Чтобы научиться быстро и успешно решать уравнения, нужно начать с самых простых правил и примеров. В первую очередь надо научиться решать уравнения, слева у которых стоит разность, сумма, частное или произведение некоторых чисел с одним неизвестным, а справа другое число. Иными словами, в этих уравнениях есть одно неизвестное слагаемое и либо уменьшаемое с вычитаемым, либо делимое с делителем и т.д. Именно об уравнениях такого типа мы с вами поговорим.
Эта статья посвящена основным правилам, позволяющим найти множители, неизвестные слагаемые и др. Все теоретические положения будем сразу пояснять на конкретных примерах.
Нахождение неизвестного слагаемого
Допустим, у нас есть некоторое количество шариков в двух вазах, например, 9. Мы знаем, что во второй вазе 4 шарика. Как найти количество во второй? Запишем эту задачу в математическом виде, обозначив число, которое нужно найти, как x. Согласно первоначальному условию, это число вместе с 4 образуют 9, значит, можно записать уравнение 4+x=9. Слева у нас получилась сумма с одним неизвестным слагаемым, справа – значение этой суммы. Как найти x? Для этого надо использовать правило:
Для нахождения неизвестного слагаемого надо вычесть известное из суммы.
В данном случае мы придаем вычитанию смысл, который является обратным смыслу сложения. Иначе говоря, есть определенная связь между действиями сложения и вычитания, которую можно в буквенном виде выразить так: если a+b=c, то c−a=b и c−b=a, и наоборот, из выражений c−a=b и c−b=a можно вывести, что a+b=c.
Зная это правило, мы можем найти одно неизвестное слагаемое, используя известное и сумму. Какое именно слагаемое мы знаем, первое или второе, в данном случае неважно. Посмотрим, как применить данное правило на практике.
Возьмем то уравнение, что у нас получилось выше: 4+x=9. Согласно правилу, нам нужно вычесть из известной суммы, равной 9, известное слагаемое, равное 4. Вычтем одно натуральное число из другого: 9-4=5. Мы получили нужное нам слагаемое, равное 5.
Обычно решения подобных уравнений записывают следующим образом:
- Первым пишется исходное уравнение.
- Далее мы записываем уравнение, которое получилось после того, как мы применили правило вычисления неизвестного слагаемого.
- После этого пишем уравнение, которое получилось после всех действий с числами.
Такая форма записи нужна для того, чтобы проиллюстрировать последовательную замену исходного уравнения равносильными и отобразить процесс нахождения корня. Решение нашего простого уравнения, приведенного выше, правильно будет записать так:
4+x=9,x=9−4,x=5.
Мы можем проверить правильность полученного ответа. Подставим то, что у нас получилось, в исходное уравнение и посмотрим, выйдет ли из него верное числовое равенство. Подставим 5 в 4+x=9 и получим: 4+5=9. Равенство 9=9 верное, значит, неизвестное слагаемое было найдено правильно. Если бы равенство оказалось неверным, то нам следовало бы вернуться к решению и перепроверить его, поскольку это знак допущенной ошибки. Как правило, чаще всего это бывает вычислительная ошибка или применение неверного правила.
Нахождение неизвестного вычитаемого или уменьшаемого
Как мы уже упоминали в первом пункте, между процессами сложения и вычитания существует определенная связь. С ее помощью можно сформулировать правило, которое поможет найти неизвестное уменьшаемое, когда мы знаем разность и вычитаемое, или же неизвестное вычитаемое через уменьшаемое или разность. Запишем эти два правила по очереди и покажем, как применять их при решении задач.
Для нахождения неизвестного уменьшаемого надо прибавить вычитаемое к разности.
Например, у нас есть уравнение x-6=10. Неизвестно уменьшаемое. Согласно правилу, нам надо прибавить к разности 10 вычитаемое 6, получим 16. То есть исходное уменьшаемое равно шестнадцати. Запишем все решение целиком:
x−6=10,x=10+6,x=16.
Проверим получившийся результат, добавив получившееся число в исходное уравнение: 16-6=10. Равенство 16-16 будет верным, значит, мы все подсчитали правильно.
Переходим к следующему правилу.
Для нахождения неизвестного вычитаемого надо вычесть разность из уменьшаемого.
Воспользуемся правилом для решения уравнения 10-x=8. Мы не знаем вычитаемого, поэтому нам надо из 10 вычесть разность, т.е. 10-8=2. Значит, искомое вычитаемое равно двум. Вот вся запись решения:
10-x=8,x=10-8,x=2.
Сделаем проверку на правильность, подставив двойку в исходное уравнение. Получим верное равенство 10-2=8 и убедимся, что найденное нами значение будет правильным.
