Как найти все частичные пределы последовательности

1. Подпоследовательность.

   Начать изучение
   

2. Существование частичного предела у ограниченной последовательности.

   Начать изучение
   

Подпоследовательность.

Пусть задана последовательность ({x_{n}}). Рассмотрим строго возрастающую последовательность ({n_k}) натуральных чисел, то есть такую, что
$$
n_{1} < n_{2} < ldots < n_{k} ldotsnonumber
$$

Тогда последовательность ({y_{k}}), где (y_{k}=x_{n_k}) при (kinmathbb{N}) называется подпоследовательностью последовательности ({x_n}) и обозначается ({x_{n_{k}}}). Например, последовательность нечетных натуральных чисел 1, 3, 5, 7, 9, …, взятых в порядке возрастания, является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел 1, 2, 3, …, а последовательность 3, 5, 1, 9, 11, 7, … уже не является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел.

Согласно определению подпоследовательность ({x_{n_{k}}}) образована из членов исходной последовательности ({x_{n}}), причем порядок следования членов в подпоследовательности такой же, как и в данной последовательности ({x_{n}}). В записи ({x_{n_k}}) число k означает порядковый номер члена последовательности (x_{n_{1}},x_{n_{2}},ldots) а (n_{k}) — номер этого члена в исходной последовательности. Поэтому (n_kgeq k), откуда следует, что (n_{k}rightarrowinfty) при (krightarrowinfty).

Введем теперь понятие частичного предела. Пусть ({x_{n_{k}}}) — подпоследовательность последовательности ({x_{n}}), и пусть существует конечный или бесконечный (displaystyle lim_{krightarrowinfty}x_{n_{k}}=a). Тогда a называют частичным пределом последовательности ({x_n}). Например, последовательность ({(-1)^{n}}) имеет два частичных предела, а именно -1 и 1. Последовательность ({1+(-1)^nn}) имеет два частичных предела, а именно 0 и (+infty).

Если ({x_{n}}) — ограниченная последовательность, a L — множество всех ее частичных пределов, то числа (sup L) и (inf L) называют соответственно верхним и нижним пределом этой последовательности и обозначают соответственно символами (displaystyle varlimsup_{nrightarrowinfty}x_{n}) и (displaystyle varliminf_{nrightarrowinfty}x_{n}).

Например, для последовательности 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, … имеем (displaystyle varlimsup_{nrightarrowinfty}x_{n}=3, varliminf_{nrightarrowinfty}x_{n}=1).

Существование частичного предела у ограниченной последовательности.

Пусть

– некоторая числовая последовательность.
Рассмотрим произвольную возрастающую
последовательность целых положительных
чисел
().
Выберем из
члены с номерами :

.

Полученная
числовая последовательность
называется подпоследовательностью
последовательности .

Теорема
3. Если ,
то любая подпоследовательность
сходится к
при .

Определение
3. Число
называется предельной
точкой (или частичным
пределом) последовательности
,
если из последовательности
можно выделить подпоследовательность
,
сходящуюся к .

Можно и по другому сформулировать
определение предельной точки.

Определение
4. Число
называется предельной
точкой последовательности
,
если в любой -окрестности
точки
содержится бесконечно много членов
последовательности .

На
языке последовательностей теорема
Больцано-Вейерштрасса
формулируется так.

Теорема
4 (Больцано-Вейерштрасса).

Из любой ограниченной последовательности
можно выделить сходящуюся
подпоследовательность.

Из теоремы 3 следует, что сходящаяся
последовательность имеет только одну
предельную точку, совпадающую с ее
пределом.

Из теоремы 4 следует, что всякая
ограниченная последовательность имеет,
по крайней мере, одну предельную точку.

Определение
5. Наибольшая (наименьшая)
предельная точка последовательности
,
ограниченной сверху (снизу), называется
верхним
(нижним)
пределом
этой последовательности и обозначается

.

Очевидно,
если
сходится, то
.
Если последовательность
не ограничена сверху (снизу), то полагают

.

Пример
2. Доказать расходимость
последовательности .

Решение.
Рассмотрим две
подпоследовательности этой
последовательности
и
().
Очевидно, что ,
.
Таким образом, последовательность
имеет две предельные точки:
и ,
а поэтому не может быть сходящейся,
поскольку сходящаяся последовательность
имеет только одну предельную точку.

