Здравствуйте, дорогие читатели! Как посчитать, сколько делителей у какого-нибудь числа? Если это число маленькое, то никаких сложностей не возникает. Например, для числа 10, мы легко можем найти все делители и посчитать их количество простым перебором. А вот как узнать, на какое количество различных чисел делится, например, число 720? Можно, конечно, опять же перебрать все делители, но это будет довольно трудоемко. При чем, 720 – еще и довольно маленькое число.
Сегодня, я Вам расскажу, как находить количество делителей любого натурального числа, зная всего лишь одну простую формулу.
На самом деле, наша сегодняшняя формула будет даже проще, чем те, которые изображены на картинке выше)
Вы находитесь на канале Trifler, где я разбираю интересные математические задачи, а также рассуждаю на некоторые околоматематические темы. Если Вы искренне увлечены математикой, но еще не подписаны на этот канал, то самое время это исправить! Подписаться
Чудо-формула
Ну что ж, пора переходить от разговоров к делу.
Мы знаем, что любое натуральное число можно представить в виде произведения простых чисел, которые являются его делителями. Так как один и тот же простой делитель может встречаться несколько раз, то любое натуральное числа можно записать так:
Если не совсем понятно, о чем идет речь, то потом посмотрите пример ниже. На самом деле, все очень просто.
Так вот, после того, как мы найдем такое представление числа n, количество его делителей можно будет посчитать по формуле:
Посмотрим, как все это считается на примере
Пример
Раскладываем это число на простые множители, чтобы получить нужное представление:
Теперь, запишем число 720 в каноническом виде:
Ну и все, остается только применить чудо-формулу:
Вот и все, получили, что у числа 720 имеется 30 различных натуральных делителей. Стоит сделать замечание:
По этой формуле мы считаем количество делителей вместе с единицей и самим числом.
Если Вам понравилась статья, то обязательно ставьте лайки и комментируйте ее. Это поспособствует тому, чтобы ее увидело много людей!
Читайте также ТОП-3 статьи, выпущенные в этом месяце на моем канале:
- Quincy: робот, который обучит Ваших детей математике, английскому и рисованию
- Почему вторая степень это квадрат, а третья – куб
- Необычное тригонометрическое уравнение
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Число называется делителем (или множителем) другого числа в том случае, если при делении на него получается целый результат без остатка.[1]
Для малого числа (например, 6) определить количество делителей довольно легко: достаточно выписать все возможные произведения двух целых чисел, которые дают заданное число. При работе с большими числами определить количество делителей становится сложнее. Тем не менее, если вы разложите целое число на простые множители, то легко сможете определить число делителей с помощью простой формулы.
-
1
Запишите заданное целое число вверху страницы. Вам понадобится достаточно места для того, чтобы расположить ниже числа дерево множителей. Для разложения числа на простые множители можно использовать и другие методы, которые вы найдете в статье Как разложить число на множители.
- Например, если вы хотите узнать, сколько делителей, или множителей имеет число 24, запишите вверху страницы.
- Например, если вы хотите узнать, сколько делителей, или множителей имеет число 24, запишите
-
2
Найдите два числа (помимо 1), при перемножении которых получается заданное число. Таким образом вы найдете два делителя, или множителя данного числа. Проведите от данного числа две ветки вниз и запишите на их концах полученные множители.
-
3
Поищите простые множители. Простым множителем называется такое число, которое делится без остатка лишь на само себя и на 1.[2]
Например, число 7 является простым множителем, так как оно делится без остатка лишь на 1 и 7. Для удобства обводите найденные простые множители кружком.- Например, 2 является простым числом, поэтому обведите кружком.
- Например, 2 является простым числом, поэтому обведите
-
4
Продолжайте раскладывать составные (не простые) числа на множители. Проводите следующие ветки от составных чисел до тех пор, пока все множители не станут простыми. Не забывайте обводить простые числа кружками.
-
5
Представьте каждый простой множитель в степенной форме. Для этого подсчитайте, сколько раз встречается каждый простой множитель в нарисованном дереве множителей. Это число и будет степенью, в которую необходимо возвести данный простой множитель.[3]
-
6
Запишите разложение числа на простые множители. Первоначально заданное число равно произведению простых множителей в соответствующих степенях.
- В нашем примере .
Реклама
- В нашем примере
-
1
-
2
Подставьте в формулу величины степеней. Будьте внимательны и используйте степени при простых множителях, а не сами множители.
-
3
Сложите величины в скобках. Просто прибавьте 1 к каждой степени.