Перед тем, как перейти к другим правилам, отметим, что существует правило переноса любых слагаемых из одной части уравнения в другую с заменой знака на противоположный. Все приведенные выше правила ему полностью соответствуют.
Нахождение неизвестного множителя
Посмотрим на два уравнения: x·2=20 и 3·x=12. В обоих нам известно значение произведения и один из множителей, необходимо найти второй. Для этого нам надо воспользоваться другим правилом.
Для нахождения неизвестного множителя нужно выполнить деление произведения на известный множитель.
Данное правило базируется на смысле, который является обратным смыслу умножения. Между умножением и делением есть следующая связь: a·b=c при a и b, не равных 0, c: a=b, c: b=c и наоборот.
Вычислим неизвестный множитель в первом уравнении, разделив известное частное 20 на известный множитель 2. Проводим деление натуральных чисел и получаем 10. Запишем последовательность равенств:
x·2=20x=20:2x=10.
Подставляем десятку в исходное равенство и получаем, что 2·10=20. Значение неизвестного множителя было выполнено правильно.
Уточним, что в случае, если один из множителей нулевой, данное правило применять нельзя. Так, уравнение x·0=11 с его помощью решить мы не можем. Эта запись не имеет смысла, поскольку для решения надо разделить 11 на 0, а деление на нуль не определено. Подробнее о подобных случаях мы рассказали в статье, посвященной линейным уравнениям.
Когда мы применяем это правило, мы, по сути, делим обе части уравнения на другой множитель, отличный от 0. Существует отдельное правило, согласно которому можно проводить такое деление, и оно не повлияет на корни уравнения, и то, о чем мы писали в этом пункте, с ним полностью согласовано.
Нахождение неизвестного делимого или делителя
Еще один случай, который нам нужно рассмотреть, – это нахождение неизвестного делимого, если мы знаем делитель и частное, а также нахождение делителя при известном частном и делимом. Сформулировать это правило мы можем с помощью уже упомянутой здесь связи между умножением и делением.
Для нахождения неизвестного делимого нужно умножить делитель на частное.
Посмотрим, как применяется данное правило.
Решим с его помощью уравнение x:3=5. Перемножаем между собой известное частное и известный делитель и получаем 15, которое и будет нужным нам делимым.
Вот краткая запись всего решения:
x:3=5,x=3·5,x=15.
Проверка показывает, что мы все подсчитали верно, ведь при делении 15 на 3 действительно получается 5. Верное числовое равенство – свидетельство правильного решения.
Указанное правило можно интерпретировать как умножение правой и левой части уравнения на одинаковое отличное от 0 число. Это преобразование никак не влияет на корни уравнения.
Переходим к следующему правилу.
Для нахождения неизвестного делителя нужно разделить делимое на частное.
Возьмем простой пример – уравнение 21:x=3. Для его решения разделим известное делимое 21 на частное 3 и получим 7. Это и будет искомый делитель. Теперь оформляем решение правильно:
21:x=3,x=21:3,x=7.
Удостоверимся в верности результата, подставив семерку в исходное уравнение. 21:7=3, так что корень уравнения был вычислен верно.
Важно отметить, что это правило применимо только для случаев, когда частное не равно нулю, ведь в противном случае нам опять же придется делить на 0. Если же частным будет нуль, возможны два варианта. Если делимое также равно нулю и уравнение выглядит как 0:x=0, то значение переменной будет любым, то есть данное уравнение имеет бесконечное число корней. А вот уравнение с частным, равным 0, с делимым, отличным от 0, решений иметь не будет, поскольку таких значений делителя не существует. Примером может быть уравнение 5:x=0, которое не имеет ни одного корня.
Последовательное применение правил
Зачастую на практике встречаются более сложные задачи, в которых правила нахождения слагаемых, уменьшаемых, вычитаемых, множителей, делимых и частных нужно применять последовательно. Приведем пример.
У нас есть уравнение вида 3·x+1=7. Вычисляем неизвестное слагаемое 3·x, отняв от 7 единицу. Получим в итоге 3·x=7−1, потом 3·x=6. Это уравнение решить очень просто: делим 6 на 3 и получаем корень исходного уравнения.
Вот краткая запись решения еще одного уравнения (2·x−7):3−5=2:
(2·x−7):3−5=2,(2·x−7):3=2+5,(2·x−7):3=7,2·x−7=7·3,2·x−7=21,2·x=21+7,2·x=28,x=28:2,x=14.
Мы научим решать уравнения быстро и быть уверенными в правильном и успешном результате. Для начала, выучим простые правила и рассмотрим примеры. Самый лёгкий тип уравнений — это у которых слева размещена разность, произведение, частное или сумма чисел и одно неизвестное, а справа — известное число. Если проще, нам надо найти в уравнении одно неизвестное. Неизвестное делимое с делителем, слагаемое или уменьшаемое с вычитаемым. Такие типы уравнений мы рассмотрим далее в статье.