Пример
3. Найти все предельные
точки последовательности ,
верхний и нижний пределы этой
последовательности.

Решение.
Каждое из чисел ,
,
,
,
,

встречается в последовательности
бесконечно много раз, поскольку
.
Поэтому каждое указанное число является
предельной точкой последовательности
.
Других предельных точек последовательность
не имеет, так как если число
не совпадает ни с одним из этих 181 чисел,
то существует окрестность точки ,
не содержащая ни одного члена
последовательности. Из найденных 181
предельных точек наименьшей является
,
а наибольшей 1, т.е. ,
.

1.16. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства

Определение
1. Последовательность

называется бесконечно
малой, если ее предел
равен нулю, т.е. .

Определение
2. Последовательность

называется бесконечно
большой, если для всякого
сколь угодно большого числа
существует такой номер ,
начиная с которого все члены
последовательности удовлетворяют
неравенству .

С геометрической точки зрения это
означает, что в любой окрестности нуля
находится лишь конечное число членов
последовательности, а вне ее – бесконечно
много.

Если
последовательность
– бесконечно большая, то пишут .
Если при этом, начиная с некоторого
номера, все члены бесконечно большой
последовательности положительны
(отрицательны), то пишут
().
Отметим, что бесконечно большая
последовательность не является сходящейся
и символическая запись
означает только, что последовательность

является бесконечно большой, но вовсе
не означает, что она имеет предел.

Всякая бесконечно большая последовательность
является неограниченной, поскольку вне
любой окрестности нуля имеется член
последовательности (даже все члены,
начиная с некоторого номера). Обратное
неверно: неограниченная последовательность
может и не быть бесконечно большой.

Пример
1. Пусть .
Доказать, что последовательность :
а) неограниченная; б) не является
бесконечно большой.

Решение.

а)
Заметим, что
член последовательности с номером
равен
и больше .
Это и означает по определению, что
– неограниченная последовательность.

б)
Очевидно, что в интервале
находятся все члены последовательности

с нечетными номерами, а значит, в этом
интервале находится бесконечно много
членов последовательности. Отсюда
следует, что
не является бесконечно большой.

Теорема 1.Алгебраическая сумма
конечного числа бесконечно малых
последовательностей является бесконечно
малой последовательностью.

Доказательство.
Пусть
и –
бесконечно малые последовательности.
Тогда для любого ε>0
существуют номера n₁(ε/2)
и n₂(ε/2)
такие, что для всех n>
n₁(ε/2)выполняется
неравенство |x_n|<ε/2
и n₂(ε/2)|y_n|<ε/2.
Тогда, полагая n₀=max(n₁(ε/2),
n₂(ε/2)),
получим, что для любого n>n₁|x_n±
y_n|≤|x_n|+|y_n|<ε/2+ε/2=ε.
Следовательно, {x_n±y_n}
– бесконечно малая последовательность.

Теорема 2.
Произведение бесконечно малой
последовательности на ограниченную
является бесконечно малой последовательностью.

Доказательство.
Пусть {х_n}
– бесконечно малая последовательность,
а {у_n}
– ограниченная последовательность,
т.е. существует такое число М>0,
что для всех натуральных номеров
выполняется неравенство │y_n│≤М.

Зададим ε>0,
в силу определения бесконечно малой
последовательности существует такой
номер N, что для всех
n≥N
выполняются неравенства │x_n│<.
Поэтому для всех n≥N
имеем │x_ny_n│=│x_n││y_n│<M=ε,
что и означает, что последовательность
{ x_ny_n}
бесконечно малая.

Следствие.Произведение конечного
числа бесконечно малых последовательностей
является бесконечно малой последовательностью.

Теорема
3. Если последовательность

– бесконечно большая, то начиная с
некоторого номера
определена последовательность ,
которая является бесконечно малой. Если
последовательность
– бесконечно малая и ,
то последовательность
является бесконечно большой.

Пример
2. Доказать, что
последовательность
является: а) бесконечно большой при ;
б) бесконечно малой при .

Решение.

а)
Докажем, что последовательность
удовлетворяет определению бесконечно
большой, т.е.
такое, что
выполняется неравенство

.
(1)

Зададим
произвольное .
Для отыскания номера
решим неравенство (1) относительно .
Получим

.
(2)

Положим
.
Тогда
выполняется неравенство (2), а значит, и
(1). Таким образом,

такое, что .
Это и требовалось доказать.

