Треугольник вписан в прямоугольник
Если треугольник произвольно вписывать в прямоугольник, то задача окажется слишком многовариантной. Поэтому я решил принять важное ограничение: допустим вершина треугольника А является также и вершиной описанного прямоугольника. В этом случае прямоугольников хоть и бесконечно много, но среди них есть как самый большой по площади, так и самый малый. Какие же они, эти площади, если известны стороны треугольника “a”, “b”, “c” ?
Довольно несложное дифференциальное исчисление позволило определить нужные углы поворота “t”. Это дало возможность при помощи теоремы косинусов найти и экстремальные площади прямоугольников. Формулы, показанные на рисунке, в который раз меня очаровали!
Как и очаровал снег после очень тёплой недели. Когда температура достигала +18 градусов. Утром смотрю в окошко – все деревья в красочном инее!
Тема: “Применение производной к решению экстремальных задач”
Главная > Документ
| Информация о документе | |
| Дата добавления: | |
| Размер: | |
| Доступные форматы для скачивания: |
Теорема 2 (второе правило).
Если для дифференцируемой функции f(x) в некоторой точке х 0 ее первая производная f'(x) равна нулю, а вторая производная f”(x) существует и отлично от нуля, т. е. f'(x 0 )= 0, f”(x 0 )≠0, то в этой точке функция f(x) имеет экстремум;
если f”(x 0 )>0, то f(x 0 )- минимум функции f(x), и
если f”(x 0 ) 0 )- максимум функции f(x).
Положим, что f'(x 0 )=0, f”(x 0 ), пусть x=x 0 +x 0 – точка близкая к x 0 .
Т.к. вторая производная f”(x) есть производная от первой производной f'(x), то имеем:
Таким образом, переменная
стремится к пределу f // (x 0 )≠0, а значит, начиная с некоторого момента, это величина имеет знак своего предела в нашем случае плюс. поэтому:
>0 при 0 0 | f / ( x 0 ) при х 0 -Е x x 0 и, следовательно, f / ( x 0 )>0 при х 0 x x 0 +Е.
Мы видим, что производная f / (x) при переходе через точку х 0 меняет свой знак с минуса на плюс, т.е. минимум функции.
Аналогично доказываем, что если f / (x 0 )=0 и f // (x 0 ) f ( x 0 )- минимум функции f (х).
Дан треугольник АBC, основание которого AC=b и высота BL=h. Найти прямоугольник наибольшей площади, который можно вписать в этот треугольник.
ешение.
Обозначим высоту KL прямоугольника через х , основание DE через у . Тогда площадь его S=xy . Переменные х и y не являются независимыми, они связаны некоторыми соотношением.
В самом деле из подобия треугольников DBE и ABC , учитывая, что высоты их BK и BL пропорциональны основаниям DE и AC имеем
или т.к . BK=h-x, DE = y, BL=h, AC=b,
то у=
исключая у из выражения для S находим
S =
Ищем максимум для этой функции
S =
S =0 h -2 x =0 x =
Легко видеть, что значение х действительно даст максимум функции S. В самом деле, составляя вторую производную, будем иметь
следовательно, при площадь S имеет максимум, причем из формулы S = получаем S max =
Ответ: площадь наибольшего прямоугольника, вписанного в треугольник, равна половине площади этого треугольника.
§6. Нахождение промежутков монотонности и экстремумов функции.
Решение таких примеров рекомендуется проводить по следующей схеме:
Найти область определения заданной функции ;
Найти производную ;
Определить критические точки функции ;
Найти промежутки знакопостоянства производной и указать промежутки возрастания и убывания функции f(x)
Указать, в каких точках функция имеет максимумы и минимумы, вычислить её экстремальные значения.
Найдем промежутки возрастания и убывания, а также точки максимума и минимума функции
3)Найдем критические точки:
4)
+ — +
1 1
Ответ: функция возрастает на
Функция убывает на
§7.Нахождение наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке.