Распишем основные правила для поиска неизвестных слагаемых, множителей, делимых и так далее. Для закрепления теории, мы подобрали конкретные примеры под каждое правило и каждую ситуацию, с которой вы можете столкнуться при решении уравнений такого типа.
Как найти неизвестное слагаемое, правило
Представим, что на столе стоит две вазы. В этих вазах в общей сложности лежит 7 яблок. В одной вазе лежит 2 яблока. Как узнать сколько яблок лежит во второй вазе и есть ли они там вообще? Посмотрим, как выглядит эта задача в математическом виде, отметив неизвестное число яблок во второй вазе как x. Согласно условиям выше, это неизвестное вместе с числом 2 образовывают 7. Значит, наше уравнение будет выглядеть как: 2 + x = 7. Справа имеем значение суммы, а слева — сумма чисел с одним неизвестным слагаемым. Для решения уравнения надо найти число x. В таких случаях используют правило:
Правило 1
Чтобы найти неизвестное слагаемое в уравнении, надо из суммы вычесть известное.
В ситуации, где происходит математическое нахождение неизвестного слагаемого, вычитание является обратный действием по смыслу, относительно сложения. Другими словами, между действиями вычитания и сложения есть математическая связь, и правило нахождения неизвестного слагаемого благодаря этой связи можно отобразить в буквенном виде: если в условии a + b = c, то c − b = a и c − a = b. А если вы видите обратные примеры, такие как c − a = b и c − b = a, то можете быть уверенны в том что a + b = c. Благодаря определению и математической связи, мы можем узнать неизвестное слагаемое, имея только его сумму с известным слагаемым. От перестановки слагаемых, значение не меняется, поэтому неважно какое надо найти слагаемое — первое или второе. Давайте используем это правило на практике, для лучшего понимания теории.
Пример 1
Давайте решим уравнение, которое мы составили выше: 2 + x = 7. С учётом правила, мы должны из суммы обоих слагаемых, 7, вычесть известное, 2. В решении это будет выглядеть так: 7 − 2 = 5.
В решении математических задач и примеров очень важно знать и использовать правильный алгоритм записи таких уравнений:
- Запишем исходное уравнение, на базе математической задачи.
- Применяем подходящее правило и записываем следующее уравнение на его основании.
- Записываем финальное уравнение, где указываем значение ранее неизвестного.
Запись решения по этой последовательности, отображает последовательные замены изначального уравнения равносильными ему по значениям. В итоге мы сможем увидеть в решении весь процесс нахождения неизвестного. Правильная форма записи нашего уравнения будет в виде такого решения:
2 + x = 7,
x = 7 – 2,
x = 5.
Четвертой строкой в решении примера может стать проверка решения, которая даст уверенность в правильности найденного ответа. Подставим найденное значение в исходное уравнение. Берем число 5 и подставляем в пример 2 + x = 7. У нас получится:
2 + 5 = 7.
Так как мы получили правильное исходное уравнение, значит мы решили пример верно. Если бы у нас получило неверное равенство в проверочном примере, например, 2 + 8 = 7, мы бы вернулись к первому пункту алгоритма решения примера. Неверное равенство при проверке указывает на допущенную ошибку в расчётах или неверно подобранном или использованном правиле.
Находим неизвестное уменьшаемое или вычитаемое
Итак, в математических примерах в процессе вычитания и сложения существует нерушимая связь. Эта связь сформулировала правила, благодаря которым можно быстро найти неизвестное — уменьшаемое, если нам известны разность и вычитаемое, или вычитаемое, если мы знаем разность и уменьшаемое. Для каждого случая есть правило, которое мы сейчас рассмотрим вместе с решением примера.
Правила 2 — 3 + примеры
Если прибавить к разности вычитаемое, получим неизвестное уменьшаемое.
Возьмем для примера уравнение x – 1 = 4. В качестве неизвестного сейчас выступает уменьшаемое. Исходя из правила выше, мы к разности 4 добавляем вычитаемое 1. В сумме получаем 5. Значит, изначальное неизвестное уменьшаемое равно 5. Запишем решение по правильному алгоритму:
x – 1 = 4,
x = 4 + 1,
x = 5.
Не лишним будет проверить правильность решения примера путём подстановки найденного числа 5 в исходный пример:
5 – 1 = 4.
Мы получили верное уравнение, значит решение правильное. Можно переходить к изучению следующего правила.
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.
Используем это правило для нахождения неизвестного вычитаемого в примере 5 – x = 2. Для решения этого уравнения мы определили, что неизвестное является вычитаемым, а значит, в этом случае будем использовать Определение 3. Вычтем из числа 5 известную разность 2 и получим 5 – 2 = 3. Вот так выглядит полная правильная запись решения:
5 – x = 2,
x = 5 – 2,
x = 3.
