Как найти стороны прямоугольного треугольника
- Главная
- /
- Математика
- /
- Геометрия
- /
- Как найти стороны прямоугольного треугольника
Чтобы посчитать стороны прямоугольного треугольника воспользуйтесь нашим очень удобным онлайн калькулятором:
Онлайн калькулятор
Чтобы вычислить длины сторон прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):
- для гипотенузы (с):
- длины катетов a и b
- длину катета (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
- длину катета (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)
- для катета:
- длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
- длину гипотенузы (с) и прилежащий к искомому катету (a или b) острый угол (β или α, соответственно)
- длину гипотенузы (с) и противолежащий к искомому катету (a или b) острый угол (α или β, соответственно)
- длину одного из катетов (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
- длину одного из катетов (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)
Введите их в соответствующие поля и получите результат.
Найти гипотенузу (c)
Найти гипотенузу по двум катетам
Катет a =
Катет b =
Гипотенуза c =
0
Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны оба катета (стороны a и b)?
Формула
Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
c² = a² + b²
следовательно: c = √a² + b²
Пример
Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 3 см, а катет b = 4 см:
c = √3² + 4² = √9 + 16 = √25 = 5 см
Найти гипотенузу по катету и прилежащему к нему острому углу
Катет (a или b) =
Прилежащий угол (β или α) =
Гипотенуза c =
0
Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и прилежащий к нему угол?
Формула
c = a/cos(β) = b/cos(α)
Пример
Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а прилежащий к нему ∠β = 60°:
c = 2 / cos(60) = 2 / 0.5 = 4 см
Найти гипотенузу по катету и противолежащему к нему острому углу
Катет (a или b) =
Противолежащий угол (α или β) =
Гипотенуза c =
0
Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и противолежащий к нему угол?
Формула
c = a/sin(α) = b/sin(β)
Пример
Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а противолежащий к нему ∠α = 30°:
c = 2 / sin(30) = 2 / 0.5 = 4 см
Найти гипотенузу по двум углам
Найти гипотенузу прямоугольного треугольника только по двум острым углам невозможно.
Найти катет
Найти катет по гипотенузе и катету
Гипотенуза c =
Катет (известный) =
Катет (искомый) =
0
Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и второй катет?
Формула
a = √c² – b²
b = √c² – a²
Пример
Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а катет b = 4 см:
a = √5² – 4² = √25 – 16 = √9 = 3 см
Найти катет по гипотенузе и прилежащему к нему острому углу
Гипотенуза c =
Угол (прилежащий катету) = °
Катет =
0
Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и прилежащий к искомому катету острый угол?
Формула
a = c ⋅ cos(β)
b = c ⋅ cos(α)
Пример
Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а ∠α = 60°:
b = 5 ⋅ cos(60) = 5 ⋅ 0.5 = 2.5 см
Найти катет по гипотенузе и противолежащему к нему острому углу
Гипотенуза c =
Угол (противолежащий катету) = °
Катет =
0
Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и противолежащий к искомому катету острый угол?
Формула
a = c ⋅ sin(α)
b = c ⋅ sin(β)
Пример
Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 4 см, а ∠α = 30°:
a = 4 ⋅ sin(30) = 4 ⋅ 0.5 = 2 см
Найти катет по второму катету и прилежащему к нему острому углу
Катет (известный) =
Угол (прилежащий известному катету) = °
Катет (искомый) =
0
Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и прилежащий к нему острый угол?
Формула
a = b ⋅ tg(α)
b = a ⋅ tg(β)
Пример
Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а ∠β = 45°:
b = 2 ⋅ tg(45) = 2 ⋅ 1 = 2 см
Найти катет по второму катету и противолежащему к нему острому углу
Катет (известный) =
Угол (противолежащий известному катету) = °
Катет (искомый) =
0
Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и противолежащий к нему острый угол?
Формула
a = b / tg(β)
b = a / tg(α)
Пример
Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если катет b = 3 см, а ∠β = 35°:
a = 3 / tg(35) ≈ 3 / 0.7 ≈ 4.28 см
См. также
Прямоугольный треугольник. Онлайн калькулятор
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти неизвестные элементы (стороны, углы) прямоугольного треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Прямоугольный треугольник. Свойства, признаки равенства. Задачи и решения
Определение 1. Прямоугольный треугольник − это треугольник, один из углов которого прямой (т.е. 90°).
Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой (сторона c (Рис.1)). Другие стороны, т.е. стороны, прилегающие к прямому углу (стороны a и b) называются катетами.
Некоторые свойства прямоугольных треугольников
Свойство 1. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
Действительно. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, а прямой угол равен 90°, то сумма остальных углов равен 90°.
Свойство 2. Если катет прямоугольного треугольника лежит напротив угла в 30°, то он равен половине гипотенузы.
Доказательство. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACB, у которого угол C прямой, а угол ∠ABC=30°. Приложим к этому треугольнику равному ему прямоугольный треугольник как показано на Рис.2.
Рассмотрим треугольник ADB. Так как ∠A=∠D=∠ABD=60°, то треугольник ABD равносторонний. Следовательно AB=AD=BD. Тогда 
. Конец доказательства.
Свойство 3. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против данного катета равен 30°.
Доказательство. Пусть у прямоугольного треугольника катет AC равен половине гипотенузы AB. Аналогично вышеизложенному приложим к этому треугольнику равному ему прямоугольный треугольник BCD(Рис.2). Получим равносторонний треугольник, где AB=AD=BD. Тогда ∠A=∠D=∠ABD=60°. Но ∠ABD=2∠ABС. Следовательно 
. Конец доказательства.
