Как найти время высоту скорость полета

Движение тела, брошенного вертикально вверх

Тело, брошенное вертикально вверх, движется равномерно замедленно с начальной скоростью u₀ и ускорением
a = -g.

Перемещение тела за время t представляет собой высоту подъема h.
Для этого движения справедливы формулы:

Если:
u₀ — начальная скорость движения тела ,
u — скорость падения тела спустя время t,
g — ускорение свободного падения, 9.81 (м/с²),
h — высота на которую поднимется тело за время t,
t — время,
То, движение тела, брошенного вертикально вверх описывается следующими формулами:

Высота подъема тела за некоторое время, зная конечную скорость

[ h = frac{u_0 + u}{2} t ]

Высота подъема тела за некоторое время, зная ускорение свободного падения

[ h = u_0 t – frac{g t^2}{2} ]

Скорость тела через некоторое время, зная ускорение свободного падения

[ u = u_0 – gt ]

Скорость тела на некоторой высоте, зная ускорение свободного падения

[ u = sqrt{ u_0^2 – 2gh} ]

Максимальная высота подъема тела, зная первоначальную скорость и ускорение свободного падения

Тело, брошенное вертикально вверх, достигает максимальной высоты в тот момент, когда его скорость обращается в ноль. Поднявшись на максимальную высоту тело начинает свободное падение вниз.

[ h_{max} = frac{u_0^2}{2g} ]

Время подъема на максимальную высоту подъема тела, зная первоначальную скорость и ускорение свободного падения

[ t_{hmax} = frac{u_0}{g} ]

Примечание к статье: Движение тела, брошенного вертикально вверх

• Сопротивление воздуха в данных формулах не учитывается.
• Ускорение свободного падения имеет приведенное значение (9.81 (м/с²)) вблизи земной поверхности. Значение g на других расстояниях от поверхности Земли изменяется!

Движение тела, брошенного вертикально вверх	стр. 409

Движение тела, брошенного горизонтально или под углом к горизонту.

1. Это движение в плоскости, поэтому для описания движения необходимо 2 координаты.
2. Считаем, что движение происходит вблизи поверхности Земли, поэтому ускорение тела – ускорение свободного падения (a = g).

 

Так как мы пренебрегаем сопротивлением воздуха, то ускорение направлено только к поверхности Земли (g) – вдоль вертикальной оси (y), вдоль оси х движение равномерное и прямолинейное.

 

Движение тела, брошенного горизонтально.

Выразим проекции скорости и координаты через модули векторов.

Для того чтобы получить уравнение траектории, выразим время tиз уравнения координаты x и подставим в уравнение для y: 

   – между координатами квадратичная зависимость, траектория – парабола!

Движение тела, брошенного под углом к горизонту.

Порядок решения задачи аналогичен предыдущей.

Решим задачу для случая х₀=0 и y₀=0. 

Докажем, что траекторией движения и в этом случае будет парабола. Для этого выразим координату Y через X (получим уравнение траектории):

.

Мы получили квадратичную зависимость между координатами. Значит траектория – парабола.

 

Найдем время полета тела от начальной точки до точки падения. В точке падения координата по вертикальной оси у=0.

Время полета:

Следовательно, для решения этой задачи необходимо решить уравнение 

Оно будет иметь решение при t=0 (начало движения) и 

Зная время полета, найдем максимальное расстояние, которое пролетит тело:

Дальность полета:

Из этой формулы следует, что:

– максимальная дальность полета будет наблюдаться при бросании тела (при стрельбе, например) под углом 45⁰;

– на одно и то же расстояние можно бросить тело (с одинаковой начальной скоростью) двумя способами – т.н. навесная и настильная баллистические траектории.

Используя то, что парабола – это симметричная кривая, найдем максимальную высоту, которой может достичь тело.
Время, за которое тело долетит до середины, равно:

Время подъема:

Тогда: 

Максимальная высота:

Скорость тела в любой момент времени направлена по касательной к траектории движения (параболе) и равна

 

Угол, под которым направлен вектор скорости в любой момент времени:

 

Движение горизонтально брошенного тела:

Рассмотрим движение шара, движущегося прямолинейно по поверхности стола с высотой

При достаточно малом сопротивлении воздуха, которым можно пренебречь, тело будет двигаться в горизонтальном направлении равномерно со скоростью . Поэтому перемещение
в горизонтальном направлении в любой момент времени , или длина полета, определяется следующей формулой: 

Проекции скорости тела на оси и  определятся следующими соотношениями:

В вертикальном же направлении, двигаясь равноускоренно без начальной скорости, тело будет свободно падать с высоты . Следовательно, положение тела в вертикальном направлении после произвольного времени будет определяться формулой:

