Как найти все целые значения в уравнении - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №9. Решение уравнений в целых числах.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

понятие диофантовых уравнений;
теоремы для решения уравнений в целых числах;
основные методы решения уравнений в целых числах.

Глоссарий по теме

Диофантовыми уравнениями называются уравнения вида

P(x₁, x₂, …, x_n) = 0,

где P(x₁, …, x_n) – многочлен с целыми коэффициентами.

Неопределенные уравнения – уравнения, содержащие более одного неизвестного. Под одним решением неопределенного уравнения понимается совокупность значений неизвестных, которая обращает данное уравнение в верное равенство.

Теорема 1. Если НОД(а, b) = d, то существуют такие целые числа х и у, что имеет место равенство ах + bу = d.

Теорема 2. Если уравнение ах + bу = 1, если НОД(а, b) = 1, достаточно представить число 1 в виде линейной комбинации чисел а и b.

Теорема 3. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = d>1 и с не делится на d, то уравнение целых решений не имеет.

Теорема 4. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = d>1 и с<d, то оно равносильно уравнению , в котором НОД = 1.

Теорема 5. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = 1, то все целые решения этого уравнения заключены в формулах:

х = + bt, у = -at, где – целое решение уравнения ах + bу = 1,

t – любое целое число.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017. Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Решение в целых числах алгебраических уравнений с целыми коэффициентами более чем с одним неизвестным представляет собой одну из труднейших и древнейших математических задач. Этими задачами много занимались самые выдающиеся математики древности, например, греческий математик Пифагор (VI век до н.э.), александрийский математик Диофант (III век н.э.), П.Ферма(XVII в.), Л.Эйлер(XVIII век), Ж.Л.Лагранж(XVIII век), П.Дирихле(XIX век), К.Гаусс(XIX век), П.Чебышев(XIX в.) и многие другие.

Решение уравнений в целых числах является важной задачей и для современной математики. Теоретический интерес уравнений в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел.

Ещё в начальной школе на уроках математики перед нами часто ставили задачу выяснить, при каких допустимых значениях буквы обе части того или иного равенства принимают одинаковые числовые значения. На равенство в этом случае мы смотрели как на уравнение относительно указанной неизвестной величины. В восьмом классе мы познакомились с решением квадратных уравнений с одной переменной. Но, готовясь к олимпиадам, рассматривая контрольно- измерительные материалы Единого государственного экзамена встречаемся с заданиями, в которых предлагали уравнения с двумя переменными.

Диофантовыми уравнениями называются уравнения вида

P(x₁, x₂, …, x_n) = 0,

где P(x₁, …, x_n) – многочлен с целыми коэффициентами.

Применение теории делимости к решению неопределенных уравнений в целых числах.

Для решения в целых числах уравнения вида ах + by = c, где а, b, c – целые числа, отличные от нуля, приведем ряд теоретических положений, которые позволят установить правило решения. Эти положения основаны также на уже известных фактах теории делимости.

Теорема 1. Если НОД(а, b) = d, то существуют такие целые числа х и у, что имеет место равенство ах + bу = d.

(Это равенство называется линейной комбинацией или линейным представлением наибольшего общего делителя двух чисел через сами эти числа.)

Доказательство теоремы основано на использовании равенства алгоритма Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (наибольший общий делитель выражается через неполные частные и остатки, начиная с последнего равенства в алгоритме Евклида).

Пример.

Найти линейное представление наибольшего общего делителя чисел 1232 и 1672.

Решение.

1. Составим равенства алгоритма Евклида:

1672 = 1232 ∙1 + 440,

1232 = 440 ∙ 2 + 352,

440 = 352 ∙ 1 + 88,

352 = 88 ∙ 4, т.е. (1672,352) = 88.

2) Выразим 88 последовательно через неполные частные и остатки, используя полученные выше равенства, начиная с конца:

88 = 440 – 352∙1 = (1672 – 1232) – (1232 – 1672∙2 + 1232∙2) = 1672∙3 – 1232∙4, т.е. 88 = 1672∙3 + 1232∙(-4).

Справедливость этой теоремы следует из теоремы 1. Таким образом, чтобы найти одно целое решение уравнения ах + bу = 1, если НОД (а, в) = 1, достаточно представить число 1 в виде линейной комбинации чисел а и в.

Пример.

Найти целое решение уравнения 15х + 37у = 1.

Решение.

1. 37 = 15 ∙ 2 + 7,

15 = 7 ∙ 2 + 1.

2. 1 = 15 – 7∙2 = 15 – (37 – 15∙2) ∙2 = 15∙5 + 37∙(-2),

т.е. – решение данного уравнения.

Теорема 3. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = d>1 и с не делится на d, то уравнение целых решений не имеет.

Для доказательства теоремы достаточно предположить противное.

Пример.

Найти целое решение уравнения 16х – 34у = 7.

Решение.

(16,34)=2; 7 не делится на 2, уравнение целых решений не имеет.

Теорема 4. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = d>1 и с<d, то оно равносильно уравнению , в котором НОД = 1.

При доказательстве теоремы следует показать, что произвольное целое решение первого уравнения является также решением второго уравнения и обратно.

Теорема 5. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = 1, то все целые решения этого уравнения заключены в формулах:

х = х₀с + bt, у = y₀c-at, где х₀, y₀ – целое решение уравнения ах + bу = 1,

t – любое целое число.

При доказательстве теоремы следует показать, во-первых, что приведенные формулы действительно дают решения данного уравнения и, во-вторых, что произвольное целое решение этого уравнения заключено в приведенных формулах.

Приведенные теоремы позволяют установить следующее правило решения в целых числах уравнения ах+ bу = с НОД(а, b) = 1:

Находится целое решение уравнения ах + bу = 1 путем представления 1 как линейной комбинации чисел а и b (существуют и другие способы отыскания целых решений этого уравнения, например при использовании цепных дробей);
Составляется общая формула целых решений данного уравнения х = х₀с + bt, у = y₀c – at, где х₀, y₀ – целое решение уравнения ах + bу = 1, t – любое целое число.

Придавая t определенные целые значения, можно получить частные решения данного уравнения: наименьшие по абсолютной величине, наименьшие положительные (если можно) и т.д.

Пример.

Найти целые решения уравнения 407х – 2816у = 33.

Решение.

1. Упрощаем данное уравнение, приводя его к виду 37х – 256у = 3.

2.Решаем уравнение 37х – 256у = 1.

256 = 37∙ 6 + 34,

37 = 34 ∙1 + 3,

34 = 3 ∙11 + 1.

1 = 34 – 3∙11 = 256 – 37∙6 – 11 (37 – 256 + 37∙6) = 256∙12 – 37∙83 =

= 37∙(-83) – 256∙(-12),

т.е. х₀= -83, y₀= -12.

3. Общий вид всех целых решений данного уравнения:

х = -83∙3 – 256t = -249 – 256t,

у = -12∙3 – 37 t = -36 – 37 t.

Положив t = -1, получим х₁= 7, у₁= 1 и общие формулы решений примут вид: х = 7 – 256t, у = 1-37t.

2. Метод полного перебора всех возможных значений переменных,

входящих в уравнение.

Найти множество всех пар натуральных чисел, которые являются решениями уравнения 49х + 51у = 602.

Решение:

Выразим из уравнения переменную х через у , так как х и у – натуральные числа, то

602 – 51у ≥ 49,

51у≤553,

Полный перебор вариантов показывает, что натуральными решениями уравнения являются х=5, у=7.

Ответ: (5;7).

3. Решение уравнений методом разложения на множители.

Диофант наряду с линейными уравнениями рассматривал квадратные и кубические неопределенные уравнения. Решение их, как правило, сложно.

Рассмотрим такой случай, когда в уравнениях можно применить формулу разности квадратов или другой способ разложения на множители.

Решить уравнение в целых числах: х²+ 23 = у²

Решение:

Перепишем уравнение в виде: у²– х²= 23, (у – х)(у + х) = 23

Так как х и у – целые числа и 23 – простое число, то возможны случаи:

; ; ; ;

Решая полученные системы, находим:

; ;;;

Ответ: (-11;12);(11;12);(11;-12);(-11;-12).

4. Выражение одной переменной через другую и выделение целой части дроби.

Решить уравнение в целых числах: х²+ ху – у – 2 = 0.

Решение:

Выразим из данного уравнения у через х:

у(х – 1) =2 – х²,

Так как х, у – целые числа, то дробь должна быть целым числом.

Это возможно, если х – 1 =

; ;

Ответ: (0; -2); (2; -2).

5. Методы, основанные на выделении полного квадрата.

Найдите все целочисленные решения уравнения: х²– 6ху + 13у²= 29.

Решение:

Преобразуем левую часть уравнения, выделив полные квадраты,

х²– 6ху + 13у²= (х²– 6ху + 9у²) + 4у²= (х – 3у)²+ (2у)²= 29, значит (2у)² 29.

Получаем, что у может быть равен .

1. у = 0, (х – 0)²= 29. Не имеет решений в целых числах.

2. у = -1, (х + 3)²+ 4 =29, (х + 3)²= 25, х + 3 = 5 или х + 3 = -5

х=2 х=-8

3. у = 1, (х – 3)²+4 =29,

(х – 3)²=25, х – 3 = 5 или х – 3 = -5

х = 8 х = -2

4. у = -2, (х + 6)²+ 16 = 29, (х + 6)²= 13. Нет решений в целых числах.

5. у=2, (х-6)²+16=29, (х-6)²=13. Нет решений в целых числах.

Ответ: (2; -1); (-8; -1); (8; 1); (-2; 1).

6. Решение уравнений с двумя переменными как квадратных

относительно одной из переменных.

Решить уравнение в целых числах: 5х²+5у²+8ху+2у-2х+2=0.

Решение:

Рассмотрим уравнение как квадратное относительно х:

5х²+ (8у – 2)х + 5у²+ 2у + 2 = 0

D = (8у – 2)²– 4·5(5у²+ 2у + 2) = 64у²– 32у + 4 = -100у²– 40у – 40= = -36(у²+ 2у + 1) = -36(у + 1)²

Для того, чтобы уравнение имело решения, необходимо, чтобы D = 0.

-36(у + 1)²= 0. Это возможно при у = -1, тогда х = 1.

Ответ: (1; -1).

7. Оценка выражений, входящих в уравнение.

