Как найти время подъема в баллистике - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, — движение тела в двумерной системе координат (по двум осям) при изначальном направлении начальной скорости под углом к горизонту. Данное движение является сложным видом механического движения с криволинейной траекторией. Такие типы движений принято рассматривать в проекции на оси выбранной системы координат. В нашем конкретном случае возьмём декартову систему координат и запустим тело под углом displaystyle alpha к оси ОХ (рис. 1).

Рис. 1. Тело бросили под углом к горизонту

Классическая постановка задач на подобную тематику: тело бросили под углом $displaystyle {{upsilon }_{0}}$ к горизонту с начальной скоростью $displaystyle {{upsilon }_{0}}$ , найти различные параметры движения.

Первое, что мы сделаем, это попробуем данное сложное движение представить как сумму простых (рис. 2).

Рис. 2. Тело бросили под углом к горизонту (максимальная высота подъёма, путь по горизонтали, движение)

Рассмотрим само движение. После броска траектория движущегося тела представляет собой параболу (докажем позже). Выберем произвольную точку на параболе и укажем ускорение, с которым движется тело в данный момент (ускорение свободного падения). Направление данного ускорения — вертикально вниз. Проекции данного ускорения на ось ОХ ( $displaystyle {{c}^{2}}$ (м/ $displaystyle {{g}_{y}}=-10$ ), а на ось OY ( $displaystyle {{c}^{2}}$ (м/ $displaystyle {{c}^{2}}$ ).

Тогда, вдоль оси ОХ, тело движется равномерно (т.к. ускорение вдоль этой оси равно 0). Более сложным является движение тела вдоль оси OY: между точками A и B тело движется замедляясь, при этом движение равнозамедленное. Между точками B и C движение равноускоренное (рис.2, подписи). Исходя из установленного вида движения, можем решать задачу.

Рис. 3. Тело бросили под углом к горизонту (проекции скоростей)

Для рассмотрения движения тела вдоль осей, введём начальные скорости движения тела вдоль выбранных нами осей (рис. 3). На рисунке представлена часть траектории в самом начале движения. Начальные скорости движения вдоль осей обозначим $displaystyle {{upsilon }_{0y}}$ и $displaystyle left| {{{vec{upsilon }}}_{0}} right|$ . Исходя из треугольника, катетами которого являются наши проекции (можно построить параллельным переносом), а гипотенузой — модуль вектора начальной скорости ( $displaystyle left| {{{vec{upsilon }}}_{0}} right|$ ), можем найти значения необходимых нам проекций:

$displaystyle {{upsilon }_{0x}}={{upsilon }_{0}}cos alpha$ (1)
$displaystyle {{upsilon }_{0y}}={{upsilon }_{0}}sin alpha$ (2)

Вернёмся к рисунку 2. Попробуем найти полное время полёта ( $displaystyle {{t}_{max }}$ ). Для этого воспользуемся тем, что вдоль оси OY тело движется равнозамедленно, а в точке B движение вдоль этой оси и вовсе останавливается. Таким образом, конечная скорость в этой точке вдоль оси OY равна 0. Тогда, исходя из движения:

$displaystyle 0={{upsilon }_{0y}}-gfrac{{{t}_{max }}}{2}$ (3)

$displaystyle frac{{{t}_{max }}}{2}$ — т.к. время движения от точки А до B, и от B до C одинаково. Тогда:

$displaystyle {{t}_{max }}=frac{2{{upsilon }_{0y}}}{g}$ (4)

И, учитывая (2):

$displaystyle {{t}_{max }}=frac{2{{upsilon }_{0}}sin alpha }{g}$ (5)

Перейдём к вопросу о максимальной дальности броска в горизонтальном направлении ( $displaystyle {{S}_{max }}$ ).