Из соотношений (1.21) и (1.22) уравнение траектории движения горизонтально брошенного тела на плоскости будет иметь следующий вид:

Выражение (1.24) является уравнением параболы. Значит, горизонтально брошенное тело будет двигаться по параболической линии. Время полета тела, брошенного горизонтально с высоты , определяется выражением:

В этом случае формула для расчета длины полета тела будет иметь вид:

Горизонтально брошенное тело, одновременно двигаясь в горизонтальном направлении равномерно и в вертикальном направлении равноускоренно, свободно падает. К концу движения (после истечения времени ) скорости в горизонтальном и вертикальном направлении будут  и соответственно. Таким образом, скорость тела при падении на землю определяется выражением:

или

Перемещение и траектория тела при криволинейном движении неравны между собой. Модуль вектора и направление движения горизонтально брошенного тела на протяжении движения меняются непрерывно.

Образец решения задачи:

Тело брошено горизонтально на высоте 35 м со скоростью 30м/с. Найти скорость тела при падении на землю.
Дано:

Найти:

Формула:

Решение:

Ответ: 40 м/c.

Движение тела, брошенного горизонтально и под углом к горизонту

Если материальная точка участвует одновременно в нескольких движениях, то такое движение называют сложным.

Примером сложного движения является движение под действием силы тяжести в том случае, если падающему телу сообщена начальная скорость, непараллельная вектору ускорения свободного падения.

Рассмотрим движение тела, брошенного горизонтально со скоростью Выберем систему координат так, что ее начало находится на поверхности Земли, направив ось Ох горизонтально, а ось Оу — вертикально (рис. 23).

Это сложное движение можно представить в виде суммы двух независимых движений — равномерного с постоянной скоростью  вдоль горизонта (оси Ох) и свободного падения в вертикальном направлении с ускорением

Движение тела в горизонтальном направлении будет описываться уравнением

а в вертикальном — уравнением

Здесь — координата тела по оси Оу в начальный момент времени Если тело брошено с высоты то время падения определяется из

условия

Для получения уравнения траектории движения у(х) необходимо исключить время из уравнений движения (1) и (2). Из уравнения (1) выражаем время t и подставляем в уравнение (2). Получаем

Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент перед множителем отрицательный.

Скорость вдоль направления оси Ох остается неизменной и равной

Вдоль оси Оу движение равноускоренное. В начальный момент времени вертикальная составляющая скорости равна нулю поэтому мгновенная скорость вдоль оси Оу находится из соотношения Модуль мгновенной скорости определяется по теореме Пифагора (см. рис. 23):

Угол между начальной скоростью и мгновенной скоростью и в момент времени t можно найти из соотношения

В приведенных формулах сопротивление воздуха не учитывается.

Рассмотрим теперь движение тела, брошенного со скоростью под некоторым углом к горизонту (рис. 24).

Это сложное движение можно представить в виде суммы двух независимых движений — равномерного в горизонтальном направлении со скоростью

и равноускоренного в вертикальном направлении с ускорением и начальной
скоростью

В том случае, если система координат выбрана так, что начальные координаты уравнение траектории движения имеет вид

Как и при движении тела, брошенного горизонтально, траектория представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз, поскольку коэффициент перед отрицателен. Вершина параболы при этом имеет координаты

где l — дальность полета тела, — максимальная высота его подъема в процессе полета.

Модули горизонтальной  и вертикальной составляющих мгновенной скорости движения определяются из следующих соотношений:

Мгновенную скорость  и движения тела в произвольной точке Л траектории можно найти как векторную сумму горизонтальной и вертикальной мгновенных скоростей движения (см. рис. 24).

Время подъема тела можно найти из условия

Если сопротивление воздуха при движении не учитывается, то время подъема равно времени падения: (докажите это самостоятельно).

Таким образом, время полета тела можно найти как

Определив вертикальную составляющую скорости  в искомый момент времeни, по формуле можно найти высоту, на которой находится тело.

Максимальная высота подъема тела легко определяется из условия, что вертикальная составляющая скорости в этой точке равна пулю Тогда

Дальность полета l — расстояние, пройденное телом за время полета  вдоль оси Ох с постоянной скоростью (см. рис. 24). Она определяется по формуле

Таким образом, дальность полета определяется модулем начальной скорости тела и углом его бросания

Заметим, что согласно формуле (9) при неизменном модуле начальной скорости тела максимальная дальность полета достигается при т. е. при угле бросания = 45°.

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, теория и онлайн калькуляторы

Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Начальные условия. Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Рассмотрим движение тела в поле тяжести Земли, сопротивление воздуха учитывать не будем. Пусть начальная скорость брошенного тела направлена под углом к горизонту $alpha $ (рис.1). Тело брошено с высоты ${y=h}_0$; $x_0=0$.