Решить в целых числах уравнение:

(х²+ 4)(у²+ 1) = 8ху

Решение:

Заметим, что если – решение уравнения, то – тоже решение.

И так как х = 0 и у = 0 не являются решением уравнения, то, разделив обе части уравнения на ху, получим:

Пусть х > 0, у > 0, тогда, согласно неравенству Коши,

тогда их произведение , значит,

Отсюда находим х = 2 и у = 1 – решение, тогда х = -2 и у = -1 – тоже решение.

Ответ: (2; 1); (-2; -1)

8.Примеры уравнений второй степени с тремя неизвестными.

Рассмотрим уравнение второй степени с тремя неизвестными: х²+ у²= z².

Геометрически решение этого уравнения в целых числах можно истолковать как нахождение всех пифагоровых треугольников, т.е. прямоугольник треугольников, у которых и катеты х,у и гипотенуза z выражаются целыми числами.

По формуле х = uv, , где u и v – нечетные взаимно простые числа (u > v > 0) можно найти те решения уравнения х²+ у²= z², в которых числа х,у и z не имеют общих делителей (т.е. взаимно простые).

Для начальных значений u и v формулы приводят к следующим часто встречающимся равенствам:

3²+ 4²= 5²(u = 1, v = 3), 5²+ 12²= 13²(u = 1, v = 5), 15²+ 8²= 17²(u = 3, v = 5)

Все остальные целые положительные решения этого уравнения получаются умножением решений, содержащихся в формулах, на произвольный общий множитель а.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: выбор элемента из выпадающего списка

Решите уравнение 9х+22у-1=0

Выпадающий список:

(-5; 2)
(5; 2)
(-5; -2)
(5; -2)

Решение: Решим данное уравнение, воспользовавшись теоремой 2:

1. 22 = 9 ∙ 2 + 4,

9 = 4 ∙ 2 + 1.

2. 1 = 9 – 4∙2 = 9 – (22 – 9∙2) ∙2 = 9∙5 + 22∙(-2),

т.е. х₀= 5, у₀= -2 – решение данного уравнения

Ответ: 4. (5; -2)

№2. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

Найдите целое решение уравнения 3х+9у=3

х=____

у=____

Решение: Решим данное уравнение: 3х+9у=3

Разделим обе части уравнения на 3, получим:

х+3у=1

3 = 1 ∙ 2 + 1
1 = 3 – 1∙2, т.е. х₀= 1, у₀= 0 – решение данного уравнения

Ответ: х= 1, у= 0.

Источник

СПОСОБЫ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

Авторы
Руководители
Файлы работы
Наградные документы

Свиридова А.В. 1

1МБОУ СОШ “Аннинский Лицей”

Дрёмова О.Н. 1

1МБОУ СОШ “Аннинский Лицей”

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке “Файлы работы” в формате PDF

Введение.

Объект исследования.

Исследования касаются одного из наиболее интересных разделов теории чисел – решения уравнений в целых числах.

Предмет исследования.

Решение в целых числах алгебраических уравнений с целыми коэффициентами более чем с одним неизвестным представляет собой одну из труднейших и древнейших математических задач и не достаточно глубоко представлена в школьном курсе математики. В своей работе я представлю достаточно полный анализ уравнений в целых числах, классификацию данных уравнений по способам их решения, описание алгоритмов их решения, а также практические примеры применения каждого способа для решения уравнений в целых числах.

Цель.

Познакомиться со способами решения уравнений в целых числах.

Задачи:

Изучить учебную и справочную литературу;

Собрать теоретический материал по способам решения уравнений;

Разобрать алгоритмы решения уравнений данного вида;

Описать способы решения;

Рассмотреть примеры решения уравнений с применением данных способов.

Гипотеза:

Столкнувшись с уравнениями в целых числах в олимпиадных заданиях, я предположила, что трудности в их решении обусловлены тем, что далеко не все способы их решения мне известны.

Актуальность:

Решая примерные варианты заданий ЕГЭ, я заметила, что часто встречаются задания на решение уравнений первой и второй степени в целых числах. Кроме того олимпиадные задания различных уровней также содержат уравнения в целых числах или задачи, которые решаются с применением умений решать уравнения в целых числах. Важность знания способов решения уравнений в целых числах и определяет актуальность моих исследований.

Методы исследования

Теоретический анализ и обобщение сведений научной литературы об уравнениях в целых числах.

Классификация уравнений в целых числах по методам их решения.

Анализ и обобщение методов решения уравнений в целых числах.

Результаты исследования

В работе описаны способы решений уравнений, рассмотрен теоретический материал теоремы Ферма, теорема Пифагора, алгоритма Евклида, представлены примеры решений задач и уравнений различных уровней сложности.

2.История уравнений в целых числах

Диофант – ученый – алгебраист Древней Греции, по некоторым данным он жил до 364 года н. э. Он специализировался на решении задач в целых числах. Отсюда и пошло название Диофантовы уравнения. Наиболее известной, решенной Диофантом, является задача «о разложении на два квадрата». Ее эквивалентом является известная всем теорема Пифагора. Жизнь и деятельность Диофанта протекала в Александрии, он собирал и решал известные и придумывал новые задачи. Позднее он объединил их в большом труде под названием «Арифметика». Из тринадцати книг, входивших в состав «Арифметики», только шесть сохранились до Средних веков и стали источником вдохновения для математиков эпохи Возрождения.«Арифметика» Диофанта — это сборник задач, каждая включает в себя решение и необходимое пояснение. В собрание входят разнообразные задачи, а их решение часто в высшей степени остроумно. Диофанта интересуют только положительные целые и рациональные решения. Иррациональные решения он называет «невозможными» и тщательно подбирает коэффициенты так, чтобы получились искомые положительные, рациональные решения.

Для решения уравнений в целых числах применяется теорема Ферма. История доказательства которой достаточно интересная. Над полным доказательством Великой теоремы работало немало выдающихся математиков, и эти усилия привели к получению многих результатов современной теории чисел. Считается, что теорема стоит на первом месте по количеству неверных доказательств.

Замечательный французский математик Пьер Ферма высказал утверждение, что уравнение при целом n ≥ 3 не имеет решений в целых положительных числах x, y, z ( xyz = 0 исключается положительностью x, y, z.Для случая n = 3 эту теорему в X веке пытался доказать среднеазиатский математик ал-Ходжанди, но его доказательство не сохранилось. Несколько позже сам Ферма опубликовал доказательство частного случая для n = 4.

Эйлер в 1770 доказал теорему для случая n = 3, Дирихле и Лежандр в 1825 — для n = 5,Ламе — для n = 7. Куммер показал, что теорема верна для всех простых n, меньших 100, за возможным исключением 37, 59, 67.

В 1980-х годах появился новый подход к решению проблемы. Из гипотезы Морделла, доказанной Фальтингсом в 1983 году, следует, что уравнение

при n > 3 может иметь лишь конечное число взаимно простых решений.

Последний, но самый важный, шаг в доказательстве теоремы был сделан в сентябре 1994 года Уайлсом. Его 130-страничное доказательство было опубликовано в журнале «AnnalsofMathematics». Доказательство основано на предположении немецкого математика Герхарда Фрая о том, что Великая теорема Ферма является следствием гипотезы Таниямы — Симуры (это предположение было доказано Кеном Рибетом при участии Ж.‑П.Серра. ).Первый вариант своего доказательства Уайлс опубликовал в 1993 году (после 7 лет напряжённой работы), но в нём вскоре обнаружился серьёзный пробел; с помощью Ричарда Лоуренса Тейлора пробел удалось достаточно быстро ликвидировать. В 1995 году был опубликован завершающий вариант. 15 марта 2016 года Эндрю Уайлз получает премию Абеля. В настоящее время премия составляет 6 миллионов норвежских крон, то есть примерно 50 миллионов рублей. По словам Уайлса, присуждение премии стало для него «полной неожиданностью».

3.Линейные уравнения в целых числах

Линейные уравнения – самые простые из всех диофантовых уравнений .

Уравнение вида ах=b, где a и b – некоторые числа, а х- неизвестная переменная, называется линейным уравнением с одной неизвестной. Здесь требуется найти только целые решения уравнения. Можно заметить, что если а ≠ 0, то целочисленное решение уравнение будет иметь только в том случае, когда b нацело делится на а и это решение х= b/ф. Если же а=0, то целочисленное решение уравнение будет иметь тогда, когда b=0 и в этом случае х любое число.

Примеры:

4х=12

т.к. 12 нацело делится на 4, то

х=12/4

х=3

0х=0

Т.к. а=о и b=0, то х любое число

10х=7

Т.к. 7 нацело не делится на 10, то решений нет.

4. Способ перебора вариантов.

В способе перебора вариантов необходимо учитывать признаки делимости чисел, рассмотреть все возможные варианты равенства конечного перебора. Этот способ можно применить решая данные задачи:

№1 Найти множество всех пар натуральных чисел, которые являются решением уравнения 49x+69y=602

Решение:

49x+69y=602

Выражаем из уравнения х =,

Т.к. x и y натуральные числа, то х = ≥ 1, умножаем все уравнение на 49, чтобы избавиться от знаменателя:

602-51y ≥ 49,

Переносим 602 в левую сторону:

51y ≤ 553, выражаем y, y= 10

1 ≤ y ≤ 10

Полный перебор вариантов показывает, что натуральными решениями уравнения являются x=5, y=7.

Ответ:(5,7).-

№2 Решить задачу

Из цифр 2, 4, 7 следует составить трёхзначное число, в котором ни одна цифра не может повторяться более двух раз.

Решение.

Найдем количество всех трехзначных чисел, которые начинаются с цифры 2: (224, 242, 227, 272, 247, 274, 244, 277) – их 8.

Аналогично находим все трехзначные цифры начинающиеся с цифр 4 и 7: (442, 424, 422, 447, 474, 427, 472, 477).

(772, 774, 727, 747, 722, 744, 724, 742) – их тоже по 8 чисел. Следует всего 24 числа.

Ответ: 24 числа.

5. Цепная дробь и алгоритм Евклида

Цепной дробью называется выражение обыкновенной дроби в виде

где q₁ – целое число, а q₂, … ,qn – натуральные числа. Такое выражение называется цепной (конечной непрерывной) дробью. Различают конечные и бесконечные цепные дроби.

