Глава
5. Вычисление корней многочлена.
Многочлены (целые
рациональные функции) имеют совершенно
исключительное значение в математике,
поэтому вопрос о вычислении корней
(нулей) многочленов целесообразно
рассматривать отдельно.
В Mathcad
для вычисления корней многочленов
предусмотрены два способа: использование
встроенной функции polyroots,
работающей с числовым процессором и
применение оператора solve,
решающего широкий круг задач и работающего
с символьным процессором.
1. Функция
polyroots.
Аргументом функции
polyroots
является
вектор-столбец коэффициентов многочлена,
корни которого требуется вычислить
(начиная с коэффициента при нулевой
степени).
Пример
1.
Пусть
требуется вычислить корни многочлена:
Вектор-столбец
коэффициентов:
Для формирования
вектора коэффициентов удобно использовать
оператор coeffs
из палитры Symbolic.
Пример
2.
Пусть
требуется вычислить корни многочлена:
Сформируем
вектор-столбец его коэффициентов:
Подчеркнем, что
оператор coeffs
не нуждается в том, чтобы многочлен был
записан в канонической форме. Если
многочлен задан в форме сумм и произведений
(см. пример
3), то
оператор coeffs
сам преобразует его к канонической
форме и сформирует вектор коэффициентов.
Замечание.
Для того, чтобы представить многочлен
в канонической форме служит оператор
collect
из палитры Symbolic.
Пример
3.
Пусть
дан многочлен:
Построим
вектор-столбец его коэффициентов:
Теперь
представим многочлен q(x) в канонической
форме:
По умолчанию для
поиска корней полинома используется
метод ЛаГерра (LaGuerre),
но функция polyroots
может использовать также и метод
матриц-компаньонов. Чтобы выбрать именно
этот метод, поставьте курсор мыши на
функцию polyroots
и щелкните правой кнопкой мыши. Теперь
вам достаточно выбрать пункт Companion
Matrix из
всплывающего меню. Какой из двух численных
методов выбрать? Почему Mathcad
отдает предпочтение методу
LaGuerre,
а не Companion
Matrix? Теория
численных методов не дает однозначного
ответа на первый вопрос. В приведенных
ниже примерах метод Companion
Matrix
демонстрирует более высокую точность,
чем метод LaGuerre.
Но это ничего не доказывает. Можно только
отметить, что в силу ряда причин точность
метода LaGuerre
резко падает с возрастанием степени
многочлена. Что касается второго вопроса,
то, по-видимому, разработчики численного
процессора Mathcad
исходили из того, что метод LaGuerre
имеет репутацию исключительно надежного
метода счета. На наш взгляд, за исключением
очень простых случаев, целесообразно
вычислять корни двумя методами, а затем,
подставив полученные значения корней
в многочлен, оценить точность (см. пример
4).
Пример
4.
Пусть
дан многочлен:
Построим
вектор-столбец его коэффициентов:
Используем
вначале метод LaGuerre:
Теперь
воспользуемся методом Companion Matrix:
Заканчивая описание
функции polyroots,
отметим одно ее чрезвычайно важное
свойство. Функция polyroots
может вычислять корни многочленов с
комплексными коэффициентами (см. пример
5).
Пусть
дан многочлен:
Пример
5.
Построим
вектор-столбец его коэффициентов:
Используем
вначале метод LaGuerre:
Теперь
воспользуемся методом Companion Matrix:
2. Оператор solve.
Оператор solve
исключительно
прост в использовании. Не требуется
формировать вектор коэффициентов,
достаточно записать многочлен
(необязательно в канонической форме),
а затем ввести оператор
solve
из палитры
Symbolic.
Так как оператор
solve
работает с
символьным процессором, необходимо
учитывать, что, в зависимости от вида
операнда, задача будет решаться точно
или численным методом. Если вместе с
оператором
solve
используется оператор float,
символьный процессор использует
численный
метод.
Замечание.
Если символьный процессор, получив
инструкцию решить задачу точно, не смог
найти решение, он, не прибегая к помощи
численного процессора для поиска
приближенного решения, выдаст сообщение
“No
solution
found”
(решение не найдено).
Оператор solve
(если вместе с ним не используется
оператор float)
даст указание символьному
процессору найти корни уравнения точно,
если все числа в многочлене записаны
без десятичной точки. Кроме целых чисел
в записи многочлена могут содержаться
радикалы из целых положительных чисел,
а также символы π
и е.
Что понимает
символьный процессор под точным
определением корней?
Очевидно, что в том случае, когда все
корни уравнения рациональные числа, их
следует вычислить без погрешности. Но,
кроме этого, символьный процессор может
записать корни в форме радикалов, а если
это не удается, в форме тригонометрических
выражений (см. пример
6).
Пример
6.
Если коэффициенты
многочлена содержат десятичную точку,
то символьный процессор получит указание
найти численные значения корней и
записать их, используя двадцатиразрядные
числа.
Замечание.
В Mathcad
14.0 вы получите тот же результат, но в
показательной форме.
Какой численный
метод использует Mathcad
для нахождения корней? К сожалению,
фирма MathSoft
не сообщает этого пользователю. (Вообще,
«Руководство пользователя» и справочная
система Mathcad
ничего не сообщают о методах, используемых
в работе символьного процессора.)
В целом, корни
многочленов с действительными
коэффициентами символьный процессор
находит точнее, чем численный процессор.
Отметим одну
деталь. Иногда при вычислении кратных
корней символьный процессор сообщает
пользователю только об одном из них
(см. пример
7).
Пример
7.
Замечание.
В Mathcad
14.0 вы получите при решении того же
примера следующий результат:
Если многочлен
имеет комплексные коэффициенты, то
использование оператора solve
может не дать результата. До
14-той версии Mathcad
при вычислении корней многочлена с
комплексными коэффициентами
оператор solve
зачастую
выдает только один корень. Но
он может, вообще говоря, найти и все n
корней (если многочлен ему понравится).
(См. примеры
8 и
9).
Пример
8.
Ограничим
число разрядов в ответе:
Оператор float,
задающий число разрядов в получаемом
символьным процессором результате,
также как и оператор solve
берется из палитры Symbolic.
Замечание.
Mathcad
14.0 в этом случае найдет все пять корней
многочлена.
Пример
9.
Дан
многочлен:
Найдем
его корни с помощью оператора solve:
3. Проблемы при
вычислении корней многочлена.
При использовании
любого численного метода принципиально
возможны два дефекта:
-
низкая точность
вычисления корней; -
зацикливание,
когда вообще не удается получить
результат.
Сложность задачи
вычисления корней зависит от:
-
близости корней.
Чем меньше расстояние между корнями,
тем труднее задача. -
степени многочлена.
Чем выше степень, тем труднее получить
значения всех корней с высокой точностью.
Задача вычисления
корней многочлена очень чувствительна
к изменению значений коэффициентов.
Рассмотрим два
многочлена:
h1(z)
= (z
– 2)3 =
0 и h2(z)
= (z
– 2)3 –
10-6 =
0
Значения младших
коэффициентов многочленов h1(z)
и h2(z)
различаются
на 0.000001. А значения корней –на 0.01, причем
два корня стали комплексными!
|
h1(z) |
h2(z) |
|
z1 |
z1 |
|
z2 |
z2 |
|
z3 |
z3 |
Итоговые
упражнения.
-
Найти все
коэффициенты многочлена: (x-2)·(x-3.7)·(x-5)
и представить его в канонической форме. -
Найти все корни
многочлена: 1.7x6
+
3.8x4
–5.7x3
+
1.9x2
–
0.4x
+1.1 = 0. -
Найти все корни
многочлена: z5-1=0
различными
способами. -
Найти все корни
многочлена: z3+(3.2-1.4i)·z+1=0
79
Соседние файлы в папке методичка
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Определить все корни уравнения в маткаде
Для решения одного уравнения с одним неизвестным используется функция root. Аргументами этой функции являются выражение и переменная, входящая в выражение. Ищется значение переменной, при котором выражение обращается в ноль. Функция возвращает значение переменной, которое обращает выражение в ноль.
| root( f(z), z) | Возвращает значение z, при котором выражение или функция f(z) обращается в 0. Оба аргумента этой функции должны быть скалярами. Функция возвращает скаляр. |
Первый аргумент есть либо функция, определенная где-либо в рабочем документе, или выражение. Выражение должно возвращать скалярные значения.
Второй аргумент — имя переменной, которое используется в выражении. Это та переменная, варьируя которую Mathcad будет пытаться обратить выражение в ноль. Этой переменной перед использованием функции root необходимо присвоить числовое значение. Mathcad использует его как начальное приближение при поиске корня.
Рассмотрим пример, как найти a — решение уравнения e x = x 3 . Для этого выполните следующие шаги:
- Определите начальное значение переменной x. Введите x:3. Выбор начального приближения влияет на корень, возвращаемый Mathcad (если выражение имеет несколько корней).
