Как найти вписанную окружность в треугольник формула

Как найти вписанную окружность в треугольник формула

Как найти радиус вписанной окружности треугольника

Содержание:

  • Окружность, вписанная в треугольник — как найти радиус
  • Свойства вписанной в треугольник окружности

    • Первое свойство
    • Второе свойство
    • Третье свойство
  • Формулы вычисления радиуса вписанной окружности

    • Произвольный треугольник
    • Прямоугольный треугольник
    • Равнобедренный треугольник
    • Равносторонний треугольник
  • Как найти через высоту или стороны, примеры решения

Окружность, вписанная в треугольник — как найти радиус

Определение

Вписанной в треугольник окружностью называют такую окружность, которая занимает внутреннее пространство геометрической фигуры, соприкасаясь со всеми ее сторонами.

В таком случае грани треугольника представляют собой касательные к этой окружности. Сама геометрическая фигура с тремя углами считается описанной вокруг рассматриваемой окружности.

Вписанная окружность

Источник: people-ask.ru

Свойства вписанной в треугольник окружности

Окружность, которую вписали в треугольник, обладает определенными свойствами. Основные из них можно записать таким образом:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

  1. Центр окружности, которую вписали в треугольник, совпадает с точкой пересечения биссектрис этой геометрической фигуры.
  2. Во внутреннее пространство любого треугольника можно вписать лишь одну окружность.
  3. Формула радиуса окружности, который вписали во многоугольник с тремя углами, будет иметь такой вид:

Радиус

Источник: people-ask.ru

В представленной формуле радиуса окружности использованы следующие величины:

  • S – является площадью треугольника;
  • р – представляет собой полупериметр геометрической фигуры;
  • a, b, c – являются сторонами треугольника.

Перечисленные свойства необходимо доказать.

Первое свойство

Требуется доказать, что центр окружности, которую вписали в фигуру с тремя углами, совпадает с точкой пересечения биссектрис.

Доказательство построено в несколько этапов:

  1. Необходимо опустить из центральной точки окружности перпендикулярные прямые OL, OK и OM, которые опускаются на стороны треугольника АВС. Из вершин треугольника следует провести прямые, соединяющие их с центром фигуры OA, OC и OB.

3 Доказательство

Источник: people-ask.ru
  1. Далее можно рассмотреть пару треугольников AOM и AOK. Можно отметить, что они являются прямоугольными, так как OM и OK являются перпендикулярами к сторонам AC и AB. Гипотенуза OA является общей для пары этих фигур.
  2. Исходя из того, что касательная к окружности является перпендикуляром к радиусу, который проведен в точку касания, согласно свойству касательной к окружности, то катеты OМ и OК представляют собой радиусы окружности и, следовательно, равны.
  3. Согласно полученным утверждениям, можно сделать вывод о равенстве прямоугольных треугольников AOМ и AOК по гипотенузе и катету. Таким образом, углы OAМ и OAК тоже равны. Получается, что OA является биссектрисой угла BAC.
  4. Аналогично можно доказать, что OC является биссектрисой угла ACB, а OB – биссектрисой угла ABC.
  5. Таким образом, биссектрисы треугольника совпадают в одной точке, которая представляет собой центр вписанной окружности.

Данное свойство окружности доказано.

Второе свойство

Необходимо представить доказательства свойства окружности, согласно которому в любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.

Доказательство состоит из нескольких этапов:

  1. Окружность получится вписать в треугольник в том случае, когда существует точка, удаленная на равные расстояния от сторон геометрической фигуры.
  2. Можно построить пару биссектрис ОА и ОС. Из точки, в которой они пересекаются, необходимо опустить перпендикулярные прямые OK, OL и OM ко всем граням многоугольника с тремя углами ABC.

4 Второе свойство

Источник: people-ask.ru
  1. Затем следует рассмотреть пару треугольников AOK и AOM.
  2. Эти фигуры обладают общей гипотенузой АО. Углы OAK и OAM равны, так как OA является биссектрисой угла KAM. Углы OKA и OMA прямые, то есть также равны, так как OK и OM являются перпендикулярами к сторонам AB и AC.
  3. Исходя из того, что две пары углов равны, можно сделать вывод о равенстве третьей пары AOM и AOK.
  4. Таким образом, получилось подтвердить равенство треугольников AOK и AOM по стороне AO и двум углам, которые к ней прилегают.

