximality means that there can be added to the set no further algebraically independent observables that commute with the ones already present. A choice of such a set may be called a choice of representation.

• It is a postulate of quantum mechanics that a physically observable quantity of a system, such as position, momentum, or spin, is represented by a linear Hermitian operator on the state space. The possible outcomes of measurement of the quantity are the eigenvalues of the operator.^[18] At a deeper level, most observables, perhaps all, arise as generators of symmetries.^{[18][35][nb 6]}
• The physical interpretation is that such a set represents what can – in theory – simultaneously be measured with arbitrary precision. The Heisenberg uncertainty relation prohibits simultaneous exact measurements of two non-commuting observables.
• The set is non-unique. It may for a one-particle system, for example, be position and spin z-projection, (x, S_z), or it may be momentum and spin y-projection, (p, S_y). In this case, the operator corresponding to position (a multiplication operator in the position representation) and the operator corresponding to momentum (a differential operator in the position representation) do not commute.
• Once a representation is chosen, there is still arbitrariness. It remains to choose a coordinate system. This may, for example, correspond to a choice of x, y– and z-axis, or a choice of curvilinear coordinates as exemplified by the spherical coordinates used for the Hydrogen atomic wave functions. This final choice also fixes a basis in abstract Hilbert space. The basic states are labeled by the quantum numbers corresponding to the maximal set of commuting observables and an appropriate coordinate system.^{[nb 7]}

The abstract states are “abstract” only in that an arbitrary choice necessary for a particular explicit description of it is not given. This is the same as saying that no choice of maximal set of commuting observables has been given. This is analogous to a vector space without a specified basis. Wave functions corresponding to a state are accordingly not unique. This non-uniqueness reflects the non-uniqueness in the choice of a maximal set of commuting observables. For one spin particle in one dimension, to a particular state there corresponds two wave functions, Ψ(x, S_z) and Ψ(p, S_y), both describing the same state.

• For each choice of maximal commuting sets of observables for the abstract state space, there is a corresponding representation that is associated to a function space of wave functions.
• Between all these different function spaces and the abstract state space, there are one-to-one correspondences (here disregarding normalization and unobservable phase factors), the common denominator here being a particular abstract state. The relationship between the momentum and position space wave functions, for instance, describing the same state is the Fourier transform.

Each choice of representation should be thought of as specifying a unique function space in which wave functions corresponding to that choice of representation lives. This distinction is best kept, even if one could argue that two such function spaces are mathematically equal, e.g. being the set of square integrable functions. One can then think of the function spaces as two distinct copies of that set.

Inner product[edit]

There is an additional algebraic structure on the vector spaces of wave functions and the abstract state space.

• Physically, different wave functions are interpreted to overlap to some degree. A system in a state Ψ that does not overlap with a state Φ cannot be found to be in the state Φ upon measurement. But if Φ₁, Φ₂, … overlap Ψ to some degree, there is a chance that measurement of a system described by Ψ will be found in states Φ₁, Φ₂, …. Also selection rules are observed apply. These are usually formulated in the preservation of some quantum numbers. This means that certain processes allowable from some perspectives (e.g. energy and momentum conservation) do not occur because the initial and final total wave functions do not overlap.
• Mathematically, it turns out that solutions to the Schrödinger equation for particular potentials are orthogonal in some manner, this is usually described by an integral

  

  where m, n are (sets of) indices (quantum numbers) labeling different solutions, the strictly positive function w is called a weight function, and δ_mn is the Kronecker delta. The integration is taken over all of the relevant space.

This motivates the introduction of an inner product on the vector space of abstract quantum states, compatible with the mathematical observations above when passing to a representation. It is denoted (Ψ, Φ), or in the Bra–ket notation ⟨Ψ|Φ⟩. It yields a complex number. With the inner product, the function space is an inner product space. The explicit appearance of the inner product (usually an integral or a sum of integrals) depends on the choice of representation, but the complex number (Ψ, Φ) does not. Much of the physical interpretation of quantum mechanics stems from the Born rule. It states that the probability p of finding upon measurement the state Φ given the system is in the state Ψ is

where Φ and Ψ are assumed normalized. Consider a scattering experiment. In quantum field theory, if Φ_out describes a state in the “distant future” (an “out state”) after interactions between scattering particles have ceased, and Ψ_in an “in state” in the “distant past”, then the quantities (Φ_out, Ψ_in), with Φ_out and Ψ_in varying over a complete set of in states and out states respectively, is called the S-matrix or scattering matrix. Knowledge of it is, effectively, having solved the theory at hand, at least as far as predictions go. Measurable quantities such as decay rates and scattering cross sections are calculable from the S-matrix.^[36]

