Как найти все миноры определителя

Миноры
матрицы

Пусть
дана квадратная матрица
А, n – ого порядка. Минором
некоторого элемента а_ij
, определителя матрицы
n – ого порядка называется определитель
(n – 1) – ого порядка, полученный из исходного
путем вычеркивания строки и столбца,
на пересечении которых находится
выбранный элемент а_ij.
Обозначается М_ij.

Рассмотрим
на примере определителя
матрицы 3 – его
порядка:

, тогда
согласно определению минора,
минором
М₁₂,
соответствующим элементу а₁₂,
будет определитель:

При
этом, с помощью миноров
можно облегчать задачу вычисления
определителя матрицы.
Надо разложить определитель
матрицы по некоторой
строке и тогда определитель
будет равен сумме всех элементов этой
строки на их миноры. Разложение
определителя матрицы
3 – его порядка будет выглядеть так:

, знак
перед произведением равен (-1)ⁿ,
где n = i + j.

Алгебраические
дополнения:

Алгебраическим
дополнением элемента
а_ij
называется его минор,
взятый со знаком “+”, если сумма (i
+ j) четное число, и со знаком “-“,
если эта сумма нечетное число. Обозначается
А_ij.
А_ij
= (-1)^i+j
× М_ij.

Тогда
можно переформулировать изложенное
выше свойство. Определитель
матрицы равен сумме
произведение элементов некторого ряда
(строки или столбца) матрицы
на соответствующие им алгебраические
дополнения. Пример:

4. Обратная матрица и её вычисление.

Пусть
А – квадратная матрица
n – ого порядка.

Квадратная
матрица
А называется невырожденной, если
определитель
матрицы (Δ = det A) не
равен нулю (Δ = det A ≠ 0). В противном случае
(Δ = 0) матрица
А называется вырожденной.

Матрицей,
союзной к матрице
А, называется матрица

, где
А_ij
– алгебраическое
дополнение элемента
а_ij
данной матрицы
(оно определяется так же, как и
алгебраическое
дополнение элемента
определителя матрицы).

Матрица
А^-1
называется обратной
матрице А, если
выполняется условие:
А × А^-1
= А^-1
× А = Е
, где Е – единичная матрица
того же порядка, что и матрица
А. Матрица
А^-1
имеет те же размеры, что и матрица
А.

Обратная
матрица

Если
существуют квадратные матрицы
Х и А, удовлетворяющие условию:
X × A =
A × X = E
, где Е – единичная матрица
того же самого порядка, то матрица
Х называется обратной
матрицей к матрице А
и обозначается А^-1.
Всякая невырожденная матрица
имеет обратную
матрицу и притом
только одну, т. е. для того чтобы квадратная
матрица
A имела обратную
матрицу, необходимо
и достаточно, чтобы её определитель
был отличен от нуля.

Для
получения обратной
матрицы используют
формулу:

, где
М_ji
дополнительный минор
элемента а_ji
матрицы
А.

5. Ранг матрицы. Вычисление ранга с помощью элементарных преобразований.

Рассмотрим
прямоугольную матрицу mхn. Выделим в
этой матрице какие-нибудь k строк и k
столбцов, 1 £ k £ min (m, n) . Из элементов,
стоящих на пересечении выделенных строк
и столбцов, составим определитель k-го
порядка. Все такие определители называются
минорами матрицы. Например, для матрицы
можно
составить миноры второго порядкаи
миноры первого порядка 1, 0, -1, 2, 4, 3.

Определение.Рангом матрицы называется наивысший
порядок отличного от нуля минора этой
матрицы. Обозначают ранг матрицы r (A).

В
приведенном примере ранг матрицы равен
двум, так как, например, минор

Ранг
матрицы удобно вычислять методом
элементарных преобразований. К
элементарным преобразованиям относят
следующие:

1)    
перестановки строк (столбцов);

2)    
умножение строки (столбца) на число,
отличное от нуля;

3)    
прибавление к элементам строки (столбца)
соответствующих элементов другой строки
(столбца), предварительно умноженных
на некоторое число.

Эти
преобразования не меняют ранга матрицы,
так как известно, что 1) при перестановке
строк определитель меняет знак и, если
он не был равен нулю, то уже и не станет;
2) при умножении строки определителя на
число, не равное нулю, определитель
умножается на это число; 3) третье
элементарное преобразование вообще не
изменяет определитель. Таким образом,
производя над матрицей элементарные
преобразования, можно получить матрицу,
для которой легко вычислить ранг ее и,
следовательно, исходной матрицы.

Определение.
Матрица
,
полученная из матрицыпри
помощи элементарных преобразований,
называется эквивалентной и обозначаетсяА
В.

Теорема.Ранг матрицы не изменяется при элементарных
преобразованиях матрицы.

С
помощью элементарных преобразований
можно привести матрицу к так называемому
ступенчатому виду, когда вычисление ее
ранга не представляет труда.

Матрица

 называется
ступенчатой если она имеет вид:

,
где
,,.

Очевидно,
что ранг ступенчатой матрицы равен
числу ненулевых строк
,
т.к. имеется минор
-го
порядка, не равный нулю:

.

Пример.Определить ранг матрицы с помощью
элементарных преобразований.

.

Ранг матрицы равен
количеству ненулевых строк, т.е.
.

Соседние файлы в папке Шпоры ИУП_1сессия

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Алгебраические дополнения и миноры. Виды миноров и алгебраических дополнений.

В данной теме рассмотрим понятия алгебраического дополнения и минора. Изложение материала опирается на термины, пояснённые в теме “Матрицы. Виды матриц. Основные термины”. Также нам понадобятся некоторые формулы для вычисления определителей. Так как в данной теме немало терминов, относящихся к минорам и алгебраическим дополнениям, то я добавлю краткое содержание, чтобы ориентироваться в материале было проще.

Содержание темы:

1. Минор $M_{ij}$ элемента $a_{ij}$.
2. Алгебраическое дополнение $A_{ij}$ элемента $a_{ij}$.
3. Минор k-го порядка матрицы $A_{mtimes n}$. Главный минор, базисный минор, окаймляющий минор.
4. Минор k-го порядка матрицы $A_{ntimes n}$. Дополнительный минор. Алгебраическое дополнение к минору квадратной матрицы.

Минор $M_{ij}$ элемента $a_{ij}$

Пусть задана квадратная матрица $A_{ntimes n}$ (т.е. квадратная матрица n-го порядка).

Минором $M_{ij}$ элемента $a_{ij}$ матрицы $A_{ntimes n}$ именуют определитель матрицы, полученной из матрицы $A$ вычёркиванием i-й строки и j-го столбца (т.е. строки и столбца, на пересечении которых находится элемент $a_{ij}$).

Для примера рассмотрим квадратную матрицу четвёртого порядка:
$A=left( begin{array} {cccc}
1 & 0 & -3 & 9\
2 & -7 & 11 & 5 \
-9 & 4 & 25 & 84\
3 & 12 & -5 & 58 end{array} right)$. Найдём минор элемента $a_{32}$, т.е. найдём $M_{32}$. Сперва запишем минор $M_{32}$, а потом вычислим его значение. Для того, чтобы составить $M_{32}$, вычеркнем из матрицы $A$ третью строку и второй столбец (именно на пересечении третьей строки и второго столбца расположен элемент $a_{32}$). Мы получим новую матрицу, определитель которой и есть искомый минор $M_{32}$:

Этот минор несложно вычислить, используя формулу №2 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:

$$
M_{32}=left| begin{array} {ccc}
1 & -3 & 9\
2 & 11 & 5 \
3 & -5 & 58 end{array} right|=
1cdot 11cdot 58+(-3)cdot 5cdot 3+2cdot (-5)cdot 9-9cdot 11cdot 3-(-3)cdot 2cdot 58-5cdot (-5)cdot 1=579.

$$

Итак, минор элемента $a_{32}$ равен 579, т.е. $M_{32}=579$.