5 Второе свойство

Источник: people-ask.ru
  1. Удалось определить равенство сторон ОМ и ОК, то есть они удалены на одинаковое расстояние от сторон геометрической фигуры АС и АВ.
  2. Аналогично можно доказать, что OM и OL равны, то есть равноудалены от граней AC и BC.
  3. Таким образом, точка равноудалена от сторон треугольника, что делает ее центром окружности, которая вписана в этот многоугольник.
  4. Аналогичным способом можно определить точку во внутреннем пространстве любой геометрической фигуры с тремя углами, которая будет удалена на равные расстояния от его сторон, и представляет собой центр окружности, вписанной в этот треугольник.
  5. Исходя из вышесказанного, можно сделать вывод о том, что в любой треугольник можно вписать окружность.
  6. Необходимо заметить, что центральная точка окружности совпадает с точкой, в которой пересекаются биссектрисы треугольника.
  7. Можно допустить ситуацию, при которой в геометрическую фигуру с тремя углами можно вписать две и более окружности.
  8. Необходимо провести три прямые из вершин геометрической фигуры к центральной точке окружности, вписанной в нее, и опустить перпендикулярные прямые к каждой грани треугольника. Таким образом, будет доказано, что рассматриваемая окружность лежит на пересечении биссектрис треугольника, согласно доказательству ее первого свойства.
  9. Получим совпадение центральной точки окружности и центра первой окружности, которая уже была вписана в этот треугольник, а ее радиус соответствует перпендикуляру, опущенному на сторону треугольника так же, как и в первом случае. Можно сделать вывод о совпадении этих окружностей.
  10. Аналогично любая другая окружность, вписанная в геометрическую фигуру с тремя углами, будет совпадать с первой окружностью.
  11. Таким образом, в треугольник получается вписать лишь одну окружность.

Свойство доказано.

Третье свойство

Требуется доказать, что радиус окружности, которую вписали в геометрическую фигуру с тремя углами, представляет собой отношение площади треугольника к полупериметру:

6 Формула

Источник: people-ask.ru

Кроме того, необходимо представить доказательства следующему равенству:

7 Формула

Источник: people-ask.ru

Доказательство:

8 Треугольник

Источник: people-ask.ru
  1. Следует рассмотреть произвольный треугольник АВС, стороны которого соответствуют a, b и c. Для расчета полупериметра данного треугольника целесообразно использовать формулу:

9 Формула

Источник: people-ask.ru
  1. Центральная точка окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис геометрической фигуры с тремя углами. Прямые OA, OB и OC, которые соединяют O с вершинами треугольника АВС, разделяют геометрическую фигуру на три части: AOC, COB, BOA. Площадь треугольника ABC представляет собой сумму площадей этих трех частей.

10 Формула

Источник: people-ask.ru
  1. Исходя из того, что площадь какого-либо треугольника представляет собой половину произведения его основания на высоту, а высота треугольников AOC, COB, BOA рассчитывается, как радиус окружности r, то площади треугольников AOC, COB и BOA можно определить по формулам:

11 Формула

Источник: people-ask.ru
  1. Далее необходимо представить площадь S геометрической фигуры АВС, как сумму площадей нескольких треугольников:

12 Формула

Источник: people-ask.ru
  1. Следует отметить, что второй множитель является полупериметром геометрической фигуры с тремя углами АВС, что можно записать в виде равенства:

13 Формула

Источник: people-ask.ru

14 Формула

Источник: people-ask.ru
  1. Таким образом, доказано равенство радиуса вписанной окружности и отношения площади треугольника к полупериметру.
  2. Можно записать формулу Герона, смысл которой заключается в следующем: площадь треугольника (S) равняется квадратному корню из произведения его полупериметра (p) на разности полупериметра и каждой из его сторон (a, b, c)

15 Формула

Источник: people-ask.ru
  1. Далее следует преобразовать формулу для расчета радиуса:

16 Формула

Источник: people-ask.ru

Свойство окружности доказано.

Формулы вычисления радиуса вписанной окружности

Параметры окружности, которую вписали в геометрическую фигуру с тремя углами, можно рассчитать с помощью стандартных формул. Радиус окружности будет определен в зависимости от типа треугольника.

Произвольный треугольник

Определить радиус окружности, которая вписана в какой-либо треугольник, можно, как удвоенную площадь треугольника, поделенную на его периметр.

17 Формула

Источник: microexcel.ru

В данном случае, a, b, c являются сторонами геометрической фигуры с тремя углами, S – ее площадь.