- Определите выражение, которое должно быть обращено в ноль. Для этого перепишите уравнение e x = x 3 в виде x 3 – e x = 0. Левая часть этого выражения и является вторым аргументом функции root
- Определите переменную a как корень уравнения. Для этого введите a:root(x^3[Space]-e^x[Space],x).
- Напечатайте a=, чтобы увидеть значение корня.
При использовании функции root имейте в виду следующее:
- Удостоверьтесь, что переменной присвоено начальное значение до начала использования функции root.
- Для выражения с несколькими корнями, например x 2 – 1 = 0, начальное значение определяет корень, который будет найден Mathcad. На Рисунке 1 приведен пример, в котором функция root возвращает различные значения, каждое из которых зависит от начального приближения.
- Mathcad позволяет находить как комплексные, так и вещественные корни. Для поиска комплексного корня следует взять в качестве начального приближения комплексное число.
- Задача решения уравнения вида f(x) = g(x) эквивалентна задаче поиска корня выражения f(x) – g(x) =0. Для этого функция root может быть использована следующим образом:
Функция root предназначена для решения одного уравнения с одним неизвестным. Для решения систем уравнений используйте методику, описанную в следующем разделе “Системы уравнений”. Для символьного решения уравнений или нахождения точного численного решения уравнения в терминах элементарных функций выберите Решить относительно переменной из меню Символика. См. Главу “Символьные вычисления”.
Рисунок 1: Использование графика и функции root для поиска корней уравнения.
Что делать, когда функция root не сходится
Mathcad в функции root использует для поиска корня метод секущей. Начальное значение, присвоенное переменной x, становится первым приближением к искомому корню. Когда значение выражения f(x) при очередном приближении становится меньше значения встроенной переменной TOL, корень считается найденным, и функция root возвращает результат.
Если после многих итераций Mathcad не может найти подходящего приближения, то появляется сообщение об ошибке “отсутствует сходимость”. Эта ошибка может быть вызвана следующими причинами:
- Уравнение не имеет корней.
- Корни уравнения расположены далеко от начального приближения.
- Выражение имеет локальные максимумы или минимумы между начальным приближением и корнями.
- Выражение имеет разрывы между начальным приближением и корнями.
- Выражение имеет комплексный корень, но начальное приближение было вещественным (или наоборот).
Чтобы установить причину ошибки, исследуйте график f(x). Он поможет выяснить наличие корней уравнения f(x)=0 и, если они есть, то определить приблизительно их значения. Чем точнее выбрано начальное приближение корня, тем быстрее функция root будет сходиться к точному значению. roots;using plots to find
Некоторые советы по использованию функции root
В этом разделе приведены несколько советов по использованию функции root:
- Для изменения точности, с которой функция root ищет корень, можно изменить значение встроенной переменной TOL. Если значение TOL увеличивается, функция root будет сходиться быстрее, но ответ будет менее точен. Если значение TOL уменьшается, функция root будет сходиться медленнее, но ответ будет более точен. Чтобы изменить значение TOL в определенной точке рабочего документа, используйте определение вида TOL := 0.01. Чтобы изменить значение TOL для всего рабочего документа, выберите из меню Математика команду Встроенные переменные и введите подходящее значение в поле TOL. Нажав “OK”, выберите из меню Математика команду Пересчитать всё, чтобы обновить все вычисления в рабочем документе с использованием нового значения переменной TOL.
- Если уравнение имеет несколько корней, пробуйте использовать различные начальные приближения, чтобы найти их. Использование графика функции полезно для нахождения числа корней выражения, их расположения и определения подходящих начальных приближений. Рисунок 1 показывает пример. Если два корня расположены близко друг от друга, можно уменьшить TOL, чтобы различить их.
- Если f(x) имеет малый наклон около искомого корня, функция может сходиться к значению r, отстоящему от корня достаточно далеко . В таких случаях для нахождения более точного значения корня необходимо уменьшить значение TOL. Другой вариант заключается в замене уравнения f(x)=0 на g(x)=0, где
Решение уравнений с параметром
Предположим, что нужно решать уравнение многократно при изменении одного из параметров этого уравнения. Например, пусть требуется решить уравнение для нескольких различных значений параметра a. Самый простой способ состоит в определении функции
Чтобы решить уравнение для конкретного значения параметра a, присвойте значение параметру a и начальное значение переменной x как аргументам этой функции. Затем найдите искомое значение корня, вводя выражение f(a,x)=.
Рисунок 2 показывает пример того, как такая функция может использоваться для нахождения корней исследуемого уравнения при различных значениях параметра. Обратите внимание, что, хотя начальное значение x непосредственно входит в определение функции, нет необходимости определять его в другом месте рабочего документа.
Рисунок 2: Определение функции пользователя с функцией root.
Нахождение корней полинома
Для нахождения корней выражения, имеющего вид
лучше использовать функцию polyroots, нежели root. В отличие от функции root, функция polyroots не требует начального приближения. Кроме того, функция polyroots возвращает сразу все корни, как вещественные, так и комплексные. На Рисунках 3 и 4 приведены примеры использования функции polyroots.
| polyroots(v) | Возвращает корни полинома степени . Коэффициенты полинома находятся в векторе v длины n+1. Возвращает вектор длины n, состоящий из корней полинома. |
Функция polyroots всегда возвращает значения корней полинома, найденные численно. Чтобы находить корни символьно, используйте команду Решить относительно переменной из меню Символика. См. Главу “Символьные вычисления”.
Рисунок 3: Использование функции polyroots для решения задачи, изображенной на Рисунке 1.
Рисунок 4: Использование функции polyroots для поиска корней полинома.
Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter
Решение уравнений в MathCad
Для решения уравнений в Mathcad можно воспользоваться двумя способами:
Использование метода Given – Find:
Это наиболее распространенный способ решения обычных алгебраических уравнений. Он достаточно прост. В рабочем поле записываем слово Given. Это служебное слово. Оно подключает определенные программные модули mathcad для обработки исходных данных, необходимых для решения уравнения численными методами.
Затем указывается начальное приближение для искомой переменной. Это нужно для увеличения скорости и точности решения уравнения. Если начальное приближение не задать, то mathcad по умолчанию примет его равным нулю
Рис. 1. Ввод данных в поле mathcad
Далее вводится уравнение. Его можно записать в явном или неявном виде. Само уравнение набирается с клавиатуры вручную с использованием панели Calculator. Из этой панели можно взять основные математические операции: дроби, тригонометрию, факториалы и прочее. Уравнение нужно записывать с использованием логического символа “ровно”. На панели Boolean он выделен жирным шрифтом (см. рис. 2)
Рис. 2. Панели Boolean и Calculator
После уравнения вводится функция Find(x) (где х – переменная). Это функция, которая возвращает результат. Значение функции Find(x) можно присвоить какой-либо переменной с помощью символа “:=” и использовать ее далее в расчетах
Для получения результата, после Find(x) следует поставить символ “→” либо “=” из панели Evaluation (см. рис. 3). Причем, если вы используете символ “→“, то mathcad определит все корни уравнения и сформирует матрицу результатов. Но если вы используете символ “=“, то mathcad выведет единственный корень, который был наиболее близок к начальному приближению. Так что, если вы не знаете сколько корней имеет уравнение, то лучше использовать стрелочку
Рис. 3. Панель “Evaluation”
В зависимости от сложности уравнения через определенное время MathCad выведет результат. На рис.4 можно рассмотреть синтаксис и различие результатов выводимых mathcad. Обратите внимание, что выводимые результаты одного и того же уравнения различны
Рис. 4. Результат численного решения уравнения
Mathcad позволяет решать уравния в символьном виде. Например, если мы заменим все числовые константы на неизвестные параметры и решим уравнение относительно x, то результат выведется в символьном виде (см. рис. 5). Причем, обратите внимание, что в данном случае нам не нужно вводить начальное приближение и мы должны использовать символ “→” для вывода результата
Рис. 5. Результат символьного решения уравнения
Использование метода Solve:
Этот метод отличается от выше рассмотренного синтаксисом. На свободном поле вводим уравнение с использованием логического символа “ровно” из панели Boolean. После ввода уравнения, не смещая курсор ввода, на панели Symbolic нажимаем кнопку solve (см. рис. 6)
Рис. 6. Панель Symbolic
Затем ставим запятую и вводим переменную, относительно которой нужно решить уравнение (в нашем случае это x). Нажимаем Enter на клавиатуре и смотрим результат (см. рис. 7)
Рис. 7. Результат решения уравнения методом Solve
Обратите внимание, что метод подходит как для численного так и для символьного представления результатов
Как показывает моя личная инженерная практика, иногда не удается решить уравнения с помощью Given – Find, но получается в Solve. При этом, к сожалению, метод Solve не очень удобен для далнейшего использования результатов решения уравнения
Donec eget ex magna. Interdum et malesuada fames ac ante ipsum primis in faucibus. Pellentesque venenatis dolor imperdiet dolor mattis sagittis. Praesent rutrum sem diam, vitae egestas enim auctor sit amet. Pellentesque leo mauris, consectetur id ipsum sit amet, fergiat. Pellentesque in mi eu massa lacinia malesuada et a elit. Donec urna ex, lacinia in purus ac, pretium pulvinar mauris. Curabitur sapien risus, commodo eget turpis at, elementum convallis elit. Pellentesque enim turpis, hendrerit tristique.
