Как найти все отрицательные решения неравенства

Прежде чем перейти к определению и решению неравенств давайте вспомним, какие знаки используют в математике для
сравнения величин.

Символ	Название	Тип знака
>	больше	строгий знак (число на границе не включается)
<	меньше	строгий знак (число на границе не включается)
≥	больше или равно	нестрогий знак (число на границе включается)
≤	меньше или равно	нестрогий знак (число на границе включается)

Теперь мы можем разобраться, что называют линейным неравенством и чем неравенство
отличается от уравнения.

В отличии от уравнения в неравенстве вместо знака равно «=» используют любой
знак сравнения: «>», «<»,
«≤» или «≥».

Рассмотрим пример линейного неравенства.

x − 6 < 8

Так как в неравенстве «x − 6 < 8»
неизвестное «x» стоит в первой степени, такое неравенство называют линейным.

Как решить линейное неравенство

При решении линейных неравенств используют правило переноса и правило деления неравенства на число.

Правило переноса в неравенствах

Также как и в уравнениях,
в неравенствах можно переносить
любой член неравенства из левой части в правую и наоборот.

Вернемся к нашему неравенству и используем правило переноса.

x − 6 < 8
x < 8 + 6
x < 14

Итак, мы получили ответ к неравенству «x < 14». Но что означает такой
ответ?

Для того, чтобы понять, что получается при решении неравенства, нам нужно вспомнить,
понятие числовой оси.

Нарисуем числовую ось для неизвестного «x» и отметим на ней число «14».

Заштрихуем на числовой оси по полученному ответу «x < 14» все решения неравенства, то есть область
слева от числа «14».

Рисунок выше говорит о том, что любое число из заштрихованной области при подстановке в исходное неравенство
«x − 6 < 8»
даст верный результат.

Возьмем, например число «12» из заштрихованной области и подставим его
вместо «x» в исходное неравенство «x − 6 < 8».

Другими словами, можно утверждать, что любое число из заштрихованной области будет являться решением неравенства.

Решением неравенства
называют множество чисел из заштрихованной области на числовой оси.

В нашем примере ответ «x < 14» можно понимать так: любое число из
заштрихованной области (то есть любое число меньшее
«14») будет являться решением неравенства
«x − 6 < 8».

Правило умножения или деления неравенства на число

Рассмотрим другое неравенство.

2x − 16 > 0

Используем правило переноса и перенесём все числа без неизвестного, в правую часть.

2x − 16 > 0
2x > 16

Теперь нам нужно сделать так, чтобы при неизвестном «x»
стоял коэффициент «1». Для этого достаточно разделить и левую,
и правую часть на число «2».

Разделим «2x > 16» на «2».
Так как «2» —
положительное число, знак неравенства останется прежним.

          2x > 16     | (:2)
2x (:2) > 16 (:2)      
x > 8        

Ответ: x > 8

---

Рассмотрим другое неравенство.

9 − 3x ≥ 0

Используем правило переноса.

9 − 3x ≥ 0
−3x ≥ −9

Разделим неравенство на «−3».
Так как мы делим неравенство на отрицательное число, знак неравенства поменяется на противоположный.

−3x ≥ −9
                   −3x ≥ −9      | :(−3)
−3x : (−3) ≤ −9 :(−3)
x ≤ 3

Ответ: x ≤ 3

Примеры решения линейных неравенств

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

Неравенство с одной переменной — это два выражения с переменной, соединенные знаком неравенства ((gt; ; lt; ; leq; ; geq)).

Решением неравенств с одной переменной называется такое значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

Решить неравенство — это значит найти все его решения или доказать, что их нет, т.е. найти множество решений неравенства.
Решением неравенства с одной переменной, как правило, является числовой промежуток или совокупность промежутков.

Числовой промежуток — это множество чисел, удовлетворяющих одному из условий, перечисленных в первом столбце таблицы.

Числовые промежутки	Обозначение	Название
(a lt x lt b)	((a; b))	Открытый промежуток, интервал
(x gt a)	((a; +infty))
(x lt a)	((-infty; a))
x — любое	((-infty;+infty))
(a leq x leq b)	([a;b])	Закрытый промежуток, отрезок
(a lt x leq b)	((a; b])	Полуоткрытый промежуток, полуинтервал
(a leq x lt b)	([a; b))
(x leq a)	((-infty; a])
(x geq a)	([a; +infty))

Равносильными (эквивалентами) называются неравенства, имеющие одно и то же множество решений (в частности, не имеющие решений).