Для рациональных чисел цепная дробь имеет конечный вид. Кроме того, последовательность a_i— это ровно та последовательность частных, которая получается при применении алгоритма Евклида к числителю и знаменателю дроби.

Решая уравнения цепной дробью, я составила общий алгоритм действий для данного способа решения уравнений в целых числах.

Алгоритм

1) Составить отношение коэффициентов при неизвестных в виде дроби

2) Преобразовать выражение в неправильную дробь

3) Выделить целую часть неправильной дроби

4) Правильную дробь заменить равной ей дробью

5) Проделать 3,4 с полученной в знаменателе неправильной дробью

6) Повторять 5 до конечного результата

7) У полученного выражения отбросить последнее звено цепной дроби, превратить получающуюся при этом новую цепную дробь в простую и вычесть ее из исходной дробь.

Пример №1 Решить в целых числах уравнение 127x- 52y+ 1 = 0

Решение:

Преобразуем отношение коэффициентов при неизвестных.

Прежде всего, выделим целую часть неправильной дроби ; = 2 +

Правильную дробь заменим равной ей дробью .

Откуда = 2+

Проделаем такие же преобразования с полученной в знаменателе неправильной дробью.

Теперь исходная дробь примет вид: .Повторяя те же рассуждения для дроби получим Выделяя целую часть неправильной дроби, придем к окончательному результату:

Мы получили выражение, которое называется конечной цепной или непрерывной дробью. Отбросив последнее звено этой цепной дроби – одну пятую, превратим получающуюся при этом новую цепную дробь в простую и вычтем ее из исходной дроби :

2+;

Приведем полученное выражение к общему знаменателю и отбросим его.

Откуда 127∙9–52∙22+1=0. Из сопоставления полученного равенства с уравнением 127x- 52y+1 = 0 следует, что тогда x= 9, y= 22 – решение исходного уравнения, и согласно теореме все его решения будут содержаться в прогрессиях x= 9+ 52t, y= 22+ 127t, где t=( 0; ±1; ±2…..).Полученный результат наводит на мысль о том, что и в общем случае для нахождения решения уравнения ax+by+c=0 надо разложить отношение коэффициентов при неизвестных в цепную дробь, отбросить ее последнее звено и проделать выкладки, подобные тем, которые были приведены выше.

Для доказательства этого предположения будут нужны некоторые свойства цепных дробей.

Рассмотрим несократимую дробь . Обозначим через q₁частное и через r₂ остаток от деления a на b. Тогда получим:

Пусть, далее, q₂ – частное и r₃ – остаток от деления b на r₂.

Тогда b=q₂r₂+r₃,

Точно так же

r₂=q₃r₃+r₄, ;

r₃=q₄r₄+r₅,;

………………………………..

Величины q₁, q₂,… называются неполными частными. Приведенный выше процесс образования неполных частных называется алгоритмом Евклида. Остатки от деления r₂, r₃,…удовлетворяют неравенствам

т.е. образуют ряд убывающих неотрицательных чисел.

Пример№2 Решить уравнение170х+190у=3000 в целых числах

После сокращения на 10 уравнение выглядит так,

17х+19у=300.

Для нахождения частного решения воспользуемся разложением дроби в цепную дробь

Свернув предпоследнюю подходящую к ней дробь в обыкновенную

Частное решение данного уравнения имеет вид

Х₀= (-1)4300∙9=2700, y₀=(-1)5300∙8=-2400,

а общее задается формулой

х=2700-19k, y= -2400+17k.

откуда получаем условие на параметр k

Т.е. k=142, x=2, y=14. .

6. Метод разложения на множители

Метод перебора вариантов неудобный способ, так как бывают случаи когда найти перебором всецелые решения, невозможно, так как таких решений бесконечное множество. Метод разложения на множители очень интересный прием и встречается он как и в элементарной математике так и в высшей.

Суть состоит в тождественном преобразовании. Смысл любого тождественного преобразования – это запись выражения в другом виде с сохранением его сути. Рассмотрим примеры применения данного метода.

№1 Решить уравнение в целых числах y³ – x³ = 91.

Решение:

Используя формулы сокращенного умножения, разложим правую часть уравнения на множители:

(y – x)(y² + xy + x²) = 91

Выписываем все делители числа 91: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91

Замечаем, что для любых целых x и y число

y²+ yx + x² ≥ y² – 2|y||x| + x² = (|y| – |x|)² ≥ 0,

следовательно, оба сомножителя в левой части уравнения должны быть положительными. Тогда исходное уравнение равносильно совокупности систем уравнений:

; ; ;

Решив системы, отбираем те корни, которые являются целыми числами.

Получаем решения исходного уравнения: (5; 6), (-6; -5); (-3; 4),(-4;3).

Ответ: (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).

№2 Найти все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению х² –у²= 69

Решение:

Разложим левую часть уравнения на множители и запишем уравнение в виде

Т.к. делителями числа 69 являются числа 1, 3, 23 и 69, то 69 можно получить двумя способами: 69=1·69 и 69=3·23. Учитывая, что х-у > 0, получим две системы уравнений, решив которые мы сможем найти искомые числа:

или

Выразив одну переменную и подставив ее в второе уравнение находим корни уравнений.Первая система имеет решение x=35;y=34 , а вторая система имеет решение x=13, y=10.

Ответ: (35; 34), (13; 10).

№3 Решить уравнение х+у =ху в целых числах:

Решение:

Запишем уравнение в виде

Разложим левую часть уравнения на множители. Получим

Произведение двух целых чисел может равняться 1 только в двух случаях: если оба они равны 1 или -1. Получим две системы:

или

Первая система имеет решение х=2, у=2, а вторая система имеет решение х=0, у=0.Ответ: (2; 2), (0; 0).

№4 Доказать, что уравнение (x – y)³ + (y – z)³ + (z – x)³ = 30 не имеет решений в целых числах.

Решение:

Разложим левую часть уравнения на множители и обе части уравнения разделим на 3, в результате получим уравнение:

( x – y)(y – z)(z – x) = 10

Делителями 10 являются числа ±1, ±2, ±5, ±10. Заметим также, что сумма сомножителей левой части уравнения равна 0. Нетрудно проверить, что сумма любых трех чисел из множества делителей числа 10, дающих в произведении 10, не будет равняться 0. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

7. Метод остатков

Основная задача метода – находить остаток от деления обоих частей уравнения на целое число, на основе полученных результатов. Часто полученная информация уменьшает возможности множеств решений уравнения. Рассмотрим примеры:

№1 Доказать, что уравнение x² = 3y + 2 не имеет решений в целых числах.

Доказательство.

Рассмотрим случай, когда x, y ∈ N. Рассмотрим остатки от деления обоих частей на 3. Правая часть уравнения дает остаток 2 при делении на 3 при любом значении y. Левая же часть, которая является квадратом натурального числа, при делении на 3 всегда дает остаток 0 или 1. Исходя из этого получаем, что решения данного уравнения в натуральных числах нет.

Рассмотрим случай, когда одно из чисел равно 0. Тогда очевидно, решений в целых числах нет.

Случай, когда y – целое отрицательное не имеет решений, т.к. правая часть будет отрицательна, а левая – положительна.

Случай, когда x – целое отрицательное, также не имеет решений, т.к. попадает под один из рассмотренных ранее случаев ввиду того, что (-x)² = (x)².

Получается, что указанное уравнение не имеет решений в целых числах, что и требовалось доказать.

№2 Решите в целых числах 3^х= 1 + y² .

Не сложно заметить, что (0; 0) — решение данного уравнения. Остаётся доказать, что других целых корней уравнение не имеет.

Рассмотрим случаи:

1) Если x∈N, y∈N, то З делится на три без остатка, а 1 + y²при делении на 3 дает

остаток либо 1, либо 2. Следовательно, равенство при натуральных

значениях х, у невозможно.

2) Если х— целое отрицательное число,y∈Z , тогда 0< 3^х< 1, а 1 + y² ≥ 0 и

равенство также невозможно. Следовательно, (0; 0) — единственное

решение.

Ответ: (0; 0).

№3 Решить уравнение 2х² -2ху+9х+у=2 в целых числах:

Выразим из уравнения то неизвестное, которое входит в него только в первой степени, то есть переменную у:

2х² +9х-2=2ху-у, откуда

У =

Выделим у дроби целую часть с помощью правила деления многочлена на многочлен «углом». Получим:

Очевидно, разность 2х-1 может принимать только значения -3, -1, 1 и 3.

Осталось перебрать эти четыре случая, в результате чего получаем решения: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

Ответ: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

8.Пример решения уравнений с двумя переменными в целых числах как квадратных относительно одной из переменных

№1 Решить в целых числах уравнение 5х²+5у² + 8ху+2у-2х +2=0

Данное уравнение можно решить методом разложения на множители, однако этот способ применительно к данному уравнению достаточно трудоёмкий. Рассмотрим более рациональный способ.

Запишем уравнение в виде квадратного относительно переменной х:

5x²+(8y-2)x+5y²+2y+2=0

Находим его корни.

Х_1,2=

Данное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда дискриминант

этого уравнения равен нулю, т.е. – 9(у+1)² =0, отсюда у= – 1.

Если у= -1,то х= 1.

Ответ: (1; — 1).

9.Пример решения задач с помощью уравнений в целых числах.

№ 1. Решить в натуральных числах уравнение: где n>m

Решение:

Выразим переменную n через переменную m:

Найдем делители числа 625: это 1; 5; 25; 125; 625

1) если m-25 =1, то m=26, n=25+625=650

2) m-25 =5, то m=30, n=150

3) m-25 =25, то m=50, n=50

4) m-25 =125, то m=150, n=30

5) m-25 =625, то m=650, n=26

Ответ: m=150, n=30

m=650, n=26

№ 2. Решить уравнение в натуральных числах: mn +25 = 4m

Решение: mn +25 = 4m

1) выразим переменную 4m через n:

4m – mn =25

m(4-n) =25

m =

2) найдем натуральные делители числа 25: это 1; 5; 25

если 4-n =1, то n=3, m=25

4-n=5, то n=-1, m=5; 4-n =25, то n=-21, m=1 (посторонние корни)

Ответ: (25;3)

Помимо заданий решить уравнение в целых числах, встречаются задания на доказательство того факта, что уравнение не имеет целых корней.