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Duis dapibus rutrum facilisis. Class aptent taciti sociosqu ad litora torquent per conubia nostra, per inceptos himenaeos. Etiam tristique libero eu nibh porttitor fermentum. Nullam venenatis erat id vehicula viverra. Nunc ultrices eros ut ultricies condimentum. Mauris risus lacus, blandit sit amet venenatis non, bibendum vitae dolor. Nunc lorem mauris, fringilla in aliquam at, euismod in lectus. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et malesuada fames ac turpis egestas. In non lorem sit amet elit placerat maximus. Pellentesque aliquam maximus risus, vel venenatis mauris vehicula hendrerit.
Interdum et malesuada fames ac ante ipsum primis in faucibus. Pellentesque venenatis dolor imperdiet dolor mattis sagittis. Praesent rutrum sem diam, vitae egestas enim auctor sit amet. Pellentesque leo mauris, consectetur id ipsum sit amet, fersapien risus, commodo eget turpis at, elementum convallis elit. Pellentesque enim turpis, hendrerit tristique lorem ipsum dolor.
Нахождение корней уравнения в MathCad
Дата добавления: 2015-07-23 ; просмотров: 17986 ; Нарушение авторских прав
Цель работы:нахождение корней уравнения в программе MathCad с использованием встроенных функций root,polyroots, символьного решения.
Указания к выполнению лабораторной работы:
IНахождение корней уравнения в программе MathCad с использованием встроенной функции root
1. Запустить программу MathCad .
2. Записать на рабочем листе MathCad вид функции f(х), для которой необходимо найти на заданном интервале корни.
3. Создать цикл из точек интервала, на котором определяются корни, и вычислить в этих точках функцию f(х). Построить график функции f(х) и график функции х0=0 (т.е. ось х).
4. Определить точки пересечения двух кривых f(х) и х0, которые будут приближением к корням уравнения.
4.1. Использовать для определения на графике значений корней в контекстном меню (рис.17, a) опцию Trace (рис. 17,б), установить флажок в окне Track Data Poіnt.
4.2. Подвести курсор мыши к точкам пересечения кривых, координаты точек пересечения кривых, т.е. корни, будут представлены в окнах Х-Value и У- Value, а на графике отобразится вертикальная прямая.
5. Задать для независимой переменной х начальное приближение, которое выбирается как значение точки пересечения кривых f(х) и х0. Обратиться ко встроенной в MathCad функции root(f(x), x) (функция root возвращает значение независимой переменной х, для которой f(х) равняется 0) и найти корень х1.
6. Найти второй (х2) и третий (х3) корни уравнения f(х)=0 (уравнение третьей степени имеет не больше трех действительных корней), задав для них соответственно их начальные значения как координаты точек пересечения кривых f(х) и х0 и использовав функцию root.
Рисунок 17 – Диалоговые окна для определения координат точек пересечения кривых
ІІ Нахождение корней уравнения в программе MathCad с использованием встроенной функции polyroots, которая возвращает вектор, имеющий все корни уравнения, коэффициенты уравнения при этом задаются вектором.
1. Записать на рабочем листе MathCad вид функции f(х), для которой необходимо найти на заданном интервале корни.
2. Записать как вектор v все коэффициенты уравнения, расположить их в порядке увеличения степеней.
3. Найти корни, обратившись ко встроенной функции r:=polyroots(v), результат будет получено относительно трансформированного вектора r T .
4. Для интервала нахождения корня и количества элементов вектора r T создать соответствующие циклы и вычислить значение функции в точках цикла.
5. Построить график функции в точках цикла, а также в найденных точках корней, в которых функция будет иметь значения, равные нулю.
ІІІ Нахождение корней уравнения в программе MathCad с использованием символьных решений уравнений.
1. Ввести левую часть уравнения.
2. Ввести знак равенства с использованием панели управления Evaluatіon (Выражения) или с помощью нажатия клавиш Ctrl + =.
3. За знаком равенства ввести правую часть уравнения.
4. Выделить переменную, относительно которой решается уравнение.
5. Выбрать команду Symbolіc/Varіable/Solve.
По окончанию решения корни уравнения выводятся в виде вектора.
ІV Найти приближенное решение с использованием функции mіnerr(x1. ).
1. Задать приближение последовательно для первого корня х:=1.
2. Ввести ключевое слово gіven (дано), из которого начинается блок решений.
3. Записать уравнение, используя знак логического равенства между правой и левой частями уравнения.
4. Обратиться к функции mіnerr( x). Корень будет найдено.
Таблица 1.1 – Варианты заданий к лабораторной работе № 1
| № варианта | Интервал нахождения корней | Уравнение |
| [-1; 3] | x 3 -2,92x 2 +1,4355x+0,791=0 | |
| [-2; 3] | x 3 -2,56x 2 -1,325x+4,395=0 | |
| [-3,5; 2,5] | x 3 +2,84x 2 -5,606x-14,766=0 | |
| [-2,5; 2,5] | x 3 +1,41x 2 -5,472x-7,38=0 |
| [-1,6; 1,1] | x 3 +0,85x 2 -0,432x+0,044=0 |
| [-1,6; 1,6] | x 3 -0,12x 2 -1,478x+0,192=0 |
| [-1,6; 0,8] | x 3 +0,77x 2 -0,251x-0,017=0 |
| [-1,4; 1] | x 3 +0,88x 2 -0,3999x-0,0376=0 |
| [-1,4; 2,5] | x 3 +0,78x 2 -0,827x-0,1467=0 |
| [-2,6; 1,4] | x 3 +2,28x 2 -1,9347x-3,90757=0 |
| [-2,6; 3,2] | x 3 -0,805x 2 -7x+2,77=0 |
| [-3; 3] | x 3 -0,345x 2 -5,569x+3,15=0 |
| [-2; 3,4] | x 3 -3,335x 2 -1,679x+8,05=0 |
| [-1; 2,8] | x 3 -2,5x 2 +0,0099x+0,517=0 |
| [-1,2; 3] | x 3 -3x 2 +0,569x+1,599=0 |
| [-2,5; 2,5] | x 3 -2,2x 2 +0,82x+0,23=0 |
| [-1,2; 4,6] | x 3 -5x 2 +0,903x+6,77=0 |
| [-1; 7,4] | x 3 -7,5x 2 +0,499x+4,12=0 |
| [-1.6; 9] | x 3 -7,8x 2 +0,899x+8,1=0 |
| [-3,4; 2] | x 3 +2x 2 -4,9x-3,22=0 |
| [-3,4; 1,2] | x 3 +3x 2 -0,939x-1,801=0 |
| [-4,6; 3,0] | x 3 +5,3x 2 +0,6799x-13,17=0 |
| [-2,4; 8,2] | x 3 -6,2x 2 -12,999x+11,1=0 |
| [-3,2; 2,7] | x 3 -0,34x 2 -4,339x-0,09=0 |
| [-1; 3] | x 3 -1,5x 2 +0,129x+0,07=0 |
| [-1; 3] | x 3 -5,5x 2 +2,79x+0,11=0 |
| [-1; 3] | x 3 -5,7x 2 -6,219x-2,03=0 |
| [-1; 3] | x 3 -3,78x 2 -7,459x-4,13=0 |
| [-1; 3] | x 3 -5x 2 -9,9119x+0,01=0 |
| [-1; 3] | x 3 -7x 2 -1,339x-7,55=0 |
Пример
І Для уравнения найти корни на интервале [-1, 1], шаг изменения переменной х равен 0.1.
1 Записать цикл из точек интервала х:=-1, -0.9..1.
2 Записать функции и х0=0.
3 Построить графики для этих функций.
4 Определить на графике точки пересечения кривых и х0=0.
5 Задать как приближение значения точек пересечения х1, х2, х3. В примере х1=-0.9, х2=0.2, х3= 0.7.
6 Вычислить значение корней с помощью формул: root (f(x1),x1), root (f(x2),x2), root (f(x3),x3). Полученные значения корней такие: х1=-0.92, х2=0.21, х3= 0.721 (рис. 18).
Рисунок 18 – Результат нахождения корней с использованием функции root
II Для уравнения найти корни на интервале [-1.1, 7.1] , шаг изменения переменной х равен 0.1.
1. Создать вектор из коэффициентов уравнения, используя панель управления Matrix (Матрица) (рис.19) и задав один столбец и четыре строки для коэффициентов уравнения.
Рисунок 19 – Диалоговое окно для определения вектора из коэффициентов уравнения
Вектор из коэффициентов уравнения будет иметь следующий вид
2. С помощью встроенной функции r:=polyroots(v) найти корни уравнения и представить их в виде вектора r T , транспонированного по отношению к r, то есть преобразованного из столбца в строку.
3. Создать циклы для переменной х и количества найденных корней:
4. Построить графики для функции и определить функцию в точках корней. В точках корней значения функции равны нулю.
5. Определить значения корней на графике (рис. 20).
