Как найти вписанный угол правильного десятиугольника

Десятиугольник: правильный, неправильный, свойства, примеры

Содержание:

В десятиугольник представляет собой плоскую фигуру в форме многоугольника с 10 сторонами и 10 вершинами или точками. Декагоны могут быть правильными или неправильными, в первом случае все стороны и внутренние углы имеют одинаковую величину, а во втором стороны и / или углы отличаются друг от друга.

На рисунке 1 показаны примеры десятиугольника каждого типа, и, как мы видим, правильный десятиугольник очень симметричен.

Основными элементами каждого десятиугольника являются:

-Стороны, отрезки линии, которые при соединении образуют десятиугольник.

-Vertices или точки между каждой последовательной стороной.

-Внутренние и внешние углы между соседними сторонами.

-Диагональные, сегменты, соединяющие две непоследовательные вершины.

Вершины названы заглавными буквами, как показано на рисунке 1, где использовались первые буквы алфавита, но можно использовать любую букву.

Стороны обозначены двумя буквами вершин, между которыми они находятся, например, сторона AB – это сторона между вершинами A и B. То же самое сделано с диагоналями, поэтому у нас есть диагональ AF, которая соединяет точки A и F.

Для углов мы используем этот символ: ∠, похожий на наклонную L. Например, угол ∠ ABC – это угол, вершиной которого является B, а сторонами являются отрезки AB и BC.

Обычный десятиугольник

В правильном десятиугольнике все стороны имеют одинаковую меру, как и внутренние углы. Поэтому говорят, что это равносторонний (равные стороны) и равносторонний (равные углы). Это очень симметричная фигура

Внутренние углы правильного десятиугольника

Чтобы найти меру внутренних углов правильного многоугольника, включая правильный десятиугольник, используется следующая формула:

-I – мера угла в градусах.

-n – количество сторон многоугольника. В случае десятиугольника n = 10.

Подставляя n = 10 в предыдущую формулу, получаем следующее:

Говорят, что многоугольник выпуклый если его угловые размеры меньше 180 °, иначе многоугольник вогнутый. Поскольку любой внутренний угол правильного десятиугольника составляет 144º и меньше 180º, то это выпуклый многоугольник.

Сумма внутренних углов

Сумма внутренних углов любого многоугольника в градусах:

S = (n-2) x 180 °; n всегда больше 2

В этой формуле мы имеем:

-S – это сумма размеров внутренних углов.

-n – количество сторон. Для десятиугольника n = 10

Применяя формулу для n = 10, получаем:

S = (10 – 2) x 180º = 1440º

Внешние углы

Между одной стороной и продолжением соседней стороны образуется внешний угол, посмотрим:

Сумма угла ∠ ABC плюс внешний угол составляет 180 °, то есть они равны дополнительный. Следовательно, внешний угол равен 180º-144º = 36º, как мы видим на рисунке.

Количество диагоналей

Как было сказано ранее, диагонали – это отрезки, соединяющие непоследовательные вершины. Сколько диагоналей мы можем нарисовать в десятиугольнике? Когда количество вершин невелико, их легко сосчитать, но когда это число увеличивается, вы можете потерять счет.

К счастью, есть формула, по которой можно узнать, сколько диагоналей многоугольника. п стороны:

Подставляем десятиугольник n = 10 и получаем:

D = 10 х (10 – 3) / 2 = 35

В правильном десятиугольнике все диагонали пересекаются в одной точке, которая является центром фигуры:

Центр

Центр многоугольника определяется как точка, равноудаленная от любой вершины. На рисунке выше центр совпадает с точкой пересечения всех диагоналей.

Периметр

Если у правильного десятиугольника есть сторона a, его периметр P равен сумме всех сторон:

Площадь

Зная длину к сбоку площадь правильного десятиугольника рассчитывается по формуле:

Приблизительная формула для площади:

И третий способ найти площадь – по длине апофемы L_К. Это сегмент, который соединяет середину одной стороны с центром многоугольника.

В этом случае площадь можно рассчитать по формуле:

Неправильный десятиугольник

Неправильный десятиугольник не является равносторонним или равноугольным, и обычно ему не хватает симметрии правильной фигуры, хотя некоторые десятиугольники могут иметь ось симметрии.