Часто вместо словосочетания “минор элемента матрицы” в литературе встречается “минор элемента определителя”. Суть остается неизменной: чтобы получить минор элемента $a_{ij}$ нужно вычеркнуть из исходного определителя i-ю строку и j-й столбец. Оставшиеся элементы записывают в новый определитель, который и является минором элемента $a_{ij}$. Например, найдём минор элемента $a_{12}$ определителя
$left| begin{array} {ccc}
-1 & 3 & 2\
9 & 0 & -5 \
4 & -3 & 7 end{array} right|$. Чтобы записать требуемый минор $M_{12}$ нам понадобится вычеркнуть из заданного определителя первую строку и второй столбец:

Чтобы найти значение данного минора используем формулу №1 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:

$$
M_{12}=left| begin{array} {cc}
9 & -5\
4 & 7 end{array} right|=9cdot 7-(-5)cdot 4=83.
$$

Итак, минор элемента $a_{12}$ равен 83, т.е. $M_{12}=83$.

Алгебраическое дополнение $A_{ij}$ элемента $a_{ij}$

Пусть задана квадратная матрица $A_{ntimes n}$ (т.е. квадратная матрица n-го порядка).

Найдем алгебраическое дополнение элемента $a_{32}$ матрицы $A=left( begin{array} {cccc}
1 & 0 & -3 & 9\
2 & -7 & 11 & 5 \
-9 & 4 & 25 & 84\
3 & 12 & -5 & 58 end{array} right)$, т.е. найдём $A_{32}$. Ранее мы уже находили минор $M_{32}=579$, поэтому используем полученный результат:

Обычно при нахождении алгебраических дополнений не вычисляют отдельно минор, а уж потом само дополнение. Запись минора опускают. Например, найдем $A_{12}$, если $A=left( begin{array} {ccc}
-5 & 10 & 2\
6 & 9 & -4 \
4 & -3 & 1 end{array} right)$. Согласно формуле $A_{12}=(-1)^{1+2}cdot M_{12}=-M_{12}$. Однако чтобы получить $M_{12}$ достаточно вычеркнуть первую строку и второй столбец матрицы $A$, так зачем же вводить лишнее обозначение для минора? Сразу запишем выражение для алгебраического дополнения $A_{12}$:

Минор k-го порядка матрицы $A_{mtimes n}$

Если в предыдущих двух пунктах мы говорили лишь о квадратных матрицах, то здесь поведём речь также и о прямоугольных матрицах, у которых количество строк вовсе не обязательно равняется количеству столбцов. Итак, пусть задана матрица $A_{mtimes n}$, т.е. матрица, содержащая m строк и n столбцов.

Минором k-го порядка матрицы $A_{mtimes n}$ называется определитель, элементы которого расположены на пересечении k строк и k столбцов матрицы $A$ (при этом предполагается, что $k≤ m$ и $k≤ n$).

Например, рассмотрим такую матрицу:

$$A=left( begin{array} {cccc}
-1 & 0 & -3 & 9\
2 & 7 & 14 & 6 \
15 & -27 & 18 & 31\
0 & 1 & 19 & 8\
0 & -12 & 20 & 14\
5 & 3 & -21 & 9\
23 & -10 & -5 & 58 end{array} right)
$$

Запишем для неё какой-либо минор третьего порядка. Чтобы записать минор третьего порядка нам потребуется выбрать какие-либо три строки и три столбца данной матрицы. Например, возьмём строки №2, №4, №6 и столбцы №1, №2, №4. На пересечении этих строк и столбцов будут располагаться элементы требуемого минора. На рисунке элементы минора показаны синим цветом:

$$
left( begin{array} {cccc}
-1 & 0 & -3 & 9 \
boldblue{2} & boldblue{7} & 14 & boldblue{6} \
15 & -27 & 18 & 31\
boldblue{0} & boldblue{1} & 19 & boldblue{8}\
0 & -12 & 20 & 14\
boldblue{5} & boldblue{3} & -21 & boldblue{9}\
23 & -10 & -5 & 58 end{array} right);;

M=left|begin{array} {ccc}
2 & 7 & 6 \
0 & 1 & 8 \
5 & 3 & 9 end{array} right|.
$$

Миноры первого порядка находятся на пересечении одной строки и одного столбца, т.е. миноры первого порядка равны элементам заданной матрицы.

Минор k-го порядка матрицы $A_{mtimes n}=(a_{ij})$ называется главным, если на главной диагонали данного минора находятся только главные диагональные элементы матрицы $A$.

Напомню, что главными диагональными элементами именуют те элементы матрицы, у которых индексы равны: $a_{11}$, $a_{22}$, $a_{33}$ и так далее. Например, для рассмотренной выше матрицы $A$ такими элементами будут $a_{11}=-1$, $a_{22}=7$, $a_{33}=18$, $a_{44}=8$. На рисунке они выделены зелёным цветом:

$$left( begin{array} {cccc}
boldgreen{-1} & 0 & -3 & 9\
2 & boldgreen{7} & 14 & 6 \
15 & -27 & boldgreen{18} & 31\
0 & 1 & 19 & boldgreen{8}\
0 & -12 & 20 & 14\
5 & 3 & -21 & 9\
23 & -10 & -5 & 58 end{array} right)
$$

Например, если в матрице $A$ мы вычеркнем строки и столбцы с номерами 1 и 3, то на их пересечении будут расположены элементы минора второго порядка, на главной диагонали которого будут находиться только диагональные элементы матрицы $A$ (элементы $a_{11}=-1$ и $a_{33}=18$ матрицы $A$). Следовательно, мы получим главный минор второго порядка:

$$
M=left|begin{array} {cc}
boldgreen{-1} & -3 \
15 & boldgreen{18} end{array} right|
$$

Естественно, что мы могли взять иные строки и столбцы, – например, с номерами 2 и 4, получив при этом иной главный минор второго порядка.

Пусть некий минор $M$ k-го порядка матрицы $A_{mtimes n}$ не равен нулю, т.е. $Mneq 0$. При этом все миноры, порядок которых выше k, равны нулю. Тогда минор $M$ называют базисным, а строки и столбцы, на которых расположены элементы базисного минора, именуют базисными строками и базисными столбцами.

