Как найти время колебания математического маятника - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Нахождение периода колебаний математического маятника

Для школьников.

Любое тело подвешенное так, что его центр масс находится ниже точки подвеса, называют физическим маятником.

Маятник находится в состоянии устойчивого равновесия, если его центр масс расположен на вертикали под точкой подвеса.

Если маятник вывести из состояния равновесия, отклонив его на некоторый угол и предоставив самому себе, то он начнёт колебаться около положения равновесия.

Чтобы описать колебание маятника, надо знать уравнение его движения, то есть зависимость координаты от времени, и период его колебаний.

Но найти период колебаний физического маятника сложно, так как он зависит от многих причин – от формы и размера маятника, от распределения массы тела, расстояния от точки подвеса до центра масс тела.

Много проще описать поведение математического маятника. Для этого физический маятник заменяют математическим маятником такой длины, чтобы частоты колебаний этих маятников были одинаковы.

Длина математического маятника, частота колебаний которого равна частоте колебаний данного физического маятника, называется приведённой длиной физического маятника.

Под математическим маятником понимается тело малого размера, подвешенного на длинной нерастяжимой нити. Нить считаем невесомой, а тело можно принять за материальную точку.

Наблюдения за колебаниями маятников, подобных математическому, позволили установить следующие законы:

1) Период колебаний математического маятника не зависит от массы тела;

2) Период колебаний математического маятника не зависит от амплитуды колебаний (при малых амплитудах).

Впервые второй закон был установлен Галилеем в 1655 году, при наблюдении им в соборе качания паникадила на длинной цепи, которое толкнули при зажигании. Его колебания постепенно затухали, но период колебаний оставался прежним. Для измерения периода колебаний Галилей пользовался своим пульсом.

Посмотрим теперь, как получили формулу, по которой можно найти период колебаний математического маятника.

На рис а) показан математический маятник, отклонённый от положения равновесия (от точки А) на малый угол (в точку В).

Буквой Р обозначена сила тяжести груза, а буквой Р (с индексом 1) обозначена переменная возвращающая сила, действующая на груз.

Так как возвращающая сила меняется в процессе колебания, то рассчитать движение колеблющегося тела сложно.

Для упрощения расчётов заставляют маятник колебаться не в одной плоскости, как показано на рис.а), а описывать конус (рис. б), чтобы грузик двигался по окружности.

Движение маятника по конусу может рассматриваться как сложение двух независимых колебаний (в плоскости рисунка и в перпендикулярной рисунку плоскости).

Период этих колебаний одинаков. Тогда период обращения маятника можно выразить через отношение длины окружности к скорости движения

При малом угле отклонения маятника (малой амплитуде) можно считать, что возвращающая сила направлена к центру окружности (является центростремительной, равной произведению массы тела на центростремительное или нормальное ускорение), то есть

С другой стороны, из подобия треугольников ОВС и ДВЕ можно записать, что

Приравняв правые части последних выражений, получим уравнение для скорости обращения груза

Подставив скорость в выражение периода, получим искомую формулу для нахождения периода гармонических колебаний математического маятника

Таким образом, период колебаний математического маятника зависит только от ускорения свободного падения и от длины маятника (расстояния от точки подвеса до центра масс груза), и не зависит от его массы и амплитуды (при малых значениях амплитуд), то есть теоретические расчёты подтверждают установленные путём наблюдений первый и второй законы, записанные выше.

К тому же полученная формула

позволила установить количественную зависимость между периодом колебаний маятника, его длиной и ускорением свободного падения g

На практике эту формулу можно использовать для точного нахождения ускорения свободного падения g в разных точках земной поверхности, где g имеет разные значения из-за неравномерной плотности земной коры.

Задачи.

Зададим себе вопросы:

Вопрос: Изменится ли период колебания качелей, если на доску положить груз?

Ответ: Качели могут рассматриваться как математический маятник, а период колебаний математического маятника не зависит от его массы. Значит, если во время колебаний качели на её доску положить груз, то период колебаний качели не изменится.

Вопрос: Как объяснить раскачивание изображённых на рисунке качелей?

Ответ: Качели раскачиваются, так как человек периодически приседает и выпрямляет ноги, изменяя этим центр масс качелей (колебательной системы). Период колебаний качелей меняется и поддерживается за счёт совершённой людьми на качелях работы.

