Ответ:
5875
8575
Объяснение:
Запишем число в виде:
abcd
Признак делимости на 25:
Число делятся на 25, если оно заканчивается двумя нулями или цифрами, выражающими число, которое делится на 25.
Итак, наше число может выглядеть так:
1) ab00
2) ab25
3) ab50
4) ab75
Проанализируем эти числа.
1) Это число не подходит, поскольку сумма цифр
S₁ = a + b + 0 + 0 = a + b = 25
Но максимальное значение a=9; b=9; a+b = 9+9 = 18≠25
2) И это число не подходит, поскольку сумма цифр
S₁ = a + b + 2 + 5 = a + b + 7
Или
a+b = 25-7 = 18
Единственный вариант:
a=9; b=9. Проверим произведение:
9·9·2·5 = 810. Но 810 не делится нацело на 25
3)
Не годится и вариант ab50
поскольку a+b+5+0 = 25
a+b=20, чего быть не может.
Итак, у нас остался четвертый вариант:
ab75, то есть искомое число заканчивается на 75.
Находим сумму цифр:
a+b+7+5 = a+b+12
a+b = 25-12 = 13
Здесь всего 6 вариантов, которые мы и проверим:
9+4 = 13; 4+9 = 13; 9·4·7·5 = 1260 не делится на 25.
8+5 = 13; 5+8 = 13; 5·8·7·5 = 1400 делится на 25
7+6 = 13; 6+7 = 13; 7·6·7·5 = 1260 не делится на 25.
Итак, мы нашли два четырехзначных восхитительных числа:
5875 и
8575
Ответ:
5875
8575
Объяснение:
Запишем число в виде:
<u>abcd</u>
Признак делимости на 25:
<em>Число делятся на 25, если оно заканчивается двумя нулями или цифрами, выражающими число, которое делится на 25.</em>
Итак, наше число может выглядеть так:
1) ab<u>00</u>
2) ab<u>25</u>
3) ab<u>50</u>
4) ab<u>75</u>
Проанализируем эти числа.
1) Это число не подходит, поскольку сумма цифр
S₁ = a + b + 0 + 0 = a + b = 25
Но максимальное значение a=9; b=9; a+b = 9+9 = 18≠25
2) И это число не подходит, поскольку сумма цифр
S₁ = a + b + 2 + 5 = a + b + 7
Или
a+b = 25-7 = 18
Единственный вариант:
a=9; b=9. Проверим произведение:
9·9·2·5 = 810. Но 810 не делится нацело на 25
3)
Не годится и вариант ab<u>50</u>
поскольку a+b+5+0 = 25
a+b=20, чего быть не может.
Итак, у нас остался четвертый вариант:
ab<u>75,</u> то есть искомое число заканчивается на 75.
Находим сумму цифр:
a+b+7+5 = a+b+12
a+b = 25-12 = 13
Здесь всего 6 вариантов, которые мы и проверим:
9+4 = 13; 4+9 = 13; 9·4·7·5 = 1260 не делится на 25.
8+5 = 13; 5+8 = 13; 5·8·7·5 = 1400 делится на 25
7+6 = 13; 6+7 = 13; 7·6·7·5 = 1260 не делится на 25.
Итак, мы нашли два четырехзначных восхитительных числа:
5875 и
8575
Назовем число восхитительным, если оно представимо как произведение ровно 9 различных простых множителей.
(Например, число 223092870=2х3х5х7х11х13х17х19х23 восхитительное).
Докажите, что из любого восхитительного числа можно вычесть один из его простых делителей так, что результат гарантированно восхитительным уже не будет.
(Автор задачи: Оксана Данченко)
1
Если есть множитель 2, то его вычитаем, и разность делится на 4. Пусть все сомножители нечётны. Если произведение имеет вид 4k+3, то его вычитаем, и разность снова делится на 4. Если произведение вида 4k+1, то ввиду нечётности числа 9, все сомножители не могут быть вида 4m+3. Значит, есть сомножитель вида 4m+3, и его вычитаем с тем же эффектом.
Интереснее было бы найти контрпример, когда вместо 9 сомножителей их имеется, например, 4.
@falcao, большое спасибо! Контрпримера для четырёх сомножителей, похоже, нет.
This is only a partial answer: There are no “delectable” numbers base $b$ if $b$ is odd.
The proof is based on the elementary generalization of casting out $9$’s, namely a number written base $b$ is divisible by $b-1$ if and only if the sum of its base-$b$ digits is divisible by $b-1$. But if $b=2m+1$, then $b-1=2m$ does not divide $1+2+cdots+(2m)={(2m)(2m+1)over2}=m(2m+1)$. So even if a number appears delectable for the first $b-2$ divisions, it’s guaranteed to go sour at the end.
As for even bases, the first few are fairly easy:
$$begin{align}
text{base }2:&quad1\
text{base }4:&quad123,321\
text{base }6:&quad14325,54321
end{align}$$
After that, it gets a little hairy. For base $8$, it’s easy to see that delectable numbers must be of the form _2_4_6_ or _6_4_2_, where the _’s are to be filled with the odd digits 1,3,5, and 7, so at worst there are $48$ ($=2cdot4!$) possibilities to pick through. But naively, at least, it looks like the amount of searching will grow factorially, so even by the time you get to base $16$, you’ve got something on the order of $7!8!$ numbers to look at — small enough for a computer to handle, but verging on the unmanagable in the absence of additional ideas.
Remark: I was a little surprised to find that googling on the OP’s number 381654729 didn’t turn up much that was relevant; to be sure, it gives hits for “polydivisible” numbers, but little that pertains to the question at hand.
Ответ:
Пошаговое объяснение:
Давайте думать и рассуждать (“разжевывать”, чтоб было понятно).
1) Пусть есть число вида abcd. Причем числа a,b,c,d могут принимать значения от 0 до 9 кроме а (оно не может быть 0)
значит, любое число abcd можно представить как ab00+cd
Понятно, что число ab00 по-любому делится на 25. Значит , надо, чтобы cd делилось на 25. А это будут 00, 25 , 50 и 75
Т.е. мы пришли к тому, что надо искать среди чисел вида
ab00, ab25, ab50, ab75
2) сумма цифр делится на 25. Т.к. все цифры не могут быть больше 9, то сумма цифр однозначно не может быть больше 4*9=36, а значит, чтоб делилась на 25 необходимо , чтобы сумма была равна 25. Т.е.
a+b+0+0=25 a+b=25 такого быть не может
a+b+2+5=25 a+b=18 такое только при a=b=9, число 9925
a+b+5+0=25 a+b=20 тоже не подходит
a+b+7+5=25 a+b=13 это при a=4 b=9 4975
a=5 b=8 5875
a=6 b=7 6775
a=7 b=6 7675
a=8 b=5 8575
a=9 b=4 9475
3) а теперь из этих 7 чисел найдем такие, у которых произведение делится на 25.
можно просто перемножить и поделить, но опять же порассуждаем. Число делится на 5 тогда, когда при его разложении на множители имеем две пятерки (нули у нас отсеклись еще раньше). Т.е. сразу подходит 9925, 5875 и 8575. Все.
