Дроби делятся на сократимые и несократимые дроби. Рассмотрим подробнее какую дробь называются сократимой и какую дробь называют несократимой.
Сократимая дробь, определение и примеры.
Определение:
Сократимая дробь – это дробь у которой числитель и знаменатель имеют общий положительный делитель не равный нулю и единице.
Например:
Докажите, что дробь (frac{20}{35}) является сократимой.
Решение:
Распишем числитель и знаменатель на простые множители, найдем их наибольший общий делитель (НОД).
20=2⋅2⋅5
35=5⋅7
Так как у числителя и знаменателя повторяется множитель 5, это число и будет их наибольшим общим делителем.
НОД(20, 35)=5
Сократим дробь на НОД.
(frac{20}{35}=frac{4 times 5}{7 times 5}=frac{4}{7})
Из сократимой дроби (frac{20}{35}) получили несократимую дробь (frac{4}{7}).
Несократимая дробь, определение и примеры.
Какие же дроби несократимые или что значит несократимая дробь? Ответ на вопрос кроется в определении.
Определение:
Несократимая дробь – это дробь у которой числитель и знаменатель имеют только один общий делитель равный единице, то есть числитель и знаменатель являются взаимно-простыми числами.
Рассмотрим пример:
Докажите, что дробь (frac{137}{149}) является несократимой дробью.
Решение:
Число 137 является простым, так как оно делиться на 1 и на само себя.
Число 149 является простым, так как оно делиться на 1 и на само себя.
У числителя 137 и знаменателя 149 нет общих делителей, поэтому дробь (frac{137}{149}) является несократимой.
Правило несократимой дроби.
Правило:
- Нужно расписать на простые множители числитель и знаменатель.
- Нужно посмотреть есть ли у числителя и знаменателя общие множители. Если множители есть, то сократить дробь.
- Оставшиеся множители перемножить и записать полученную несократимую дробь.
Пример:
Запишите сократимую дробь в виде несократимой обыкновенной дроби (frac{55}{100}).
Решение:
По правилу несократимой дроби распишем числитель и знаменатель на простые множители.
55=5⋅11
100=5⋅2⋅2⋅5
Видим, что у числителя и знаменателя есть общий множитель равный 5, поэтому сокращаем дробь на 5.
(frac{55}{100}=frac{5 times 11}{5 times 20}=frac{11}{20})
Ответ: получили несократимую дробь (frac{11}{20}).
Неправильные сократимые и несократимые дроби.
Чтобы перевести неправильную сократимую дробь в неправильную несократимую дробь, мы пользуемся теми же правилами, что и для правильной сократимой дроби. Рассмотрим пример:
Запишите неправильную сократимую дробь в виде неправильной несократимой дроби (frac{32}{20}).
Решение:
Разложим числитель и знаменатель на простые множители.
32=2⋅2⋅2⋅2⋅2
20=5⋅2
Общий множитель у числителя и знаменателя равен 2. Распишем
(frac{32}{20}=frac{2 times 2 times 2 times 2 times 2}{5 times 2}=frac{16 times 2}{5 times 2}=frac{16}{5})
Ответ: получили несократимую неправильную дробь (frac{16}{5}).
Вопросы по теме:
Как узнать сократима ли дробь?
Ответ: чтобы узнать сократима ли дробь для начала нужно расписать числитель и знаменатель на простые множители, а потом посмотреть если у них общие множители, если есть, то дробь сократима, иначе – несократима. Рассмотрим пример.
Определите сократима ли дробь (frac{16}{25}).
Решение:
Распишем числитель и знаменатель на простые множители.
16=2⋅2⋅2⋅2
25=5⋅5
Видно, что у числителя и знаменателя нет общих множителей (одинаковых множителей), следовательно, дробь несократима.
Пример:
Сколько несократимых правильных дробей: а) (frac{8}{25}) б) (frac{6}{4}) в) (frac{13}{5}) г) (frac{36}{44}).