Для примера рассмотрим такую матрицу:

$$A=left( begin{array} {ccc}
-1 & 0 & 3 & 0 & 0 \
2 & 0 & 4 & 1 & 0\
1 & 0 & -2 & -1 & 0\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 end{array} right)
$$

Запишем минор этой матрицы, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов с №1, №3, №4. Мы получим минор третьего порядка (его элементы выделены в матрице $A$ фиолетовым цветом):

$$
left( begin{array} {ccc}
boldpurple{-1} & 0 & boldpurple{3} & boldpurple{0} & 0 \
boldpurple{2} & 0 & boldpurple{4} & boldpurple{1} & 0\
boldpurple{1} & 0 & boldpurple{-2} & boldpurple{-1} & 0\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 end{array} right);;

M=left|begin{array} {ccc}
-1 & 3 & 0 \
2 & 4 & 1 \
1 & -2 & -1 end{array} right|.
$$

Найдём значение этого минора, используя формулу №2 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:

$$
M=left| begin{array} {ccc}
-1 & 3 & 0\
2 & 4 & 1 \
1 & -2 & -1 end{array} right|=4+3+6-2=11.
$$

Итак, $M=11neq 0$. Теперь попробуем составить любой минор, порядок которого выше трёх. Чтобы составить минор четвёртого порядка, нам придётся использовать четвёртую строку, однако все элементы этой строки равны нулю. Следовательно, в любом миноре четвёртого порядка будет нулевая строка, а это означает, что все миноры четвёртого порядка равны нулю. Миноры пятого и более высоких порядков составить мы не можем, так как матрица $A$ имеет всего 4 строки.

Мы нашли минор третьего порядка, не равный нулю. При этом все миноры высших порядков равны нулю, следовательно, рассмотренный нами минор – базисный. Строки матрицы $A$, на которых расположены элементы этого минора (первая, вторая и третья), – базисные строки, а первый, третий и четвёртый столбцы матрицы $A$ – базисные столбцы.

Данный пример, конечно, тривиальный, так как его цель – наглядно показать суть базисного минора. Вообще, базисных миноров может быть несколько, и обычно процесс поиска такого минора куда сложнее и объёмнее.

Введём ещё одно понятие – окаймляющий минор.

Пусть некий минор k-го порядка $M$ матрицы $A_{mtimes n}$ расположен на пересечении k строк и k столбцов. Добавим к набору этих строк и столбцов ещё одну строку и столбец. Полученный минор (k+1)-го порядка именуют окаймляющим минором для минора $M$.

Для примера обратимся к такой матрице:

$$A=left( begin{array} {ccccc}
-1 & 2 & 0 & -2 & -14\
3 & -17 & -3 & 19 & 29\
5 & -6 & 8 & -9 & 41\
-5 & 11 & 19 & -20 & -98\
6 & 12 & 20 & 21 & 54\
-7 & 10 & 14 & -36 & 79 end{array} right)
$$

Запишем минор второго порядка, элементы которого расположены на пересечении строк №2 и №5, а также столбцов №2 и №4. Эти элементы выделены в матрице красным цветом:

$$
left( begin{array} {ccccc}
-1 & 2 & 0 & -2 & -14\
3 & boldred{-17} & -3 & boldred{19} & 29\
5 & -6 & 8 & -9 & 41\
-5 & 11 & 19 & -20 & -98\
6 & boldred{12} & 20 & boldred{21} & 54\
-7 & 10 & 14 & -36 & 79 end{array} right);;

M=left|begin{array} {ccc}
-17 & 19 \
12 & 21 end{array} right|.
$$

Добавим к набору строк, на которых лежат элементы минора $M$, ещё строку №1, а к набору столбцов – столбец №5. Получим новый минор $M’$ (уже третьего порядка), элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2, №5 и столбцов №2, №4, №5. Элементы минора $M$ на рисунке выделены красным цветом, а элементы, которые мы добавляем к минору $M$ – синим:

$$
left( begin{array} {ccccc}
-1 & boldblue{2} & 0 & boldblue{-2} & boldblue{-14}\
3 & boldred{-17} & -3 & boldred{19} & boldblue{29}\
5 & -6 & 8 & -9 & 41\
-5 & 11 & 19 & -20 & -98\
6 & boldred{12} & 20 & boldred{21} & boldblue{54}\
-7 & 10 & 14 & -36 & 79 end{array} right);;

M’=left|begin{array} {ccc}
2 & -2 & -14 \
-17 & 19 & 29 \
12 & 21 & 54 end{array} right|.
$$

Минор $M’$ является окаймляющим минором для минора $M$. Аналогично, добавляя к набору строк, на которых лежат элементы минора $M$, строку №4, а к набору столбцов – столбец №3, получим минор $M”$ (минор третьего порядка):

$$
left( begin{array} {ccccc}
-1 & 2 & 0 & -2 & -14\
3 & boldred{-17} & boldblue{-3} & boldred{19} & 29\
5 & -6 & 8 & -9 & 41\
-5 & boldblue{11} & boldblue{19} & boldblue{-20} & -98\
6 & boldred{12} & boldblue{20} & boldred{21} & 54\
-7 & 10 & 14 & -36 & 79 end{array} right);;

M”=left|begin{array} {ccc}
-17 & -3 & 19 \
11 & 19 & -20 \
12 & 20 & 21 end{array} right|.
$$

Минор $M”$ также является окаймляющим минором для минора $M$.

Минор k-го порядка матрицы $A_{ntimes n}$. Дополнительный минор. Алгебраическое дополнение к минору квадратной матрицы.

Вновь вернёмся к квадратным матрицам. Введём понятие дополнительного минора.

Пусть задан некий минор $M$ k-го порядка матрицы $A_{ntimes n}$. Определитель (n-k)-го порядка, элементы которого получены из матрицы $A$ после вычеркивания строк и столбцов, содержащих минор $M$, называется минором, дополнительным к минору $M$.

Для примера рассмотрим квадратную матрицу пятого порядка:

$$
A=left( begin{array}{ccccc}
-1 & 2 & 0 & -2 & -14\
3 & -17 & -3 & 19 & 29\
5 & -6 & 8 & -9 & 41\
-5 & 11 & 16 & -20 & -98\
-7 & 10 & 14 & -36 & 79 end{array} right)
$$

Выберем в ней строки №1 и №3, а также столбцы №2 и №5. На пересечении оных строк и столбцов будут элементы минора $M$ второго порядка. Эти элементы выделены в матрице $A$ зелёным цветом:

$$
left(begin{array}{ccccc}
-1 & boldgreen{2} & 0 & -2 & boldgreen{-14}\
3 & -17 & -3 & 19 & 29\
5 & boldgreen{-6} & 8 & -9 & boldgreen{41}\
-5 & 11 & 16 & -20 & -98\
-7 & 10 & 14 & -36 & 79 end{array} right);;

M=left|begin{array}{cc}
2 & -14 \
-6 & 41 end{array} right|.
$$

Теперь уберём из матрицы $A$ строки №1 и №3 и столбцы №2 и №5, на пересечении которых находятся элементы минора $M$ (элементы убираемых строк и столбцов показаны красным цветом на рисунке ниже). Оставшиеся элементы образуют минор $M’$:

$$
left( begin{array}{ccccc}
boldred{-1} & boldred{2} & boldred{0} & boldred{-2} & boldred{-14}\
3 & boldred{-17} & -3 & 19 & boldred{29}\
boldred{5} & boldred{-6} & boldred{8} & boldred{-9} & boldred{41}\
-5 & boldred{11} & 16 & -20 & boldred{-98}\
-7 & boldred{10} & 14 & -36 & boldred{79} end{array} right);;

M’=left|begin{array} {ccc}
3 & -3 & 19 \
-5 & 16 & -20 \
-7 & 14 & -36 end{array}right|.
$$

Минор $M’$, порядок которого равен $5-2=3$, является минором, дополнительным к минору $M$.

Алгебраическим дополнением к минору $M$ квадратной матрицы $A_{ntimes n}$ называется выражение $(-1)^{alpha}cdot M’$, где $alpha$ – сумма номеров строк и столбцов матрицы $A$, на которых расположены элементы минора $M$, а $M’$ – минор, дополнительный к минору $M$.