При решении таких задач, необходимо помнить следующие свойства делимости:

1) Если n Z; n делится на 2, то n = 2k, k ∈ Z.

2) Если n ∈ Z; n не делится на 2, то n = 2k+1, k ∈ Z.

3) Если n ∈ Z; n делится на 3, то n = 3k, k ∈ Z.

4) Если n ∈ Z; n не делится на 3, то n = 3k±1, k ∈ Z.

5) Если n ∈ Z; n не делится на 4, то n = 4k+1; n = 4k+2; n = 4k+3. k ∈ Z.

6) Если n ∈ Z; n(n+1) делится на 2, то n (n+1)(n+2) делится на 2;3;6.

7) n; n+1 – взаимно простые.

№3 Доказать, что уравнение x²– 3у = 17 не имеет целых решений.

Решение:

Доказательство:

x²– 3у = 17

Пусть x; y – решения уравнения

x²= 3у – 17

x² = 3(у+6)-1 Т.к. y ∈ Z то y+6 ∈ Z , значит 3(y+6) делится на 3, следовательно, 3(y+6)-1 не делится на 3, следовательно, x² не делится на 3, следовательно, x не делится на 3, значит x = 3k±1, k ∈ Z.

Подставим это в исходное уравнение.

Получили противоречие. Значит у уравнения нет целых решений, что и требовалось доказать.

10.Формула Пика

Формула Пика была открыта австрийским математиком Георгом Пиком в 1899 году. Формула связанна с уравнениями в целых числах тем, что из многоугольников берут только целые узлы, как и целые числа в уравнениях.

При помощи этой формулы можно находить площадь фигуры построенной на листе в клетку (треугольник, квадрат, трапеция, прямоугольник, многоугольник).

В этой формуле будем находить целые точки внутри многоугольника и на его границе.

В задачах, которые будут на ЕГЭ есть целая группа заданий, в которых дан многоугольник построенный на листе в клетку и стоит вопрос о нахождении площади. Масштаб клетки это один квадратный сантиметр.

Пример№1

М – количество узлов на границе треугольника (на сторонах и вершинах)

N – количество узлов внутри треугольника.

*Под «узлами» имеется ввиду пересечение линий. Найдём площадь треугольника:

Отметим узлы:

M = 15 (обозначены красным)

N = 34 (обозначены синим)

Пример №2

Найдём площадь многоугольника: Отметим узлы:

M = 14 (обозначены красным)

N = 43 (обозначены синим)

12.Метод спуска

Один из методов решений уравнений в целых числах – метод спуска – опирается на теорему Ферма.

Методом спуска называется метод, который заключается в построении одного решения бесчисленной последовательности решений с неограниченно убывающим положительным z.

Алгоритм этого метода рассмотрим на примере решения конкретного уравнения.

Пример 1. Решить уравнение в целых числах 5x + 8y = 39.

1) Выберем неизвестное, имеющее наименьший коэффициент (в нашем случае это х), и выразим его через другое неизвестное:

2) Выделим целую часть: Очевидно, что х будет целым, если выражение окажется целым, что, в свою очередь, будет иметь место тогда, когда число 4 – 3y без остатка делится на 5.

3) Введем дополнительную целочисленную переменную z следующим образом: 4 –3y = 5z. В результате получим уравнение такого же типа, как и первоначальное, но уже с меньшими коэффициентами.

4) Решаем его уже относительно переменной y, рассуждая точно также как в п.1, 2: Выделяя целую часть, получим:

5) Рассуждая аналогично предыдущему, вводим новую переменную u: 3u = 1 – 2z.

6) Выразим неизвестную с наименьшим коэффициентом, в этом случае переменную z: . Требуя, чтобы было целым, получим: 1 – u = 2v, откуда u = 1 – 2v. Дробей больше нет, спуск закончен (процесс продолжаем до тез пор, пока в выражении для очередной переменной не останется дробей).

7) Теперь необходимо «подняться вверх». Выразим через переменную v сначала z, потом y и затем x:

8) Формулы x = 3+8v и y = 3 – 5v, где v – произвольное целое число, представляют общее решение исходного уравнения в целых числах.

Таким образом, метод спуска предполагает сначала последовательное выражение одной переменой чрез другую, пока в представлении переменной не останется дробей, а затем, последовательное «восхождение» по цепочке равенств для получения общего решения уравнения.

12.Заключение

В результате исследования подтвердилась гипотеза о том, что трудности при решении уравнений в целых числах обусловлены тем, что далеко не все способы их решения были мне известны. В ходе исследований мне удалось отыскать и описать малоизвестные способы решения уравнений в целых числах, проиллюстрировать их примерами. Результаты моих исследований могут быть полезны всем ученикам, интересующимся математикой.

13.Библиография

Книжные ресурсы:

1. Н. Я. Виленкин и др., Алгебра и математический анализ/10класс, 11 класс// М., «Просвещение», 1998 год;

2. А. Ф. Иванов и др., Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки к экзамену// Воронеж, ГОУВПО ВГТУ, 2007 год

3. А. О. Гельфонд, Математика, теория чисел// Решение уравнений в целых числах// Книжный дом «ЛИБРОКОМ»

Ресурсы сети интернет:

4. Демонстрационные варианты контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена по математике http://fipi.ru/

5. Примеры решений уравнений в целых числахhttp://reshuege.ru

6. Примеры решений уравнений в целых числахhttp://mat-ege.ru

7.История Диофантовых уравнений http://www.goldenmuseum.com/1612Hilbert_rus.html

8. История Диофанта http://nenuda.ru/%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F-%D1%81-%D0%B4%D0%B2%D1%83%D0%BC%D1%8F-%D0%BD%D0%B5%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%BC%D0%B8-%D0%B2-%D1%86%D0%B5%D0%BB%D1%8B%D1%85-%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0%D1%85.htm

9.История Диофантовых уравненийhttp://dok.opredelim.com/docs/index-1732.html

10. История Диофанта http://www.studfiles.ru/preview/4518769/

11. http://pandia.ru/text/78/004/3180.php

Просмотров работы: 26485

Источник

Скачать материал

без ожидания

Скачать материал

без ожидания

Сейчас обучается 47 человек из 26 регионов

Сейчас обучается 186 человек из 50 регионов

Сейчас обучается 83 человека из 35 регионов

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

Решение уравнений в целых числах
Мирошниченко Н.Е.
учитель математики
МАУ ШИЛИ
Г. Калининград
2 слайд

1.Метод прямого перебора
Имеются детали массой 8 кг и 3 кг . Сколько необходимо взять тех и других деталей, чтобы получить груз 30 кг?
Решение:
Пусть х – количество деталей массой 3 кг, а у – количество деталей массой 8 кг.
Составим уравнение: 3х + 8у=30
Если х = 1, то 8у =27 , следовательно, у не является натуральным числом
Если х =2, то 8у =24 , следовательно, у =3
Если х = 3, то 8у =21 , следовательно, у не является натуральным числом
Если х = 4, то 8у =18 , следовательно, у не является натуральным числом
Если х =5, то 8у =15 , следовательно, у не является натуральным числом
Если х = 6, то 8у =12 , следовательно, у не является натуральным числом
Если х = 7, то 8у =9 , следовательно, у не является натуральным числом
Если х = 8, то 8·3+8>30 ,
Ответ: 2 детали по 3 кг и 3 детали по 8 кг.
3 слайд

2.Использование неравенств
Решите в натуральных числах уравнение
3x + 6y = 21.
Решение. Для уменьшения перебора вариантов
рассмотрим неравенства

Проведем перебор по неизвестной у.
Если y = 1, то x = 5
Если y = 2, то x = 3
Если y = 3, то x = 1.
Ответ: (5;1), (3; 2)(;1;3).
4 слайд

3.Использование отношения делимости

Решить уравнение в целых числах 13x +16y = 300.
Решение. 13x +13y + 3y = 13· 23 +1,
3y −1 = 13(23 − x − y).
Отсюда следует, что разность 3y −1 делится на 13.
Если 3y −1 = 0, то у не является натуральным числом.
Если 3y −1 = 13, то у не является натуральным числом.
Если 3y −1 = 26, то y = 9 и x = 12.
Если 3y −1 = 39, то у не является натуральным числом.
Если 3y −1 = 52, то у не является натуральным числом
Если 3y −1 = 65, то y = 22, но16·22 = 352 > 300.
Ответ: (12;9)
5 слайд

4. Выделение целой части

Решить уравнение 8x + 5y = 39 .
Решение. Выразим у из уравнения и выделим целую часть:

Отсюда следует, что разность 3x − 4 делится на 5.
Если 3x − 4 = 0, то х не является натуральным числом.
Если 3x − 4 = 5, то x = 3 и y = 3.
Если 3x − 4 = 10, то х не является натуральным числом.
Если 3x − 4 = 15, то х не является натуральным числом.
Если 3x − 4 = 20, то x = 8, но 8 8 = 64 > 39.
Ответ: (3; 3).
6 слайд

5. Метод остатков
Решите уравнение 3x − 4y = 1 в целых числах.
Решение.
Перепишем уравнение в виде 3x = 4y +1. Поскольку левая часть уравнения делится на 3, то должна делиться на 3 и правая часть. Рассмотрим три случая.
1) Если y = 3m, где m Z, то 4y +1 = 12m +1 не делится на 3.
2) Если y = 3m +1, то 4y +1 = 4(3m +1) +1 = 12m + 5 не делится на 3.
3) Если y = 3m + 2, то 4y +1 = 4(3m + 2) +1 = 12m + 9 делится на 3, поэтому 3x = 12m + 9,
x = 4m + 3.
Ответ: x = 4m + 3, y = 3m + 2, где m Z.
7 слайд

6. Метод «спуска»

Решите в целых числах уравнение 5x − 7 y = 3.
Решение. Выразим из уравнения то неизвестное, коэффициент при котором
меньше по модулю:

Дробь должна быть равна целому числу.

Положим , где z – целое число.

Тогда 2y + 3 = 5z. Из последнего уравнения выразим то
неизвестное, коэффициент при котором меньше по модулю, и проделаем аналогичные преобразования:
8 слайд

Дробь должна быть целым числом.

Обозначим ,где t– целое число.