Они также могут быть выпуклыми или вогнутыми, если внутренние углы превышают 180º.

Неправильный десятиугольник на фиг. 1 вогнут, поскольку некоторые из его внутренних углов больше 180 °. Ясно, что существует множество комбинаций углов и сторон, которые приводят к неправильному десятиугольнику.

В любом случае верно, что:

-Внутренние углы неправильного десятиугольника также составляют в сумме 1440º.

-Также имеет 35 диагоналей.

Площадь неправильного десятиугольника по гауссовским определителям

В общем, не существует единой формулы для определения площади неправильного многоугольника, поскольку стороны и углы разные. Однако его можно найти, зная координаты вершин и вычисливГауссовские детерминанты:

-Позвоним (х_п , Y_п ) к координатам вершин, причем п варьируется от 1 до 10.

-Вы можете начать с любой вершины, до которой координаты (x₁, Y₁ ). Теперь нам нужно подставить значения каждой координаты в эту формулу:

Где детерминанты – это именно операции в скобках.

-Важно отметить, что последний определитель снова включает первую вершину вместе с последней. Для десятиугольника это будет выглядеть так:

Важный: Полоски имеют абсолютное значение и означают, что окончательный результат дается с положительным знаком. всегда.

Процедура может быть трудоемкой, если у фигуры много вершин, в случае с десятиугольником – 10 операций, поэтому желательно составить таблицу или список.

Упражнение решено

Вычислите площадь неправильного десятиугольника, показанного на рисунке. Координаты вершин – A, B, C… J, значения которых показаны слева.

Решение

-Делаем каждую из 10 операций:

• 2×6 – 4×0 = 12 – 0 =12
• 0×4 – 6×(-2) = 0 + 12 =12
• (-2)×7- 4×(-5) = -14 + 20 = 6
• (-5)×2 – 7×(-6) = -10 + 42 = 32
• (-6)×(-4) – 2×(-4) = 24 + 8 =32
• (-4)×(-2) – (-4)×(-2) = 8 – 8 =0
• (-2)×0 – (-2)×(-1) =0 -2
• (-1)×0 – 0×(2) = 0 – 0 = 0
• 2×2 – 0×8 = 4 – 0 = 4
• 8×4 -2×2 = 32 – 4 = 28

-Давайте добавим результаты:

12 + 12 + 6 + 32 + 32 + 0 + (-2) + 0 + 4 + 28 = 124

Положительный результат получается даже без столбцов абсолютного значения, но если он отрицательный, знак меняется.

-Предыдущий результат делится на 2, и это площадь многоугольника:

Свойства Десятиугольника

Вот краткое изложение общих свойств десятиугольника, правильного или неправильного:

-У него 10 сторон и 10 вершин.

-Сумма внутренних углов 1440º.

-Есть 35 диагоналей.

-Периметр – это сумма всех сторон.

-Вы можете создавать треугольники внутри многоугольника, рисуя сегменты от одной вершины ко всем остальным. В десятиугольнике можно нарисовать 8 треугольников таким образом, как показано ниже:

Ссылки

1. Александр, Д. 2013. Геометрия. 5-е. Издание. Cengage Learning.
2. Decagon.com. Декагон. Получено с: decagono.com
3. Открытый справочник по математике. Декагон. Получено с: mathopenref.com.
4. Sangaku Maths. Элементы многоугольника и их классификация. Получено с: sangakoo.com.
5. Википедия. Декагон. Получено с: es.wikipedia.com.

15 примеров сотрудничества

Яйцекладущие: характеристика, размножение, примеры, эмбриональное развитие

Построение правильных многоугольников. Решение задач

Разделы: Математика

Цели урока: закрепить знание формул стороны и площади правильного многоугольника, совершенствовать навык построения правильных многоугольников, научить строить правильный десятиугольник и правильный пятиугольник.

1. Проверка домашнего задания: пункт 108, №№ 1081, 1093, 1094(а,б).

Учебник Геометрия 7 – 9, Л.С. Атанасян.2003г.