Чтобы получить неравенство, равносильное данному, можно производить действия, вытекающие из свойств числовых неравенств:

• к обеим частям неравенства прибавлять одно и то же число;
• умножать обе части неравенства на одно и то же число;
• умножать обе части неравенства на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный.

Схема решения неравенств первой степени (линейных) с одной переменной

(a cdot x geq b)
(a neq 0)	(a = 0) (0 cdot x geq b)
(a gt 0) (x ge frac{b}{a}) (x in left[frac{b}{a}; +inftyright))	(a lt 0) (x le frac{b}{a}) (x in left(-infty; frac{b}{a}right])	(b gt 0) нет решений	(b le 0) ( x ) — любое число (x in (-infty; +infty) )

В случае строгого неравенства (ax gt b) схема аналогична, но все неравенства таже строгие, а интервалы — открытые.

Метод интервалов при решении неравенств

Этот метод удобен для решения неравенства вида ( P(x) gt 0 ; (lt; ; geq; ; leq) ), или ( frac{P(x)}{Q(x)} gt 0 ; (lt; ; geq; ; leq) ),
где P(x) и Q(x) — многочлены, раскладываемые на множетели.

1. Рассмотрим неравенство ( P(x) gt 0 ), и пусть многочлен ( P(x) ) раскладывается на множетели следующим образом:
   (P(x)=(x-x_1)(x-x_2)…(x-x_n) gt 0) , где (x_1, x_2, …x_n) – корни данного многочлена и (n geq 2).

   Предположим, что все эти корни разные.

   Знак левой части неравенства зависит от комбинации знаков линейных множителей и меняется в каждой из точек (x_1, x_2, …x_n).
   Допустим, что (x_1 lt x_2 lt x_3 lt … lt x_n).
   При (x gt x_n) все линейные множетели положительны, и вся левая часть тоже.
   При (x_{n-1} lt x lt x_n) меняет знак только последний множитель, значит, и все выражение отрицательно.
   При (x_{n-2} lt x lt x_{n-1}) отрицательны два последних множителя, значит левая часть опять положительна (т.к. «минус» умножить на «минус» получим «плюс») и т.д.

   Эти рассуждения позволяют сразу найти все решения неравенства, если воспользоваться числовой прямой.

   
   
   отметим на числовой прямой числа (x_1, x_2, …x_n) и проведём через них кривую (как показано на рисунке).

   В общем виде нельзя показать, как эта кривая пересечет прямую в точках (x_1 и x_2), т.к. мы не знаем, четно или нечетно n.
   Если кривая проведена именно таким образом, то участки кривой, лежащие над числовой прямой, соответствует решению неравенства (P(x)gt 0),
   а участки кривой, лежащие под осью – решение неравенства (P(x)lt 0),
   (в случае строго неравенства берутся открытые промежутки, в случае нестрого — закрытые).

   Так в нашем случае:
   (P(x)gt 0) при (x in …(x_{n-2};x_{n-1})bigcup{(x_n;+infty)} )
   (P(x)leq 0) при (x in …[x_{n-3};x_{n-2}]bigcup{[x_{n-1};x_n]} )

   Пример

   ( x(x-4)(x+8)(x-1,5)(2x+6)geq 0 )

   
   
   при (x in [-8; -3] bigcup [0; 1.5] bigcup [4; +infty) )

2. Пусть теперь среди множителей встречаются одинаковые (кратные).
   Их произведение тогда можно записать с помощью степени в виде ((x-a)^2) или ((x+b)^3) и т.д.

   Если в разложении P(x) входит множитель вида ((x-a)^m), где m нечетно,
   мы можем заменить его при решении неравенства множителем ((x-a)), т.к. у них знак один и тот же.

   Если в разложении P(x) входит множитель вида ((x-a)^m), где m четно,
   то в нестрогом неравенстве его можно просто опустить, т.к. он положителен и никак не влияет на знак.
   В случае строгого неравенства просто опустить множитель ((x-a)^2, ;; (x-a)^4) и т.д. нельзя,
   т.к. мы должны включить в множество решений неравенства точку (x=a), для которой (P(x)=0).