Определение наименьшего и наибольшего значений дифференцируемой функции на заданном отрезке [а; b ] рекомендуется проводить по следующей схеме:
1)Найти производную данной функции;
2) Определить критические точки данной функции;
3)Из всех критических точек отобрать те, которые лежат внутри заданного отрезка;
4)Выписать значения данной функции в отобранных критических точках;
5)Выписать значения данной функции на концах а и b заданного отрезка;
6) Среди всех указанных вычисленных значений функции определить наименьшие и наибольшие числа. Они и являются решениями поставленной задачи.
Пример : Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:
+ sin 2 x на (0 ; )
Решение : D ( f )= R
f’ (x) = – cos x +2 sinxcosx = cos x (2 sin x-)
Найдем критические точки:
f(x)=0 cos x (2 sin x -=0
cos x =0 2sinx – =0
x= 2 sin x =
sin x =
Х=(-1)+, k.
На промежутке (0;) лежит лишь одна критическая точка x =.
Вычислим значение функции в точке х=.
f( )=1-+==0,5.
Вычислим значение функции на концах заданного промежутка:
f ()=1-1+1=2-=0,586
Из трех значений f (0)=1;
f ()=0,586;
f ( )=0,5.
Выбираем наименьшее и наибольшее значение
Ответ: min f ( x )= f ( )=0,5;
.
Найти наименьшее и наибольшее значение функции: y(x)= -2x-3x+4
на промежутке: а);
б)
Находим критические точки функции. Т.к. y’(x)= -6x-6x=-6x(x+1), то имеются две критические точки: x=0 и x=-1.
а) В промежутке лежит одна из критических точек: x=-1 .
т.к. y(-2)=8, y(-1)=4, y(-0,5)=3,5 то наименьшее значение функции
y(x)=-2x-3x+4 достигается в точке x=-1 и равно 3, а наибольшее
в точке x=-2 и равно 8. Кратко запишем так:
б) В промежутке данная функция убывает. Поэтому max y(x)=y(1)=-1. Наименьшего значения в промежутке функция не достигает, т.к. точка x=3 не принадлежит этому промежутку.
Отрезок с концами на сторонах прямого угла содержит точку внутри себя, удаленную на расстоянии 1 и 8 от сторон этого угла.
Найти наименьшую длину таких отрезков.
Решение: 1) Пусть ОА=х, ОВ=у
МАВ, МD=8, МС=1
Исходя из того, что
у=
т.к. АВО прямоугольный, то
Найдём наименьшее значение функции = при х>1
2) Для этого найдём производную
3. Найдём критические точки:
х=5
т.к. в точке х = 5 производная меняет свой знак с “-“ на “+”, то это наименьшее значение.
4. . 5. A В= =
Ответ: 5.
Из круга радиусом R вырезан сектор и из сектора сплетен конус. Каков наибольший объем получившийся конической воронки?
пусть – центральный угол сектора
r -радиус основания конуса
– L осн.кон.=2
ИзАОО 1 h = = R
V =
Найдем наибольшее значение функции y = от :
y 2 =
y 1 =
Ответ: Наибольший объем равен .
Прямоугольный участок земли, примыкающий к стене заводского здания, нужно оградить забором. Часть забора, параллельная стене, должна быть каменной, а остальная часть деревянной. Площадь участка 90см. Стоимость 1м каменного забора 10руб, а деревянного 8руб. Найдите такие размеры участка, чтобы стоимость всей ограды была наименьшей?
Решение: 1) Пусть стоимость ограды f руб.
x (м) – длина каменной части ограды, значит, ширина – 90/х (м),
тогда f ( x )= 10 x +8*2*90/ x = 10 x +1440/ x
2) D (f) =(0; + )
3) f ’ (x)= (10x) + 1440’x – 1440*x/x 2 =
10-1440/ x =10( x 2 -144)/ x 2
4) Найдём критические точки:
f ’ ( x )= 0 10( x 2 -144)/ x 2 =0
D ( f )= (0; + )
В точке x = 12 производная меняет свой знак с – на + , значит это наименьшее значение функции и оно единственное в области определения.
5) м in f (12) =10*12+1440/12=120+120=240
(0;+)
Наименьшая длина каменной стены 12 м , а деревянной 90/12=7,5м
Ответ: 12м; 7,5м; 240 руб.
