Как найти все отрицательные корни уравнения

Найдите наибольший отрицательный корень уравнения

Найдите наибольший отрицательный корень уравнения:

Решением уравнения cosx=a являются два корня:

Определение: Пусть число a по модулю не превосходит единицы. Арккосинусом числа a называется угол x, лежащий в пределах от 0 до Пи, косинус которого равен a.

Найдём наибольший отрицательный корень. Как это сделать? Подставим различные значения n в полученные корни, вычислим и выберем наибольший отрицательный.

Общая рекомендация для всех подобных задач: для начала берите диапазон n от –2 до 2. Если требуемое значение выявить не удалось, подставляем следующие значения x: –3 и 3, –4 и 4 и так далее. Вычисляем:

При n = – 2 х₁= 3 (– 2) – 4,5 = – 10,5 х₂= 3 (– 2) – 5,5 = – 11,5

При n = – 1 х₁= 3 (– 1) – 4,5 = – 7,5 х₂= 3 (– 1) – 5,5 = – 8,5

При n = 0 х₁= 3∙0 – 4,5 = – 4,5 х₂= 3∙0 – 5,5 = – 5,5

При n = 1 х₁= 3∙1 – 4,5 = – 1,5 х₂= 3∙1 – 5,5 = – 2,5

При n = 2 х₁= 3∙2 – 4,5 = 1,5 х₂= 3∙2 – 5,5 = 0,5

Получили, что наибольший отрицательный корень равен –1,5

Найдите наименьший положительный корень уравнения:

Решением уравнения sin x = a являются два корня:

Либо (он объединяет оба указанные выше):

Определение: Пусть число a по модулю не превосходит единицы. Арксинусом числа a называется угол x, лежащий в пределах от –90 о до 90 о синус которого равен a.

Значит
Выразим x (умножим на 4 и разделим на Пи):

Найдём наименьший положительный корень. Здесь сразу видно, что при подстановке отрицательных значений n получим отрицательные корни. Поэтому будем подставлять n=0,1,2 …

При n = 0 х = (– 1) 0 + 4∙0 + 3 = 4

При n = 1 х = (– 1) 1 + 4∙1 + 3 = 6

При n = 2 х = (– 1) 2 + 4∙2 + 3 = 12

Проверим при n=–1 х=(–1) –1 + 4∙(–1) + 3 = –2

Значит наименьший положительный корень равен 4.

Найдите наименьший положительный корень уравнения:

Решением уравнения tg x = a является корень:

Определение: Арктангенсом числа a (a – любое число) называется угол x принадлежащий интервалу – 90 о до 90 о , тангенс которого равен a.

Значит

Выразим x (умножим на 6 и разделим на Пи):

Найдём наименьший положительный корень. Подставим значения n=0,1,2,3 … Отрицательные значения подставлять нет смысла, так как видно, что получим отрицательные корни:

Таким образом, наименьший положительный корень равен 0,25.

Квадратные уравнения и квадратичные неравенства с параметрами

Дорогой друг! Если ты никогда не решал задач с параметрами – прочитай статьи «Что такое параметр» и «Графический способ решения задач с параметрами». Квадратные уравнения, а тем более неравенства с параметрами только на первый взгляд кажутся простыми. Чтобы уверенно решать их, надо знать определенные приемы. О некоторых мы расскажем.

Разберем сначала подготовительные задачи. А в конце – реальную задачу ЕГЭ.

1. Найдите все значения a, при которых уравнение не имеет действительных корней.

Всегда ли это уравнение является квадратным относительно переменной х? – Нет, не всегда. В случае, когда коэффициент при равен нулю, оно станет линейным.

Рассмотрим два случая – когда это уравнение квадратное и когда оно линейное.

Тогда уравнение примет вид 2 = 0. Такое уравнение не имеет действительных корней, что удовлетворяет условию задачи.

Уравнение будет квадратным. Квадратное уравнение не имеет действительных корней тогда и только тогда, когда его дискриминант отрицательный.

Если и – корни квадратного уравнения
, то по теореме Виета:

Решим первое неравенство системы

Квадратный трехчлен в левой части не имеет корней, так как дискриминант равен -32, то есть отрицателен. Поэтому неравенство будет выполняться для всех действительных значений .

Возведем второе уравнение системы в квадрат:

Из этих двух уравнений выразим сумму квадратов и .

Значит, сумму квадратов корней уравнения можно выразить через параметр

График функции — парабола, ее ветви направлены вверх, минимум будет достигаться в ее вершине. Найдем вершину параболы:

3) Найдите все значения , при каждом из которых все решения уравнения

Как и в первой задаче, уравнение является квадратным, кроме случая, когда . Рассмотрим этот случай отдельно

1) . Получим линейное уравнение

У него единственный корень, причем положительный. Это удовлетворяет условию задачи.

2) При уравнение будет квадратным. Нам надо, чтобы решения существовали, причем были положительными. Раз решения есть, то .

Покажем один из приемов решения квадратичных уравнений и неравенств с параметрами. Он основан на следующих простых утверждениях:

— Оба корня квадратного уравнения и положительны тогда и только тогда, когда их сумма положительна и произведение положительно.

Очевидно, что сумма и произведение двух положительных чисел также положительны. И наоборот – если сумма и произведение двух чисел положительны, то и сами числа положительны.

— Оба корня квадратного уравнения и отрицательны тогда и только тогда, когда их сумма отрицательна, а произведение положительно.

Корни квадратного уравнения и имеют разные знаки тогда и только тогда, когда их произведение отрицательно.

Сумма и произведение корней входят в формулировку теоремы Виета, которой мы и воспользуемся. Получим

Второе и третье неравенства имеют одинаковое решение . Решение первого неравенства:
.

С учетом пункта 1 получим ответ

4. При каких значениях параметра a уравнение

имеет единственное решение?

Уравнение является показательным, причем однородным. Мы умеем решать такие уравнения! Разделим обе части на .

Сделаем замену

Для того, чтобы исходное уравнение имело единственное решение, нужно, чтобы уравнение относительно t имело ровно один положительный корень.

1) В случае уравнение будет линейным

Значит, подходит. В этом случае уравнение имеет единственный положительный корень.

2) Если , уравнение будет квадратным.

Дискриминант является полным квадратом и поэтому всегда неотрицателен. Уравнение имеет либо один, либо два корня. В этом случае несложно найти корни в явном виде.

Один корень получился не зависящим от параметра, причем положительным. Это упрощает задачу.

Для того, чтобы уравнение имело единственный положительный корень, нужно, чтобы либо второй был отрицательным, либо равным нулю, либо чтобы корни совпадали. Рассмотрим все случаи.

Объединив все случаи, получим ответ.

И наконец – реальная задача ЕГЭ.

5. При каких значениях a система имеет единственное решение?

Решением квадратного неравенства может быть:

В каких случаях система двух квадратных неравенств имеет единственное решение:

1) единственная общая точка двух лучей-решений ( или интервалов-решений)

2) одно из неравенств имеет решение – точку, которая является решением второго неравенства

Рассмотрим первый случай.

Если является решением 1 и 2 уравнений, то является решением уравнения (вытекает из второго первое) ⇒ или

Если , при этом система примет вид:

Второй корень первого уравнения:

Второй корень второго первого:

Если , при этом система примет вид:

– бесконечно много решений, не подходит.

Рассмотрим второй случай.

– решением является точка, если – является решением второго неравенства.

– решением является точка, если – не является решением первого неравенства.

Общие сведения об уравнениях

Уравнения — одна из сложных тем для усвоения, но при этом они являются достаточно мощным инструментом для решения большинства задач.

С помощью уравнений описываются различные процессы, протекающие в природе. Уравнения широко применяются в других науках: в экономике, физике, биологии и химии.

В данном уроке мы попробуем понять суть простейших уравнений, научимся выражать неизвестные и решим несколько уравнений. По мере усвоения новых материалов, уравнения будут усложняться, поэтому понять основы очень важно.

Что такое уравнение?

Уравнение — это равенство, содержащее в себе переменную, значение которой требуется найти. Это значение должно быть таким, чтобы при его подстановке в исходное уравнение получалось верное числовое равенство.

Например выражение 3 + 2 = 5 является равенством. При вычислении левой части получается верное числовое равенство 5 = 5 .

А вот равенство 3 + x = 5 является уравнением, поскольку содержит в себе переменную x , значение которой можно найти. Значение должно быть таким, чтобы при подстановке этого значения в исходное уравнение, получилось верное числовое равенство.

Другими словами, мы должны найти такое значение, при котором знак равенства оправдал бы свое местоположение — левая часть должна быть равна правой части.

Уравнение 3 + x = 5 является элементарным. Значение переменной x равно числу 2. При любом другом значении равенство соблюдáться не будет

Говорят, что число 2 является корнем или решением уравнения 3 + x = 5

Корень или решение уравнения — это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Корней может быть несколько или не быть совсем. Решить уравнение означает найти его корни или доказать, что корней нет.

Переменную, входящую в уравнение, иначе называют неизвестным. Вы вправе называть как вам удобнее. Это синонимы.

Примечание. Словосочетание «решить уравнение» говорит самó за себя. Решить уравнение означает «уравнять» равенство — сделать его сбалансированным, чтобы левая часть равнялась правой части.

Выразить одно через другое

Изучение уравнений по традиции начинается с того, чтобы научиться выражать одно число, входящее в равенство, через ряд других. Давайте не будем нарушать эту традицию и поступим также.

Рассмотрим следующее выражение:

Данное выражение является суммой чисел 8 и 2. Значение данного выражения равно 10

Получили равенство. Теперь можно выразить любое число из этого равенства через другие числа, входящие в это же равенство. К примеру, выразим число 2.

Чтобы выразить число 2, нужно задать вопрос: «что нужно сделать с числами 10 и 8, чтобы получить число 2». Понятно, что для получения числа 2, нужно из числа 10 вычесть число 8.

Так и делаем. Записываем число 2 и через знак равенства говорим, что для получения этого числа 2 мы из числа 10 вычли число 8:

Мы выразили число 2 из равенства 8 + 2 = 10 . Как видно из примера, ничего сложного в этом нет.

При решении уравнений, в частности при выражении одного числа через другие, знак равенства удобно заменять на слово «есть». Делать это нужно мысленно, а не в самом выражении.

Так, выражая число 2 из равенства 8 + 2 = 10 мы получили равенство 2 = 10 − 8 . Данное равенство можно прочесть так:

2 есть 10 − 8

То есть знак = заменен на слово «есть». Более того, равенство 2 = 10 − 8 можно перевести с математического языка на полноценный человеческий язык. Тогда его можно будет прочитать следующим образом:

Число 2 есть разность числа 10 и числа 8

Число 2 есть разница между числом 10 и числом 8.

Но мы ограничимся лишь заменой знака равенства на слово «есть», и то будем делать это не всегда. Элементарные выражения можно понимать и без перевода математического языка на язык человеческий.

Вернём получившееся равенство 2 = 10 − 8 в первоначальное состояние:

Выразим в этот раз число 8. Что нужно сделать с остальными числами, чтобы получить число 8? Верно, нужно из числа 10 вычесть число 2

Вернем получившееся равенство 8 = 10 − 2 в первоначальное состояние:

В этот раз выразим число 10. Но оказывается, что десятку выражать не нужно, поскольку она уже выражена. Достаточно поменять местами левую и правую часть, тогда получится то, что нам нужно:

Пример 2. Рассмотрим равенство 8 − 2 = 6

Выразим из этого равенства число 8. Чтобы выразить число 8 остальные два числа нужно сложить:

Вернем получившееся равенство 8 = 6 + 2 в первоначальное состояние:

Выразим из этого равенства число 2. Чтобы выразить число 2, нужно из 8 вычесть 6

Пример 3. Рассмотрим равенство 3 × 2 = 6

Выразим число 3. Чтобы выразить число 3, нужно 6 разделить 2

Вернем получившееся равенство в первоначальное состояние:

Выразим из этого равенства число 2. Чтобы выразить число 2, нужно 6 разделить 3

Пример 4. Рассмотрим равенство

Выразим из этого равенства число 15. Чтобы выразить число 15, нужно перемножить числа 3 и 5

Вернем получившееся равенство 15 = 3 × 5 в первоначальное состояние:

Выразим из этого равенства число 5. Чтобы выразить число 5, нужно 15 разделить 3

Правила нахождения неизвестных

Рассмотрим несколько правил нахождения неизвестных. Возможно, они вам знакомы, но не мешает повторить их ещё раз. В дальнейшем их можно будет забыть, поскольку мы научимся решать уравнения, не применяя эти правила.

Вернемся к первому примеру, который мы рассматривали в предыдущей теме, где в равенстве 8 + 2 = 10 требовалось выразить число 2.

В равенстве 8 + 2 = 10 числа 8 и 2 являются слагаемыми, а число 10 — суммой.

Чтобы выразить число 2, мы поступили следующим образом:

То есть из суммы 10 вычли слагаемое 8.

Теперь представим, что в равенстве 8 + 2 = 10 вместо числа 2 располагается переменная x

В этом случае равенство 8 + 2 = 10 превращается в уравнение 8 + x = 10 , а переменная x берет на себя роль так называемого неизвестного слагаемого

Наша задача найти это неизвестное слагаемое, то есть решить уравнение 8 + x = 10 . Для нахождения неизвестного слагаемого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

Что мы в принципе и сделали, когда выражали двойку в равенстве 8 + 2 = 10 . Чтобы выразить слагаемое 2, мы из суммы 10 вычли другое слагаемое 8

А сейчас, чтобы найти неизвестное слагаемое x , мы должны из суммы 10 вычесть известное слагаемое 8:

Если вычислить правую часть получившегося равенства, то можно узнать чему равна переменная x

Мы решили уравнение. Значение переменной x равно 2 . Для проверки значение переменной x отправляют в исходное уравнение 8 + x = 10 и подставляют вместо x. Так желательно поступать с любым решённым уравнением, поскольку нельзя быть точно уверенным, что уравнение решено правильно:

В результате получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Это же правило действовало бы в случае, если неизвестным слагаемым было бы первое число 8.

В этом уравнении x — это неизвестное слагаемое, 2 — известное слагаемое, 10 — сумма. Чтобы найти неизвестное слагаемое x , нужно из суммы 10 вычесть известное слагаемое 2

Вернемся ко второму примеру из предыдущей темы, где в равенстве 8 − 2 = 6 требовалось выразить число 8.

В равенстве 8 − 2 = 6 число 8 это уменьшаемое, число 2 — вычитаемое, число 6 — разность

Чтобы выразить число 8, мы поступили следующим образом:

То есть сложили разность 6 и вычитаемое 2.

Теперь представим, что в равенстве 8 − 2 = 6 вместо числа 8 располагается переменная x

В этом случае переменная x берет на себя роль так называемого неизвестного уменьшаемого

Для нахождения неизвестного уменьшаемого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

Что мы и сделали, когда выражали число 8 в равенстве 8 − 2 = 6 . Чтобы выразить уменьшаемое 8, мы к разности 6 прибавили вычитаемое 2.

А сейчас, чтобы найти неизвестное уменьшаемое x , мы должны к разности 6 прибавить вычитаемое 2

Если вычислить правую часть, то можно узнать чему равна переменная x

Теперь представим, что в равенстве 8 − 2 = 6 вместо числа 2 располагается переменная x

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного вычитаемого

Для нахождения неизвестного вычитаемого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

Что мы и сделали, когда выражали число 2 в равенстве 8 − 2 = 6. Чтобы выразить число 2, мы из уменьшаемого 8 вычли разность 6.

А сейчас, чтобы найти неизвестное вычитаемое x, нужно опять же из уменьшаемого 8 вычесть разность 6

Вычисляем правую часть и находим значение x

Вернемся к третьему примеру из предыдущей темы, где в равенстве 3 × 2 = 6 мы пробовали выразить число 3.

В равенстве 3 × 2 = 6 число 3 — это множимое, число 2 — множитель, число 6 — произведение

Чтобы выразить число 3 мы поступили следующим образом:

То есть разделили произведение 6 на множитель 2.

Теперь представим, что в равенстве 3 × 2 = 6 вместо числа 3 располагается переменная x

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного множимого.

Для нахождения неизвестного множимого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное множимое, нужно произведение разделить на множитель.

Что мы и сделали, когда выражали число 3 из равенства 3 × 2 = 6 . Произведение 6 мы разделили на множитель 2.

А сейчас для нахождения неизвестного множимого x , нужно произведение 6 разделить на множитель 2.

Вычисление правой части позволяет нам найти значение переменной x

Это же правило применимо в случае, если переменная x располагается вместо множителя, а не множимого. Представим, что в равенстве 3 × 2 = 6 вместо числа 2 располагается переменная x .

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного множителя. Для нахождения неизвестного множителя предусмотрено такое же, что и для нахождения неизвестного множимого, а именно деление произведения на известный множитель:

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое.

Что мы и сделали, когда выражали число 2 из равенства 3 × 2 = 6 . Тогда для получения числа 2 мы разделили произведение 6 на множимое 3.

А сейчас для нахождения неизвестного множителя x мы разделили произведение 6 на множимое 3.

Вычисление правой части равенства позволяет узнать чему равно x

Множимое и множитель вместе называют сомножителями. Поскольку правила нахождения множимого и множителя совпадают, мы можем сформулировать общее правило нахождения неизвестного сомножителя:

Чтобы найти неизвестный сомножитель, нужно произведение разделить на известный сомножитель.

