Как найти возведение степени в степень - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Степень степени – это возведение в степень числа или переменной, находящейся в степени. Например, или , или так . Чтобы возвести в степень степень надо знать правило: при возведении степени в степень надо показатели перемножить.

$[displaystyle (a^m)^n=a^{m cdot n}]$

Правила возведения степени в степень

Степень степени

При возведении степени в степень, показатели перемножаются, а основание степени остается прежним:

$[displaystyle (a^n)^m=a^{n cdot m}]$

Степень произведения степеней

Если в степень возводится произведение степеней, то в степень возводится каждый множитель:

$[displaystyle (a^n cdot b^k)^m=a^{n cdot m} cdot b^{k cdot m}]$

Степень частного степеней

Если в степень возводится частное степеней, то в степень возводится и делимое, и делитель:

$[displaystyle (frac{a^n}{ b^k})^m=frac{a^{n cdot m}}{b^{k cdot m}}]$

Частные случаи возведения степени в степень

Степень в 1 степени равна самой себе:

Степень в 0 степени равна единице:

Примеры возведения степени в степень

Приведем примеры возведения степени в степень. Возьмем для примера задания на вычисление из ЕГЭ.

Пример 1

Найти значение выражения:

$(2^{16})^5:2^{74}$

Решение: При возведении степени в степень показатели перемножаются. Возведем $(2^{16})^5=2^{16 cdot 5}=2^{80}$ .

Теперь у нас получается: $2^{80}:2^{74}=2^{80-74}=2^6=64$ .

Пример 2

Найдите значение выражения:

$4^{frac{1}{5}}cdot 16^{frac{9}{10}}$ .

Решение:

Приведем степени к одному основанию – 2. Получим:

$(2^2)^{frac{1}{5}}cdot (2^4)^{frac{9}{10}}$

При возведении степени в степень показатели степени умножаются:

$2^{2 cdot frac{1}{5}}cdot 2^{4 cdot frac{9}{10}}$

$2^{frac{2}{5}}cdot 2^{frac{36}{10}}$

$2^{frac{2}{5}}cdot 2^{frac{18}{5}}$

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели степени складываются:

$2^{frac{2}{5}+frac{18}{5}} =2^{frac{2+18}{5}}=2^{frac{2+18}{5}}=2^{frac{20}{5}}=2^4=16$ .

Пример 3

Найдите значение выражения $frac{81^{2,6}}{9^{3,7}}$ .

Решение: Приведем степени в числителе и в знаменателе дроби к одному основанию $frac{81^{2,6}}{9^{3,7}}$ . Получим:

$frac{(9^2)^{2,6}}{9^{3,7}}$ . При возведении степени в степень показатели перемножаются: $frac{(9)^{5,2}}{9^{3,7}}$

Показатели вычитаются при делении степеней с одинаковыми основаниями:

$9^{5,2-3,7}=9^{1,5}=(3^2)^{1,5}=3^3=27$ .

Пример 4

Найдите значение выражения

Решение: При возведении в степень степени показатели степеней нужно перемножить. Получим: $27^{12}: 9^{16}$ .

Теперь приведем степени к одинаковому основанию: $27^{12} : 9^{16}=(3^3)^{12} : (3^2)^16=3^{36} : 3^{32}$ .

При вычитании степеней, основания которых одинаковы, показатели степеней вычитаются: $3^{36-32}=3^4=81$ .

Пример 5

Найдите значение выражения $displaystyle frac{sqrt[5] {45} cdot sqrt[5]{189}}{sqrt[5]{35}}$ .

Решение: если возводятся в одну и ту же степень разные множители, то можно сначала их перемножить, а потом произведение уже возвести в эту степень. То есть,

Корень любой степени из числа можно также представить и как степень. В нашем выражении $displaystyle sqrt[5]{a}=a^{frac{1}{5}}$ . Таким образом, мы можем все выражение записать под одним корнем.

