Как найти время в задаче вдогонку

Движение является способом существования всего, что человек видит вокруг себя. Поэтому задачи на перемещение разных объектов в пространстве являются типичными проблемами, которые предлагается разрешить школьникам. В данной статье подробно рассмотрим движение вдогонку и формулы, которые необходимо знать, чтобы уметь решать задачи такого типа.

Что такое движение?

Перед тем, как переходить к рассмотрению формул движения вдогонку, необходимо разобраться с этим понятием подробнее.

Под движением подразумевают изменение пространственных координат объекта за определенный промежуток времени. Например, автомобиль, который движется по дороге, самолет, который летит в небесах, или кошка, бегущая по траве, – все это примеры движения.

Важно отметить, что рассматриваемый движущийся объект (автомобиль, самолет, кошка) считают безмерным, то есть его размеры не имеют совершенно никакого значения для решения проблемы, поэтому ими пренебрегают. Это своего рода математическая идеализация, или модель. Для подобного объекта существует название: материальная точка.

Движение вдогонку и его особенности

Теперь перейдем к рассмотрению популярных школьных задач на движение вдогонку и формул для него. Под этим видом движения понимают перемещение двух или более объектов в одном направлении, которые отправляются в свой путь из разных пунктов (материальные точки имеют разные начальные координаты) или/и в разное время, но из одного и того же пункта. То есть создается ситуация, при которой одна материальная точка пытается догнать другую (другие), поэтому эти задачи получили такое название.

Согласно определению, особенностями движения вдогонку являются следующие:

• Наличие двух и более движущихся объектов. Если двигаться будет только одна материальная точка, то ей “некого” будет догонять.
• Прямолинейное перемещение в одном направлении. То есть объекты осуществляют движение вдоль одной и той же траектории и в одном направлении. Движение навстречу друг другу не входит в число рассматриваемых задач.
• Пункт отправления играет важную роль. Идея заключается в том, чтобы в момент начала движения объекты были разделены в пространстве. Такое разделение будет иметь место, если они стартуют в одинаковое время, но из разных пунктов или же из одного пункта, но в разное время. Старт двух материальных точек из одного пункта и в одинаковое время к задачам вдогонку не относится, поскольку в этом случае один объект будет постоянно удаляться от другого.

Формулы движения вдогонку

В 4 классе общеобразовательной школы обычно рассматриваются подобные задачи. Это означает, что формулы, которые необходимы для решения, должны быть максимально простыми. Такому случаю удовлетворяет равномерное прямолинейное движение, в котором фигурируют три физических величины: скорость, пройденный путь и время движения:

• Скорость – величина, показывающая расстояние, которое проходит тело за единицу времени, то есть она характеризует быстроту изменения координат материальной точки. Обозначается скорость латинской буквой V и измеряется, как правило, в метрах в секунду (м/с) или в километрах в час (км/ч).
• Путь – это расстояние, которое проходит тело за время своего движения. Он обозначается буквой S (D) и выражается обычно в метрах или километрах.
• Время – период движения материальной точки, который обозначается буквой T и приводится в секундах, минутах или часах.

Описав основные величины, приведем формулы движения вдогонку:

• s = v*t;
• v = s/t;
• t = s/v.

Решение любой задачи рассматриваемого типа базируется на применении этих трех выражений, которые необходимо запомнить каждому школьнику.

Пример решения задачи №1

Приведем пример задачи движения вдогонку и решения (формулы, необходимые для него, приведены выше). Проблема формулируется следующим образом: “Грузовик и легковой автомобиль одновременно выезжают из пунктов A и B со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч соответственно. Оба транспортных средства движутся в одном направлении так, что автомобиль приближается к пункту A, а грузовик удаляется от обоих пунктов. Через какое время автомобиль догонит грузовик, если расстояние между A и B составляет 40 км?”.

Перед тем как решать задачу, необходимо научить ребят определять суть проблемы. В данном случае она заключается в неизвестном времени, которое проведут оба транспортных средства в пути. Предположим, что это время равно t часам. То есть через время t автомобиль догонит грузовик. Найдем это время.

Рассчитаем расстояние, которое пройдет каждый из движущихся объектов за время t, имеем: s₁ = v₁*t и s₂ = v₂*t, здесь s₁, v₁ = 60 км/ч и s₂, v₂ = 80 км/ч – пройденные пути и скорости движения грузовика и автомобиля до того момента, когда второй догонит первого. Поскольку расстояние между пунктами A и B равно 40 км, то автомобиль, догнав грузовик, пройдет путь на 40 км больше, то есть s₂ – s₁ = 40. Подставляя в последнее выражение формулы для путей s₁ и s₂, получим: v₂*t – v₁*t = 40 или 80*t – 60*t = 40, откуда t = 40/20 = 2 ч.