Например, решим уравнение 9 × x = 18 . Переменная x является неизвестным сомножителем. Чтобы найти этот неизвестный сомножитель, нужно произведение 18 разделить на известный сомножитель 9

Отсюда .

Решим уравнение x × 3 = 27 . Переменная x является неизвестным сомножителем. Чтобы найти этот неизвестный сомножитель, нужно произведение 27 разделить на известный сомножитель 3

Отсюда .

Вернемся к четвертому примеру из предыдущей темы, где в равенстве требовалось выразить число 15. В этом равенстве число 15 — это делимое, число 5 — делитель, число 3 — частное.

Чтобы выразить число 15 мы поступили следующим образом:

То есть умножили частное 3 на делитель 5.

Теперь представим, что в равенстве вместо числа 15 располагается переменная x

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного делимого.

Для нахождения неизвестного делимого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.

Что мы и сделали, когда выражали число 15 из равенства . Чтобы выразить число 15, мы умножили частное 3 на делитель 5.

А сейчас, чтобы найти неизвестное делимое x , нужно частное 3 умножить на делитель 5

Вычислим правую часть получившегося равенства. Так мы узнаем чему равна переменная x .

Теперь представим, что в равенстве вместо числа 5 располагается переменная x .

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного делителя.

Для нахождения неизвестного делителя предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.

Что мы и сделали, когда выражали число 5 из равенства . Чтобы выразить число 5, мы разделили делимое 15 на частное 3.

А сейчас, чтобы найти неизвестный делитель x , нужно делимое 15 разделить на частное 3

Вычислим правую часть получившегося равенства. Так мы узнаем чему равна переменная x .

Итак, для нахождения неизвестных мы изучили следующие правила:

• Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое;
• Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое;
• Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность;
• Чтобы найти неизвестное множимое, нужно произведение разделить на множитель;
• Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое;
• Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель;
• Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.

Компоненты

Компонентами мы будем называть числа и переменные, входящие в равенство

Так, компонентами сложения являются слагаемые и сумма

Компонентами вычитания являются уменьшаемое, вычитаемое и разность

Компонентами умножения являются множимое, множитель и произведение

Компонентами деления являются делимое, делитель и частное

В зависимости от того, с какими компонентами мы будем иметь дело, будут применяться соответствующие правила нахождения неизвестных. Эти правила мы изучили в предыдущей теме. При решении уравнений желательно знать эти правило наизусть.

Пример 1. Найти корень уравнения 45 + x = 60

45 — слагаемое, x — неизвестное слагаемое, 60 — сумма. Имеем дело с компонентами сложения. Вспоминаем, что для нахождения неизвестного слагаемого, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:

Вычислим правую часть, получим значение x равное 15

Значит корень уравнения 45 + x = 60 равен 15.

Чаще всего неизвестное слагаемое необходимо привести к виду при котором его можно было бы выразить.

Пример 2. Решить уравнение

Здесь в отличие от предыдущего примера, неизвестное слагаемое нельзя выразить сразу, поскольку оно содержит коэффициент 2. Наша задача привести это уравнение к виду при котором можно было бы выразить x

В данном примере мы имеем дело с компонентами сложения — слагаемыми и суммой. 2x — это первое слагаемое, 4 — второе слагаемое, 8 — сумма.

При этом слагаемое 2x содержит переменную x . После нахождения значения переменной x слагаемое 2x примет другой вид. Поэтому слагаемое 2x можно полностью принять за неизвестное слагаемое:

Теперь применяем правило нахождения неизвестного слагаемого. Вычитаем из суммы известное слагаемое:

Вычислим правую часть получившегося уравнения:

Мы получили новое уравнение . Теперь мы имеем дело с компонентами умножения: множимым, множителем и произведением. 2 — множимое, x — множитель, 4 — произведение

При этом переменная x является не просто множителем, а неизвестным множителем

Чтобы найти этот неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое:

Вычислим правую часть, получим значение переменной x

Для проверки найденный корень отправим в исходное уравнение и подставим вместо x

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Пример 3. Решить уравнение 3x + 9x + 16x = 56

Cразу выразить неизвестное x нельзя. Сначала нужно привести данное уравнение к виду при котором его можно было бы выразить.

Приведем подобные слагаемые в левой части данного уравнения:

Имеем дело с компонентами умножения. 28 — множимое, x — множитель, 56 — произведение. При этом x является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое:

Отсюда x равен 2

Равносильные уравнения

В предыдущем примере при решении уравнения 3x + 9x + 16x = 56 , мы привели подобные слагаемые в левой части уравнения. В результате получили новое уравнение 28x = 56 . Старое уравнение 3x + 9x + 16x = 56 и получившееся новое уравнение 28x = 56 называют равносильными уравнениями, поскольку их корни совпадают.

Уравнения называют равносильными, если их корни совпадают.

Проверим это. Для уравнения 3x + 9x + 16x = 56 мы нашли корень равный 2 . Подставим этот корень сначала в уравнение 3x + 9x + 16x = 56 , а затем в уравнение 28x = 56 , которое получилось в результате приведения подобных слагаемых в левой части предыдущего уравнения. Мы должны получить верные числовые равенства

Согласно порядку действий, в первую очередь выполняется умножение:

Подставим корень 2 во второе уравнение 28x = 56

Видим, что у обоих уравнений корни совпадают. Значит уравнения 3x + 9x + 16x = 56 и 28x = 56 действительно являются равносильными.

Для решения уравнения 3x + 9x + 16x = 56 мы воспользовались одним из тождественных преобразований — приведением подобных слагаемых. Правильное тождественное преобразование уравнения позволило нам получить равносильное уравнение 28x = 56 , которое проще решать.

Из тождественных преобразований на данный момент мы умеем только сокращать дроби, приводить подобные слагаемые, выносить общий множитель за скобки, а также раскрывать скобки. Существуют и другие преобразования, которые следует знать. Но для общего представления о тождественных преобразованиях уравнений, изученных нами тем вполне хватает.

Рассмотрим некоторые преобразования, которые позволяют получить равносильное уравнение

Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному.

Если из обеих частей уравнения вычесть одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному.

Другими словами, корень уравнения не изменится, если к обеим частям данного уравнения прибавить (или вычесть из обеих частей) одно и то же число.

Пример 1. Решить уравнение

Вычтем из обеих частей уравнения число 10

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

Получили уравнение 5x = 10 . Имеем дело с компонентами умножения. Чтобы найти неизвестный сомножитель x , нужно произведение 10 разделить на известный сомножитель 5.

Отсюда .

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 2

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Решая уравнение мы вычли из обеих частей уравнения число 10 . В результате получили равносильное уравнение . Корень этого уравнения, как и уравнения так же равен 2

Пример 2. Решить уравнение 4(x + 3) = 16

Раскроем скобки в левой части равенства:

Вычтем из обеих частей уравнения число 12

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

В левой части останется 4x , а в правой части число 4

Получили уравнение 4x = 4 . Имеем дело с компонентами умножения. Чтобы найти неизвестный сомножитель x , нужно произведение 4 разделить на известный сомножитель 4

Отсюда

Вернемся к исходному уравнению 4(x + 3) = 16 и подставим вместо x найденное значение 1

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Решая уравнение 4(x + 3) = 16 мы вычли из обеих частей уравнения число 12 . В результате получили равносильное уравнение 4x = 4 . Корень этого уравнения, как и уравнения 4(x + 3) = 16 так же равен 1

Пример 3. Решить уравнение

Раскроем скобки в левой части равенства:

Прибавим к обеим частям уравнения число 8

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

В левой части останется 2x , а в правой части число 9

В получившемся уравнении 2x = 9 выразим неизвестное слагаемое x

Отсюда

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 4,5

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Решая уравнение мы прибавили к обеим частям уравнения число 8. В результате получили равносильное уравнение . Корень этого уравнения, как и уравнения так же равен 4,5

Следующее правило, которое позволяет получить равносильное уравнение, выглядит следующим образом

Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.

То есть корень уравнения не изменится, если мы перенесем слагаемое из одной части уравнения в другую, изменив его знак. Это свойство является одним из важных и одним из часто используемых при решении уравнений.

Рассмотрим следующее уравнение:

Корень данного уравнения равен 2. Подставим вместо x этот корень и проверим получается ли верное числовое равенство

Получается верное равенство. Значит число 2 действительно является корнем уравнения .

Теперь попробуем поэкспериментировать со слагаемыми этого уравнения, перенося их из одной части в другую, изменяя знаки.

Например, слагаемое 3x располагается в левой части равенства. Перенесём его в правую часть, изменив знак на противоположный:

Получилось уравнение 12 = 9x − 3x . Приведем подобные слагаемые в правой части данного уравнения:

Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:

Отсюда x = 2 . Как видим, корень уравнения не изменился. Значит уравнения 12 + 3x = 9x и 12 = 9x − 3x являются равносильными.

На самом деле данное преобразование является упрощенным методом предыдущего преобразования, где к обеим частям уравнения прибавлялось (или вычиталось) одно и то же число.

Мы сказали, что в уравнении 12 + 3x = 9x слагаемое 3x было перенесено в правую часть, изменив знак. В реальности же происходило следующее: из обеих частей уравнения вычли слагаемое 3x

Затем в левой части были приведены подобные слагаемые и получено уравнение 12 = 9x − 3x. Затем опять были приведены подобные слагаемые, но уже в правой части, и получено уравнение 12 = 6x.

Но так называемый «перенос» более удобен для подобных уравнений, поэтому он и получил такое широкое распространение. Решая уравнения, мы часто будем пользоваться именно этим преобразованием.

Равносильными также являются уравнения 12 + 3x = 9x и 3x − 9x = −12 . В этот раз в уравнении 12 + 3x = 9x слагаемое 12 было перенесено в правую часть, а слагаемое 9x в левую. Не следует забывать, что знаки этих слагаемых были изменены во время переноса

Следующее правило, которое позволяет получить равносильное уравнение, выглядит следующим образом:

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение равносильное данному.

Другими словами, корни уравнения не изменятся, если обе его части умножить или разделить на одно и то же число. Это действие часто применяется тогда, когда нужно решить уравнение содержащее дробные выражения.

Сначала рассмотрим примеры, в которых обе части уравнения будут умножаться на одно и то же число.

Пример 1. Решить уравнение

При решении уравнений, содержащих дробные выражения, сначала принято упростить это уравнение.

В данном случае мы имеем дело именно с таким уравнением. В целях упрощения данного уравнения обе его части можно умножить на 8:

Мы помним, что для умножения дроби на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число. У нас имеются две дроби и каждая из них умножается на число 8. Наша задача умножить числители дробей на это число 8

Теперь происходит самое интересное. В числителях и знаменателях обеих дробей содержится множитель 8, который можно сократить на 8. Это позволит нам избавиться от дробного выражения:

В результате останется простейшее уравнение

Ну и нетрудно догадаться, что корень этого уравнения равен 4

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 4

Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

При решении данного уравнения мы умножили обе его части на 8. В результате получили уравнение . Корень этого уравнения, как и уравнения равен 4. Значит эти уравнения равносильны.

Множитель на который умножаются обе части уравнения принято записывать перед частью уравнения, а не после неё. Так, решая уравнение , мы умножили обе части на множитель 8 и получили следующую запись:

От этого корень уравнения не изменился, но если бы мы сделали это находясь в школе, то нам сделали бы замечание, поскольку в алгебре множитель принято записывать перед тем выражением, с которым он перемножается. Поэтому умножение обеих частей уравнения на множитель 8 желательно переписать следующим образом:

Пример 2. Решить уравнение

Умнóжим обе части уравнения на 15

В левой части множители 15 можно сократить на 15, а в правой части множители 15 и 5 можно сократить на 5

Перепишем то, что у нас осталось:

Раскроем скобки в правой части уравнения:

Перенесем слагаемое x из левой части уравнения в правую часть, изменив знак. А слагаемое 15 из правой части уравнения перенесем в левую часть, опять же изменив знак:

Приведем подобные слагаемые в обеих частях, получим

Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:

Отсюда

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 5

Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно. При решении данного уравнения мы умножили обе го части на 15 . Далее выполняя тождественные преобразования, мы получили уравнение 10 = 2x . Корень этого уравнения, как и уравнения равен 5 . Значит эти уравнения равносильны.

Пример 3. Решить уравнение

Умнóжим обе части уравнения на 3

В левой части можно сократить две тройки, а правая часть будет равна 18

Останется простейшее уравнение . Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:

Отсюда

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 9

Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Пример 4. Решить уравнение

Умнóжим обе части уравнения на 6

В левой части уравнения раскроем скобки. В правой части множитель 6 можно поднять в числитель:

Сократим в обеих частях уравнениях то, что можно сократить:

Перепишем то, что у нас осталось:

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

Воспользуемся переносом слагаемых. Слагаемые, содержащие неизвестное x , сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые свободные от неизвестных — в правой:

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

Теперь найдем значение переменной x . Для этого разделим произведение 28 на известный сомножитель 7

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 4

Получилось верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Пример 5. Решить уравнение

Раскроем скобки в обеих частях уравнения там, где это можно:

Умнóжим обе части уравнения на 15

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

Сократим в обеих частях уравнения, то что можно сократить:

Перепишем то, что у нас осталось:

Раскроем скобки там, где это можно:

Воспользуемся переносом слагаемых. Слагаемые, содержащие неизвестное, сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые, свободные от неизвестных — в правой. Не забываем, что во время переноса, слагаемые меняют свои знаки на противоположные:

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

Найдём значение x

В получившемся ответе можно выделить целую часть:

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение

Получается довольно громоздкое выражение. Воспользуемся переменными. Левую часть равенства занесем в переменную A , а правую часть равенства в переменную B

Наша задача состоит в том, чтобы убедиться равна ли левая часть правой. Другими словами, доказать равенство A = B

Найдем значение выражения, находящегося в переменной А.

Значение переменной А равно . Теперь найдем значение переменной B . То есть значение правой части нашего равенства. Если и оно равно , то уравнение будет решено верно

Видим, что значение переменной B , как и значение переменной A равно . Это значит, что левая часть равна правой части. Отсюда делаем вывод, что уравнение решено правильно.

Теперь попробуем не умножать обе части уравнения на одно и то же число, а делить.

Рассмотрим уравнение 30x + 14x + 14 = 70x − 40x + 42 . Решим его обычным методом: слагаемые, содержащие неизвестные, сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые, свободные от неизвестных — в правой. Далее выполняя известные тождественные преобразования, найдем значение x

Подставим найденное значение 2 вместо x в исходное уравнение:

Теперь попробуем разделить все слагаемые уравнения 30x + 14x + 14 = 70x − 40x + 42 на какое-нибудь число. Замечаем, что все слагаемые этого уравнения имеют общий множитель 2. На него и разделим каждое слагаемое:

Выполним сокращение в каждом слагаемом:

Перепишем то, что у нас осталось:

Решим это уравнение, пользуясь известными тождественными преобразованиями:

Получили корень 2 . Значит уравнения 15x + 7x + 7 = 35x − 20x + 21 и 30x + 14x + 14 = 70x − 40x + 42 равносильны.

Деление обеих частей уравнения на одно и то же число позволяет освобождать неизвестное от коэффициента. В предыдущем примере когда мы получили уравнение 7x = 14 , нам потребовалось разделить произведение 14 на известный сомножитель 7. Но если бы мы в левой части освободили неизвестное от коэффициента 7, корень нашелся бы сразу. Для этого достаточно было разделить обе части на 7

Этим методом мы тоже будем пользоваться часто.

Умножение на минус единицу

Если обе части уравнения умножить на минус единицу, то получится уравнение равносильное данному.

Это правило следует из того, что от умножения (или деления) обеих частей уравнения на одно и то же число, корень данного уравнения не меняется. А значит корень не поменяется если обе его части умножить на −1 .

Данное правило позволяет поменять знаки всех компонентов, входящих в уравнение. Для чего это нужно? Опять же, чтобы получить равносильное уравнение, которое проще решать.

Рассмотрим уравнение . Чему равен корень этого уравнения?

Прибавим к обеим частям уравнения число 5

Приведем подобные слагаемые:

А теперь вспомним про коэффициент буквенного выражения. Что же представляет собой левая часть уравнения . Это есть произведение минус единицы и переменной x

То есть минус, стоящий перед переменной x, относится не к самой переменной x , а к единице, которую мы не видим, поскольку коэффициент 1 принято не записывать. Это означает, что уравнение на самом деле выглядит следующим образом:

Имеем дело с компонентами умножения. Чтобы найти х , нужно произведение −5 разделить на известный сомножитель −1 .

или разделить обе части уравнения на −1 , что еще проще

Итак, корень уравнения равен 5 . Для проверки подставим его в исходное уравнение. Не забываем, что в исходном уравнении минус стоящий перед переменной x относится к невидимой единице

Получилось верное числовое равенство. Значит уравнение решено верно.

Теперь попробуем умножить обе части уравнения на минус единицу:

После раскрытия скобок в левой части образуется выражение , а правая часть будет равна 10

Корень этого уравнения, как и уравнения равен 5

Значит уравнения и равносильны.

Пример 2. Решить уравнение

В данном уравнении все компоненты являются отрицательными. С положительными компонентами работать удобнее, чем с отрицательными, поэтому поменяем знаки всех компонентов, входящих в уравнение . Для этого умнóжим обе части данного уравнения на −1 .