Прямоугольный треугольник

Радиус окружности, которую вписали в треугольник с прямым углом, представляет собой дробь с числителем в виде суммы катетов за минусом гипотезы и знаменателем, равным числу 2.

18 Формула

Источник: microexcel.ru

В формуле a и b являются катетами, c – гипотенузой треугольника.

Равнобедренный треугольник

Радиус окружности, которая вписана в равнобедренный треугольник, определяют по формуле:

19 Формула

Источник: microexcel.ru

В этом случае a – боковые стороны, b – основание треугольника.

Равносторонний треугольник

Расчет радиуса окружности, которая вписана в правильный или равносторонний треугольник, выполняют по формуле:

20 Формула

Источник: microexcel.ru

где a – сторона геометрической фигуры с тремя углами.

Как найти через высоту или стороны, примеры решения

Задача 1

Имеется геометрическая фигура с тремя углами, стороны которой составляют 5, 7 и 10 см. Требуется определить радиус окружности, которая вписана в этот треугольник.

Решение

В первую очередь необходимо определить, какова площадь треугольника. Для этого можно воспользоваться формулой Герона:

21 Формула

Источник: microexcel.ru

Затем применим формулу для расчета радиуса круга:

22 Формула

Источник: microexcel.ru

Ответ: радиус окружности составляет примерно 1,48 см.

Задача 2

Необходимо рассчитать радиус окружности, которая вписана в равнобедренный треугольник. Боковые стороны геометрической фигуры составляют 16 см, а основание равно 7 см.

Решение

Следует использовать подходящую формулу для расчета радиуса, подставив в нее известные величины:

23 Формула

Источник: microexcel.ru

Ответ: радиус окружности примерно равен 2,8 см.

Источник

Треугольник (чёрный) с вписанной окружностью (синей), инцентр (I), вневписанными окружностями (оранжевые), эксцентры (JA,JB,JC), внутренние биссектрисы (красные) и внешние биссектрисы (зелёные)

Вписанная в треугольник окружность — окружность внутри треугольника, касающаяся всех его сторон; наибольшая окружность, которая может находиться внутри треугольника. Центр этой окружности является точкой пересечения биссектрис треугольника и называется инцентром треугольника.

Вневписанная окружность треугольника — окружность, лежащая вне треугольника и касающаяся одной стороны треугольника и продолжения двух других сторон[en]. Любой треугольник имеет три различные вневписанные окружности, каждая из которых касается своей стороны треугольника.
Центром вневписанной окружности является пересечение биссектрисы одного внутреннего угла[en] и биссектрис двух других внешних углов[en]. Поскольку биссектриса внутреннего угла перпендикулярна биссектрисе смежного внешнего угла, центр вписанной окружности вместе с тремя центрами вневписанных окружностей образуют ортоцентричную систему[en][1].

Не все многоугольники с числом сторон более трёх имеют вписанную окружность. Те, которые имеют, называются описанными.

Связь с площадью треугольника[править | править код]

Радиусы вписанных и вневписанных окружностей имеют тесную связь с площадью треугольника[2].

Вписанная окружность[править | править код]

Вики вписанная окружность7.png

Пусть triangle ABC имеет вписанную окружность радиуса r с центром I.
Пусть a — длина BC, b — длина AC, а c — длина AB.
Пусть вписанная окружность касается AB в некоторой точке C′, тогда
angle AC'I является прямым.
Тогда радиус C’I будет высотой треугольника
triangle IAB.
Таким образом,
triangle IAB
имеет основание длины c и высоту r, а следовательно, его площадь равна
{tfrac {1}{2}}cr.
Подобным же образом
triangle IAC
имеет площадь
{tfrac {1}{2}}br
и
triangle IBC
имеет площадь {tfrac {1}{2}}ar.
Поскольку эти три треугольника разбивают triangle ABC, получаем, что

{displaystyle Delta ={frac {1}{2}}(a+b+c)r=pr,}

где Delta  — площадь triangle ABC, а {displaystyle p={frac {1}{2}}(a+b+c)} — его полупериметр.