Словосочетание “алгебраическое дополнение к минору $M$” часто заменяют словосочетанием “алгебраическое дополнение минора $M$”.

Для примера рассмотрим матрицу $A$, для которой мы находили минор второго порядка
$
M=left| begin{array} {ccc}
2 & -14 \
-6 & 41 end{array} right|
$ и дополнительный к нему минор третьего порядка:

$M’=left| begin{array} {ccc}
3 & -3 & 19\
-5 & 16 & -20 \
-7 & 14 & -36 end{array} right|$. Обозначим алгебраическое дополнение минора $M$ как $M^*$. Тогда согласно определению:

$$
M^*=(-1)^alphacdot M’.
$$

Параметр $alpha$ равен сумме номеров строк и столбцов, на которых находится минор $M$. Этот минор расположен на пересечении строк №1, №3 и столбцов №2, №5. Следовательно, $alpha=1+3+2+5=11$. Итак:

$$
M^*=(-1)^{11}cdot M’=-left| begin{array} {ccc}
3 & -3 & 19\
-5 & 16 & -20 \
-7 & 14 & -36 end{array} right|.
$$

В принципе, используя формулу №2 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков, можно довести вычисления до конца, получив значение $M^*$:

$$
M^*=-left| begin{array} {ccc}
3 & -3 & 19\
-5 & 16 & -20 \
-7 & 14 & -36 end{array} right|=-30.
$$

Понятие минора и алгебраического дополнения было рассмотрено нами в теме «Как вычислить определитель матрицы третьего порядка». В данной статье разберем тему более подробно, а также научимся вычислять миноры и алгебраические дополнения матриц высших порядков.

Сначала рекомендуется повторить вычисление определителей второго, третьего и высших порядков.

Минор

Минором MijM_{ij} к элементу aija_{ij} определителя nn-го порядка называется определитель (n−1)(n-1)-го порядка, который получается из исходного определителя вычеркиванием ii-той строки и jj-того столбца.

Таким образом, минор — это определитель, который остается после вычеркивания определенной строки и определенного столбца. Например, M12M_{12} получается вычеркиванием 1-й строки и 2-го столбца, M34M_{34} — вычеркиванием 3-й строки и 4-го столбца.
Алгоритм нахождения миноров

1. вычеркиваем i-ю строку;
2. вычеркиваем j-й столбец;
3. записываем определитель, который получили в результате действий 1 и 2.

Пример 1

Найти минор M34M_{34} к элементу a34a_{34} определителя ∣21−23−121213−1543−31∣begin{vmatrix}2&1&-2&3\-1&2&1&2\1&3&-1&5\4&3&-3&1end{vmatrix}.

Те строки и столбцы, которые будем вычеркивать, выделим зеленым цветом.

M34=∣21−23−121213−1543−31∣=∣21−2−12143−3∣=2⋅2⋅(−3)+1⋅1⋅4+(−2)⋅3⋅(−1)−(−2)⋅2⋅4−1⋅(−3)⋅(−1)−2⋅1⋅3=−12+4+6+16−3−6=5M_{34}=begin{vmatrix}2&1&-2&color{green}3\-1&2&1&color{green}2\color{green}1&color{green}3&color{green}-1&color{green}5\4&3&-3&color{green}1end{vmatrix}=begin{vmatrix}2&1&-2\-1&2&1\4&3&-3end{vmatrix}=2cdot2cdot(-3)+1cdot1cdot4+(-2)cdot3cdot(-1)-(-2)cdot2cdot4-1cdot(-3)cdot(-1)-2cdot1cdot3=-12+4+6+16-3-6=5.

Пример 2

Найти миноры матрицы K=(03−122100−2−102−5711)K= begin{pmatrix}0&3&-1&2\2&1&0&0\-2&-1&0&2\-5&7&1&1end{pmatrix}.

Те строки и столбцы, которые будем вычеркивать, выделим зеленым цветом.

M11=(03−122100−2−102−5711)=∣100−102711∣=1⋅(−1)1+1∣0211∣=1⋅(−1)2∣0211∣=∣0211∣=1⋅(−1)2+1⋅2=1⋅(−1)3⋅2=−2M_{11}= begin{pmatrix}color{green}0&color{green}3&color{green}-1&color{green}2\color{green}2&1&0&0\color{green}-2&-1&0&2\color{green}-5&7&1&1end{pmatrix}=begin{vmatrix}1&0&0\-1&0&2\7&1&1end{vmatrix}=1cdot(-1)^{1+1}begin{vmatrix}0&2\1&1end{vmatrix}=1cdot(-1)^{2}begin{vmatrix}0&2\1&1end{vmatrix}=begin{vmatrix}0&2\1&1end{vmatrix}=1cdot(-1)^{2+1}cdot2=1cdot(-1)^{3}cdot2=-2,

M12=(03−122100−2−102−5711)=∣200−202−511∣=2⋅(−1)1+1∣0211∣=2⋅(−1)2∣0211∣=2∣0211∣=2⋅(−1)2+1⋅2=2⋅(−1)3⋅2=−4M_{12}= begin{pmatrix}color{green}0&color{green}3&color{green}-1&color{green}2\2&color{green}1&0&0\-2&color{green}-1&0&2\-5&color{green}7&1&1end{pmatrix}=begin{vmatrix}2&0&0\-2&0&2\-5&1&1end{vmatrix}=2cdot(-1)^{1+1}begin{vmatrix}0&2\1&1end{vmatrix}=2cdot(-1)^{2}begin{vmatrix}0&2\1&1end{vmatrix}=2begin{vmatrix}0&2\1&1end{vmatrix}=2cdot(-1)^{2+1}cdot2=2cdot(-1)^{3}cdot2=-4,

M13=(03−122100−2−102−5711)=∣210−2−12−571∣=2⋅(−1)⋅1+0⋅7⋅(−2)+1⋅2⋅(−5)−0⋅(−1)⋅(−5)−2⋅2⋅7−1⋅1⋅(−2)=−2−10−28+2=−38M_{13}= begin{pmatrix}color{green}0&color{green}3&color{green}-1&color{green}2\2&1&color{green}0&0\-2&-1&color{green}0&2\-5&7&color{green}1&1end{pmatrix}=begin{vmatrix}2&1&0\-2&-1&2\-5&7&1end{vmatrix}=2cdot(-1)cdot1+0cdot7cdot(-2)+1cdot2cdot(-5)-0cdot(-1)cdot(-5)-2cdot2cdot7-1cdot1cdot(-2)=-2-10-28+2=-38,

M14=(03−122100−2−102−5711)=∣210−2−10−571∣=1⋅(−1)3+3∣21−2−1∣=0M_{14}= begin{pmatrix}color{green}0&color{green}3&color{green}-1&color{green}2\2&1&0&color{green}0\-2&-1&0&color{green}2\-5&7&1&color{green}1end{pmatrix}=begin{vmatrix}2&1&0\-2&-1&0\-5&7&1end{vmatrix}=1cdot(-1)^{3+3}begin{vmatrix}2&1\-2&-1end{vmatrix}=0,