Отметим, что данный ответ можно получить, если использовать понятие скорости сближения между движущимися объектами. В задаче она равна 20 км/ч (80-60). То есть при этом подходе возникает ситуация, когда один объект движется (автомобиль), а второй относительно него стоит на месте (грузовик). Поэтому достаточно поделить расстояние между пунктами A и B на скорость сближения, чтобы решить задачу.

Пример решения задачи №2

Приведем еще один пример задач на движение вдогонку (формулы для решения используются те же): “Из одного пункта выезжает велосипедист, а через 3 часа в ту же сторону выезжает автомобиль. Через какое время после начала своего движения автомобиль догонит велосипедиста, если известно, что он движется в 4 раза быстрее?”.

Решать эту задачу следует так же, как и предыдущую, то есть необходимо определить, какой путь пройдет каждый участник движения до момента, когда один догонит другого. Предположим, что автомобиль догнал велосипедиста через время t, тогда получаем следующие пройденные пути: s₁ = v₁*(t+3) и s₂ = v₂*t, здесь s₁, v₁ и s₂, v₂ – пути и скорости велосипедиста и автомобиля соответственно. Заметим, что до того, как автомобиль догнал велосипедиста, последний находился в пути t + 3 часа, так как он выехал на 3 часа раньше.

Зная, что оба участника отправились из одного пункта, и пройденные ими пути будут равны, получаем: s₂ = s₁ или v₁*(t+3) = v₂*t. Скорости v₁ и v₂ нам не известны, однако в условии задачи сказано, что v₂ = 4*v₁. Подставляя это выражение в формулу для равенства путей, получим: v₁*(t+3) = 4*v₁*t или t+3 = 4*t. Решая последнее, приходим к ответу: t = 3/3 = 1 ч.

Некоторые советы

Формулы движения вдогонку являются простыми, тем не менее школьников в 4 классе важно научить мыслить логически, понимать значение величин, с которыми они имеют дело, и осознавать проблему, которая перед ними стоит. Ребят рекомендуется призывать к рассуждениям вслух, а также к командной работе. Кроме того, для наглядности задач можно использовать компьютер и проектор. Все это способствует развитию у них абстрактного мышления, коммуникативных навыков, а также математических способностей.

Задачи в которых двигаются вдогонку из разных пунктов решаются по определенному правилу. Два объекта могут сближаться или удаляться в зависимости от их скоростей.

• Если скорость объекта, который впереди больше, то они удаляются. 

• Если скорость объекта, который впереди меньше, то они сближаются

Рассмотрим задачи на движение вдогонку, в которых объекты движутся в одном направлении, но выезжают из разных пунктов, находящихся на некотором расстоянии друг от друга.

При движении вдогонку объекты могут как сближаться, так и удаляться.

Если скорость объекта, который идет впереди, меньше скорости идущего вслед за ним объекта, то второй догоняет первого и они сближаются.

Чтобы найти скорость сближения, надо из большей скорости вычесть меньшую:

   

   

Если скорость идущего впереди объекта больше скорости объекта, который движется следом, то второй не сможет  догнать первого и они удаляются друг от друга.

Чтобы найти скорость удаления, надо из большей скорости вычесть меньшую:

   

   

Скорость, время и расстояние связаны между собой формулой пути:

   

Задача 1.

Расстояние между двумя пунктами 20 км. Из этих пунктов в одном направлении одновременно выехали автомобиль и мотоциклист, причем автомобиль двигался впереди. Через 5 часов расстояние между ними стало 170 км. Найти скорость мотоциклиста, если скорость автомобиля 70 км/ч.

Решение:

	v, км/ч	t, ч	s, км
Автомобиль	70	5	?
Мотоциклист	?	5	?

1) 170-20=150 (км) на столько увеличилось расстояние между автомобилем и мотоциклистом за 5 часов

2) 150:5=30 (км/ч) скорость удаления автомобиля от мотоциклиста

3) 70-30=40 (км/ч) скорость мотоциклиста.

Ответ: 40 км/ч.

Задача 2.

Расстояние между двумя станциями 40 км. Из этих станций одновременно в одном направлении вышли скорый и товарный поезда, причем товарный поезд едет впереди. Через сколько часов скорый поезд догонит товарный, если его скорость равна 80 км/ч, а скорость товарного поезда — 60 км/ч?