Чтобы получить альтернативную формулу, рассмотрим triangle IC'A. Это прямоугольный треугольник, у которого один из катетов равен r, а другой равен {displaystyle rcdot mathrm {ctg} {frac {angle A}{2}}}. То же самое верно для triangle IB'A. Весь треугольник состоит из 6 таких треугольников, и общая площадь составляет:

{displaystyle Delta =r^{2}cdot (mathrm {ctg} {frac {angle A}{2}}+mathrm {ctg} {frac {angle B}{2}}+mathrm {ctg} {frac {angle C}{2}})}

Вневписанные окружности[править | править код]

Пусть вневписанная окружность, касающаяся стороны AB, касается продолжения стороны AC в точке G, и пусть радиус этой окружности равен r_{c}, а её центр — I_{c}. Тогда I_{c}G является высотой треугольника triangle ACI_{c},
так что triangle ACI_{c} имеет площадь {tfrac {1}{2}}br_{c}. По тем же причинам
triangle BCI_{c}
имеет площадь
{tfrac {1}{2}}ar_{c},
а triangle ABI_{c}
имеет площадь
{tfrac {1}{2}}cr_{c}.
Тогда

{displaystyle Delta ={frac {1}{2}}(a+b-c)r_{c}=(p-c)r_{c}}.

Таким образом, ввиду симметрии,

{displaystyle Delta =pr=(p-a)r_{a}=(p-b)r_{b}=(p-c)r_{c}}.

По теореме косинусов получаем

cos A={frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}

Комбинируя это с тождеством sin ^{2}A+cos ^{2}A=1, получим

sin A={frac {sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}{2bc}}

Но Delta ={tfrac {1}{2}}bcsin A, так что

{displaystyle {begin{aligned}Delta &={frac {1}{4}}{sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}\&={frac {1}{4}}{sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\&={sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},end{aligned}}}

и это формула Герона вычисления площади треугольника по его сторонам.

Комбинируя формулу Герона с {displaystyle pr=Delta }, получим

{displaystyle r^{2}={frac {Delta ^{2}}{p^{2}}}={frac {(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}}.

Аналогично, {displaystyle (p-a)r_{a}=Delta } даёт

{displaystyle r_{a}^{2}={frac {p(p-b)(p-c)}{p-a}}}.

Из этих формул видно, что вневписанные окружности всегда больше вписанной и наибольшая окружность соответствует самой длинной стороне, а самая наименьшая из вневписанных окружностей соответствует самой маленькой стороне. Дальнейшее комбинирование формул приводит к:[3]

Delta ={sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}.

Отношение площади вписанной окружности к площади треугольника меньше или равно {frac {pi }{3{sqrt {3}}}}, и равенство достигается только на правильных треугольниках[4].

Связанные построения[править | править код]

Окружность девяти точек и точка Фейербаха[править | править код]

  • Теорема Эйлера об окружности Эйлера. Середины отрезков высот от ортоцентра до вершин треугольника называются точками Эйлера. Основания медиан, основания высот и точки Эйлера лежат на одной окружности, называемой окружностью девяти точек[5].
  • Теорема Фейербаха. Окружность девяти точек касается всех трёх вневписанных окружностей, а также вписанной окружности в четырёх разных точках. Одна из них – точка касания окружности Эйлера и вписанной окружности известна как точка Фейербаха.

Треугольник и точка Жергонна[править | править код]

Треугольник ΔABC с вписанной окружностью (синяя), и её центр (синий, I), треугольник точек касания (красный, ΔTaTbTc) и точка Жергонна (зелёная, Ge)

Треугольник Жергонна (для треугольника ABC) определяется тремя точками касания вписанной окружности на трёх сторонах.
Эти вершины обозначим TA, и т. д..
Точка TA лежит напротив вершины A.

Этот треугольник Жергонна TATBTC известен также как треугольник касаний треугольника ABC.

Три прямые ATA, BTB и CTC пересекаются в одной точке — точке Жергонна и обозначается Ge — X(7). Точка Жергонна лежит внутри открытого ортоцентроидного круга[en] с выколотым центром[6].

Интересно, что точка Жергонна треугольника является точкой пересечения симедиан треугольника Жергонна. Полный набор свойств точки Жергонна можно найти в статье Декова[7].

Трилинейные координаты вершин треугольника касаний задаются формулами

  • вершина A=0:sec ^{2}left({frac {B}{2}}right):sec ^{2}left({frac {C}{2}}right)
  • вершина B=sec ^{2}left({frac {A}{2}}right):0:sec ^{2}left({frac {C}{2}}right)
  • вершина C=sec ^{2}left({frac {A}{2}}right):sec ^{2}left({frac {B}{2}}right):0

Трилинейные координаты точки Жергонна

sec ^{2}left({frac {A}{2}}right):sec ^{2}left({frac {B}{2}}right):sec ^{2}left({frac {C}{2}}right),

или, эквивалентно, по теореме синусов,

{frac {bc}{b+c-a}}:{frac {ca}{c+a-b}}:{frac {ab}{a+b-c}}.