Из всех равнобедренных треугольников, вписанных в данный круг, найдите тот, который имеет наибольшую площадь.
Пусть радиус круга – R , BD =х,
тогда О D= х- R
если каждая сторона будет равна , то площадь будет наименьшей.
На изготовление ящика с крышкой расходуется 108 дм 2 фанеры. Стороны основания относятся как 1: 2. Найдите линейные размеры ящика, при которых его объем наибольший.
Решение: S ПОЛН. = 2 ab + 2 ac +2 bc =2( ab + ac + bc )=108
аb-54= – ac-bc
54- ab =с(а+ b )
а с=
Пусть а=х, x (0;+ ), тогда b =2 x , c =
V=a b c= x 2x = x (54-2) =x (27-)
))) – x 2x =
=36- – =36-4 x
V / ( x )=0 36-4 x =0
=9
=3
=-3
a =3дм , b =6дм, с=
Ответ: 3дм , 6дм , 4дм .
Задача №6. Найти наибольший объем цилиндра, вписанного в данный конус
Решение:
Пусть задан конус высотой Н и радиусом основания R .
Обозначим через h высоту цилиндра и через r радиус
основания цилиндра, вписанного в данный конус.
Обозначим ВМ= x . Тогда
Объём цилиндра .
В нашем случае
Определим, при каком значении x объём цилиндра будет принимать наибольшее значение.
Найдём производную V 1 (x) .
V 1 ( x )=0 при x =
При х V 1 ( x ) 0 и V 1 ( x ) 0 при х
Следовательно, в точке х= функция V (х) имеет максимум. Так как х может менятся от нуля до R , причём V (0)=0 , то число
V( )= R 2 является наибольшим значением объёма вписанных цилиндров.
Найти высоту конической воронки наибольшего объёма, если её образующая равна L .
Решение.
площадь основания которого равна S ,
а высота- Н , вычисляется по формуле ,
где 2 ,
R – радиус окружности, лежащей в основании конуса.
По теореме Пифагора R и Н связаны равенством R 2 +H 2 =L 2 .
Воспользовавшись этим равенством, выразим V как функцию только одной переменной Н
Решая уравнения находим две критические точки функции V(H): H 1 + H 2=-
Из которых точка H принадлежит промежутку (0,L ). При переходе через точку Н 1 функция V / (H) =(L-3H 2 ) меняет знак с плюса на минус, и, следовательно, на промежутке (0,) функция V(H ) возрастает, а на промежутке (; L)убывает.
Таким образом Н=- высота конуса максимального объема при заданной длине образующей L.
Задача №8. В трапецию ABCD , боковая сторона АВ , которой
(длина 8 см ) перпендикулярна основанию, вписать прямоугольник наибольшей площади так, чтобы одна из его сторон лежала на большем основании трапеции. Основания трапеции равны 6 и 10 см cоответственно. Вычислить площадь этого прямоугольника.
Рассмотрим отдельно два случая.
Первый – вершина прямоугольника P лежит на боковой стороне трапеции CD .
Второй – вершина P лежит на основании трапеции ВС .
В первом случае обозначим стороны прямоугольника
Составим уравнение, связывающие неизвестные x и y .
Для этого проведем вспомогательный отрезок BL , параллельный стороне CD и рассмотрим два треугольника ABL и QPD .
Катеты этих треугольников равны соответственно
| AB |=8, | AL |=4, | QD |=10- x , | PQ |= y .
Искомое уравнение получается тогда из условия подобия треугольников ABL и QPD :
или y =20-2 x .
Площадь прямоугольника AKPQ равна S ( x )= x (20-2 x ).
Интервал изменения x в первом случае находится из условия, что точка Q – проекция точки P , лежащий на стороне С D , cледовательно, х6 .
Таким образом, задача свелась к отысканию наименьшего значения функции S ( x ) на промежутке [6;10]. Единственная критическая точка функции S ( x ): x =5 не принадлежит найденному промежутку.
Следовательно, производная функции S ( x ) не меняет на этом промежутке знак.
Вычисляя производную S ( x ) в произвольной точке промежутка [6;10] , убеждаемся, что она отрицательна.