Итак, наше выражение можно записать так:

$displaystyle frac{sqrt[5] {45} cdot sqrt[5]{189}}{sqrt[5]{35}}=sqrt[5]{frac{45 cdot 189}{35}}=sqrt[5]{9 cdot 27} =sqrt[5]{243}=3$ .

Итак, мы с вами изучили возведение степени в степень. Разобрали что при возведении степени в степень показатели перемножаются, действия со степенями помогут решать задачи из ОГЭ на нахождение значения выражения. Задания на это правило часто используется при упрощении выражений, в уравнениях и в неравенствах.

Еще про степень можно посмотреть:

Свойства степеней с натуральным показателем.

Источник

Возведение степени в степень, формула

Формула возведения степени в степень

Возведение степени в степень это перемножение показателей степеней, при неизменном основании.

a – любое число,

n, k – натуральное число.

Найти возведение степени в степень по формуле с калькулятором онлайн

Примеры возведения степени в степень

1. (b³)⁶ = b^{3 • 6} = b ¹⁸ ;

b¹⁸ = (b⁶)³ = (b²)⁹ = (b⁹)² ;

18 = 3 • 6 = 6 • 3 = 2 • 9 = 9 • 2 ;

a = b ;

n = 3 ;

k = 6 ;

2. (a³)^{7 = a^{3 • 7}} = a²¹ ;

a²¹ = (a⁷)³ ;

a = a ;

n = 3 ;

k = 7 ;

3. (y²)⁸ = y¹⁶ = (y⁴)⁴ = y¹⁶ ;

a = y ;

n = 2;

k = 8 ;

4. (2³)⁴ = 2^{3 • 4} = 2¹² = 4 096 ;

a = 2 ;

n = 3 ;

k = 4 ;

Источник

Рассмотрим пример возведения степени в степень:

3 слаг.a53=a5⋅a5⋅a5⏟=a5+5+5⏞=a5⋅3=a153 множ.

При возведении степени в степень показатели перемножаются,

а основание остаётся без изменений.

anm=an⋅m

(где (а) — любое число, (n) и (m) — натуральные числа).

Формула применяется как слева направо, так и справа налево.

Пример:

вычислить.

232

Решение:

232=23⋅2=26=64

37:33

Решение:

37:33=37−3=34=81

Пример:

упростить выражение:

t64

Решение:

t64=t6⋅4=t24

Пример:

представить в виде пятой степени:

1110

Решение.

Показатель степени можно представить в виде произведения, тогда

1110=112⋅5=1125

Источник

Возведение степени в степень

При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются:$$left( a^m right)^n=a^{mtimes n}$$

Приведем пример:

$$left(3^4right)^2=3^8$$

или

$$ { lparen 3times 3times 3times 3 rparen }^2=3^8$$

$$81^2=6561$$

Оценить урок

Что можно улучшить?

Урок неполный, не хватает
информации

Урок перегружен, слишком много
информации

Изображения плохого качества

Изображений слишком много

Войдите, чтобы оценивать уроки

Что нужно исправить?

Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

Хотите оставить комментарий?

Войти

Источник

Рассмотрим тему преобразования выражений со степенями, но прежде остановимся на ряде преобразований, которые можно проводить с любыми выражениями, в том числе со степенными. Мы научимся раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, работать с основанием и показателем степени, использовать свойства степеней.

Что представляют собой степенные выражения?

В школьном курсе мало кто использует словосочетание «степенные выражения», зато этот термин постоянно встречается в сборниках для подготовки к ЕГЭ. В большинства случаев словосочетанием обозначаются выражения, которые содержат в своих записях степени. Это мы и отразим в нашем определении.

Определение 1

Степенное выражение – это выражение, которое содержит степени.

Приведем несколько примеров степенных выражений, начиная со степени с натуральным показателем и заканчивая степенью с действительным показателем.