Решение:
а) У числителя и знаменателя дроби (frac{8}{25}) (8=2⋅2⋅2, 25=5⋅5) нет общих множителей, поэтому это правильная несократимая дробь. По условию это дробь нам подходит.
б) У числителя и знаменателя дроби (frac{6}{4}) (6=2⋅3, 4=2⋅2, (frac{6}{4}=frac{2 times 3}{2 times 2}=frac{3}{2}) ) есть общий множитель равный 2, поэтому это дробь сократимая и еще неправильная, потому что числитель больше знаменателя. По условию задания эта дробь нам не подходит.
в) Числитель и знаменатель дроби (frac{13}{5}), 5 и 13 простые числа, поэтому общих множителей кроме 1 у них нет, дробь несократимая. Так как числитель больше знаменателя дробь неправильная, поэтому по условию задания нам она не подходит.
г) Числитель и знаменатель дроби (frac{36}{44}) (36=2⋅2⋅3⋅3, 44=2⋅2⋅11) имеют общий множитель равный 4, поэтому дробь (frac{36}{44}=frac{4 times 9}{4 times 11}=frac{9}{11}) является сократимой, правильной. Нам по условию задания не подходит.
Ответ: (frac{8}{25}) несократимая, правильная дробь.
Пример:
Сколько имеется правильных несократимых дробей со знаменателем: а) 145 б) 123 в) 133 г) 115.
Решение:
а) Распишем на простые множители знаменатель 145:
145=5⋅29
Нужно исключить все числа от 1 до 144 кратные 5 и 29.
На 5 делится: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110, 115, 120, 125, 130, 135, 140.
На 29 делится: 29, 58, 87, 116.
В сумме получаем 32 числа, которые имеют общий множитель с число 145. Всего у нас чисел 144.
144-32=112
Ответ: 112 правильных несократимых дробей со знаменателем 145.
б) Распишем на простые множители знаменатель 123:
123=3⋅41
В диапазоне чисел от 1 до 122 исключаем числа кратные 3 и 41.
На число 3 делится, поэтому не могут находиться в числителе: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75, 78, 81, 84, 87, 90, 93, 96, 99, 102, 105, 108, 111, 114, 117, 120.
На 41 делится: 41, 82.
В сумме получаем 40+2=42 числа, которые имеют общий множитель с число 123, поэтому мы их исключим. Всего у нас чисел 122.
122-42=80
Ответ: 80 правильных несократимых дробей со знаменателем 123.
в) Распишем на простые множители знаменатель 133:
133=7⋅19
Числа от 1 до 132 исключаем, они делятся на 7 и 19, для того чтобы получить все несократимые дроби от (frac{1}{133}) до (frac{132}{133}).
Число 7 кратно: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 105, 112, 119, 126. Всего 18 чисел.
Число 19 кратно:19, 38, 57, 76, 95, 114. Всего 6 чисел.
132-18-6=108
Ответ: 108 правильных несократимых дробей со знаменателем 133.
г) Распишем на простые множители знаменатель 115:
115=5⋅23
Числа от 1 до 114 исключаем.
На 5 делится: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110. Всего 22 числа.
На 23 делится число: 23, 46, 96, 92. Всего 4 чисел.
114-22-4=88
Ответ: 88 правильных несократимых дробей со знаменателем 115.
Нестандартная задача по математике:
Когда нельзя сокращать сократимую обыкновенную дробь?
Ответ: когда сократимая обыкновенная дробь является номером углового дома или квартала.
а) Найдите все несократимые дроби со знаменателем 60, большие
1
3
, но меньшие
1
2
. Сколько таких дробей?