Вдоль горизонта тело движется равномерно (рис. 2). Тогда путь, проделанный телом за время $displaystyle {{t}_{max }}$ :

$displaystyle {{S}_{max }}={{upsilon }_{0x}}{{t}_{max }}$ (6)

А с учётом (1) и (5):

$displaystyle frac{2upsilon _{0}^{2}sin alpha cos alpha }{g}$ = $displaystyle frac{upsilon _{0}^{2}sin (2alpha )}{g}$ = $displaystyle frac{upsilon _{0}^{2}sin (2alpha )}{g}$ (7)

Перейдём к максимальной высоте полёта ( $displaystyle {{H}_{max }}$ ). Данный параметр связан с движением тела вдоль оси OY, которое, как мы выяснили, является равноускоренным/равнозамедленным. Рассмотрим участок BC: для него вдоль соответствующей оси тело без начальной скорости движется с ускорением ( $displaystyle frac{{{t}_{max }}}{2}$ ) в течение времени $displaystyle frac{{{t}_{max }}}{2}$ , формируем уравнение:

$displaystyle {{H}_{max }}=frac{g{{left( {}^{{{t}_{max }}}!!diagup!!{}_{2}; right)}^{2}}}{2}=frac{g{{left( {{t}_{max }} right)}^{2}}}{8}$ (8)

С учётом (5):

$displaystyle frac{upsilon _{0}^{2}{{sin }^{2}}alpha }{2g}$ = $displaystyle frac{upsilon _{0}^{2}{{sin }^{2}}alpha }{2g}$ (9)

Таким образом, ряд параметров движения при броске под углом к горизонту можно вычислить, зная лишь начальные параметры броска.

Рис. 4. Тело бросили под углом к горизонту (конечная скорость)

Далее попробуем найти конечную скорость движения (при таких движениях, конечная скорость — скорость при подлёте к Земле). Рассмотрим конечную точку движения С (рис. 4). Скорость тела направлена под неким углом displaystyle beta . Построим проекции данного вектора на оси OX и OY. На основании построенного треугольника реализуем теорему Пифагора для поиска модуля полной конечной скорости:

$displaystyle left| {vec{upsilon }} right|=sqrt{upsilon _{x}^{2}+upsilon _{y}^{2}}$ (10)

Найдём компоненты вектора displaystyle left| {vec{upsilon }} right| . Т.к. движение вдоль оси OX равномерное, значит, $displaystyle {{upsilon }_{x}}={{upsilon }_{0x}}$ , используя (1):

$displaystyle {{upsilon }_{x}}={{upsilon }_{0}}cos alpha$ (11)

Движение вдоль оси OY от точки B в точку C равноускоренное, причём, без начальной скорости за время $displaystyle frac{{{t}_{max }}}{2}$ , тогда:

$displaystyle {{upsilon }_{y}}=gfrac{{{t}_{max }}}{2}$ (12)

Используя (5), получим:

$displaystyle {{upsilon }_{y}}=gfrac{2{{upsilon }_{0}}sin alpha }{2g}={{upsilon }_{0}}sin alpha$ (13)

Подставим (12) и (13) в (10):

$displaystyle {{upsilon }_{0}}sqrt{{{(cos alpha )}^{2}}+{{(sin alpha )}^{2}}}$ = $displaystyle {{upsilon }_{0}}$ = $displaystyle {{upsilon }_{0}}$ (14)

Для избавления от тригонометрических функций мы воспользовались основным тригонометрическим тождеством. Таким образом, доказано, что конечная скорость такого движения равна начальной, кроме того, из треугольника видно, что тело подлетело к земле под углом displaystyle beta =alpha .

Вывод:

для движения тела, брошенного под углом к горизонту, выведены добавочные формулы: (5), (7), (9), которые могут существенно упростить решение задачи.
представлен один из общих способов нахождения скорости при криволинейном движении (через теорему Пифагора и поиск компонент вектора).

Источник

В статье подробно, начиная с основ и базовых определений, рассказано о движении тела брошенного под углом к горизонту. Здесь вы найдете формулы параметров движения: общее время, дальность полета, максимальная высота. Также в конце приложены примеры задач с решениями.

Определение. Баллистическое движение — это движение некоторого тела в поле тяжести Земли при условии, что тело имеет вертикальную и горизонтальную проекции скорости.

Вначале вспомним основные формулы для равноускоренного движения.

Изменение скорости с течением времени задаётся соотношением

vₓ = v₀ₓ + aₓt,

где vₓ — конечная проекция скорости, v₀ₓ — начальная проекция скорости, aₓ — проекция ускорения тела.