Выше говорилось о колебаниях математического маятника в инерциальной системе отсчёта.

Если маятник колеблется в неинерциальной системе отсчёта, то

Задача.

Итак, мы рассмотрели, как было получено выражение для периода колебаний математического маятника в инерциальных системах отсчёта. В неинерциальных системах отсчёта для расчёта периода колебаний математического маятника кроме ускорения свободного падения надо учитывать ещё ускорение, входящее в выражение силы инерции.

К.В. Рулёва, к. ф.-м. н., доцент. Подписывайтесь на канал. Ставьте лайки. Пишите комментарии. Спасибо.

Предыдущая запись: Решение задач на тему: “Гармонические колебания”.

Следующая запись: Упругие колебания. Крутильные колебания.

Ссылки на занятия до электростатики даны в Занятии 1 .

Ссылки на занятия (статьи), начиная с электростатики, даны в конце Занятия 45 .

Ссылки на занятия (статьи), начиная с теплового действия тока, даны в конце Занятия 58.

Ссылки на занятия, начиная с переменного тока, даны в конце Занятия 70

Источник

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 9 февраля 2023 года; проверки требует 1 правка.

Математический маятник. Чёрный пунктир — положение равновесия, theta — угол отклонения от вертикали в некоторый момент

Математи́ческий ма́ятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки на конце невесомой нерастяжимой нити или лёгкого стержня и находящуюся в однородном поле сил тяготения^[1]. Другой конец нити (стержня) обычно неподвижен. Период малых собственных колебаний маятника длины L, подвешенного в поле тяжести, равен

${displaystyle T_{0}=2pi {sqrt {L over g}}}$

и не зависит, в первом приближении, от амплитуды колебаний и массы маятника. Здесь g — ускорение свободного падения.

Математический маятник служит простейшей моделью физического тела, совершающего колебания: она не учитывает распределение массы. Однако реальный физический маятник при малых амплитудах колеблется так же, как математический с приведённой длиной.

Характер движения маятника[править | править код]

Математический маятник со стержнем способен колебаться только в какой-то одной плоскости (вдоль какого-то выделенного горизонтального направления) и, следовательно, является системой с одной степенью свободы. Если же стержень заменить на нерастяжимую нить, получится система с двумя степенями свободы (так как становятся возможными колебания по двум горизонтальным координатам).

При колебаниях в одной плоскости маятник движется по дуге окружности радиуса , а при наличии двух степеней свободы может описывать кривые на сфере того же радиуса^[1]. Нередко, в том числе в случае нити, ограничиваются анализом плоского движения; оно и рассматривается далее.

Уравнение колебаний маятника[править | править код]

Маятник (схема с обозначениями)

Если в записи второго закона Ньютона для математического маятника выделить тангенциальную составляющую ( ${displaystyle ma_{tau }=F_{tau })}$ , получится выражение

{displaystyle mL{ddot {theta }}=-mgsin theta }

так как ${displaystyle a_{tau }={dot {v}}=d/dt(Ldtheta /dt)}$ , а из действующих на точку сил тяжести и натяжения ненулевую компоненту ${displaystyle F_{tau }}$ даёт только первая. Следовательно, колебания маятника описываются обыкновенным дифференциальным уравнением (ДУ) вида

${displaystyle {ddot {theta }}+{frac {g}{L}}sin theta =0}$

где неизвестная функция ― это угол отклонения маятника в момент от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах, ― длина подвеса, ― ускорение свободного падения. Предполагается, что потерь энергии в системе нет. В области малых углов это уравнение превращается в

${displaystyle {ddot {theta }}+{frac {g}{L}}theta =0}$

Для решения ДУ второго порядка, то есть для определения закона движения маятника, необходимо задать два начальных условия — угол theta и его производную при t=0 .

Решения уравнения движения[править | править код]

Возможные типы решений[править | править код]

В общем случае решение ДУ с начальными условиями для маятника может быть получено численно. Варианты движения (в случае, если маятник — это материальная точка на лёгком стержне), качественно, представлены на анимации. В каждом окне вверху показана зависимость угловой скорости от угла theta . По мере нарастания размаха поведение маятника всё сильнее отклоняется от режима гармонических колебаний.