Понятно, что от умножения на −1 любое число поменяет свой знак на противоположный. Поэтому саму процедуру умножения на −1 и раскрытие скобок подробно не расписывают, а сразу записывают компоненты уравнения с противоположными знаками.

Так, умножение уравнения на −1 можно записать подробно следующим образом:

либо можно просто поменять знаки всех компонентов:

Получится то же самое, но разница будет в том, что мы сэкономим себе время.

Итак, умножив обе части уравнения на −1 , мы получили уравнение . Решим данное уравнение. Из обеих частей вычтем число 4 и разделим обе части на 3

Когда корень найден, переменную обычно записывают в левой части, а её значение в правой, что мы и сделали.

Пример 3. Решить уравнение

Умнóжим обе части уравнения на −1 . Тогда все компоненты поменяют свои знаки на противоположные:

Из обеих частей получившегося уравнения вычтем 2x и приведем подобные слагаемые:

Прибавим к обеим частям уравнения единицу и приведем подобные слагаемые:

Приравнивание к нулю

Недавно мы узнали, что если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.

А что будет если перенести из одной части в другую не одно слагаемое, а все слагаемые? Верно, в той части откуда забрали все слагаемые останется ноль. Иными словами, не останется ничего.

В качестве примера рассмотрим уравнение . Решим данное уравнение, как обычно — слагаемые, содержащие неизвестные сгруппируем в одной части, а числовые слагаемые, свободные от неизвестных оставим в другой. Далее выполняя известные тождественные преобразования, найдем значение переменной x

Теперь попробуем решить это же уравнение, приравняв все его компоненты к нулю. Для этого перенесем все слагаемые из правой части в левую, изменив знаки:

Приведем подобные слагаемые в левой части:

Прибавим к обеим частям 77 , и разделим обе части на 7

Альтернатива правилам нахождения неизвестных

Очевидно, что зная о тождественных преобразованиях уравнений, можно не заучивать наизусть правила нахождения неизвестных.

К примеру, для нахождения неизвестного в уравнении мы произведение 10 делили на известный сомножитель 2

Но если в уравнении обе части разделить на 2 корень найдется сразу. В левой части уравнения в числителе множитель 2 и в знаменателе множитель 2 сократятся на 2. А правая часть будет равна 5

Уравнения вида мы решали выражая неизвестное слагаемое:

Но можно воспользоваться тождественными преобразованиями, которые мы сегодня изучили. В уравнении слагаемое 4 можно перенести в правую часть, изменив знак:

Далее разделить обе части на 2

В левой части уравнения сократятся две двойки. Правая часть будет равна 2. Отсюда .

Либо можно было из обеих частей уравнения вычесть 4. Тогда получилось бы следующее:

В случае с уравнениями вида удобнее делить произведение на известный сомножитель. Сравним оба решения:

Первое решение намного короче и аккуратнее. Второе решение можно значительно укоротить, если выполнить деление в уме.

Тем не менее, необходимо знать оба метода, и только затем использовать тот, который больше нравится.

Когда корней несколько

Уравнение может иметь несколько корней. Например уравнение x(x + 9) = 0 имеет два корня: 0 и −9 .

В уравнении x(x + 9) = 0 нужно было найти такое значение x при котором левая часть была бы равна нулю. В левой части этого уравнения содержатся выражения x и (x + 9) , которые являются сомножителями. Из законов умножения мы знаем, что произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю (или первый сомножитель или второй).

То есть в уравнении x(x + 9) = 0 равенство будет достигаться, если x будет равен нулю или (x + 9) будет равно нулю.

Приравняв к нулю оба этих выражения, мы сможем найти корни уравнения x(x + 9) = 0 . Первый корень, как видно из примера, нашелся сразу. Для нахождения второго корня нужно решить элементарное уравнение x + 9 = 0 . Несложно догадаться, что корень этого уравнения равен −9 . Проверка показывает, что корень верный:

Пример 2. Решить уравнение

Данное уравнение имеет два корня: 1 и 2. Левая часть уравнения является произведение выражений (x − 1) и (x − 2) . А произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю (или сомножитель (x − 1) или сомножитель (x − 2) ).

Найдем такое x при котором выражения (x − 1) или (x − 2) обращаются в нули:

Подставляем по-очереди найденные значения в исходное уравнение и убеждаемся, что при этих значениях левая часть равняется нулю:

Когда корней бесконечно много

Уравнение может иметь бесконечно много корней. То есть подставив в такое уравнение любое число, мы получим верное числовое равенство.

Пример 1. Решить уравнение

Корнем данного уравнения является любое число. Если раскрыть скобки в левой части уравнения и привести подобные слагаемые, то получится равенство 14 = 14 . Это равенство будет получаться при любом x

Пример 2. Решить уравнение

Корнем данного уравнения является любое число. Если раскрыть скобки в левой части уравнения, то получится равенство 10x + 12 = 10x + 12. Это равенство будет получаться при любом x

Когда корней нет

Случается и так, что уравнение вовсе не имеет решений, то есть не имеет корней. Например уравнение не имеет корней, поскольку при любом значении x , левая часть уравнения не будет равна правой части. Например, пусть . Тогда уравнение примет следующий вид

Пусть

Пример 2. Решить уравнение

Раскроем скобки в левой части равенства:

Приведем подобные слагаемые:

Видим, что левая часть не равна правой части. И так будет при любом значении y . Например, пусть y = 3 .

Буквенные уравнения

Уравнение может содержать не только числа с переменными, но и буквы.

Например, формула нахождения скорости является буквенным уравнением:

Данное уравнение описывает скорость движения тела при равноускоренном движении.

Полезным навыком является умение выразить любой компонент, входящий в буквенное уравнение. Например, чтобы из уравнения определить расстояние, нужно выразить переменную s .

Умнóжим обе части уравнения на t

В правой части переменные t сократим на t и перепишем то, что у нас осталось:

В получившемся уравнении левую и правую часть поменяем местами:

У нас получилась формула нахождения расстояния, которую мы изучали ранее.

Попробуем из уравнения определить время. Для этого нужно выразить переменную t .

Умнóжим обе части уравнения на t

В правой части переменные t сократим на t и перепишем то, что у нас осталось:

В получившемся уравнении v × t = s обе части разделим на v

В левой части переменные v сократим на v и перепишем то, что у нас осталось:

У нас получилась формула определения времени, которую мы изучали ранее.

Предположим, что скорость поезда равна 50 км/ч

А расстояние равно 100 км

Тогда буквенное уравнение примет следующий вид

Из этого уравнения можно найти время. Для этого нужно суметь выразить переменную t . Можно воспользоваться правилом нахождения неизвестного делителя, разделив делимое на частное и таким образом определить значение переменной t

либо можно воспользоваться тождественными преобразованиями. Сначала умножить обе части уравнения на t

Затем разделить обе части на 50

Пример 2. Дано буквенное уравнение . Выразите из данного уравнения x

Вычтем из обеих частей уравнения a

Разделим обе части уравнения на b

Теперь, если нам попадется уравнение вида a + bx = c , то у нас будет готовое решение. Достаточно будет подставить в него нужные значения. Те значения, которые будут подставляться вместо букв a, b, c принято называть параметрами. А уравнения вида a + bx = c называют уравнением с параметрами. В зависимости от параметров, корень будет меняться.

Решим уравнение 2 + 4x = 10 . Оно похоже на буквенное уравнение a + bx = c . Вместо того, чтобы выполнять тождественные преобразования, мы можем воспользоваться готовым решением. Сравним оба решения:

Видим, что второе решение намного проще и короче.

Для готового решения необходимо сделать небольшое замечание. Параметр b не должен быть равным нулю (b ≠ 0) , поскольку деление на ноль на допускается.

Пример 3. Дано буквенное уравнение . Выразите из данного уравнения x

Раскроем скобки в обеих частях уравнения

Воспользуемся переносом слагаемых. Параметры, содержащие переменную x , сгруппируем в левой части уравнения, а параметры свободные от этой переменной — в правой.

В левой части вынесем за скобки множитель x

Разделим обе части на выражение a − b

В левой части числитель и знаменатель можно сократить на a − b . Так окончательно выразится переменная x

Теперь, если нам попадется уравнение вида a(x − c) = b(x + d) , то у нас будет готовое решение. Достаточно будет подставить в него нужные значения.

Допустим нам дано уравнение 4(x − 3) = 2(x + 4) . Оно похоже на уравнение a(x − c) = b(x + d) . Решим его двумя способами: при помощи тождественных преобразований и при помощи готового решения:

Для удобства вытащим из уравнения 4(x − 3) = 2(x + 4) значения параметров a, b, c, d . Это позволит нам не ошибиться при подстановке:

Как и в прошлом примере знаменатель здесь не должен быть равным нулю (a − b ≠ 0) . Если нам встретится уравнение вида a(x − c) = b(x + d) в котором параметры a и b будут одинаковыми, мы сможем не решая его сказать, что у данного уравнения корней нет, поскольку разность одинаковых чисел равна нулю.

Например, уравнение 2(x − 3) = 2(x + 4) является уравнением вида a(x − c) = b(x + d) . В уравнении 2(x − 3) = 2(x + 4) параметры a и b одинаковые. Если мы начнём его решать, то придем к тому, что левая часть не будет равна правой части:

Пример 4. Дано буквенное уравнение . Выразите из данного уравнения x

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

Умнóжим обе части на a

В левой части x вынесем за скобки

Разделим обе части на выражение (1 − a)

Линейные уравнения с одним неизвестным

Рассмотренные в данном уроке уравнения называют линейными уравнениями первой степени с одним неизвестным.

Если уравнение дано в первой степени, не содержит деления на неизвестное, а также не содержит корней из неизвестного, то его можно назвать линейным. Мы еще не изучали степени и корни, поэтому чтобы не усложнять себе жизнь, слово «линейный» будем понимать как «простой».

Большинство уравнений, решенных в данном уроке, в конечном итоге сводились к простейшему уравнению, в котором нужно было произведение разделить на известный сомножитель. Таковым к примеру является уравнение 2 (x + 3) = 16 . Давайте решим его.

Раскроем скобки в левой части уравнения, получим 2 x + 6 = 16. Перенесем слагаемое 6 в правую часть, изменив знак. Тогда получим 2 x = 16 − 6. Вычислим правую часть, получим 2x = 10. Чтобы найти x , разделим произведение 10 на известный сомножитель 2. Отсюда x = 5.

Уравнение 2 (x + 3) = 16 является линейным. Оно свелось к уравнению 2x = 10 , для нахождения корня которого потребовалось разделить произведение на известный сомножитель. Такое простейшее уравнение называют линейным уравнением первой степени с одним неизвестным в каноническом виде. Слово «канонический» является синонимом слов «простейший» или «нормальный».

Линейное уравнение первой степени с одним неизвестным в каноническом виде называют уравнение вида ax = b.

Полученное нами уравнение 2x = 10 является линейным уравнением первой степени с одним неизвестным в каноническом виде. У этого уравнения первая степень, одно неизвестное, оно не содержит деления на неизвестное и не содержит корней из неизвестного, и представлено оно в каноническом виде, то есть в простейшем виде при котором легко можно определить значение x . Вместо параметров a и b в нашем уравнении содержатся числа 2 и 10. Но подобное уравнение может содержать и другие числа: положительные, отрицательные или равные нулю.

Если в линейном уравнении a = 0 и b = 0 , то уравнение имеет бесконечно много корней. Действительно, если a равно нулю и b равно нулю, то линейное уравнение ax = b примет вид 0x = 0 . При любом значении x левая часть будет равна правой части.

Если в линейном уравнении a = 0 и b ≠ 0 , то уравнение корней не имеет. Действительно, если a равно нулю и b равно какому-нибудь числу, не равному нулю, скажем числу 5, то уравнение ax = b примет вид 0x = 5 . Левая часть будет равна нулю, а правая часть пяти. А ноль не равен пяти.

Если в линейном уравнении a ≠ 0 , и b равно любому числу, то уравнение имеет один корень. Он определяется делением параметра b на параметр a

Действительно, если a равно какому-нибудь числу, не равному нулю, скажем числу 3 , и b равно какому-нибудь числу, скажем числу 6 , то уравнение примет вид .
Отсюда .

Существует и другая форма записи линейного уравнения первой степени с одним неизвестным. Выглядит она следующим образом: ax − b = 0 . Это то же самое уравнение, что и ax = b , но параметр b перенесен в левую часть с противоположным знаком. Такие уравнение мы тоже решали в данном уроке. Например, уравнение 7x − 77 = 0 . Уравнение вида ax − b = 0 называют линейным уравнением первой степени с одним неизвестным в общем виде.

В будущем после изучения рациональных выражений, мы рассмотрим такие понятия, как посторонние корни и потеря корней. А пока рассмотренного в данном уроке будет достаточным.

Как найти отрицательный корень уравнения

Если при подстановке числа в уравнение получается верное равенство, такое число называют корнем. Корни могут быть положительными, отрицательными и нулевыми. Среди всего множества корней уравнения выделяют максимальные и минимальные.

Инструкция

Найдите все корни уравнения, среди них выберите отрицательный, если таковой имеется. Пусть, например, дано квадратное уравнение 2x²-3x+1=0. Примените формулу поиска корней квадратного уравнения: x(1,2)=[3±√(9-8)]/2=[3±√1]/2=[3±1]/2, тогда x1=2, x2=1. Нетрудно заметить, что отрицательных среди них нет.

Найти корни квадратного уравнения можно также при помощи теоремы Виета. Согласно этой теореме x1+x1=-b, x1∙x2=c, где b и c – соответственно коэффициенты уравнения x²+bx+c=0. Используя эту теорему, можно не вычислять дискриминант b²-4ac, что в некоторых случаях может существенно упростить задачу.

Если в квадратном уравнении коэффициент при x четный, можно применять не основную, а сокращенную формулу для поиска корней. Если основная формула выглядит как x(1,2)=[-b±√(b²-4ac)]/2a, то в сокращенном виде она записывается так: x(1,2)=[-b/2±√(b²/4-ac)]/a. Если в квадратном уравнении нет свободного члена, достаточно просто вынести x за скобки. А иногда левая часть складывается в полный квадрат: x²+2x+1=(x+1)².

Существуют виды уравнений, которые дают не одно число, а целое множество решений. Например, тригонометрические уравнения. Так, ответом к уравнению 2sin²(2x)+5sin(2x)-3=0 будет x=π/4+πk, где k – целое число. То есть, при подстановке любого целого значения параметра k аргумент x будет удовлетворять заданному уравнению.

В тригонометрических задачах может потребоваться найти все отрицательные корни или максимальный из отрицательных. В решении таких задач применяются логические рассуждения или метод математической индукции. Подставьте несколько целых значений для k в выражение x=π/4+πk и пронаблюдайте, как ведет себя аргумент. К слову, наибольшим отрицательным корнем в предыдущем уравнении будет x=-3π/4 при k=1.

Видео по теме

Источники:

• может ли быть отрицательный корень

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Например, для трехчлена (3x^2+2x-7), дискриминант будет равен (2^2-4cdot3cdot(-7)=4+84=88). А для трехчлена (x^2-5x+11), он будет равен ((-5)^2-4cdot1cdot11=25-44=-19).

Дискриминант обозначается буквой (D) и часто используется при решении квадратных уравнений. Также по значению дискриминанта можно понять, как примерно выглядит график квадратичной функции (см. ниже).

Дискриминант и корни квадратного уравнения

Это не надо учить, к такому выводу несложно прийти, просто зная, что квадратный корень из дискриминанта (то есть, (sqrt{D}) входит в формулу для вычисления корней квадратного уравнения: (x_{1}=)(frac{-b+sqrt{D}}{2a}) и (x_{2}=)(frac{-b-sqrt{D}}{2a}). Давайте рассмотрим каждый случай подробнее.

Если дискриминант положителен

В этом случае корень из него – это некоторое положительное число, а значит (x_{1}) и (x_{2}) будут различны по значению, ведь в первой формуле (sqrt{D}) прибавляется, а во второй – вычитается. И мы имеем два разных корня.

Пример: Найдите корни уравнения (x^2+2x-3=0)
Решение:

(x^2+2x-3=0)		Выписываем коэффициенты:
(a=1;)      (b=2;)      (c=-3;)		Вычисляем дискриминант по формуле (D=b^2-4ac)
(D=2^2-4cdot1cdot(-3)=) (=4+12=16)		Найдем корни уравнения
(x_{1}=)(frac{-2+sqrt{16}}{2cdot1})(=)(frac{2}{2})(=1) (x_{2}=)(frac{-2-sqrt{16}}{2cdot1})(=)(frac{-6}{2})(=-3)		Получили два различных корня из-за разных знаков перед (sqrt{D})

Ответ: (x_{1}=1);    (x_{2}=-3)

На графике квадратичной функции положительный дискриминант будет означать пересечение функции с осью икс ровно в двух точках – корнях уравнения.  И это логично. Вдумайтесь – если уравнение (x^2+2x-3=0) имеет корни (x_{1}=1) и (x_{1}=-3), значит при подстановке (1) и (-3) вместо икса, левая часть станет нулем. А значит, если те же самые единицу и минус тройку подставить в функцию (y=x^2+2x-3) получим (y=0). То есть, функция (y=x^2+2x-3) проходит через точки ((1;0)) и ((-3;0)) (подробнее смотри статью Как построить график функции). 

Если дискриминант равен нулю

А сколько корней будет, если дискриминант равен нулю? Давайте рассуждать.