Изменение координаты x во времени можно найти, используя следующее соотношение:

x = x₀ + v₀ₓt + aₓt² / 2,

где x — конечная координата тела, x₀ — начальная координата, v₀ₓ — начальная проекция скорости тела вдоль оси OX, aₓ — проекция ускорения тела.

Рис. 1

Замечание 1. Перемещением тела за время t называется величина Sₓ = x – x₀.

Замечание 2. Так как эти выражения справедливы для проекций, то их можно записать и в векторном виде.

Баллистическое движение — это случай равноускоренного движения (с постоянным ускорением свободного падения g). Любое тело, брошенное под углом α к горизонту, имеет некоторую вертикальную и горизонтальную проекции скорости (рис. 1).

Далее движение необходимо разбить на два участка:

Горизонтальное
Вертикальное

По горизонтали тело движется с одинаковой скоростью (обычно пренебрегаем силами различного трения):

v₁ = v₀cos(α)

А по вертикали это обычное движение тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью:

v₂ = v₀sin(α)

Общее время движения

Разобьём траекторию на два участка. Первый — участок, на котором тело продолжает подниматься, а второй — участок, где тело спускается. Обозначим t₁ время подъёма тела (от нуля до максимальной высоты подъема), t₂ — время спуска тела.

Из уравнения движения:

v₀sin(α) – gt₁ = 0

(так как конечная проекция скорости в верхней точке траектории равна нулю),

t₁ = v₀sin(α) / g.

Найдём время спуска:

–gt₂ = –v₀sin(α),

(т. к. конечная скорость тела будет такая же, как и начальная),

t₂ = v₀sin(α) / g.

Общее время движения:

t = t₁ + t₂ = 2v₀sin(α) / g.

Замечание.Время спуска и время подъёма тела одинаковые. Это связано с тем, что движение симметрично.

Дальность полета

Так как по горизонтали (вдоль оси ОХ) движение тела равномерное, то, зная общее время движения, найдём дальность полета L:

L = tv₁ = (2v₀sin(α) / g) · v₀cos(α) = 2v₀²sin(α)cos(α) / g.

Замечание. Используя формулу из тригонометрии

2sin(α)cos(α) = sin(2α),

получим:

L = 2v₀²sin(2α) / g.

Следовательно, максимальная дальность полета тела будет при броске под углом 45° к горизонту (так как sin(90°) = 1).

Максимальная высота подъёма тела

Рассмотрим движение тела в проекции на ось OY:

H = v₀sin(α)t₁ – gt₁² / 2.

После подставления времени подъёма получим

H = v₀²sin²(α) / (2g).

Давайте теперь решим некоторые задачи.

Задачи

Задача 1. Пуля, летящая горизонтально со скоростью v = 500 м/с, пробивает первый листок бумаги. Найти, на каком расстоянии S находится второй листок бумаги, если известно, что его пуля пробила на h = 20 см ниже, чем первый.

Решение. Найдём, за какое время пуля прошла расстояние между листами. Нам известно, что за это же время она опустилась на высоту h = 20 см. Тогда:

h = gt² / 2,

t = √(2h/g).

Теперь, зная время движения пули между листами, найдём расстояние, которое прошла пуля за это время:

S = tv = v · √(2h/g) = 100 м.

Ответ: S = 100 м.

Задача 2. Школьник может бросить мяч в спортивном зале с максимальной скоростью v = 25 м/с. Пренебрегая силами сопротивления воздуха, найти максимальную дальность полета мяча в спортивном зале, если высота зала равна h = 4 м. Считать, что мяч не ударяется о потолок.

Решение. Пусть мальчик бросил мяч под некоторым углом α к горизонту. Тогда дальность полета мяча равна:

L = 2v₀²sin(α)cos(α) / g.

Как обсуждалось выше, тело имеет максимальную дальность полета, если его бросить под углом α = 45° к горизонту. Но в данной задаче возможно, что при таком угле мяч ударится о потолок. Проверим, какова максимальная высота подъёма мяча при условии, что угол равен α = 45°.

H = v₀²sin²(α) / (2g) = 16 м.