Маятник висит
Малые колебания (размах 45°)
Колебания с размахом 90°
Колебания с размахом 135°
Колебания с размахом 170°
Фиксация в верхнем положении
Движение близкое к сепаратрисе
Вращение маятника

Гармонические колебания[править | править код]

Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия, когда уместна замена , называется гармоническим уравнением:

${displaystyle {ddot {theta }}+omega _{0}^{2}theta =0}$

где ${displaystyle omega _{0}={sqrt {g/L}}}$ ― положительная константа, определяемая только из параметров маятника и имеющая смысл собственной частоты колебаний. Кроме того, может быть осуществлён переход к переменной «горизонтальная координата» (ось лежит в плоскости качания и ортогональна нити в нижней точке):

${displaystyle {ddot {x}}+omega _{0}^{2}x=0}$

Малые колебания маятника являются гармоническими. Это означает, что смещение маятника от положения равновесия изменяется во времени по синусоидальному закону^[2]:

${displaystyle x=Asin(omega _{0}t+alpha )}$

где — амплитуда колебаний маятника, alpha — начальная фаза колебаний.

Если пользоваться переменной , то при t=0 необходимо задать координату $x_{0}$ и скорость ${displaystyle v_{x0}}$ , что позволит найти две независимые константы , alpha из соотношений ${displaystyle x_{0}=Asin alpha }$ и ${displaystyle v_{x0}=Aomega _{0}cos alpha }$ .

Случай нелинейных колебаний[править | править код]

Для маятника, совершающего колебания с большой амплитудой, закон движения более сложен:

${displaystyle sin {frac {theta }{2}}=varkappa cdot operatorname {sn} (omega _{0}t;varkappa ),}$

где — это синус Якоби. Для он является периодической функцией, при малых совпадает с обычным тригонометрическим синусом.

Параметр определяется выражением

${displaystyle varkappa ={frac {varepsilon +omega _{0}^{2}}{2omega _{0}^{2}}},quad varepsilon ={frac {E}{mL^{2}}}}$

Период колебаний нелинейного маятника составляет

${displaystyle T={frac {2pi }{Omega }},quad Omega ={frac {pi }{2}}{frac {omega _{0}}{K(varkappa )}}}$

где K — эллиптический интеграл первого рода.

Для вычислений практически удобно разлагать эллиптический интеграл в ряд:

${displaystyle T=T_{0}left{1+left({frac {1}{2}}right)^{2}sin ^{2}left({frac {theta _{0}}{2}}right)+left({frac {1cdot 3}{2cdot 4}}right)^{2}sin ^{4}left({frac {theta _{0}}{2}}right)+dots +left[{frac {left(2n-1right)!!}{left(2nright)!!}}right]^{2}sin ^{2n}left({frac {theta _{0}}{2}}right)+dots right}}$

где $T_{0}=2pi {sqrt {frac {L}{g}}}$ — период малых колебаний, $theta _{0}$ — максимальный угол отклонения маятника от вертикали.

При углах до 1 радиана (≈ 60°) с приемлемой точностью (ошибка менее 1 %) можно ограничиться первым приближением:

${displaystyle T=T_{0}left(1+{frac {1}{4}}sin ^{2}left({frac {theta _{0}}{2}}right)right)}$

Точная формула периода, с квадратичной сходимостью для любого угла максимального отклонения, обсуждается на страницах сентябрьского выпуска журнала «Заметки американского математического общества» 2012 года^[3]:

${displaystyle T={frac {2pi }{M{big (}cos(theta _{0}/2){big )}}}{sqrt {frac {L}{g}}}}$

где — арифметико-геометрическое среднее чисел 1 и .

Движение по сепаратрисе[править | править код]

Движение маятника по сепаратрисе является непериодическим. В бесконечно далёкий момент времени он начинает падать из крайнего верхнего положения в какую-то сторону с нулевой скоростью, постепенно набирает её, а затем останавливается, возвратившись в исходное положение.

Факты[править | править код]

Несмотря на свою простоту, математический маятник связан с рядом интересных явлений.