Самыми простыми степенными выражениями можно считать степени числа с натуральным показателем: 32, 75+1, (2+1)5, (−0,1)4, 2233, 3·a2−a+a2, x3−1, (a2)3. А также степени с нулевым показателем: 50, (a+1)0, 3+52−3,20. И степени с целыми отрицательными степенями: (0,5)2+(0,5)-22.

Чуть сложнее работать со степенью, имеющей рациональный и иррациональный показатели: 26414-3·3·312, 23,5·2-22-1,5, 1a14·a12-2·a-16·b12, xπ·x1-π, 233+5.

В качестве показателя может выступать переменная 3x-54-7·3x-58 или логарифм x2·lgx−5·xlgx.

С вопросом о том, что такое степенные выражения, мы разобрались. Теперь займемся их преобразованием.

Основные виды преобразований степенных выражений

В первую очередь мы рассмотрим основные тождественные преобразования выражений, которые можно выполнять со степенными выражениями.

Пример 1

Вычислите значение степенного выражения 23·(42−12).

Решение

Все преобразования мы будем проводить с соблюдением порядка выполнения действий. В данном случае начнем мы с выполнения действий в скобках: заменим степень на цифровое значение и вычислим разность двух чисел. Имеем 23·(42−12)=23·(16−12)=23·4.

Нам остается заменить степень 23 ее значением 8 и вычислить произведение 8·4=32. Вот наш ответ.

Ответ: 23·(42−12)=32.

Пример 2

Упростите выражение со степенями 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7.

Решение

Данное нам в условии задачи выражение содержит подобные слагаемые, которые мы можем привести: 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7=5·a4·b−7−1.

Ответ: 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7=5·a4·b−7−1.

Пример 3

Представьте выражение со степенями 9-b3·π-12 в виде произведения.

Решение

Представим число 9 как степень 32 и применим формулу сокращенного умножения:

9-b3·π-12=32-b3·π-12==3-b3·π-13+b3·π-1

Ответ: 9-b3·π-12=3-b3·π-13+b3·π-1.

А теперь перейдем к разбору тождественных преобразований, которые могут применяться именно в отношении степенных выражений.

Работа с основанием и показателем степени

Степень в основании или показателе может иметь и числа, и переменные, и некоторые выражения. Например, (2+0,3·7)5−3,7 и (a·(a+1)−a2)2·(x+1). Работать с такими записями сложно. Намного проще заменить выражение в основании степени или выражение в показателе тождественно равным выражением.

Проводятся преобразования степени и показателя по известным нам правилам отдельно друг от друга. Самое главное, чтобы в результате преобразований получилось выражение, тождественное исходному.

Цель преобразований – упростить исходное выражение или получить решение задачи. Например, в примере, который мы привели выше, (2+0,3·7)5−3,7 можно выполнить действия для перехода к степени 4,11,3. Раскрыв скобки, мы можем привести подобные слагаемые в основании степени (a·(a+1)−a2)2·(x+1) и получить степенное выражение более простого вида a2·(x+1).

Использование свойств степеней

Свойства степеней, записанные в виде равенств, являются одним из главных инструментов преобразования выражений со степенями. Приведем здесь основные из них, учитывая, что a и b – это любые положительные числа, а r и s – произвольные действительные числа:

Определение 2

ar·as=ar+s;
ar:as=ar−s;
(a·b)r=ar·br;
(a:b)r=ar:br;
(ar)s=ar·s.

В тех случаях, когда мы имеем дело с натуральными, целыми, положительными показателями степени, ограничения на числа a и b могут быть гораздо менее строгими. Так, например, если рассмотреть равенство am·an=am+n, где m и n – натуральные числа, то оно будет верно для любых значений a, как положительных, так и отрицательных, а также для a=0.

Применять свойства степеней без ограничений можно в тех случаях, когда основания степеней положительные или содержат переменные, область допустимых значений которых такова, что на ней основания принимают лишь положительные значения. Фактически, в рамках школьной программы по математике задачей учащегося является выбор подходящего свойства и правильное его применение.