Отсюда z = 2t − 3. Последовательно возвращаемся к
неизвестным х и у:
y = 3(2t − 3) − t = 5t − 9,
x = y + z = 5t − 9 + 2t − 3 = 7t −12.

Ответ: x = 7t – 12, y = 5t – 9, где t – целое число
9 слайд

7.Метод последовательного уменьшения коэффициентов по модулю

Решить уравнение в целых числах 20х + 3у=10
Решение. Коэффициенты при переменных х и у –
взаимно простые числа и свободный член – целое число.
Коэффициент при х больше коэффициента при у.
Представим его в виде суммы двух натуральных слагаемых
так, чтобы первое слагаемое было наибольшим числом,
кратным числу 3 ( коэффициенту при у). Получим:
20х + 3у = 10
(18 +2) х +3у=10
18х +2х+3у=10
3(6х+у)+2х=10
10 слайд

Обозначим выражение 6х + у = k. (1)
Получим уравнение 3k+2x =10 с переменными k и х.
Проведем аналогичные преобразования с полученным
уравнением:
(2 + 1) k + 2 x =10
2(k + x) + k =10
Обозначим выражение k + х = n (2).
Получим уравнение 2 n + k =10
k = 10 – 2n
Подставим в равенство (2) вместо k выражение 10 – 2n:
10 – 2n +x = n
x = 3n – 10
Мы получили одну из формул решений уравнения
20x – 3y = 10
11 слайд

Чтобы получить вторую формулу, подставим в равенство(1) вместо х
выражение +3n -10, а вместо k выражение 10-2n:
6(3n – 10)+y = 10 – 20n
y = 70 – 20n
Формулы х = 3n – 10; y = 70 – 20n
при n = 0, ± 1, ±2; … дают все целочисленные
решения уравнения
12 слайд

8 . Использование формул

Теорема. Если а и b – взаимно просты и пара – какое-нибудь целочисленное решение уравнения
aх + by = c, то все целочисленные решения этого уравнения описываются формулами:
, где
Доказательство: Пусть пара – какое-нибудь
целочисленное решение уравнения ах + by = c , т.е.
. Сделаем замену переменных:

Тогда в новых переменных уравнение примет вид:
. Т.к. а и b – взаимно просты, то уравнение имеет решения, если
13 слайд

Тогда получим
Возвращаясь к старым переменным,
получаем, что
14 слайд

8 . Использование формул
Найти целочисленные решения уравнения
13х = 6у – 19
Решение. Найдем одно целочисленное решение
уравнения: , и выполним преобразования

Ответ:
15 слайд

9. Использование конечных цепных дробей

Решите в целых числах уравнение 127x − 52y +1= 0
Решение. Преобразуем отношение коэффициентов при
неизвестных. Прежде всего, выделим целую часть
неправильной дроби .
Правильную дробь заменим равной ей дробью
Тогда получим

.

Проделаем такие же преобразования с полученной в знаменателе неправильной дробью
16 слайд

Теперь исходная дробь примет вид: .

Повторяя те же рассуждения для дроби получим

. Выделяя целую часть

неправильной дроби , придем к окончательному

результату:
17 слайд

Мы получили выражение, которое называется конечной
цепной или непрерывной дробью.
Отбросив последнее звено этой цепной дроби –одну
пятую, превратим получающуюся при этом новую
цепную дробь в простую и вычтем ее из исходной дроби
: . Итак,

Приведем полученное выражение к общему знаменателю и
отбросив знаменатель, получим:
Из сопоставления полученного равенства с уравнением
127x − 52y +1= 0 следует, что x = 9 , y = 22 будет решением
этого уравнения, и согласно теореме все его решения будут
содержаться в формулах x = 9 + 52t , y = 22 +127t ,где t Z.
Ответ: x = 9 + 52t , y = 22 + 127t , где t Z.
19 слайд

Метод разложения на множители
а) вынесение общего множителя за скобки

Решить уравнение : х² + 2ху = 4х + 7
Решение: х² + 2ху – 4х = 7, (х + 2у -2)х = 7

Составим четыре системы уравнений:

решив которые, получим

Ответ: (1; 5), (7; -1), (-1; -1), (-7; 5)
20 слайд

б) применение формул сокращенного умножения
Найдите все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 33.
Решение. Запишем условие задачи в виде уравнения
(m + n)(m – n) = 33

т.к(m + n)>(m – n) ,то получим две системы уравнений:

Ответ: (17; 16), (7; 4),
21 слайд

в) способ группировки.

Решить уравнение: xy – 2x + 3y = 16.
Решение: х(у – 2) + 3у – 6 = 10
х(у – 2 ) + 3(у – 2) = 10
(х + 3)(у – 2) = 10

получаем восемь систем уравнений:

Решив полученные системы уравнений, получим:

Решив полученные системы уравнений, получаем:

Ответ: (7;3), (-2; 12), (-1;7), (2;4), (-13;1), (-4;-8), (-5;-3), (-8;0).
22 слайд

Ответ: (7; 3), (-2; 12), (-1; 7), (2; 4), (-13; 1), (-4; -8),
(-5; -3), (-8; 0)
23 слайд

г) разложение квадратного трехчлена

Решить уравнение в целых числах :
х² – 5ху+4у²=13
Решение: Решив уравнение х² – 5ху+4у²=0
относительно переменной х , получим .
Теперь можно разложить левую часть уравнения на
множители. Получаем (х – у)(х – 4у)=13
13 = 1·13=13·1=(-1)·(-13)=(-13)·(-1)
Составим четыре системы уравнений:

Решив полученные системы уравнений, получим ответ:
Ответ: (-3; -4), (3; 4), (17;4), (-17;-4)
24 слайд

д) использование параметра

Решите уравнение 2x²− 2xy + 9x + y = 2 в целых числах.
Решение. Перепишем уравнение в виде
2x² − (2y − 9)x + y − 2 + a = a
и разложим левую часть уравнения на множители
как квадратный трехчлен относительно х. Находим
дискриминант D = 4y² − 44y + 97 −8a. Очевидно,
если 97 −8a =121, то дискриминант будет полным
квадратом.
При этом a = −3 и

Отсюда .
Уравнение принимает вид (2x −1)(x − y + 5) =−3.
-3=1·(-3)=(-1)·3= 3·(-1)=(-3)·1
25 слайд

Из этого уравнения получим следующие системы
уравнений:

Решив эти системы, получим:

Ответ: (1;9); (0;2); (2;8); (−1;3).
26 слайд

2. Метод решения относительно одной переменной
27 слайд

Выделение целой части

Решить уравнение в целых числах: 3xy + 14x + 17y +71= 0
Решение: 3xy+17y=-14x – 71 ; y(3x+17)=-14x-71

, где 3х + 17≠0

Т.к. у должно быть целым числом, то 3у тоже целое число,
следовательно, дробь также целое число,и значит 25
делится на (3х+17). Получаем:
3x + 17 = -5→ 3x = -22→ х не является целым числом
3x + 17 = 5 →3x = -12,→ x = -4, y = -3
3x + 17 = 25→ 3x = 8 → х не является целым числом
3x + 17 = -25→3x = -42→ x = -14,y = -5
3x + 17 = 1→3x = -16→ х не является целым числом
3x +17 = -1→3x = -18→x = -6, y = -13
Ответ:(-4;-3), (-6;-13), (-14;-5)
28 слайд

Выделение целой части

Найти все целочисленные решения уравнения:
2x²-2xy+9x+y = 2
Решение. Выразим у через х и выделим целую часть:
2xy-y = 2x² +9x – 2
y (2x-1)=2x² + 9x- 2

Т.к. у должно быть целым числом, то дробь
также целое, а это значит что число 3 делится на (2х-1).
Получаем: если 2x – 1=1, то x = 1, y = 9
если 2x – 1=-1, то x = 0, y = 2
если 2x – 1= 3, то x=2, y = 8
если 2x – 1 = -3, то x = -1, y = 3
Ответ: (1;9), (0;2), (2;8), (-1;3)
29 слайд

Использование дискриминанта (неотрицательность)

Решите уравнение 3(x² + xy + y² ) = x + 8y в целых числах.
Решение. Рассмотрим уравнение, как квадратное
относительно х: 3x² + (3y −1)x + 3y² −8y = 0.
Найдем дискриминант уравнения D = −27y² + 90y +1.
Данное уравнение имеет корни, если D ≥ 0, т.е.
− 27y² + 90y +1≥ 0.
Так как y Z, то получаем 0 ≤ y ≤ 3. Перебирая эти
значения, получим, что исходное уравнение в целых
числах имеет решения (0;0) и (1;1).
Ответ: (0;0); (1;1).
30 слайд

Использование дискриминанта
(полный квадрат)

Решите уравнение x² − xy + y² = x + y в целых числах.
Решение. Рассмотрим уравнение, как квадратное относительно х:
x² − ( y +1)x + y² − y = 0.
Его дискриминант D = −3y² + 6y +1 = t² должен быть квадратом некоторого целого числа t. Получаем новое уравнение
3y² − 6y −1+ t² = 0; 3( y −1)² + t² = 4.
Из последнего уравнения следует, что t² ≤ 4, т.е.|t| ≤ 2.
1) Если t ² = 0, то уравнение 3(y −1)² = 4 не имеет целого решения у.
31 слайд

2) Если t ² =1, то уравнение 3(y −1)² = 3 имеет
целые решения
При y = 2 получаем квадратное уравнение
x² − 3x + 2 = 0 с корнями x = 1 или x = 2 .
При y = 0 получаем квадратное уравнение
x² − x = 0 с корнями x = 0 или x =1.
3) Если t ² = 4, то уравнение 3( y −1)² = 0 имеет одно целое решение y =1.
При y =1 получаем квадратное уравнение
x² − 2x = 0 с корнями x = 0 или x = 2 .
Ответ: (1;2); (2;2); (0;0); (1;0), (0;1); (2;1)
33 слайд

Приведение к сумме неотрицательных выражений

Решить уравнение в целых числах : x²+6xy+13y² = 40.
Решение. Преобразуем левую часть уравнения,
выделив полный квадрат относительно переменной х: x²+6xy+9y²+4y² = 40;
(x+3y)²+4y² = 40.
Откуда получаем что(2y)² ≤ 40 ,т.е. |y| ≤ 3
Перебирая значения у, получим системы:

Ответ: (1; 3), (1;-9), (-1; 9), (-1; -3)
34 слайд

Метод «спуска»

● Решите уравнение 2x² − 5y² = 7 в целых числах.
Решение. Так как 2x² – четное число, а 7 – нечетное, то
5y² должно быть нечетным, т.е. у –нечетное. Пусть
y = 2z +1, z Z , тогда данное уравнение можно
переписать в виде x² −10z² −10z = 6.
Отсюда видно, что х должно быть четным.
Пусть x = 2m, тогда последнее уравнение примет вид
2m² − 5z(z +1) = 3,
что невозможно, так как число z(z +1) – четно, а
разность двух четных чисел не может быть равна
нечетному числу. Таким образом, данное уравнение не
имеет решений в целых числах.
Ответ: нет решений

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 252 740 материалов в базе

Выберите категорию:
Выберите учебник и тему

Выберите класс:
Тип материала:
- Все материалы
- Статьи
- Научные работы
- Видеоуроки
- Презентации
- Конспекты
- Тесты
- Рабочие программы
- Другие методич. материалы

Найти материалы

Другие материалы

15.04.2016
665
0

Рейтинг:
5 из 5

15.04.2016
1743
5

15.04.2016
1426
2

15.04.2016
735
0

15.04.2016
743
0

15.04.2016
679
0

15.04.2016
720
0

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Источник

Уравнения в целых числах – уравнения с двумя и более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. Решениями таких уравнений являются целые числа. Также такие уравнения называются диофантовыми, в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского, который изучал такие уравнения еще до нашей эры.