Давайте убедимся, что мы правильно решили уравнение. Для этого подставим найденное число в исходный пример.
5 – 3 = 2.
Полученное уравнение верное, значит мы правильно нашли неизвестное вычитаемое. Теперь, когда вы выучили базовые правила нахождения неизвестных, мы поделимся с вами более простым способ решения примеров. Для нахождения неизвестного, нам нужно перенести неизвестное по одну сторону знака равности в уравнении, чаще левую, а известные — по другую, например, правую. При этом, когда переносите известное или неизвестное через знак равности, меняете его знак на противоположный. Если на одной из сторон ничего не остаётся, значит там будет стоять число 0. Мы покажем, как это работает на практике.
Есть пример 5 – x = 2, перенесём известные по правую сторону от знака уравнения:
– x = 2 – 5
При решении, получим уравнение:
– x = – 3
Так как в уравнениях всегда ищется неизвестное с положительным знаком, сменим знаки на противоположные в обеих частях уравнения, как бы перенося известное и неизвестное через знак равности, получим:
x = 3
Как видим, найденное значение неизвестного вычитаемого совпадает с тем значением, которое мы нашли при использовании Определения 3. Правило переноса чисел через знак равности со сменой их знака на противоположный работает для всех уравнений без исключения. Можем использовать это правило вместо всех вышеперечисленных.
Находим неизвестный множитель
Рассмотрим два уравнения: 3 ⋅ x = 9 и x ⋅ 2 = 6. И в первом, и во втором примере нужно найти один из неизвестных множителей. Второй множитель и производное — известны. Давайте запомним правило для решения подобных примеров.
Правило 4 + пример
Чтобы найти неизвестный множитель, нужно разделить производное на другой, известный множитель. Смысл этого правила базируется на обратном смысле к операции умножения. Между операциями деления и умножения также есть связь, которая выражается в следующем: если a ⋅ b = c и при этом ни a, ни b не равны 0, то c : a = b и, наоборот, c : b = a.
Найдём неизвестный множитель из уравнения 3 ⋅ x = 9 путём деления известного частного 9 на известный множитель 3. Запишем решение по алгоритму:
3 ⋅ x = 9,
x = 9 : 3,
x = 3.
Выполним подстановку, чтобы проверить правильность результата:
3 ⋅ 3 = 9
Уравнение правильное, это значит, мы верно установили значение неизвестного множителя. Обратите внимание, правило невозможно использовать в случае, если известный множитель равен 0. К примеру, если вам попадётся уравнение x ⋅ 0 = 8, вы не сможете его решить с помощью этого правила. Само уравнение x ⋅ 0 = 8 бессмысленно, так как для его решения нужно было бы разделить 8 на 0, а делить на 0 нельзя.
Подобные ситуации детально рассмотрены в статье о линейных уравнениях. В случае использования Определения 4, по факту мы делим обе части примера на известный множитель, за исключением 0. Согласно более сложному правилу, мы можем делить обе части уравнения на любой множитель, отличный от 0 и это не повлияет на правильность уравнения и на значение его корня. Оба правила согласованы между собой и отражают математическую связь между обеими частями уравнения.
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Находим неизвестный делитель или делимое
Последний случай, с которым вы можете столкнуться в решении простых математических примеров — как найти неизвестное делимое при известном частном и делителе, и наоборот, как найти делитель, если из уравнения известно значение только делимого и частного. Используя знакомую связь между делением и умножением, сформируем правило для решения подобных примеров.
Правило 5 + пример
Если мы ищем неизвестное делимое, то умножаем частное на делитель. Давайте рассмотрим, как использовать правило при решении практических примеров.
Возьмем для решение уравнение типа x : 2 = 4. Перемножаем делитель 2 и частное 4 между собой, получаем ответ 8. Вот мы и нашли неизвестное делимое. Последовательная запись решения будет выглядеть в виде:
x : 2 = 4,
x = 4 · 2,
x = 8.
Также запишем проверочный пример, подставив найденное делимое 8 в исходное уравнение:
8 : 2 = 4.
Правильность проверочного уравнения указывает на правильность найденного ответа.
Определение 5 можно связать с умножением обеих частей уравнения на один и тот же множитель, отличный от 0. Такие изменения в примере никаким образом не повлияют на корни обеих частей уравнения или итоговое значение его неизвестного. Давайте ознакомимся со следующим правилом.
Правило 6 + пример
Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на известное частное. Разберем простой пример ниже.
Возьмём уравнение 10 : x = 5. Разделим делимое 10 на известное частное 5. Получим ответ 2, что и будет значением неизвестного делителя в этом уравнении. В любом случае, уравнение нельзя решать в уме, а нужно обеспечить запись процесса решения по алгоритму:
10 : x = 5,
x = 10 : 5,
x = 2.