Следовательно, угол, под которым мальчик бросит мяч, будет значительно меньше. Найдём максимальный угол, при котором мяч не столкнется с потолком. Этот угол будет соответствовать предельному случаю, когда мяч побывает на высоте h = 4 м.

h = v₀²sin²(α) / (2g) => sin²(α) = 2gh / v₀².

Из основного тригонометрического тождества

sin²(α) + cos²(α) = 1

найдём cos²(α):

cos²(α) = 1 – 2gh / v₀².

Подставив все выражения в дальность полета L, получим:

L = 2√(2gh(v₀² – 2gh)) / g = 42 м.

Ответ: L = 42 м.

Замечание. Если в задаче не приведены числовые значения (задача в общем виде), то необходимо записать 2 ответа. Первый ответ при условии высокого потолка, при h > H —

L = 2v₀²sin(α)cos(α) / g, α = 45°.

И при h < H получаем ответ

L = 2√(2gh(v₀² – 2gh)) / g.

Список литературы

Черноуцан А. Учебно-справочное пособие для старшеклассников и абитуриентов. М., 2000.
Белолипецкий С. Н., Еркович О. С., Казаковцева В. А., Цвецинская Т. С. Задачник по физике. М., 2005.

Автор: Роман Федоренко

Источник

Когда тело бросают вверх под углом к горизонту, оно сначала равнозамедленно поднимается, а затем равноускорено падает. При этом оно перемещается относительно земли с постоянной скоростью.

Важные факты!График движения тела, брошенного под углом к горизонту:

α — угол, под которым было брошено тело

Вектор скорости тела, брошенного под углом к горизонту, направлен по касательной к траектории его движения.
Так как начальная скорость направлена не вдоль горизонтальной линии, обе ее проекции отличны от нуля. Проекция начальной скорости на ось ОХ равна v_0x = v₀cosα. Ее проекция на ось ОУ равна v_0y = v₀sinα.
Проекция мгновенной скорости на ось ОХ равна: v_x = v₀cosα. Ее проекция на ось ОУ равна нулю: v_y = v₀sinα – gt.
Проекция ускорения свободного падения на ось ОХ равна нулю: g_x = 0. Ее проекция на ось ОУ равна –g: g_y = –g.

Кинематические характеристики

Модуль мгновенной скорости в момент времени t можно вычислить по теореме Пифагора:

Минимальной скорости тело достигает в верхней точке траектории. Она выражается формулой:

v_min = v₀cosα = v_h

Максимальной скоростью тело обладает в момент начала движения и в момент падения на землю. Начальная и конечная скорости движения тела равны:

v_max = v_o = v

Время подъема — время, которое требуется телу, чтобы достигнуть верхней точки траектории. В этой точке проекция скорости на ось ОУ равна нулю: v_y = 0. Время подъема определяется следующей формулой:

Полное время — это время всего полета тела от момента бросания до момента приземления. Так как время падения равно времени подъема, формула для определения полного времени полета принимает вид:

Дальность полета — перемещение тела относительно ОХ. Обозначается буквой l. Так как относительно ОХ тело движется с постоянной скоростью, для вычисления дальности полета можно использовать формулу перемещения при равномерном прямолинейном движении:

l = s_x = v_0xt_полн = v₀cosα t_полн

Подставляя в выражение формулу полного времени полета, получаем:

Горизонтальное смещение тела — смещение тела вдоль оси ОХ. Вычислить горизонтальное смещение тела в любой момент времени t можно по формуле координаты x:

Учитывая, что x₀ = 0, и проекция ускорения свободного падения на ось ОХ тоже равна нулю, а проекция начальной скорости на эту ось равна v₀cosα, данная формула принимает вид:

x = v₀cosα t

Мгновенная высота — высота, на которой находится тело в выбранный момент времени t. Она вычисляется по формуле координаты y:

Учитывая, что начальная координата равна 0, проекция начальной скорости на ось ОУ равна v₀sinα, а проекция ускорения свободного падения на эту ось равна –g, эта формула принимает вид:

Наибольшая высота подъема — расстояние от земли до верхней точки траектории. Наибольшая высота подъема обозначается h и вычисляется по формуле:

Пример №1. Небольшой камень бросили с ровной горизонтальной поверхности под углом к горизонту. На какую максимальную высоту поднялся камень, если ровно через 1 с после броска его скорость была направлена горизонтально?