При решении уравнений в целых и натуральных числах можно выделить следующие способы.

1 способ. Метод перебора вариантов.

Решим уравнение $ (x-2)(y+3)=4 $ в целых числах.

Так как x и у целые числа, совершим перебор вариантов:

$ {x-2=1;; y+3=4rightarrow;x=3;;y=1\ x-2=4;; y+3=1rightarrow;x=6;;y=-2\ x-2=-1;; y+3=-4rightarrow;x=1;;y=-7\ x-2=-4;; y+3=-1rightarrow;x=-2;;y=-4\ x-2=2;; y+3=2rightarrow;x=4;;y=-1\ x-2=-2;; y+3=-2rightarrow;x=0;;y=-5\} $

Ответ: (3; 1), (6; -2), (1; -7), (-2; -4), (4; -1), (0; -5).

Решим уравнение 10х + 10у = 2019 в целых числах.

Поскольку при любых целых значениях х и у левая часть уравнения делится на два, а правая является нечётным числом, то уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: решений нет.

Пусть нужно решить уравнение в целых числах: $ 5x+4y=22. $

Методом перебора находим решение $ x_1=2;;y_1=3. $

Получаем систему уравнений:

$ {begin{cases}5x=4y=22\5cdot2=4cdot3=22end{cases}\ 5(x-2)=4(y-3)=0\ 5(x-2)=-4(y-3)} $

$ x-2=frac{-4(y-3)}{5} $

Из полученного равенства видно, что число (х – 2) будет целым тогда и только тогда, когда (у – 3) делится на 5, т.е. у – 3 = 5n, где n какое-нибудь целое число.

Имеем:

$ { y=3+5n\ x-2=-4cdotfrac{5n}{5}=-4n\ x=2-4n} $

Тем самым все целые решения исходного уравнения можно записать в таком виде:

$ (2-4n;;3=5n),; где; n in Z. $

Ответ: $ (2-4n;;3=5n),; где; n in Z. $

2 способ. Алгоритм Евклида

Пусть нужно решить уравнение в целых числах: $ 5x+7y=6. $

Сделаем это с помощью Алгоритма Евклида. Ищем НОД чисел 5 и 7 с помощью него:

НОД (5, 7) = НОД (5, 7-5) = НОД (5, 2) = НОД (5 – 2∙2, 2) = НОД (1, 2) = 1

Запишем этот процесс в обратном порядке:

$ 1=2-1=2-(5-2cdot2)=2cdot3-5cdot1=(7-5)cdot3-5cdot1=7cdot3-5cdot4. $

То есть:

$ 1=5cdot(-4)+7cdot3 $

Тогда:

$ { 1cdot6=5cdot(-4)cdot6+7cdot3cdot6\ 6=5cdot(-24)+7cdot18\ 6=5x+7y} $

Тогда $ { x=-24 ;и ; y=18} $ является решением уравнения.

Общее решение записывается в виде:

$ { x=-24+7n; ; y=18+5n,} $ где n – любое целое число.

Выполним проверку:

$ { 5(-24+7n)+7(18+5n)=6\ -120+35n+126+35n=6\ 70n=0} $

$ { n} $ – любое целое.

Верно.

Это не всевозможные способы решения. Зачастую для решения диофантовых уравнений требуются более тонкие рассуждения, связанные с делимостью, перебором остатков, оценками частей уравнения, тождественными преобразованиями и т.п.

Пример.

Решим уравнение:

$ 3^{x}+4^{y}=5^{z} $

Разложить на множители и выразить переменную мы здесь не можем. Воспользуемся методом перебора остатков.

Если левая часть уравнения в целых числах кратна какому-то числу, то и другая обязательно должна быть кратна этому же числу. Отсюда следует, что и остатки от деления обеих частей уравнения на одно и то же число будут давать одинаковые остатки.

Будем делать выводы о делимости одной части уравнения на какое-либо число (или смотреть, какой остаток от деления при этом получается) и проверять, при каких значениях переменных вторая часть уравнения также делится на это число (либо даёт такой же остаток).

Левая часть кратна 5. И остатки от деления на 5 у обеих частей также будут равны.

Про пятёрку уже сказали, что правая часть делится на неё без остатка, значит и левая тоже должна делиться.

Рассмотрим остатки от деления на 4.

Z	$ 5^{z} $	Остаток при делении на 4
1	5	1
2	25	1
3	125	1
4	625	1

Видим простую закономерность, что 5 в любой степени при делении на 4 будет давать остаток 1.

Теперь левая часть: будет делиться на 4 без остатка.

Рассмотрим остатки от деления на 4 числа $ 3^{x} $

Z	$ 3^{x} $	Остаток при делении на 4
1	3	3
2	9	1
3	27	3
4	81	1
5	243	3

И так далее. Закономерность: при чётных х остаток 1, при нечётных остаток 3.

Отсюда делаем вывод, что х – число чётное, значит, мы можем представить его как х = 2n.

Теперь рассмотрим остатки при делении обеих частей на 3.

Правая часть:

Z	$ 5^{z} $	Остаток при делении на 3
1	5	2
2	25	1
3	125	2
4	625	1

И так далее. Видим закономерность, что при чётных z остаток равен 1, при нечетных z остаток равен 2.

Рассмотрим левую часть. Число $ 3^{x} $ даёт остаток 0 при делении на 3.

Рассмотрим остатки от деления на 3 числа $ 4^{y} $

Z	$ 4^{y} $	Остаток при делении на 3
1	4	1
2	16	1
3	64	1
4	256	1
5	1024	1

Получается, что левая часть при делении на 3 может давать только остаток 1. Значит, и правая тоже. Это происходит при чётных z.

Вернёмся к нашему уравнению $ 3^{x}+4^{y}=5^{z} $

Рассмотрев все остатки от деления, мы делаем выводы, что х и z – чётные числа. Тогда х = 2n, z = 2m, где m, n натуральные. Подставим в уравнение:

$ 3^{2n}+4^{y}=5^{2m} $ , заметим также, что $ 4^{y}=2^{2y} $

Теперь мы можем разложить на множители, используя формулу разности квадратов:

$ 2^{2y}=5^{2m}-3^{2n} $

$ (5^{m}-3^{n})(5^{m}+3^{n})=2^{2y} $ . Получается, что обе скобки должны быть степенями двойки. Мы не можем сделать никаких обоснованных выводов. Наша группировка неудачная. Попробуем иначе:

$ { 5^{2m}-2^{2y}=3^{2n}\ (5^{m}-2^{y})(5^{m}+2^{y})=3^{2n}} $

Теперь у нас обе скобки являются произведением троек. Рассмотрим такую ситуацию,

$ acdot b=3^{2n} $ , это означает, что и а, и b кратны 3. Либо одно из чисел кратно 3, а другое равно 1.

Рассмотрим случай, когда и а, и b кратны трём. Вспомним основные свойства делимости.

Ключевым признаком здесь будет второй: в нашем случае разность a-b также будет делиться на 3.

Рассмотрим разность скобок:

$ 5^{m}+2^{y}-(5^{m}-2^{y})=2cdot 2^{y} $ – это число никогда не будет кратно 3. Значит, в нашем произведении один из множителей равен 1, а другой равен 3²ⁿ. Так как $ 5^{m}+2^{y}> 1 $ ,

$ 5^{m}-2^{y}=1,5^{m}+2^{y})=3^{2n} $ Итак, мы с вами уже решаем немного другое уравнение, с переменными m и n, которые зависят от х и у. И пришли к выводу, что $ 5^{m}+2^{y}=1 $

m	$ 5^{m} $	y	$ 2^{y} $
0	1	0	1
1	5	1	2
2	25	2	4
3	125	3	8

Эта таблица показывает, что $ 5^{m}+2^{y}=1 $ только в одном случае при m = 1, y = 2. При их увеличении разница между и будет всё больше, поэтому это единственное решение.

Тогда z = 2m = 2, x = 2.

Ответ: (2, 2, 2)

Источник

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение г.Стерлитамак

Республики Башкортостан МАОУ «Гимназия№6»

Исследовательская работа

«Решение уравнений в целых числах»

Выполнила:

Чигинцева Виктория, 10 класс

Научный руководитель:

Кузнецова Л.В. , учитель математики

высшей категории

г.Стерлитамак, 2017

Содержание

Введение…………………………………………………………………………….

Глава I. Историческая справка………………………………………………….

Глава II. Общие сведения о решении уравнений в целых числах…………

2.1 Применение теории делимости к решению неопределенных

уравнений в целых числах …………………………………………………….

2.2 Алгоритм решения уравнения в целых числах……………………

Глава III. Применение способов решения уравнений……………………

Алгоритм Евклида………………………………………………………
Способ перебора вариантов…………………………………………………

3.3. Метод разложения на множители…………………………………………

3.4 Метод остатков………………………………………………………………

3.5. Задачи экзаменационного уровня …………………………………………

Заключение…………………………………………………………………………

Литература………..……………………………………………………………….