   Пример

   • ( x(x-3)^3 cdot (x-5) gt 0 )

     т.к. корень x = 3 имеет кратность 3 (нечетная), то знак меняется.
     
     решение: ( x in (0; 3) bigcup (5; +infty) )
   • ( x(x-3)^2 cdot (x-5) leq 0 )

     т.к. корень x = 3 имеет кратность 2 (четная), то знак не меняется.
     
     решение: ( x in [0; 3] bigcup [3; 5] ) или ( x in [0; 5] )

   • ( x(x-3)^2 cdot (x-5) lt 0 )

     т.к. корень x = 3 имеет кратность 2 (четная), то знак не меняется.
     решение: ( x in (0; 3) bigcup (3; 5) )

3. В разложение многочлена входит квадратный трёхчлен, который не имеет действительных корней, а значит, не раскладывается на линейные множители.
   В этом случае он нигде не обращается в нуль и не меняет знак, следовательно, его можно отбросить, если этот трёхчлен принимает только положительные значения.
   Если же квадратный трёхчлен принимает только отрицательные значения, то его тоже можно отбросить, но при этом поменять знак неравенства на противоположный.

   Пример

   ( (x+3) cdot (x^2 + 3x + 10) gt 0 )
   Т.к. трехчлен не имеет действительных корней ( (D lt 0) ) и коэффициент при (x^2) положителен,
   то этот трёхчлен принимает положительные значения для всех ( x ),
   т.е. решение исходного неравенства равносильно решению неравенства ( x+3 gt 0 ).
   Откуда ( x gt -3 ).

4. Пусть надо решить неравенство вида:

   ( frac{P(x)}{Q(x)} gt 0 ;; (lt, ; geq, ; leq) )
   где ( P(x) ) и ( Q(x) ) — многочлены, которые можно разложить на множители.

   Поскольку на знак выражения не влияет, находится ли множитель в числителе или в знаменателе,
   то это неравенство можно заменить неравенством (P(x) cdot Q(x)gt 0),
   т.е. решение свести к первому случаю, но при этом обязательно исключить точки, в которых (Q(x)=0).
   Если неравенство не строгое, то значения ( x ), при которых (Q(x)=0),
   могут войти в множество решений неравенства (P(x) cdot Q(x)geq 0);
   в этом случае их необходимо исключить из ответа, т.к. они не входят в ОДЗ исходного неравенства.
   В случае же строгого неравенства этого можно не опасаться.

   Пример

   $$ frac{x(x+5)}{(x-3)(x+7)^2}leq 0 $$
   т.к. ( (x+7)^2 geq 0 ), то исходное неравенство равносильно следующей системе:
   $$ begin{cases}
   x(x+5)(x-3) leq 0 \
   x neq 3 \
   x neq -7
   end{cases} $$

   решение выглядит так:

   
   
   ответ: (x in (-infty; -7) bigcup (-7;-5) bigcup [0;3)).

5. Прежде чем применить метод интервалов, необходимо привести линейные множители к виду (x-a),
   разделив обе части неравенства на коэффициент при ( x ) (в каждой скобке).
   многочлены при этом нужно разложить на множители.

   Пример

   $$ (5x+3)(6-2x)(x^2-2x-3) geq 0 $$
   Преобразуем выражение и получим:
   $$ (x+frac{3}{5})(3-x)(x+1)(x-3) geq 0 $$

   
   
   Ответ: (x in [-1; -3/5] bigcup [3; 3] ).

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Неравенства” на канале Ёжику Понятно.

Содержание страницы:

Неравенства

Что такое неравенство? Если взять любое уравнение и знак     =     поменять на любой из знаков неравенства:

>    больше,

≥    больше или равно,

<    меньше,

≤    меньше или равно,

то получится неравенство.

Линейные неравенства

Линейные неравенства – это неравенства вида:

a x < b a x ≤ b a x > b a x ≥ b

где a и b – любые числа, причем a ≠ 0, x – переменная.

Примеры линейных неравенств:

3 x < 5 x − 2 ≥ 0 7 − 5 x < 1 x ≤ 0

Решить линейное неравенство – получить выражение вида:

x < c x ≤ c x > c x ≥ c

где c – некоторое число.