Точка Жергонна является изотомическим сопряжением точки Нагеля.

Треугольник и точка Нагеля[править | править код]

Треугольник Нагеля (см. рис. выше) для треугольника ABC определяется вершинами TA, TB и TC, которые являются точками касания вневписанных окружностей треугольника ABC и точка XA противоположна стороне A, и т. д. Описанная вокруг треугольника TATBTC окружность называется окружностью Мандарта (частный случай эллипса Мандарта). Три прямые ATA, BTB и CTC делят периметр пополам и пересекаются в одной точке Нагеля Na — X(8).

Трилинейные координаты точек касания треугольника вневписанными окружностями задаются формулами

  • вершина A=0:csc ^{2}left({frac {B}{2}}right):csc ^{2}left({frac {C}{2}}right)
  • вершина B=csc ^{2}left({frac {A}{2}}right):0:csc ^{2}left({frac {C}{2}}right)
  • вершина C=csc ^{2}left({frac {A}{2}}right):csc ^{2}left({frac {B}{2}}right):0

Трилинейные координаты точки Нагеля задаются формулами

csc ^{2}left({frac {A}{2}}right):csc ^{2}left({frac {B}{2}}right):csc ^{2}left({frac {C}{2}}right),

или, эквивалентно, по теореме синусов,

{frac {b+c-a}{a}}:{frac {c+a-b}{b}}:{frac {a+b-c}{c}}.

Точка Нагеля является изотомическим сопряжением точки Жергонна.

Трилинейные координаты вписанных треугольников[править | править код]

Трилинейные координаты вершин треугольника, образованного основаниями биссектрис, задаются формулами

  • вершина A=0:1:1
  • вершина B=1:0:1
  • вершина C=1:1:0

Трилинейные координаты треугольника, образованного точками касания сторон внеописанными окружностями, задаются формулами

  • вершина A=-1:1:1
  • вершина B=1:-1:1
  • вершина C=1:-1:-1

Уравнения окружностей[править | править код]

Пусть x : y : z — координаты точки в трилинейных координатах, и пусть u = cos2(A/2), v = cos2(B/2), w = cos2(C/2). Четыре окружности, описанные выше, можно задать любым из двух указанных способов[8]:

  • Вписанная окружность:
u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz-2wuzx-2uvxy=0
pm {sqrt {x}}cos {frac {A}{2}}pm {sqrt {y}}cos {frac {B}{2}}pm {sqrt {z}}cos {frac {C}{2}}=0
  • A-внешневписанная:
u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz+2wuzx+2uvxy=0
pm {sqrt {-x}}cos {frac {A}{2}}pm {sqrt {y}}cos {frac {B}{2}}pm {sqrt {z}}cos {frac {C}{2}}=0
  • B-внешневписанная:
u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz-2wuzx+2uvxy=0
pm {sqrt {x}}cos {frac {A}{2}}pm {sqrt {-y}}cos {frac {B}{2}}pm {sqrt {z}}cos {frac {C}{2}}=0
  • C-внешневписанная:
u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz+2wuzx-2uvxy=0
pm {sqrt {x}}cos {frac {A}{2}}pm {sqrt {y}}cos {frac {B}{2}}pm {sqrt {-z}}cos {frac {C}{2}}=0

Другие свойства вписанной окружности[править | править код]

Некоторые формулы с радиусом вписанной окружности[править | править код]

  • Радиус вписанной окружности не больше одной девятой суммы высот треугольника[9].
  • Неравенство Эйлера: радиус вписанной окружности не превосходит половины радиуса описанной окружности и равенство имеет место лишь для равностороннего треугольника[10].
  • Предположим, что точки касания вписанной окружности делят стороны на отрезки длиной x и y, y и z, z и x. Тогда вписанная окружность имеет радиус[11]
r={sqrt {frac {xyz}{x+y+z}}}

и площадь треугольника равна

K={sqrt {xyz(x+y+z)}}.
  • Если высоты, опущенные на стороны a, b и c есть ha, hb и hc, то радиус вписанной окружности r равен одной трети гармонического среднего этих высот, то есть
r={frac {1}{h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1}}}.
  • Произведение радиуса вписанной окружности r и радиуса описанной окружности R треугольника со сторонами a, b и c равен[1]
rR={frac {abc}{2(a+b+c)}}.
  • Некоторые связи сторон, радиусов вписанной окружности и описанной окружностей[12]:
ab+bc+ca=s^{2}+(4R+r)r,
a^{2}+b^{2}+c^{2}=2s^{2}-2(4R+r)r.
  • Любая прямая, проходящая через треугольник и делящая площадь треугольника и периметр пополам, проходит через центр вписанной окружности. Таких прямых может существовать три, две или одна[13].
  • Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности[14].