б) Найдите все несократимые дроби с числителем 60, больше
1
3
, но меньшие
1
2
. Сколько таких дробей?
reshalka.com
Математика 5 класс Никольский. Номер №819
Решение а
1
3
=
1
∗
20
3
∗
20
=
20
60
1
2
=
1
∗
30
2
∗
30
=
30
60
Из дробей, заключенных между дробями
20
60
и
30
60
выберем несократимые. Это дроби:
23
60
и
29
60
Ответ:
1
3
<
23
60
,
29
60
<
2
3
Решение б
1
3
=
1
∗
60
3
∗
60
=
60
180
1
2
=
1
∗
60
2
∗
60
=
60
120
У дробей, больших
1
3
с числителем 60, знаменатель должен быть меньше 180, а у дробей, меньших
1
2
с числителем 60, знаменатель должен быть больше 120. Из дробей, заключенных между дробями
60
180
и
60
120
выберем несократимые. Это дроби:
60
179
,
60
173
,
60
169
,
60
167
,
60
163
,
60
161
,
60
157
,
60
151
,
60
149
,
60
143
,
60
139
,
60
137
,
60
133
,
60
131
,
60
127
,
60
121
.
Ответ:
1
3
<
60
179
,
60
173
,
60
169
,
60
167
,
60
163
,
60
161
,
60
157
,
60
151
,
60
149
,
60
143
,
60
139
,
60
137
,
60
133
,
60
131
,
60
127
,
60
121
<
2
3
.
Данная статья посвящена рассмотрению сократимых и несократимых дробей. Приведем примеры, дадим определения сократимых и несократимых дробей. Выясним, как определить, можно ли сократить конкретную дробь.
Сократимые и несократимые дроби
Все обыкновенные дроби вида ab можно разделить на сократимые и несократимые. Разделение объясняется соответственно наличием или отсутствием общих для числителя и знаменателя дроби делителей. Приведем определения.
Обыкновенная сократимая дробь – такая дробь, для числителя и знаменателя которой существует положительный общий делитель, отличный от единицы.
Обыкновенная несократимая дробь – такая дробь, числитель и знаменатель которой являются взаимно простыми числами, то есть имеют единственный общий положительный делитель, равный единице.
Приведем примеры сократимых и несократимых дробей.
Дробь 1545 – сократимая. Действительно, как числитель, так и знаменатель можно разделить на 5. Другими словами, числитель и знаменатель этой дроби имеют общий делитель.
Другие примеры сократимых дробей – 1212, 366, 832
Дробь 712 – несократимая, так как ее числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами.
Другие несократимые дроби – 914, 1112, 833.
Проверка дроби на сократимость
Часто с первого взгляда на конкретную дробь сложно сказать, является она сократимой или несократимой. Конечно, исключения составляют простые случаи, когда по признакам делимости сразу можно выявить общий делитель числителя и знаменателя.
К примеру, по признаку делимости на 10 сразу можно сказать, что дробь 470540 сократима, так как числитель и знаменатель имеют общий делитель, равный 10. Так же, дробь 384428 является сократимой по признаку делимости на 2.
Но как быть с более сложными случаями, когда признаки делимости не могут помочь? Например, когда нужно узнать, сократима ли дробь 288329342439. Для таких случаев существует общий метод проверки дроби на сократимость.
Вычисляем наибольший общий делитель числителя и знаменателя дроби.
- Если НОД равен единице, то дробь является несократимой.
- Если НОД отличен от единицы, то дробь сократима.
Посмотрим на практическое применение этого правила.
Выясним, сократима ли обыкновенная дробь 495539. Для этого вычислим НОД числителя и знаменателя, применяя алгоритм Евклида.
539=495·1+44495=44·11+1144=11·4
Отсюда НОД(495, 539)=11. Следовательно, числитель и знаменатель дроби не являются взаимно простыми числами, и дробь сократима.
В математических выкладках, если при вычислениях получилась сократимая дробь, принято производить ее сокращение и записывать в виде несократимой дроби.
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Обыкновенные дроби
Сравнение дробей
Исследуем
818. а) Найдите все дроби со знаменателем 10, которые больше 5⁄9, но меньше 7⁄9.