Рисунок 20 – Результат нахождения корней с использованием функции polyroots
III Для уравнения найти корни с использованием символьных решений уравнений.
1. Записать левую часть уравнения
.
2. Поставить логический знак «=» и в правой части записать 0.
3. Выделить переменную х.
4. Обратиться в главном меню MathCad к команде Symbolic/Variable/ Solve.
Найдены корни уравнения запишутся в виде вектора:
IV Найти приближенное решение вышеприведенного уравнения с использованием функции minerr( x1,…).
1. Задать приближение последовательно для первого корня х:=1.
2. Ввести ключевое слово given (дано), с которого начинается блок решений.
3. Записать уравнение, используя знак логического равенства между правой и левой частью уравнения.
4. Обратиться к функции minerr( x). Корень будет найдено.
5. Аналогические действия выполнить для двух других корней уравнения, поскольку уравнения третьей степени имеет не больше трех корней.
Контрольные вопросы
1 Какие встроенные функции позволяют находить корни уравнения?
2 Как выполняется символьное нахождение корней уравнений?
Лабораторная работа №3
Действия с матрицами в MathCad
Цель работы:выполнение действий с матрицами в программе MathCad .
Указания к выполнению лабораторной работы:
1. Запустить программу MathCad .
2. Создать матрицы , , , , , из коэффициентов a, b, c, m, k, n в соответствии с вариантом задания.
3. Выполнить действия с матрицами в соответствии с вариантом задания.
4. Найти ранг матрицы А.
5. В символьном виде выполнить транспонирование матрицы В, инвертирование матрицы А.
6. Найти обратную матрицу К. Найти детерминант матрицы А.
Таблица 2.1 – Варианты заданий к лабораторной работе № 2
| Номер варианта | Значение элементов матриц | Действия с матрицами |
| a=1; b=0.5; c=-1; m=2; k=-2.1;n=-0.8 | 1) A+A×M; 2) B×C; 3) M 3 ; 4)D+m×K; 5)A×D+D×M; 6)K -2 | |
| a=-2; b=1; c=1.5; m=-3; k=-0.1;n=1.8 | 1) A+B×M; 2) M×C; 3) B 3 ; 4)C+m×K; 5)AB+D×K 6)D -3 | |
| a=-1; b=5; c=1.3; m=0.9; k=0.1;n=-0.5 | 1) A-M; 2) B-a×C 3) M 2 -B; 4)D-×K; 5)A+7×D; 6)A -2 | |
| a=1; b=0.5; c=1; m=0.2; k=0.27 ;n=0.7 | 1) A 2 ; 2) B×C+M; 3) n×M 2 ; 4)D-K; 5)A×B-D×C; 6)D -2 | |
| a=3; b=2.1; c=0.91; m=1.2; k=1; n=3 | 1) A 2 +M; 2) B-M; 3) b×C -3 ; 4)D+3K; 5)A×K-D; 6)M -2 | |
| a=4; b=-0.5; c=-1; m=3.2; k=1.1;n=1.8 | 1) A+B×M; 2) M×C; 3) B 3 ; 4)C+m×K; 5)AB+D×K 6)D -3 | |
| a=1; b=2.5; c=0.3; m=1; k=-2.1;n=-0.8 | 1) A-M; 2) B-a×C 3) M 2 -B; 4)D-×K; 5)A+7×D; 6)A -2 | |
| a=2; b=0.5; c=-1.1; m=2; k=1.9 ;n=-3.8 | 1) A 2 ; 2) B×C+M; 3) n×M 2 ; 4)D-K; 5)A×B-D×C; 6)D -2 | |
| a=3; b=-2.5; c=4; m=3; k=-2.1;n=0.8 | 1) A 2 +M; 2) B-M; 3) b×C -3 ; 4)D+3K; 5)A×K-D; 6)M -2 | |
| a=3.1; b=1.5; c=2.1; m=3.2; k=1.1;n=-1.6 | 1) A+A×M; 2) B×C; 3) M 3 ; 4)D+m×K; 5)A×D+D×M; 6)K -2 | |
| a=-2; b=1; c=1.5; m=-3; k=-0.1;n=1.8 | 1) A+B×M; 2) M×C; 3) B 3 ; 4)C+m×K; 5)AB+D×K 6)D -3 | |
| a=-1; b=5; c=1.3; m=0.9; k=0.1;n=-0.5 | 1) A-M; 2) B-a×C 3) M 2 -B; 4)D-×K; 5)A+7×D; 6)A -2 | |
| a=1; b=0.5; c=1; m=0.2; k=0.27 ;n=0.7 | 1) A 2 ; 2) B×C+M; 3) n×M 2 ; 4)D-K; 5)A×B-D×C; 6)D -2 | |
| a=3; b=2.1; c=0.91; m=1.2; k=1; n=3 | 1) A 2 +M; 2) B-M; 3) b×C -3 ; 4)D+3K; 5)A×K-D; 6)M -2 | |
| a=4; b=-0.5; c=-1; m=3.2; k=1.1;n=1.8 | 1) A+B×M; 2) M×C; 3) B 3 ; 4)C+m×K; 5)AB+D×K 6)D -3 | |
| a=1; b=2.5; c=0.3; m=1; k=-2.1;n=-0.8 | 1) A+B×M; 2) M×C; 3) B 3 ; 4)C+m×K; 5)AB+D×K 6)D -3 |
Продолжение табл. 2.1
| a=2; b=0.5; c=-1.1; m=2; k=1.9 ;n=-3.8 | 1) A-M; 2) B-a×C 3) M 2 -B; 4)D-×K; 5)A+7×D; 6)A -2 |
| a=3; b=-2.5; c=4; m=3; k=-2.1;n=0.8 | 1) A 2 ; 2) B×C+M; 3) n×M 2 ; 4)D-K; 5)A×B-D×C; 6)D -2 |
| a=3.1; b=1.5; c=2.1; m=3.2; k=1.1;n=-1.6 | 1) A 2 +M; 2) B-M; 3) b×C -3 ; 4)D+3K; 5)A×K-D; 6)M -2 |
| a=1; b=0.5; c=-1; m=2; k=-2.1;n=-0.8 | 1) A+A×M; 2) B×C; 3) M 3 ; 4)D+m×K; 5)A×D+D×M; 6)K -2 |
| a=-2; b=1; c=1.5; m=-3; k=-0.1;n=1.8 | 1) A+B×M; 2) M×C; 3) B 3 ; 4)C+m×K; 5)AB+D×K 6)D -3 |
| a=-1; b=5; c=1.3; m=0.9; k=0.1;n=-0.5 | 1) A-M; 2) B-a×C 3) M 2 -B; 4)D-×K; 5)A+7×D; 6)A -2 |
| a=1; b=0.5; c=1; m=0.2; k=0.27 ;n=0.7 | 1) A 2 ; 2) B×C+M; 3) n×M 2 ; 4)D-K; 5)A×B-D×C; 6)D -2 |
| a=3; b=2.1; c=0.91; m=1.2; k=1; n=3 | 1) A 2 +M; 2) B-M; 3) b×C -3 ; 4)D+3K; 5)A×K-D; 6)M -2 |
| a=4; b=-0.5; c=-1; m=3.2; k=1.1;n=1.8 | 1) A+B×M; 2) M×C; 3) B 3 ; 4)C+m×K; 5)AB+D×K 6)D -3 |
| a=1; b=2.5; c=0.3; m=1; k=-2.1;n=-0.8 | 1) A+A×M; 2) B×C; 3) M 3 ; 4)D+m×K; 5)A×D+D×M; 6)K -2 |
| a=2; b=0.5; c=-1.1; m=2; k=1.9 ;n=-3.8 | 1) A+B×M; 2) M×C; 3) B 3 ; 4)C+m×K; 5)AB+D×K 6)D -3 |
| a=3; b=-2.5; c=4; m=3; k=-2.1;n=0.8 | 1) A-M; 2) B-a×C 3) M 2 -B; 4)D-×K; 5)A+7×D; 6)A -2 |
| a=3.1; b=1.5; c=2.1; m=3.2; k=1.1;n=-1.6 | 1) A 2 ; 2) B×C+M; 3) n×M 2 ; 4)D-K; 5)A×B-D×C; 6)D -2 |
| a=-2; b=1; c=1.5; m=-3; k=-0.1;n=1.8 | 1) A 2 +M; 2) B-M; 3) b×C -3 ; 4)D+3K; 5)A×K-D; 6)M -2 |
Пример
Выполнить действия с матрицами, создав их из заданных коэффициентов a=1, b=2, c= 3, m=4, k=5, n=6. Матрицы имеют следующий вид:
1. Создать матрицы.
1.1. Выбрать панель управления Matrіx (Матрица).
1.2. Определить число строк и столбцов для каждой матрицы (рис.21).
Рисунок 21 – Диалоговое окно для определения размера матрицы
1.3. Матрицы в примере имеют такие размеры: А – (3´3), В – (3´2), С(2´2), М(1´2), К(3´3).
1.4. Заполнить матрицы соответствующими параметрами (рис. 29).