При подготовке к поступлению в Вузы могут встречаться задачи, в которых неаккуратное применение свойств будет приводить к сужению ОДЗ и другим сложностям с решением. В данном разделе мы разберем всего два таких случая. Больше информации по вопросу можно найти в теме «Преобразование выражений с использованием свойств степеней».

Пример 4

Представьте выражение a2,5·(a2)−3:a−5,5 в виде степени с основанием a.

Решение

Для начала используем свойство возведения в степень и преобразуем по нему второй множитель (a2)−3 . Затем используем свойства умножения и деления степеней с одинаковым основанием:

a2,5·a−6:a−5,5= a2,5−6:a−5,5=a−3,5:a−5,5= a−3,5−(−5,5)=a2.

Ответ: a2,5·(a2)−3:a−5,5=a2.

Преобразование степенных выражений согласно свойству степеней может производиться как слева направо, так и в обратном направлении.

Пример 5

Найти значение степенного выражения 313·713·2123.

Решение

Если мы применим равенство (a·b)r=ar·br, справа налево, то получим произведение вида 3·713·2123 и дальше 2113·2123. Сложим показатели при умножении степеней с одинаковыми основаниями: 2113·2123=2113+23=211=21.

Есть еще один способ провести преобразования:

313·713·2123=313·713·(3·7)23=313·713·323·723==313·323·713·723=313+23·713+23=31·71=21

Ответ: 313·713·2123=31·71=21

Пример 6

Дано степенное выражение a1,5−a0,5−6, введите новую переменную t=a0,5.

Решение

Представим степень a1,5 как a0,5·3 . Используем свойство степени в степени (ar)s=ar·s справа налево и получим (a0,5)3: a1,5−a0,5−6=(a0,5)3−a0,5−6. В полученное выражение можно без проблем вводить новую переменную t=a0,5: получаем t3−t−6.

Ответ: t3−t−6.

Преобразование дробей, содержащих степени

Обычно мы имеем дело с двумя вариантами степенных выражений с дробями: выражение представляет собой дробь со степенью или содержит такую дробь. К таким выражениям применимы все основные преобразования дробей без ограничений. Их можно сокращать, приводить к новому знаменателю, работать отдельно с числителем и знаменателем. Проиллюстрируем это примерами.

Пример 7

Упростить степенное выражение 3·523·513-5-231+2·x2-3-3·x2.

Решение

Мы имеем дело с дробью, поэтому проведем преобразования и в числителе, и в знаменателе:

3·523·513-5-231+2·x2-3-3·x2=3·523·513-3·523·5-23-2-x2==3·523+13-3·523+-23-2-x2=3·51-3·50-2-x2

Поместим минус перед дробью для того, чтобы изменить знак знаменателя: 12-2-x2=-122+x2

Ответ: 3·523·513-5-231+2·x2-3-3·x2=-122+x2

Дроби, содержащие степени, приводятся к новому знаменателю точно также, как и рациональные дроби. Для этого необходимо найти дополнительный множитель и умножить на него числитель и знаменатель дроби. Подбирать дополнительный множитель необходимо таким образом, чтобы он не обращался в нуль ни при каких значениях переменных из ОДЗ переменных для исходного выражения.

Пример 8

Приведите дроби к новому знаменателю: а) a+1a0,7 к знаменателю a, б) 1×23-2·x13·y16+4·y13 к знаменателю x+8·y12.

Решение

а) Подберем множитель, который позволит нам произвести приведение к новому знаменателю. a0,7·a0,3=a0,7+0,3=a, следовательно, в качестве дополнительного множителя мы возьмем a0,3. Область допустимых значений переменной а включает множество всех положительных действительных чисел. В этой области степень a0,3 не обращается в нуль.

Выполним умножение числителя и знаменателя дроби на a0,3:

a+1a0,7=a+1·a0,3a0,7·a0,3=a+1·a0,3a

б) Обратим внимание на знаменатель:

x23-2·x13·y16+4·y13==x132-x13·2·y16+2·y162

Умножим это выражение на x13+2·y16, получим сумму кубов x13 и 2·y16, т.е. x+8·y12. Это наш новый знаменатель, к которому нам надо привести исходную дробь.