Таким образом, наибольшее значение S ( x ) достигается в левом конце промежутка, т.е. max S ( x )= S (6)=48см 2
x [6;10]
Площадь прямоугольников, относящихся по второму случаю, не превосходит 48см 2 , т.к. при одинаковой боковой стороне равной 8см , длины их оснований не могут быть больше 6см .
Из квадратного листа жести со стороной а требуется вырезать развертку правильной четырехугольной пирамиды так, чтобы вершины квадрата склеивались в вершину пирамиды. Как это сделать, чтобы получить пирамиду наибольшего объема?
Решение . Пусть АВС D – данный квадрат, О – его центры и KLMN – основание искомой пирамиды. Обозначив через К расстояние от точки К до стороны АВ , выразим объем пирамиды как функцию x .
Получим:
Следовательно,
Функция принимает наибольшее значение одновременно с функцией .
0
Имеем, V(0)=V(=0
V(>0
следовательно, при х= функция V имеет наибольшее значение.
Таким образом, объём будет наибольшим тогда, когда диагональ её основания равна сторона квадрата.
Задача № 10. В круг радиуса а вписан равнобедренный треугольник. При каком соотношении сторон треугольник будет иметь наибольшую площадь.
Решение:
Пусть АВС=, тогда по теореме синусов имеем АВ=2sin.Далее из АDC СD = АD ctg = sinctg = a sin a = a ( 1 + cos a ) .
Рассмотрим площадь треугольника как функцию переменной а ( 0) :
S ( a) = = sin a ( 1+ cos a ) = ( sin a + 0,5 sin 2a ).
S` = ( cos a + cos 2a ) = ( 2cos 2 a + cos a – 1) =
= a 2 ( cos a + 1 ) ( 2cos a – 1 ).
Т.к cos + 1> 0 ( ( 0 : п) ), то S` (a) = 0 при cos a = 0,5, откуда .
Если 0 0, т.е S (a) возрастает на
( 0; ]. Если Задача № 11.
Вписать в круг радиуса R прямоугольник наибольшей площади.
Обозначим длину одной из сторон прямоугольника через x , тогда длина другой стороны равна .
Заметим, что 0 x R , т.к. x -длина хорды окружности радиуса R , отличная от диаметра. Следовательно, площадь прямоугольника .
Hайдем наибольшее значение функции S ( x ) на
Имеем S ’( x )=0 , т.е. 4 R 2 -2 x 2 =0, откуда x 1 =Rи x 2 =-R
Значит, надо сравнить значение функции при x = R и на концах отрезка x =0 и x =2 R .
Т.к. S(0)=S(2R)=0, а S(R)=2R 2 , то функция принимает наибольшее значение на [0;2R) при х=R. Поскольку наибольшее значение функции S(x) на отрезке [0;2R) достигается
в точке x= R.
При этом длина другой стороны прямоугольника равна , то есть искомым прямоугольником служит квадрат.
Задача № 12. Из всех прямоугольников данного периметра найти тот, у которого диагональ наименьшая.
Пусть периметр прямоугольника равен 2 а и одна из сторон прямоугольника равна х, тогда другая сторона будет
Диагональ прямоугольника – переменная величина, обозначив её через у, получим по теореме Пифагора у 2 =х 2 +(а-х) 2 ,
или у 2 =2х 2 -2ах+а 2 , откуда у=, где 0 0, если х>.
Производная меняет знак с минуса на плюс на плюс, следовательно, функция х= имеет минимум.
Таким образом, из всех прямоугольников данного периметра наименьшую диагональ имеет квадрат.
Работая над темой «Применение производной к решению экстремальных задач» я изучила очень много литературы по этой теме. При решении задач мне пришлось использовать следующие теоремы:
Необходимый признак возрастания и убывания функции.
Достаточный признак возрастания и убывания функции.
Кроме того «Экстремум функции одной переменной и достаточные условия экстремума функции».
Также я, изучая литературу, выделила этапы решения задач на нахождение промежутков монотонности и экстремумов функции и нахождение наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке.
Я считаю, что моя тема очень интересна. Поэтому я буду продолжать ее изучение в дальнейшем.