Завершаем решение примера проверкой результата:
10 : 2 = 5.
Мы получили верное уравнение, значит нашли корень правильно. Обратите внимание, если частное равно 0, мы не может применять это Определение, так как придётся делить делимое на 0. И в таком случае найти делимое невозможно. Но число 0 может выступать в роли частного в уравнении 0 : x = 0. В этом случае, неизвестное x может быть любым положительным или отрицательным числом, то есть равняться бесконечному количеству вариантов значения.
На практике вы будете встречать более сложные примеры и задачи на нахождение неизвестного слагаемого, вычитаемого или множителя/делимого, в которых будете последовательно применять вышеперечисленные правила.
Разложение многочлена на множители. Часть 3. Теорема Безу и схема Горнера
Разложение многочлена на множители. Теорема Безу и схема Горнера
При решении уравнений и неравенств нередко возникает необходимость разложить на множители многочлен, степень которого равна трем или выше. В этой статье мы рассмотрим, каким образом это сделать проще всего.
Как обычно, обратимся за помощью к теории.
Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена 
на двучлен 
равен 
.
Но для нас важна не сама теорема, а следствие из нее:
Если число 
является корнем многочлена , то многочлен 
делится без остатка на двучлен .
Перед нами стоит задача каким-то способом найти хотя бы один корень многочлена, потом разделить многочлен на , где – корень многочлена. В результате мы получаем многочлен, степень которого на единицу меньше, чем степень исходного. А потом при необходимости можно повторить процесс.
Эта задача распадается на две: как найти корень многочлена , и как разделить многочлен на двучлен.
Остановимся подробнее на этих моментах.
1. Как найти корень многочлена.
Сначала проверяем, являются ли числа 1 и -1 корнями многочлена.
Здесь нам помогут такие факты:
Если сумма всех коэффициентов многочлена равна нулю, то число 
является корнем многочлена.
Например, в многочлене 
сумма коэффициентов равна нулю: 
. Легко проверить, что 
является корнем многочлена.
Если сумма коэффициентов многочлена при четных степенях 
равна сумме коэффициентов при нечетных степенях, то число 
является корнем многочлена. Свободный член считается коэффициентом при четной степени, поскольку 
, а 
– четное число.
Например, в многочлене 
сумма коэффициентов при четных степенях : 
, и сумма коэффициентов при нечетных степенях : 
. Легко проверить, что 
является корнем многочлена.
Если ни 1, ни -1 не являются корнями многочлена, то двигаемся дальше.
Для приведенного многочлена степени 
(то есть многочлена, в котором старший коэффициент – коэффициент при 
– равен единице) справедлива формула Виета:
, где 
– корни многочлена 
.
Если многочлен не является приведенным, то его можно сделать таковым, разделив на старший коэффициент.
Есть ещё формул Виета, касающихся остальных коэффициентов многочлена, но нас интересует именно эта.
Из этой формулы Виета следует, что если корни приведенного многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также является целым числом.
Исходя из этого, нам надо разложить свободный член многочлена на множители, и последовательно, от меньшего к большему, проверять, какой из множителей является корнем многочлена.
Рассмотрим, например, многочлен 
.
Для этого многочлена произведение корней равно 
Делители числа 
: 
; 
; 
Сумма всех коэффициентов многочлена равна 
, следовательно, число 1 не является корнем многочлена.
Сумма коэффициентов при четных степенях : 
Сумма коэффициентов при нечетных степенях : 
, следовательно, число -1 также не является корнем многочлена.
Проверим, является ли число 2 корнем многочлена: 
, следовательно, число 2 является корнем многочлена. Значит, по теореме Безу, многочлен делится без остатка на двучлен 
.
2. Как разделить многочлен на двучлен.
Многочлен можно разделить на двучлен столбиком.
Разделим многочлен на двучлен столбиком:
Есть и другой способ деления многочлена на двучлен – схема Горнера.
Посмотрите это видео, чтобы понять, как делить многочлен на двучлен столбиком, и с помощью схемы Горнера.
Замечу, что если при делении столбиком какая-то степень неизвестного в исходном многочлене отсутствует, на её месте пишем 0 – так же, как при составлении таблицы для схемы Горнера.
Итак, если нам нужно разделить многочлен на двучлен и в результате деления мы получаем многочлен 
, то коэффициенты многочлена 
мы можем найти по схеме Горнера:
Мы также можем использовать схему Горнера для того, чтобы проверить, является ли данное число корнем многочлена: если число является корнем многочлена , то остаток от деления многочлена на равен нулю, то есть в последнем столбце второй строки схемы Горнера мы получаем 0.