Hilbert space[edit]

The above observations encapsulate the essence of the function spaces of which wave functions are elements. However, the description is not yet complete. There is a further technical requirement on the function space, that of completeness, that allows one to take limits of sequences in the function space, and be ensured that, if the limit exists, it is an element of the function space. A complete inner product space is called a Hilbert space. The property of completeness is crucial in advanced treatments and applications of quantum mechanics. For instance, the existence of projection operators or orthogonal projections relies on the completeness of the space.^[37] These projection operators, in turn, are essential for the statement and proof of many useful theorems, e.g. the spectral theorem. It is not very important in introductory quantum mechanics, and technical details and links may be found in footnotes like the one that follows.^{[nb 8]}
The space L² is a Hilbert space, with inner product presented later. The function space of the example of the figure is a subspace of L². A subspace of a Hilbert space is a Hilbert space if it is closed.

In summary, the set of all possible normalizable wave functions for a system with a particular choice of basis, together with the null vector, constitute a Hilbert space.

Not all functions of interest are elements of some Hilbert space, say L². The most glaring example is the set of functions e^{2πip · x⁄h}. These are plane wave solutions of the Schrödinger equation for a free particle, but are not normalizable, hence not in L². But they are nonetheless fundamental for the description. One can, using them, express functions that are normalizable using wave packets. They are, in a sense, a basis (but not a Hilbert space basis, nor a Hamel basis) in which wave functions of interest can be expressed. There is also the artifact “normalization to a delta function” that is frequently employed for notational convenience, see further down. The delta functions themselves aren’t square integrable either.

The above description of the function space containing the wave functions is mostly mathematically motivated. The function spaces are, due to completeness, very large in a certain sense. Not all functions are realistic descriptions of any physical system. For instance, in the function space L² one can find the function that takes on the value 0 for all rational numbers and –i for the irrationals in the interval [0, 1]. This is square integrable,^{[nb 9]}
but can hardly represent a physical state.

Common Hilbert spaces[edit]

While the space of solutions as a whole is a Hilbert space there are many other Hilbert spaces that commonly occur as ingredients.

• Square integrable complex valued functions on the interval [0, 2π]. The set {e^int/2π, n ∈ ℤ} is a Hilbert space basis, i.e. a maximal orthonormal set.
• The Fourier transform takes functions in the above space to elements of l²(ℤ), the space of square summable functions ℤ → ℂ. The latter space is a Hilbert space and the Fourier transform is an isomorphism of Hilbert spaces.^{[nb 10]} Its basis is {e_i, i ∈ ℤ} with e_i(j) = δ_ij, i, j ∈ ℤ.
• The most basic example of spanning polynomials is in the space of square integrable functions on the interval [–1, 1] for which the Legendre polynomials is a Hilbert space basis (complete orthonormal set).
• The square integrable functions on the unit sphere S² is a Hilbert space. The basis functions in this case are the spherical harmonics. The Legendre polynomials are ingredients in the spherical harmonics. Most problems with rotational symmetry will have “the same” (known) solution with respect to that symmetry, so the original problem is reduced to a problem of lower dimensionality.
• The associated Laguerre polynomials appear in the hydrogenic wave function problem after factoring out the spherical harmonics. These span the Hilbert space of square integrable functions on the semi-infinite interval [0, ∞).

More generally, one may consider a unified treatment of all second order polynomial solutions to the Sturm–Liouville equations in the setting of Hilbert space. These include the Legendre and Laguerre polynomials as well as Chebyshev polynomials, Jacobi polynomials and Hermite polynomials. All of these actually appear in physical problems, the latter ones in the harmonic oscillator, and what is otherwise a bewildering maze of properties of special functions becomes an organized body of facts. For this, see Byron & Fuller (1992, Chapter 5).

There occurs also finite-dimensional Hilbert spaces. The space ℂⁿ is a Hilbert space of dimension n. The inner product is the standard inner product on these spaces. In it, the “spin part” of a single particle wave function resides.

• In the non-relativistic description of an electron one has n = 2 and the total wave function is a solution of the Pauli equation.
• In the corresponding relativistic treatment, n = 4 and the wave function solves the Dirac equation.

With more particles, the situations is more complicated. One has to employ tensor products and use representation theory of the symmetry groups involved (the rotation group and the Lorentz group respectively) to extract from the tensor product the spaces in which the (total) spin wave functions reside. (Further problems arise in the relativistic case unless the particles are free.^[38] See the Bethe–Salpeter equation.) Corresponding remarks apply to the concept of isospin, for which the symmetry group is SU(2). The models of the nuclear forces of the sixties (still useful today, see nuclear force) used the symmetry group SU(3). In this case, as well, the part of the wave functions corresponding to the inner symmetries reside in some ℂⁿ or subspaces of tensor products of such spaces.