Последний шаг в решении неравенства – запись ответа. Давайте разбираться, как правильно записывать ответ.

Таблица числовых промежутков

Неравенство	Графическое решение	Форма записи ответа
x < c		x ∈ ( − ∞ ; c )
x ≤ c		x ∈ ( − ∞ ; c ]
x > c		x ∈ ( c ; + ∞ )
x ≥ c		x ∈ [ c ; + ∞ )

Алгоритм решения линейного неравенства

Примеры решения линейных неравенств:

№1. Решить неравенство    3 ( 2 − x ) > 18.

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6 − 3 x > 18

− 3 x > 18 − 6 − 3 x > 12 | ÷ ( − 3 )

Делим обе части неравенства на (-3) – коэффициент, который стоит перед  x. Так как    − 3 < 0 ,   знак неравенства поменяется на противоположный. x < 12 − 3 ⇒ x < − 4 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 4 )

№2. Решить неравество    6 x + 4 ≥ 3 ( x + 1 ) − 14.

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6 x + 4 ≥ 3 x + 3 − 14

6 x − 3 x ≥ 3 − 14 − 4

3 x ≥ − 15         |     ÷ 3 Делим обе части неравенства на (3) – коэффициент, который стоит перед  x. Так как 3 > 0,   знак неравенства после деления меняться не будет.

x ≥ − 15 3 ⇒ x ≥ − 5 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).

Ответ: x ∈ [ − 5 ;     + ∞ )

Особые случаи (в 14 задании ОГЭ 2019 они не встречались, но знать их полезно).

Примеры:

№1. Решить неравенство    6 x − 1 ≤ 2 ( 3 x − 0,5 ).

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6 x − 1 ≤ 6 x − 1

6 x − 6 x ≤ − 1 + 1

0 ≤ 0

Получили верное неравенство, которое не зависит от переменной x. Возникает вопрос, какие значения может принимать переменная x, чтобы неравенство выполнялось? Любые! Какое бы значение мы ни взяли, оно все равно сократится и результат неравенства будет верным. Рассмотрим три варианта записи ответа.

Ответ:

1. x – любое число
2. x ∈ ( − ∞ ; + ∞ )
3. x ∈ ℝ

№2. Решить неравенство    x + 3 ( 2 − 3 x ) > − 4 ( 2 x − 12 ).

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

x + 6 − 9 x > − 8 x + 48

− 8 x + 8 x > 48 − 6

0 > 42

Получили неверное равенство, которое не зависит от переменной x. Какие бы значения мы ни подставляли в исходное неравенство, результат окажется одним и тем же – неверное неравенство. Ни при каких значениях x исходное неравенство не станет верным. Данное неравенство не имеет решений. Запишем ответ.

Ответ: x ∈ ∅

Квадратные неравенства

Квадратные неравенства – это неравенства вида: a x 2 + b x + c > 0 a x 2 + b x + c ≥ 0 a x 2 + b x + c < 0 a x 2 + b x + c ≤ 0 где a, b, c – некоторые числа, причем   a ≠ 0, x – переменная.

Существует универсальный метод решения неравенств степени выше первой (квадратных, кубических, биквадратных и т.д.) – метод интервалов. Если его один раз как следует осмыслить, то проблем с решением любых неравенств не возникнет.

Для того, чтобы применять метод интервалов для решения квадратных неравенств, надо уметь хорошо решать квадратные уравнения (см. урок 4).

Алгоритм решения квадратного неравенства методом интервалов

Примеры решения квадратных неравенств:

№1. Решить неравенство    x 2 ≥ x + 12.

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c   ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

x 2 ≥ x + 12

x 2 − x − 12 ≥ 0

x 2 − x − 12 = 0

a = 1, b = − 1, c = − 12

D = b 2 − 4 a c = ( − 1 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 12 ) = 1 + 48 = 49

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 1 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 1 ± 7 2 = [ 1 + 7 2 = 8 2 = 4 1 − 7 2 = − 6 2 = − 3

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 6. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x 2 − x − 1 = 6 2 − 6 − 1 = 29 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 6 будет   +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

В ответ пойдут два интервала. В математике для объединения нескольких интервалов используется знак объединения: ∪ .

Точки -3 и 4 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ:   x ∈ ( − ∞ ; − 3 ] ∪ [ 4 ; + ∞ )

№2. Решить неравенство    − 3 x − 2 ≥ x 2 .