2 Выполнить следующие действия с матрицами:
1) А+n·K; 2)A·B; 3) A 2 ; 4) A·D; 5)D·M; 6) D-1.
3 Найти ранг матрицы А (ранг матрицы -наибольший порядок минора этой матрицы, который отличный от нуля): rank(A).
4 В символьном виде выполнить транспонирование матрицы В, т.е. заменить местами строки и столбцы матрицы В.
4.1 Выделить матрицу В.
4.2 Обратиться в главном меню к команде Symbolіc / Matrіx/Transpose (рис. 28).
5 В символьном виде выполнить инвертирование матрицы А (т.е. найти матрицу, которая будет обратной к матрице А) .
5.1 Выделить матрицу A.
5.2 Обратиться в главном меню к команде Symbolіc/Matrіx/Іnvert (рис.28).
6 В символьном виде найти обратную матрицу К.
6.1 Выделить матрицу К.
6.2 Обратиться в главном меню к команде Symbolіc / Matrіx/Іnvert (рис.28).
7 В символьном виде найти детерминант (определитель) матрицы А.
7.1 Выделить матрицу A.
7.2 Обратиться в главном меню к команде Symbolіc/Matrіx/Determіnant (рис.22).
Рисунок 22 – Меню Symbolic для работы с матрицами в символьном виде
Рисунок 23 – Результаты вычисления матриц
Контрольные вопросы
1 Як можно создать матрицу и вектор?
2 Какие действия выполняются с матрицами?
3 Как определяются элементы матрицы?
Лабораторная работа №4
Нахождение решений системы линейных уравнений в MathCad
Цель работы:нахождение решений системы линейных уравнений в программе MathCad .
Указания к выполнению лабораторной работы:
I Найти решение системы линейных уравнений с использованием функции soln.
1 Запустить программу MathCad.
2 Создать матрицу А из коэффициентов при неизвестных.
3 Создать вектор b из свободных членов.
4 Обратиться к встроенной программе решения линейных уравнений soln и записать soln1:=А -1 ×b.
5 Получить решение линейного уравнения у векторному виде
.
IIНайти решение системы линейных уравнений с использованием так званого «блоку решений».
1 Задать начальные значения переменным, которые есть в уравнении.
2 Ввести ключевое слово given (дано), с которого начинается блок решений.
3 Записать уравнение, используя знак логического равенства между правой и левой частью уравнения из панели управления Evaluation (Выражения).
4 Ввести ключевое слово find (найти), которым заканчивается блок решений.
IIIНайти решение вышеприведенной системы уравнений с использованием функции lsolve.
1Создать матрицу А из коэффициентов при неизвестных.
2 Создать вектор b из свободных членов.
4 Обратиться к встроенной программе решения линейных уравнений lsolve и записать lsolve(А,b).
5 Получить результат решения линейного уравнения в векторном виде
.
IVНайти приближенное решение с использованием функции minerr(x1,…).
1 Задать приближение последовательно для значений переменной х1, х2,… хn.
2 Ввести ключевое слово given (дано), с которого начинается блок решений.
3 Записать систему уравнений, используя знак логического равенства между правой и левой частями каждого уравнения.
4 Обратиться к функции minerr( x1,x2. ). Значения неизвестных будут найдены.
Таблица 3.1 – Варианты заданий к лабораторной работе № 3
| № варианта | Коэффициенты при неизвестных | Свободные члени | ||
| a11 а21 а31 а41 | а12 а22 а23 а24 | а13 а23 а33 а34 | а14 а24 а34 а44 | в1 в2 в3 в4 |
| 0,12 | -0,43 | 0,14 | 0,64 | -0,17 |
| -0,07 | 0,34 | -0,72 | 0,32 | 0,62 |
| 1,18 | -0,08 | -0,25 | 0,43 | 1,12 |
| 1,17 | 0,53 | -0,84 | -0,53 | 1,15 |
| 0,12 | -0,43 | 0,14 | 0,64 | -0,17 |
| -0,07 | 0,34 | -0,72 | 0,32 | 0,62 |
| 1,18 | -0,08 | -0,25 | 0,43 | 1,12 |
| 1,17 | 0,53 | -0,84 | -0,53 | 1,15 |
| 3,7 | 5,6 | 9,5 | ||
| 3,36 | 31,1 | 1,5 | ||
| 7,93 | 4,2 | 6,3 | 4,4 | |
| 42,7 | 3,7 | 6,2 | ||
| 1,3 | 1,6 | 2,2 | ||
| 4,4 | 6,7 | 2,5 | ||
| 2,8 | 0,73 | 67,8 | ||
| 3,4 | ||||
| 5,3 | 1,6 | 5,5 | 3,3 | |
| 4,1 | 6,4 | 3,9 | ||
| 2,1 | 3,3 | 2,04 | 4,9 | |
| 3,1 | ||||
| 0,2 | ||||
| 8,3 | 5,3 | |||
| 2,6 | 6,1 | 4,1 | ||
| 0,93 | 3,8 | |||
| 34,7 | ||||
| 3,6 | ||||
| 3,4 | 4,2 | |||
| 44,7 | ||||
| 5,1 | 0,2 | |||
| 3,4 | 5,34 | |||
| 2,7 | 6,7 | |||
| 3,3 | ||||
| 2,5 | 1,3 | |||
| 5,2 | 0,78 | |||
| 6,11 | 4,2 | |||
| 6,78 | 3,76 | |||
| 2,3 | ||||
| 3,4 | 2,5 | |||
| 0,2 | ||||
| 1,25 | ||||
| 3,3 | 8,2 | |||
| 1,2 | ||||
| 1,3 | ||||
| 5,9 | ||||
| 6,6 | ||||
| 3,3 | 2,1 | |||
| 4,8 | ||||
| 0,4 | ||||
| 0,2 | ||||
| 1,3 | 1,5 | 2,22 | 3,2 | |
| 3,4 | 5,55 | 1,3 | ||
| 3,3 | 2,2 | 6,77 | ||
| 4,9 | 3,6 | 6,88 | ||
| 0,4 | ||||
| 0,3 | ||||
| 3,3 | 7,6 | 5,5 | ||
| 5,4 | ||||
| 9,2 | ||||
| 3,2 | ||||
| 0,44 | ||||
| 0,67 |
| 3,35 | 5,3 | |||
| 4,22 | 6,7 | 3,5 | ||
| 2,8 | 3,8 | 2,9 | ||
| 2,34 | 3,44 | |||
| 5,23 | ||||
| 13,4 | 6,33 | 5,1 | 2,11 | 3,33 |
| 4,66 | 6,1 | 3,33 | 5,44 | 0,11 |
| 2,22 | 2,55 | 6,33 | 4,44 | |
| 2,98 | 3,78 | 6,11 | 3,33 |
Пример
I Найти решение системы уравнений с использованием функции soln
1 Создать матрицу А
А:= .
2 Создать вектор b
b:= .
3 Найти решение системы, используя функцию soln
.
4 Результат решения
II Найти решение вышеприведенной системы уравнений с использованием так званого «блоку решений»
1 Задать начальные значения переменным, которые присутствуют в уравнении
2 Ввести ключевое слово given (дано), с которого начинается блок решений.
3 Записать уравнение, используя знак логического равенства между правой и левой частями уравнения из панели управления Evaluation (Выражения).
4 Ввести ключевое слово find (найти), которым заканчивается блок решений.
5 Результат решения
IIIНайти решение вышеприведенной системы уравнений с использованием функции lsolve.
1 Создать матрицу А
.
2 Создать вектор b
.
3 Найти решение системы, используя функцию lsolve:
IVНайти решение вышеприведенной системы уравнений с использованием функции minerr (x,у,z).
1 Задать начальные условия для неизвестных, например, x=1,у=1,z=1.
2 Ввести ключевое слово given (дано), с которого начинается блок решений.
3 Записать уравнения, используя знак логического равенства между правой и левой частью уравнения из панели.
4 Обратиться к функции minerr (x,у,z). Решение системы уравнений будет найдено.
Контрольные вопросы
1 Какие встроенные функции позволяют найти решение системы линейных уравнений?
2 В каком виде представляются результаты решения системы линейных уравнений?
Лабораторная работа №5
Нахождение решений системы нелинейных уравнений в MathCad
Цель работы: нахождение решений системы нелинейных уравнений в программе MathCad .
Указания к выполнению лабораторной работы:
І Найти решение системы нелинейных уравнений с использованием так называемого “блока решений”.
1 Задать начальные значения переменным, которые есть в уравнении.
2 Ввести ключевое слово gіven (дано), из которого начинается блок решений.
3 Записать уравнение, используя знак логического равенства между правой и левой частями уравнения из панели управления.
4 Ввести ключевое слово fіnd (найти), которым заканчивается блок решений.
ІІ. Найти приближенное решение с использованием функции mіnerr(x1. ).
1 Задать приближение последовательно для значений переменной х1, х2. хn.
2 Ввести ключевое слово gіven (дано), из которого начинается блок решений.