Моя работа будет очень полезной при подготовке выпускников к экзаменам в качестве дополнительного материала, который можно изучать на факультативах по математике.
1. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П.
Краткий курс высшей математики.- М.: Наука,1989
2. Васильев Н.Б. Заочные математические олимпиады. -М.: Наука,1986.
3. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по методам решения задач по математике.-М.: Наука,1984
4.Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа.- М.: Просвещение, 1990
5.Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике.-М.: Просвещение,1991
6.Готман Э.Г., Скопец З.А. Решение геометрических задач аналитическим методом -М.: Просвещение, 1979 .
7.Мочалин А.А. Сборник задач по математике.- Саратов, Лицей, 1998.
Прямоугольный треугольник
Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).
Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.
Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами .
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).
Свойства прямоугольного треугольника
1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.
2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.
И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.
3. Теорема Пифагора:
, где – катеты, – гипотенуза. Видеодоказательство
4. Площадь прямоугольного треугольника с катетами :
5. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:
6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.
7. Радиус описанной окружности есть половина гипотенузы :
8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине
9. Радиус вписанной окружности выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:
Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.
[spoiler title=”источники:”]
http://gigabaza.ru/doc/23217-p2.html
[/spoiler]
|
0 / 0 / 0 Регистрация: 30.03.2016 Сообщений: 10 |
|
|
1 |
|
Треугольник вписанный в прямоугольник30.03.2016, 17:53. Показов 13423. Ответов 38
Прямоугольный треугольник вписан в прямоугольник и имеет общую вершину с прямоугольником. Известны стороны прямоугольника и одна сторона треугольника. Необходимо найти другие стороны треугольника, в частности сторону x? Два дня бьюсь с решением, казалось бы простой задачи.))) Миниатюры
0 |
|
Programming Эксперт 94731 / 64177 / 26122 Регистрация: 12.04.2006 Сообщений: 116,782 |
30.03.2016, 17:53 |
|
Ответы с готовыми решениями: Прямоугольник, вписанный в прямоугольник Пытаюсь сделать анимацию на js (2 горизонтальных прямоугольника поворачиваются,… Вписанный треугольник и четырехугольная пирамида
Построить треугольник вписанный в круг с помощью циркуля и линейки 38 |
Есть вписанный в прямоугольник эллипс (в 2D), как найти точки его фокуса?|
8717 / 6316 / 3394 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 14,497 |
|
|
30.03.2016, 22:20 |
2 |
|
Положим у=ЕС, тогда из подобия треугольников АВЕ и ECJ сразу получаем уравнение:
1 |
|
0 / 0 / 0 Регистрация: 30.03.2016 Сообщений: 10 |
|
|
31.03.2016, 04:45 [ТС] |
3 |
|
Да, вот и я с этими алгеброическими трудностями пока справиться не смог. А казалось задачка простая.
0 |
|
8717 / 6316 / 3394 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 14,497 |
|
|
31.03.2016, 09:30 |
4 |
|
Понятно, если это практическая, а не школьная задача, то можно просто решить это уравнение численными методами с помощью любого математического пакета Mathcad, Matlab…
0 |
|
1471 / 826 / 140 Регистрация: 12.10.2013 Сообщений: 5,456 |
|
|
31.03.2016, 20:16 |
5 |
|
Луч из A в направлении стороны BC отражаем от BC как луч света от зеркала падает на сторону CD. Подбираем угол при А чтобы угол треугольника при E был 90. Численное решение пересечение луча и отрезка школьная задачка =). И никаких 4 степеней.
0 |
|
8717 / 6316 / 3394 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 14,497 |
|
|
31.03.2016, 20:37 |
6 |
|
Численное решение пересечение луча и отрезка школьная задачка =). И никаких 4 степеней. Возможно, Вы не в курсе, что задачи, которые сводятся к алгебраическим моделям с уравнениями третьей и выше степеней не решаются школьными построениями с помощью циркуля и линейки (типичный пример – трисекция угла приводит к уравнению третьей степени). В Вашем случае это
Подбираем угол при А чтобы угол треугольника при E был 90 не может реализовано школьными построениями.