Введение

Решение уравнений в целых числах является важной задачей и для современной математики. Теоретический интерес уравнений в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел, что и определило актуальность нашей работы «Решение уравнений в целых числах»

Мы обратились к этой теме, так как она недостаточно полно изложена в действующих учебниках математики, а задачи по этой теме предлагаются как на олимпиадах, так и на вступительных экзаменах в ВУЗы. Кроме того решение уравнений, неравенств, задач, сводящихся к решению уравнений в целых числах с помощью оценок для переменных, встречается в различных математических сборниках и сборниках ЕГЭ.

Безусловно, тема решения уравнений в целых числах была, есть и будет актуальна. Это и без слов понятно. Недаром ей занимались с самого зарождения математики.

Теория решения подобных уравнений является классическим разделом элементарной математики. В ней не приходится писать сложные и громоздкие формулы, а необходимо проводить аккуратные рассуждения, базирующиеся на определенных понятиях теории чисел и связанные в стройную логическую конструкцию. В рамках это теории можно дать исчерпывающее решение рассматриваемого класса задач с четко описанным алгоритмом получения ответа.

Проблема: Решая примерные варианты заданий ЕГЭ, мы заметили, что чаще всего встречаются в С6 задания на решение уравнений первой и второй степени в целых числах. Но мы не знаем способы решения таких уравнений. В связи с этим возникла необходимость изучить теорию таких уравнений и алгоритм их решения.

Цель: Освоить способ решения уравнений с двумя неизвестными первой и второй степени в целых числах.

Задачи:

Изучить учебную и справочную литературу;
Собрать теоретический материал по способам решения уравнений;
Разобрать алгоритм решения уравнений данного вид;
Описать способ решения.
Рассмотреть ряд примеров с применением данного приема.
Решить уравнения с двумя переменными в целых числах из материалов ЕГЭ С6.

Объект исследования: Решение уравнений

Предмет исследования: Уравнения с двумя переменными в целых числах.

Гипотеза: Данная тема имеет большое прикладное значение. В школьном курсе математики подробно изучаются уравнения с одной переменной и различные способы их решения. Потребности учебного процесса требуют, чтобы ученики знали и умели решать простейшие уравнения с двумя переменными. Поэтому повышенное внимание к этой теме не только оправдано, но и является актуальной в школьном курсе математики.

Данная работа может быть использована для изучения данной темы на факультативных занятиях учениками, при подготовке к выпускным и вступительным экзаменам. Мы надеемся, что наш материал поможет старшеклассникам научится решать уравнения такого вида.

Глава I. Историческая справка

Диофант Александрийский – древнегреческий математик, живший предположительно в III веке нашей эры.

О подробностях его жизни практически ничего неизвестно. С одной стороны, Диофант цитирует Гипсикла (II век до н. э.); с другой стороны, о Диофанте пишет Теон Александрийский (около 350 года н. э.), – откуда можно сделать вывод, что его жизнь протекала в границах этого периода. Возможное уточнение времени жизни Диофанта основано на том, что его «Арифметика» посвящена «достопочтеннейшему Дионисию». Полагают, что этот Дионисий – не кто иной, как епископ Дионисий Александрийский, живший в середине III в. н. э.

В Палатинской антологии содержится эпиграмма-задача, из которой можно сделать вывод, что Диофант прожил 84 года:

Прах Диофанта гробница покоит, дивись ей и камень

Мудрым искусством его скажет усопшего век.

Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.

И половину шестой встретил с пушком на щеках.

Только минула седьмая, с подругой он обручился.

С нею, пять лет проведя, сына дождался мудрец;

Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.

Отнят он был у отца ранней могилой своей.

Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,

Тут и увидел предел жизни печальной своей.

Используя современные методы решения уравнений, можно сосчитать, сколько лет прожил Диофант. Составим и решим уравнение:

Решением этого уравнения является число 84. Таким образом, Диофант прожил 84 года. Однако достоверность сведений не может быть подтверждена.

Основное произведение Диофанта – Арифметика в 13 книгах. К сожалению, сохранились только 6 первых книг из 13.

Первая книга предварена обширным введением, в котором описаны ис пользуемые Диофантом обозначения. Неизвестную Диофант называет «числом» (ápιθμός) и обозначает буквой ς, квадрат неизвестной символом (сокращение от δύναμις — «степень»). Предусмотрены специальные знаки для следующих степеней неизвестного, вплоть до шестой, называемой кубо- кубом, и для противоположных им степеней. Знака сложения у Диофанта нет: он просто пишет рядом положительные члены, причём в каждом члене сначала записывается степень неизвестного, а затем численный коэффициент. Вычитаемые члены также записываются рядом, а перед всей их группой ставится специальный знак в виде перевёрнуто буквы Ψ. Знак равенства обозначается двумя буквами ϊσ (сокращение от ϊσος -«равный»). Сформулированы правило приведения подобных членов и правило прибавления или вычитания к обеим частям уравнения одного и того же числа или выражения: то, что потом у ал-Хорезми стало называться «алгеброй и алмукабалой». Введено правило знаков: минус на минус даёт плюс; это правило используется при перемножении двух выражений с вычитаемыми членами. Всё это формулируется в общем виде, без отсылки к геометрическим истолкованиям.

Большая часть труда — это сборник задач с решениями (в сохранившихся шести книгах их всего 189), умело подобранных для иллюстрации общих методов. Главная проблематика Арифметики нахождение положительных рациональных решений неопределённых уравнений. Рациональные числа трактуются Диофантом так же, как и натуральные, что не типично для античных математиков.

Сначала Диофант исследует системы уравнений 2-го порядка от 2 неизвестных; он указывает метод нахождения других решении, если одно уже известно. Затем аналогичные методы он применяет к уравнениям высших степеней.

В X веке Арифметика была переведена на арабский язык, после чего математики стран ислама (Абу Камил и др.) продолжили некоторые исследования Диофанта. В Европе интерес к Арифметике возрос после того, как Рафаэль Бомбелли обнаружил это сочинение в Ватиканской библиотеке и опубликовал 143 задачи из него в своей Алгебре (1572). В 1621 году появилася классический, подробно прокомментированный латинский перевод Арифметиуи, выполненный Баше де Мезириаком.

В XX веке под именем Диофанта обнаружен арабский текст еще 4 книг Арифметики. И. Г. Башмакова и Е. И. Славутин, проанализировав этот текст, выдвинули гипотезу, что их автором был не Диофант, а хорошо разбиравшийся в методах Диофанта комментатор, вероятнее всего — Гипатия.

Глава II. Общие сведения о решении уравнений в целых числах

2.1. Применение теории делимости к решению неопределенных уравнений в целых числах.

Неопределенные уравнения – уравнения, содержащие более одного неизвестного. Под одним решением неопределенного уравнения понимается совокупность значений неизвестных, которая обращает данное уравнение в верное равенство.

Для решения в целых числах уравнения вида ах + by = c, где а, b, c – целые числа, отличные от нуля, приведем ряд теоретических положений, которые позволят установить правило решения. Эти положения основаны также на уже известных фактах теории делимости.

Теорема 1. Если НОД(а, b) = d, то существуют такие целые числа х и у, что имеет место равенство ах + bу = d.

Пример.

Найти линейное представление наибольшего общего делителя чисел 1232 и 1672.

Решение.

1. Составим равенства алгоритма Евклида:

1672 = 1232 ∙1 + 440,

1232 = 440 ∙ 2 + 352,

440 = 352 ∙ 1 + 88,

352 = 88 ∙ 4, т.е. (1672,352) = 88.

88 = 440 – 352∙1 = (1672 – 1232) – (1232 – 1672∙2 + 1232∙2) = 1672∙3 – 1232∙4, т.е. 88 = 1672∙3 + 1232∙(-4).

Теорема 2. Если уравнение ах + bу = 1, если НОД(а, b) = 1, достаточно представить число 1 в виде линейной комбинации чисел а и b.

Справедливость этой теоремы следует из теоремы 1. Таким образом, чтобы найти одно целое решение уравнения ах + bу = 1, если НОД (а, в) = 1, достаточно представить число 1 в виде линейной комбинации чисел а и в.

Пример.

Найти целое решение уравнения 15х + 37у = 1.

Решение.

1. 37 = 15 ∙ 2 + 7,

15 = 7 ∙ 2 + 1.

2. 1 = 15 – 7∙2 = 15 – (37 – 15∙2) ∙2 = 15∙5 + 37∙(-2),

т.е. х= 5, у= -2 – решение данного уравнения.

Теорема 3. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = d1 и с не делится на d, то уравнение целых решений не имеет.

Для доказательства теоремы достаточно предположить противное.

Пример.

Найти целое решение уравнения 16х – 34у = 7.

Решение.

(16,34)=2; 7 не делится на 2, уравнение целых решений не имеет.

Теорема 4. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = d1 и сd, то оно равносильно уравнению ах + bу = с, в котором НОД(а, b) = 1.

Теорема 5. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = 1, то все целые решения этого уравнения заключены в формулах:

х = хс + bt, у = yc–at, где х, y – целое решение уравнения ах + bу = 1,

t – любое целое число.

Приведенные теоремы позволяют установить следующее правило решения в целых числах уравнения ах+ bу = с НОД(а, b) = 1:

Находится целое решение уравнения ах + bу = 1 путем представления 1 как линейной комбинации чисел а и b (существуют и другие способы отыскания целых решений этого уравнения, например при использовании цепных дробей);
Составляется общая формула целых решений данного уравнения х = хс + bt, у = yc – at, где х, y – целое решение уравнения ах + bу = 1, t – любое целое число.

При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие методы:

Алгоритм Евклида.
Способ перебора вариантов.
Метод разложения на множители
Цепные дроби.
Метод остатков.
Решение уравнений в целых числах как квадратных относительно какой-либо переменной.
Meтод бесконечного спуска.

2.2 Алгоритм решения уравнения в целых числах

Алгоритм решения в целых числах уравнения вида

Найти наибольший общий делитель чисел и , если и с не делится на d, то уравнение целых решений не имеет;

если , то

Разделить почленно уравнение на d, получив при этом уравнение , в котором .
Найти целое решение уравнения путем представления 1 как линейной комбинации чисел и ;
Составить общую формулу целых решений данного уравнения

где -целое решение уравнения , – любое целое число.