б) Если
,
то

и, следовательно,
– бесконечно малая. Пусть .
Тогда .
Так как ,
то последовательность
является бесконечно большой, а
последовательность
– бесконечно малой в силу теоремы 3.
Таким образом, последовательность
– бесконечно малая при .

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Частичный предел некоторой последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей, если только он существует. Для сходящихся числовых последовательностей частичный предел совпадает с обычным пределом в силу единственности последнего, однако в самом общем случае у произвольной последовательности может быть от нуля до бесконечного числа различных частичных пределов. При этом, если обычный предел характеризует точку, к которой элементы последовательности приближаются с ростом номера, то частичные пределы характеризуют точки, вблизи которых лежит бесконечно много элементов последовательности.

Два важных частных случая частичного предела — верхний и нижний пределы.

Определения[править | править код]

Частичным пределом последовательности называется предел какой-либо её подпоследовательности, если существует хотя бы одна подпоследовательность, имеющая предел. В противном случае, говорят, что у последовательности нет частичных пределов. В некоторой литературе в случаях, если из последовательности удаётся выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой одновременно положительны или отрицательны, её частичным пределом называют соответственно или .

Нижний предел последовательности — это точная нижняя грань множества частичных пределов последовательности.

Верхний предел последовательности — это точная верхняя грань множества частичных пределов последовательности.

Иногда нижним пределом последовательности называют наименьшую из её предельных точек, а верхним — наибольшую.^[1]
Эти определения эквивалентны, так как точная грань множества предельных точек обязательно принадлежит этому множеству.

Обозначения[править | править код]

Нижний предел последовательности :

• (в отечественной литературе);

• (в иностранной литературе).

Верхний предел последовательности :

• (в отечественной литературе);

• (в иностранной литературе).

Примеры[править | править код]

Свойства[править | править код]

• Частичным пределом последовательности может быть только её предельная точка, и, наоборот, любая предельная точка последовательности представляет собой некоторый её частичный предел. Иными словами, понятия «частичный предел последовательности» и «предельная точка последовательности» эквивалентны^[a].
• У любой ограниченной последовательности существуют и верхний, и нижний пределы (в множестве вещественных чисел). Если же считать и допустимыми значениями частичного предела, то верхний и нижний пределы существуют вообще у любой числовой последовательности.
• Числовая последовательность сходится к тогда и только тогда, когда .
• Для любого наперёд взятого положительного числа все элементы ограниченной числовой последовательности , начиная с некоторого номера, зависящего от , лежат внутри интервала .
• Если за пределами интервала лежит лишь конечное число элементов ограниченной числовой последовательности , то интервал содержится в интервале .
• Множество частичных пределов замкнуто.

Примечания[править | править код]

Комментарии[править | править код]

Источники[править | править код]

Определение 3.16. Если ${ a_ n} $ числовая последовательность, ${ n_ k} $ — строго возрастающая последовательность натуральных чисел, то последовательность ${ b_ k} $, где $forall kin mathbb {N}colon b_ k = a_{n_ k}$, называют подпоследовательностью ${ a_ n} $. Обозначение. ${ a_{n_ k}} $

Пример. $left{ frac{1}{2k}right} $ — подпоследовательность $left{ frac1nright} $.

Лемма 3.4. Если последовательность имеет предел в $overline{mathbb {R}}$, то любая её подпоследовательность имеет тот же предел.

$blacktriangle $ Пусть $lim limits _{nto infty }a_ n = a, { a_{n_ k}} $ — подпоследовательность ${ a_ n} $.

1. Покажем, что $forall k in mathbb {N}colon n_ k geqslant k$.

   ММИ: для $k=1 n_1 geqslant 1$ — верно. Пусть неравенство выполняется для любого $k$. Тогда оно выполняется и для $k+1$: $n_{k+1} > n_{k} geqslant k Rightarrow n_{k+1} geqslant k+1$.