Если амплитуда колебания маятника близка к , то есть движение маятника на фазовой плоскости близко к сепаратрисе, то под действием малой периодической вынуждающей силы система демонстрирует хаотическое поведение. Это одна из простейших механических систем, в которой хаос возникает под действием периодического возмущения^[4].
Если точка подвеса не неподвижна, а совершает колебания, то у маятника может появиться новое положение равновесия. Если точка подвеса достаточно быстро колеблется вверх-вниз, то маятник приобретает устойчивое положение «вверх тормашками». Такая система называется маятником Капицы.
В условиях вращения Земли при достаточно длинной нити подвеса плоскость, в которой маятник совершает колебания, будет медленно поворачиваться относительно земной поверхности в сторону, противоположную направлению вращения Земли (маятник Фуко).

См. также[править | править код]

Физический маятник
Маятник Фуко
Маятник Дубошинского

Примечания[править | править код]

↑ ¹ ² Главный редактор А. М. Прохоров. Маятник // Физический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. — 1983. — Статья в Физическом энциклопедическом словаре
↑ Скорость и ускорение маятника при гармонических колебаниях также изменяются во времени по синусоидальному закону.
↑ Adlaj S. An Eloquent Formula for the Perimeter of an Ellipse (англ.) // Notices of the AMS. — 2012. — Vol. 59, no. 8. — P. 1096—1097. — ISSN 1088-9477.
↑ В. В. Вечеславов. Хаотический слой маятника при низких и средних частотах возмущений // Журнал технической физики. — 2004. — Т. 74, № 5. — С. 1—5. Архивировано 14 февраля 2017 года.

Ссылки[править | править код]

Коллекция Java-апплетов, моделирующая поведение математических маятников, в частности маятника Капицы.
Java-апплет, моделирующий колебание математического маятника при наличии вязкого трения с черчением фазовой траектории.
Учебный фильм «Математический и физический маятник», производство СССР

Источник

Формулы математического маятника в физике

Формулы математического маятника

Определение и формулы математического маятника

Определение

Математический маятник – это колебательная система, являющаяся частным случаем физического маятника, вся масса которого
сосредоточена в одной точке, центре масс маятника.

Обычно математический маятник представляют как шарик, подвешенный на длинной невесомой и нерастяжимой нити. Это идеализированная система, совершающая гармонические колебания под действием силы тяжести. Хорошим приближением к математическому маятнику массивный маленький шарик, осуществляющий колебания на тонкой длинной нити.

Галилей первым изучал свойства математического маятника, рассматривая качание паникадила на длинной цепи. Он получил, что период колебаний математического маятника не зависит от амплитуды. Если при запуске мятника отклонять его на разные малые углы, то его колебания будут происходить с одним периодом, но разными амплитудами. Это свойство получило название изохронизма.

Уравнение движения математического маятника

Математический маятник – классический пример гармонического осциллятора. Он совершает гармонические колебания, которые описываются дифференциальным уравнением:

[ddot{varphi }+{omega }^2_0varphi =0 left(1right),]

где $varphi $ – угол отклонения нити (подвеса) от положения равновесия.

Решением уравнения (1) является функция $varphi (t):$

[varphi (t)={varphi }_0{cos left({omega }_0t+alpha right)left(2right), }]

где $alpha $ – начальная фаза колебаний; ${varphi }_0$ – амплитуда колебаний; ${omega }_0$ – циклическая частота.

Колебания гармонического осциллятора – это важный пример периодического движения. Осциллятор служит моделью во многих задачах классической и квантовой механики.

Циклическая частота и период колебаний математического маятника

Циклическая частота математического маятника зависит только от длины его подвеса:

[ {omega }_0=sqrt{frac{g}{l}}left(3right).]

Период колебаний математического маятника ($T$) в этом случае равен:

[T=frac{2pi }{{omega }_0}=2pi sqrt{frac{l}{g}}left(4right).]

Выражение (4) показывает, что период математического маятника зависит только от длины его подвеса (расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза) и ускорения свободного падения.

Уравнение энергии для математического маятника

При рассмотрении колебаний механических систем с одной степенью свободы часто берут в качестве исходного не уравнения движения Ньютона, а уравнение энергии. Так как его проще составлять, и оно является уравнением первого порядка по времени. Предположим, что трение в системе отсутствует. Закон сохранения энергии для совершающего свободные колебания математического маятника (колебания малые) запишем как:

[E=E_k+E_p=frac{mv^2}{2}+mgh=frac{mv^2}{2}+frac{mgx^2}{2l}=constleft(5right),]

где $E_k$ – кинетическая энергия маятника; $E_p$ – потенциальная энергия маятника; $v$ – скорость движения маятника; $x$ – линейное смещение груза маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса $l$, при этом угол – смещение связан с $x$ как:

[varphi =frac{x}{l}left(6right).]

