Задачи на движение навстречу друг другу (встречное движение) — один из трех основных видов задач на движение.
Если два объекта движутся навстречу друг другу, то они сближаются:
Чтобы найти скорость сближения двух объектов, движущихся навстречу друг другу, надо сложить их скорости:
![[{v_c} = {v_1} + {v_2}]](https://www.for6cl.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c5db465b67cf7a4f44b117ff2f53015a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Скорость сближения больше, чем скорость каждого из них.
Скорость, время и расстояние связаны между собой формулой пути:
![[s = v cdot t]](https://www.for6cl.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-115885a6d144cc69d9c8e04b83841a1c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Рассмотрим некоторые задачи на встречное движение.
Задача 1
Два велосипедиста выехали навстречу друг другу. Скорость одного из низ 12 км/ч, а другого — 10 км/ч. Через 3 часа они встретились. Какое расстояние было между ними в начале пути?
Решение:
Условие задач на движение удобно оформлять в виде таблицы:
|
v, км/ч |
t, ч |
s, км |
|
|
I велосипедист |
12 |
3 |
? |
|
II велосипедист |
10 |
3 |
? |
1) 12+10=22 (км/ч) скорость сближения велосипедистов
2) 22∙3=66 (км) было между велосипедистами в начале пути.
Ответ: 66 км.
Задача 2
Два поезда идут навстречу друг другу. Скорость одного из них 50 км/ч, скорость другого — 60 км/ч. Сейчас между ними 440 км. Через сколько часов они встретятся?
Решение:
|
v, км/ч |
t, ч |
s, км |
|
|
I поезд |
60 |
? |
? |
|
II поезд |
50 |
? |
? |
1) 60+50=110 (км/ч) скорость сближения поездов
2) 440:110=4 (ч) время, через которое поезда встретятся.
Ответ: через 4 ч.
Задача 3.
Два пешехода находились на расстоянии 20 км друг от друга. Они вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 2 часа. Скорость одного пешехода 6 км/ч. Найти скорость другого пешехода.
|
v, км/ч |
t, ч |
s, км |
|
|
I пешеход |
6 |
2 |
? |
|
II пешеход |
? |
2 |
? |
1) 20:2=10 (км/ч) скорость сближения пешеходов
2) 10-6=4 (км/ч) скорость другого пешехода.
Ответ: 4 км/ч.
Чтобы решать задачи на встречное движение, вспомним основные понятия и формулы для решения задач на движение:
(v) — скорость;
и
v2
— скорость первого и второго объектов;
— скорость сближения;
(t) — время;
— время до встречи;
(s) — первоначальное расстояние;
— расстояние между объектами через определённый промежуток времени после начала движения объектов.
Рассмотрим первую ситуацию.
Яра и Юра давно не виделись и договорились встретиться в парке. Расстояние между друзьями составляет (315) км. Юра поехал на автомобиле со скоростью (60) км/ч, а Яра — на автобусе со скоростью (45) км/ч.
Через какое время друзья встретятся?
Начертим схему.
Стрелки на схеме показывают, с какой скоростью едут Юра и Яра. Флажком обозначено место встречи друзей. А дугой показано расстояние между героями — (315) км.
По схеме видно, что друзья едут навстречу друг другу, то есть расстояние между ними сокращается. Перед нами — встречное движение.
Первоначально необходимо найти скорость сближения по формуле:
1. (60 + 45 = 105) км/ч.
Теперь найдём, через какое время произойдёт встреча Юры и Яры:
2. (315 : 105 = 3) ч.
Ответ: через (3) часа друзья встретятся в парке.
Рассмотрим вторую ситуацию.
С двух станций одновременно начали движение два поезда навстречу друг другу. Скорость первого поезда равна (90) км/ ч, а второго — (70) км/ч. Чему равно расстояние между станциями, если встреча поездов произошла через (2) часа после начала отправления?
Начертим схему.
Найдём скорость сближения двух поездов: (90 + 70 = 160) км/ч.
Определим расстояние между станциями до начала отправления поездов: (160 · 2 = 320) км.
Ответ: расстояние между станциями составляет (320) км.
Рассмотрим третью ситуацию.
Тракторист и таксист едут навстречу друг другу из двух сёл, расстояние между которыми составляет (400) км. Скорость трактора — (25) км/ ч, а такси — (50) км/ч. Как изменится расстояние между ними через (1) час? Через (2) часа? Через (4) часа?