Используя схему Горнера, мы “убиваем двух зайцев”: одновременно проверяем, является ли число корнем многочлена и делим этот многочлен на двучлен .
Пример. Решить уравнение:
1. Выпишем делители свободного члена, и будем искать корни многочлена среди делителей свободного члена.
Делители числа 24: 
2. Проверим, является ли число 1 корнем многочлена.
Сумма коэффициентов многочлена 
, следовательно, число 1 является корнем многочлена.
3. Разделим исходный многочлен на двучлен 
с помощью схемы Горнера.
А) Выпишем в первую строку таблицы коэффициенты исходного многочлена.
Так как член, содержащий 
отсутствует, в том столбце таблицы, в котором должен стоять коэффициент при пишем 0. Слева пишем найденный корень: число 1.
Б) Заполняем первую строку таблицы.
В последнем столбце, как и ожидалось, мы получили ноль, мы разделили исходный многочлен на двучлен без остатка. Коэффициенты многочлена, получившегося в результате деления изображены синим цветом во второй строке таблицы:
Будем делить дальше. Нам нужно найти корни многочлена 
. Корни также ищем среди делителей свободного члена, то есть теперь уже числа -24.
Легко проверить, что числа 1 и -1 не являются корнями многочлена
В) Продолжим таблицу. Проверим, является ли число 2 корнем многочлена :
Так степень многочлена, который получается в результате деления на единицу меньше степени исходного многочлена, следовательно и количество коэффициентов и количество столбцов на единицу меньше.
В последнем столбце мы получили -40 – число, не равное нулю, следовательно, многочлен делится на двучлен 
с остатком, и число 2 не является корнем многочлена.
Идем дальше.
В) Проверим, является ли число -2 корнем многочлена . Так как предыдущая попытка оказалась неудачной, чтобы не было путаницы с коэффициентами, я сотру строку, соответствующую этой попытке:
Отлично! В остатке мы получили ноль, следовательно, многочлен разделился на двучлен 
без остатка, следовательно, число -2 является корнем многочлена. Коэффициенты многочлена, который получается в результате деления многочлена на двучлен в таблице изображены зеленым цветом.
В результате деления мы получили квадратный трехчлен 
, корни которого легко находятся по теореме Виета: 
Итак, корни исходного уравнения :
{
}
Ответ: {
}
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Содержание материала
- В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
- Получите невероятные возможности
- Видео
- Нахождение неизвестного множителя
- Расширенный алгоритм Евклида*
- Решето Эратосфена
- Задание
- Асимптотика
- Гармонический ряд
- Попытка объяснения асимптотики** (для старших классов)
- Последовательное применение правил
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.
Получите невероятные возможности
1. Откройте доступ ко всем видеоурокам комплекта. 2. Раздавайте видеоуроки в личные кабинеты ученикам. 3. Смотрите статистику просмотра видеоуроков учениками.
Нет, спасибо
Получить доступ
Нахождение неизвестного множителя
Посмотрим на два уравнения: x·2=20 и 3·x=12. В обоих нам известно значение произведения и один из множителей, необходимо найти второй. Для этого нам надо воспользоваться другим правилом.
Для нахождения неизвестного множителя нужно выполнить деление произведения на известный множитель.
Данное правило базируется на смысле, который является обратным смыслу умножения. Между умножением и делением есть следующая связь: a·b=c при a и b, не равных , c: a=b, c: b=c и наоборот.
Вычислим неизвестный множитель в первом уравнении, разделив известное частное 20 на известный множитель 2. Проводим деление натуральных чисел и получаем 10. Запишем последовательность равенств:
x·2=20x=20:2x=10.
Подставляем десятку в исходное равенство и получаем, что 2·10=20. Значение неизвестного множителя было выполнено правильно.
Уточним, что в случае, если один из множителей нулевой, данное правило применять нельзя. Так, уравнение x·=11 с его помощью решить мы не можем. Эта запись не имеет смысла, поскольку для решения надо разделить 11 на , а деление на нуль не определено. Подробнее о подобных случаях мы рассказали в статье, посвященной линейным уравнениям.
Когда мы применяем это правило, мы, по сути, делим обе части уравнения на другой множитель, отличный от . Существует отдельное правило, согласно которому можно проводить такое деление, и оно не повлияет на корни уравнения, и то, о чем мы писали в этом пункте, с ним полностью согласовано.
Видео
Расширенный алгоритм Евклида*
Очень важным для математики свойством наибольшего общего делителя является следующий факт:
Для любых целых (a, b) найдутся такие целые (x, y), что (ax + by = d), где (d = gcd(a, b)).
Из этого следует, что существует решение в целых числах, например, у таких уравнений: * (8x + 6y = 2) * (4x — 5y = 1) * (116x + 44y = 4) * (3x + 11y = -1)
Мы сейчас не только докажем, что решения у таких уравнений существуют, но и приведем быстрый алгоритм нахождения этих решений. Здесь нам вновь пригодится алгоритм Евклида.