Формулы корней выглядят так: (x_{1}=)(frac{-b+sqrt{D}}{2a}) и (x_{2}=)(frac{-b-sqrt{D}}{2a}).  И если дискриминант – ноль, то и корень из него тоже ноль.  Тогда получается:

(x_{1}=)(frac{-b+sqrt{D}}{2a})(=)(frac{-b+sqrt{0}}{2a})(=)(frac{-b+0}{2a})(=)(frac{-b}{2a})

(x_{2}=)(frac{-b-sqrt{D}}{2a})(=)(frac{-b-sqrt{0}}{2a})(=)(frac{-b-0}{2a})(=)(frac{-b}{2a})

То есть, значения корней уравнения будут совпадать, потому что прибавление или вычитание нуля ничего не меняет.

Пример: Найдите корни уравнения (x^2-4x+4=0)
Решение:

(x^2-4x+4=0)		Выписываем коэффициенты:
(a=1;)      (b=-4;)      (c=4;)		Вычисляем дискриминант по формуле (D=b^2-4ac)
(D=(-4)^2-4cdot1cdot4=) (=16-16=0)		Находим корни уравнения
(x_{1}=)(frac{-(-4)+sqrt{0}}{2cdot1})(=)(frac{4}{2})(=2) (x_{2}=)(frac{-(-4)-sqrt{0}}{2cdot1})(=)(frac{4}{2})(=2)		Получили два одинаковых корня, поэтому нет смысла писать их по отдельности – записываем как один.

Ответ: (x=2)

На графике квадратичной функции нулевой дискриминант означает одну точку пересечения функции с осью икс.  Все аналогично изложенному выше: два корня – две точки пересечения, один корень – одна. В частности, функция (y=x^2-4x+4) будет выглядеть вот так:

Если дискриминант отрицателен

В этом случае корень из дискриминанта извлечь нельзя (т.к. квадратный корень из отрицательного числа – невычислим), а значит и корни квадратного уравнения мы вычислить не можем.

Пример: Найдите корни уравнения (x^2+x+3=0)
Решение

(x^2+x+3=0)		Выписываем коэффициенты:
(a=1;)      (b=1;)      (c=3;)		Вычисляем дискриминант по формуле (D=b^2-4ac)
(D=1^2-4cdot1cdot3=) (=1-12=-11)		Находим корни уравнения
(x_{1}=)(frac{-1+sqrt{-11}}{2cdot1})(=…) (x_{2}=)(frac{-1-sqrt{-11}}{2cdot1})(=…)		Оба корня содержат невычислимое выражение (sqrt{-11}), значит, и сами не вычислимы

Ответ: нет корней.

То есть, отсутствие корней у квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом – не чья-то случайная придумка. Это не потому что «в учебнике так написано», а действительно правда: невозможно найти такое число, чтоб при подстановке его вместо икса в выражение (x^2+x+3) получился ноль.

Матхак: заметим, что если вы решаете обычное квадратное уравнение или неравенство и получаете отрицательный дискриминант, стоит проверить решение еще раз, так как это не частая ситуация в школьном курсе математики.

Ну, а на графиках все просто: нет корней – нет точек пересечения с осью икс!

Содержание:

Квадратные уравнения

В предыдущих классах вы уже научились составлять и решать уравнения, но лишь простейшие, к которым сводятся относительно несложные задачи. Для решения более сложных задач используют квадратные уравнения. Изучив эту тему, вы сможете решать прикладные задачи из разных отраслей знаний.

В этой главе вы узнаете, что такое:

• неполные квадратные уравнения;
• формула корней квадратного уравнения;
• теорема Виета;
• разложение квадратного трёхчлена на множители.

Неполные квадратные уравнения

Пример:

Одно из двух чисел больше другого на 6, а их произведение равно 112. Найдите эти числа.

Решение:

Обозначим меньшее искомое число буквой х. Тогда большее число равно х + 6. Их произведение — 112. Следовательно,

х(х + 6) = 112, или х² + 6х- 112 = 0.

Это уравнение второй степени с одной переменной. Такие уравнения называют также квадратными.

Квадратным называют уравнение вида ах² + bх + c = 0, где х — переменная, а, b, с — данные числа, причём

Числа а, b, с — коэффициенты квадратного уравнения: а — первый коэффициент, b — второй, с — свободный член.

По определению, первый коэффициент квадратного уравнения не может быть равен нулю. Если хотя бы один коэффициент (b или с) равен нулю, то квадратное уравнение называют неполным.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:

1) ах² = 0; 2) ах² + bх = 0; 3) ах² + с = 0.

1. Уравнение вида ах² = О равносильно уравнению х² = 0, и поэтому всегда имеет только один корень х = О.

2. Уравнение вида ах² + bх = 0 равносильно уравнению х(ах + b) = 0 и всегда имеет два корня: х₁ = 0, х₂ =

Пример:

Решите уравнение 5х² + 4х = 0.

Решение:

Вынесем переменную х за скобки: х(5х + 4) = 0. Следовательно, х = О, или 5х + 4 = 0,отсюда х = -0,8. О т в е т. х₁ = 0, х₂ = -0,8.

3. Квадратное уравнение вида ах² + с = О равносильно уравнению х² = . Если > 0 , то оно имеет два решения: если <0 — ни одного решения.

Пример:

Решите уравнение 4х² -3 = 0.

Решение:

Преобразуем данное уравнение: 4х^₂ = 3, , х — число, квадрат которого равен , то есть квадратный корень из числа . Таких корней два: и . Ответ. . Если знаки коэффициентов а и с разные, то число положительное, и уравнение имеет два корня. Если знаки коэффициентов а и с одинаковы, то число — отрицательное. Следовательно, уравнение ах² + с = 0 не имеет корней.

Хотите знать ещё больше?

Некоторые квадратные уравнения (полные) можно решать приведением их к неполным квадратным уравнениям. Например, по формуле квадрата двучлена, уравнение х² – 2х + 1 = 0 можно представить в виде (х – 1)² = 0 и решить так: (х-1)² равно нулю лишь в том случае, если х – 1 = 0, то есть х = 1.

Таким способом можно решить любое квадратное уравнение, выразив его левую часть в виде квадрата двучлена.

Например, .

Выполним вместе!

Пример:

Решите квадратное уравнение: а) Зх² – 6х = 0; б) 2у² -72 = 0.

Решение:

а) Зх² – 6х = 0; Зх(х – 2) = 0; х₁ = 0; х-2 = 0; х₂ = 2.

б) 2у² -72 = 0; 2(у² 36)-0; у²– 36 – 0; y₁ = 6; y₂ = -6. Ответ. a) x₁ = 0, х₂ = 2; б)у₁=6, у₂ =-6.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

, , , отсюда х₁ = -20, х₂ = 20.

При этих значениях х знаменатель не равен нулю. Следовательно, х₁ = – 20, х₂ = 20 — корни уравнения. О т в е т. х₁ = – 20, х₂ = 20 .

Формула корней квадратного уравнения

Решим уравнение х² + 6х-112=0, которое мы составили по условию задачи.

Решение:

Если к выражению х² + 6х прибавить 9, то получим квадрат двучлена х + 3. Поэтому данное уравнение равносильно уравнению х² + 6х + 9-9-112=0, или (х + 3)² = 121. Следовательно, х + 3 = 11, отсюда х = 8; или х + 3 = -11, отсюда х = -14. Ответ. х₁ = 8, х₂ = -14.

Такой способ решения квадратного уравнения называют способом выделения квадрата двучлена.

Решим этим способом уравнение 5х² – 2х – 3 = 0.

Чтобы первый его член стал квадратом одночлена с целым коэффициентом, умножим обе части данного уравнения на 5: 25х² -10х – 15=0, 25х²-2 ^. 5х + 1 – 1 – 15 = 0, (5х- 1)² = 16.

Следовательно, 5х – 1 = 4, отсюда 5х = 5, х = 1; или 5х – 1 = – 4, отсюда 5х = – 3, х = – 0,6. От в е т. х₁ = 1, х₂ = -0,6.

Решим таким способом уравнение ах² + bх + с = 0.

Умножим обе части уравнения на 4а (помним, что ):

4а²х² + 4ах^.b + 4ас = 0,

(2ах)² + 2 ^. 2ах ^. b + b² – b² + 4ас = 0,

(2ах + b)² = b² – 4ас.

Выражение b² — 4ас называют дискриминантом (от латинскогоdiscriminans — различающий) данного квадратного уравнения и обозначают буквой D.

Если D < 0, то данное уравнение не имеет корней: не существует такого значения х, при котором значение выражения (2ах + b)² было бы отрицательным.

Если D = 0, то 2ах + и = 0, отсюда х = – единственный корень. Если D > 0, то данное квадратное уравнение равносильно уравнению , отсюда

или

В этом случае уравнение имеет два корня, они отличаются только знаками перед . Кратко их записывают так: , где .

Это формула корней квадратного уравнения ах² + bх + с = 0. Пользуясь ею, можно решить любое квадратное уравнение.

Пример:

Решите уравнение: а) Зх² – 5х + 2 = 0; б) х² + 6х + 9 = 0; в) 5х² – х + 1 = 0.

Решение:

a) D = 25 – 24 = 1, D > 0,

;

б) D = 36-36 = 0,

;

в) D =1 – 20 = -19, D < 0. Уравнение корней не имеет.

Ответ. а)х₁ = 1, х₂= ; б) х = -3: в) уравнение корней не имеет. Формулу корней квадратного уравнения применяют при решении многих уравнений, которые-сводятся к квадратным.

Пример:

Решите уравнение: а) 4х⁴ – 9х² +5=0; б) (Зх² – x – 3)(3х² – х + 5) = 9.

Решение:

Такие уравнения удобно решать путём введения вспомогательной переменной.

a) 4x⁴ – 9x² + 5 = 0. Пусть x² — t, тогда x⁴ = t², получим уравнение относительно переменной t: 4x² – 9x²+ 5 = 0, D = (-9)² – 4 ^.4 ^.5 = 81 – 80 = 1, D > 0,

/

Вернёмся к переменной x: l) x² = l, x_l=-l, x₂=l;

2)

Уравнение вида ax⁴ + bx² + c=0 называют биквадратным. б) (Зх² – х – 3)(3х² – х + 5) = 9. Пусть 3х² – х = t, тогда относительно переменной t получим уравнение: (t – 3)(t + 5) = 9, t² + 2t – 15 = 9, t² + 2t – 24 = 0, D= 4^. 4 (-24) = 4 + 96 – 100, D > 0,

.

1)3х²-х=-6,Зх²-х + 6-0, D = (-1)²-4^. 3^. 6=-71, D<0, следовательно, это уравнение корней не имеет. 2 ) Зх² – х = 4, Зх² – х – 4 – О, х₁ = -1, х₂ = . Ответ. а) х₁ = -1, х₂ = 1, х_³ = , х₄ = ; б) x₁ = -1, x₂ = .

Хотите знать ещё больше?

Формулу корней уравнения ах² + bх + с = 0 можно записать и в таком виде:

.

Если второй коэффициент уравнения — чётное число, то есть уравнение имеет вид ах² + 2kx + с = 0, то

.

Если первый коэффициент квадратного уравнения равен 1, то такое уравнение называют приведённым. Приведённое квадрат ное уравнение имеет вид х² + рх + q = 0, Формула его корней:

.

Выведите эти формулы из основной формулы корней квадратного уравнения.

Выполним вместе!

Пример:

Приведите уравнение (х – 4)(2х + 1) = Зх(х – 1) к квадратному и найдите его корни.

Решение:

(х- 4)(2х 4-1) = Зх(х-1). Раскроем скобки и сведём подобные слагаемые: 2х² – 8х + х – 4 = 3х² – 3х,

Зх² – 2х² – 3х + 8х – х + 4 = 0, х² +4х +4 = 0.

Решим полученное уравнение, принимая во внимание, что в его левой части — квадрат двучлена: х² + 2 ^. х ^. 2 + 2² = (х +2)². Следовательно, (х +2)² — 0, отсюда х + 2 = 0, х = -2.

Ответ. х = -2.

Пример:

Решите дробное рациональное уравнение:

Решение:

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, х² – 5х + 6 = 0:

D=25-4^.6=1, , х₁ =2, х₂ =3. Данное уравнение эти значения не удовлетворяют, поскольку при х = 2 знаменатель первой дроби равен 0, а при х = 3 знаменатель второй дроби равен 0. Ответ. Уравнение корней не имеет.

Теорема Виета

Квадратное уравнение называют приведённым, если первый его коэффициент равен единице. В таблице — примеры трёх приведённых квадратных уравнений, их корни, а также суммы и произведения корней:

Сравните сумму корней каждого приведённого квадратного уравнения с его вторым коэффициентом, а произведение корней — со свободным членом.

Теорема Виета: Если приведённое квадратное уравнение имеет два корня, то их сумма равна второму коэффициенту уравнения, взятому с противоположным знаком, а произведение — свободному члену.

Доказательство. Если уравнение х² + рх + q = 0 имеет корни х₁ и х₂, то их можно найти по формулам:

где D = р² – 4q — дискриминант уравнения.

Сложим и перемножим эти корни:

Итак, x₁ + х₂ =— р, x₁ ^. х₂ = q, что и требовалось доказать. Примечание. Если р² – 4q = 0, то уравнение х²+ рх + q = 0 имеет один корень .

Формулы (*) в этом случае дают и Поэтому часто считают, что данное уравнение имеет два равных корня. Теорема Виета верна и для этого случая, поскольку

Каждое квадратное уравнение вида равносильно приведённому квадратному уравнению Если такое уравнение имеет корни х₁ и х₂,то

Теорема (обратная теореме Виета). Если сумма m и n произведение чисел тип равны соответственно — р и q, то m и n тип — корни уравнения х² + рх + q =0.

Доказательство. Пусть m + n =-р и m ^. n =q. При данных условиях уравнение х² + рх 4 q = 0 равно сильно уравнению х² – (m + n)х + m n = 0.

Подставим в это уравнение вместо переменной х числа m и n:

m² – (m +n)m + mn = m² – m² – nm + mn= 0,

n² – (m +n)n+ mn = n² – mn – n² +mn = 0.

Итак, m и n — корни данного уравнения, что и требовалось доказать. Из теоремы Виета следует: если р и q – целые числа, то целые решения уравнения х² + рх + q= 0 — это делители числа q. Пользуясь обратной теоремой, можно проверить, является та или другая пара чисел корнями приведённого квадратного уравнения. Это даёт возможность устно решать такие уравнения.

Пример:

Решите уравнение х² + 12х + 11 = 0.

Решение:

Если уравнение имеет целые корни, то их произведение равно 11. Это могут быть числа 1 и 11 либо – 1 и -11. Второй коэффициент уравнения положительный, поэтому корни отрицательные. Ответ. х₁ = -1, х₂ = -11.

Хотите знать ещё?

Теорема Виета верна не толоко для приведённого квадратного уравнения, но и для уравнений высших степеней Например, если уравнение третьей степени х³+4ах² +bх + с = 0 имеет корни х₁, х₂ и х₃, то

x₁+x₂+x₃=-a

x₁x₂+x₁x₃₊x₂x₃=b

x₁x₂x₃ = – c.

Если такое уравнение с целыми коэффициентами имеет целые решения, то они являются делителями свободного члена.

Выполним вместе!

Пример:

Найдите сумму и произведение корней уравнения:

а) х² + х-6 = 0; б)х2 + 2х + 3 = 0.

Решение:

а) D=1 +24 >0. Корни существуют, поэтому x₁ + х₂ = -1; x₁ ^. х₂ = -6;

б) D= 4-12<0. Корней не существует. Ответ. а)х1 + х2 = -1,х1 -х2 = -6; б) корней не существует.

Пример:

При каких значениях m произведение корней уравнения х² + 8х + m – 7 = 0 равно 3?

Решение:

m-7 = 3, m = 10. Ответ. m = 10.

Пример:

Не решая уравнение х² – 4х + 1 = 0, найдите сумму квадратов его корней.

Решение:

D = 16 – 4 > 0. Корни существуют. x₁ + х₂ = 4; х₁ ^.х₂ = 1;

(x₁ + x₂)² = 16; x²₁+2x₁x₂+x²₂ =16;

х¹₂ +2^. 1+x²₂ =16; x²₁ +x²₂ =16-2, х²₁ +х²₂ =14.

Ответ. x²₁+x²₂=14.

Квадратный трёхчлен

Квадратным трёхчленом называют многочлен вида ах² + bх+ с, где х — не ременная, a, b, c — данные числа, причём .

Переменную квадратного трёхчлена можно обозначить любой буквой. Примеры квадратных трёхчленов:

Если квадратный трёхчлен приравнять к нулю, то получим квадратное уравнение. Его корни и дискриминант называют соответственно корнями и дискриминантом данного квадратного трёхчлена. Например, дискриминант и корни квадратного трёхчлена 5х² — 7х – 6 равны соответственно 169, 2 и , поскольку это дискриминант и корни уравне ния 5х² – 7х – 6 = 0.

Из теоремы Виета следует правило разложения квадратных трёхчленов на множители.

Если m и n — корни уравнения x²+ рх + q = 0, то х² + рх + q = (х-m)(х – n).

Поскольку х² + рх + q = х² – (m -n)х 4+mn = х² – mх – nх 4- mn = (y- m )(х – n).