Так мы нашли дополнительный множитель x13+2·y16. На области допустимых значений переменных x и y выражение x13+2·y16 не обращается в нуль, поэтому, мы можем умножить на него числитель и знаменатель дроби:
1×23-2·x13·y16+4·y13==x13+2·y16x13+2·y16x23-2·x13·y16+4·y13==x13+2·y16x133+2·y163=x13+2·y16x+8·y12

Ответ: а) a+1a0,7=a+1·a0,3a , б) 1×23-2·x13·y16+4·y13=x13+2·y16x+8·y12.

Пример 9

Сократите дробь: а) 30·x3·(x0,5+1)·x+2·x113-5345·x0,5+12·x+2·x113-53, б) a14-b14a12-b12.

Решение

а) Используем наибольший общий знаменатель (НОД), на который можно сократить числитель и знаменатель. Для чисел 30 и 45 это 15. Также мы можем произвести сокращение на x0,5+1 и на x+2·x113-53.

Получаем:

30·x3·(x0,5+1)·x+2·x113-5345·x0,5+12·x+2·x113-53=2·x33·(x0,5+1)

б) Здесь наличие одинаковых множителей неочевидно. Придется выполнить некоторые преобразования для того, чтобы получить одинаковые множители в числителе и знаменателе. Для этого разложим знаменатель, используя формулу разности квадратов:

a14-b14a12-b12=a14-b14a142-b122==a14-b14a14+b14·a14-b14=1a14+b14

Ответ: а)30·x3·(x0,5+1)·x+2·x113-5345·x0,5+12·x+2·x113-53=2·x33·(x0,5+1), б) a14-b14a12-b12=1a14+b14.

К числу основных действий с дробями относится приведение к новому знаменателю и сокращение дробей. Оба действия выполняют с соблюдением ряда правил. При сложении и вычитании дробей сначала дроби приводятся к общему знаменателю, после чего проводятся действия (сложение или вычитание) с числителями. Знаменатель остается прежним. Результатом наших действий является новая дробь, числитель которой является произведением числителей, а знаменатель есть произведение знаменателей.

Пример 10

Выполните действия x12+1×12-1-x12-1×12+1·1×12.

Решение

Начнем с вычитания дробей, которые располагаются в скобках. Приведем их к общему знаменателю:

x12-1·x12+1

Вычтем числители:

x12+1×12-1-x12-1×12+1·1×12==x12+1·x12+1×12-1·x12+1-x12-1·x12-1×12+1·x12-1·1×12==x12+12-x12-12×12-1·x12+1·1×12==x122+2·x12+1-x122-2·x12+1×12-1·x12+1·1×12==4·x12x12-1·x12+1·1×12

Теперь умножаем дроби:

4·x12x12-1·x12+1·1×12==4·x12x12-1·x12+1·x12

Произведем сокращение на степень x12, получим 4×12-1·x12+1.

Дополнительно можно упростить степенное выражение в знаменателе, используя формулу разности квадратов: квадратов: 4×12-1·x12+1=4×122-12=4x-1.

Ответ: x12+1×12-1-x12-1×12+1·1×12=4x-1

Пример 11

Упростите степенное выражение x34·x2,7+12x-58·x2,7+13.
Решение

Мы можем произвести сокращение дроби на (x2,7+1)2. Получаем дробь x34x-58·x2,7+1.

Продолжим преобразования степеней икса x34x-58·1×2,7+1. Теперь можно использовать свойство деления степеней с одинаковыми основаниями: x34x-58·1×2,7+1=x34–58·1×2,7+1=x118·1×2,7+1.

Переходим от последнего произведения к дроби x138x2,7+1.

Ответ: x34·x2,7+12x-58·x2,7+13=x138x2,7+1.