2. $lim limits _{nto infty }a_ n = a Rightarrow forall varepsilon > 0 exists N_varepsilon in mathbb {R} forall n > N_varepsilon colon a_ n in B_varepsilon (a)$. Тогда $forall k > N_varepsilon colon $ $n_ k > k > N_varepsilon Rightarrow $ $a_{n_ k} in ~B_varepsilon (a)$, т.е. $lim limits _{nto infty }a_{n_ k} = a$.

Определение 3.17. Точка $ain overline{mathbb {R}}$ называется частичным пределом ${ a_ n} $, если $exists { a_{n_ k}} $ — подпоследовательность ${ a_ n} $, т.ч. $lim limits _{kto infty }a_{n_ k} = a$.

Теорема 3.11 (Критерий частичного предела). $a in overline{mathbb {R}}$ — частичный предел ${ a_ n} $ $Leftrightarrow $
$ forall varepsilon > 0 B_varepsilon (a)$ содержит бесконечно много членов $a_ n$ (т.е. ${ n in mathbb {N}colon a_ n in B_varepsilon (a)} $ — бесконечно).

$blacktriangle $ ($Rightarrow $) Пусть $a$ — частичный предел ${ a_ n} $ $Rightarrow $$exists { a_{n_ k}} $ — подпоследовательность ${ a_ n} $,
что $a = lim limits _{kto infty }{ a_{n_ k}} $. Тогда $forall varepsilon > 0 exists N forall k > Ncolon a_{n_ k} in B_varepsilon (a) Rightarrow $ в $B_varepsilon (a)$ содержится бесконечное число членов ${ a_{n_ k}} $, а следовательно, и самой последовательности ${ a_ n} $.

($Leftarrow $) Пусть в любой окрестности $B_varepsilon (a)$ точки $a in overline{mathbb {R}}$ содержится бесконечное число членов ${ a_{n}} $. Выберем $n_1 in mathbb {N}colon a_{n_1} in B_1(a)$. Если уже выбраны $n_1, n_2, ldots , n_ m in mathbb {N}colon n_1 < n_2 < ldots < n_ m$ и $a_{n_ k} in B_{frac1k}(a) (1 leqslant k leqslant m)$, то выберем $n_{m+1}$ так, что $n_{m+1} > n_ m$ и $a_{n_{m+1}} in B_{frac1{m+1}}(a)$. Так будет построена подпоследовательность ${ a_{n_ k}} $. Покажем, что $a = lim limits _{kto infty }a_{n_ k}$. Действительно, $forall varepsilon > 0 exists N = frac1varepsilon forall k > N colon a_{n_ k} in B_{frac1k}(a) subset B_varepsilon (a)$. $blacksquare $

Следствие. $+infty (-infty )$ — частичный предел ${ a_ n} Leftrightarrow $ ${ a_ n} $ неограничена сверху (снизу).

$blacktriangle $ Докажем для $+infty $. Доказательство для $-infty $ аналогично.

Если $+infty $ не является частичным пределом ${ a_ n} $, то $exists varepsilon >0$, что $B_varepsilon (+infty )$ содержит лишь конечное число членов $a_ n$. Тогда $forall nin mathbb {N}colon $ $a_ n leqslant max { frac1varepsilon , a_ nmbox{, где } a_ nin B_varepsilon (+infty )} $, т.е. ${ a_ n} $ ограничена сверху.

Если ${ a_ n} $ ограничена сверху, то $exists Min mathbb {R}colon a_ nleqslant M$. Найдём $varepsilon >0colon frac1varepsilon >M$. Тогда в $B_varepsilon (+infty )$ нет членов ${ a_ n} $ и, значит, по Т3.11 $+infty $ не является частичным пределом. $blacksquare $

Теорема 3.12. Множество частичных пределов последовательности не пусто в $overline{mathbb {R}}$.

$blacktriangle $ Пусть $L$ — множество частичных пределов последовательности ${ a_ n} $. Пусть

$E = { x in mathbb {R}colon x = a_ n, n in mathbb {N}} $ — множество значений ${ a_ n} $.

1. $E$ — конечно $Rightarrow exists a in E, exists { n_ k} $ — строго возрастающая последовательность натуральных чисел, что $a = a_{n_ k} Rightarrow lim limits _{kto infty }a_{n_ k} = a Rightarrow ain L$.