Рассмотрим один шаг алгоритма Евклида, преобразующий пару ((a, b)) в пару ((b, a operatorname{%} b)). Обозначим (r = a operatorname{%} b), то есть запишем деление с остатком в виде (a = bq + r).
Предположим, что у нас есть решение данного уравнения для чисел (b) и (r) (их наибольший общий делитель, как известно, тоже равен (d)): [bx_0 + ry_0 = d]
Теперь сделаем в этом выражении замену (r = a — bq):
[bx_0 + ry_0 = bx_0 + (a — bq)y_0 = ay_0 + b(x_0 — qy_0)]
Tаким образом, можно взять (x = y_0), а (y = (x_0 — qy_0) = (x_0 — (a operatorname{/} b)y_0)) (здесь (/) обозначает целочисленное деление).
В конце алгоритма Евклида мы всегда получаем пару ((d, 0)). Для нее решение требуемого уравнения легко подбирается — (d * 1 + 0 * 0 = d). Теперь, используя вышесказанное, мы можем идти обратно, при вычислении заменяя пару ((x, y)) (решение для чисел (b) и (a operatorname{%} b)) на пару ((y, x — (a / b)y)) (решение для чисел (a) и (b)).
Это удобно реализовывать рекурсивно:
Но также полезно и посмотреть, как будет работать расширенный алгоритм Евклида и на каком-нибудь конкретном примере. Пусть мы, например, хотим найти целочисленное решение такого уравнения: [116x + 44y = 4] [(2times44+28)x + 44y = 4] [44(2x+y) + 28x = 4] [44x_0 + 28y_0 = 4] Следовательно, [x = y_0, y = x_0 — 2y_0] Будем повторять такой шаг несколько раз, получим такие уравнения: [116x + 44y = 4] [44x_0 + 28y_0 = 4, x = y_0, y = x_0 — 2y_0] [28x_1 + 16y_1 = 4, x_0 = y_1, y_0 = x_1 — y_1] [16x_2 + 12y_2 = 4, x_1 = y_2, y_1 = x_2 — y_2] [12x_3 + 4y_3 = 4, x_2 = y_3, y_2 = x_3 — y_3] [4x_4 + 0y_4 = 4, x_3 = y_4, y_3 = x_4 — 3 y_4] А теперь свернем обратно: [x_4 = 1, y_4 = 0] [x_3 = 0, y_3 =1] [x_2 = 1, y_2 =-1] [x_1 = -1, y_1 =2] [x_0 = 2, y_0 =-3] [x = -3, y =8]
Действительно, (116times(-3) + 44times8 = 4)
Решето Эратосфена
Часто нужно не проверять на простоту одно число, а найти все простые числа до (N). В этом случае наивный алгоритм будет работать за (O(Nsqrt N)), так как нужно проверить на простоту каждое число от 1 до (N).
Но древний грек Эратосфен предложил делать так:
Запишем ряд чисел от 1 до (N) и будем вычеркивать числа: * делящиеся на 2, кроме самого числа 2 * затем деляющиеся на 3, кроме самого числа 3 * затем на 5, затем на 7, и так далее и все остальные простые до n. Таким образом, все незачеркнутые числа будут простыми — «решето» оставит только их.
Красивая визуализация
Задание
Найдите этим способом на бумажке все простые числа до 50, потом проверьте с программой:
У этого алгоритма можно сразу заметить несколько ускорений.
Во-первых, число (i) имеет смысл перебирать только до корня из (N), потому что при зачеркивании составных чисел, делящихся на простое (i > sqrt N), мы ничего не зачеркнем. Почему? Пусть существует составное (M leq N), которое делится на %i%, и мы его не зачеркнули. Но тогда (i > sqrt N geq sqrt M), а значит по ранее нами доказанному утверждению (M) должно делиться и на простое число, которое меньше корня. Но это значит, что мы его уже вычеркнули.
Во-вторых, по этой же самое причине (j) имеет смысл перебирать только начиная с (i^2). Зачем вычеркивать (2i), (3i), (4i), …, ((i-1)i), если они все уже вычеркнуты, так как мы уже вычеркивали всё, что делится на (2), (3), (4), …, ((i-1)).
Асимптотика
Такой код будет работать за (O(N log log N)) по причинам, которые мы пока не хотим объяснять формально.
Гармонический ряд
Научимся оценивать асимптотику величины (1 + frac{1}{2} + ldots + frac{1}{N}), которая нередко встречается в задачах, где фигурирует делимость.