Пример:

Разложите на множители трёхчлен: х²+4х- 21.

Решение:

а) Корни уравнения х²+4х- 21=0 равны 3 и -7. Поэтому

х²+ 4х – 21 =(х- 3)(х +7).

Ответ.(х- 3)(х +7).

Верна и такая теорема.

Если корни квадратного трёхчлена ах² + bх + с равны m и n, то его можно разложить на множители:

ах² +bх + с = а(х — m)(х — n).

Доказательство:

. Следовательно, корни m и n трёхчлена ах²+bx+c также являются корнями уравнения . По теореме Виета,

Поэтому

Например, если нужно разложить на множители трёхчлен Зх²+5х-2, то решаем уравнение Зх²+5х-2-0. Его дискриминант D = 25+24= 49, поэтому

Следовательно,

Ответ можно записать и так;

Зх²+ 5х 2 = (Зх 1 )(х+ 2).

Разложение квадратных трёхчленов на множители применяется при сокращении дробей, приведении их к общему знаменателю и т. д. Например, чтобы сократить дробь сначала следует разложить ее числитель и знаменатель на множители. Поскольку

Каждый квадратный трёхчлен ах² + bх + c можно представить в виде а(х-k)²+ р, где k и р некоторые числа. Такое преобразование называют выделением квадрата двучлена. Как выполнить подобное преобразование, покажем на примере. Чтобы выделить из квадратного трёхчлена 2х² – 12х + 25 квадрат двучлена, сначала вынесем за скобки множитель 2:

Одночлен 6х представим в виде произведения 2 ^. Зх, прибавим к нему 9 и отнимем 9:

В результате имеем: 2х² – 12х + 25 = 2 (х – 3)² + 7.

Выделение квадрата двучлена даёт возможность решать задачи на нахождение наибольшего или наименьшего значения квадратного трёхчлена. Например, чтобы найти, при каком значении х значение выражения 2х² -12х + 25 наименьшее, выделим из него квадрат двучлена:

2х²– 12x+25 =2(х-3)² + 7.

Второе слагаемое полученной суммы — число 7, а первое имеет наименьшее значение, если равно 0, то есть х=3. Следовательно, трёхчлен 2х²– 12x+25 имеет наименьшее значение 7. если х = 3.

Хотите знать ещё больше?

Если квадратный трёхчлен имеет дробные корни, го при разложении его на линейные множители желательно первый коэффициент этого трёхчлена “внести в скобки” Например:

Выполним вместе!

Пример:

Найдите значение функции при х = 2008.

Решение:

Числитель формулы разложим на множители:

Если х = 2008, то у = 2008 – 1 = 2007. О т в е т. у = 2007.

Решение задач составлением квадратных уравнений

С помощью квадратных уравнений можно упростить решение многих задач.

Пример:

Найдите два числа, произведение и среднее арифметическое которых равны соответственно 108 и 10,5.

Решение:

Если среднее арифметическое двух чисел равно 10,5, то их сумма в 2 раза больше, то есть 21. Пусть одно из искомых чисел х, тогда другое равно 21-х.

Имеем уравнение:

х(21 – х) = 108, или х² – 21х + 108 = 0.

Решим это уравнение: D = 21² – 4^. 108 = 9,

Если х = 9, то 21 – х = 12; если х = 12, то 21 – х = 9.

Ответ. 9 и 12.

Пример:

Собственная скорость моторной лодки — 18 км/ч. Расстояние 12 км по течению реки она проходит на 9 мин быстрее, чем против течения. Найдите скорость течения реки.

Решение:

9 мин = 0,15 ч. Если скорость течения реки равна х км/ч, то скорость лодки по течению составляет (18 + х) км/ч, а против течения — (18 – х) км/ч. Расстояние 12 км по течению она проходит за ч, а против течения — за ч. Имеем уравнение:

или

отсюда 4(18 + х) – 4(18 – х) – 0,05(18 – х)(18 + х) = 0,

х² + 160х – 324 = 0, D = 160² + 4^.324 = 26 896.

Задачу удовлетворяет только положительный корень. Ответ. 2 км/ч.

Пример:

На плоскости n точек расположены таким образом, что никакие три из них не лежат на одной прямей. Если любую из этих точек соединить отрезком со всеми другими, то получим 351 отрезок. Найдите число n.

Решение:

Из одной точки выходит n – 1 отрезков, из всех n данных точек — n(n – 1) отрезков. При этом каждый отрезок повторяется дважды, поскольку имеет два конца. Следовательно, всего отрезков

Имеем уравнение:

Решим это уравнение: D = 1 + 4 ^.702 = 2809, отсюда n₁= 27, n₂ = -26. Отрицательный корень задачу не удовлетворяет.

Ответ. n = 27

Хотите знать ещё больше?

В задачах кроме числовых данных иногда бывают и параметры. В этом случае решение желательно дополнить соответствующими исследованиями — указать, какие значения могут принимать параметры. Например, решим такую задачу.

Пример:

Найдите стороны равнобедренного треугольника, если известно, что две его неравные высоты равны а и b.

Решение:

Обозначим стороны треугольника буквами: АС = АВ = х, СВ = у (рис. 62).

Рис. 62

Воспользуемся теоремой Пифагора и формулой для вычисления площади треугольника и составим систему

Вычислим из второго уравнения с, подставим его в первое и получим:

Тогда .

Следовательно,

Исследование. В полученных значениях x и у под знаком корня имеем разность 4а² – b², которая должна быть положительной, что возможно только при b < 2а.

Следовательно, данное решение задачи верно не при любых положительных а и b, а лишь при b < 2а.

Далее. Мы рассмотрели случай, когда на основание y и опущена высота а. Но для этих же значений а и b возможен иной вариант (рис. 63). Имеем:

отсюда

В этом случае а < 2b. Ответ. Если a < 2b < 4а, то задача имеет два решения:

Если , тo задача имеет одно решение

Если , тo задача имеет также одно решение

Выполним вместе!

Пример:

Найдите три последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна 509.

Решение:

Пусть искомые числа: х -1, х, х + 1. Тогда имеем уравнение: (х – 1)² + х² + (х + 1)² =509. Решим его.

Раскроем скобки и сведём подобные слагаемые: х² -2х + 1+ х²+ х²+2х+1- 509=0,.

3х²-507=0, отсюда х² =169, х₁= 13, х₂=- 13

= 0, отсюда х2 – 169, х, 13, х . = 13. Следовательно, два других числа: 12, 14 или -12, 14. Ответ. 12, 13, 14 или 12. -13, II.

Следовательно, два других числа: 12,14 или -12, -14.

Ответ. 12,13,14 или -12, 13, 14.

ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Квадратные уравнения простейших видов вавилонские математики умели решать ещё 4 тыс. лет тому назад. Со временем их решали также в Китае и Греции. Особое внимание квадратным уравнениям уделил Мухаммед аль-Хо-резми (IX в.). Он показал, как решать (при положительных а и b) уравнения видов х² + ах = b, х² + а = bх, ах + b = х², не используя каких-либо выражений, даже числа записывал словами. Например, уравнение х² + 21 = 10х учил решать так: «Раздели пополам корни, получится пять, и умножь это на равное ему — будет двадцать пять, и отними от этого двадцать один, то останется четыре, добудь из этого корень, будет два, и отними это от половины корней, то есть от пяти, — останется три; это и будет корень, который ты ищешь». Отрицательных корней тогда не вычисляли. Индийские учёные в решении этого вопроса пошли дальше. Они находили также отрицательные корни квадратных уравнений. Например, Бхаскара (1114 -1178), решая уравнение х² – 45х = 250, находит два корня: 50 и 5. И только после этого делает замечание: «Второе значение в данном случае не следует брать, люди ведь не воспринимают отрицательных абстрактных чисел». Алгебраические задачи на составление уравнений индийские учёные записывали в стихотворной форме и рассматривали их как особый вид искусства. Они объясняли: «Как солнце затмевает звёзды своим светом, так и человек учёный способен затмить славу других на народных собраниях, предлагая алгебраические задачи и, тем более, решая их». Формулы корней квадратного уравнения вывел Франсуа Виет (1540—1603). Теорему, впоследствии названную его именем, учёный сформулировал так: «Если (В + В) А -А² равно BD, то А равно В и равно В». Отрицательных корней он не рассматривал. Современные способы решения квадратных уравнений появились благодаря научным трудам Рене Декарта (1596— 1650) и Исаака Ньютона (1643—1727).

ОСНОВНОЕ В ГЛАВЕ

Уравнение — это равенство, которое содержит неизвестные числа, обозначенные буквами. Числа, удовлетворяющие уравнению, — его решения (или корни). Решить уравнение означает найти все его решения либо показать, что их не существует. Два уравнения называют равносильными, если каждое из них имеет те же решения, что и другое. Уравнения, не имеющие решений, также считают равносильными друг другу. Квадратным называют уравнения вида ах² + bх + с = 0, где х — переменная, а, b, с — данные числа, причём . Выражение D = b² – 4ас — его дискриминант. Если , то данное уравнение имеет два корня: Если D — 0, то эти корни равны. Если D < 0, то такое квадратное уравнение не имеет действительных корней. Если необходимо, например, решить квадратное уравнение 2х² + 9х – 5 = 0, то находим его дискриминант: D = 9² – 4^.2 ^.(-5) =121. Поэтому корни уравнения:

Квадратное уравнение называют неполным, если хотя бы один его коэффициент, кроме первого, равен нулю. Уравнение: ах² = 0 имеет единственный корень: х = 0;

ax² = 0 имеет единственный корень: х = 0; ах² +bх = 0 имеет два корня: х₁ = 0, х₂=; ах² + с = 0 имеет два корня: , если с : а < 0, и ни одного, если с • а > 0.

Квадратное уравнение называют приведенным, если его первый коэффициент равен единице. Если уравнение х² + рх + q = 0 имеет два корня, то

Теорема Виета Если приведённое квадратное уравнение х² +рх + q = 0 имеет два корня, то их сумма равна р, а произведение — q.

Квадратные уравнения

• Изучив материал этого параграфа, вы научитесь решать уравнения вида
• Ознакомитесь с теоремой Виета для квадратного уравнения.
• Овладеете приемами решения уравнений, сводящихся к квадратным.

Вы умеете решать линейные уравнения, то есть уравнения вида , где — переменная, и — некоторые числа.

Если то уравнение называют уравнением первой степени.

Например, каждое из линейных уравнений

является уравнением первой степени. А вот линейные уравнения не являются уравнениями первой степени.

Числа и называют коэффициентами уравнения первой степени .

То, что множество уравнений первой степени является подмножеством множества линейных уравнений, иллюстрирует схема на рисунке 34.

Вы также умеете решать некоторые уравнения, содержащие переменную во второй степени. Например, готовясь к изучению новой темы, вы решили уравнения (упражнение 589). Каждое из этих уравнений имеет вид

Определение: Квадратным уравнением называют уравнение вида где — переменная, — некоторые числа, причем

Числа и называют коэффициентами квадратного уравнения. Число называют первым или старшим коэффициентом, число — вторым коэффициентом, число — свободным членом.

Например, квадратное уравнение имеет следующие коэффициенты:

Квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1, называют приведенным.

Например, — это приведенные квадратные уравнения.

Поскольку в квадратном уравнении старший коэффициент не равен нулю, то неприведенное квадратное уравнение всегда можно преобразовать в приведенное, равносильное данному. Разделив обе части уравнения на число получим приведенное квадратное уравнение

Если в квадратном уравнении хотя бы один из коэффициентов или равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Существует три вида неполных квадратных уравнений.

1. При имеем:
2. При и имеем:
3. При и имеем:

Решим неполные квадратные уравнения каждого вида.

1. Поскольку то уравнение имеет единственный корень
2. Уравнение представим в виде Это уравнение имеет два корня и один из которых равен нулю, а другой является корнем уравнения первой степени Отсюда и
3. Уравнение представим в виде Поскольку то возможны два случая: или Очевидно, что в первом случае уравнение корней не имеет. Во втором случае уравнение имеет два корня: и

Обобщим полученные результаты:

Пример:

Решите уравнение

Решение:

При имеем: Отсюда

или Но корень не удовлетворяет условию

При имеем: Отсюда Последнее уравнение не имеет корней.

Ответ: 2.

Формула корней квадратного уравнения

Зная коэффициенты и уравнения первой степени можно найти его корень по формуле

Выведем формулу, позволяющую по коэффициентам и квадратного уравнения находить его корни.

Имеем:

(1)

Поскольку то, умножив обе части этого уравнения на 4а, получим уравнение, равносильное данному:

Выделим в левой части этого уравнения квадрат двучлена:

(2)

Существование корней уравнения (2) и их количество зависят от знака значения выражения Это значение называют дискриминантом квадратного уравнения и обозначают буквой то есть Термин «дискриминант» происходит от латинского слова discriminare, что означает «различать», «разделять».

Теперь уравнение (2) можно записать так:

(3)

Возможны три случая:

1. Если то уравнение (3), а следовательно, и уравнение (1) корней не имеет. Действительно, при любом значении выражение принимает только неотрицательные значения.

Вывод: если то квадратное уравнение корней не имеет.

2. Если то уравнение (3) принимает вид

Отсюда

Вывод: если то квадратное уравнение имеет один корень

3. Если то уравнение (3) можно записать в виде

Отсюда или Тогда или

Вывод: если то квадратное уравнение имеет два корня и

Применяют также краткую форму записи:

Эту запись называют формулой корней квадратного уравнения

Полученную формулу можно применять и в случае, когда Имеем:

При решении квадратных уравнений удобно руководствоваться следующим алгоритмом:

• найти дискриминант квадратного уравнения;
• если то в ответе записать, что корней нет;
• если то воспользоваться формулой корней квадратного уравнения.

Если второй коэффициент квадратного уравнения представить в виде то можно пользоваться другой формулой, которая во многих случаях облегчает вычисления.

Рассмотрим квадратное уравнение Найдем его дискриминант: Обозначим выражение через

Если то по формуле корней квадратного уравнения получаем:

то есть

где

Пример:

Решите уравнение:

Решение:

1) Для данного уравнения

Дискриминант уравнения

Следовательно,

Ответ:

2) Имеем:

Следовательно, данное уравнение имеет один корень:

Заметим, что данное уравнение можно решить другим способом. Умножив обе части уравнения на —2, получаем:

Отсюда

Ответ: 2.

3)

Уравнение имеет два корня:

Ответ можно записать одним из двух способов:

или

4) Следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.

5) Представим данное уравнение в виде и применим формулу корней для уравнения вида

Ответ:

Пример:

Решите уравнение:

Решение:

1) Имеем:

При получаем уравнение которое имеет

корни —8 и 2, однако корень —8 не удовлетворяет условию

При получаем уравнение которое имеет корни —2 и 8, однако корень 8 не удовлетворяет условию

Ответ: —2; 2.

2) Поскольку при то искомые корни должны удовлетворять двум условиям одновременно: и В таком случае говорят, что данное уравнение равносильно системе

Уравнение имеет корни —2 и 12, но корень —2 не удовлетворяет условию

Ответ: 12.

3) Данное уравнение равносильно системе Отсюда

Ответ:

Пример:

При каком значении имеет единственный корень уравнение:

Решение:

1) Данное уравнение является квадратным. Оно имеет единственный корень, если его дискриминант равен нулю. Имеем:

Ответ: или

2) При получаем линейное уравнение имеющее один корень.

При данное уравнение является квадратным. Оно имеет единственный корень, если его дискриминант равен нулю:

Имеем: отсюда или

Ответ: или или

Несколько поколений учителей математики приобретали педагогический опыт, а их учащиеся углубляли свои знания, пользуясь чудесной книгой «Квадратные уравнения» блестящего украинского педагога и математика Николая Андреевича Чайковского. Н. А. Чайковский оставил значительное научное и педагогическое наследие. Его труды известны далеко за пределами Украины.

Теорема Виета

Готовясь к изучению этого пункта, вы выполнили упражнения 677, 678. Возможно, эти упражнения подсказали вам, каким образом сумма и произведение корней квадратного уравнения связаны с его коэффициентами.

Теорема: (теорема Виета). Если и — корни квадратного уравнения то

Доказательство: Условием теоремы предусмотрено, что данное квадратное уравнение имеет корни. Поэтому его дискриминант не может быть отрицательным.

Пусть Применив формулу корней квадратного уравнения, запишем:

Имеем:

Пусть В этом случае считают, что Имеем:

Следствие. Если и — корни приведенного квадратного уравнения то

Иными словами, сумма корней приведенного квадратного уривнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Теорема: (обратная теореме Виета). Если числа и таковы, что и то эти числа являются корнями квадратного уравнения

Доказательство: Рассмотрим квадратное уравнение Преобразуем его в приведенное:

Французский математик, по профессии юрист. В 1591 г. ввел буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов уравнений, благодаря чему стало возможным выражать свойства уравнений и их корни общими формулами. Среди своих открытий сам Виет особенно высоко ценил установление зависимости между корнями и коэффициентами уравнений.

Согласно условию теоремы это уравнение можно записать так: (*)

Подставим в левую часть этого уравнения вместо сначала число а затем число Получим:

Таким образом, числа и являются корнями уравнения (*), а следовательно, и корнями квадратного уравнения

Следствие. Если числа и таковы, что и то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения

Это следствие позволяет решать некоторые квадратные уравнения устно, не используя формулу корней квадратного уравнения.