б) Найдите все дроби со знаменателем 13, которые больше 1⁄3, но меньше 2⁄3.
а) НОК (9, 10) = 90
5⁄9 = 5•10⁄9•10 = 50⁄90
7⁄9 = 7•10⁄9•10 = 70⁄90
Из дробей со знаменателем 90, заключенных между дробями 50⁄90 и 70⁄90 выберем те, числитель которых делится на 9. Это дроби:
54⁄90 = 6•9⁄10•9 = 6⁄10
63⁄90 = 7•9⁄10•9 = 7⁄10
О т в е т: 5⁄9 < 6⁄10, 7⁄10 < 7⁄9.
б) НОК (3, 13) = 39
1⁄3 = 1•13⁄3•13 = 13⁄39
2⁄3 = 2•13⁄3•13 = 26⁄39
Из дробей со знаменателем 39, заключенных между дробями 13⁄39 и 26⁄39 выберем те, числитель которых делится на 3. Это дроби:
15⁄39 = 5•31⁄3•3 = 5⁄13
18⁄39 = 6•31⁄3•3 = 6⁄13
21⁄39 = 7•31⁄3•3 = 7⁄13
24⁄39 = 8•31⁄3•3 = 8⁄13
О т в е т: 1⁄3 < 5⁄13, 6⁄13, 7⁄13, 8⁄13 < 2⁄3.
819. а) Найдите все несократимые дроби со знаменателем 60, большие 1⁄3, но меньшие 1⁄2. Сколько таких дробей?
б) Найдите все несократимые дроби с числителем 60, больше 1⁄3, но меньшие 1⁄2. Сколько таких дробей?
а) 1⁄3 = 1•20⁄3•20 = 20⁄60
1⁄2 = 1•30⁄2•30 = 30⁄60
Из дробей, заключенных между дробями 20⁄60 и 30⁄60 выберем несократимые. Это дроби: 23⁄60 и 29⁄60.
О т в е т: 1⁄3 < 23⁄60, 29⁄60 < 1⁄2.
б) 1⁄3 = 1•60⁄3•60 = 60⁄180
1⁄2 = 1•60⁄2•60 = 60⁄120
У дробей, больших 1⁄3 с числителем 60, знаменатель должен быть меньше 180, а у дробей, меньших 1⁄2 с числителем 60, знаменатель должен быть больше 120. Из дробей, заключенных между дробями 60⁄180 и 60⁄120 выберем несократимые. Это дроби: 60⁄179, 60⁄173, 60⁄169, 60⁄167, 60⁄163, 60⁄161, 60⁄157, 60⁄151, 60⁄149, 60⁄143, 60⁄139, 60⁄137, 60⁄133, 60⁄131, 60⁄127, 60⁄121.
Ответ: 1⁄3 < 60⁄179, 60⁄173, 60⁄169, 60⁄167, 60⁄163, 60⁄161, 60⁄157, 60⁄151, 60⁄149, 60⁄143, 60⁄139, 60⁄137, 60⁄133, 60⁄131, 60⁄127, 60⁄121 < 1⁄2.
Ответы по математике. 5 класс. Учебник. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В.
Математика. 5 класс
Знаток
(360),
закрыт
4 года назад
Тамара
Мастер
(1391)
12 лет назад
Правильная дробь – когда числитель меньше знаменателя. То есть всего будет 144 правильных дроби.
Может быть легче сначала найти сократимые?
Число145=5*29. Значит сократимыми будут те дроби, числитель которых делится на 5 и на 29.
Кратные 5: 5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70,75,80,85,90,95,100, 105,110,115,120, 125, 130, 135, 140. – всего 28 чисел.
Кратные 29: 29, 58,87,116 – всего 4 числа
Итого 28+4=32 дроби будут сократимы
Значит 144-32=112 дробей будут несократимы