M21=(03−122100−2−102−5711)=∣3−12−102711∣=3⋅0⋅1+2⋅1⋅(−1)+(−1)⋅2⋅7−2⋅0⋅7−(−1)⋅1⋅(−1)−3⋅2⋅1=−2−14−1−6=−23M_{21}= begin{pmatrix}color{green}0&3&-1&2\color{green}2&color{green}1&color{green}0&color{green}0\color{green}-2&-1&0&2\color{green}-5&7&1&1end{pmatrix}=begin{vmatrix}3&-1&2\-1&0&2\7&1&1end{vmatrix}=3cdot0cdot1+2cdot1cdot(-1)+(-1)cdot2cdot7-2cdot0cdot7-(-1)cdot1cdot(-1)-3cdot2cdot1=-2-14-1-6=-23,

M22=(03−122100−2−102−5711)=∣0−12−202−511∣=0⋅0⋅1+(−1)⋅2⋅(−5)+2⋅1⋅(−2)−2⋅0⋅(−5)−(−1)⋅1⋅(−2)−0⋅2⋅1=10−4−2=4M_{22}= begin{pmatrix}0&color{green}3&-1&2\color{green}2&color{green}1&color{green}0&color{green}0\-2&color{green}-1&0&2\-5&color{green}7&1&1end{pmatrix}=begin{vmatrix}0&-1&2\-2&0&2\-5&1&1end{vmatrix}=0cdot0cdot1+(-1)cdot2cdot(-5)+2cdot1cdot(-2)-2cdot0cdot(-5)-(-1)cdot1cdot(-2)-0cdot2cdot1=10-4-2=4,

M23=(03−122100−2−102−5711)=∣032−2−12−571∣=0⋅(−1)⋅1+3⋅2⋅(−5)+2⋅7⋅(−2)−2⋅(−1)⋅(−5)−3⋅1⋅(−2)−0⋅2⋅7=−30−28−10+6=−62M_{23}= begin{pmatrix}0&3&color{green}-1&2\color{green}2&color{green}1&color{green}0&color{green}0\-2&-1&color{green}0&2\-5&7&color{green}1&1end{pmatrix}=begin{vmatrix}0&3&2\-2&-1&2\-5&7&1end{vmatrix}=0cdot(-1)cdot1+3cdot2cdot(-5)+2cdot7cdot(-2)-2cdot(-1)cdot(-5)-3cdot1cdot(-2)-0cdot2cdot7=-30-28-10+6=-62,

M24=(03−122100−2−102−5711)=∣03−1−2−10−571∣=0⋅(−1)⋅1+3⋅0⋅(−5)+(−1)⋅7⋅(−2)−(−1)⋅(−1)⋅(−5)−3⋅1⋅(−2)−0⋅0⋅7=14+5+6=25M_{24}= begin{pmatrix}0&3&-1&color{green}2\color{green}2&color{green}1&color{green}0&color{green}0\-2&-1&0&color{green}2\-5&7&1&color{green}1end{pmatrix}=begin{vmatrix}0&3&-1\-2&-1&0\-5&7&1end{vmatrix}=0cdot(-1)cdot1+3cdot0cdot(-5)+(-1)cdot7cdot(-2)-(-1)cdot(-1)cdot(-5)-3cdot1cdot(-2)-0cdot0cdot7=14+5+6=25,

M31=(03−122100−2−102−5711)=∣3−12100711∣=1⋅(−1)2+1∣−1211∣=1⋅(−1)3∣−1211∣=−∣−1211∣=−(−1−2)=3M_{31}= begin{pmatrix}color{green}0&3&-1&2\color{green}2&1&0&0\color{green}-2&color{green}-1&color{green}0&color{green}2\color{green}-5&7&1&1end{pmatrix}=begin{vmatrix}3&-1&2\1&0&0\7&1&1end{vmatrix}=1cdot(-1)^{2+1}begin{vmatrix}-1&2\1&1end{vmatrix}=1cdot(-1)^{3}begin{vmatrix}-1&2\1&1end{vmatrix}=-begin{vmatrix}-1&2\1&1end{vmatrix}=-(-1-2)=3,

M32=(03−122100−2−102−5711)=∣0−12200−511∣=2⋅(−1)2+1∣−1211∣=2⋅(−1)3∣−1211∣=−2∣−1211∣=−2(−1−2)=6M_{32}= begin{pmatrix}0&color{green}3&-1&2\2&color{green}1&0&0\color{green}-2&color{green}-1&color{green}0&color{green}2\-5&color{green}7&1&1end{pmatrix}=begin{vmatrix}0&-1&2\2&0&0\-5&1&1end{vmatrix}=2cdot(-1)^{2+1}begin{vmatrix}-1&2\1&1end{vmatrix}=2cdot(-1)^{3}begin{vmatrix}-1&2\1&1end{vmatrix}=-2begin{vmatrix}-1&2\1&1end{vmatrix}=-2(-1-2)=6,

M33=(03−122100−2−102−5711)=∣032210−571∣=0⋅1⋅1+3⋅0⋅(−5)+2⋅7⋅2−2⋅1⋅(−5)−0⋅0⋅7−3⋅1⋅2=28+10−6=32M_{33}= begin{pmatrix}0&3&color{green}-1&2\2&1&color{green}0&0\color{green}-2&color{green}-1&color{green}0&color{green}2\-5&7&color{green}1&1end{pmatrix}=begin{vmatrix}0&3&2\2&1&0\-5&7&1end{vmatrix}=0cdot1cdot1+3cdot0cdot(-5)+2cdot7cdot2-2cdot1cdot(-5)-0cdot0cdot7-3cdot1cdot2=28+10-6=32,

M34=(03−122100−2−102−5711)=∣03−1210−571∣=0⋅1⋅1+3⋅0⋅(−5)+(−1)⋅7⋅2−(−1)⋅1⋅(−5)−3⋅1⋅2−0⋅0⋅7=−14−5−6=−25M_{34}= begin{pmatrix}0&3&-1&color{green}2\2&1&0&color{green}0\color{green}-2&color{green}-1&color{green}0&color{green}2\-5&7&1&color{green}1end{pmatrix}=begin{vmatrix}0&3&-1\2&1&0\-5&7&1end{vmatrix}=0cdot1cdot1+3cdot0cdot(-5)+(-1)cdot7cdot2-(-1)cdot1cdot(-5)-3cdot1cdot2-0cdot0cdot7=-14-5-6=-25,

M41=(03−122100−2−102−5711)=∣3−12100−102∣=1⋅(−1)2+1∣−1202∣=1⋅(−1)3∣−1202∣=−∣−1202∣=−(−1)⋅(−1)1+1⋅2=1⋅(−1)2⋅2=2M_{41}= begin{pmatrix}color{green}0&3&-1&2\color{green}2&1&0&0\color{green}-2&-1&0&2\color{green}-5&color{green}7&color{green}1&color{green}1end{pmatrix}=begin{vmatrix}3&-1&2\1&0&0\-1&0&2end{vmatrix}=1cdot(-1)^{2+1}begin{vmatrix}-1&2\0&2end{vmatrix}=1cdot(-1)^{3}begin{vmatrix}-1&2\0&2end{vmatrix}=-begin{vmatrix}-1&2\0&2end{vmatrix}=-(-1)cdot(-1)^{1+1}cdot2=1cdot(-1)^{2}cdot2=2,