Скорость направляется горизонтально в верхней точке полета. Значит, время подъема равно 1 с. Из формулы времени подъема выразим произведение начальной скорости на синус угла, под которым было брошено тело:

v₀sinα = gt_под

Подставим полученное выражение в формулу для определения наибольшей высоты подъема и сделаем вычисления:

Тело, брошенное под углом к горизонту с некоторой высоты

Когда тело бросают под углом к горизонту с некоторой высоты, характер его движения остается прежним. Но приземлится оно дальше по сравнению со случаем, если бы тело бросали с ровной поверхности.

Важные факты!

График движения тела, брошенного под углом к горизонту с некоторой высоты:

Время падения тела больше времени его подъема: t_пад > t_под.

Полное время полета равно:

t_полн = t_пад + t_под

Уравнение координаты x:

x = v₀cosα t

Уравнение координаты y:

Пример №2. С балкона бросили мяч под углом 60 градусов к горизонту, придав ему начальную скорость 2 м/с. До приземления мяч летел 3 с. Определить дальность полета мяча.

Косинус 60 градусов равен 0,5. Подставляем известные данные в формулу:

x = v₀cosα t = 2 ∙ 0,5 ∙ 3 = 3 м.

Задание EF17562

С высоты Н над землёй начинает свободно падать стальной шарик, который через время t = 0,4 c сталкивается с плитой, наклонённой под углом 30° к горизонту. После абсолютно упругого удара он движется по траектории, верхняя точка которой находится на высоте h = 1,4 м над землёй. Чему равна высота H? Сделайте схематический рисунок, поясняющий решение.

Алгоритм решения

1.Записать исходные данные.

2.Построить на чертеже начальное и конечное положения тела. Выбрать систему координат.

3.Выбрать нулевой уровень для определения потенциальной энергии.

4.Записать закон сохранения энергии.

5.Решить задачу в общем виде.

6.Подставить числовые значения и произвести вычисления.

Решение

Запишем исходные данные:

• Время падения стального шарика: t = 0,4 c.

• Верхняя точка траектории после абсолютно упругого удара о плиту: h = 1,4 м.

• Угол наклона плиты: α = 30^о.

Построим чертеж и укажем на нем все необходимое:

Нулевой уровень — точка D.

Закон сохранения энергии:

E_k0 + E_p0 = E_k + E_p

Потенциальная энергия шарика в точке А равна:

E_pA = mgH

Кинетическая энергия шарика в точке А равна нулю, так как скорость в начале свободного падения нулевая.

В момент перед упругим ударом с плитой в точке В потенциальная энергия шарика минимальна. Она равна:

EpB=mgl1

Перед ударом кинетическая энергия шарика равна:

EkB=mv22

Согласно закону сохранения энергии:

EpA=EpB+EkB

mgH=mgl1+mv22

Отсюда высота H равна:

H=mgl1mg+mv22mg=l1+v22g

Относительно точки В шарик поднимется на высоту h – l₁. Но данный участок движения можно рассматривать как движение тела, брошенного под углом к горизонту. В таком случае высота полета определяется формулой:

h−l1=v2sin2β2g=v2sin2(90−2α)o2g

Отсюда:

l1=h−v2sin2(90−2α)o2g

Шарик падал в течение времени t, поэтому мы можем рассчитать высоту шарика над плитой и его скорость в точке В:

v=gt

Следовательно:

H=l1+v22g=h−(gt)2sin2(90−2α)o2g+(gt)22g

H=h−gt2sin2(90−2α)2+gt22=h−gt22(sin2(90−2α)o−1)

H=1,4−10·0,422(sin2(90−60)o−1)

H=1,4−5·0,16(sin230o−1)

H=1,4−0,8((12)2−1)=1,4−0,8(14−1)

H=1,4+0,6=2 (м)

Ответ: 20

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF17980

В момент t=0 мячик бросают с начальной скоростью v₀ под углом α к горизонту с балкона высотой h (см. рисунок).

Графики А и Б представляют собой зависимости физических величин, характеризующих движение мячика в процессе полёта, от времени t. Установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимости которых от времени эти графики могут представлять. (Сопротивлением воздуха пренебречь. Потенциальная энергия мячика отсчитывается от уровня y=0).