Заполним таблицу:
|
(t) ч |
(d) км |
|
(0) |
(400) |
|
(1) |
(400) (– (25 + 50) · 1 = 325) |
|
(2) |
(400) (– (25 + 50) · 2 = 250) |
|
(4) |
(400) (– (25 + 50) · 4 = 100) |
Источники:
Изображения: схема, робот, космонавт, транспорт. © ЯКласс.
Для начала следует перевести данные задачи в единую систему измерений. Либо в километры, либо в метры.
Я переведу в километры. Значит, расстояние между машинами – 0,07 км (исходя из того, что в одном километре 1000 метров, высчитываем, что 70 метров – это 70:1000=0,07км).
Далее высчитываем время, через которое произойдет столкновение.
Обозначив это время за х (для обоих машин время будет одинаковое), составим уравнение:
60х+80х=0,07
140х=0,07
х=0,07:140=0,0005
То есть столкновение произойдет через 0,0005 часа.
Теперь высчитаем точку этого столкновения.
Посчитаем, какое расстояние проедет за это время каждый из автомобилей.
Первый двигается со скоростью 60 км/ч, значит он пройдет расстояние 60*0,0005=0,03 километра (или 30 метров).
Теперь высчитываем расстояние второго автомобиля:
80*0,0005=0,04 километра (что равно 40 метрам).
Таким образом, до столкновения первый автомобиль проедет 30 метров, а второй – 40.
Задачи на встречное движение
Рассмотрим задачи, в которых речь идёт о встречном движении. В таких задачах два каких-нибудь объекта движутся навстречу друг другу. Задачи на встречное движение можно решать двумя способами.
Задача 1. Два автомобиля выехали одновременно из двух населённых пунктов и встретились через 4 часа. Первый автомобиль ехал со скоростью 100 км/ч, а второй — со скоростью 70 км/ч. На каком расстоянии друг от друга находятся населённые пункты?
Решение: Из условия задачи известны скорость каждого автомобиля и время, которое автомобили были в пути. Значит, можно найти расстояние, которое проехал каждый автомобиль до встречи. Для этого нужно скорость умножить на время:
1) 100 · 4 = 400 (км) — проехал первый автомобиль,
2) 70 · 4 = 280 (км) — проехал второй автомобиль.
Найдя сумму полученных результатов, узнаем расстояние между населёнными пунктами:
400 + 280 = 680 (км).
Данную задачу можно решить и другим способом. Каждый час расстояние между автомобилями сокращалось на 170 километров (100 + 70), 170 км/ч — это скорость сближения автомобилей. За 4 часа они проехали расстояние:
170 · 4 = 680 (км).
Таким образом, задачу на встречное движение можно решить двумя способами:
| 1-й способ: | 2-й способ: |
|---|---|
| 1) 100 · 4 = 400 (км) | 1) 100 + 70 = 170 (км/ч) |
| 2) 70 · 4 = 280 (км) | 2) 170 · 4 = 680 (км) |
| 3) 400 + 280 = 680 (км) |
Ответ: Населённые пункты находятся на расстоянии 680 км.
Задача 2. Из двух посёлков навстречу друг другу вышли одновременно два пешехода. Скорость первого пешехода 4 км/ч, а скорость второго пешехода 5 км/ч. Какое расстояние будет между пешеходами через 5 часов после выхода, если расстояние между посёлками 70 км?
Решение: Сначала можно определить сколько километров прошёл каждый из пешеходов за 5 часов, для этого скорость пешеходов умножим на 5:
1) 4 · 5 = 20 (км) — прошёл первый пешеход,
2) 5 · 5 = 25 (км) — прошёл второй пешеход.
Затем можно найти общий путь, пройденный двумя пешеходами за 5 часов:
20 + 25 = 45 (км).
Теперь можно найти расстояние между пешеходами, отняв от общего расстояния между посёлками 45 уже пройденных километров:
70 – 45 = 25 (км).
У данной задачи есть и второй вариант решения. Можно сначала найти скорость сближения пешеходов:
4 + 5 = 9 (км/ч).
Затем найти пройденное расстояние, умножив скорость сближения (9 км/ч) на время движения пешеходов (5 ч):
9 · 5 = 45 (км).
А теперь, для нахождения расстояния между пешеходами, вычесть пройденное расстояние (45 км) из общего:
70 – 45 = 25 (км).
Таким образом, данная задача имеет два варианта решения:
| 1-й способ: | 2-й способ: |
|---|---|
| 1) 4 · 5 = 20 (км) | 1) 4 + 5 = 9 (км/ч) |
| 2) 5 · 5 = 25 (км) | 2) 9 · 5 = 45 (км) |
| 3) 20 + 25 = 45 (км) | 3) 70 – 45 = 25 (км) |
| 4) 70 – 45 = 25 (км) |
Ответ: Через 5 часов расстояние между пешеходами будет 25 км.