Максимальное значение потенциальной энергии математического маятника равно:

[E_{pmax}=mgh_m=frac{mg{x^2}_m}{2l}left(7right);;]

Максимальная величина кинетической энергии:

[E_{kmax}=frac{mv^2_m}{2}=frac{m{omega }^2_0{x^2}_m}{2l}=E_{pmax}left(8right),]

где $h_m$ – максимальная высота подъема маятника; $x_m$- максимальное отклонение маятника от положения равновесия; $v_m={omega }_0x_m$ – максимальная скорость.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Какова максимальная высота подъема шарика математического маятника, если его скорость движения при прохождении положения равновесия составляла $v$?

Решение. Сделаем рисунок.

Пусть ноль потенциальной энергии шарика в его положении равновесия (точка 0).В этой точке скорость шарика максимальна и равна по условию задачи $v$. В точке максимального подъема шарика над положением равновесия (точка A), скорость шарика равна нулю, потенциальная энергия максимальна. Запишем закон сохранения энергии для рассмотренных двух положений шарика:

[frac{mv^2}{2}=mgh left(1.1right).]

Из уравнения (1.1) найдем искомую высоту:

[h=frac{v^2}{2g}.]

Ответ. $h=frac{v^2}{2g}$

Пример 2

Задание. Каково ускорение силы тяжести, если математический маятник имеющий длину $l=1 м$, совершает колебания с периодом равным $T=2 с$? Считайте колебания математического маятника малыми.textit{}

Решение. За основу решения задачи примем формулу для вычисления периода малых колебаний:

[T=2pi sqrt{frac{l}{g}}left(2.1right).]

Выразим из нее ускорение:

[g=frac{4{pi }^2l}{T^2} .]

Проведем вычисления ускорения силы тяжести:

[g=frac{4{pi }^2cdot 1}{2^2}={pi }^2approx 9,87 left(frac{м}{с^2}right).]

Ответ. $g=9,87 frac{м}{с^2}$

Читать дальше: формулы пружинного маятника.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Источник

Колебательное движение. Математический маятник

Механические колебания
Математический маятник
Параметры колебаний математического маятника
Задачи
Лабораторная работа №4. Исследование колебаний математического маятника

п.1. Механические колебания

Кроме прямолинейного и криволинейного движения, с которыми мы уже познакомились, существует еще один вид механического движения – колебательный.

Механические колебания – это движения тел, которые в той или иной степени повторяются через определенные промежутки времени.

Примеры колебательных движений:

движение маятника в часах;
колебание автомобиля на рессорах;
покачивание деревьев на ветру;
раскачивание качели;
сокращения сердца и легких;
движение крыльев насекомых и птиц.

п.2. Математический маятник

Математическим маятником называют тело, подвешенное на длинной нерастяжимой нити, размеры которого значительно меньше длины нити.
Нить считается нерастяжимой и невесомой, а тело – материальной точкой на этой нити.

В положении равновесия тело (шарик) находится внизу.
Отклонение от положения равновесия называют смещением тела, обозначают буквой x и измеряют в метрах (в СИ).
Наибольшее смещение маятника от положения равновесия называют амплитудой колебаний, обозначают буквой A.
В проекции на горизонтальную ось OX смещение изменяется в интервале (-Aleq xleq A).
В положении равновесия x=0.
Если маятник после смещения в положение 1, прошел положение равновесия 2, отклонился в положение 3, опять прошел положение 2, и вернулся в положение 1, говорят, что маятник совершил полное колебание.