M42=(03−122100−2−102−5711)=∣0−12200−202∣=2⋅(−1)2+1∣−1202∣=2⋅(−1)3∣−1202∣=−2∣−1202∣=−2⋅(−1)⋅(−1)1+1⋅2=2⋅(−1)2⋅2=4M_{42}= begin{pmatrix}0&color{green}3&-1&2\2&color{green}1&0&0\-2&color{green}-1&0&2\color{green}-5&color{green}7&color{green}1&color{green}1end{pmatrix}=begin{vmatrix}0&-1&2\2&0&0\-2&0&2end{vmatrix}=2cdot(-1)^{2+1}begin{vmatrix}-1&2\0&2end{vmatrix}=2cdot(-1)^{3}begin{vmatrix}-1&2\0&2end{vmatrix}=-2begin{vmatrix}-1&2\0&2end{vmatrix}=-2cdot(-1)cdot(-1)^{1+1}cdot2=2cdot(-1)^{2}cdot2=4,

M43=(03−122100−2−102−5711)=∣032210−2−12∣=0⋅1⋅2+3⋅0⋅(−2)+2⋅(−1)⋅2−2⋅1⋅(−2)−3⋅2⋅2−0⋅0⋅(−1)=−4+4−12=−12M_{43}= begin{pmatrix}0&3&color{green}-1&2\2&1&color{green}0&0\-2&-1&color{green}0&2\color{green}-5&color{green}7&color{green}1&color{green}1end{pmatrix}=begin{vmatrix}0&3&2\2&1&0\-2&-1&2end{vmatrix}=0cdot1cdot2+3cdot0cdot(-2)+2cdot(-1)cdot2-2cdot1cdot(-2)-3cdot2cdot2-0cdot0cdot(-1)=-4+4-12=-12,

M44=(03−122100−2−102−5711)=∣03−1210−2−10∣=0M_{44}= begin{pmatrix}0&3&-1&color{green}2\2&1&0&color{green}0\-2&-1&0&color{green}2\color{green}-5&color{green}7&color{green}1&color{green}1end{pmatrix}=begin{vmatrix}0&3&-1\2&1&0\-2&-1&0end{vmatrix}=0.

Алгебраическое дополнение

Алгебраическим дополнением AijA_{ij} к элементу aija_{ij} определителя n-го порядка называется число Aij=(−1)i+j⋅MijA_{ij}=(-1)^{i+j}cdot M_{ij}, где i,ji, j — соответствующие строка и столбец, а MijM_{ij} — минор к элементу aija_{ij}.

Алгоритм нахождения алгебраических дополнений

1. найти сумму номеров строки (i)(i) и столбца (j)(j);
2. найти минор MijM_{ij} по алгоритму нахождения миноров, который представлен выше;
3. подставить значения, полученные на шагах 1 и 2, в формулу Aij=(−1)i+j⋅MijA_{ij}=(-1)^{i+j}cdot M_{ij}.

Пример 1

Найти алгебраическое дополнение A34A_{34} к элементу a34a_{34} определителя
∣21−23−121213−1543−31∣begin{vmatrix}2&1&-2&3\-1&2&1&2\1&3&-1&5\4&3&-3&1end{vmatrix}.
A34=(−1)3+4⋅M34=(−1)7⋅∣21−23−121213−1543−31∣=−∣21−2−12143−3∣=−(2⋅2⋅(−3)+1⋅1⋅4+(−2)⋅3⋅(−1)−(−2)⋅2⋅4−1⋅(−3)⋅(−1)−2⋅1⋅3)=−(−12+4+6+16−3−6)=−5A_{34}=(-1)^{3+4}cdot M_{34}=(-1)^{7}cdot
begin{vmatrix}2&1&-2&color{green}3\-1&2&1&color{green}2\color{green}1&color{green}3&color{green}-1&color{green}5\4&3&-3&color{green}1end{vmatrix}=-begin{vmatrix}2&1&-2\-1&2&1\4&3&-3end{vmatrix}=-(2cdot2cdot(-3)+1cdot1cdot4+(-2)cdot3cdot(-1)-(-2)cdot2cdot4-1cdot(-3)cdot(-1)-2cdot1cdot3)=-(-12+4+6+16-3-6)=-5.

Пример 2

Найти алгебраические дополнения матрицы K=(03−122100−2−102−5711)K= begin{pmatrix}0&3&-1&2\2&1&0&0\-2&-1&0&2\-5&7&1&1end{pmatrix}.

Те строки и столбцы, которые будем вычеркивать, выделим зеленым цветом.

A11=(−1)1+1⋅M11=(−1)1+1⋅∣100−102711∣=(−1)2∣100−102711∣=∣100−102711∣=−2A_{11}=(-1)^{1+1}cdot M_{11}=(-1)^{1+1}cdotbegin{vmatrix}1&0&0\-1&0&2\7&1&1end{vmatrix}=(-1)^{2}begin{vmatrix}1&0&0\-1&0&2\7&1&1end{vmatrix}=begin{vmatrix}1&0&0\-1&0&2\7&1&1end{vmatrix}=-2,

A12=(−1)1+2⋅M12=(−1)1+2⋅∣200−202−511∣=(−1)3⋅∣200−202−511∣=−∣200−202−511∣=−(−4)=4A_{12}=(-1)^{1+2}cdot M_{12}=(-1)^{1+2}cdotbegin{vmatrix}2&0&0\-2&0&2\-5&1&1end{vmatrix}=(-1)^{3}cdotbegin{vmatrix}2&0&0\-2&0&2\-5&1&1end{vmatrix}=-begin{vmatrix}2&0&0\-2&0&2\-5&1&1end{vmatrix}=-(-4)=4,

A13=(−1)1+3⋅M13=(−1)1+3⋅∣210−2−12−571∣=(−1)4⋅∣210−2−12−571∣=∣210−2−12−571∣=−38A_{13}=(-1)^{1+3}cdot M_{13}=(-1)^{1+3}cdot begin{vmatrix}2&1&0\-2&-1&2\-5&7&1end{vmatrix}=(-1)^{4}cdot begin{vmatrix}2&1&0\-2&-1&2\-5&7&1end{vmatrix}=begin{vmatrix}2&1&0\-2&-1&2\-5&7&1end{vmatrix}=-38,

A14=(−1)1+4⋅M14=(−1)1+4⋅∣210−2−10−571∣=(−1)5⋅∣210−2−10−571∣=−∣210−2−10−571∣=0A_{14}=(-1)^{1+4}cdot M_{14}=(-1)^{1+4}cdotbegin{vmatrix}2&1&0\-2&-1&0\-5&7&1end{vmatrix}=(-1)^{5}cdot begin{vmatrix}2&1&0\-2&-1&0\-5&7&1end{vmatrix}=-begin{vmatrix}2&1&0\-2&-1&0\-5&7&1end{vmatrix}=0,

A21=(−1)2+1⋅M21=(−1)2+1⋅∣3−12−102711∣=(−1)3⋅∣3−12−102711∣=−∣3−12−102711∣=−(−23)=23A_{21}=(-1)^{2+1}cdot M_{21}=(-1)^{2+1}cdotbegin{vmatrix}3&-1&2\-1&0&2\7&1&1end{vmatrix}=(-1)^{3}cdotbegin{vmatrix}3&-1&2\-1&0&2\7&1&1end{vmatrix}=-begin{vmatrix}3&-1&2\-1&0&2\7&1&1end{vmatrix}=-(-23)=23,

A22=(−1)2+2⋅M22=(−1)2+2⋅∣0−12−202−511∣=(−1)4⋅∣0−12−202−511∣=∣0−12−202−511∣=4A_{22}=(-1)^{2+2}cdot M_{22}=(-1)^{2+2}cdotbegin{vmatrix}0&-1&2\-2&0&2\-5&1&1end{vmatrix}=(-1)^{4}cdotbegin{vmatrix}0&-1&2\-2&0&2\-5&1&1end{vmatrix}=begin{vmatrix}0&-1&2\-2&0&2\-5&1&1end{vmatrix}=4,