Решение:

	v, км/ч	t, ч	s, км
Пассажирский	80	?	? на 40 км больше
Товарный	60	?	?

1) 80-60=20 (км/ч) скорость сближения поездов

2) 40:20=2 (ч) через такое время скорый поезд догонит товарный.

Ответ: через 2 ч.

Задача 3.

Расстояние между пунктами равно 50 км. Из этих пунктов одновременно в одном направлении выезжают велосипедист и мотоциклист, причем велосипедист едет впереди. Скорость велосипедиста равна 13 км/ч, скорость мотоциклиста — 38 км/ч. На каком расстоянии от пункта своего выезда мотоциклист догонит велосипедиста?

Решение:

	v, км/ч	t, ч	s, км
Мотоциклист	38	?	? на 50 км больше
Велосипедист	13	?	?

1) 38-13=25 (км/ч) скорость сближения мотоциклиста и велосипедиста

2) 50:25=2 (ч) через столько часов после своего выезда мотоциклист догонит велосипедиста

3) 38∙2=76 (км) на таком расстоянии от пункта своего выезда мотоциклист догонит велосипедиста.

Ответ: 76 км.

Задача № 1.

Расстояние между домами Оли и Вали 160 м. Они вышли в школу одновременно. Валя шла со скоростью 100 м/мин, а Оля шла вдогонку Вале со скоростью 120 м/мин. Через сколько минут Оля догонит Валю?

Решение:

1) 120- 100 = 20 (м/мин)- скорость сближения девочек

160 : 20 = 8 (мин)- нужно Оле, чтобы догнать Валю.

Ответ: 8 минут.

Задача № 2.

За какое время мотоцикл догонит грузовой автомобиль, если расстояние между ними 45 км, а скорость мотоцикла больше скорости грузовика на 15 км/ч?

Решение: 

45 : 15 = 3 (ч)

Ответ: через 3 часа.

Задача № 3.

Из лагеря геологоразведчиков выехал вездеход со скоростью 30 км/ч. Через 2 ч вслед за ним был послан другой вездеход. С какой скоростью он должен ехать, чтобы догнать первый через 4 ч после своего выхода?

Решение:

1) 2 + 4 = 6 (ч) – был в пути 1 вездеход

2) 6 * 30 = 180 (км) – проехал 1 вездеход

3) 180 : 4=45 (км/ч) – скорость I I вездехода

Ответ: 45 км/ч.

Задача № 4.

1) 170 – 20 = 150 (км) –  на столько увеличилось расстояние между автомобилем и мотоциклом за 5 часов.

2) 150:5 = 30 (км/ч) – скорость удаления автомобиля от мотоцикла.

3) 70 – 30 = 40 (км/ч) – скорость мотоцикла.

Ответ: 40 км/ч.

Задача № 5.

Расстояние между двумя станциями 40 км. Из этих станций одновременно в одном направлении вышли скорый и товарный поезд, причем товарный поезд шел впереди. Через сколько часов скорый поезд догонит товарный, если его скорость равна 80 км/ч, а скорость товарного поезда 60 км/ч?

Решение:

1) 80 – 60 = 20 (км/ч) – скорость сближения поездов.

2) 40:20 = 2 (ч) – через такое время скорый поезд догонит товарный.

Ответ: через 2 часа.

Здесь можно пройти Тест по этой теме.

Расстояние

Мы постоянно ходим пешком и ездим на транспорте из одной точки в другую. Давайте узнаем, как можно посчитать это пройденное расстояние.

Расстояние — это длина от одного пункта до другого.

• Например: расстояние от дома до школы 3 км, от Москвы до Петербурга 705 км.

Расстояние обозначается латинской буквой s.

Единицы расстояния чаще всего выражаются в метрах (м), километрах (км).

Скорость

Двигаться со скоростью черепахи — значит медленно, а со скоростью света — значит очень быстро. Сейчас узнаем, как пишется скорость в математике и как ее найти по формуле.

Скорость определяет путь, который преодолеет объект за единицу времени. Скорость обозначается латинской буквой v.

Проще говоря, скоростью называют расстояние, пройденное телом за единицу времени.

Впервые формулу скорости проходят на математике в 5 классе. Сейчас мы ее сформулируем и покажем, как ее использовать.

Показатели скорости чаще всего выражаются в м/сек или км/час.