3 Записать систему уравнений, используя знак логического равенства между правой и левой частями каждого уравнения.
4 Обратиться к функции mіnerr( x1,x2. ). Значение неизвестных будет найдено.
Таблица 4.1 – Варианты задания к лабораторной работе №4
| № варианта | Система уравнений | № варианта | Система уравнений |
Пример
Найти решение системы нелинейных уравнений с использованием так называемого «блока решений».
1 Задать начальные значения переменным, которые есть в уравнении
2 Ввести ключевое слово given (дано), с которого начинается блок решений.
3 Записать уравнения, используя знак логического равенства между правой и левой частью уравнения из панели управления
4 Ввести ключевое слово find (найти), которым заканчивается блок решений.
5 Результат решения
IIНайти приближенное решение с использованием функции minerr(x1,…).
1 Задать приближения последовательно для значений переменной х=1, y=1.
2 Ввести ключевое слово given (дано), с которого начинается блок решений.
3 Записать систему уравнений, используя знак логического равенства между правой и лево частью каждого уравнения.
4 Обратится к функции minerr( x,y.). Значение неизвестных будет найдено.
Контрольные вопросы
1 Какие встроенные функции позволяют найти решение системы нелинейных уравнений?
2 В каком виде представляются результаты решения системы нелинейных уравнений?
3 Нужно ли задавать начальные приближения при решении системы нелинейных уравнений?
Лабораторная работа № 6
Символьные действия математического анализа в MathCad
Цель работы:определение неопределенных и определенных интегралов и производных в программе MathCad с использованием символьных операций.
Указания к выполнению лабораторной работы:
1 Запустить программу MathCad.
2 Записать на рабочем листе в соответствии с номером варианта формулы для определения неопределенных интегралов, определенных интегралов, производных первого порядка. От производных первого порядка определить производные второго, третьего порядков.
3 Применить последовательно к каждой функции команды меню Symbolic/Simplify, отметив последовательно каждую из функций.
Таблица 5.1 – Варианты задания к лабораторной работе №5
| Номер варианта | Неопределенные интегралы | Определенные интегралы | Производные |
Продолжение табл. 5.1
Продолжение табл. 5.1
Примеры
1 Найти неопределенный интеграл .
Результат :
2 Найти определенный интеграл .
Результат .
3 Найти производные первого порядка .
Результат .
4 Найти производные высокого порядка .
Результат
Контрольные вопросы
1 Как найти в символьном виде определенные и неопределенные интегралы?
2 Можно ли применять символьные операции к интегралам по области, к трехмерным интегралам, к контурным интегралам?
3 Можно ли в символьному виде найти производные высоких порядков?
| | | следующая лекция ==> | |
| Задание 3. | | | Лабораторная работа № 1 |
Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!
[spoiler title=”источники:”]
http://student-engineer.pro/mathcadold/equat/
http://life-prog.ru/2_59715_nahozhdenie-korney-uravneniya-v-mathcad.html
[/spoiler]
Решение нелинейных уравнений в системе MathCAD.
1. Решение одного уравнения с одним неизвестным.
Для решения одного уравнения с одним неизвестным
используется функция root. Аргументами этой функции
являются выражение и переменная, входящая в выражение. Ищется значение
переменной, при котором выражение обращается в ноль.
Синтаксис: root(f(z),z) – возвращает значение z, при котором выражение
или функция f(z) обращается в ноль. Оба аргумента этой функции должны быть скалярами.
Функция root возвращает скаляр.
Первый аргумент есть либо функция, определенная где-либо в
рабочем документе, или выражение.
Второй аргумент – имя переменной, которое используется в
выражении. Это та переменная, варьируя которую Mathcad
будет пытаться обратить выражение в ноль. Этой переменной перед использованием
функции root необходимо присвоить числовое
значение. MathCad использует его как начальное приближение
при поиске корня.
Рассмотрим пример, в котором необходимо найти a – решение уравнения ex=x3. Для этого выполним следующие шаги:
·
Определим начальное значение переменной x (x := 3).
·
Определим выражение, которое должно быть обращено в
ноль. Для этого перепишем уравнение ex=x3 в виде ex–x3=0. Левая часть этого выражения и является вторым аргументом функции root.
·
Определим переменную a
как корень уравнения: a := root(ex‑x3, x).
·
Напечатаем a=, чтобы увидеть значения корня: a = 1.857.
Также существует второй способ записи функции root с четырьмя аргументами. Ее синтаксис следующий: root(f(z), z, a, b). В этом случае не требуется задавать начальное приближение, а MathCad самостоятельно будет пытаться найти корень уравнения f(z)=0 на отрезке [a; b]. Пример
использования такой записи будет показан далее (рисунок 1).
При использовании функции root
имейте в виду следующее:
·
Удостоверьтесь, что переменной присвоено начальное
значение до начала использования функции root (в
случае использования формы записи функции root с
двумя переменными).
·
Для выражения с несколькими корнями, начальное
значение определяет корень, который будет найден MathCad.
На рисунке 1 приведен пример, в котором функция root возвращает различные значения, каждое из которых зависит от начального
приближения.
·
MathCad позволяет находить как комплексные, так и
вещественные корни. Для поиска комплексного корня следует взять в качестве
начального приближения комплексное число.
·
Задача решения уравнения вида f(x)=g(x) эквивалентна задаче поиска корня выражения f(x)‑g(x)=0. Для этого функция root может быть использована следующим образом: root(f(x)‑g(x), x).
·
Функция root
предназначена только для решения одного уравнения с одним неизвестным.
Рисунок 1. Использование функции root
для нахождения корней уравнения.
Что делать, когда функция root
не сходится.
MathCad в функции root для
поиска корня использует метод секущей. Начальное приближение, присвоенное
переменной x, становится первым приближением к
искомому корню. Когда значение выражения f(x) при очередном приближении становится меньше
значения встроенной переменной TOL (по умолчанию TOL=10-3 – допускаемая погрешность для
различных алгоритмов аппроксимации, таких как интегрирование, решение уравнений
и т.д.), корень считается найденным, и функция root
возвращает результат.
Если после многих итераций MathCad не
может найти подходящего приближения, то появляется сообщение об ошибке «отсутствует
сходимость». Эта ошибка может быть вызвана следующими причинами:
·
Уравнение не имеет корней.
·
Корни уравнения расположены далеко от начального
приближения.
·
Выражение имеет локальные максимумы или минимумы между
начальным приближением и корнями.
·
Выражение имеет разрыв между начальным приближением
и корнями.
·
Выражение имеет комплексный корень, но начальное приближение
было вещественным (или наоборот).
Чтобы установить причину ошибки, исследуйте график f(x). Он поможет
выяснить наличие корней уравнения f(x)=0 и, если они есть, то определить
приблизительно их значения. Чем точнее выбрано начальное приближение, тем
быстрее функция root будет сходиться к точному значению.
Некоторые советы по использованию
функции root.
·
Для изменения точности, с которой функция root ищет корень, можно изменить значение встроенной переменной TOL. Если значение TOL увеличивается, функция root будет сходиться быстрее, но ответ будет менее точен. Если значение TOL уменьшается, функция root будет сходиться
медленнее, но ответ будет более точен. Чтобы изменить значение TOL в определенной точке рабочего документа, используется определение вида
TOL:=0.01. Чтобы изменить
значение TOL для всего рабочего документа, выберите
из меню Math команду Options (в русской версии из меню Математика команду Встроенные
переменные), и на вкладке Built–In Variables (Встроенные переменные) введите подходящее значение в
поле TOL. Нажав «ОК», выберите из меню Math команду Calculate Worksheet (в
русской версии из меню Математика команду Пересчитать всё), чтобы
обновить все вычисления в рабочем документе с использованием нового значения
переменной TOL.
·
Если уравнение имеет несколько корней, попробуйте
использовать различные начальные приближения, чтобы найти их. Использование
графика функции полезно для нахождения числа корней выражения, их расположения
и определения подходящих начальных приближений. Если два корня расположены
близко друг от друга, можно уменьшить значение переменной TOL, чтобы различить их.
·
Если f(x) имеет малый наклон около искомого корня,
функция root(f(x),x) может
сходиться к значению r, отстоящему от корня
достаточно далеко. В таких случаях для нахождения более точного значения корня
необходимо уменьшить значения TOL. Другой вариант
заключается в замене уравнения f(x)=0 эквивалентным ему уравнением g(x)=0, где
На этом пункте остановимся поподробнее и рассмотрим пример.
Пусть дана функция f(x)=0.000001×x2. Очевидно, что единственным кратным корнем
уравнения f(x)=0 является значение x0=0. Однако, если воспользоваться функцией root с начальным приближением, равным 3, то МathCad выдаст результат: root(f(x),x)=1.501. Как раз в этом примере функция f(x) имеет очень малый наклон вблизи искомого
корня. Теперь, если же воспользоваться заменой:
то
результат использования функции root будет
следующим: root(g(x),x)=4.445×10-13. Достаточно точное решение уравнения f(x)=0 также можно получить, установив значение TOL=10-10. При этом будет получен
следующий результат: root(f(x),x)=7.958×10-3.