-
4
Перемножьте полученные величины. В результате вы определите количество делителей, или множителей данного числа
.
Реклама
Советы
- Если число представляет собой квадрат целого числа (например, 36 является квадратом числа 6), то оно имеет нечетное количество делителей. Если же число не является квадратом другого целого числа, количество его делителей четно.
Реклама
Похожие статьи
Об этой статье
Эту страницу просматривали 120 968 раз.
Была ли эта статья полезной?
Нахождение всех делителей числа
- Все делители числа
- Калькулятор нахождения всех делителей
Все делители числа
Все делители, на которые данное число делится нацело, можно получить из разложения числа на простые множители.
Нахождение всех делителей числа выполняется следующим образом:
- Сначала нужно разложить данное число на простые множители.
- Выписываем каждый полученный простой множитель (без повторов, если какой-то множитель повторяется).
- Далее, находим всевозможные произведения всех полученных простых множителей между собой и добавляем их к выписанным простым множителям.
- В конце добавляем в качестве делителя единицу.
Например, найдём все делители числа 40. Раскладываем число 40 на простые множители:
40 = 23 · 5.
Выписываем (без повторов) каждый полученный простой множитель — это 2 и 5.
Далее находим всевозможные произведения всех полученных простых множителей между собой:
| 2 · 2 = 4, |
| 2 · 2 · 2 = 8, |
| 2 · 5 = 10, |
| 2 · 2 · 5 = 20, |
| 2 · 2 · 2 · 5 = 40. |
Добавляем в качестве делителя 1. В итоге получаем все делители, на которые число 40 делится без остатка:
1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40.
Других делителей у числа 40 нет.
Калькулятор нахождения всех делителей
Данный калькулятор поможет вам получить все делители числа. Просто введите число и нажмите кнопку “Вычислить”.
Содержание материала
- Как определить количество делителей конкретного числа
- Видео
- Признаки делимости чисел
- Определение [ править
- Как найти число простых делителей числа
- Простые и составные числа
- Чем отличаются друг от друга, как найти
- Тест Миллера Рабина
Как определить количество делителей конкретного числа
Чтобы узнать, сколько положительных делителей у конкретного числа a, каноническое разложение которого выглядит как a = p 1 s 1 · p 2 s 2 · … · p n s n , нужно найти значение выражения ( s 1 + 1 ) · ( s 2 + 1 ) · … · ( s n + 1 ) . О количестве наборов переменных t 1 , t 2 , … , t n мы можем судить по величине записанного выражения.
Покажем на примере, как это вычисляется. Определим, сколько будет натуральных делителей у числа 3 900 , которое мы использовали в предыдущей задаче. Каноническое разложение мы уже записывали: 3 900 = 2 2 · 3 · 5 2 · 13 . Значит, s 1 = 2 , s 2 = 1 , s 3 = 2 , s 4 = 1 . Теперь подставим значения s 1 , s 2 , s 3 и s 4 в выражение ( s 1 + 1 ) · ( s 2 + 1 ) · ( s 3 + 1 ) · ( s 4 + 1 ) и вычислим его значение. Имеем ( 2 + 1 ) · ( 1 + 1 ) · ( 2 + 1 ) · ( 1 + 1 ) = 3 · 2 · 3 · 2 = 36 . Значит, это число имеет всего 36 делителей, являющихся натуральными числами. Пересчитаем то количество, что у нас получилось в предыдущей задаче, и убедимся в правильности решения. Если учесть и отрицательные делители, которых столько же, сколько и положительных, то получится, что у данного числа всего будет 72 делителя.
Условие: определите, сколько делителей имеет 84 .
Решение
Раскладываем число на множители.
84 42 21 7 1 2 2 3 7
Записываем каноническое разложение: 84 = 2 2 · 3 · 7 . Определяем, сколько у нас получится положительных делителей: ( 2 + 1 ) · ( 1 + 1 ) · ( 1 + 1 ) = 12 . Для учета отрицательных нужно умножить это число на 2 : 2 · 12 = 24 .
Ответ: всего у 84 будет 24 делителя – 12 положительных и 12 отрицательных.
Видео
Признаки делимости чисел
Признаки делимости чисел используются для того, чтобы ускорить процесс деления чисел. Существует множество признаков делимости и других интересных алгоритмов, значительно ускоряющих решение и освобождающих от излишней волокиты. Рассмотрим наиболее популярные из них.
Признак делимости на 10
Любое число, которое оканчивается нулем, делится без остатка на 10. Чтобы получить частное, достаточно отбросить цифру 0 в делимом.
Например, 380 : 10 = 38. Мы просто отбросили последний ноль в числе 380.