Формулы для расстояний до центра вписанной или вневписанной окружностей[править | править код]

Теорема Эйлера[править | править код]

Теорема Эйлера утверждает, что в треугольнике[10]:

(R-r_{in})^{2}=d^{2}+r_{in}^{2},

где R и rin являются радиусами описанной и вписанной окружностей соответственно, а d — расстояние между центрами этих окружностей.

Для вневписанных окружностей уравнение выглядит похоже:

(R+r_{ex})^{2}=d^{2}+r_{ex}^{2},

где rex — радиус одной из вневписанных окружностей, а d — расстояние между центрами описанной и вневписанной окружностей[15][16][17]

  • Возводя в квадрат и приводя подобные из первой формулы Эйлера выше имеем:

Квадрат расстояния от центра вписанной окружности I до центра описанной O задаётся уравнением[18]

OI^{2}=d^{2}=R(R-2r_{in}),
{displaystyle OI^{2}={frac {abc,}{a+b+c}}left[{frac {abc,}{(a+b-c),(a-b+c),(-a+b+c)}}-1right]}

Аналогично для второй формулы:

d^{2}=R(R+2r_{ex}).

Другие формулы для расстояний до центра вписанной или вневписанной окружностей[править | править код]

  • Расстояние от центра вписанной окружности до центра N окружности девяти точек равно[18]
IN={frac {1}{2}}(R-2r)<{frac {1}{2}}R.
  • Расстояние от вершины до точек касания вписанной окружности на прилегающих сторонах равно полусумме длин прилегающих сторон минус половина противолежащей стороны[19]. Так, для вершины B и прилежащих точек касания TA и TC,
BT_{A}=BT_{C}={frac {BC+AB-AC}{2}}.
  • Если обозначить центр вписанной окружности треугольника ABC буквой I, мы получим[20]
{frac {IAcdot IA}{CAcdot AB}}+{frac {IBcdot IB}{ABcdot BC}}+{frac {ICcdot IC}{BCcdot CA}}=1

и[21]

IAcdot IBcdot IC=4Rr^{2}.
  • Теорема Мансиона (составная часть Теоремы о трезубце). Середины трёх отрезков, соединяющих центр вписанной окружности с центрами вневписанных окружностей лежат на описанной окружности[10].

  • Теорема Харкорта. Пусть треугольник задан своими вершинами A, B и C, противоположные вершинам стороны имеют длины a, b и c, площадь равна K и прямая касается вписанной в треугольник окружности в произвольной точке. Обозначим расстояния от вершин треугольника до прямой через a ‘, b ‘ и c ‘, при этом, если вершина и центр окружности лежат по разные стороны от прямой, расстояние считается отрицательным. Тогда
aa^{prime }+bb^{prime }+cc^{prime }=2K..

Другие свойства вневписанных окружностей[править | править код]

  • Следующее отношение выполняется для радиуса r вписанной окружности, радиуса R описанной окружности, полупериметра s и радиусов вневписанных окружностей ra, rb, rc[12]:
r_{a}+r_{b}+r_{c}=4R+r,
r_{a}r_{b}+r_{b}r_{c}+r_{c}r_{a}=s^{2},
r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}=(4R+r)^{2}-2s^{2},
  • Окружность, проходящая через центры вневписанных окружностей, имеет радиус 2R[12].
  • Если H — ортоцентр треугольника ABC, то[12]
r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=AH+BH+CH+2R,
r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}=AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}+(2R)^{2}.
  • Вершины A, B и C треугольника ABC являются основаниями высот треугольника JAJB,JC,

где JAJB,JC — центры вневписанных окружностей[10].

  • Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности[14].
  • Центр Шпикера треугольника является радикальным центром его вневписанных окружностей[22]. Если из центра Шпикера треугольника провести 6 касательных к 3 вневписанным окружностям треугольника, то все их длины будут равны между собой.