2. $E$ — бесконечно $Rightarrow exists a$ — предельная точка $E$ $Rightarrow $  $forall varepsilon > 0colon B_varepsilon (a) cap E$ — бесконечно $Rightarrow $

   $forall varepsilon > 0 { n in mathbb {N}colon a_ n in B_varepsilon (a)} $ — бесконечно $Rightarrow a$ — частичный предел ${ a_ n} $, т.е. $ain L$.

Следствие (Теорема Больцано-Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

$blacktriangle $ По Теореме 3.12 множество частичных пределов последовательности непусто в $overline{mathbb {R}}$, но $pm infty $ по следствию из Т3.11 не является частичным пределом $Rightarrow $  множество частичных пределов содержит действительное число. $blacksquare $

Теорема 3.13. Множество частичных пределов в $overline{mathbb {R}}$  (и в $mathbb {R}$) замкнуто.

$blacktriangle $ Пусть $L$ — множество частичных пределов ${ a_ n} $. Покажем, что $overline{mathbb {R}}backslash L (mathbb {R}backslash L)$ открыто.

Пусть $y in overline{mathbb {R}}backslash L Rightarrow exists B_varepsilon (y)$, содержащая лишь конечное число членов ${ a_ n} $. Т.к. $B_varepsilon (y)$ — открытое множество, то $forall x in B_varepsilon (y) exists B_delta (x) subset B_varepsilon (y)$. Но тогда в $B_delta (x)$ лишь конечное число членов ${ a_ n} $ $Rightarrow x$ не является частичным пределом ${ a_ n} Rightarrow x in overline{mathbb {R}}backslash L (mathbb {R}backslash L) Rightarrow B_varepsilon (y) subset overline{mathbb {R}}backslash L (mathbb {R}backslash L) Rightarrow $

$ overline{mathbb {R}}backslash L (mathbb {R}backslash L)$ открыто $Rightarrow L$ — замкнуто. $blacksquare $

Следствие. Множество частичных пределов последовательности имеет максимальный и минимальный элементы в $overline{mathbb {R}}$.

$blacktriangle $ Пусть $L$ — множество частичных пределов ${ a_ n} $. По Т3.12 и Т3.13 множество $L$ непусто и замкнуто в $overline{mathbb {R}}$. Если $L$ ограничено, то по Т2.3 $L$ имеет максимальный и минимальный элементы. Если $L$ неограничено сверху (снизу), то сама последовательность ${ a_ n} $ не ограничена сверху (снизу) $Rightarrow +infty (-infty ) in L$ по следствию из Т3.11 $Rightarrow $ $+infty $ — максимальный элемент $L$ ($-infty $ — минимальный элемент $L$). $blacksquare $

Определение 3.18.

1. Верхний предел последовательности ${ a_ n} $ — это наибольший из частичных пределов ${ a_ n} $ в $overline{mathbb {R}}$. Обозначение. $varlimsup limits _{nto infty }a_ n$.

2. Нижний предел последовательности ${ a_ n} $ — это наименьший из частичных пределов ${ a_ n} $ в $overline{mathbb {R}}$. Обозначение. $varliminf limits _{nto infty }a_ n$.

Теорема 3.14. Справедливы равенства:

$$varlimsup limits _{nto infty }a_ n = lim limits _{nto infty }sup limits _{kgeqslant n} { a_ k} , quad varliminf limits _{nto infty }a_ n = lim limits _{nto infty }inf limits _{kgeqslant n} { a_ k} .$$

$blacktriangle $ Докажем первое равенство. Пусть $b_ n = sup limits _{kgeqslant n} { a_ k} $ (${ b_ n} $ — последовательность со значениями в $overline{mathbb {R}}$). Т.к. $forall n in mathbb {N}colon b_ n = sup limits _{kgeqslant n} { a_ k} geqslant sup limits _{kgeqslant {n+1}} { a_ k} = b_{n+1}$ (вытекает из $(X subset Y Rightarrow sup X leqslant sup Y)$), то ${ b_ n} $ нестрого убывает $Rightarrow exists S = lim limits _{nto infty }b_ n in overline{mathbb {R}}$.

Возможно 3 случая:

1. $S = +infty Rightarrow forall n in mathbb {N}colon b_ n = +infty Rightarrow b_1 = sup { a_ n} = +infty Rightarrow { a_ n} $ — неограниченно сверху $Rightarrow $  $+infty $ — частичный предел ${ a_ n} Rightarrow +infty = varlimsup limits _{nto infty }a_ n$.