На чтение 3 мин. Просмотров 37.1k.
Обновлено 31.08.2021
Схемы задач на движение очень просто нарисовать. Они помогают представить наглядно условие задачи и найти верное решение. В дополнение к схеме в сложных случаях или когда ученик затрудняется с решением рекомендуется рисовать таблицу, где в шапке параметры скорости, времени и расстояния. Об этом подробнее ниже.
Узнайте также, как составить схемы к задачам по математике для 2 класса
Содержание
- Простые задачи на движение
- Решение
- Обратные задачи на движение
- Как найти скорость, если известно время и расстояние
- Как найти время, когда известны скорость и расстояние
- Схемы задач на встречное движение
- Решение
- Задачи на движение в одном направлении
- Шпаргалка по решению задач на скорость, время и расстояние
Простые задачи на движение
Простые задачи про путников, лыжников, мотоциклистов и другие движущиеся объекты (встречаются даже задачки про черепах) начинают решать еще в начальных классах. Именно на этих примерах удобно разбирать составление схем.
Задача 1. Пешеход вышел из пункта А в пункт Б со скоростью 5 км/ч. Через 3 часа он добрался до пункта Б. Какое расстояние между этими двумя пунктами?
Рисуем схему к задаче: прямая линия, соединяющая точки А и Б — это весь путь. Стрелкой обозначаем направление движения путника. Над стрелкой отмечаем скорость, если известна. Время или расстояние отмечаем под (или над) отрезком:
Если со схемой вы не смогли решить задачу, то предлагаю вам воспользоваться таблицей:
| скорость | время | расстояние |
| 5 км/ч | 3 ч | ? км |
Чтобы решать с помощью таблицы, запомните правила:
- Чтобы найти расстояние, нужно скорость умножить на время: S = V x t
- Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время, (это производное из первой формулы:
V = S : t ) - чтобы найти время, необходимо расстояние разделить на скорость. (также просто вывести из первой формулы:
t = S : t
Решение
5 х 3 = 15 км — расстояние между пунктами А и Б
Обратные задачи на движение
Как найти скорость, если известно время и расстояние
Чтобы не путать вас разными условиями задачи состав задачу, обратную первому примеру:
Задача 2. Расстояние между пунктами А и Б равно 15 км. Путник преодолел это расстояние за 3 часа. С какой скоростью шел пешеход?
| скорость | время | расстояние |
| ? км/ч | 3 ч | 15 км |
Решение
15 : 3 = 5 км/ч
Как найти время, когда известны скорость и расстояние
Задача 3. Расстояние между пунктами 15 км. Пешеход шел со скоростью 5 км/ч. За какое время пешеход преодолеет весь путь?
| Скорость | время | расстояние |
| 5 км/ч | ? ч | 15 км |
Решение
15 : 5 = 3 часа
Схемы задач на встречное движение
Чтобы начертить встречное движение, мы рисуем стрелочки из двух пунктов навстречу. Флажком обозначаем место встречи
Когда задачи со встречным или удаляющимся движением — это задачи на общую скорость. Скоро будет подробный урок о них на моем сайте.
Задача 4. Два пешехода вышли одновременно из пунктов А и Б навстречу друг другу. Скорость одного — 5 км/ч, другого — 3 км/ч. Через какое время они встретятся, если известно, что расстояние между пунктами 24 км?
Решение
1 способ:
5 + 3 =8 км/ч — общая скорость
24 : 8 = 3 часа
Задачи на движение в одном направлении
Задача 5. Два пешехода вышли из пунктов А и Б одновременно в одном направлении. Пешеход, который шел впереди, двигался со скоростью 3 км/ч, а второй — со скоростью 5 км/ч. Через какое время второй пешеход догонит первого, если расстояние между пунктами 2 км?
Здесь нужно выяснить скорость сближения. Так как один пешеход шел быстрее второго, то расстояние между ними сокращалось на 2 км/ч (мы посчитали так: 5 — 3 = 2 км/ч). Так как первоначальное расстояние между пунктами 2 км, то найдем время:
2км : 2 км/ч = 1 час.
Через 1 час пешеходы встретятся.
Шпаргалка по решению задач на скорость, время и расстояние
Вы можете воспользоваться данной памяткой при решении этого типа задач. Кликните для просмотра в полном размере и распечатайте, нажав на клавиатуре клавиши CTRL + P.