а) = 180 = 60

б) = 180 = 3 · 36

в) = 180 = 120

г) = 180 = 144

д) = · 180 = 160

Дано: АВС – правильный

Окр.(О;R) – описана около АВС

Окр.(О;r) – вписанна в АВС

1. АО – биссектриса А OАD = 30

2. AOD – прямоугольный, т.к. OD = r проведён в точку касания (теорема о касательной к окружности).

3. В прямоугольном AOD катет r лежащий против угла в 30 равен половине гипотенузы R, т.е. R = 2r – ч.т.д.

Задача № 1094(а,б) (данное задание на закрепление знания формул:

S = Рr, a_n = 2R, r = R )

a₄ = 2R = 2 * 3 * = 2 * 3* = 6 см,

r = 3 * = 3 * = 3 см,

S = Рr = · 24 · 3 = 36 см 2

б) Решение: a₃ = = 8 см

Выразим r через a_n : r = ( a_n * ctg)/2

r = 4* ctg = см

S = (1/2)Рr = 16 см 2 Ответ: 16 см 2 .

2. Актуализация знаний учащихся (устный опрос):

1. Какой многоугольник называется правильным?

2. Какая окружность называется вписанной в многоугольник?

3. По какой формуле можно найти сторону правильного n-угольника? (записать на доске)

4. Какая точка называется центром правильного многоугольника?

5. Можно ли найти площадь правильного шестиугольника, зная только радиус вписанной в него окружности? Как это сделать? (показать на доске)

3. Изучение нового материала.

Строить правильные треугольники и четырёхугольники с помощью циркуля и линейки мы уже умеем. Рассмотрим способ построения правильного шестиугольника.

Задача № 1 из п.109 (работа с учебником).

Построить правильный шестиугольник, сторона которого равна данному отрезку.

1. Строим окружность радиусом R равным данному отрезку.

2. На окружности произвольно выбираем точку A₁ .

3. Не меняя раствора циркуля, на окружности откладываем точку A₂ , так чтобы A₁A₂ = R.

4. Аналогично от точки A₂ откладываем точку A₃ и т. д. до точки A₆ .

5. Соединяя последовательно построенные точки отрезками, получаем искомый правильный шестиугольник .

Доказательство: (можно провести устно)

1. Стороны 6 – угольника равны (по построению). (*)

2. О A₁A₂ = О A₂A₃ = О A₃A₄ = : = О A₆A₁ – по третьему признаку равенства -ов.

Все они равносторонние. A₁A₂A₃ = : = A₆A₁A₂ = 120° (**)

3. Из (*) и (**) A₁A₂A₃A₄A₅A₆ – правильный 6 – угольник – ч.т.д.

11Задача № 1279. На рисунке 370 изображён правильный десятиугольник, вписанный в окружность радиуса R, АС – биссектриса угла ОАВ. Докажите, что:

а) AВС

ОАВ

б) АВ = АС = ОС = R

(т.к. данная задача является задачей повышенной трудности, то перед решением её у доски необходимо дать учащимся две – три минуты на обдумывание, если не будет идей, то задавать наводящие вопросы.)

1. Рассмотрим равнобедренный ОАВ:

АО и ВО – биссектрисы углов правильного десятиугольника ( = 144)

Следовательно: = = 72, а значит = 36.

2. = 72, а т.к. АС – биссектриса этого угла, то = 36, т.е. = (*)

3. – общий для AВС и ОАВ. (**)

4. Из (*) и (**) следует (по первому признаку подобия треугольников),

что AВС

ОАВ – ч.т.д.

б) 1. В AВС: = 36, = 72 = 72, значит АВ = АС.

2. В ОАС: = = 36 АС = ОС

3. Обозначим АВ через х, ОС также равно х. АО = R , BC = R – x .

Из подобия AВС и ОАВ следует: x 2 + Rх – R 2 = 0

(получили квадратное уравнение относительно х)

x₁ = – решений нет, т.к. длина отрезка не может быть отрицательной

x₂ = = R – ч.т.д.

Исследование: зададимся вопросом – чему равен и .

1. В ОАВ проведём медиану ОК (она же высота и биссектриса).