• In quantum field theory the underlying Hilbert space is Fock space. It is built from free single-particle states, i.e. wave functions when a representation is chosen, and can accommodate any finite, not necessarily constant in time, number of particles. The interesting (or rather the tractable) dynamics lies not in the wave functions but in the field operators that are operators acting on Fock space. Thus the Heisenberg picture is the most common choice (constant states, time varying operators).

Due to the infinite-dimensional nature of the system, the appropriate mathematical tools are objects of study in functional analysis.

Simplified description[edit]

Not all introductory textbooks take the long route and introduce the full Hilbert space machinery, but the focus is on the non-relativistic Schrödinger equation in position representation for certain standard potentials. The following constraints on the wave function are sometimes explicitly formulated for the calculations and physical interpretation to make sense:^[39][40]

• The wave function must be square integrable. This is motivated by the Copenhagen interpretation of the wave function as a probability amplitude.
• It must be everywhere continuous and everywhere continuously differentiable. This is motivated by the appearance of the Schrödinger equation for most physically reasonable potentials.

It is possible to relax these conditions somewhat for special purposes.^{[nb 11]}
If these requirements are not met, it is not possible to interpret the wave function as a probability amplitude.^[41]

This does not alter the structure of the Hilbert space that these particular wave functions inhabit, but the subspace of the square-integrable functions L², which is a Hilbert space, satisfying the second requirement is not closed in L², hence not a Hilbert space in itself.^{[nb 12]}
The functions that does not meet the requirements are still needed for both technical and practical reasons.^{[nb 13][nb 14]}

More on wave functions and abstract state space[edit]

As has been demonstrated, the set of all possible wave functions in some representation for a system constitute an in general infinite-dimensional Hilbert space. Due to the multiple possible choices of representation basis, these Hilbert spaces are not unique. One therefore talks about an abstract Hilbert space, state space, where the choice of representation and basis is left undetermined. Specifically, each state is represented as an abstract vector in state space.^[42] A quantum state |Ψ⟩ in any representation is generally expressed as a vector

where

• |α, ω⟩ the basis vectors of the chosen representation
• d^mω = dω₁dω₂…dω_m a “differential volume element” in the continuous degrees of freedom
• Ψ(α, ω, t) a component of the vector |Ψ⟩, called the wave function of the system
• α = (α₁, α₂, …, α_n) dimensionless discrete quantum numbers
• ω = (ω₁, ω₂, …, ω_m) continuous variables (not necessarily dimensionless)

These quantum numbers index the components of the state vector. More, all α are in an n-dimensional set A = A₁ × A₂ × … × A_n where each A_i is the set of allowed values for α_i; all ω are in an m-dimensional “volume” Ω ⊆ ℝ^m where Ω = Ω₁ × Ω₂ × … × Ω_m and each Ω_i ⊆ R is the set of allowed values for ω_i, a subset of the real numbers R. For generality n and m are not necessarily equal.

Example:

The probability density of finding the system at time at state |α, ω⟩ is

The probability of finding system with α in some or all possible discrete-variable configurations, D ⊆ A, and ω in some or all possible continuous-variable configurations, C ⊆ Ω, is the sum and integral over the density,^{[nb 15]}

Since the sum of all probabilities must be 1, the normalization condition

must hold at all times during the evolution of the system.

The normalization condition requires ρ d^mω to be dimensionless, by dimensional analysis Ψ must have the same units as (ω₁ω₂…ω_m)^−1/2.

Ontology[edit]

Whether the wave function really exists, and what it represents, are major questions in the interpretation of quantum mechanics. Many famous physicists of a previous generation puzzled over this problem, such as Schrödinger, Einstein and Bohr. Some advocate formulations or variants of the Copenhagen interpretation (e.g. Bohr, Wigner and von Neumann) while others, such as Wheeler or Jaynes, take the more classical approach^[43] and regard the wave function as representing information in the mind of the observer, i.e. a measure of our knowledge of reality. Some, including Schrödinger, Bohm and Everett and others, argued that the wave function must have an objective, physical existence. Einstein thought that a complete description of physical reality should refer directly to physical space and time, as distinct from the wave function, which refers to an abstract mathematical space.^[44]

See also[edit]

[edit]

Citations[edit]

General sources[edit]

Further reading[edit]

External links[edit]

• Quantum Mechanics for Engineers
• Spin wave functions NYU
• Identical Particles Revisited, Michael Fowler
• The Nature of Many-Electron Wavefunctions
• Quantum Mechanics and Quantum Computation at BerkeleyX
• Einstein, The quantum theory of radiation