Тогда в начальный момент времени тело имеет горизонтальную ($v_x$) и вертикальную ($v_y$) составляющие скорости. Проекции скорости на оси координат при $t=0$ равны:

[left{ begin{array}{c}
v_{0x}=v_0{cos alpha , } \
v_{0y}=v_0{sin alpha . } end{array}
right.left(1right).]

Ускорение тела равно ускорению свободного паления и все время направлено вниз:

[overline{a}=overline{g}left(2right).]

Значит, проекция ускорения на ось X равна нулю, а на ось Y равна $a_y=g.$

Так как по оси X составляющая ускорения равна нулю, то скорость движения тела в этом направлении является постоянной величиной и равна проекции начальной скорости на ось X (см.(1)). Движение тела по оси X равномерное.

При ситуации, изображенной на рис.1 тело по оси Y будет двигаться сначала вверх, а затем виз. При этом ускорение движения тела в обоих случаях равно ускорению $overline{g}.$ На прохождение пути вверх от произвольной высоты ${y=h}_0$ до максимальной высоты подъема ($h$) тело тратит столько же времени, сколько на падение вниз от $h$ до ${y=h}_0$. Следовательно, точки симметричные относительно вершины подъема тела лежат на одинаковой высоте. Получается, что траектория движения тела симметрична относительно точки-вершины подъема – и это парабола.

Скорость движения тела, брошенного под углом к горизонту можно выразить формулой:

[overline{v}left(tright)={overline{v}}_0+overline{g}t left(3right),]

где ${overline{v}}_0$ – скорость тела в момент броска. Формулу (3) можно рассматривать как результат сложения скоростей двух независимых движений по прямым линиям, в которых участвует тело.

Выражения для проекции скорости на оси принимают вид:

[left{ begin{array}{c}
v_x=v_0{cos alpha , } \
v_y=v_0{sin alpha -gt } end{array}
left(4right).right.]

Уравнение для перемещения тела при движении в поле тяжести:

[overline{s}left(tright)={overline{s}}_0+{overline{v}}_0t+frac{overline{g}t^2}{2}left(5right),]

где ${overline{s}}_0$ – смещение тела в начальный момент времени.

Проектируя уравнение (5) на оси координат X и Y, получим:

[left{ begin{array}{c}
x=v_0{cos left(alpha right)cdot t, } \
y={h_0+v}_0{sin left(alpha right)cdot t-frac{gt^2}{2} } end{array}
left(6right).right.]

Тело, двигаясь вверх, имеет по оси Y сначала равнозамедленное перемещение, после того, как тело достигает вершины, движение по оси Y становится равноускоренным.

Траектория движения материальной точки получается, задана уравнением:

[y=h+x tg alpha -frac{gx^2}{2v^2_0{cos}^2alpha }left(7right).]

По форме уравнения (7) видно, что траекторией движения является парабола.

Время подъема и полета тела, брошенного под углом к горизонту

Время, затрачиваемое телом для того, чтобы достигнуть максимальной высоты подъема получают из системы уравнений (4). . В вершине траектории тело имеет только горизонтальную составляющую, $v_y=0.$ Время подъема ($t_p$) равно:

[t_p=frac{v_0{sin alpha }}{g}left(8right).]

Общее время движения тела (время полета ($t_{pol}))$находим из второго уравнения системы (6), зная, что при падении тела на Землю $y=0$, имеем:

[t_{pol}=frac{v_0{sin alpha +sqrt{v^2_0{sin}^2alpha +2gh} }}{g}left(9right).]

Дальность полета и высота подъема тела, брошенного под углом к горизонту

Для нахождения горизонтальной дальности полета тела ($s$) при заданных нами условиях в уравнение координаты $x$ системы уравнений (6) следует подставить время полета ($t_{pol}$) (9). При $h=0,$ дальность полета равна:

[s=frac{v^2_0{sin left(2alpha right) }}{g}left(10right).]

Из выражения (9) следует, что при заданной скорости бросания дальность полета максимальна при $alpha =frac{pi }{4}$.

Максимальную высоту подъема тела ($h_{max}$) находят из второго уравнения системы (6), подставляя в него время подъема ($t_p$) (8):

[h_{max}=h+frac{{v_0}^2{{sin}^2 б }}{2g}left(11right).]

Выражение (11) показывает, что максимальная высота подъема тела прямо пропорциональна квадрату скорости бросания и увеличивается при росте угла бросания.

Примеры задач с решением

Читать дальше: закон сообщающихся сосудов.