Скорость сближения — это расстояние, на которое сблизились два объекта за единицу времени. Чтобы найти скорость сближения двух объектов, которые движутся навстречу друг другу, надо сложить скорости этих объектов.

Скорость удаления — расстояние, на которое отдалились друг от друга два объекта за единицу времени.

Чтобы найти скорость удаления объектов, которые движутся в противоположных направлениях, нужно сложить скорости этих объектов.

Чтобы найти скорость удаления при движении с отставанием или скорость сближения при движении вдогонку, нужно из большей скорости вычесть меньшую.

Онлайн-курсы по математике для детей — отличный способ разобраться в сложных темах под руководством внимательного преподавателя.

Время

Время — самое дорогое, что у нас есть. Но кроме философии, у времени есть важная роль и в математике.

Время — это продолжительность каких-то действий, событий.

• Например: от метро до дома — 10 минут, от дома до дачи — 2 часа.

Время движения обозначается латинской буквой t.

Чаще всего вам будут встречаться такие единицы времени, как секунды, минуты и часы.

Эта формула пригодится, если нужно узнать, за какое время тело преодолеет то или иное расстояние.

Взаимосвязь скорости, времени, расстояния

Скорость, время и расстояние связаны между собой очень крепко. Одно без другого даже сложно представить.

Если известны скорость и время движения, то можно найти расстояние. Оно равно скорости, умноженной на время: s = v × t.

Задачка 1. Мы вышли из дома и направились в гости в соседний двор. Мы дошли до соседнего двора за 15 минут. Фитнес-браслет показал, что наша скорость была 50 метров в минуту. Какое расстояние мы прошли?

Как рассуждаем:

Если за одну минуту мы прошли 50 метров, то сколько таких пятьдесят метров мы пройдем за 10 минут? Умножив 50 метров в минуту на 15 минут, мы определим расстояние от дома до магазина:

v = 50 м/мин

t = 15 мин

s = v × t = 50 × 15 = 750 (м)

Ответ: мы прошли 750 метров.

Если известно время и расстояние, то можно найти скорость: v = s : t.

Задачка 2. Двое школьников решили проверить, кто быстрее добежит от двора до спортплощадки. Расстояние между двором и площадкой — 100 метров. Первый школьник добежал за 25 секунд, второй за 50 секунд. Кто добежал быстрее?

Как рассуждаем:

Быстрее добежал тот, кто за 1 секунду пробежал большее расстояние. Говорят, что у него скорость движения больше. В этой задаче скорость школьников — это расстояние, которое они пробегают за 1 секунду.

Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время движения. Найдем скорость первого школьника: для этого разделим 100 метров на время движения первого школьника, то есть на 25 секунд:

100 : 25 = 4

Если расстояние дано в метрах, а время движения в секундах, то скорость измеряется в метрах в секунду (м/с). Если расстояние дано в километрах, а время движения в часах, скорость измеряется в километрах в час (км/ч).

В нашей задаче расстояние дано в метрах, а время в секундах. Значит, будем измерять скорость в метрах в секунду (м/с).

100 м : 25 с = 4 м/с

Так мы узнали, что скорость движения первого школьника 4 метра в секунду.

Теперь найдем скорость движения второго школьника. Для этого разделим расстояние на время движения второго школьника, то есть на 50 секунд:

100 : 50 = 2

Значит, скорость движения второго школьника составляет 2 метра в секунду.

Сейчас можно сравнить скорости движения каждого школьника и узнать, кто добежал быстрее.

4 (м/с) > 2 (м/с)

Скорость первого школьника больше. Значит, он добежал до спортивной площадки быстрее.

Ответ: первый школьник добежал быстрее.

Если известны скорость и расстояние, то можно найти время: t = s : v.

Задачка 3. От школы до стадиона 500 метров. Мы должны дойти до него пешком. Наша скорость будет 100 метров в минуту. За какое время мы дойдем до стадиона из школы?

Как рассуждаем:

Если за одну минуту мы будем проходить 100 метров, то сколько таких минут со ста метрами будет в 500 метрах?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно 500 метров разделить на расстояние, которое мы будем проходить за одну минуту, то есть на 100. Тогда мы получим время, за которое дойдем до стадиона:

s = 500 м

v = 100 м/мин

t = s : v = 500 : 100 = 5 (мин)

Ответ: от школы до стадиона мы дойдем за 5 минут.

Специально для уроков математики можно распечатать или нарисовать самостоятельно такую таблицу, чтобы быстрее запомнить и применять формулы скорости, времени, расстояния.