Окружность Аполлония[править | править код]

Определение окружности Аполлония[править | править код]

Точка Аполлония и окружность Аполлония

Пусть дан треугольник ABC. Пусть вневписанные окружности треугольника ABC, противоположные вершинам A, B и C, есть соответственно EA, EB, EC (см. рисунок). Тогда окружность Аполлония E (на рис. справа показана зеленым цветом) касается внутренним образом сразу трех вневписанных окружностей треугольника ABC в точках соответственно EA, EB и EC (см. рисунок)[23].

Радиус окружности Аполлония[править | править код]

Радиус окружности Аполлония равен {frac {r^{2}+s^{2}}{4r}}, где r — радиус вписанной окружности и s — полупериметр треугольника[24].

Определение точки Аполлония Ap[править | править код]

  • Точка Аполлония Ap в Энциклопедии центров треугольника у Кларка Кимберлинга (Encyclopedia of Triangle Centers (ETC)) именуется как центр треугольника под именем X(181).
  • Точка Аполлония Ap или X(181) определяется следующим образом:

Пусть A’ , B’ и C’ есть точки касания окружности Аполлония E с соответствтвующими вневписанными окружностями. Тогда прямые AA’ , BB’ и CC’ пересекаются в одной точке Ap, которую называют точкой Аполлония треугольника ABC.

Изогональное сопряжение[править | править код]

Изогональное сопряжение имеет ровно четыре неподвижные точки (то есть точки, которые сопряжены самим себе): центр вписанной окружности и центры вневписанных окружностей треугольника[25].

Ортоцентр треугольника изогонально сопряжён центру описанной окружности этого треугольника[25].

Обобщение на другие многоугольники[править | править код]

  • Некоторые (но не все) четырёхугольники имеют вписанную окружность. Они называются описанными четырёхугольниками. Среди свойств этих четырёхугольников наиболее важным является то, что суммы противоположных сторон равны. Это утверждение называется теоремой Пито.
  • Некоторые (но не все) четырёхугольники имеют вневписанную окружность. Они называются внеописанными четырёхугольниками. Среди свойств этих четырёхугольников наиболее важное свойство отмечает теорема Уркхарта. Она утверждает:
  • Если противоположные стороны выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точках E и F, то
{displaystyle AB+BC=AD+DCquad Leftrightarrow quad AE+EC=AF+FC.}

См. также[править | править код]

  • Вневписанная окружность
  • Внеописанный четырёхугольник
  • Вписанная окружность
  • Вписанные и описанные фигуры для треугольника
  • Вписанное коническое сечение[en]
  • Вписанная сфера
  • Высота треугольника
  • Замечательные точки треугольника
  • Инцентр или Центр вписанной окружности
  • Окружность
  • Описанная окружность
  • Описанный четырёхугольник
  • Ортоцентр
  • Степень точки относительно окружности
  • Теорема Мансиона
  • Теорема о трезубце
  • Теорема Тебо 2 и 3
  • Теорема Харкорта
  • Точки Аполлония
  • Степень точки относительно окружности
  • Центр Шпикера
  • Центроид
  • Центроид треугольника
  • Эллипс Мандарта
  • Эллипс Штейнера

Примечания[править | править код]