2. $S = -infty $. Поскольку $forall n in mathbb {N}colon a_ n leqslant sup limits _{kgeqslant n} { a_ k} = b_ n stackrel{mbox{Т3.7}}{Rightarrow } lim limits _{nto infty }a_ n = -infty Rightarrow $ множество частичных пределов ${ a_ n} $ состоит из $-infty Rightarrow varlimsup limits _{nto infty }a_ n = -infty $.

3. $Sin mathbb {R}$. Тогда $forall varepsilon > 0 exists N forall n > Ncolon b_ n in B_varepsilon (S)$. Т.к. ${ b_ n} $ нестрого убывает, то $S = inf { b_ n} Rightarrow $ $forall n > Ncolon S leqslant b_ n < S + varepsilon $. По определению точной верней грани

   $exists k geqslant ncolon S-varepsilon < a_ k leqslant sup limits _{kgeqslant n} { a_ k} = b_ n < S + varepsilon $. Итак, $forall varepsilon > 0 forall n in mathbb {N} exists k geqslant ncolon a_ k in B_varepsilon (S) Rightarrow B_varepsilon (S)$ содержит бесконечно много членов ${ a_ n} Rightarrow S$ — частичный предел ${ a_ n} $.

   С другой стороны, $forall n > Ncolon a_ n leqslant sup limits _{kgeqslant n} { a_ k} = b_ n < S + varepsilon Rightarrow $ множество $A_varepsilon = { x in mathbb {R}, x > S + varepsilon } $ содержит лишь конечное число членов ${ a_ n} $. Множество $A_varepsilon $ открыто $Rightarrow $

   $forall y in A_varepsilon exists B_delta (y) subset A_varepsilon $ $Rightarrow $ в $B_delta (y)$ содержится лишь конечное число членов ${ a_ n} Rightarrow y$ не является частичным пределом ${ a_ n} $. Т.к. $varepsilon > 0$ произвольно, то $forall x > Scolon $ $x$ не является частичным пределом ${ a_ n} $.

   Следовательно, $S = varlimsup limits _{nto infty }a_ n$. $blacksquare $

Теорема 3.15. $a = lim limits _{nto infty }a_ n Leftrightarrow varlimsup limits _{nto infty }a_ n = varliminf limits _{nto infty }a_ n = a$.

$blacktriangle $ ($Rightarrow $) Пусть $a = lim limits _{nto infty }a_ n$. Тогда по Л3.4 множество частичных пределов ${ a_ n} $ состоит только из $a Rightarrow $ $varlimsup limits _{nto infty }a_ n = varliminf limits _{nto infty }a_ n = a$.

($Leftarrow $) Если $varlimsup limits _{nto infty }a_ n = varliminf limits _{nto infty }a_ n = a$, то по Т3.14 имеем:

$forall varepsilon > 0 exists N_varepsilon ‘ forall n > N_varepsilon ‘colon sup limits _{kgeqslant n} { a_ k} in B_varepsilon (a)$.

$forall varepsilon > 0 exists N_varepsilon ” forall n > N_varepsilon ”colon inf limits _{kgeqslant n} { a_ k} in B_varepsilon (a)$.

Положим $N_varepsilon = max { N_varepsilon ‘, N_varepsilon ”} $. Тогда, учитывая $inf limits _{kgeqslant n} { a_ k} leqslant a_ n leqslant sup limits _{kgeqslant n} { a_ k} $, имеем

$forall varepsilon > 0 forall n > N_varepsilon colon a_ n in B_varepsilon (a)$, т.е. $lim limits _{nto infty }a_ n = a$. $blacksquare $

Уже в условии даются формулы для двух подпоследовательностей.
Итак, любой элемент последовательности по условию принадлежит одной из двух подпоследовательностей:

Найдем предел первой подпоследовательности:

Мы воспользовались тем, что , так как является частным случаем последовательности при (см. прото-задачу П-ссылка).

Найдем предел второй подпоследовательности:

Итак, мы нашли две предельные точки исходной последовательности. Так как любой член исходной последовательности лежит в одной из двух рассмотренных выше
подпоследовательностях, то, по прото-задаче П-ссылка у исходной последовательности других предельных точек нет.

Значит, у последовательности всего два возможных частичных предела: и .