0 |
|
1471 / 826 / 140 Регистрация: 12.10.2013 Сообщений: 5,456 |
|
|
31.03.2016, 20:58 |
7 |
|
Или еще проще, находим J как для прямоугольного треугольника. Добавлено через 4 минуты
не может реализовано школьными построениями. Что такое школьные построения? Я таких терминов не встречал. Численное решение на основе элементарной тригонометрии.
0 |
|
8717 / 6316 / 3394 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 14,497 |
|
|
31.03.2016, 21:27 |
8 |
|
Что такое школьные построения? Я таких терминов не встречал. Численное решение на основе элементарной тригонометрии А я не встречал численные решения в школе на основе элементарной тригонометрии!
0 |
|
1471 / 826 / 140 Регистрация: 12.10.2013 Сообщений: 5,456 |
|
|
31.03.2016, 21:57 |
9 |
|
собственный вариант решения этой задачи. Делать за ТС? Нее.. Уже привел 2 алгоритма. Проще наверно небывает. Но сейчас придет Игорь и раскидает векторами еще проще?)).
А я не встречал численные решения в школе на основе элементарной тригонометрии! Значит простой цикл для дихотомии и пару условий на решении треугольников +мелочь из азов тригонометрии за 8 класс это не школьный уровень в 2016 году? Понятно =).
0 |
|
8717 / 6316 / 3394 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 14,497 |
|
|
31.03.2016, 23:42 |
10 |
|
Значит простой цикл для дихотомии и пару условий на решении треугольников +мелочь из азов тригонометрии за 8 класс это не школьный уровень в 2016 году? Понятно =). Простые циклы с дихотомией в школьном курсе геометрии не изучаются. Да и в курсе информатике они изучаются только на элективном уровне (по выбору). Я не сразу понял, что Вы предлагаете именно численный метод решения задачи. В таком случае одна строчка в Mathcad с вызовом функции root для уравнения 4 степени явно быстрее, чем циклы с дихотомией!
0 |
|
0 / 0 / 0 Регистрация: 30.03.2016 Сообщений: 10 |
|
|
01.04.2016, 01:57 [ТС] |
11 |
|
При помощи внешней програмы решить-то можно, но вот подключить внешнюю программу к CAD-овской программе твердотельного моделирования, чтоб расчеты делались автоматически, сложновато даже для программиста.))) Поэтому здесь подойдет только формула полученная из решения этого алгебраического уравнения.))) В качестве временной приближенной формулы определения стороны x заложил в конструктивные расчеты разницу между длиной диагонали АС и максимально возможной высотой треугольника ECJ при заданной длине f (когда этот треугольник становится равносторонним). Хотелось бы конечно получить точное значение.
0 |
|
1739 / 659 / 87 Регистрация: 01.10.2012 Сообщений: 3,271 |
|
|
01.04.2016, 08:16 |
12 |
|
По Пифагору расписал тр-ки ABE, AJD и AEJ через неизвестные x, EC и CJ. Если сложить ур-я, то получается соотношение I * EC = h * CJ Если я нигде не ошибся (не уверен), то дальше как по маслу: находим ЕC и CJ из тр-ка ЕCJ и.т.д
0 |
|
8717 / 6316 / 3394 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 14,497 |
|
|
01.04.2016, 08:47 |
13 |
|
Если я нигде не ошибся (не уверен) Увы, ошиблись.