Возьмем (N) равное (2^i — 1) и запишем нашу сумму следующим образом: [left(frac{1}{1}right) + left(frac{1}{2} + frac{1}{3}right) + left(frac{1}{4} + ldots + frac{1}{7}right) + ldots + left(frac{1}{2^{i — 1}} + ldots + frac{1}{2^i — 1}right)]
Каждое из этих слагаемых имеет вид [frac{1}{2^j} + ldots + frac{1}{2^{j + 1} — 1} le frac{1}{2^j} + ldots + frac{1}{2^j} = 2^j frac{1}{2^j} = 1]
Таким образом, наша сумма не превосходит (1 + 1 + ldots + 1 = i le 2log_2(2^i — 1)). Тем самым, взяв любое (N) и дополнив до степени двойки, мы получили асимптотику (O(log N)).
Оценку снизу можно получить аналогичным образом, оценив каждое такое слагаемое снизу значением (frac{1}{2}).
Попытка объяснения асимптотики** (для старших классов)
Мы знаем, что гармонический ряд (1 + frac{1}{2} + frac{1}{3} + ldots + frac{1}{N}) это примерно (log N), а значит [N + frac{N}{2} + frac{N}{3} + ldots + frac{N}{N} sim N log N]
А что такое асимптотика решета Эратосфена? Мы как раз ровно (frac{N}{p}) раз зачеркиваем числа делящиеся на простое число (p). Если бы все числа были простыми, то мы бы как раз получили (N log N) из формули выше. Но у нас будут не все слагаемые оттуда, только с простым (p), поэтому посмотрим чуть более точно.
Известно, что простых чисел до (N) примерно (frac{N}{log N}), а значит допустим, что k-ое простое число примерно равно (k ln k). Тогда
[sum_{substack{2 leq p leq N \ text{p is prime}}} frac{N}{p} sim frac{1}{2} + sum_{k = 2}^{frac{N}{ln N}} frac{N}{k ln k} sim int_{2}^{frac{N}{ln N}} frac{N}{k ln k} dk =N(lnlnfrac{N}{ln N} — lnln 2) sim N(lnln N — lnlnln N) sim N lnln N]
Но вообще-то решето можно сделать и линейным.
Последовательное применение правил
Зачастую на практике встречаются более сложные задачи, в которых правила нахождения слагаемых, уменьшаемых, вычитаемых, множителей, делимых и частных нужно применять последовательно. Приведем пример.
У нас есть уравнение вида 3·x+1=7. Вычисляем неизвестное слагаемое 3·x, отняв от 7 единицу. Получим в итоге 3·x=7−1, потом 3·x=6. Это уравнение решить очень просто: делим 6 на 3 и получаем корень исходного уравнения.
Вот краткая запись решения еще одного уравнения (2·x−7):3−5=2:
(2·x−7):3−5=2,(2·x−7):3=2+5,(2·x−7):3=7,2·x−7=7·3,2·x−7=21,2·x=21+7,2·x=28,x=28:2,x=14.
Всё ещё сложно? Наши эксперты помогут разобраться Все услуги
Теги
Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное число, которое обозначается буквой. Эта буква носит название “переменная”.
Решить уравнение – найти значение неизвестного числа, скрытого под переменной.
Вспомним, из каких компонентов состоит пример на деление:
10 : 2 = 5
10 – делимое;
2 – делитель;
5 – частное.
А теперь посмотрим, как может выглядеть уравнение с делением:
14 : х = 7
В данном уравнении неизвестен делитель. Чтобы его найти, надо знать правило:
Если мы хотим найти неизвестный делитель, необходимо делимое разделить на частное.
Делимое – 14, частное – 7. Вычисляем.
х = 14 : 7;
х = 2.
Следующее действие – обязательная проверка. Вместо переменной ставим найденное число.
14 : 2 = 7
Всё сходится, значит,
решение выполнено верно.
А вот несколько иной пример:
х : 5 = 3
Здесь под переменной скрывается делимое. Для его нахождения правило, которым мы руководствовались в первом примере, не подойдёт. Потому что…
Для нахождения неизвестного делимого необходимо частное умножить на делитель.
х = 3 * 5;
х = 15.
Делаем проверку:
15 : 5 = 3.
Решение выполнено верно.
Чтобы закрепить знания по теме “Уравнение с делением”, предлагаем Вам решить следующие уравнения. Не забудьте про проверку!
х : 5 = 2 9 : х = 3
х : 6 = 3 21 : х = 7
Решить уравнения на умножение и деление Ваш ребёнок может в онлайн-школе математики World of Math. Педагоги с многолетним стажем, интерактивные уроки, подход к каждому ученику и заинтересованность в его прогрессе – положительные отзывы и результаты наших школьников подтверждают успешность принципов работы WoM.
Если Вы ещё не с нами – присоединяйтесь, как это сделали более 1400 учеников! Первый урок абсолютно бесплатный. Записаться на него можно здесь.