В случае, если мы имеем выражение такого вида 385 : 10, то получится 38 и 5 в остатке, поскольку 380 : 10 = 38, а пятерка это остаток, который не разделился.
Таким образом, если число оканчивается цифрой 0, то оно делится без остатка на 10. Если же оно оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10. Остаток в этом случае равен последней цифре числа. Действительно, в примере 385 : 10 = 38 (5 в остатке), остаток равен последней цифре в числе 385, то есть пятерке.
Признак делимости на 5 и на 2
Любое число, которое оканчивается нулем, делится без остатка и на 5, и на 2.
Примеры:
10 : 5 = 2
100 : 5 = 20
100 : 2 = 50
Признак делимости на 5
Если число оканчивается цифрой 0 или 5, то оно делится без остатка на 5.
Примеры:
355 : 5 = 71
200 : 5 = 40
475 : 5 = 95
Признак делимости на 3
Число делится на 3, если сумма цифр этого числа делится на 3. Например, рассмотрим число 27, сумма его цифр 2 + 7 = 9. Девять, как мы знаем делится на 3, значит и 27 делится на 3:
27 : 3 = 9
Признак делимости на 9
Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Например, рассмотрим число 18. Сумма его цифр 1 + 8 = 9. Девять делится на девять, значит и 18 делится на 9
18 : 9 = 2
Рассмотрим число 846. Сумма его цифр 8 + 4 + 6 = 18. Восемнадцать делится на девять, значит и 846 делится на 9:
Определение [ править
Функция «сумма положительных делителей »σx(n) для вещественного или комплексного числа x определяется как сумма x-х степеней положительных делителей числа n. Функцию можно выразить формулой
σ x ( n ) = ∑ d | n d x , <displaystyle sigma _(n)=sum _d^,!,> 
где d | n <displaystyle > 
означает «d делит n». Обозначения d(n), ν(n) и τ(n) (от немецкого Teiler = делитель) используются также для обозначения σ(n), или функции числа делителей [1] [2] . Если x равен 1, функция называется сигма-функцией или суммой делителей [3] , и индекс часто опускается, так что σ(n) эквивалентна σ1(n) [4] .
Аликвотная сумма s(n) для n — это сумма собственных делителей (то есть делители, за исключением самого n [5] , и равна σ1(n) − n. Аликвотная последовательность для n образуется последовательным вычислением аликвотной суммы, то есть каждое последующее значение в последовательности равно аликвотной сумме предыдущего значения.
Как найти число простых делителей числа
Если речь идет о целом малом числе, то решение такой задачи не представляет никакой сложности. Рассмотрим конкретный пример. Найдем простые делители числа 54.
Для этого:
- 54 делим на «два» и получаем 27;
- 27 нечетное, поэтому разделим его уже не на «два», а на следующее простое число, т. е. «три»;
- заметим, что 27=33;
- таким образом, разложение 54 имеет вид 54 = 21 * 33, т.е. простые делители числа 54 — это «два» и «три».
Однако это не все, что мы хотели знать. Теперь найдем число простых делителей числа 54. Оно равно произведению степеней простых множителей канонического разложения числа n = p1*d1 p2d2*⋅ …⋅*pmdm, увеличенных на 1. Иными словами, в общем случае K = (d1+1)*…* (dm+1).
Тогда для 54 имеем К = 2 * 4 = 8, т. е. общее число делителей равно восьми.
Обратите внимание, что все значительно упростилось, если бы речь шла о 23, 37, 103 и пр., так как каждый знает, сколько делителей у простого числа.
Простые и составные числа
Простым называется число, которое делится без остатка на единицу и на само себя. Другими словами, имеет только два делителя. Например, число 5 делится без остатка на единицу и на само себя:
5 : 1 = 5
5 : 5 = 1
Значит, число 5 является простым числом.
Составным же называется число, которое имеет два и более делителя. Например, число 4 составное, поскольку у него два и более делителя: 4, 2 и 1
4 : 4 = 1
4 : 2 = 2
4 : 1 = 4
Значит, число 4 является составным числом.
Чем отличаются друг от друга, как найти
Делитель отличается от кратного тем, что:
- делитель — это число, НА которое делится заданное число;
- кратное — это число, которое само ДЕЛИТСЯ НА заданное число.
Чтобы найти делители числа, нужно данное число разложить на множители.
Разложить на множители — представить число в виде произведения целых чисел.
Чтобы проверить, является ли одно число делителем другого, нужно разделить число на данное нам.