К каждой позиции графика подберите соответствующую позицию утверждения и запишите выбранные цифры в порядке АБ.

Алгоритм решения

Установить вид механического движения, исходя из условий задачи.
Записать формулы для физических величин, указанных в таблице, в соответствии с установленным видом механического движения.
Определить, как зависят эти величины от времени.
Установить соответствие между графиками и величинами.

Решение

Исходя из условия задачи, мячик движется неравномерно. Этот случай соответствует движению тела, брошенного под углом к горизонту.

Записываем формулы для физических величин из таблицы, учитывая, что речь идет о движении тела, брошенного под углом к горизонту.

Координата x меняется согласно уравнению координаты x:

Так как начальная координата нулевая, а проекция ускорения свободного падения тоже равна нулю, это уравнение принимает вид:

Проекция скорости мячика на ось ОХ равна произведению начальной скорости на время и косинус угла, под которым мячик был брошен. Поэтому уравнение координаты x принимает вид:

В этом уравнении начальная скорость и угол α — постоянные величины. Меняется только время. И оно может только расти. Поэтому и координата x может только расти. В этом случае ей может соответствовать график, представляющий собой прямую линии, не параллельную оси времени. Но графики А и Б не могут описывать изменение этой координаты.

Формула проекции скорости мячика на ось ОХ:

Начальная скорость и угол α — постоянные величины. И больше ни от чего проекция скорости на ось ОХ не зависит. Поэтому ее может охарактеризовать график в виде прямой линии, параллельной оси времени. Такой график у нас есть — это Б.

Кинетическая энергия мячика равна половине произведения массы мячика на квадрат его мгновенной скорости. По мере приближения к верхней точке полета скорость тела уменьшается, а затем растет. Поэтому кинетическая энергия также сначала уменьшается, а затем растет. Но на графике А величина наоборот — сначала увеличивается, потом уменьшается. Поэтому он не может быть графиком зависимости кинетической энергии мячика от времени.

Остается последний вариант — координата y. Уравнение этой координаты имеет вид:

Это квадратическая зависимость, поэтому графиком зависимости координаты y от времени может быть только парабола. Так как мячик сначала движется вверх, а потом — вниз, то и график должен сначала расти, а затем — убывать. График А полностью соответствует этому описанию.

Теперь записываем установленные соответствия в порядке АБ: 42.

Ответ: 42

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF18741

Мальчик бросил стальной шарик вверх под углом к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите, как меняются по мере приближения к Земле модуль ускорения шарика и горизонтальная составляющая его скорости?

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

увеличивается
уменьшается
не изменяется

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Алгоритм решения

Сделать чертеж, иллюстрирующий ситуацию.
Записать формулы, определяющие указанные в условии задачи величины.
Определить характер изменения физических величин, опираясь на сделанный чертеж и формулы.

Решение

Выполняем чертеж:

Модуль ускорения шарика |g| — величина постоянная, так как ускорение свободного падения не меняет ни направления, ни модуля. Поэтому модуль ускорения не меняется (выбор «3»).

Горизонтальная составляющая скорости шарика определяется формулой:

v_x = v₀ cosα

Угол, под которым было брошено тело, поменяться не может. Начальная скорость броска тоже. Больше ни от каких величин горизонтальная составляющая скорости не зависит. Поэтому проекция скорости на ось ОХ тоже не меняется (выбор «3»).

Ответом будет следующая последовательность цифр — 33.

Ответ: 33

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Алиса Никитина | Просмотров: 43.2k

Источник

1. Формулы максимальной высоты и времени за которое тело поднялось на максимальную высоту

h_max
– максимальная высота достигнутая телом за время t

V_к – конечная скорость тела на пике, равная нулю

V_н – начальная скорость тела

t – время подъема тела на максимальную высоту h

g ≈ 9,8 м/с² – ускорение свободного падения

Формула максимальной высоты (h_max):

Формула времени за которое тело достигло максимальную высоту (t):