АК = x/2= R·

R = R·

Итак: =

2. = 2* = 2* * = · = = =

=

11Задача № 1280. Докажите, что отрезок АК, изображённый на рисунке, равен стороне правильного десятиугольника, вписанного в окружность с центром О.

А и В Окр(О;R);

АООВ;

Окр(С; r = СВ)АС = К

Доказать: АК = R (по предыдущей задачи)

1. АО = R, OC = , AC = = ;

2. КС = , АК = АС – КС = – = R – ч.т.д.

Вывод: данный способ можно использовать для построения правильного десятиугольника.+

4. Закрепление изученного материала.

Задача № 1283: В данную окружность впишите правильный пятиугольник.

Мы рассмотрим иной способ построения, не тот который предлагают в ответе.

1. Строим окружность произвольного радиуса R и проводим два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и СD.

2. Делим пополам радиус АО точкой Е.

3. Из Е радиусом ЕС проводим дугу CF, пересекая ею диаметр АВ в точке F.

4. Из С радиусом CF проводим дугу FG, пересекая ею данную окружность в точке G; CG(равная CF) есть одна сторона искомой фигуры.

5. Проводим тем же радиусом дугу из точки G как из центра, получаем ещё одну вершину Н искомой фигуры и т. д.

6. CGHKL – правильный пятиугольник.

1. Сторона правильного пятиугольника вписанного в Окр.(О;R) равна .

11 ОМ – биссектриса, медиана и высота равнобедренного ОСG.

СМ = R a₅ = 2СМ = 2 R

Учитывая, что = ,

окончательно получаем: a₅ = .

2. У нас по построению

1) ЕО = ; ЕС = ЕF =

2) OF = EF – EO = R

3) CG = CF = = = .

Итак, по построению CG = – ч.т.д.

5. Подведение итогов урока.

Домашнее задание: пункт 109, № 1282, №1284.

10 Угольник вписанный в окружность

Десятиугольник, вписанный в окружность

Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD. Делим пополам радиус АО в точке Е. Из Е радиусом ЕС проводим дугу CF, пересекая ею диаметр АВ в точке F. OF есть сторона искомой фигуры. С помощью циркуля, сделаем на окружности десять последовательных засечек. Получим вершины искомой фигуры. Подобно построению пятиугольника, вписанного в окружность.

Десятиугольник, описанный около окружности

Имеем исходную окружность с центром в точке O. Так как сумма углов, составляющих центральный угол окружности, равна 360°. Делим данный угол на 10 частей (т.к. строим десятиугольник) с помощью транспортира, т.е. 360°:10=36°. Получаем 10 вершин: A, B, C, D, E, F, G, H, K, L. Соединяем эти вершины, получаем правильный десятиугольник.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Сдача сессии и защита диплома – страшная бессонница, которая потом кажется страшным сном. 8924 – | 7231 – или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

• Как начертить десятиугольник
• Как начертить угол без транспортира
• Как построить правильный восьмиугольник

• – циркуль;
• – линейка.

2 способ: Опять же, с помощью циркуля начертите окружность. Центр получившейся окружности обозначьте буквой О. Проведите два перпендикулярных диаметра данной окружности СD и АВ. Разделите один из 4-х радиусов на две равные части. Из рисунка видно, что радиус СО = СМ+МО, где СМ=МО.

Дальше поставьте ножку циркуля в точку М и начертите окружность радиусом, равным половине радиуса первоначальной окружности. С помощью линейки соедините центр маленькой окружности М с любой из 2-х точек (А или В) на перпендикулярном диаметре. На рисунке центр маленькой окружности соединен сточкой А. Длина, получившегося отрезка АМ будет равна длине стороны десятиугольника. Осталось только сделать раствор циркуля, равный длине отрезка АМ, поставить ножку циркуля в точку А и отметить следующую точку на окружности. Далее переместите ножку циркуля в новую точку и отметьте следующую. И так до тех пор, пока на окружности не появится 10 равноудаленных друг от друга точек.

Правильный десятиугольник
Сторон и вершин	10
Символ Шлефли
Внутренний угол	144°
Симметрия	Диэдрическая ( D 10 > ), порядок 20.

Десятиуго́льник (правильный десятиугольник — декагон) — многоугольник с десятью углами и десятью сторонами.