  1. ↑ 1 2 Roger A. Johnson. Advanced Euclidean Geometry. — Dover, 2007 (оригинал — 1929).. — С. 189, #298(d).
  2. ↑ H.S.M. Coxeter. Introduction to Geometry. — 2. — Wiley, 1961..
  3. ↑ Marcus Baker. A collection of formulae for the area of a plane triangle. — January 1885. — Т. part 1, vol. 1(6). — С. 134-138.. См. также часть 2 в томе. 2(1), Сентябрь 1885, 11-18.)
  4. ↑ D. Minda, S. Phelps. Triangles, ellipses, and cubic polynomials // American Mathematical Monthly. — October 2008. — Вып. 115. — С. 679-689: Theorem 4.1..
  5. ↑ С. И. Зетель. Новая геометрия треугольника. — Москва: УЧПЕДГИЗ, 1962. — С. 52-53 Глава III.
  6. ↑ Christopher J. Bradley, Geoff C. Smith. The locations of triangle centers // Forum Geometricorum. — 2006. — Вып. 6. — С. 57-70..
  7. ↑ Deko Dekov. Computer-generated Mathematics : The Gergonne Point // Journal of Computer-generated Euclidean Geometry. — 2009. — Т. 1. — С. 1–14.. Архивировано 5 ноября 2010 года.
  8. ↑ William Allen Whitworth. Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions. — 2012. — С. 210-215. — (Forgotten Books).
  9. ↑ Alfred S. Posamentier, Ingmar Lehmann. The Secrets of Triangles. — Prometheus Books, 2012. — С. 289.
  10. ↑ 1 2 3 4 А. Д. Куланин, С. Н. Федин. Геометрия треугольника в задачах. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. — ISBN 978-5-397-00786-3.
  11. ↑ Thomas Chu. The Pentagon. — Spring, 2005. — С. 45, задача 584..
  12. ↑ 1 2 3 4 Amy Bell. Hansen’s right triangle theorem, its converse and a generalization // Forum Geometricorum. — 2006. — Вып. 6. — С. 335–342.
  13. ↑ Dimitrios Kodokostas. Triangle Equalizers // Mathematics Magazine. — 2010. — Вып. 83, April. — С. 141-146..
  14. ↑ 1 2 Мякишев, 2002, с. 11, п. 5.
  15. ↑ Roger Nelson. Euler’s triangle inequality via proof without words // Mathematics Magazine. — February 2008. — Вып. 81(1). — С. 58-61.
  16. ↑ R. A. Johnson. Modern Geometry. — Boston: Houghton Mifflin, 1929. — С. 187.
  17. ↑ Lev Emelyanov, Tatiana Emelyanova. Euler’s formula and Poncelet’s porism // Forum Geometricorum. — 2001. — Вып. 1. — С. 137–140..
  18. ↑ 1 2 3 William N. Franzsen. The distance from the incenter to the Euler line // Forum Geometricorum. — 2011. — Т. 11. — С. 231–236..
  19. ↑ Mathematical Gazette, July 2003, 323—324.
  20. ↑ Patricia R. Allaire, Junmin Zhou, Haishen Yao. Proving a nineteenth century ellipse identity // Mathematical Gazette. — 2012. — Вып. 96, March. — С. 161-165..
  21. ↑ Nathan Altshiller-Court. College Geometry. — Dover Publications, 1980. — С. 121,#84.
  22. ↑ Odenhal, 2010, с. 35—40.
  23. ↑ Darij Grinberg, Paul Yiu. The Apollonius Circle as a Tucker Circle // Forum Geometricorum. — 2002. — Вып. 2. — С. 175-182.
  24. ↑ Milorad R. Stevanovi´c. The Apollonius circle and related triangle centers // Forum Geometricorum. — 2003. — Вып. 3. — С. 187-195..
  25. ↑ 1 2 В. В. Прасолов. Точки Брокара и изогональное сопряжение. — М.: МЦНПО, 2000. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 5-900916-49-9.

Литература[править | править код]

  • Мякишев А.Г. Элементы геометрии треугольника. — М.: МЦНМО, 2002.
  • Clark Kimberling. Triangle Centers and Central Triangles // Congressus Numerantium. — 1998. — Вып. 129. — С. i-xxv, 1-295.
  • Sándor Kiss. The Orthic-of-Intouch and Intouch-of-Orthic Triangles // Congressus Numerantium. — 2006. — Вып. 6. — С. 171—177.
  • Boris Odenhal. Some triangle centers associated with the circles tangent to the excircles // Forum Geometricorum. — 2010. — Т. 10.

Ссылки[править | править код]

  • Derivation of formula for radius of incircle of a triangle
  • Weisstein, Eric W. Incircle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Сайты с интерактивным содержанием[править | править код]

  • Triangle incenter Triangle incircle Incircle of a regular polygon With interactive animations
  • Constructing a triangle’s incenter / incircle with compass and straightedge An interactive animated demonstration
  • Equal Incircles Theorem at cut-the-knot
  • Five Incircles Theorem at cut-the-knot
  • Pairs of Incircles in a Quadrilateral at cut-the-knot
  • An interactive Java applet for the incenter
Источник

В любой треугольник можно вписать окружность. Радиус такой окружности будет представлять собой квадратный корень из отношения разности полупериметра с каждой стороной к самому полупериметру.

Если упростить данную формулу для прямоугольного треугольника, воспользовавшись теоремой Пифагора, то мы получим следующее выражение:

Так как в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, то в формуле остаются только обозначения a и b, и ее вид упрощается из все того же первого радикала до следующей формы:

В случае с равносторонним треугольником все еще гораздо проще, и его формула может быть выведена не только из формулы для произвольного треугольника, но также и из свойств высоты-медианы-биссектрисы, которые совпадают и делят любую из сторон на две равные части:

Источник

Добавить комментарий