·
Для выражения f(x) с известным корнем a нахождение дополнительных корней f(x) эквивалентно поиску корней уравнения h(x)=0, где h(x)=f(x)/(x–a). Подобный прием полезен для нахождения корней, расположенных близко
друг к другу. Часто бывает проще искать корень выражения h(x), определенного
выше, чем пробовать искать другой корень уравнения f(x)=0, выбирая
различные начальные приближения.
Решение уравнений с параметром.
Предположим, что нужно решить уравнение многократно при изменении
одного из параметров этого уравнения. Например, пусть требуется решить
уравнение ex=a×x2 для нескольких различных значений параметра a.
Самый простой способ состоит в определении функции
f(a,
x):=root(ex‑a×x2,
x)
Чтобы решить уравнение для конкретного параметра a, присвойте значение параметру a и начальное
значение переменной x, как аргументам этой функции.
Затем найдите искомое значение корня, вводя выражение f(a, x)=.
Рисунок 2 показывает пример того, как такая функция может
использоваться для нахождения корней исследуемого уравнения при различных значениях
параметра. Обратите внимание, что, хотя начальное значение x непосредственно входит в определение функции, нет необходимости
определять его в другом месте рабочего документа.
Рисунок
2. Решение уравнения с параметром.
2. Нахождение корней полинома.
Для нахождения выражения, имеющего вид:
vnxn+…+v2x2+v1x+v0
лучше
использовать функцию polyroots, нежели root. В отличие от функции root, функция polyroots
не требует начального приближения. Кроме того, функция polyroots
возвращает сразу все корни, как вещественные, так и
комплексные.
Синтаксис: polyroots(v) – возвращает корни полинома степени n. Коэффициенты полинома находятся в векторе v длины n+1. Возвращает
вектор длины n, состоящий из корней полинома.
Функция polyroots всегда возвращает
значение корней полинома, найденные численно. На рисунке 3 приведен пример
использования функции polyroots.
Рисунок 3. Пример использования функции polyroots.
3. Системы уравнений.
MathCad дает возможность решать также и системы уравнений.
Максимальное число уравнений и переменных равно пятидесяти. Результатом решения
системы уравнений будет численное значение искомого корня. Для решения системы
уравнений выполните следующее:
·
Задайте начальные приближения для всех неизвестных,
входящих в систему уравнений. MathCad решает уравнения при
помощи итерационных методов. На основе начального приближения строится
последовательность, сходящаяся к искомому решению.
·
Напечатайте ключевое слово Given. Оно указывает MathCad, что далее следует
система уравнений. При печати слова Given можно
использовать любой шрифт, прописные и строчные буквы. Убедитесь, что при этом
вы не находитесь в текстовой области или параграфе.
·
Введите уравнения и неравенства в любом порядке
ниже ключевого слова Given. Удостоверьтесь, что между
правыми и левыми частями уравнений стоит символ = (используйте [Ctrl]+= для печати этого символа). Между правыми и
левыми частями неравенств может стоять любой из символов <, >,
£ и ³.
·
Введите любое выражение, которое включает функцию Find. При печати слова Find можно использовать
шрифт любого размера, произвольный стиль, прописные и строчные буквы.
Синтаксис: Find(z1, z2, z3,…) – возвращает решение системы уравнений. Число аргументов должно быть
равно числу неизвестных.
Функция Find возвращает
найденное решение следующим образом:
·
Если функция Find имеет
только один аргумент, то она возвращает решение единственного уравнения,
расположенного между ключевым словом Given и
функцией Find.
·
Если функция Find имеет
более одного аргумента, то она возвращает ответ в виде вектора. Например, Find(z1, z2) возвращает вектор, содержащий значения z1 и z2, являющиеся решением
системы уравнений.
Ключевое слово Given, уравнения
и неравенства, которые следуют за ним, и какое-либо выражение, содержащее функцию
Find, называются блоком решения уравнения.
На рисунке 4 показан часть кода документа, которая содержит
блок решения уравнений для решения одного уравнения с одним неизвестным. Так
как имеется только одно уравнение, то только одно уравнение находится между
ключевым словом Given и формулой, включающей
функцию Find. Так как уравнение имеет одно
неизвестное, то функция Find имеет только один
аргумент.
Рисунок 4. Пример использования функции Find для решения одного уравнения.
Между ключевым словом Given и
функцией Find в блоке решения уравнений могут
появляться выражения строго определенного типа. Ниже приведен список всех
выражений, которые могут быть использованы в блоке решения уравнений.
Использование других выражений не допускается. Эти выражения часто называются
ограничениями. В таблице, приведенной ниже, через x и y обозначены вещественнозначные скалярные
выражения, а через z и w обозначены любые скалярные выражения.
|
Условие |
Как ввести |
Описание |
|
w=z |
[Ctrl]+= |
Булево равенство |
|
x>y |
> |
Больше чем. |
|
x<y |
< |
Меньше чем. |
|
x³y |
[Ctrl]+0 |
Больше либо равно |
|
x£y |
[Ctrl]+9 |
Меньше либо равно |
|
w¹y |
[Ctrl]+3 |
Не равно |
Следующие выражения недопустимы
внутри блока решения уравнений:
·
Дискретный аргумент или выражения, содержащий
дискретный аргумент в любой форме.
·
Неравенства вида a<b<c.
Блоки решения уравнений не могут быть вложены друг в друга.
Каждый блок решения уравнений может иметь только одно ключевое слово Given и имя функции Find. Можно, однако,
определить функцию f(x):=Find(x) в конце одного блока решения уравнений и затем использовать f(x) в другом
блоке.
Рисунок 5. Пример использования функции Find для решения двух уравнений с двумя неизвестными.
Как правило, нельзя использовать оператор присваивания
(выражения вида x:=1) внутри
блока решения уравнений. MathCad помечает операторы
присваивания, которые находятся внутри блока решения уравнений, сообщением об
ошибке.
На рисунке 5 показан блок решения уравнений, в котором
использованы некоторые виды ограничений на искомое решение. Решаются два
уравнения с двумя неизвестными. В результате функция Find содержит два аргумента, x и y, и возвращает ответ в виде вектора с двумя компонентами.
Как использовать найденное решение.
Функция Find, которая завершает
блок решения уравнений, может быть использована аналогично любой другой
функции. Можно произвести с этой функцией следующие три действия:
·
Можно вывести данное решение, напечатав выражение
вида Find(переменная)=.
Если решаются уравнения с несколькими неизвестными, то можно вывести вектор
результатов, введя выражение вида Find(переменная1,
переменная2,…)=.
·
Можно определить переменную с использованием этой
функции. Для этого в конце блока решения уравнений необходимо ввести выражение
типа a:=Find(x). Это удобно сделать, если требуется
использовать решение системы уравнений в другом месте рабочего документа. Как
только переменная a определена таким образом, она
сразу же принимает значение искомого корня. Пример, иллюстрирующий такую
возможность, был рассмотрен выше (рисунок 4). Если функция Find возвращает вектор значений, можно ввести выражение типа variable:=Find(переменная1, переменная2,…). После такого определения переменная становиться вектором (вместо
скаляра). Можно также определить переменные, как показано на рисунке 5.
·
Используя Find, можно
определить другую функцию. Для этого необходимо закончить блок решения
уравнений выражением типа f(a, b, c,…):=Find(x, y, z,…). Эта конструкция удобна при многократном
решении системы уравнений для различных значений некоторых параметров a, b, c,…, непосредственно входящих в систему уравнений.
Рисунок 6. Влияние выбора начального приближения на
найденное решение.
MathCad возвращает в блоке решения уравнений только одно
решение. Однако система уравнений может иметь несколько различных решений. Если
одно решение найдено, то для поиска других решений можно использовать различные
начальные приближения либо дополнительные ограничения в виде неравенств,
которым найденное решение не удовлетворяет. На рисунке 6 показано, как
начальное приближение влияет на найденное решение. На рисунке 7 показано, как
добавить ограничения в виде неравенства для поиска другого решения.
Рисунок 7. Добавление ограничений позволяет найти другое
решение.
Что делать, когда MathCad не может
найти решения.
Если в результате решения уравнений на каком-либо шаге
итераций не может быть найдено более приемлемое приближение к искомому решению
по сравнению с предыдущим шагом, то поиск решения прекращается, а функция Find помечается сообщением об ошибке.
Если при поиске решения встречаются трудности, то полезно
вывести те или иные графики, связанные с системой. Анализ графика может
облегчить поиск области, в которой находится искомое решение. Это поможет
выбрать подходящее начальное приближение.
На рисунке 8 приведена задача, для которой MathCad не смог найти решение. В этом конкретном случае ошибка заключается в
том, что в качестве начального приближения выбрано вещественное число, а решаемое
уравнение имеет только комплексные корни. Если в этом примере в качестве
начального приближения задать мнимую единицу (i), то MathCad выдаст ответ Find(x)=1.732i.
Рисунок 8. Пример задачи, решение которой не может быть найдено
в блоке решения уравнений.