Пример:

Найдите сумму и произведение корней уравнения

Решение:

Выясним, имеет ли данное уравнение корни. Имеем: Следовательно, уравнение имеет два корня и

Тогда по теореме Виета

Пример:

Найдите коэффициенты и уравнения если его корнями являются числа —7 и 4.

Решение:

По теореме Виета

Пример:

Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны: 1) 4 и ; 2) и .

Решение:

1) Пусть и

Тогда По теореме, обратной теореме Виета, числа и являются корнями уравнения Умножив обе части этого уравнения на 7, получаем квадратное уравнение с целыми коэффициентами:

2) Пусть и

Тогда

Следовательно, и являются корнями уравнения Отсюда искомым является уравнение

Пример:

Известно, что и — корни уравнения

Не решая уравнения, найдите значение выражения

Решение:

По теореме Виета

Тогда имеем:

Ответ:

Пример:

Число 4 является корнем уравнения Найдите второй корень уравнения и значение

Решение:

Пусть и — корни данного уравнения, причем По теореме Виета Тогда Имеем:

Ответ:

Пример:

Составьте квадратное уравнение, корни которого на 4 больше соответствующих корней уравнения

Решение:

Пусть и — корни данного уравнения, и — корни искомого уравнения.

По условию

По теореме Виета

Тогда имеем:

Следовательно, по теореме, обратной теореме Виета, искомым является уравнение

Ответ:

Квадратный трехчлен

Определение: Квадратным трехчленом называют многочлен вида где — переменная, и — некоторые числа, причем

Приведем примеры многочленов, являющихся квадратными трехчленами:

Заметим, что левая часть квадратного уравнения является квадратным трехчленом.

Определение: Корнем квадратного трехчлена называют значение переменной, при котором значение квадратного трехчлена равно нулю.

Например, число 2 является корнем квадратного трехчлена

Чтобы найти корни квадратного трехчлена надо решить соответствующее квадратное уравнение

Значение выражения называют дискриминантом квадратного трехчлена

Если то квадратный трехчлен корней не имеет. Если то квадратный трехчлен имеет один корень, если — то два корня.

Рассмотрим квадратный трехчлен Разложим его на множители методом группировки (подобное упражнение, 724, вы выполняли при подготовке к изучению этого пункта).

Имеем:

О таком тождественном преобразовании говорят, что квадратный трехчлен разложили на линейные множители и

Связь между корнями квадратного трехчлена и линейными множителями, на которые он раскладывается, устанавливает следующая теорема.

Теорема: Если дискриминант квадратного трехчлена положительный, то данный трехчлен можно разложить на линейные множители:

где и — корни квадратного трехчлена.

Доказательство: Поскольку числа и являются корнями квадратного уравнения то по теореме Виета

Тогда

Замечание. Если дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, то считают, что квадратный трехчлен имеет два равных корня, то есть В этом случае разложение квадратного трехчлена на линейные множители имеет следующий вид:

Теорема:. Если дискриминант квадратного трехчлена отрицательный, то данный трехчлен нельзя разложить на линейные множители.

Доказательство: Предположим, что квадратный трехчлен можно разложить на линейные множители. Тогда существуют такие числа и при которых выполняется равенство Отсюда получаем, что тип — корни данного квадратного трехчлена. Следовательно, его дискриминант неотрицательный, что противоречит условию.

Пример:

Разложите на множители квадратный трехчлен:

Решение:

1) Найдем корни данного трехчлена:

Следовательно,

2) Решим уравнение Имеем:

Следовательно,

3) Решим уравнение Имеем:

Тогда

Пример:

Сократите дробь

Решение:

Разложим на множители квадратный трехчлен, являющийся числителем данной дроби. Решив уравнение получаем:

Теперь можно записать:

Тогда получаем:

Ответ:

Пример:

При каком значении разложение на множители трехчлена содержит множитель

Решение:

Поскольку разложение данного трехчлена на множители должно содержать множитель то один из корней этого трехчлена равен —5. Тогда имеем:

Ответ:

Решение уравнений, приводимых к квадратным уравнениям

Пример:

Решите уравнение

Решение.

Пусть Тогда Подставив в исходное уравнение вместо и соответственно и , получим квадратное уравнение с переменной

Решая это уравнение, находим:

Поскольку то решение исходного уравнения сводится к решению двух уравнений:

Отсюда

Ответ можно записать двумя способами: или

Определение: Уравнение вида где — переменная, и — некоторые числа, причем называют биквадратным уравнением.

Заменой биквадратное уравнение сводится к квадратному уравнению Такой способ решения уравнений называют методом замены переменной.

Метод замены переменной можно использовать не только при решении биквадратных уравнений.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Выполним замену Тогда исходное уравнение сводится к квадратному уравнению

Отсюда

Теперь надо решить следующие два уравнения:

и Первое из них корней не имеет. Из второго уравнения получаем:

или

Отсюда

Ответ: 0; 1.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Пусть Тогда Получаем:

Отсюда

Получаем два уравнения:

Поскольку то эти уравнения корней не имеют, а следовательно, и исходное уравнение корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Данное уравнение равносильно системе

Отсюда

Ответ: —3.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Имеем:

Следовательно, данное уравнение равносильно системе

Отсюда

Ответ: 7.

Решение уравнений методом замены переменной

В п. 22 вы ознакомились с решением уравнений методом замены переменной. Рассмотрим еще несколько примеров, иллюстрирующих эффективность этого метода.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Пусть Тогда Получаем уравнение Это уравнение равносильно системе

Отсюда

Теперь решение исходного уравнения сводится к решению двух уравнений

Решите эти уравнения самостоятельно.

Ответ: —3; —1; 2; 6.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Преобразуем это уравнение:

Пусть Тогда

Отсюда

Следовательно, или

Решив эти два квадратных уравнения, получаем ответ.

Ответ:

Пример:

Решите уравнение

Решение:

С помощью проверки легко убедиться, что число 0 не является корнем данного уравнения. Тогда, разделив обе части данного уравнения на перейдем к равносильному уравнению:

Отсюда

Произведем замену: Тогда Получаем уравнение откуда

С учетом замены получаем два уравнения:

Решите эти уравнения самостоятельно.

Ответ:

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Пусть Тогда

Отсюда

Такая замена позволяет переписать исходное уравнение следующим образом:

Отсюда

Следовательно, или

Решите эти уравнения самостоятельно.

Ответ:

Пример:

Решите уравнение

Решение:

С помощью проверки можно убедиться, что число 0 не является корнем данного уравнения. Следовательно, можно разделить обе части уравнения на Получим уравнение, равносильное исходному:

Замена приводит к квадратному уравнению

Завершите решение самостоятельно.

Ответ:

Может возникнуть вопрос: почему при решении примеров 1—5 мы не пытались упростить уравнения с помощью тождественных преобразований?

Дело в том, что после тождественных преобразований нам пришлось бы решать уравнение вида (вы можете убедиться в этом самостоятельно). При такое уравнение называют уравнением четвертой степени, при и — уравнением третьей степени. Частным случаем этого уравнения, когда и является биквадратное уравнение. Его вы решать умеете.

В общем случае для решения уравнений третьей и четвертой степеней необходимо знать формулы нахождения их корней. С историей открытия этих формул вы можете ознакомиться в следующем рассказе.

Секретное оружие Сципиона дель Ферро

Вы легко решите каждое из следующих уравнений третьей степени:

Все они являются частными случаями уравнения вида

где — переменная, и — некоторые числа, причем Вывести формулу его корней — задача сложная. Недаром появление этой формулы считают выдающимся математическим открытием XVI века.

Первым изобрел способ решения уравнения вида где и — положительные числа, итальянский математик Сципион дель Ферро (1465-1526). Найденную формулу он хранил в секрете. Это было обусловлено тем, что карьера ученого того времени во многом зависела от его выступлений в публичных математических турнирах. Поэтому было выгодно хранить открытия в тайне, рассчитывая использовать их в математических соревнованиях как секретное оружие.

После смерти дель Ферро его ученик Фиоре, владея секретной формулой, вызвал на математический поединок талантливого математика-самоучку Никколо Тарталья. За несколько дней до турнира Тарталья сам вывел формулу корней уравнения третьей степени. Диспут, на котором Тарталья одержал убедительную победу, состоялся 20 февраля 1535 года.

Впервые секретная формула была опубликована в книге известного итальянского ученого Джероламо Кардан о «Великое искусство». В этой работе также описан метод решения уравнения четвертой степени, открытый Людовико Феррари (1522—1565).

В XVTI-XVIII вв. усилия многих ведущих математиков были сосредоточены на поиске формулы для решения уравнений пятой степени. Получению результата способствовали работы итальянского математика Паоло Руффини (1765-1822) и норвежского математика Нильса Хенрика Абеля. Сам результат оказался абсолютно неожиданным: было доказано, что не существует формулы, с помощью которой можно выразить корни любого уравнения пятой и более высоких степеней через коэффициенты уравнения, используя лишь четыре арифметических действия и действие извлечения корня.

Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций

В п. 7 вы уже ознакомились с задачами, в которых рациональные уравнения служили математическими моделями реальных ситуаций. Теперь, когда вы научились решать квадратные уравнения, можно существенно расширить круг рассматриваемых задач.

Пример:

Из пункта выехал велосипедист, а через 45 мин после этого в том же направлении выехал грузовик, догнавший велосипедиста на расстоянии 15 км от пункта . Найдите скорость велосипедиста и скорость грузовика, если скорость грузовика на 18 км/ч больше скорости велосипедиста.

Решение:

Пусть скорость велосипедиста равна км/ч, тогда скорость грузовика составляет км/ч. Велосипедист проезжает 15 км за ч, а грузовик — за ч. Разность показывает, на сколько часов грузовик проезжает 15 км быстрее, чем велосипедист. Поскольку грузовик проехал 15 км на 45 мин,

то есть на ч, быстрее, чем велосипедист, то получаем уравнение

Решим это уравнение:

Решив квадратное уравнение системы, получим или

Корень —30 не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, скорость велосипедиста равна 12 км/ч, а скорость грузовика составляет: 12 + 18 = 30 (км/ч).

Ответ: 12 км/ч, 30 км/ч.

Пример:

Одна бригада работала на ремонте дороги 7 ч, после чего к ней присоединилась вторая бригада. Через 2 ч их совместной работы ремонт был завершен. За сколько часов может отремонтировать дорогу каждая бригада, работая самостоятельно, если первой для этого требуется на 4 ч больше, чем второй?

Решение:

Пусть первая бригада может самостоятельно отремонтировать дорогу за ч, тогда второй для этого нужно ч. За 1 ч первая бригада ремонтирует часть дороги, а вторая часть дороги. Первая бригада работала 9 ч и отремонтировала дороги, а вторая бригада работала 2 ч и отремонтировала соответственно дороги. Поскольку в результате была отремонтирована вся дорога, то можно составить уравнение

Полученное уравнение имеет два корня: и (убедитесь в этом самостоятельно). Второй корень не удовлетворяет условию задачи, поскольку тогда вторая бригада могла бы отремонтировать дорогу за 3 — 4 = —1 (ч), что не имеет смысла.

Следовательно, первая бригада может отремонтировать дорогу за 12 ч, а вторая — за 8 ч.

Ответ: 12 ч, 8 ч.

Пример:

Водный раствор соли содержал 120 г воды. После того как в раствор добавили 10 г соли, его концентрация увеличилась на 5 %. Сколько граммов соли содержал раствор первоначально?

Решение:

Пусть исходный раствор содержал г соли. Тогда его масса была равна г, а концентрация соли составляла

После того как к раствору добавили 10 г соли, ее масса

в растворе составила г, а масса раствора г. Теперь концентрация соли составляет что на 5 %, то есть на больше, чем Отсюда можно записать:

Полученное уравнение имеет два корня: и (убедитесь в этом самостоятельно), из которых второй корень не удовлетворяет условию задачи.

Следовательно, раствор содержал первоначально 30 г соли.

Ответ: 30 г.

ГЛАВНОЕ В ПАРАГРАФЕ 3

Уравнение первой степени

Уравнение вида где — переменная, и — некоторые числа, причем называют уравнением первой степени.

Квадратное уравнение

Уравнение вида где — переменная, и — некоторые числа, причем называют квадратным уравнением.

Приведенное квадратное уравнение

Квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1, называют приведенным.

Неполное квадратное уравнение

Если в квадратном уравнении хотя бы один из коэффициентов или равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Решение неполного квадратного уравнения

Дискриминант квадратного уравнения

Для уравнения вида где его дискриминант — это значение выражения

Решение квадратного уравнения

Если то квадратное уравнение корней не имеет.

Если то квадратное уравнение имеет один корень

Если то квадратное уравнение имеет два корня и :

Теорема Виета:

Если и — корни квадратного уравнения

то

Теорема, обратная теореме Виета

Если числа и таковы, что и то эти числа являются корнями квадратного уравнения

Квадратный трехчлен

Многочлен вида где — переменная, и — некоторые числа, причем называют квадратным трехчленом.

Разложение квадратного трехчлена на множители

Если дискриминант квадратного трехчлена положительный, то данный трехчлен можно разложить на линейные множители: — корни квадратного трехчлена.

Биквадратное уравнение

Уравнение вида где — переменная, и — некоторые числа, причем называют биквадратным уравнением.

—–

Квадратные уравнения

В этом разделе вы научитесь:

• решать квадратные уравнения различными способами;
• применять квадратные уравнения для решения задач;
• по каким формулам находят площади треугольников и четырёхугольников;
• применять формулы площадей при решении задач;
• находить площадь сложных фигур, разделяя их на простые геометрические фигуры.

Квадратные уравнения широко применяются в строительстве, финансах и дизайне.

На практике также, широко применяются формулы для вычисления площадей.

Это интересно!

Великий учёный Востока аль – Хорезми в своём труде «Китаб мухтасаб ал-джабр и ва-л-мукабала», что в переводе означает «Книга о восполнении и противопоставлении» показал различные способы решения квадратных уравнений. Одним из них является метод подбора. Хорезми выбирал число и подставлял его в уравнение вместо неизвестного. После чего, становилось понятно, является ли данное число корнем уравнения.

Например,

Квадратные уравнения

Уравнение вида при называется квадратным уравнением. Здесь – постоянные, – неизвестная. – первый коэффициент, – второй коэффициент, – свободный член.

Например, в уравнении

Если квадратное уравнение с обеих сторон разделить на , то получим уравнение Здесь, обозначив можно записать

Уравнение вида называется приведённым квадратным уравнением. Например, разделив уравнение на 2, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение

Неполные квадратные уравнения

Если в квадратном уравнении хотя бы один из коэффициентов или равен нулю, то такое уравнение называется неполным квадратным уравнением.

Уравнения, являются неполными квадратными уравнениями.

1) Решение уравнений вида Разделив обе части уравнения на число получим уравнение Его корнями является

Пример 1. Разделим обе части уравнения

2) Решение уравнений вида Для решения таких уравнений применяют вынесение общего множителя за скобку: Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, т.е. или Отсюда следует, что уравнение имеет два корня, один из которых всегда равен

Пример 2. Для решения уравнении надо левую часть уравнения разложить на множители:

3) Решение уравнений вида

Запишем уравнение в виде

Если имеют одинаковые знаки, то действительных корней нет (почему?). Если имеют разные знаки, то уравнение имеет два корня

Пример 3. Решим уравнение

Решение квадратного уравнения методом разложения на множители

Решение уравнения методом разложения на множители

Для разложения левой части уравнения на множители надо найти два числа тип (если это возможно), чтобы их произведение было равно а сумма . Если являются целыми числами, то и – также целые числа. В этом случае, если то заданной уравнение можно записать в виде :

Пример 1. В уравнении Так как и положительные числа, то надо найти два положительных числа, чтобы их произведение было равно 8, а сумма – равна 6. Это числа 2 и 4. Зная, что то уравнение можно записать в виде Отсюда находим

Пример 2. Так как в уравнении отрицательное число, а положительное, то надо найти два отрицательных числа, чтобы их произведение было равно 18, а сумма была равна -9. Зная, что то уравнение можно записать так Отсюда находим

Пример 3.

Корни уравнения

Пример 4.

Корни уравнения

Решение уравнения вида методом разложения на множители

Для разложения левой части уравнения на множители, надо найти два числа, чтобы их произведение было равно а сумма Тогда за-данное уравнение можно решить записав его в виде

Пример 1. Запишем уравнение в виде

Числа и такие , что

Тогда

Пример 2. Решим уравнение В нём тогда а значит оба числа и отрицательные. Найдём два целых отрицательных, числа, произведение которых равно 40, а сумма равна -13. Это числа -5 и -8.

Пример 3. В трёхчлене Составим список целых отрицательных множителей числа 16. Как видно целых чисел, которые удовлетворяют условию не существует. Это говорит о том, что данный трёхчлен невозможно разложить на множители.

Метод выделения полного квадрата

Для выделения полного квадрата из двухчленах его надо дополнить членом

Это правило одинаково как для положительных, так и для отрицательных Пример 1. Запишем уравнение в виде С обеих сторон дополним данное уравнение

Пример 2. Для решения уравнения методом выделения полного квадрата, сначала запишем его в виде Для того, чтобы выражение слева соответствовало модели площади квадрата, не хватает всего одной единичной алгебраической карты. Значит, с каждой стороны следует добавить 1. Тогда выражение слева можно представить в виде квадрата двухчлена так

Решение квадратного уравнения графическим методом

Графический метод

Запишем уравнение в виде Тогда решением уравнения будут абсциссы точек пересечения параболы и прямой При этом прямая может пересекаться с параболой (тогда уравнение имеет два различных корня), может касаться параболы (в этом случае уравнение удовлетворяется при единственном значении неизвестного) или может вообще не иметь общих точек с параболой (тогда уравнение не имеет действительных-корней).