A23=(−1)2+3⋅M23=(−1)2+3⋅∣032−2−12−571∣=(−1)5⋅∣032−2−12−571∣=−∣032−2−12−571∣=−(−62)=62A_{23}=(-1)^{2+3}cdot M_{23}=(-1)^{2+3}cdotbegin{vmatrix}0&3&2\-2&-1&2\-5&7&1end{vmatrix}=(-1)^{5}cdotbegin{vmatrix}0&3&2\-2&-1&2\-5&7&1end{vmatrix}=-begin{vmatrix}0&3&2\-2&-1&2\-5&7&1end{vmatrix}=-(-62)=62,

A24=(−1)2+4⋅M24=(−1)2+4⋅∣03−1−2−10−571∣=(−1)6⋅∣03−1−2−10−571∣=∣03−1−2−10−571∣=25A_{24}=(-1)^{2+4}cdot M_{24}=(-1)^{2+4}cdotbegin{vmatrix}0&3&-1\-2&-1&0\-5&7&1end{vmatrix}=(-1)^{6}cdotbegin{vmatrix}0&3&-1\-2&-1&0\-5&7&1end{vmatrix}=begin{vmatrix}0&3&-1\-2&-1&0\-5&7&1end{vmatrix}=25,

A31=(−1)3+1⋅M31=(−1)3+1⋅∣3−12100711∣=(−1)4⋅∣3−12100711∣=∣3−12100711∣=3A_{31}=(-1)^{3+1}cdot M_{31}=(-1)^{3+1}cdotbegin{vmatrix}3&-1&2\1&0&0\7&1&1end{vmatrix}=(-1)^{4}cdotbegin{vmatrix}3&-1&2\1&0&0\7&1&1end{vmatrix}=begin{vmatrix}3&-1&2\1&0&0\7&1&1end{vmatrix}=3,

A32=(−1)3+2⋅M32=(−1)3+2⋅∣0−12200−511∣=(−1)5⋅∣0−12200−511∣=−∣0−12200−511∣=−6A_{32}=(-1)^{3+2}cdot M_{32}=(-1)^{3+2}cdotbegin{vmatrix}0&-1&2\2&0&0\-5&1&1end{vmatrix}=(-1)^{5}cdotbegin{vmatrix}0&-1&2\2&0&0\-5&1&1end{vmatrix}=-begin{vmatrix}0&-1&2\2&0&0\-5&1&1end{vmatrix}=-6,

A33=(−1)3+3⋅M33=(−1)3+3⋅∣032210−571∣=(−1)6⋅∣032210−571∣=∣032210−571∣=32A_{33}=(-1)^{3+3}cdot M_{33}=(-1)^{3+3}cdotbegin{vmatrix}0&3&2\2&1&0\-5&7&1end{vmatrix}=(-1)^{6}cdotbegin{vmatrix}0&3&2\2&1&0\-5&7&1end{vmatrix}=begin{vmatrix}0&3&2\2&1&0\-5&7&1end{vmatrix}=32,

A34=(−1)3+4⋅M34=(−1)3+4⋅∣03−1210−571∣=(−1)7⋅∣03−1210−571∣=−∣03−1210−571∣=−(−25)=25A_{34}=(-1)^{3+4}cdot M_{34}=(-1)^{3+4}cdotbegin{vmatrix}0&3&-1\2&1&0\-5&7&1end{vmatrix}=(-1)^{7}cdotbegin{vmatrix}0&3&-1\2&1&0\-5&7&1end{vmatrix}=-begin{vmatrix}0&3&-1\2&1&0\-5&7&1end{vmatrix}=-(-25)=25,

A41=(−1)4+1⋅M41=(−1)4+1⋅∣3−12100−102∣=(−1)5⋅∣3−12100−102∣=−∣3−12100−102∣=−2A_{41}=(-1)^{4+1}cdot M_{41}=(-1)^{4+1}cdotbegin{vmatrix}3&-1&2\1&0&0\-1&0&2end{vmatrix}=(-1)^{5}cdotbegin{vmatrix}3&-1&2\1&0&0\-1&0&2end{vmatrix}=-begin{vmatrix}3&-1&2\1&0&0\-1&0&2end{vmatrix}=-2,

A42=(−1)4+2⋅M42=(−1)4+2⋅∣0−12200−202∣=(−1)6⋅∣0−12200−202∣=∣0−12200−202∣=4A_{42}=(-1)^{4+2}cdot M_{42}=(-1)^{4+2}cdotbegin{vmatrix}0&-1&2\2&0&0\-2&0&2end{vmatrix}=(-1)^{6}cdotbegin{vmatrix}0&-1&2\2&0&0\-2&0&2end{vmatrix}=begin{vmatrix}0&-1&2\2&0&0\-2&0&2end{vmatrix}=4,

A43=(−1)4+3⋅M43=(−1)4+3⋅∣032210−2−12∣=(−1)7⋅∣032210−2−12∣=−∣032210−2−12∣=−(−12)=12A_{43}=(-1)^{4+3}cdot M_{43}=(-1)^{4+3}cdotbegin{vmatrix}0&3&2\2&1&0\-2&-1&2end{vmatrix}=(-1)^{7}cdotbegin{vmatrix}0&3&2\2&1&0\-2&-1&2end{vmatrix}=-begin{vmatrix}0&3&2\2&1&0\-2&-1&2end{vmatrix}=-(-12)=12,

A44=(−1)4+4⋅M44=(−1)4+4⋅∣03−1210−2−10∣=(−1)8⋅∣03−1210−2−10∣=∣03−1210−2−10∣=0A_{44}=(-1)^{4+4}cdot M_{44}=(-1)^{4+4}cdotbegin{vmatrix}0&3&-1\2&1&0\-2&-1&0end{vmatrix}=(-1)^{8}cdotbegin{vmatrix}0&3&-1\2&1&0\-2&-1&0end{vmatrix}=begin{vmatrix}0&3&-1\2&1&0\-2&-1&0end{vmatrix}=0.

Задачи на заказ недорого по любому предмету от наших экспертов!

Тест по теме «Минор матрицы и алгебраическое дополнение матрицы»

Уважаемые студенты!
Заказать решение задач по 200+ предметам можно здесь всего за 10 минут.