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c   ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

− 3 x − 2 ≥ x 2

− x 2 − 3 x − 2 ≥ 0

− x 2 − 3 x − 2 = 0

a = − 1, b = − 3, c = − 2

D = b 2 − 4 a c = ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 2 ) = 9 − 8 = 1

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 1 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 1 − 2 = [ 3 + 1 − 2 = 4 − 2 = − 2 3 − 1 − 2 = 2 − 2 = − 1

x 1 = − 2, x 2 = − 1

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0. Подставляем эту точку в исходное выражение:

− x 2 − 3 x − 2 = − ( 0 ) 2 − 3 ⋅ 0 − 2 = − 2 < 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет   − .

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства   ≥ , выбираем в ответ интервал со знаком   +.

Точки -2 и -1 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ:   x ∈ [ − 2 ; − 1 ]

№3. Решить неравенство   4 < x 2 + 3 x .

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c   ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

4 < x 2 + 3 x

− x 2 − 3 x + 4 < 0

− x 2 − 3 x + 4 = 0

a = − 1, b = − 3, c = 4

D = b 2 − 4 a c =   ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 4 = 9 + 16 = 25

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 25 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 5 − 2 = [ 3 + 5 − 2 = 8 − 2 = − 4 3 − 5 − 2 = − 2 − 2 = 1

x 1 = − 4, x 2 = 1

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2. Подставляем эту точку в исходное выражение:

− x 2 − 3 x + 4 = − ( 2 ) 2 − 3 ⋅ 2 + 4 = − 6 < 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет   -.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства   < ,  выбираем в ответ интервалы со знаком   − .

Точки -4 и 1 будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ:   x ∈ ( − ∞ ; − 4 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

№4. Решить неравенство   x 2 − 5 x < 6.

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c   ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

x 2 − 5 x < 6

x 2 − 5 x − 6 < 0

x 2 − 5 x − 6 = 0

a = 1, b = − 5, c = − 6

D = b 2 − 4 a c = ( − 5 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 25 + 25 = 49

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 5 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 5 ± 7 2 = [ 5 + 7 2 = 12 2 = 6 5 − 7 2 = − 2 2 = − 1

x 1 = 6, x 2 = − 1

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 10. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x 2 − 5 x − 6 = 10 2 − 5 ⋅ 10 − 6 = 100 − 50 − 6 =   44 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 10 будет   +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства   < , выбираем в ответ интервал со знаком   -.

Точки -1 и 6 будут в круглых скобках, так как они выколотые

Ответ:   x ∈ ( − 1 ; 6 )

№5. Решить неравенство   x 2 < 4.

Решение:

Переносим 4 в левую часть, раскладываем выражение на множители по ФСУ и находим корни уравнения.

x 2 < 4

x 2 − 4 < 0

x 2 − 4 = 0

( x − 2 ) ( x + 2 ) = 0 ⇔ [ x − 2 = 0 x + 2 = 0   [ x = 2 x = − 2

x 1 = 2, x 2 = − 2

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 3. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x 2 − 4 = 3 2 − 4 = 9 − 4 = 5 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 3 будет   +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства   < ,   выбираем в ответ интервал со знаком   − .

Точки -2 и 2 будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ:   x ∈ ( − 2 ; 2 )

№6. Решить неравенство   x 2 + x ≥ 0.

Решение:

Выносим общий множитель за скобку, находим корни уравнения   x 2 + x = 0.

x 2 + x ≥ 0

x 2 + x = 0

x ( x + 1 ) = 0 ⇔ [ x = 0 x + 1 = 0 [ x = 0 x = − 1

x 1 = 0, x 2 = − 1

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 1. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x 2 + x = 1 2 + 1 = 2 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 1 будет   +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства   ≥ ,  выбираем в ответ интервалы со знаком   +.

В ответ пойдут два интервала. Точки -1 и 0 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ:   x ∈ ( − ∞ ; − 1 ] ∪ [ 0 ; + ∞ )

Вот мы и познакомились с методом интервалов. Он нам еще пригодится при решении дробно рациональных неравенств, речь о которых пойдёт ниже.