п.3. Параметры колебаний математического маятника

Период колебаний математического маятника – это время, за которое маятник совершает одно полное колебание. Период колебаний равен: $$ T=2pisqrt{frac Lg} $$ где (L) – длина маятника, (g) – ускорение свободного падения.
На поверхности Земли (gapprox 9,8 м/с^2)

Частота колебаний математического маятника – это количество полных колебаний, которые маятник совершает за единицу времени: $$ f=frac 1T=frac{1}{2pi}sqrt{frac gL} $$

Период и частота колебаний – взаимно обратные величины
Период в СИ измеряют в секундах, частоту – в герцах: 1 Гц=1 c^-1
Формула для периода колебаний справедлива для небольших отклонений маятника (на угол порядка 15-20° от положения равновесия).

п.4. Задачи

Задача 1. Маятник совершил 3 полных колебания за 9 с. Найдите период и частоту его колебаний. Чему равна длина нити, на которой подвешен маятник (ответ дайте в см, с округлением до целых)?

Дано:
(N=3)
(t=9 c)
__________________
(T, f, L-?)
Период колебаний: (T=frac tN)
Частота колебаний: (f=frac 1T=frac Nt)
Длина нити: $$ T=2pisqrt{frac Lg}Rightarrow sqrt{frac Lg}=frac{T}{2pi}Rightarrow frac Lg=left(frac{T}{2pi}right)^2Rightarrow L=gleft(frac{T}{2pi}right)^2 $$ Подставляем: begin{gather*} T=frac 93=3 (c)\ f=frac 13 (Гц)\ L=9,8cdotleft(frac{3}{2pi}right)^2approx 2,234 (м)approx 223 (см) end{gather*} Ответ: 3 с; 1/3 Гц; 223 см

Задача 2. Математический маятник колеблется с частотой 20?тиы кГц. Найдите период колебаний и число колебаний в минуту.

Дано:
(f=20 кГц=2cdot 10^4 Гц)
(t=1 мин=60 с)
__________________
(T, N-?)
Период колебаний: (T=frac 1f)
Частота колебаний за время (t: N=ft)
Подставляем: begin{gather*} T=frac{1}{2cdot 10^4}=0,5cdot 10^{-4} (c)=50cdot 10^{-6} (c)=50 (мкс)\ N=2cdot 10^4cdot 60=1,2cdot 10^6 end{gather*} Ответ: 50 мкс; 1,2·10⁶

Задача 3. Расстояние от улья до цветочного поля 600 м. Пчела летит за нектаром со скоростью 8 м/с и машет крылышками с частотой 440 Гц. Возвращаясь в улей с нектаром, пчела летит со скоростью 5 м/с и машет крылышками с частотой 320 Гц. Найдите разность в количестве взмахов крылышками на пути туда и обратно.

Дано:
(s=600 м )
(v_1=8 м/с)
(f_1=440 Гц)
(v_2=5 м/с)
(f_2=320 Гц)
__________________
(triangle N-?)

Время полета из улья за нектаром (t_1=frac{s}{v_1})
Количество взмахов крылышками (N_1=f_1 t_1=f_1frac{s}{v_1})
Аналогично количество взмахов на пути назад (N_2=f_2frac{s}{v_2})
Найдем каждое из (N): begin{gather*} N_1=440cdotfrac{600}{8}=33000\ N_2=320cdotfrac{600}{5}=38400 end{gather*} На пути обратно пчела с грузом делает больше взмахов. Искомая разность: $$ triangle N=N_2-N_1=38400-33000=5400 $$ Ответ: 5400

Задача 4. Определите длину математического маятника с периодом колебаний 1с, если он находится: а) на Луне ((g_л=1,6 м/с^2)); б) на Марсе ((g_м=3,6 м/с^2)). Ответ запишите в см, с точностью до десятых.

Дано:
(T=1 с )
(g_л=1,6 м/с^2 )
(g_м=3,6 м/с^2)
__________________
(L_л, L_м-?)

Длина нити: begin{gather*} T=2pisqrt{frac Lg}Rightarrowsqrt{frac Lg} =frac{T}{2pi}Rightarrowfrac Lg=left( frac{T}{2pi}right)^2Rightarrow L = gleft(frac{T}{2pi}right)^2 end{gather*} На Луне: $$ L_л=1,6cdotleft(frac{1}{2pi}right)^2approx 0,0405 (м)approx 4,1 (см) $$ На Марсе: $$ L_м=3,6cdotleft(frac{1}{2pi}right)^2approx 0,0912 (м)approx 9,1 (см) $$ Ответ: 4,1 см; 9,1 см

п.5. Лабораторная работа №4. Исследование колебаний математического маятника

Цель работы
Исследовать, от каких величин зависит период колебаний математического маятника.