2. Формулы скорости, высоты и времени тела брошенного вертикально вверх под воздействием силы тяжести

h – расстояние пройденное телом за время t

V_н – начальная скорость тела

V – скорость тела в момент времени t

t – время подъема за которое тело пролетело расстояние h

g ≈ 9,8 м/с² – ускорение свободного падения

Формула скорости тела в момент времени t (V):

Формула начальной скорости тела (V_н):

Формулы высоты тела в момент времени t (h):

Формулы времени, за которое тело достигло высоту h (t):

Подробности

Опубликовано: 04 августа 2015

Обновлено: 13 августа 2021

Источник

Что такое движение тела брошенного под углом к горизонту

Определение

Движением тела под углом к горизонту в физике называют сложное криволинейное перемещение, которое состоит из двух независимых движений, включая равномерное прямолинейное движение в горизонтальном направлении и свободное падение по вертикали.

В процессе подбрасывания объекта вверх под углом к горизонту вначале наблюдают его равнозамедленный подъем, а затем равноускоренное падение. Скорость перемещения тела, относительно поверхности земли, остается постоянной.

Направление

На графике изображено схематичное движение тела, которое подбросили под углом к горизонту. В этом случае α является углом, под которым объект начал свое перемещение. Характеристики такого процесса будут следующими:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Направление вектора скорости тела, которое подбросили под определенным углом к горизонту, будет совпадать с касательной к траектории его перемещения.
Начальная скорость отличается от направления горизонтальной линии, а обе ее проекции не равны нулю.
Проекция скорости в начале движения на ось ОХ составляет (V_{ox}=V_{0}cos alpha).
Проекция начальной скорости на ось ОУ равна (V_{oy}=V_{0}sin alpha).
Проекция мгновенной скорости на ось ОХ следующая: (V_{x}=V_{0}cos alpha).
Проекция мгновенной скорости на ось ОУ обладает нулевым значением и рассчитывается следующим образом: (V_{x}=V_{0}sin alpha-gt).
Ускорение свободного падения на ось ОХ обладает нулевой проекцией, или (g_{x}=0).
Проекция ускорения свободного падения на ось ОУ равна (–g), или (g_{y}=-g).

К числу кинематических характеристик движения тела, которое подбросили под углом к горизонту, относят модуль мгновенной скорости в определенное время t. Данный показатель можно рассчитать с помощью теоремы Пифагора:

(V=sqrt{V^{2}_{x}+V^{2}_{y}})

Минимальная скорость тела будет замечена в самой верхней точке траектории, а максимальная величина данной характеристики будет достигнута, когда объект только начинает перемещаться, а также в точке падения на поверхность земли. Время подъема представляет собой время, необходимое для достижения телом верхней точки траектории. За полное время объект совершает полет, то есть перемещается от начальной точки к точке приземления.

Дальность полета является перемещением объекта по отношению к оси ОХ. Такую кинематическую характеристику обозначают буквой l. По отношению к оси ОХ тело перемещается, сохраняя постоянство скорости.

Определение

Горизонтальным смещением тела называют смещение данного объекта, относительно оси ОХ.

Расчет горизонтального смещения тела в какой-либо момент времени t выполняют с помощью уравнения координаты х:

(x=x_{0}+V_{0x}t+frac{gxt^{2}}{2})

Зная следующие условия:

(x_{0}=0);
проекция ускорения свободного падения, относительно оси ОХ, также имеет нулевое значение;
проекция начальной скорости на ось ОХ составляет (V_{0}cos alpha).

Записанная формула приобретает следующий вид:

(x=V_{0}cos alpha t)

Мгновенной высотой принято считать высоту, на которой находится объект в определенный момент времени t. Наибольшей высотой подъема является расстояние от поверхности земли до верхней точки траектории движения тела под углом к горизонту.

Вывод формулы, как найти угол и дальность полета

Перемещение объекта, который был брошен под углом к горизонту, необходимо изобразить с помощью суперпозиций, характерных для двух типов движений:

равномерное горизонтальное движение;
равноускоренное перемещение в вертикальном направлении с ускорением свободного падения.