Содержание

Правильный десятиугольник [ править | править код ]

У правильного десятиугольника все стороны равной длины, и каждый внутренний угол составляет 144°.

Площадь правильного десятиугольника равна (t — длина стороны):

A = 5 2 t 2 c t g π 10 = 5 t 2 2 5 + 2 5 ≈ 7.694 t 2 . >t^ ctg >= > > >>>approx 7.694t^ .>

Альтернативная формула A = 2.5 d t , где d – расстояние между параллельными сторонами или диаметр вписанной окружности. В тригонометрических функциях он выражается так:

d = 2 t ( cos ⁡ 3 π 10 + cos ⁡ π 10 ) , >+cos >
ight),>

и может быть представлен в радикалах как

d = t 5 + 2 5 . >>>.>

Сторона правильного десятиугольника, вписанного в единичную окружность, равна 5 − 1 2 = 1 φ >-1> >= >> , где φ – золотое сечение.

Радиус описанной окружности десятиугольника равен

R = 5 + 1 2 t , >+1> >t,>

а радиус вписанной окружности

r = 5 + 2 5 2 t . >>> >t.>

Построение [ править | править код ]

По теореме Гаусса — Ванцеля правильный десятиугольник возможно построить, используя лишь циркуль и линейку.

Иначе его можно построить следующим образом:

1. Построить сначала правильный пятиугольник.
2. Соединить все его вершины с центром описанной окружности прямыми до пересечения с этой же окружностью на противоположной стороне. В этих точках пересечения и находятся остальные пять вершин десятиугольника.
3. Соединить по порядку вершины пятиугольника и пять точек, найденные шагом ранее. Искомый десятиугольник построен.

Разбиение правильного десятиугольника [ править | править код ]

Гарольдом Коксетером было доказано, что правильный 2 m -угольник можно разбить на m ( m − 1 ) 2 >> ромбов. Для декагона m = 5 , так что он может быть разбит на 10 ромбов.

Разбиение правильного десятиугольника

Пространственный десятиугольник [ править | править код ]

Правильные пространственные десятиугольники
#	#	#

Пентаграммная антипризма с перекрёстом

Пространственный десятиугольник — это пространственный многоугольник с десятью рёбрами и вершинами, но не лежащими в одной плоскости. У пространственного зиг-заг десятиугольника вершины чередуются между двумя параллельными плоскостями.

У правильного пространственного десятиугольника все рёбра равны. В трёхмерном пространстве это зиг-заг пространственный декагон, он может быть обнаружен среди рёбер и вершин пентагональной антипризмы, пентаграммной антипризмы, пентаграммной перекрещивающейся антипризмы с той же D_5d [2 + ,10] симметрией порядка 20.

Его также можно найти в некоторых выпуклых многогранниках с икосаэдрической симметрией. Многоугольники по периметру этих проекций (см. ниже) это пространственные десятиугольники.

Ортогональные проекции многогранников
Додекаэдр	Икосаэдр	Икосододекаэдр	Ромботриаконтаэдр

Многоугольники Петри [ править | править код ]

Правильный пространственный десятиугольник — это многоугольник Петри для многих многогранников высших размерностей, как показано на этих ортогональных проекциях на различных плоскостях Коксетера.

[spoiler title=”источники:”]

http://urok.1sept.ru/articles/612987

http://4apple.org/10-ugolnik-vpisannyj-v-okruzhnost/

[/spoiler]

В последнее время я не раз убеждался в том, что при решении подобного рода задач первым делом необходимо отыскать в литературе полную информацию о свойствах той или иной геометрической фигуры – треугольника или квадрата, круга или того же десятиугольника. Если под рукой не окажется бумажного справочника, обратитесь хотя бы к Википедии. Если не все, то большинство важных свойств она вам покажет непременно. Честно говоря, я чаще всего именно с неё и начинаю. А уже потом, если не нашёл ничего подходящего, могу покопаться в других источниках информации. Но, по-моему, на сей раз долго искать не придётся. Упомянутая энциклопедия выдала мне следующие сведения о десятиугольниках:

Я с вами согласен – очень мелко. Только, может быть, оно и к лучшему? Из всего, что там написано, в нашем случае особую важность составляет только одно трёхзначное число – 144. А всё потому, что:

При этом хотелось бы обратить внимание на то, что в задании у нас спрашивается об угле ∠BCE, а в прилагаемой иллюстрации выделен треугольник ∆CDE. И именно в этом треугольнике явно тупой угол и составляет 144°. Но сам треугольник нам пригодится. Ведь, как известно, сумма углов в треугольнике равна 180°. Кроме того, если «у правильного десятиугольника все стороны равной длины», то этот маленький треугольник ∆CDE является равнобедренным, потому что CD = DE. Но при таком раскладе мы можем вычислить и оставшиеся углы, которые равны между собой:

• ∠DCE = ∠DEC = (180° – 144°) / 2 = 36° / 2 = 18°

Пусть так, но что нам даёт знание величины этих углов? Ведь вычислить нужно совсем другой угол – ∠BCE. Чтобы разобраться, я предлагаю пририсовать ещё один треугольник, в котором нам и следует вычислить тупой угол:

Мы с вами знаем, что ∠CDE = 144°. Нам также известно, что и другой угол десятиугольника ∠BCD = 144°. Но чем при этом ∠BCD отличается от искомого ∠BCE? Так ведь он больше на те самые 18°, которые мы вычислили выше. И тогда:

• ∠BCE = ∠BCD – ∠DCE = 144° – 18° = 126°

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 31 августа 2020 года; проверки требуют 7 правок.

Правильный десятиугольник
Сторон и вершин	10
Символ Шлефли	{10}
Внутренний угол	144°
Симметрия	Диэдрическая (), порядок 20.

Десятиуго́льник (правильный десятиугольник — декагон) — многоугольник с десятью углами и десятью сторонами.

Правильный десятиугольник[править | править код]

У правильного десятиугольника все стороны равной длины, и каждый внутренний угол составляет 144°.

Площадь правильного десятиугольника равна (t — длина стороны):

Альтернативная формула , где d – расстояние между параллельными сторонами или диаметр вписанной окружности. В тригонометрических функциях он выражается так:

и может быть представлен в радикалах как

Сторона правильного десятиугольника, вписанного в единичную окружность, равна , где – золотое сечение.

Радиус описанной окружности десятиугольника равен

а радиус вписанной окружности

Построение[править | править код]

По теореме Гаусса — Ванцеля правильный десятиугольник возможно построить, используя лишь циркуль и линейку.
На диаграмме показано одно из таких построений.
Иначе его можно построить следующим образом:

1. Построить сначала правильный пятиугольник.
2. Соединить все его вершины с центром описанной окружности прямыми до пересечения с этой же окружностью на противоположной стороне. В этих точках пересечения и находятся остальные пять вершин десятиугольника.
3. Соединить по порядку вершины пятиугольника и пять точек, найденные шагом ранее. Искомый десятиугольник построен.

Разбиение правильного десятиугольника[править | править код]

Гарольдом Коксетером было доказано, что правильный -угольник (в общем случае – -угольный зоногон) можно разбить на ромбов. Для декагона , так что он может быть разбит на 10 ромбов.

Разбиение правильного десятиугольника

Пространственный десятиугольник[править | править код]

Правильные пространственные десятиугольники
{5}#{ }	{5/2}#{ }	{5/3}#{ }
Пятиугольная антипризма	Пентаграммная антипризма	Пентаграммная антипризма с перекрёстом

Пространственный десятиугольник — это пространственный многоугольник с десятью рёбрами и вершинами, но не лежащими в одной плоскости. У пространственного зиг-заг десятиугольника вершины чередуются между двумя параллельными плоскостями.

У правильного пространственного десятиугольника все рёбра равны. В трёхмерном пространстве это зиг-заг пространственный декагон, он может быть обнаружен среди рёбер и вершин пентагональной антипризмы, пентаграммной антипризмы, пентаграммной перекрещивающейся антипризмы с той же D_5d [2⁺,10] симметрией порядка 20.

Его также можно найти в некоторых выпуклых многогранниках с икосаэдрической симметрией. Многоугольники по периметру этих проекций (см. ниже) это пространственные десятиугольники.