Дробно рациональные неравенства

Дробно рациональное неравенство – это неравенство, в котором есть дробь, в знаменателе которой стоит переменная, т.е. неравенство одного из следующих видов:

f ( x ) g ( x ) < 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0

Дробно рациональное неравенство не обязательно сразу выглядит так. Иногда, для приведения его к такому виду, приходится потрудиться (перенести слагаемые в левую часть, привести к общему знаменателю).

Примеры дробно рациональных неравенств:

x − 1 x + 3 < 0 3 ( x + 8 ) ≤ 5 x 2 − 1 x > 0 x + 20 x ≥ x + 3

Как же решать эти дробно рациональные неравенства? Да всё при помощи того же всемогущего метода интервалов.

Алгоритм решения дробно рациональных неравенств:

Примеры решения дробно рациональных неравенств:

№1. Решить неравенство   x − 1 x + 3 > 0.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

Ответ:   x ∈ ( − ∞ ; − 3 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

№2. Решить неравенство   3 ( x + 8 ) ≤ 5.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

Ответ:   x ∈ ( − ∞ ; − 8 ) ∪ [ − 7,4 ; + ∞ )

№3. Решить неравенство   x 2 − 1 x > 0.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

Ответ:   x ∈ ( − 1 ; 0 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

Системы неравенств

Сперва давайте разберёмся, чем отличается знак { системы от знака [ совокупности. Система неравенств ищет пересечение решений, то есть те точки, которые являются решением и для первого неравенства системы, и для второго. Проще говоря, решить систему неравенств – это найти пересечение решений всех неравенств этой системы друг с другом. Совокупность неравенств ищет объединение решений, то есть те точки, которые являются решением либо для первого неравенства, либо для второго, либо одновременно и для первого неравенства, и для второго. Решить совокупность неравенств означает объединить решения обоих неравенств этой совокупности. Более подробно об этом смотрите короткий видео-урок.

Системой неравенств называют два неравенства с одной неизвестной, которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Пример системы неравенств:

{ x + 4 > 0 2 x + 3 ≤ x 2

Алгоритм решения системы неравенств

Примеры решений систем неравенств:

№1. Решить систему неравенств   { 2 x − 3 ≤ 5 7 − 3 x ≤ 1

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Ответ:   x ∈ [ 2 ; 4 ]

№2. Решить систему неравенств   { 2 x − 1 ≤ 5 1 < − 3 x − 2

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Ответ:   x ∈ ( − ∞ ; − 1 )

№3. Решить систему неравенств   { 3 x + 1 ≤ 2 x x − 7 > 5 − x

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Ответ:   x ∈ ∅

№4. Решить систему неравенств   { x + 4 > 0 2 x + 3 ≤ x 2

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Ответ:   x ∈ ( − 4 ; − 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞ )

Скачать домашнее задание к уроку 8.

Сегодня посмотрим один вид задания №13 первой части ОГЭ, которое вызывает наибольшие трудности у девятиклассников.

Само задание звучит следующим образом:

Укажите неравенство, которое не имеет решений:

1) x²+x+36<0

2) x²+x+36>0

3) x²+x-36<0

4) x²+x-36>0

Это стандартное полное квадратное неравенство.

Если левая часть квадратного неравенства имеет корни, то неравенство всегда имеет решение.

Если левая часть не имеет корней, то неравенство либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений.

Значит, чтобы неравенство не имело решений необходимо выполнение нескольких условий, первое из которых: левая часть не имеет корней.

На этом этапе уже можно отсеять варианты 3) и 4)

Осталось теперь определить, какое из оставшихся неравенство имеет бесконечное множество решений, а какое не имеет решений.

Для этого изобразим решение на числовой прямой. Функция “у=x²+x+36” парабола. Ветки параболы смотрят вверх (a>0). Т.к. функция не имеет корней, то парабола не пересекает числовую прямую, а значит располагается выше оси.

Значит при любом значении х: x²+x+36>0.

А вот x²+x+36<0 не имеет решений

ОТВЕТ: 1

ПС Обратите внимание, что при отрицательном дискриминанте УРАВНЕНИЕ не имеет решений, на НЕРАВЕНСТВО либо не имеет решений, либо имеет бесконечное число решений. Поэтому выбор ответа требует дополнительного исследования функции.

Продолжение следует…

Не забудь нажать на пальчик вверх после прочтения и подписаться. За это отдельная благодарность

(✿◠‿◠)