Движение тела

Скорость тела будет рассчитываться таким образом:

(v_{0x}=v_{x}=v_{0} cos alpha =const)

(v_{0y}=v_{0}sin alpha)

(v_{y}=v_{0}sin alpha-gt)

Уравнение координаты записывают в следующем виде:

(x=v_{0}cos alpha times t)

(y=v_{0}sin alpha times t-frac{gt^{2}}{2})

В любое время значения скорости тела будут равны:

(v=sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}})

Определить угол между вектором скорости и осью ОХ можно таким образом:

(tan beta =frac{v_{y}}{v_{x}}=frac{v_{0}sin alpha -gt}{v_{0}cos alpha })

Время подъема на максимальную высоту составляет:

(t=frac{v_{0}sin alpha }{g})

Максимальная высота подъема будет рассчитана следующим образом:

(h_{max}=frac{v_{0}^{2}sin ^{2}alpha}{2g})

Полет тела будет длиться определенное время, которое можно рассчитать с помощью формулы:

(t=frac{2v_{0}sin alpha }{g})

Максимальная дальность полета составит:

(L_{max}=frac{v_{0}^{2}sin 2alpha }{g})

Примеры решения задач

В примерах, описывающих движение тела, на которое действует сила тяжести, следует учитывать, что а=g=9,8 м/с².

Задача 1

Небольшой камень был брошен с ровной горизонтальной поверхности под углом к горизонту. Необходимо определить, какова максимальная высота подъема камня при условии, что, спустя 1 секунду после его начала движения, скорость тела обладала горизонтальным направлением.

Решение

Направление скорости будет горизонтальным в верхней точке перемещения камня. Таким образом, время, за которое он поднимется, составляет 1 секунду. С помощью уравнения времени подъема можно представить формулу произведения скорости в начале полета на синус угла, под которым бросили камень:

(V_{0}sin alpha =gt)

Данное равенство следует подставить в уравнение для расчета максимальной высоты, на которую поднимется камень, и выполнить вычисления:

(h=frac{V_{0}sin ^{2}alpha }{2g}=frac{(gt)^{2}}{2g}=frac{gt^{2}}{2}=frac{10times 1}{2}=5)

Ответ: максимальная высота подъема камня, который бросили под углом к горизонту, составляет 5 метров.

Задача 2

Из орудия выпустили снаряд, начальная скорость которого составляет 490 м/с, под углом 30 градусов к горизонту. Нужно рассчитать, какова высота, дальность и время полета снаряда без учета его вращения и сопротивления воздуха.

Решение

Систему координат и движение тела можно представить схематично:

Задача

Составляющие скорости, относительно осей ОХ и ОУ, будут совпадать во время начала движения снаряда:

(V_{0x}=V_{0} cos alpha) сохраняет стабильность значения в любой промежуток времени во время всего перемещения тела.

(V_{0y}=V_{0}sin alpha) будет меняться, согласно формуле равнопеременного движения (V_{y}=V_{0}sin alpha-gt).

В максимальной точке, на которую поднимется снаряд:

(V_{y}=V_{0}sin alpha-gt_{1}=0)

Из этого равенства следует:

(t=frac{V_{0sin alpha }}{g})

Полное время полета тела будет рассчитано по формуле:

(t=2t_{1}=frac{2V_{0}sin alpha }{g}=50)

Высота, на которую поднимется снаряд, определяется с помощью уравнения равнозамедленного перемещения тела:

(h=V_{0y}t_{1}-frac{gt_{1}^{2}}{2}=frac{V_{0}^{2}sin ^{2}alpha }{2g}=3060)

Дальность полета снаряда будет рассчитана таким образом:

(S=V_{0x}t=frac{V_{0}^{2}sin 2alpha }{g}=21000)

Ответ: высота составляет 3060 метров, дальность полета равна 21000 метров, время движения составит 50 секунд.

Источник

Общее время движения

Дальность полета

Максимальная высота подъёма тела

Задачи

Список литературы

Кинематические характеристики

Тело, брошенное под углом к горизонту с некоторой высоты

Что такое движение тела брошенного под углом к горизонту

Вывод формулы, как найти угол и дальность полета

Примеры решения задач

Вам также может понравиться

Как найти предел последовательности с дробью

Как составить декларацию 3 ндфл при покупке квартиры за 2020

Как найти два ключа в смерти вопреки

Добавить комментарий Отменить ответ