Теоретические сведения
При малых отклонениях (порядка 15-20° от вертикали) период колебаний математического маятника определяется формулой: $$ T=2pisqrt{frac Lg} $$ где (L) – длина маятника, (g) – ускорение свободного падения.
Для работы принять (gapprox 9,80665 м/с^2).
При заданном периоде колебаний для длины маятника получаем: $$ L=gleft(frac{T}{2pi}right)^2 $$

Приборы и материалы
Два лабораторных грузика по 100 г, крепкая нить (1,5-2 м), линейка (30-50 см), штатив, секундомер.

Ход работы
1. Рассчитайте длину нитей, необходимых для создания маятников с периодами колебаний (T_1=1 с; T_2=2 с).
2. Закрепите один грузик на нити и подвесьте его на штативе так, чтобы длина подвеса была равна расчетной длине (L_1).
3. Отклоните грузик на небольшой угол, отпустите его и с помощью секундомера измерьте время, за которое маятник совершит 10 полных колебаний. Повторите опыт 5 раз. Проведите расчеты для определения периода колебаний (T_{1 эксп}) по методике, изложенной в лабораторной работе №2 (см. §4 данного справочника).
4. Теперь подвесьте грузик так, чтобы длина подвеса была равна расчетной длине (L_2). Повторите серию из 5 экспериментов и определите (T_{2 эксп}).
5. При длине подвеса (L_2) подвесьте к первому грузику второй. Повторите серию из 5 экспериментов и определите (T ‘). Сравните (T ‘) и (T_{2 эксп}).
6. Сделайте выводы о проделанной работе.

Результаты измерений и вычислений

Расчет длины нитей begin{gather*} L=gleft(frac{T}{2pi}right)^2\ T_1=1 c, L_1=9,80665cdotleft(frac{1}{2pi}right)^2approx 0,248 (м)=24,8 (см)\ T_2=2 c, L_1=9,80665cdotleft(frac{2}{2pi}right)^2approx 0,9994 (м)=99,4 (см) end{gather*}

Определение (T_{1 эксп})
Инструментальная погрешность секундомера (d=frac{triangle}{2}=0,1 c)
Время 10 колебаний

№ опыта	1	2	3	4	5	Сумма
(t, c)	9,7	10,2	9,8	9,9	10,3	50
(triangle c)	0,3	0,2	0,2	0,1	0,3	1

begin{gather*} t_{cp}=frac{50}{5}=10\ triangle_{cp}=frac 15=0,2 end{gather*} Среднее абсолютное отклонение больше инструментальной погрешности, поэтому абсолютная погрешность измерений: $$ triangle t=maxleft{d;triangle_{cp}right}=maxleft{0,1;0,2right}=0,2 text{c} $$ Результат измерения времени 10 колебаний: begin{gather*} t=t_0pmtriangle t, t=(10,0pm 0,2) c end{gather*} Период колебаний в 10 раз меньше: $$ T_{1 эксп}=frac{1}{10}(t_0pmtriangle t), T_{1 эксп}=(1,00pm 0,02) c $$ Относительная погрешность измерений: $$ delta_T=frac{triangle T}{T_{1 эксп}}cdot 100text{%}=frac{0,02}{1}cdot 100text{%}=2,0text{%} $$

Определение (T_{2 эксп})
Время 10 колебаний

№ опыта	1	2	3	4	5	Сумма
(t, c)	19,7	20,1	19,8	20,2	19,7	99,5
(triangle c)	0,2	0,2	0,1	0,3	0,2	1

begin{gather*} t_{cp}=frac{99,5}{5}=19,9\ triangle_{cp}=frac 15=0,2 end{gather*} Среднее абсолютное отклонение больше инструментальной погрешности, поэтому абсолютная погрешность измерений: $$ triangle t=maxleft{d;triangle_{cp}right}=maxleft{0,1;0,2right}=0,2 text{c} $$ Результат измерения времени 10 колебаний: begin{gather*} t=t_0pmtriangle t, t=(19,9pm 0,2) c end{gather*} Период колебаний в 10 раз меньше: $$ T_{2 эксп}=frac{1}{10}(t_0pmtriangle t), T_{2 эксп}=(1,99pm 0,02) c $$ Относительная погрешность измерений: $$ delta_T=frac{triangle T}{T_{2 эксп}}cdot 100text{%}=frac{0,02}{1,99}cdot 100text{%}approx 1,0text{%} $$