Глава III. Применение способов решения уравнений

3.1. Алгоритм Евклида

Задача 1.Решить уравнение в целых числах 407х -2816у 33.

Воспользуемся составленным алгоритмом.

Используя алгоритм Евклида, найдем наибольший общий делитель чисел 407 и 2816:

2816 = 407*6 + 374;

407 = 374*1 + 33;

374=33*11+11;

33 = 11*3

Следовательно (407,2816)=11, причем 33 делится на 11

Разделим обе части первоначального уравнения на 11, получим уравнение , причем (37,256)=1
С помощью алгоритма Евклида найдем линейное представлена числа 1 через числа 37 и 256.

256=37*6+34;

37=34*1+3;

34=3*11+1

Выразим 1 из последнего равенства, затем последовательно поднимаясь по равенствам будем выражать 3; 34 и полученные выражения подставим в выражение для 1.

1=34-3*11=34-(37-34*1)*11=34*12-37*11=(256-37*6)*12-37*11=-83*37-256*(-12)

Таким образом, 37*(-83)-256*(-12)=1, следовательно пара чисел есть решение уравнения

Запишем общую формулу решений первоначального уравнения

Где -любое целое число.

3.2 Способ перебора вариантов

Задача 2. В клетке сидят кролики и фазаны, всего у них 18 ног. Узнать, сколько в клетке тех и других?

Решение: Составляется уравнение с двумя неизвестными переменными, в котором х – число кроликов, у – число фазанов:

4х + 2у = 18, или 2х + у = 9.

Выразим у через x:у = 9 – 2х.

Далее воспользуемся методом перебора:

x	1	2	3	4
y	7	5	3	1

Таким образом, задача имеет четыре решения.

Ответ: (1; 7), (2;5), (3;3), (4;1).

Задача. В загоне находятся одноглавые сороконожки и трехглавые змеи. Всего у них 298 ног и 26 голов. Сколько ног у трехглавых змей?

Обозначим за «х» сороконожек, а за «у» трехглавых змей, тогда голов 3у + х = 26.
Обозначим за «z» количество ног у одного змея, тогда ног уz + 40х = 298.
Имеем систему уравнений:

Ответ: у трехглавого змея 14 ног.

Метод разложения на множители

Перебор вариантов при нахождении натуральных решений уравнения с двумя переменными оказывается весьма трудоемким. Кроме того, если уравнение имеет целые решения, то перебрать их невозможно, так как таких решений бесконечное множество. Поэтому покажем еще один прием – метод разложения на множители

Вынесение множителя за скобку;
Использование формул сокращённого умножения;
Способ группировки;
Предварительное преобразование.

Задача 3.Найти все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению .

Решение. Разложим левую часть уравнения на множители и запишем уравнение в виде

Т.к. делителями числа 69 являются числа 1,3,23 и 69, то 69 можно получить двумя способами: 69=1*69 и 69=3*23. Учитывая, что , получим две системы уравнений, решив которые мы сможем найти искомые числа:

Первая система имеет решение = 35; = 34, а вторая система имее решение

Ответ: (35;34),(13;10).

Задача 4. Решить уравнение в целых числах у³ – х³ = 91.

Решение:

1) Используя формулы сокращенного умножения, разложим правую часть уравнения на множители:

(1)

2) Выпишем все делители числа 91 :± 1; ± 7; ± 13; ± 91.

3) Проводим исследование. Заметим, что для любых целых х и у число

следовательно, оба сомножителя в левой части уравнения должны быть положительными. Тогда уравнение (1) равносильно совокупности систем уравнении:

4)Решив системы, получим: первая система имеет решения (5; 6), (-6;-5); третья(-3;4), (-4;3); вторая и четвертая решений в целых числах не имеют.

Ответ: уравнение (1) имеет четыре решения (5; 6); (-6;-5); (-3; 4);(-4;3).

Задача 5. Решить уравнение в целых числах:

Решение. Запишем уравнение в виде

Разложим левую часть уравнения на множители. Получим

Первая система имеет решение х=2, у=2, а вторая система имеет решение х=0, у=0.

Ответ: (2,2), (0;0).

Задача 6. Решить в целых числах уравнение

Решение. Запишем данное уравнение в виде

Разложим левую часть уравнения на множители способом группировки, получим

Произведение двух целых чисел может равняться 7 в следующих случаях: 7=1*7=7*1=-1*(-7)=-7*(-1). Таким образом, получим четыре системы:

Решением первой системы является пара чисел х = -5, у = – 6. Решая вторую систему, получим х = 13, у = 6.Для третьей системы решением являются числа х =5, у = 6. Четвёртая система имеет решение х = -13, у =-6.

Ответ: (-5;-6), (13;6), (5;6), (-13;-6).

Задача 7. Доказать, что уравнение не имеет решений в целых числах.

Решение.

1) Разложим левую часть уравнения на множители и обе части уравнения разделим на 3, в результате получим уравнение:

(2)

Делителями 10 являются числа ±1, ±2, ±5, ±10. Заметим также, что сомножителей левой части уравнения (2) равна 0. Нетрудно проверить, что сумма любых трех чисел из множества делителей числа 10, дающих в произведении 10, не будет равняться 0. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Задача 8. Решить уравнение: х² – у² =3 в целых числах.

Решение:

1. Применим формулу сокращенного умножения

2. Найдем делители числа

3.Данное уравнение равносильно совокупности 4 систем

Ответ: (2;1), (2;-1), (-2;1), (-2;-1).

3.4 Метод остатков

Задача 9. Решить уравнение: х²+ху=10

Решение:

Выразим переменную у через x:

Дробь будет целой, если
Найдем 8 значений .

Если

Задача 10. Решить уравнение в целых числах:

Решение: выразим из уравнения то неизвестное, которое входит в него только в первой степени – в данном случае у :

Выделим у дроби целую часть с помощью правила деления многочлена на многочлен «углом» Получим:

Следовательно, разность 2x-1 может принимать только значения -3, -1, 1, 3.

Осталось перебрать эти четыре случая.

Ответ: (1;9), (2;8), (0,2), (-1,3)

3.5. Задачи экзаменационного уровня

Рассмотрев несколько способов решения уравнений первой степени с

двумя переменными в целых числах, мы заметили, что чаще всего применяются метод разложения на множители и метод остатков.

Уравнения, которые даны в вариантах ЕГЭ, в основном решаются методом остатков.

1. Решить в натуральных числах уравнение: где

Решение:

Выразим переменную п через переменную т :

Найдем делитель числа 625:

если m-25=1, то m=26, n=25+625=650
m-25=5, то m=30, n=150
m-25=25, то m=50, n=150
m-25=125, то m=150, n=30
m-25=625, то m=650, n=26

Ответ: m=150 , n=30

m=650,n=26

2.Решите уравнение в натуральных числах: mn+25=4m

Решение: mn+25=4m

выразим переменную m через n:

найдем натуральные делители числа 25:

если 4-n=1, то n=3, m=25

4-n=5, то n=-1, m=5 (посторонние корни, т.к не натуральное число)

4-n=25, то n=-21, m=1 (посторонние корни, т.к не натуральное число)

Ответ: (25;3)

3.Найдите все пары (x;y) целых чисел, удовлетворяющие системе неравенств:

Решение: Выделяя полные квадраты, получим:

Из первого и второго неравенства системы:

Подставляем x=12 в систему, получим:

Ответ: (12;-8)

Заключение

В процессе работы над темой «Решение уравнений в целых числах» было замечено множество интереснейших фактов. Решение уравнений в целых числах – очень увлекательная задача. С древнейших времён накопилось множество способов решения конкретных диофантовых уравнений, однако, только в нашем веке предстали общие приёмы их исследования. Теорема Пифагора и теорема Ферма также являются диофантовым уравнением.

Решение уравнений в целых числах – один из самых красивых разделов математики. Ни один крупный математик не прошёл мимо теории диофантовых уравнений. Ферма и Эйлер, Лагранж и Дирихле, Гаусс и Чебышев оставили неизгладимый след в этой интереснейшей теории.

Решение различного вида уравнений является одной из содержательных линий школьного курса математики, но при этом методы решения уравнений с несколькими неизвестными практически не рассматриваются. Вместе с тем, решение уравнений от нескольких неизвестных в целых числах является одной из древнейших математических задач. Большинство методов решения таких уравнений основаны на теории делимости целых чисел, интерес к которой в настоящее время определяется бурным развитием информационных технологий. В связи с этим, учащимся старших классов будет небезинтересно познакомиться с методами решения некоторых уравнений в целых числах, тем более что на олимпиадах разного уровня очень часто предлагаются задания, предполагающие решение какого-либо уравнения в целых числах, а в этом году такие уравнения включены еще и в материалы ЕГЭ.

В своей работе мы рассматривали только неопределенные уравнения первой и второй степени. Уравнения первой степени, как мы увидели, решаются довольно просто. Мы выделили виды таких уравнений и алгоритмы их решений. Также было найдено общее решение таких уравнений.

Литература

1. Диофант Александрийский. Арифметика и книга о многоугольных числах (перевод с древнегреческого И. Н. Веселовского; редакция и комментарии И. Г. Башмаковой). Москва, «Наука», 1974.

2. Конкурсные задачи, основанные на теории чисел. В.Я. Галкин, Д.Ю. Сычугов. МГУ, ВМК, Москва, 2005.

3. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов. Н.П. Косрыкина. «Просвещение», Москва, 1991 г.

4. Ляпин С.Е. и др. Сборник задач по элементарной алгебре. Учебное пособие для студентов физико – математических факультетов педагогических институтов. Москва, «Просвещение», 1973 г.

5. Галкин Е.В. Нестандартные задачи по математике: Задачи логического характера: Книга для учащихся 5-11 классов. Москва, «Просвещение», 1996 г.

6. Панферов В.С., Сергеев И.Н. Отличник ЕГЭ. Математика. Решение сложных задач; ФИПИ – Москва: Интеллект – Центр, 2010 г.

Источник

СПОСОБЫ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

Описание презентации по отдельным слайдам:

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Вам также может понравиться

Как правильно составить заявление на получение жилья сироте

Как найти хорошего поставщика на алиэкспресс

Как найти владелец мобильной номер

Добавить комментарий Отменить ответ