Пример:

Графики пересекаются в двух точках. Абсциссы точек пересечения равны — 3 и 1. При проверке убеждаемся, что обе точки являются корнями уравнения.

Пример:

Для построения прямой составим таблицу

Абсцисса точки касания прямой и параболы равна 1. Уравнение удовлетворяется при единственном значении неизвестного:

Пример:

Графики не имеют точек пересечения. Это говорит о том, что данное уравнение не имеет действительных корней.

Обе части квадратного уравнения можно преобразовать в приведённое квадратное уравнение, разделив его на которое затем удобно решить по способу, представленному выше. Обычно графическим способом находятся приближенные значения корней.

Калькулятор для построения графиков

Используя онлайн калькуляторы для построения графиков можно построить различные графики. На рисунке представлены графики функций построенные при помощи графического калькулятора www.meta-calculator.com/online.

Решить квадратное уравнение также можно при помощи графического калькулятора, построив в одной системе координат параболу и прямую

На рисунке корни уравнение записанного в виде найдены графически при помощи графического калькулятора www.my.hrw.com/malh06_07/nsmedia/tools/Graph_Calcula-tor/graphCa lc.html

Формула для нахождения корней квадратного уравнения

Мы уже научились находить корни квадратного уравнения методом разложения на множители и методом выделения полного квадрата. Для нахождения корней любого квадратного уравнения методом выделения полного квадрата можно записать обобщённую формулу.

При эта формула является формулой корней квадратного уравнения

Если в формуле для нахождения корней квадратного уравнения принять то ее можно записать как

Наличие корней квадратного уравнения зависит от знака называется дискриминантом (определителем) квадратного уравнения.

1) Если то уравнение не имеет действительных корней.

2) Если то уравнение имеет два равных корня.

3) Если то уравнение имеет два различных корня:

Пример:

В уравнении Тогда а это значит, что уравнение имеет два различных действительных корня.

В уравнении дискриминант находится по формуле для приведённого квадратного уравнения При для корней приведённого квадратного уравнения, верны следующие формулы

Если второй коэффициент квадратного уравнения является четным числом (т.е. ), то уравнение можно записать в виде Тогда Обозначим тогда

Пример:

Решим уравнение

Теорема Виета

Решим приведённое квадратное уравнение: По формуле нахождения корней приведённого квадратного уравнения имеем т.е.

Внимание! Если сложить найденные корни, то получим число противоположное коэффициенту при На самом деле, из уравнения с другой стороны Если умножить полученные корни, получим число равное свободному члену уравнения: 3 • 4 = 12. Это свойство верно для любого приведённого квадратного уравнения.

Теорема: В приведённом квадратном уравнении сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение, равно свободному члену

Доказательство: Известно, что корни приведённого квадратного уравнения Отсюда получим:

Таким образом, для уравнения Если обе части любого квадратного уравнения разделить на , то получим равносильное приведённое квадратное уравнение Тогда к нему можно будет применить теорему Виета. Сумма корней равна а произведение равно Теорема Виета остаётся в силе, если (когда квадратное уравнение имеет два равных корня).

Найдём корни квадратного уравнения методом подбора. По теореме Виета

Таким образом корнями уравнения являются числа 4 и 5.

Теорема, обратная теореме Виета

Обратная теорема. Если сумма чисел равна а произведение равно то эти числа являются корнями уравнения

Эту теорему можно записать так: любые числа являются корнями уравнения

Доказательство. На самом деле, если принять, что то получим: т.е. число действительно удовлетворяет уравнению. Таким же образом можно показать, что число также является корнем уравнения.

Пример:

Составим квадратное уравнение, если известно, что числа и являются его корнями. Так как то уравнение будет выглядеть как

Решение задач при помощи квадратных уравнений

Задача. Один из катетов прямоугольного треугольника на 2 см больше другого и на 2 см меньше гипотенузы. Найдите периметр треугольника.

1 этап – составление уравнения

Обозначим длину одного из катетов через тогда длина другого катета будет а гипотенуза будет равна

2 этап – решение уравнения. Согласно теореме Пифагора получим уравнение

3 этап – решение уравнения. Преобразуем уравнение Отсюда

4 этап – анализ результата.

Решению задачи соответствует корень т.к. длины сторон выражаются положительными числами. Тогда длина другого катета будет а длина гипотенузы Периметр: Ответ: периметр треугольника равен 24 см.

• Заказать решение задач по высшей математике

Квадратные уравнения

Квадратные уравнения. Неполные квадратные уравнения

В математике, физике, экономике, практической деятельности человека встречаются задачи, математическими моделями которых являются уравнения, содержащие переменную во второй степени.

Пример №256

Длина земельного участка на 15 м больше ширины, а площадь равна Найдите ширину участка.

Решение:

Пусть м- ширина участка, тогда ее длина – м. По условию задачи площадь участка равна Тогда Получаем уравнение:

Такое уравнение называют квадратным.

Квадратным уравнением называют уравнение вида где —переменная, — некоторые числа, причем

Например, уравнения также являются квадратными.

Числа называют коэффициентами квадратного уравнения, число – первым коэффициентом, число – вторым коэффициентом, число – свободным членом.

В уравнении коэффициенты следующие: В уравнении следующие: а в уравнении следующие:

Квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1, называют приведенным. Уравнение – приведенное, а уравнение – не является приведенным.

Если в квадратном уравнении хотя бы один из коэффициентов или равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Например, неполным квадратным уравнением, в котором является уравнение в котором -уравнение в котором – уравнение

Таким образом, неполные квадратные уравнения бывают трех видов:

Рассмотрим решение каждого из них.

1.Уравнение вида

Так как имеем уравнение корнем которого является число 0.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень:

2.Уравнение вида

Имеем то есть Так как Если то уравнение имеет два корня:

Если то уравнение корней не имеет.

Пример №257

Решите уравнение:

Решение:

Ответ. 2) корней нет.

3. Уравнение вида

Разложим левую часть уравнения на множители и решим полученное уравнение где

Значит, уравнение имеет два корня:

Пример №258

Решите уравнение

Решение:

Имеем:

Таким образом,

Ответ.

Систематизируем данные о решениях неполного квадратного уравнения в виде схемы:

Формула корней квадратного уравнения

Рассмотрим полное квадратное уравнение где и найдем его решения в общем виде.

Умножим левую и правую части уравнения на (так как

Далее прибавим к обеим частям уравнения

Так как получим:

Выражение называют дискриминантом квадратного уравнения

Слово дискриминант происходит от латинского различающий. Дискриминант обозначают буквой

Учитывая, что запишем уравнение в виде:

и продолжим его решать.

Рассмотрим все возможные случаи в зависимости от значения

(при делении на учли, что

Следовательно, если то уравнение имеет два различных корня:

Коротко это можно записать так:

Получили формулу корней квадратного уравнения.

2) Тогда имеем уравнение

откуда

Таким образом, если то уравнение имеет один корень: Этот корень можно было бы найти и по формуле корней квадратного уравнения, учитывая, что Поэтому можно считать, что уравнение при имеет два одинаковых корня, каждый из которых равен

3) В этом случае уравнение не имеет корней, так как не существует такого значения при котором значение выражения было бы отрицательным.

Систематизируем данные о решениях квадратного уравнения с помощью схемы:

Пример №259

Решите уравнение:

Решение:

Ответ:

Пример №260

Решите уравнение

Решение:

Умножим левую и правую части уравнения на чтобы его коэффициенты стали целыми числами, получим уравнение:

тогда

Так как то

Ответ.

Неполные квадратные уравнения и некоторые виды полных квадратных уравнений (например, вида вавилонские математики умели решать еще 4 тыс. лет назад. В более поздние времена некоторые квадратные уравнения в Древней Греции и Индии математики решали геометрически. Приемы решения некоторых квадратных уравнений без применения геометрии изложил древнегреческий математик Диофант (III в.).

Много внимания квадратным уравнениям уделял арабский математик Мухаммед ал-Хорезми (IX в.). Он нашел, как решить уравнения вида (для положительных и получить их положительные корни.

Формулы, связывающие между собой корни квадратного уравнения и его коэффициенты, были найдены французским математиком Франсуа Виетом в 1591 году. Он пришел к следующему выводу (в современных обозначениях): «Корнями уравнения являются числа

После публикации трудов нидерландского математика А. Жирара (1595-1632), а также француза Р. Декарта (1596-1650) и англичанина И. Ньютона (1643-1727) формула корней квадратного уравнения приобрела современный вид.

Теорема Виета

Рассмотрим несколько приведенных квадратных уравнений, имеющих два различных корня. Внесем в таблицу следующие данные о них: само уравнение, его корни сумму его корней произведение его корней

Обратим внимание, что сумма корней каждого из уравнений таблицы равна второму коэффициенту уравнения, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Это свойство выполняется для любого приведенного квадратного уравнения, имеющего корни.

Приведенное квадратное уравнение в общем виде обычно записывают так:

Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней – свободному члену.

Доказательство: Пусть – корни приведенного квадратного уравнения дискриминант которого Если то уравнение имеет два корня:

Если то уравнение имеет два одинаковых корня:

Найдем сумму и произведение корней:

Следовательно, Теорема доказана.

Эту теорему называют теоремой Виета – в честь выдающегося французского математика Франсуа Виета, который открыл это свойство. Его можно сформулировать следующим образом:

Если и — корни приведенного квадратного уравнения

Два последних равенства, показывающих связь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения, называют формулами Виста.

Используя теорему Виета, можно записать соответствующие формулы и для корней любого неприведенного квадратного уравнения

Так как разделим обе части уравнения на Получим приведенное квадратное уравнение:

Тогда по теореме Виета:

Если — корни неприведенного квадратного уравнения то

Пример №261

Не решая уравнения найдите сумму и произведение его корней.

Решение:

Найдем дискриминант уравнения, чтобы убедиться, что корни существуют: Очевидно, что следовательно, уравнение имеет два корня

По теореме Виета:

Ответ.

Если в уравнении коэффициент является целым числом, то из равенства следует, что целыми корнями этого уравнения могут быть только делители числа

Пример №262

Найдите подбором корни уравнения

Решение:

Пусть – корни данного уравнения. Тогда Если – целые числа, то они являются делителями числа -4. Ищем среди этих делителей два таких, сумма которых равна -3. Нетрудно догадаться, что это числа 1 и -4. Таким образом,

Ответ. 1; -4.

Пример №263

Один из корней уравнения равен 3. Найдите коэффициент и второй корень уравнения.

Решение:

Пусть – один из корней уравнения – второй его корень. По теореме Виета: Учитывая, что имеем:

Ответ.

Пример №264

Пусть – корни уравнения Не решая уравнения, найдите значение выражения:

Решение:

По теореме Виета:

Тогда: 1)

Ответ.

Справедливо и утверждение, обратное теореме Виета.

Теорема (обратная теореме Виета). Если числа и таковы, что то эти числа являются корнями уравнения

Доказательство: По условию Поэтому уравнение можно записать так:

Проверим, является ли число корнем этого уравнения, для чего подставим в левую часть уравнения вместо переменной число Получим:

Следовательно, – корень этого уравнения.

Аналогично подставим в левую часть уравнения вместо переменной число Получим:

то есть – также корень этого уравнения.

Таким образом, корни уравнения что и требовалось доказать.

Пример №265

Составьте приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются числа -5 и 2.

Решение:

Искомое квадратное уравнение имеет вид По теореме, обратной теореме Виета:

Таким образом, – искомое уравнение.

Ответ,

Квадратное уравнение как математическая модель текстовых и прикладных задач

В 7 классе мы уже знакомились с задачами, которые можно решить с помощью линейных уравнений или систем линейных уравнений. Для решения прикладной задачи сначала создают ее математическую модель, то есть записывают зависимость между известными и неизвестными величинами с помощью математических понятий, отношений, формул, уравнений и т. п. Математической моделью многих задач в математике, физике, технике, практической деятельности человека может быть не только линейное уравнение или система линейных уравнений, но и квадратное уравнение.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример №266

Разность кубов двух натуральных чисел равна 279. Найдите эти числа, если одно из них на 3 больше другого.

Решение:

Пусть меньшее из этих чисел равно тогда большее равно По условию задачи имеем уравнение:

Упростим левую часть уравнения.

Получим: откуда По условию задачи Поэтому условию удовлетворяет только число 4. Следовательно, первое искомое число 4, а второе

Ответ. 4; 7.

Пример №267

В кинотеатре количество мест в ряду на 6 больше количества рядов. Сколько рядов в кинотеатре, если мест в нем 432?

Решение:

Пусть в кинотеатре рядов, тогда мест в каждом ряду Всего мест в зале

Имеем уравнение:

Перепишем уравнение в виде откуда

По смыслу задачи значение должно быть положительным. Этому условию удовлетворяет только Следовательно, в кинотеатре 18 рядов.

Ответ. 18 рядов.

Пример №268

У выпуклого многоугольника 54 диагонали. Найдите, сколько у него вершин.

Решение:

Пусть у многоугольника вершин. Из каждой его вершины выходит диагонали. Тогда из всех его вершин выходит диагонали. Но при этом каждую из его диагоналей посчитали дважды. Следовательно, всего диагоналей будет

Получим уравнение: то есть откуда Отрицательный корень уравнения не может быть решением задачи.

Ответ. 12.

Пример №269

Тело подбросили вертикально вверх со скоростью Высота (в м), на которой через с будет тело, вычисляется по формуле В какой момент времени тело окажется на высоте 15 м?

Решение:

По условию: , следовательно, после упрощения имеем уравнение: решив которое, найдем корни:

Оба корня являются решением задачи, так как на высоте 15 м тело окажется дважды: сначала при движении вверх (это произойдет через 1 с), а во второй раз – при падении (это произойдет через 3 с).

Ответ. 1 с, 3 с.

Пример №270

В 9 часов утра из базового лагеря в восточном направлении отправилась группа туристов со скоростью Через час из того же лагеря со скоростью отправилась другая группа туристов, но в северном направлении. В котором часу расстояние между группами туристов будет 17 км?

Решение:

За первый час первая группа туристов преодолеет 5 км: (рис. 19). Дальше будут двигаться обе группы.

Пусть расстояние в 17 км между группами будет через часов после начала движения второй группы. Тогда за это время первая группа преодолеет км, а вторая – км, Всего первая группа преодолеет расстояние

Из по теореме Пифагора тогда имеем уравнение: откуда

Учитывая, что получим

Следовательно, расстояние 17 км между группами туристов будет в 12 часов.

Ответ. В 12 часов.

В результате хозяйственной деятельности человека возникли прикладные задачи, решением которых люди занимаются уже на протяжении нескольких тысячелетий. Самые древние из известных нам письменных памятников, содержащих правила нахождения площадей и объемов, были составлены в Египте и Вавилоне приблизительно 4 тыс. лет назад. Около 2,5 тыс. лет назад греки переняли геометрические знания египтян и вавилонян и стали развивать теоретическую (чистую) математику.

Также в древние времена математики использовали математические модели, в частности и для геометрических построений (метод подобия фигур).

Современное понятие математической модели в качестве описания некоторого реального процесса языком математики стали использовать в середине XX в. в связи с развитием кибернетики – науки об общих законах получения, хранения, передачи и обработки информации. А раздел современной математики, изучающий математическое моделирование реальных процессов, даже выделили в отдельную науку – прикладную математику.

Существенный вклад в развитие прикладной математики был сделан нашими выдающимися земляками – математиками М.П. Кравчуком и М.В. Остроградским.

Развитие кибернетики связывают с именем академика Виктора Михайловича Глушкова – выдающегося математика, доктора физико-математических наук, профессора. В 1953 г. он возглавил лабораторию вычислительной техники Института математики, стал ее мозговым и энергетическим центром. На базе этой лаборатории в 1957 г. был создан Вычислительный центр, а в 1962 г. -Институт кибернетики который и возглавил В.М. Глушков. Лаборатория известна тем, что в 1951 г. в ней создали первую в Евразии Малую электронную счетную машину, а уже в Вычислительном центре завершили работу по созданию первой большой электронно-вычислительной машины. Сегодня Институт кибернетики носит имя В.М. Глушкова и является, в частности, разработчиком прикладных информационных технологий для решения неотложных практических задач, возникающих при моделировании экономических процессов, проектировании объектов теплоэнергетики, решении проблем экологии и защиты окружающей среды.

Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители

Выражения являются многочленами второй степени с одной переменной стандартного вида. Такие многочлены называют квадратными трехчленами.

Квадратным трехчленом называют многочлен вида переменная, – числа, причем

Например, выражение является квадратным трехчленом, у которого

Пример №271

Рассмотрим квадратный трехчлен Если то его значение равно нулю. Действительно, В таком случае число -1 называют корнем этого квадратного трехчлена.

Корнем квадратного трехчлена называют значение переменной, при котором значение трехчлена обращается в нуль.

Чтобы найти корни квадратного трехчлена нужно решить уравнение

Пример №272

Найдите корни квадратного трехчлена

Решение:

Решим уравнение Получим: Следовательно, корни квадратного трехчлена

Ответ.