Определение (T ‘) (с двумя грузиками)
Время 10 колебаний

№ опыта	1	2	3	4	5	Сумма
(t, c)	20,2	19,7	19,6	20,0	20,3	99,8
(triangle c)	0,24	0,26	0,36	0,04	0,34	1,24

begin{gather*} t_{cp}=frac{99,8}{5}=19,96\ triangle_{cp}=frac{1,24}{5}approx 0,25 end{gather*} Среднее абсолютное отклонение больше инструментальной погрешности, поэтому абсолютная погрешность измерений: $$ triangle t=maxleft{d;triangle_{cp}right}=maxleft{0,1;0,25right}=0,25 text{c} $$ Результат измерения времени 10 колебаний: begin{gather*} t=t_0pmtriangle t, t=(19,96pm 0,25) c end{gather*} Период колебаний в 10 раз меньше: $$ T’=frac{1}{10}(t_0pmtriangle t), T’=(1,996pm 0,025) c $$ Относительная погрешность измерений: $$ delta_T=frac{triangle T}{T’}cdot 100text{%}=frac{0,025}{1,996}cdot 100text{%}approx 1,3text{%} $$

Полученные на опыте интервалы для (T_{2 эксп}) и (T’) (одинаковая длина нити (L_2) и разные массы грузиков – 100 г и 200 г соответственно): begin{gather*} 1,97leq T_{2 эксп}leq 2,01\ 1,971leq T’leq 2,021 end{gather*} Таким образом, (T_{2 эксп}approx T’), т.е. период колебаний математического маятника не зависит от массы груза.

Выводы
На основании проделанной работы можно сделать следующие выводы.

В работе с помощью расчетной формулы были определены длины нитей подвеса для маятников с периодами колебаний (T_1=1 с; T_2=2 с).
Полученный на опыте период колебаний для подвеса с (L_1=24,8 см) с грузиком 100 г равен $$ T_{1 эксп}=(1,00pm 0,02) c, delta=2,0text{%} $$ Полученный на опыте период колебаний для подвеса с (L_2=99,4 см) с грузиком 100 г равен $$ T_{2 эксп}=(1,99pm 0,02) c, delta=1,0text{%} $$ Полученный на опыте период колебаний для подвеса с (L_2=99,4 см) с грузиком 200 г равен $$ T’=(1,996pm 0,025) c, delta=1,3text{%} $$ Формула (T=2pisqrt{frac Lg}) данными экспериментами подтверждена.
Период колебаний математического маятника зависит от длины подвеса и не зависит от массы грузика на подвесе.

Источник

Колебания математического маятника.
Математический маятник – материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити (физическая модель).
Будем рассматривать движение маятника при условии, что угол отклонения мал, тогда, если измерять угол в радианах, справедливо утверждение: .
На тело действуют сила тяжести и сила натяжения нити. Равнодействующая этих сил имеет две составляющие: тангенциальную, меняющую ускорение по величине, и нормальную, меняющую ускорение по направлению (центростремительное ускорение, тело движется по дуге).
Т.к. угол мал, то тангенциальная составляющая равна проекции силы тяжести на касательную к траектории: . Угол в радианах равен отношению длины дуги к радиусу (длине нити), а длина дуги приблизительно равна смещению (x ≈ s): .
Сравним полученное уравнение с уравнением колебательного движения . Видно, что или – циклическая частота при колебаниях математического маятника.
Период колебаний или (формула Галилея).	Формула Галилея
*Важнейший вывод: период колебаний математического маятника не зависит от массы тела!*
Аналогичные вычисления можно проделать с помощью закона сохранения энергии. Учтем, что потенциальная энергия тела в поле тяготения равна , а полная механическая энергия равна максимальной потенциальной или кинетической:
Запишем закон сохранения энергии и возьмем производную от левой и правой частей уравнения: . Т.к. производная от постоянной величины равна нулю, то . Производная суммы равна сумме производных: и .
Следовательно: , а значит .