Множители с отрицательными показателями степени в большинстве случаев удобнее переносить из числителя в знаменатель и обратно, изменяя знак показателя. Это действие позволяет упростить дальнейшее решение. Приведем пример: степенное выражение (x+1)-0,23·x-1 можно заменить на x3·(x+1)0,2.

Преобразование выражений с корнями и степенями

В задачах встречаются степенные выражения, которые содержат не только степени с дробными показателями, но и корни. Такие выражения желательно привести только к корням или только к степеням. Переход к степеням предпочтительнее, так как с ними проще работать. Такой переход является особенно предпочтительным, когда ОДЗ переменных для исходного выражения позволяет заменить корни степенями без необходимости обращаться к модулю или разбивать ОДЗ на несколько промежутков.

Пример 12

Представьте выражение x19·x·x36 в виде степени.

Решение

Область допустимых значений переменной x определяется двумя неравенствами x≥0 и x·x3≥0 , которые задают множество [0, +∞).

На этом множестве мы имеем право перейти от корней к степеням:

x19·x·x36=x19·x·x1316

Используя свойства степеней, упростим полученное степенное выражение.

x19·x·x1316=x19·x16·x1316=x19·x16·x1·13·6==x19·x16·x118=x19+16+118=x13

Ответ: x19·x·x36=x13.

Преобразование степеней с переменными в показателе

Данные преобразования достаточно просто произвести, если грамотно использовать свойства степени. Например, 52·x+1−3·5x·7x−14·72·x−1=0.

Мы можем заменить произведением степени, в показателях которых находится сумма некоторой переменной и числа. В левой части это можно проделать с первым и последним слагаемыми левой части выражения:

52·x·51−3·5x·7x−14·72·x·7−1=0, 5·52·x−3·5x·7x−2·72·x=0.

Теперь поделим обе части равенства на 72·x. Это выражение на ОДЗ переменной x принимает только положительные значения:

5·5-3·5x·7x-2·72·x72·x=072·x,5·52·x72·x-3·5x·7×72·x-2·72·x72·x=0,5·52·x72·x-3·5x·7x7x·7x-2·72·x72·x=0

Сократим дроби со степенями, получим: 5·52·x72·x-3·5x7x-2=0.

Наконец, отношение степеней с одинаковыми показателями заменяется степенями отношений, что приводит к уравнению 5·572·x-3·57x-2=0 , которое равносильно 5·57×2-3·57x-2=0.

Введем новую переменную t=57x, что сводит решение исходного показательного уравнения к решению квадратного уравнения 5·t2−3·t−2=0.

Преобразование выражений со степенями и логарифмами

Выражения, содержащие с записи степени и логарифмы, также встречаются в задачах. Примером таких выражений могут служить: 141-5·log23 или log3279+5(1-log35)·log53. Преобразование подобных выражений проводится с использованием разобранных выше подходов и свойств логарифмов, которые мы подробно разобрали в теме «Преобразование логарифмических выражений».

Источник

Правила возведения степени в степень

Частные случаи возведения степени в степень

Примеры возведения степени в степень

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Пример 4

Пример 5

Возведение степени в степень, формула

Формула возведения степени в степень

Найти возведение степени в степень по формуле с калькулятором онлайн

Примеры возведения степени в степень

Возведение степени в степень

Оценить урок

Что можно улучшить?

Войдите, чтобы оценивать уроки

Что нужно исправить?

Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

Хотите оставить комментарий?

Что представляют собой степенные выражения?

Основные виды преобразований степенных выражений

Работа с основанием и показателем степени

Использование свойств степеней

Преобразование дробей, содержащих степени

Преобразование выражений с корнями и степенями

Преобразование степеней с переменными в показателе

Преобразование выражений со степенями и логарифмами

Вам также может понравиться

Как найти юбилейные монеты 10 рублей

Как найти хорошую фантастику

Как исправить ошибку компиляции в ардуино

Добавить комментарий Отменить ответ