Ортогональные проекции многогранников
Додекаэдр	Икосаэдр	Икосододекаэдр	Ромботриаконтаэдр

Многоугольники Петри[править | править код]

Правильный пространственный десятиугольник — это многоугольник Петри для многих многогранников высших размерностей, как показано на этих ортогональных проекциях на различных плоскостях Коксетера.

A9	D6	B5
9-симплекс	411	131	5-ортоплекс	5-куб

Примечания[править | править код]

Ссылки[править | править код]

• Weisstein, Eric W. Decagon (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• На Викискладе есть медиафайлы по теме Десятиугольник

Десятиугольник, виды, свойства и формулы.

Десятиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно десяти.

Десятиугольник, выпуклый и невыпуклый десятиугольник

Правильный десятиугольник (понятие и определение)

Построение правильного десятиугольника

Свойства правильного десятиугольника

Формулы правильного десятиугольника

Десятиугольник, выпуклый и невыпуклый десятиугольник:

Десятиугольник – это многоугольник с десятью углами.

Десятиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно десяти.

Десятиугольник может быть выпуклым и невыпуклым.

Выпуклым многоугольником называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Невыпуклыми являются все остальные многоугольники.

Соответственно выпуклый десятиугольник – это десятиугольник, у которого все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Звёздчатый десятиугольник – десятиугольник, у которого все стороны и углы равны, а вершины совпадают с вершинами правильного десятиугольника многоугольника. Стороны звёздчатого десятиугольника могут пересекаться между собой.

Рис. 1. Выпуклый десятиугольник

Рис. 2. Невыпуклый десятиугольник

Сумма внутренних углов любого выпуклого десятиугольника равна 1440°.

Правильный десятиугольник (понятие и определение):

Правильный десятиугольник (декагон) – это правильный многоугольник с десятью сторонами.

В свою очередь правильный многоугольник – это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.

Правильный десятиугольник – это десятиугольник, у которого все стороны равны, а все внутренние углы равны 144°.

Рис. 3. Правильный десятиугольник

Правильный десятиугольник имеет 10 сторон, 10 углов и 10 вершин.

Углы правильного десятиугольника образуют десять равнобедренных треугольников.

Правильный десятиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки.

Построение правильного десятиугольника:

1. Постройте сначала правильный пятиугольник.
2. Соедините все его (правильного пятиугольника) вершины с центром описанной окружности прямыми до пересечения с этой же окружностью на противоположной стороне. В этих точках пересечения и находятся остальные пять вершин десятиугольника.
3. Соедините по порядку вершины правильного пятиугольника и пять точек, найденные шагом ранее. Искомый десятиугольник построен.

Свойства правильного десятиугольника:

1. Все стороны правильного десятиугольника равны между собой.

a₁ = a₂ = a₃ = a₄= a₅ = a₆ = a₇  = a₈ = a₉ = a₁₀

1. Все углы равны между собой и составляют 144°.

α₁ = α₂ = α₃ = α₄ = α₅ = α₆ = α₇ = α₈ = α₉ = α₁₀ = 144°

Рис. 4. Правильный десятиугольник

1. Сумма внутренних углов любого правильного десятиугольника равна 1440°.
2. Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного десятиугольника O.

 

Рис. 5. Правильный десятиугольник 

1. Количество диагоналей правильного десятиугольника равно 35.

Рис. 6. Правильный десятиугольник

(из каждой вершины правильного десятиугольника выходит 7 диагоналей)

1. Центр вписанной окружности O₁ совпадает с центром описанной окружности O₂, что и образуют центр многоугольника O.

Рис. 7. Правильный десятиугольник

Формулы правильного десятиугольника:

Пусть a – сторона десятиугольника, r – радиус окружности, вписанной в десятиугольник, R – радиус описанной окружности десятиугольника, P – периметр десятиугольника, S – площадь десятиугольника.

Формулы стороны правильного десятиугольника:

Формулы периметра правильного десятиугольника:

Формулы площади правильного десятиугольника:

Формулы радиуса окружности, вписанной в правильный десятиугольник:

Формулы радиуса окружности, описанной вокруг правильного десятиугольника:

Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com

Коэффициент востребованности
89