Вообще, сообщение об ошибках «решение не найдено» («No
solution was found») при решении
уравнений появляется, когда различие между текущим приближением и приближением,
полученным на предыдущем шаге итераций, больше, чем значение встроенной
переменной TOL и выполнено одно из следующих
условий:
·
Достигнута точка, из которой не может быть получено
более точное приближение к решению.
·
Достигнута точка, из которой невозможно выбрать
подходящее направление спуска – направление вдоль которого ищется следующее
приближение. В связи с этим продолжать итерации невозможно.
·
Достигнут предел точности вычислений. Дальнейшие
вычисления не увеличивают точность найденного решения вследствие влияния ошибок
округления. Это часто случается, если значение переменной TOL установлено меньше, чем 10‑15.
Причиной сообщения об ошибке может быть следующее:
·
Поставленная задача может не иметь решения.
·
Для уравнения, которое не имеет вещественных
решений, в качестве начального приближения взято вещественное число. Этот
пример был рассмотрен ранее (рисунок 8).
·
В процессе поиска решения последовательность
приближений попала в точку локального минимума невязки. Метод поиска решения,
который используется в MathCad, не позволяет в этом случае
построить следующее приближение, которое бы уменьшало невязку. Для поиска
искомого решения попробуйте использовать различные начальные приближения или добавьте
ограничения на переменные в виде неравенств, чтобы обойти точку локального
минимума.
·
В процессе поиска решения получена точка, которая
не является точкой локального минимума, но из которой метод минимизации не
может определить дальнейшее направление движения. Метод преодоления этой
проблемы – такой же, как для точки локального минимума: измените начальное приближение
или добавьте ограничения в виде неравенств, чтобы миновать нежелательную точку
остановки.
·
Возможно, поставленная задача не может быть решена
с заданной точностью. Если значение встроенной переменной TOL слишком мало, то MathCad может достигнуть точки,
находящейся достаточно близко к решению задачи, но уравнения и ограничения при
этом не будут выполнены с точностью, задаваемой переменной TOL. Попробуйте увеличить значение TOL где-нибудь
выше блока решения уравнений.
Случай, когда число неизвестных больше
числа уравнений.
Если количество ограничений (уравнений) меньше, чем
количество переменных, MathCad вообще может не выполнить
блок решения уравнений. MathCad помечает в этом случае
функцию Find сообщением об ошибке «слишком мало
ограничений». Однако в этой ситуации MathCad может и
не выдать ошибки, а вывести на экран одно решение из их бесконечного числа.
Задача, аналогичная той, что приведена на рисунке 9,
называется неопределенной. Ограничений в ней меньше, чем переменных. Поэтому
ограничения не содержат достаточной информации для поиска решения. Вообще говоря,
такая задача обычно имеет бесконечное число решений.
В этом случае MathCad пытается решить
систему уравнения посредством подбора первых n переменных
(n – число уравнений в системе), а остальные
переменные MathCad приравнивает к нулю. В рассматриваемом
примере у нас имеется система из двух уравнений, поэтому MathCad варьирует только два первых аргумента функции Find, а именно, x и y. Остальные же аргументы (z, w, v) MathCad полагает
равными нулю.
Рисунок 9. Пример использования функции Find в случае, когда число неизвестных превышает число ограничений.
Многократное решение уравнений.
Методы, описанные до сих пор, эффективно позволяют решать
конкретную систему уравнений. Однако они имеют следующие два ограничения:
·
Как только используется функция Find, это означает, что блок решения уравнений завершен. Если употребить
эту функцию еще раз, появится сообщение об ошибке «нет соответствующего Given» («Only allowed inside a solve block. Try typing Given above»).
·
Если в системе уравнений нужно изменить значения
некоторых параметров или констант, чтобы изучить их влияние на решение системы,
необходимо вернуться обратно в блок решения уравнений, чтобы изменить их.
Оба эти ограничения могут быть преодолены, если прибегнуть
к возможности MathCad определять функции с использованием
блока решения уравнений.
Если определить функцию с использованием функции Find в правой части этого определения, то определенная таким образом
функция будет решать систему уравнений каждый раз, когда она вызывается. Таким
образом можно преодолеть первое ограничение.
Если эта функция имеет в качестве аргументов те параметры,
которые требуется изменять при решении уравнений, можно просто изменять
значения аргументов этой функции. Это преодолевает второе ограничение.
На рисунке 10 приведен конкретный пример. Коэффициент
трения трубки f зависит от диаметра трубки D, шероховатости e и числа Рейнольдса R. Было бы
неплохо экспериментировать с различными размерами трубки (D), сделанной из различных материалов с различной шероховатостью (e).
Уравнение на рисунке 14 показывает связь между этими
параметрами. Учитывая вид уравнения, можно отметить, что аналитически выразить
значение величины f от R, D, e нельзя.
Можно, однако, определить функцию с использованием блока
решения уравнений. Всякий раз, когда вычисляется функция FricFac(e, D, R), MathCad подставляет заданные конкретные
значения аргументов e, D и R в блок решения уравнений, решает уравнение относительно неизвестного f и возвращает найденное значение корня.
Рисунок 10. Определение функции с использованием блока
решения уравнений.
Предположим, что зафиксированы размер трубки и ее материал
(D и e,), и нужно
исследовать зависимость трения от значения числа Рейнольдса. Хотя функция FricFac на рисунке 10 была определена с использованием блока решения
уравнений, она обладает теми же самыми свойствами, что и любая другая функция.
Ее можно также использовать с дискретным аргументом.
На рисунке 11 показано, как решать задачу и построить
график зависимости коэффициента трения от числа Рейнольдса. Обратите внимание,
что, когда вместе с блоком решения уравнений используется дискретный аргумент, MathCad фактически решает систему уравнений для каждого значения дискретного
аргумента. В результате такой тип вычислений может потребовать значительное
количество машинного времени.
Рисунок 11. Построение графика функции FricFac при
фиксированных значениях D и e и переменном
значении числа Рейнольдса.
Предыдущий пример включает в себя только одно уравнение с
одним неизвестным. Также возможно многократно решать и систему уравнений при
различных значениях входящих в нее параметров. Однако в этом случае требуется
проявить аккуратность при выводе результата, чтобы избежать сообщения об
ошибке «нескалярная величина» («Not a scalar»).
Предположим, что ищется пересечение прямой и окружности переменного
радиуса R. Аналогично предыдущему примеру можно
определить функцию с использованием блока решения уравнений. В этом случае
функция может быть определена следующим образом: F(R):=Find(x, y). Эта
функция возвращает вектор значений, элементы которого – x и y – содержат координаты точки
пересечения.
Рисунок 12. Пример вывода трех решений, каждое из которых
является вектором.
Основное отличие от предыдущего примера состоит в том, что
определенная таким образом функция для каждого значения параметра R возвращает вектор, состоящий из двух элементов. Если попытаться вывести
найденный ответ, печатая F(R)=, то это будет попытка вывести таким
образом не таблицу чисел (скаляров), а таблицу, каждый элемент которой является
вектором , состоящим из двух элементов.
Решение этой проблемы состоит в раздельном отображении
таблиц для разных элементов вектора F(R)0 и F(R)1. Напечатав F(R)[0=, получаем
таблицу всех значений x – абсцисс точек
пересечения. Аналогично, напечатав F(R)[1=, получаем таблицу всех значений y – ординат точек пересечения прямой и окружности.
Приближенные решения.
MathCad содержит функцию, очень похожую на функцию Find. Она называется Minerr. Функция Minerr использует тот же самый алгоритм, что и функция Find. Различие состоит в следующем. Если в результате поиска решения не
может быть получено дальнейшее уточнение текущего приближения к решению, Minerr возвращает это приближение. Функция Find,
в отличие от функции Minerr, возвращает в этом
случае сообщение об ошибке «решение не найдено». Правила использования функции Minerr такте же, как и функции Find.
Синтаксис: Minerr(z1, z2, z3,…) – возвращает решение системы уравнений. Число аргументов равно числу
неизвестных.
На рисунках 13 и 14 приведен пример, в котором сравниваются
результаты решения уравнения, полученные с использованием функций Find
и Minerr.
Minner обычно возвращает ответ, который минимизирует
соответствующий функционал невязки, связанный с решаемой задачей. Однако Minerr не может проверить, реализует ли ответ абсолютный минимум для
функционала невязки. Если функция Minerr
используется в блоке решения уравнений, необходимо всегда включать дополнительную
проверку достоверности получаемых результатов. Встроенная переменная ERR дает величину невязки для приближенного решения. MathCad не имеет встроенной переменной для покомпонентного вывода вектора невязки
на найденном приближенном решении.
Рисунок 13. Сравнение работы функций Find и Minerr, в случае, когда функция Find не может вернуть решение уравнения. Величина ошибки при использовании
функции Minerr равна 56.904.
Рисунок 14. Сравнение работы функций Find и Minerr, в случае, когда функция Find возвращает решение уравнения. Результаты решения двумя способами
совпадают. Величина ошибки при использовании функции Minerr равна 1.082×10-6.