Для нахождения кратного числа заданному числу, нужно это число последовательно умножать на натуральные числа. Каждое полученное число будет кратно — будет делиться — заданному.
Делители и кратные связаны между собой. Например, делителем числа 15 является 3 и число, кратное 3, равно 15.
Тест Миллера Рабина
В криптографических целях часто используют именно этот вид определения простоты числа, который имеет несколько модификаций.
Тест Миллера—Рабина основан на проверке ряда условий, выполняемых для чисел, которые делятся только на 1 и на самих себя. Если хотя бы одно из требований нарушено, это «экзаменуемое» число признается составным.
Для данного m находятся целые нечетное число t и s, такие чтобы выполнялось условие m-1=2st.
Затем выбирается случайное число a, такое что 1<a<m. Если a не свидетельствует о простоте числа m, то программа должна выдать ответ «m составное» и завершить свою работу. В противном случае выбирается другое случайное число a и проверка повторяется снова. После того как будут установлены r свидетелей простоты, должен быть выдан ответ «m, вероятно, простое», и алгоритм завершит свою работу.
Следствием теоремы Рабина является тот факт, что если r чисел, которые выбраны случайно, признаны свидетелями для определения простоты числа m, то вероятность того, что оно составное, не может превосходить (4-r).
Теперь вы знаете, сколько делителей имеет простое число и как выяснить наиболее примитивный алгоритм вычисления НПД. Эти знания помогут вам в решении многих практических задач.
Теги
Как найти все делители числа
Число b называется делителем целого числа a, если существует такое целое число q, что bq = a. Обычно рассматривается делимость натуральных чисел. Само делимое a будет называться кратным числа b. Поиск всех делителей числа осуществляется по определенным правилам.
Вам понадобится
- Признаки делимости
Инструкция
Для начала убедимся, что любое натуральное число, большее единицы, имеет по крайней мере два делителя – единицу и само себя. Действительно, a:1 = a, a:a = 1. Числа, имеющие только два делителя, называются простыми. Единственный делитель единицы – это, очевидно, единица. То есть единица не является простым числом (и не является составным, как мы увидим далее).
Числа, имеющие более двух делителей, называются составными. Какие же числа могут быть составными?
Так как четные числа делятся на 2 нацело, то все четные числа, кроме числа 2, будут составными. Действительно, при делении 2:2 двойка делится саму на себя, то есть имеет только два делителя (1 и 2) и является простым числом.
Посмотрим, есть ли у четного числа еще каки-либо делители. Разделим его сначала на 2. Из коммутативности операции умножения очевидно, что получившееся частное также будет делителем числа. Затем, если получившееся частное будет целым, разделим опять на 2 уже это частное. Тогда получившееся в результате новое частное y = (x:2):2 = x:4 тоже будет делителем исходного числа. Аналогично, и 4 будет делителем исходного числа.
Продолжая эту цепочку, обобщим правило: последовательно делим сначала четное число а потом получившееся частные на 2 до тех пор, пока какое-либо частное не станет равно нечетному числу. При этом все получившиеся частные будут делителями этого числа. Кроме этого делителями этого числа будут и числа 2^k где k = 1…n, где n – число шагов этой цепочки.Пример: 24:2 = 12, 12:2 = 6, 6:2 = 3 – нечетное число. Следовательно, 12, 6 и 3 – делители числа 24. В этой цепочке 3 шага, следовательно, делителями числа 24 будут также числа 2^1 = 2 (уже известно из четности числа 24), 2^2 = 4 и 2^3 = 8. Таким образом, числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 и 24 будут делителями числа 24.
Однако не для всех четных чисел эта схема может дать все делители числа. Рассмотрим, например, число 42. 42:2 = 21. Однако, как известно, числа 3, 6 и 7 также будут делителями числа 42.
Существуют признаки делимости на определенные числа. Рассмотрим важнейшие из них:
Признак делимости на 3: когда сумма цифр числа делится на 3 без остатка.
Признак делимости на 5: когда последняя цифра числа 5 или 0.
Признак делимости на 7: когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.
Признак делимости на 9: когда сумма цифр числа делится на 9 без остатка.
Признак делимости на 11: когда сумма цифр, занимающих нечётные места, либо равна сумме цифр, занимающих чётные места, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.
Существуют также признаки делимости на 13, 17, 19, 23 и другие числа.
Как для четных, так и для нечетных чисел нужно использовать признаки деления на то или иное число. Разделив число, следует определить делители получившегося частного и.т.д. (цепочка аналогична цепочки четных чисел при делении их на 2, описанной выше).
Источники:
- Признаки делимости
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