Квадратный трехчлен, как и квадратное уравнение, может иметь два различных корня, один корень (то есть два равных корня) или не иметь корней. Это зависит от знака дискриминанта квадратного уравнения который также называют и дискриминантом квадратного трехчлена

Если то квадратный трехчлен имеет два различных корня, если то квадратный трехчлен имеет один корень (то есть два равных корня), если то квадратный трехчлен не имеет корней.

Если корни квадратного трехчлена известны, то его можно разложить на линейные множители, то есть на множители, являющиеся многочленами первой степени.

Теорема (о разложении квадратного трехчлена на множители). Если корни квадратного трехчлена то справедливо равенство

Доказательство: Если – корни квадратного уравнения (по теореме Виета).

Для доказательства теоремы раскроем скобки в правой части равенства:

Таким образом, что и требовалость доказать.

Если же квадратный трехчлен не имеет корней, то на линейные множители его разложить нельзя.

Пример №273

Разложите на множители квадратный трехчлен:

Решение:

1) Корни трехчлена – числа -1 и 2,5. Поэтому Это можно записать иначе, умножив первый в разложении множитель -2 на двучлен Получим:

2) Квадратное уравнение не имеет корней. Поэтому квадратный трехчлен на множители не разлагается.

3) Квадратное уравнение имеет два одинаковых корня Поэтому

Нетрудно заметить, что если квадратный трехчлен имеет два равных корня, то он представляет собой квадрат двучлена или произведение некоторого числа на квадрат двучлена.

Пример №274

Сократите дробь

Решение:

Числа 1 и -0,5 – корни квадратного трехчлена Поэтому Имеем:

Ответ.

При решении некоторых задач, связанных с квадратным трехчленом бывает удобно представить его в виде – некоторые числа. Такое преобразование называют выделением квадрата двучлена из квадратного трехчлена.

Пример №275

Выделите из трехчлена квадрат двучлена.

Решение:

Вынесем за скобки множитель 2:

Воспользовавшись формулой квадрата суммы двух чисел преобразуем выражение в скобках, считая, что Тогда откуда определяем, что число 4 является вторым слагаемым квадрата суммы, то есть поэтому добавим и вычтем

Ответ.

Пример №276

Дан квадратный трехчлен При каком значении он принимает наибольшее значение? Найдите это значение.

Решение:

Выделим из трехчлена квадрат двучлена:

Выражение при любом значении принимает не положительное значение, то есть причем это выражение равно нулю только при Поэтому при значение данного в условии трехчлена равно 16 и является для него наибольшим.

Таким образом, квадратный трехчлен принимает наибольшее значение, равное 16, при

Ответ. 16 при

Решение уравнений, сводящихся к квадратным

Дробные рациональные уравнения

Решение дробных рациональных уравнений часто сводится к решению квадратных уравнений. Вспомним один из методов решения дробного рационального уравнения

Пример №277

Решите уравнение

Решение:

Чтобы найти область допустимых значений переменной и общий знаменатель, разложим на множители знаменатели дробей в уравнении:

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей – выражение учитывая ОДЗ: Получим:

откуда

Ответ. 3.

Метод разложения многочлена на множители

Некоторые уравнения, правая часть которых равна нулю, можно решить с помощью разложения левой части на множители.

Пример №278

Решите уравнение

Решение:

Вынесем в левой части уравнения общий множитель за скобки. Получим:

Таким образом, уравнение имеет три корня:

Ответ. 0; 3; -5.

Биквадратные уравнения

Уравнение вида где называют биквадратным уравнением. Его можно решить с помощью введения новой переменной, то есть обозначив Тогда а исходное уравнение принимает вид:

Такой метод решения называют методом введения новой переменной или методом замены переменной.

Пример №279

Решите уравнение

Решение:

Сделаем замену получим уравнение корнями которого являются числа

Вернемся к переменной

Таким образом, корни исходного уравнения – числа 2 и -2.

Ответ. 2; -2.

Метод замены переменной

Не только биквадратные, но и некоторые другие виды уравнений можно решить, используя замену переменной.

Пример №280

Решите уравнение

Решение:

Если мы раскроем скобки в левой части уравнения, получим уравнение четвертой степени, которое не всегда возможно решить методами школьной математики. Поэтому скобки раскрывать не будем. Заметим, что в обеих скобках выражения, содержащие одинаковы, поэтому можно воспользоваться заменой Получим уравнение которое является квадратным относительно переменной Перепишем его в виде откуда

Возвращаемся к переменной

Таким образом, корнями исходного уравнения являются числа

Ответ.

Пример №281

Решите уравнение

Решение:

Раскроем скобки в каждой части уравнения:

Заметим, что выражения, содержащие переменную в обеих частях уравнения одинаковы, поэтому сделаем замену Получим уравнение с переменной

Найдем его корни:

Вернемся к переменной

Таким образом, исходное уравнение имеет три корня:

Ответ.

Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений

Дробные рациональные уравнения также могут служить математическими моделями текстовых задач.

Пример №282

Из одного города в другой, расстояние между которыми 560 км, одновременно выехали легковой и грузовой автомобили. Скорость легкового была на больше скорости грузового, поэтому он прибыл в пункт назначения на 1 ч раньше грузового. Найдите скорость каждого автомобиля.

Решение:

Пусть скорость грузового автомобиля Систематизируем условие задачи в виде таблицы:

Так как значение величины на 1 ч меньше значения величины то можем составить уравнение:

У него два корня: Отрицательный корень не соответствует смыслу задачи, поэтому скорость грузового автомобиля 70 Тогда скорость легкового автомобиля:

Ответ.

Пример №283

Мастер и его ученик, работая вместе, могут выполнить задание за 8 ч. За сколько часов может выполнить это задание самостоятельно каждый из них, если мастеру на это нужно на 12 ч меньше, чем его ученику?

Решение:

Пусть мастеру для самостоятельного выполнения задания нужно ч, тогда ученику ч. Если вид и объем работ в задачах на работу не конкретизирован (как в данном случае), его принято обозначать единицей. Напомним, что производительность труда – это объем работы, выполняемый за единицу времени. Тогда за 1 ч мастер выполнит — часть задания, а ученик часть, это и есть их производительности труда. По условию задачи мастер и ученик проработали 8 ч, поэтому мастер выполнил часть задания, а ученик Учитывая, что они выполнили все задание, имеем уравнение:

откуда

Второй корень не соответствует смыслу задачи, так как является отрицательным.

Таким образом, мастер, работая отдельно, может выполнить задание за 12 ч, а его ученик – за

Условие этой задачи, как и предыдущей, можно также систематизировать в виде таблицы:

Ответ. 12 ч и 24 ч.

Обратите внимание, что условия большинства задач на движение или работу можно систематизировать в виде таблицы, что поможет избежать громоздких текстовых записей.

«Желаю тебе стать вторым Остроградским…»

Михаил Васильевич Остроградский родился 12 сентября 1801 года в д. Пашенная Полтавской губернии (в настоящее время деревня Пашеновка). Предки Михаила Васильевича служили в казацком войске, участвовали во многих боях, не раз проявляли военную доблесть и героизм. По-видимому, именно поэтому в детстве Михаил Васильевич так мечтал стать военным. Но ему суждено было стать всемирно известным ученым.

В детстве Михаил обладал исключительной наблюдательностью и увлекался измерениями. Учился он в пансионе при Полтавской гимназии, потом в этой гимназии. Закончив ее, стал свободным слушателем Харьковского университета, а в дальнейшем и его студентом. После окончания университета с отличием в августе 1820 года, менее чем через год (в апреле 1821 года) получил степень кандидата наук за исследования в прикладной математике. В 1822 году Остроградский уезжает в Париж, чтобы усовершенствовать М.В. Остроградский свое математическое образование, и становится слушателем университета в Сорбонне.

Именно там он публикует свои первые научные труды, становится известным ученым и заслуживает уважение французских математиков. За неимением средств Михаил Васильевич вынужден был покинуть Париж, преодолев пешком зимой 1828 года путь от Парижа до Петербурга.

Научные круги Петербурга встретили молодого ученого с радостью и надеждой. Его авторитет среди петербургских деятелей науки был высоким и незыблемым. В том же 1828 году Остроградский начинает преподавательскую деятельность в Морском кадетском корпусе Петербурга, его избирают адъюнктом Петербургской академии наук. А с 1830 года преподает еще в четырех высших учебных заведениях Петербурга. В 1834 году Остроградский был избран членом Американской академии наук, в 1841 году – членом Туринской академии, в 1853 – членом Римской академии Линчей и в 1856 году -членом-корреспондентом Парижской академии наук.

Лекции Остроградского посещали не только студенты, но и преподаватели, профессура, известные математики. Всем нравилась его система преподавания предмета – широта темы, но при этом выразительность и сжатость изложения, а также его остроумие. На лекциях он украшал свою речь словами, пословицами и поговорками. Поэтому студенты вспоминали его лекции с восторгом.

Любимым писателем Остроградского был Т.Г. Шевченко, с которым он был лично знаком и значительную часть произведений которого, зная наизусть, охотно декламировал. В 1858 году, когда Тарас Григорьевич возвращался из ссылки на родину через Петербург, Михаил Васильевич предложил Кобзарю остановится в его петербургской квартире.

Вернувшись из ссылки, Шевченко писал в «Дневнике»: «Великий математик принял меня с распростертыми объятиями, как земляка и как надолго выехавшего члена семьи».

Михаил Васильевич был выдающимся, оригинальным, всесторонне одаренным человеком. Его ценили не только за ум, но и за независимость, демократизм, скромность, искренность и простоту, за уважение к людям труда. Находясь на вершине славы, отмеченный за свои научные труды во всей Европе, Остроградский был прост в общении и не любил говорить о своих заслугах.

И какие бы проблемы не решал ученый (занимался он алгеброй, прикладной математикой, теорией чисел, теорией вероятностей, механикой и т. п.), все его научные труды отличаются глубиной мысли и оригинальностью, в них неизменно присутствует широта его взглядов, умение углубиться в суть проблемы, систематизировать и обобщить.

На всю жизнь Михаил Васильевич сохранил любовь к родной Земле и родному языку. Почти ежегодно летом он выезжал с целью погрузиться в полное спокойствие и полюбоваться замечательными пейзажами. Летом 1861 года Остроградский, пребывая на родине, заболел и 1 января 1862 года умер.

За свою почти 40-летнюю научную деятельность Михаил Васильевич написал свыше 50 трудов из разных отраслей математики: математического анализа, аналитической и небесной механики, математической физики, теории вероятностей. Свои педагогические взгляды М.В. Остроградский изложил в учебниках по элементарной и высшей математике.

Именем М.В. Остроградского назван Кременчугский национальный университет.

И хотя почти всю свою жизнь Михаил Остроградский занимался наукой, он был широко известен своим соотечественникам. Авторитет и популярность М.В. Остроградского были настолько значимыми, что родители, отдавая ребенка на учебу, желали ему «стать вторым Остроградским».

Сведения из курса математики 5-6 классов и алгебры 7 класса

Десятичные дроби

Сложение и вычитание десятичных дробей выполняют поразрядно, записывая их одна под другой так, чтобы запятая размещалась под запятой.

Примеры:

Чтобы перемножить две десятичные дроби, надо выполнить умножение, не обращая внимания на запятые, а потом в произведении отделить занятой справа налево столько цифр, сколько их после занятой в обоих множителях вместе.

Примеры:

Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, надо выполнить деление, не обращая внимания на запятую, но после окончания деления целой части делимого нужно в частном поставить занятую.

Примеры:

Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную, нужно в делимом и делителе перенести запятую на столько цифр вправо, сколько их стоит после запятой в делителе, а затем выполнить деление на натуральное число.

Пример:

Обычные дроби

Частное от деления числа на число можно записать в виде обычной дроби где числитель дроби, – ее знаменатель.

Основное свойство дроби: значение дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число.

Примеры:

(сократили дробь на 5);

(привели дробь к знаменателю 14).

Дроби с одинаковыми знаменателями складывают и вычитают по формулам:

Примеры:

Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, их сначала приводят к общему знаменателю, а затем выполняют действие по правилу сложения или вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Примеры:

На следующих примерах показано, как выполнить сложение и вычитание смешанных чисел.

Примеры:

Чтобы умножить две дроби, нужно перемножить их числители и их знаменатели и первый результат записать числителем произведения, а второй – знаменателем:

Примеры:

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю:

Примеры:

Положительные и отрицательные числа

Модулем числа называют расстояние от начала отсчета до точки, изображающей это число на координатной прямой.

Модуль положительного числа и числа нуль – само это число, а модуль отрицательного – противоположное ему число:

Примеры:

Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и перед полученным результатом записать знак

Пример:

Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из большего модуля слагаемых вычесть меньший модуль и перед полученным результатом записать знак слагаемого с большим модулем.

Примеры:

Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому:

Примеры:

Произведение двух чисел с одинаковыми знаками равно произведению их модулей. Произведение двух чисел с разными знаками равно произведению их модулей, взятому со знаком «-».

Примеры:

Частное двух чисел с одинаковыми знаками равно частному от деления их модулей. Частное двух чисел с разными знаками равно частному от деления их модулей, взятому со знаком «-».

Примеры:

Уравнение

Корнем, или решением, уравнения называют число, обращающее уравнение в правильное числовое равенство.

Примеры:

1) Число 3 является корнем уравнения так как

2) Число -2 не является корнем уравнения так как

Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Два уравнения называют равносильными, если они имеют одни и те же корни. Равносильными считают и уравнения, не имеющие корней.

Примеры:

1) Уравнения равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень, равный 2.

2) Уравнения не являются равносильными, так как корень первого – число 1, а второго – число 2.

Для решения уравнений используют следующие свойства:

1) если в любой части уравнения раскрыть скобки или привести подобные слагаемые, получим уравнение, равносильное данному;

2) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, получим уравнение, равносильное данному;

3) если обе части уравнения

Уравнение вида где числа, переменная, называют линейным уравнением с одной переменной.

Решение линейного уравнения представим в виде схемы:

Примеры:

В большинстве случаев уравнения последовательными преобразованиями приводят к линейному уравнению, равносильному данному.

Примеры:

Раскроем скобки: Перенесем слагаемые, содержащие переменную, в левую часть уравнения, остальные – в правую, изменив знаки переносимых слагаемых на противоположные: приведем подобные слагаемые: решим полученное линейное уравнение:

Ответ.

Умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей дробей – число 6:

Дальше решаем, как в предыдущем примере:

Ответ. Любое число.

Степень с натуральным показателем

Степенью числа с натуральным показателем называют произведение множителей, каждый из которых равен Степенью числа с показателем 1 называют само это число.

Примеры:

Свойства степени с натуральным показателем

Примеры:

Используя свойства степени с натуральным показателем, можем существенно упростить вычисления.

Одночлен

Целые выражения – числа, переменные, их степени и произведения называют одночленами.

Например – одночлены; выражения Не одночлены.

Если одночлен содержит только один числовой множитель, записанный первым, и содержит степени разных переменных, то такой одночлен называют одночленом стандартного вида.

Например, – одночлен стандартного вида, а одночлен не является одночленом стандартного вида.

Этот одночлен можно привести к одночлену стандартного вида:

Умножение одночленов

Примеры:

Возведение одночлена в степень

Примеры:

Многочлен

Многочленом называют сумму одночленов. Многочлен, являющийся суммой одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных слагаемых, называют многочленом стандартного вида.

Многочлен не является многочленом стандартного вида, но его можно привести к стандартному виду:

Сложение и вычитание многочленов

Умножение одночлена на многочлен

Умножение многочлена на многочлен

Формулы сокращенного умножения

Разложение многочленов на множители

Вынесение общего множителя за скобки

Способ группировки

Использование формул сокращенного умножения

Примеры:

Функция

Если каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной, то такую зависимость называют функциональной зависимостью, или функцией.

Переменную в этом случае называют независимой переменной (или аргументом), а переменную – зависимой переменной (или функцией от заданного аргумента).

Все значения, которые принимает независимая переменная (аргумент), образуют область определения функции; все значения, которые принимает зависимая переменная (функция), образуют область значений функции.

Линейной называют функцию, которую можно задать формулой вида независимая переменная, -некоторые числа.

Графиком любой линейной функции является прямая. Для построения графика линейной функции достаточно найти координаты двух точек графика, отметить эти точки на координатной плоскости и провести через них прямую.

Пример:

Построим график функции

Составим таблицу для любых двух значений аргумента:

Отметим на координатной плоскости полученные точки и проведем через них прямую (рис. 20).

Пример:

Построим график функции Любому значению соответствует одно и то же значение равное числу -2. Графиком функции является прямая, состоящая из точек с координатами – любое число. Обозначим две любые такие точки, например и проведем через них прямую (рис. 21).

Системы линейных уравнений с двумя переменными

Если нужно найти общее решение двух (или более) уравнений, то говорят, что эти уравнения образуют систему уравнений.

Пример:

система уравнений с двумя неизвестными

Решением системы уравнений с двумя переменными называют пару значений переменных, при которых каждое уравнение обращается в верное числовое равенство.

Пара чисел является решением данной выше системы, поскольку

Пара чисел не является решением системы. Для этих значений переменных первое уравнение обращается в верное равенство а второе – нет

Решить систему уравнений – значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.

Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки Решить систему уравнений

Решение системы двух линейных уравнении с двумя переменными способом сложения

Решить систему уравнений