Признаки равенства прямоугольных треугольников
1. Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам
Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то эти треугольники равны.
Действительно. Пусть 
, 
(Рис.3). Поскольку 
, то по первому признаку равенства треугольников следует, что треугольники 
и 
равны.
2. Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему к нему острому углу
Если катет и прилежащий к нему острый угол прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Действительно. Так как 
, 
, 
(Рис.4), то из второго признака равенства треугольников следует, что треугольники и равны.
3. Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и прилежащему к нему острому углу
Теорема 1. Если гипотенуза и прилежащий к нему острый угол прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Пусть 
и 
(Рис.5). Так как данные треугольники прямоугольные, то имеет место также равенство 
. Тогда из второго признака равенства треугольников следует, что треугольники и равны.
4. Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету
Теорема 2. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Рассмотрим треугольники и , где , и углы C и C1 прямые (Рис.6).
Поскольку , , , то треугольник можно наложить на треугольник так, чтобы вершина C совместилась с верншиной C1 а стороны CA и CB наложились на лучи C1A1 и C1B1, соответственно (Рис.7).
Так как CB=C1B1, то вершина B совместится с вершиной B1. Покажем, теперь, что вершина A совместится с вершиной A1. Предположим, что они не совместятся. Тогда получим равнобедренный треугольник ABA1, поскольку AB=A1B1. Но в этом случае 
. Но как мы видим из Рис.7 угол 
, острый а угол 
тупой (так как он является смежанным углом к острому углу BAC), что невозможно. Следовательно вершина A совместится с вершиной A1.
Задачи и решения
Задача 1. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26.4см. Найдите гипотенузу треугольника.
Решение. Обозначим через b− меньший катет, а через c− гипотенузу. Из условия задачи имеем: c+b=26.4см.
Так как один из острых углов прямоугольного треугольника равен 60°, то другой острый угол равен 90°−60°=30°. Как известно, против угла 60° лежит большая сторона (катет), а против угла 30° − меньшая. Из свойства 2 следует, что меньшая сторона равна половине гипотенузы :
. Тогда имеем: 
или 
. Следовательно c=17.6 см.
Ответ: 17.6 см.
Задача 2. В треугольниках ABC и A1B1C1, углы A и A1 прямые, BD и B1D1 −биссектрисы. Докажите, что 
, если и BD=B1D1.
Доказательство. Так как BD и B1D1 −биссектрисы и , то 
(Рис.8). Из 
и 
следует, что 
(Теорема 1).
Тогда 
и, следовательно, 
. Отсюда получим, что треугольники BDC и B1D1C1 равны (второй признак равенства треугольников:, , 
). Следовательно (так как , 
).
Все формулы сторон прямоугольного треугольника
Как найти,
гипотенузу или катеты в прямоугольном треугольнике.
a, b – катеты
c – гипотенуза
α, β – острые углы
Формулы для катета, (a):
Формулы для катета, (b):
Формулы для гипотенузы, (c):
Формулы сторон по теореме Пифагора, (a,b):
- Подробности
-
Автор: Administrator
-
Опубликовано: 12 октября 2011
-
Обновлено: 13 августа 2021
Лика Перькова
Ученик
(62),
на голосовании
8 лет назад
Я знаю, что через синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы, но как??? ?
Дополнен 8 лет назад
Степан, синус – противоположная сторона деленная на гипотенузу. Косинус – Прилежащая сторона на гипотенузу.
Курсы, или гипотенуза, или один из катетов.
Дополнен 8 лет назад
Благодарю, Михаил. Как раз то, что нужно. Простая и легко запоминающаяся схема. Хоть Вы не задаете вопросов, а даете ответ. Приятно,)
Голосование за лучший ответ
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
Следующие соотношения позволяют найти стороны и углы прямоугольного треугольника по любым двум элементам (сторонам или стороне и углу).
Рис. (1). Прямоугольный треугольник
Теорема Пифагора:c2=a2+b2;a2=c2−b2;b2=c2−a2.
sinα=ac;cosα=bc;tgα=ab;ctgα=ba.
cos2α+sin2α=1;tgα⋅ctgα=1.
Очень важные соотношения можно получить, заметив, что
∠DCB=∠CAD;∠DBC=∠ACD.
Мы получаем три пары подобных треугольников:
ΔACD∼ΔCBD;ΔACD∼ΔABC;ΔCBD∼ΔABC.
Из подобий:
ΔACD∼ΔCBD:ACCB=CDBD=ADCD;ba=hac=bch⇒h2=ac⋅bc.
ΔACD∼ΔABC:ACAB=CDBC=ADAC;bc=ha=bcb⇒b2=c⋅bc.
ΔCBD∼ΔABC:CBAB=BDBC=CDAC;ac=aca=hb⇒a2=c⋅ac.
Из последних соотношений можно получить ещё одно важное соотношение:
ac=hb⇒h=abc.
Это же равенство можно получить, используя две формулы для вычисления площади прямоугольного треугольника:
S=12ab=12hc⇒ab=hc⇒h=abc.
Отметим ещё одно важное свойство медианы прямоугольного треугольника, проведённого к гипотенузе.
Рис. (2). Дополнительные построения
Как видно из рисунка, если мы достроим прямоугольный треугольник до прямоугольника, то окажется, что медиана (CO) — это половина диагонали прямоугольника, а следовательно, и гипотенузы.
mc=c2.
Источники:
Рис. 1. Прямоугольный треугольник. © ЯКласс.
Рис. 2. Дополнительные построения. © ЯКласс.