Минор матрицы

Определение

Минор матрицы – это определитель $ n-1 $ порядка, составленный путём вычеркивания $ i $-ой строки и $ j $-го столбца из матрицы $ A $ порядка $ n $. Обозначается минор $ M_{ij} $

Формула минора матрицы выводится для каждого элемента этой матрицы отдельно. Пусть задана квадратная матрица $ A $ порядка $ n = 3 $:

$$ A = begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13} \ a_{21}&a_{22}&a_{23} \ a_{31}&a_{32}&a_{33} end{pmatrix} $$

По определению каждый минор $ M_{ij} $ равен определителю, получаемому при вычеркивании $ i $-ой строки и $ j $-ого столбца из матрицы $ A $.

$$ M_{11} = begin{vmatrix} a_{22}&a_{23} \ a_{32}&a_{33} end{vmatrix}; M_{12} = begin{vmatrix} a_{21}&a_{23} \ a_{31}&a_{33} end{vmatrix}; M_{13} = begin{vmatrix} a_{21}&a_{22} \ a_{31}&a_{32} end{vmatrix}; $$

$$ M_{21} = begin{vmatrix} a_{12}&a_{13} \ a_{32}&a_{33} end{vmatrix}; M_{22} = begin{vmatrix} a_{11}&a_{13} \ a_{31}&a_{33} end{vmatrix}; M_{33} = begin{vmatrix} a_{11}&a_{12} \ a_{21}&a_{22} end{vmatrix}; $$

$$ M_{31} = begin{vmatrix} a_{12}&a_{13} \ a_{22}&a_{23} end{vmatrix}; M_{32} = begin{vmatrix} a_{11}&a_{13} \ a_{21}&a_{23} end{vmatrix}; M_{33} = begin{vmatrix} a_{11}&a_{12} \ a_{21}&a_{22} end{vmatrix}; $$

Аналогично миноры находятся для любого порядка. В частности для матрицы второго порядка в определитель будет входить одно число.

Как найти?

Чтобы найти миноры матрицы $ M_{ij} $ нужно составить определители, полученные путем вычеркивания из матрицы $ A $ соответствующие строку и столбец.

Пример для матрицы второго порядка:

$$ M_{12} = begin{pmatrix} {a_{11}} & {a_{12}} \ a_{21}&{a_{22}} end{pmatrix} = a_{21} $$

Пример для матрицы третьего порядка:

$$ M_{12} = begin{pmatrix} {a_{11}}&{a_{12}}&{a_{13}} \ a_{21}&{a_{22}}&a_{23} \ a_{31}&{a_{32}}&a_{33} end{pmatrix} = begin{vmatrix} a_{21}&a_{23} \ a_{31}&a_{33} end{vmatrix} = a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31} $$

Если полученный определитель:

1. Первого порядка, то записываем оставшееся число
2. Второго или третьего порядка, то вычисляем его по правилу треугольников
3. Четвертого и выше порядка, то выполняем разложение по строке (столбцу), либо методом Гаусса

Примеры решений

Пример 1

Определить миноры матрицы: $$ A = begin{pmatrix} 2&1 \ 0&5 end{pmatrix} $$

Решение

Вычеркиваем строку и столбец, которые соответствуют индексу при $M$: $$ M_{11} = begin{pmatrix} {2}&{1} \ {0}&5 end{pmatrix} = 5 $$ $$ M_{12} = begin{pmatrix} {2}&{1} \ 0&{5} end{pmatrix} = 0 $$ $$ M_{21} = begin{pmatrix} {2}&1 \ {0}&{5} end{pmatrix} = 1 $$ $$ M_{22} = begin{pmatrix} 2&{1} \ {0}&{5} end{pmatrix} = 2 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ M_{11} = 5; M_{12} = 0; M_{21} = 1; M_{22} = 2 $$

Пример 2

Найти миноры элементов на главной диагонали матрицы: $$ A = begin{pmatrix} 2&3&1 \ 1&-2&-3 \ 0&1&2 end{pmatrix} $$

Решение

Рассчитываем миноры: $$ M_{11} = begin{pmatrix} {2}&{3}&{1} \ {1}&-2&-3 \ {0}&1&2 end{pmatrix} = begin{vmatrix} -2&-3 \ 1&2 end{vmatrix} = -4+3 = -1 $$ $$ M_{22} = begin{pmatrix} 2&{3}&1 \ {1}&{-2}&{-3} \ 0&{1}&2 end{pmatrix} = begin{vmatrix} 2&1 \ 0&2 end{vmatrix} = 4-0 = 4 $$ $$ M_{33} = begin{pmatrix} 2&3&{1} \ 1&-2&{-3} \ {0}&{1}&{2} end{pmatrix} = begin{vmatrix} 2&3 \ 1&-2 end{vmatrix} = -4-3 = -7 $$

Ответ

$$ M_{11} = -1; M_{22} = 4; M_{33} = -7 $$

Минор и алгебраическое дополнение матрицы.

Определение.

Минором M_ij к элементу a_ij определителя n-го порядка называется определитель (n – 1)-го порядка, полученный из исходного определителя вычеркиванием i-той строки и j-того столбца.

Пример 1.

Найти миноры матрицы A

Решение:

M11 =

5 7 1 -4 1 0 2 0 3

=

1 0 0 3

M11 =

1 0 0 3

= 1·3 – 0·0 = 3 – 0 = 3

M12 =

-4 0 2 3

= -4·3 – 0·2 = -12 -0 = -12

M13 =

-4 1 2 0

= -4·0 – 1·2 = 0 – 2 = -2

M21 =

7 1 0 3

= 7·3 – 1·0 = 21 – 0 = 21

M22 =

5 1 2 3

= 5·3 – 1·2 = 15 – 2 = 13

M23 =

5 7 2 0

= 5·0 – 7·2 = 0 – 14 = -14

M31 =

7 1 1 0

= 7·0 – 1·1 = 0 – 1 = -1

M32 =

5 1 -4 0

= 5·0 – 1·(-4) = 0 + 4 = 4

M33 =

5 7 -4 1

= 5·1 – 7·(-4) = 5 + 28 = 33

Определение.

Алгебраическим дополнением A_ij к элементу a_ij определителя n-го порядка называется число

A_ij = (-1)^{i + j} · M_ij

Свойства алгебраического дополнения матрицы

• Сумма произведений элементов строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения к элементам этой строки (столбца) равна определителю матрицы:

  n
  Σ	aij·Aij = det(A)
  j = 1

• Сумма произведений элементов строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения к элементам другой строки (столбца) равна нулю:

  n
  Σ	akj·Aij = 0           (i ≠ k)
  j = 1

• Сумма произведений элементов “произвольной” строки на алгебраические дополнения к элементам i-той строки определителя равна определителю, в котором вместо i-той строки записана “произвольная” строка.

Пример 2.

Найти алгебраические дополнения матрицы A

Решение:

A₁₁ = (-1)^{1 + 1}·M₁₁ = (-1)²·

10
03

= 1·3 – 0·0 = 3 – 0 = 3

A₁₂ = (-1)^{1 + 2}·M₁₂ = (-1)³·

-40
23

= -(-4·3 – 0·2) = -(-12 -0) = 12

A₁₃ = (-1)^{1 + 3}·M₁₃ = (-1)⁴·

-41
20

= -4·0 – 1·2 = 0 – 2 = -2

A₂₁ = (-1)^{2 + 1}·M₂₁ = (-1)³·

71
03

= -(7·3 – 1·0) = -(21 – 0) = -21

A₂₂ = (-1)^{2 + 2}·M₂₂ = (-1)⁴·

51
23

= 5·3 – 1·2 = 15 – 2 = 13

A₂₃ = (-1)^{2 + 3}·M₂₃ = (-1)⁵·

57
20

= -(5·0 – 7·2) = -(0 – 14) = 14

A₃₁ = (-1)^{3 + 1}·M₃₁ = (-1)⁴·

71
10

= 7·0 – 1·1 = 0 – 1 = -1

A₃₂ = (-1)^{3 + 2}·M₃₂ = (-1)⁵·

51
-40

= -(5·0 – 1·(-4)) = -(0 + 4) = -4

A₃₃ = (-1)^{3 + 3}·M₃₃ = (-1)⁶·

57
-41

= 5·1 – 7·(-4) = 5 + 28 = 33