0 |
|
1739 / 659 / 87 Регистрация: 01.10.2012 Сообщений: 3,271 |
|
|
01.04.2016, 10:35 |
14 |
|
Увы, ошиблись. Давайте проверять h^2 + (I – EC)^2 = x^2 // тр-к ABE Из второго ур-я вычтем первое – Ваша очередь
0 |
|
8717 / 6316 / 3394 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 14,497 |
|
|
01.04.2016, 11:11 |
15 |
|
Из второго ур-я вычтем первое – Ваша очередь Искать чужие ошибки – дело неблагодарное. Я предлагаю просто проверить прямо на чертеже: Миниатюры
0 |
|
1739 / 659 / 87 Регистрация: 01.10.2012 Сообщений: 3,271 |
|
|
01.04.2016, 11:32 |
16 |
|
Да, действительно – вылазит 4-я степень при любых манипуляциях с ур-ями. Насколько помню ур-е 4 степени – последнее решаемое аналитически, но там такааая возня…
0 |
|
1471 / 826 / 140 Регистрация: 12.10.2013 Сообщений: 5,456 |
|
|
01.04.2016, 15:49 |
17 |
|
Значит решения такие: Добавлено через 2 часа 51 минуту
0 |
|
Igor3D 1739 / 659 / 87 Регистрация: 01.10.2012 Сообщений: 3,271 |
||||
|
02.04.2016, 09:56 |
18 |
|||
|
Скорей всего самый правильный подход, вдруг у вас будет еще задачка? Профи не пилят велосипеды под каждую задачку. Пилят EC * (I – EC) / h = CJ Тогда Кликните здесь для просмотра всего текста
Шлепнуть десяток строчек часто (пусть и не всегда) куда легче чем разбираться в монструозных пакетах Понимаю что здесь ожидается “школьное” (якобы) решение, но в жизни бывает и по-другому
0 |
|
1471 / 826 / 140 Регистрация: 12.10.2013 Сообщений: 5,456 |
|
|
02.04.2016, 12:45 |
19 |
|
Шлепнуть десяток строчек часто (пусть и не всегда) куда легче чем разбираться в монструозных пакетах Но ведь делают выход на таблицы экселя и т.д.. не все же программисты.
Я предлагаю просто проверить прямо на чертеже: А вот ваш расчет вообще не получился у меня наверно где то ошибка у меня…Два раза уравнение не равно 0.
0 |
|
1471 / 826 / 140 Регистрация: 12.10.2013 Сообщений: 5,456 |
|
|
02.04.2016, 13:04 |
20 |
|
Глянул тут http://math.semestr.ru/optim/newton.php
0 |
This is from an italian math competition.
In the rectangle below:
area of yellow, green and red triangles are 27, 35 and 40 resepectively. What is the area of the blue triangle ?
My trial: I tried to define $a,b,c$ and $d$:
$a(c+d)=80 tag{1}$
$bc=70 tag{2}$
$d(a+b)=54 tag{3}$
(to clarify, a is the length of the side of the red triangle and b of the green triangle which lie on the top of the rectangle. c and d are the lengths of the sides of the green and yellow triangle lying on the right side of the rectangle )
This is a system of 3 equations in 4 unknowns. We can observe that if $(a,b,c,d)$ is a solution, so is $(ak,bk,c/k,d/k)$. We can therefore fix the value of one variable, $a=1$, solve the system, and obtain $b=5/4, c=56, d=24$.
The area of the entire rectangle would than be $R=(a+b)(c+d)=180$, and the blue area $78$.
This solution works, but I think it requires too many calculations for the type of competition. Is there a smarter/quicker way ?
Задача 25 ОГЭ (услож. 264 вар. Ларина)
Вокруг правильного △APQ описан прямоугольник ABCD, причём точки P и Q лежат на сторонах BC и CD соответственно.
Найдите величину ∠BMC, где точка М — середина отрезка AQ.
https://alexlarin.net/gia/trvar264_1_oge.html
(Формулировка незначительно изменена.)
Пусть (displaystyle ABC) – прямоугольный треугольник с гипотенузой (displaystyle AB) и катетом (displaystyle AC=3 small.)
Требуется найти второй катет (displaystyle BC small.)
По свойству описанной около прямоугольного треугольника окружности
Правило
Описанная окружность и прямоугольный треугольник
Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, а её радиус равен половине гипотенузы.
половина гипотенузы равна радиусу описанной окружности, то есть (displaystyle 2{,}5 small.)
Тогда вся гипотенуза равна удвоенному радиусу описанной окружности, то есть (displaystyle 5 small.)
Из прямоугольного треугольника (displaystyle ABC) по теореме Пифагора
(displaystyle AB^2=BC^2+AC^2 small.)
Тогда
(displaystyle BC^2=AB^2-AC^2 small,)
(displaystyle BC^2=5^2-3^2=25-9=16 small.)
Поскольку длина отрезка положительна, то (displaystyle BC=4 small.)
Ответ: (displaystyle 4 {small .})
